Eng murakkab kvadrat tenglama. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Biz mavzuni o'rganishda davom etamiz tenglamalar yechimi". Biz allaqachon chiziqli tenglamalar bilan tanishgan edik va endi biz bilan tanishamiz kvadrat tenglamalar.

Birinchidan, kvadrat tenglama nima ekanligini, u umumiy shaklda qanday yozilishini muhokama qilamiz va tegishli ta'riflarni beramiz. Shundan so'ng, misollar yordamida biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini batafsil tahlil qilamiz. Keyinchalik, biz to'liq tenglamalarni echishga o'tamiz, ildizlar formulasini olamiz, kvadrat tenglamaning diskriminanti bilan tanishamiz va tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz. Nihoyat, biz ildizlar va koeffitsientlar orasidagi bog'lanishlarni kuzatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kvadrat tenglama nima? Ularning turlari

Avval kvadrat tenglama nima ekanligini aniq tushunishingiz kerak. Shuning uchun kvadrat tenglamalar haqida gapirishni kvadrat tenglamaning ta'rifi, shuningdek, unga tegishli ta'riflar bilan boshlash mantiqan to'g'ri keladi. Shundan so'ng siz kvadrat tenglamalarning asosiy turlarini ko'rib chiqishingiz mumkin: qisqartirilgan va kamaytirilmagan, shuningdek, to'liq va to'liq bo'lmagan tenglamalar.

Kvadrat tenglamalarning ta’rifi va misollari

Ta'rif.

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir a x 2 +b x+c=0, bu erda x o'zgaruvchi, a , b va c ba'zi sonlar, a esa noldan farq qiladi.

Darhol aytaylik, kvadrat tenglamalar ko'pincha ikkinchi darajali tenglamalar deb ataladi. Buning sababi, kvadrat tenglama algebraik tenglama ikkinchi daraja.

Olingan ta'rif kvadrat tenglamalarga misollar keltirish imkonini beradi. Demak, 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 va hokazo. kvadrat tenglamalardir.

Ta'rif.

Raqamlar a, b va c deyiladi kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a x 2 + b x + c \u003d 0 va a koeffitsienti birinchi yoki katta yoki x 2 koeffitsienti deb ataladi, b - ikkinchi koeffitsient yoki x koeffitsienti va c - bo'sh a'zo.

Masalan, 5 x 2 −2 x−3=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamani olaylik, bu yerda yetakchi koeffitsient 5, ikkinchi koeffitsient −2, erkin had −3 ga teng. E'tibor bering, b va/yoki c koeffitsientlari manfiy bo'lganda, yuqoridagi misoldagi kabi, 5 x 2 +(− emas, balki 5 x 2 −2 x−3=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamaning qisqa shakli qo'llaniladi. 2 )x+(−3)=0 .

Shuni ta'kidlash kerakki, a va / yoki b koeffitsientlari 1 yoki -1 ga teng bo'lsa, ular odatda kvadrat tenglamaning yozuvida aniq mavjud emas, bu esa bunday belgilarning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq. Masalan, y 2 −y+3=0 kvadrat tenglamada yetakchi koeffitsient bitta, y da koeffitsienti −1 ga teng.

Qisqartirilgan va qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar

Etakchi koeffitsientning qiymatiga qarab, qisqartirilgan va kamaytirilmagan kvadrat tenglamalar farqlanadi. Keling, tegishli ta'riflarni beraylik.

Ta'rif.

Etakchi koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan kvadrat tenglama deyiladi qisqartirilgan kvadrat tenglama. Aks holda, kvadrat tenglama bo'ladi kamaytirilmagan.

Bu taʼrifga koʻra kvadrat tenglamalar x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 va hokazo. - qisqartirilgan, ularning har birida birinchi koeffitsient birga teng. Va 5 x 2 −x−1=0 va hokazo. - qisqartirilmagan kvadrat tenglamalar, ularning yetakchi koeffitsientlari 1 dan farq qiladi.

Har qanday kamaytirilmagan kvadrat tenglamadan uning ikkala qismini etakchi koeffitsientga bo'lish orqali siz qisqartirilganga o'tishingiz mumkin. Bu harakat ekvivalent o'zgartirishdir, ya'ni shu yo'l bilan olingan qisqartirilmagan kvadrat tenglama asl kamaytirilmagan kvadrat tenglama bilan bir xil ildizlarga ega yoki shunga o'xshash hech qanday ildizga ega emas.

Keling, qisqartirilmagan kvadrat tenglamadan qisqartirilgan tenglamaga o'tish qanday bajarilishini misol qilib olaylik.

Misol.

3 x 2 +12 x−7=0 tenglamadan mos keladigan qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o'ting.

Yechim.

Bizga dastlabki tenglamaning ikkala qismini yetakchi koeffitsient 3 ga bo'linishini bajarish kifoya, u nolga teng emas, shuning uchun biz bu amalni bajarishimiz mumkin. Bizda (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ga teng, bu (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 va hokazo (3) :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , qaerdan. Shunday qilib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani oldik, bu asl tenglamaga teng.

Javob:

To'liq va to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamani belgilashda a≠0 sharti mavjud. Bu shart a x 2 +b x+c=0 tenglama toʻliq kvadrat boʻlishi uchun zarur, chunki a=0 bilan u haqiqatda b x+c=0 koʻrinishdagi chiziqli tenglamaga aylanadi.

b va c koeffitsientlariga kelsak, ular alohida va birgalikda nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday hollarda kvadrat tenglama to'liqsiz deb ataladi.

Ta'rif.

a x 2 +b x+c=0 kvadrat tenglama deyiladi to'liqsiz, agar koeffitsientlardan kamida bittasi b , c nolga teng bo'lsa.

O'z navbatida

Ta'rif.

To‘liq kvadrat tenglama barcha koeffitsientlari noldan farq qiladigan tenglamadir.

Bu nomlar tasodifan berilmagan. Bu keyingi muhokamadan oydinlashadi.

Agar b koeffitsienti nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama a x 2 +0 x+c=0 ko'rinishini oladi va u a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Agar c=0 bo'lsa, ya'ni kvadrat tenglama a x 2 +b x+0=0 ko'rinishga ega bo'lsa, uni x 2 +b x=0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Va b=0 va c=0 bilan a·x 2 =0 kvadrat tenglamani olamiz. Hosil boʻlgan tenglamalar toʻliq kvadrat tenglamadan farq qiladi, chunki ularning chap tomonlarida na x oʻzgaruvchili had, na erkin had, na ikkalasi ham mavjud emas. Shuning uchun ularning nomi - to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar.

Demak, x 2 +x+1=0 va −2 x 2 −5 x+0,2=0 tenglamalar to‘liq kvadrat tenglamalarga misol bo‘ladi va x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish

Oldingi banddagi ma'lumotlardan kelib chiqadiki, mavjud uch xil to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar:

• a x 2 =0, unga b=0 va c=0 koeffitsientlari mos keladi;
• b=0 bo'lganda a x 2 +c=0;
• va c=0 bo'lganda x 2 +b x=0.

Keling, ushbu turlarning har birining to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalari qanday yechilishini tartibda tahlil qilaylik.

a x 2 \u003d 0

b va c koeffitsientlari nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni, ya'ni a x 2 =0 ko'rinishdagi tenglamalar bilan yechishdan boshlaylik. a·x 2 =0 tenglama asl nusxadan uning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali olingan x 2 =0 tenglamaga ekvivalentdir. Shubhasiz, x 2 \u003d 0 tenglamaning ildizi nolga teng, chunki 0 2 \u003d 0. Bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'q, bu tushuntiriladi, haqiqatdan ham har qanday nolga teng bo'lmagan p soni uchun p 2 >0 tengsizlik sodir bo'ladi, bu esa p≠0 uchun p 2 =0 tengligiga hech qachon erishilmasligini bildiradi.

Shunday qilib, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 \u003d 0 bitta ildizga ega x \u003d 0.

Misol tariqasida −4·x 2 =0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning yechimini keltiramiz. Bu x 2 \u003d 0 tenglamasiga teng, uning yagona ildizi x \u003d 0, shuning uchun asl tenglama bitta nolga ega.

Bu holda qisqacha yechim quyidagicha chiqarilishi mumkin:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Endi b koeffitsienti nolga teng bo'lgan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar va c≠0, ya'ni a x 2 +c=0 ko'rinishdagi tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqing. Bizga ma'lumki, hadni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga qarama-qarshi belgi bilan o'tkazish, shuningdek, tenglamaning har ikki tomonini nolga teng bo'lmagan songa bo'lish ekvivalent tenglamani beradi. Demak, a x 2 +c=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamani quyidagi ekvivalent o‘zgartirishlarni amalga oshirish mumkin:

• c ni o'ng tomonga siljiting, bu a x 2 =−c tenglamani beradi,
• va uning ikkala qismini a ga bo'lamiz, olamiz.

Olingan tenglama uning ildizlari haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. a va c qiymatlariga qarab, ifoda qiymati manfiy (masalan, a=1 va c=2 bo'lsa) yoki ijobiy (masalan, a=−2 va c=6 bo'lsa) bo'lishi mumkin. , keyin ), u nolga teng emas, chunki c≠0 sharti bilan. Biz holatlarni alohida tahlil qilamiz va .

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q. Bu gap har qanday sonning kvadrati manfiy bo'lmagan son ekanligidan kelib chiqadi. Bundan kelib chiqadiki, qachon bo'lsa, u holda har qanday p soni uchun tenglik to'g'ri bo'la olmaydi.

Agar bo'lsa, tenglamaning ildizlari bilan vaziyat boshqacha. Bunday holda, agar biz eslasak, tenglamaning ildizi darhol aniq bo'ladi, chunki bu raqam. Raqam tenglamaning ildizi ham ekanligini taxmin qilish oson, albatta. Bu tenglama, masalan, qarama-qarshilik bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan boshqa ildizlarga ega emas. Qani buni bajaraylik.

Tenglamaning oddiy tovushli ildizlarini x 1 va -x 1 deb belgilaymiz. Faraz qilaylik, tenglamaning ko'rsatilgan x 1 va -x 1 ildizlaridan farqli boshqa x 2 ildizi bor. Ma’lumki, tenglamaga uning ildizlari o‘rniga x o‘rniga qo‘yish tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi. x 1 va −x 1 uchun bizda , x 2 uchun esa . Raqamli tengliklarning xossalari bizga haqiqiy sonli tengliklarni davr bo‘yicha ayirishni amalga oshirish imkonini beradi, shuning uchun tengliklarning tegishli qismlarini ayirish x 1 2 − x 2 2 =0 ni hosil qiladi. Raqamlar bilan amallar xossalari hosil bo‘lgan tenglikni (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Biz bilamizki, ikkita sonning ko'paytmasi nolga teng bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa va faqat. Demak, olingan tenglikdan kelib chiqadiki, x 1 −x 2 =0 va/yoki x 1 +x 2 =0 , bu bir xil, x 2 =x 1 va/yoki x 2 = −x 1 . Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, chunki boshida biz x 2 tenglamaning ildizi x 1 va -x 1 dan farq qiladi, deb aytdik. Bu tenglamaning va dan boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaydi.

Keling, ushbu paragrafdagi ma'lumotlarni umumlashtiramiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglama a x 2 +c=0 tenglamaga ekvivalent bo'lib, u

• ildizlari yo'q, agar,
• ikkita ildizga ega va agar .

a·x 2 +c=0 ko`rinishdagi to`liq bo`lmagan kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko`rib chiqing.

9 x 2 +7=0 kvadrat tenglamadan boshlaylik. Erkin hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng, u 9·x 2 =−7 ko'rinishini oladi. Hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 9 ga bo'lib, ga erishamiz. O'ng tomonda manfiy son olinganligi sababli, bu tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun 9 x 2 +7=0 asl to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q.

Yana bitta to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechamiz -x 2 +9=0. Biz to'qqizni o'ng tomonga o'tkazamiz: -x 2 \u003d -9. Endi ikkala qismni -1 ga bo'lamiz, biz x 2 =9 ni olamiz. O'ng tomonda ijobiy raqam mavjud bo'lib, biz bu yoki degan xulosaga kelamiz. Yakuniy javobni yozganimizdan so'ng: to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama −x 2 +9=0 ikkita ildizga ega x=3 yoki x=−3.

a x 2 +b x=0

c=0 uchun oxirgi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish bilan shug'ullanish qoladi. a x 2 +b x=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar yechish imkonini beradi faktorizatsiya usuli. Shubhasiz, biz tenglamaning chap tomonida joylashgan bo'lishimiz mumkin, buning uchun umumiy koeffitsient x ni qavsdan chiqarish kifoya. Bu bizga dastlabki toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamadan x·(a·x+b)=0 koʻrinishdagi ekvivalent tenglamaga oʻtish imkonini beradi. Va bu tenglama ikkita x=0 va a x+b=0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'lib, oxirgisi chiziqli va x=−b/a ildiziga ega.

Demak, a x 2 +b x=0 to‘liq bo‘lmagan kvadrat tenglamaning ikkita ildizi x=0 va x=−b/a.

Materialni birlashtirish uchun biz aniq bir misolning echimini tahlil qilamiz.

Misol.

Tenglamani yeching.

Yechim.

Qavsdan x ni chiqaramiz, bu tenglamani beradi. Bu x=0 va ikkita tenglamaga ekvivalentdir. Hosil bo‘lgan chiziqli tenglamani yechamiz: , va aralash sonni oddiy kasrga bo‘lgach, ni topamiz. Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari x=0 va .

Kerakli amaliyotni olgandan so'ng, bunday tenglamalarning echimlarini qisqacha yozish mumkin:

Javob:

x=0, .

Diskriminant, kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi

Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ildiz formulasi mavjud. Keling, yozamiz kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi: , qayerda D=b 2 −4 a c- deb atalmish kvadrat tenglamaning diskriminanti. Belgilanish asosan shuni anglatadi.

Ildiz formulasi qanday olinganligini va kvadrat tenglamalarning ildizlarini topishda qanday qo'llanilishini bilish foydalidir. Keling, bu bilan shug'ullanamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

a·x 2 +b·x+c=0 kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Keling, ba'zi ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

• Bu tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lishimiz mumkin, natijada biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz.
• Hozir to'liq kvadratni tanlang uning chap tomonida: . Shundan so'ng, tenglama shaklni oladi.
• Ushbu bosqichda oxirgi ikki shartni qarama-qarshi belgi bilan o'ng tomonga o'tkazishni amalga oshirish mumkin, bizda .
• Va o'ng tarafdagi ifodani ham o'zgartiramiz: .

Natijada a·x 2 +b·x+c=0 dastlabki kvadrat tenglamaga ekvivalent bo'lgan tenglamaga erishamiz.

Biz tahlil qilganimizda, oldingi paragraflarda o'xshash tenglamalarni allaqachon hal qildik. Bu bizga tenglamaning ildizlari bo'yicha quyidagi xulosalar chiqarish imkonini beradi:

• bo'lsa, tenglamaning haqiqiy yechimlari yo'q;
• bo'lsa, tenglama uning yagona ildizi ko'rinadigan , demak, , ko'rinishga ega bo'ladi;
• agar , u holda yoki , yoki bilan bir xil bo'lsa, ya'ni tenglama ikkita ildizga ega.

Demak, tenglamaning ildizlarining mavjudligi yoki yo'qligi, demak, dastlabki kvadrat tenglama o'ng tomondagi ifoda belgisiga bog'liq. O'z navbatida, bu ifodaning ishorasi sonning belgisi bilan aniqlanadi, chunki maxraj 4 a 2 har doim musbat, ya'ni b 2 -4 a c ifoda belgisidir. Bu b 2 −4 a c ifoda deyiladi kvadrat tenglamaning diskriminanti va harf bilan belgilangan D. Bu erdan diskriminantning mohiyati aniq - uning qiymati va belgisiga ko'ra kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga egami yoki yo'qmi, agar mavjud bo'lsa, ularning soni - bir yoki ikkita degan xulosaga keladi.

Biz tenglamaga qaytamiz, uni diskriminantning yozuvidan foydalanib qayta yozamiz: . Va xulosa qilamiz:

• agar D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• agar D=0 bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega;
• nihoyat, agar D>0 bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega yoki , uni yoki shaklida qayta yozish mumkin va kasrlarni umumiy maxrajga kengaytirib, qisqartirgandan so'ng, biz .

Shunday qilib, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni oldik, ular ga o'xshaydi, bu erda D diskriminant D=b 2 -4 a c formulasi bilan hisoblanadi.

Ularning yordami bilan musbat diskriminant bilan kvadrat tenglamaning ikkala haqiqiy ildizini hisoblashingiz mumkin. Diskriminant nolga teng bo'lganda, ikkala formula ham kvadrat tenglamaning yagona yechimiga mos keladigan bir xil ildiz qiymatini beradi. Va salbiy diskriminant bilan, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formuladan foydalanishga urinayotganda, bizni maktab o'quv dasturi doirasidan tashqariga olib chiqadigan manfiy sondan kvadrat ildizni chiqarishga duch kelamiz. Salbiy diskriminant bilan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas, lekin juftlikka ega murakkab konjugat ildizlar, ularni biz olgan bir xil ildiz formulalari yordamida topish mumkin.

Kvadrat tenglamalarni ildiz formulalari yordamida yechish algoritmi

Amalda, kvadrat tenglamani yechishda siz darhol ularning qiymatlarini hisoblash uchun ildiz formulasidan foydalanishingiz mumkin. Ammo bu murakkab ildizlarni topish haqida ko'proq.

Biroq, maktab algebrasi kursida biz odatda kompleks haqida emas, balki kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari haqida gapiramiz. Bunday holda, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarni qo'llashdan oldin birinchi navbatda diskriminantni topish, uning manfiy emasligiga ishonch hosil qilish tavsiya etiladi (aks holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelishimiz mumkin) va undan keyin. ildizlarning qiymatlarini hisoblang.

Yuqoridagi mulohazalar bizga yozish imkonini beradi kvadrat tenglamani yechish algoritmi. a x 2 + b x + c \u003d 0 kvadrat tenglamani yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

• diskriminant formulasi yordamida D=b 2 −4 a c uning qiymatini hisoblang;
• agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q degan xulosaga kelish;
• formula yordamida tenglamaning yagona ildizini hisoblang, agar D=0 bo'lsa;
• diskriminant musbat bo'lsa, ildiz formulasi yordamida kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy ildizini toping.

Bu erda biz faqat diskriminant nolga teng bo'lsa, formuladan ham foydalanish mumkinligini ta'kidlaymiz, u bilan bir xil qiymatni beradi.

Kvadrat tenglamalarni yechish algoritmini qo‘llash misollariga o‘tishingiz mumkin.

Kvadrat tenglamalarni yechishga misollar

Musbat, manfiy va nol diskriminantli uchta kvadrat tenglamaning yechimlarini ko'rib chiqing. Ularning yechimi bilan shug'ullanib, analogiya bo'yicha boshqa har qanday kvadrat tenglamani yechish mumkin bo'ladi. Boshlaylik.

Misol.

x 2 +2 x−6=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim.

Bu holda kvadrat tenglamaning quyidagi koeffitsientlariga ega bo'lamiz: a=1 , b=2 va c=−6 . Algoritmga ko'ra, siz avval diskriminantni hisoblashingiz kerak, buning uchun biz ko'rsatilgan a, b va c ni diskriminant formulasiga almashtiramiz, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. 28>0, ya'ni diskriminant noldan katta bo'lgani uchun kvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Keling, ularni ildizlar formulasi bilan topamiz, olamiz, bu erda bajarib olingan ifodalarni soddalashtirishimiz mumkin. ildiz belgisini faktoring keyin kasrni kamaytirish:

Javob:

Keling, keyingi odatiy misolga o'tamiz.

Misol.

−4 x 2 +28 x−49=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Biz diskriminantni topishdan boshlaymiz: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Shuning uchun bu kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lib, biz uni quyidagicha topamiz, ya'ni

Javob:

x=3,5.

Manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar yechimini ko'rib chiqish qoladi.

Misol.

5 y 2 +6 y+2=0 tenglamani yeching.

Yechim.

Bu erda kvadrat tenglamaning koeffitsientlari: a=5 , b=6 va c=2 . Ushbu qiymatlarni diskriminant formulaga almashtirsak, bizda mavjud D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant manfiy, shuning uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q.

Agar siz murakkab ildizlarni ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ildizlari uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bajaramiz. murakkab sonlar bilan amallar:

Javob:

haqiqiy ildizlar mavjud emas, murakkab ildizlar: .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, agar kvadrat tenglamaning diskriminanti manfiy bo'lsa, maktab odatda darhol javobni yozadi, unda ular haqiqiy ildizlar yo'qligini ko'rsatadilar va ular murakkab ildizlarni topmaydilar.

Hatto ikkinchi koeffitsientlar uchun ildiz formulasi

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi, bu erda D=b 2 −4 ac kvadrat tenglamalarni x da teng koeffitsientli (yoki oddiygina 2 n ga o'xshash koeffitsient bilan) yechish imkonini beruvchi yanada ixcham formulani olish imkonini beradi. , masalan, yoki 14 ln5=2 7 ln5 ). Keling, uni olib chiqaylik.

Aytaylik, a x 2 +2 n x + c=0 ko'rinishdagi kvadrat tenglamani yechishimiz kerak. Bizga ma'lum bo'lgan formuladan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Buning uchun biz diskriminantni hisoblaymiz D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), va keyin biz ildiz formulasidan foydalanamiz:

n 2 − a c ifodasini D 1 deb belgilang (ba'zan u D " deb ham belgilanadi). Keyin ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan ko'rib chiqilayotgan kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi shaklni oladi. , bu erda D 1 =n 2 -a c.

D=4·D 1 yoki D 1 =D/4 ekanligini ko'rish oson. Boshqacha qilib aytganda, D 1 diskriminantning to'rtinchi qismidir. D 1 belgisi D belgisi bilan bir xil ekanligi aniq. Ya'ni, D 1 belgisi ham kvadrat tenglama ildizlarining bor yoki yo'qligini ko'rsatadigan ko'rsatkichdir.

Shunday qilib, ikkinchi koeffitsienti 2 n bo'lgan kvadrat tenglamani echish uchun sizga kerak bo'ladi

• D 1 =n 2 −a·c ni hisoblang;
• Agar D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Agar D 1 =0 bo'lsa, formuladan foydalanib tenglamaning yagona ildizini hisoblang;
• Agar D 1 >0 bo'lsa, formuladan foydalanib ikkita haqiqiy ildizni toping.

Ushbu paragrafda olingan ildiz formulasidan foydalanib, misolning echimini ko'rib chiqing.

Misol.

5 x 2 −6 x−32=0 kvadrat tenglamani yeching.

Yechim.

Bu tenglamaning ikkinchi koeffitsienti 2·(−3) shaklida ifodalanishi mumkin. Ya'ni, dastlabki kvadrat tenglamani 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , bu erda a=5 , n=−3 va c=−32 ko'rinishda qayta yozishingiz va 4-qismning to'rtinchi qismini hisoblashingiz mumkin. diskriminant: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Uning qiymati musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega. Biz ularni tegishli ildiz formulasidan foydalanib topamiz:

E'tibor bering, kvadrat tenglamaning ildizlari uchun odatiy formuladan foydalanish mumkin edi, ammo bu holda ko'proq hisoblash ishlarini bajarish kerak edi.

Javob:

Kvadrat tenglamalar shaklini soddalashtirish

Ba'zan, formulalar yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblashni boshlashdan oldin, "Ushbu tenglamaning shaklini soddalashtirish mumkinmi" degan savolni berish zarar qilmaydi. 1100 x 2 −400 x−600=0 ga qaraganda 11 x 2 −4 x −6=0 kvadrat tenglamani hisob-kitoblar nuqtai nazaridan yechish osonroq bo‘lishiga rozi bo‘ling.

Odatda, kvadrat tenglama shaklini soddalashtirish uning ikkala tomonini qandaydir songa ko'paytirish yoki bo'lish yo'li bilan erishiladi. Misol uchun, oldingi paragrafda biz ikkala tomonni 100 ga bo'lish orqali 1100 x 2 -400 x -600=0 tenglamasini soddalashtirishga erishdik.

Shunga o'xshash o'zgartirish koeffitsientlari bo'lmagan kvadrat tenglamalar bilan amalga oshiriladi. Bunday holda, tenglamaning ikkala qismi odatda uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlariga bo'linadi. Masalan, 12 x 2 −42 x+48=0 kvadrat tenglamani olaylik. uning koeffitsientlarining mutlaq qiymatlari: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dastlabki kvadrat tenglamaning ikkala qismini 6 ga bo‘lib, 2 x 2 −7 x+8=0 ekvivalent kvadrat tenglamaga erishamiz.

Va kvadrat tenglamaning ikkala qismini ko'paytirish odatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'lish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, ko'paytirish uning koeffitsientlarining maxrajlari bo'yicha amalga oshiriladi. Masalan, kvadrat tenglamaning ikkala qismi LCM(6, 3, 1)=6 ga ko'paytirilsa, u oddiyroq ko'rinishga ega bo'ladi x 2 +4 x−18=0 .

Ushbu paragrafning yakunida shuni ta'kidlaymizki, deyarli har doim kvadrat tenglamaning eng yuqori koeffitsientidagi minusdan barcha a'zolarning belgilarini o'zgartirish orqali xalos bo'ling, bu ikkala qismni -1 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) bilan mos keladi. Masalan, odatda −2·x 2 −3·x+7=0 kvadrat tenglamadan 2·x 2 +3·x−7=0 yechimga o‘tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi bog'liqlik

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasi tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalaydi. Ildizlarning formulasiga asoslanib, siz ildizlar va koeffitsientlar o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin.

Shaklning Vyeta teoremasidan eng mashhur va qo'llaniladigan formulalar va . Xususan, berilgan kvadrat tenglama uchun ildizlar yig‘indisi ikkinchi qarama-qarshi ishorali koeffitsientga teng, ildizlarning ko‘paytmasi esa erkin haddir. Masalan, 3 x 2 −7 x+22=0 kvadrat tenglama ko‘rinishida darhol uning ildizlari yig‘indisi 7/3, ildizlarning ko‘paytmasi esa 22/3 ekanligini aytish mumkin.

Oldindan yozilgan formulalardan foydalanib, siz kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa bir qator munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, kvadrat tenglamaning ildizlari kvadratlari yig'indisini uning koeffitsientlari bilan ifodalash mumkin: .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.

Masalan, \(3x^2+2x-7\) trinomial uchun diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) boʻladi. Va \(x^2-5x+11\) trinomial uchun u \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) ga teng boʻladi.

Diskriminant \(D\) harfi bilan belgilanadi va ko'pincha echishda ishlatiladi. Bundan tashqari, diskriminantning qiymati bilan siz grafikning qanday ko'rinishini tushunishingiz mumkin (pastga qarang).

Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari

Diskriminantning qiymati kvadrat tenglamaning miqdorini ko'rsatadi:
- agar \(D\) musbat bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi;
- agar \(D\) nolga teng bo'lsa - faqat bitta ildiz;
- agar \(D\) manfiy bo'lsa, ildiz yo'q.

Buni o'rgatish shart emas, shunchaki diskriminantdan (ya'ni \(\sqrt(D)\) kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblash formulasiga kiritilganligini bilib, shunday xulosaga kelish oson. : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) va \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Keling, har bir holatni batafsil ko'rib chiqaylik.

Diskriminant ijobiy bo'lsa

Bu holda, uning ildizi qandaydir musbat son bo'lib, u \(x_(1)\) va \(x_(2)\) qiymat jihatidan farq qiladi, chunki birinchi formulada \(\sqrt(D) \) qo'shiladi , ikkinchisida esa - ayiriladi. Va bizda ikki xil ildiz bor.

Misol : \(x^2+2x-3=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim :

Javob : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Diskriminant nolga teng bo'lsa

Va agar diskriminant nolga teng bo'lsa, nechta ildiz bo'ladi? Keling, fikr yuritaylik.

Ildiz formulalari quyidagicha ko'rinadi: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) va \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Va agar diskriminant nolga teng bo'lsa, uning ildizi ham nolga teng. Keyin shunday bo'ladi:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Ya'ni, tenglamaning ildizlari qiymatlari mos keladi, chunki nolni qo'shish yoki ayirish hech narsani o'zgartirmaydi.

Misol : \(x^2-4x+4=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim :

\(x^2-4x+4=0\)		Biz koeffitsientlarni yozamiz:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		\(D=b^2-4ac\) formulasi yordamida diskriminantni hisoblang.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Tenglamaning ildizlarini topish
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Bizda ikkita bir xil ildiz bor, shuning uchun ularni alohida yozishning ma'nosi yo'q - biz ularni bitta deb yozamiz.

Javob : \(x=2\)

Kvadrat tenglamalar ko'pincha fizika va matematikadan turli masalalarni yechishda paydo bo'ladi. Ushbu maqolada biz ushbu tengliklarni universal tarzda "diskriminant orqali" qanday hal qilishni ko'rib chiqamiz. Maqolada olingan bilimlardan foydalanish misollari ham keltirilgan.

Biz qanday tenglamalar haqida gapirayapmiz?

Quyidagi rasmda x noma'lum o'zgaruvchi bo'lgan formula ko'rsatilgan va lotin harflari a, b, c ba'zi ma'lum raqamlarni ifodalaydi.

Ushbu belgilarning har biri koeffitsient deb ataladi. Ko'rib turganingizdek, "a" soni x kvadrat o'zgaruvchining oldida joylashgan. Bu ifodalangan ifodaning maksimal kuchi, shuning uchun u kvadrat tenglama deb ataladi. Ko'pincha boshqa nom ishlatiladi: ikkinchi tartibli tenglama. a qiymatining o'zi kvadrat koeffitsient (o'zgaruvchining kvadrati), b - chiziqli koeffitsient (u birinchi darajaga ko'tarilgan o'zgaruvchining yonida) va nihoyat c soni erkin atamadir.

E'tibor bering, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan tenglama shakli umumiy klassik kvadrat ifodadir. Unga qo'shimcha ravishda b, c koeffitsientlari nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan boshqa ikkinchi tartibli tenglamalar mavjud.

Ko'rib chiqilayotgan tenglikni hal qilish vazifasi qo'yilganda, bu x o'zgaruvchining uni qanoatlantiradigan qiymatlarini topish kerakligini anglatadi. Bu erda eslash kerak bo'lgan birinchi narsa: x ning maksimal kuchi 2 bo'lganligi sababli, bu turdagi ifoda 2 dan ortiq echimga ega bo'lishi mumkin emas. Bu shuni anglatadiki, agar tenglamani yechishda uni qanoatlantiradigan 2 x qiymat topilsa, u holda x o'rniga 3-raqam yo'qligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin, bu tenglik ham to'g'ri bo'ladi. Matematikada tenglamaning yechimlari uning ildizlari deyiladi.

Ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullari

Bu tipdagi tenglamalarni yechish uchun ular haqida qandaydir nazariyani bilish kerak. Maktab algebra kursida yechishning 4 xil usullari ko'rib chiqiladi. Keling, ularni sanab o'tamiz:

• faktorizatsiyadan foydalanish;
• mukammal kvadrat formulasidan foydalanish;
• mos kvadrat funktsiyaning grafigini qo'llash;
• diskriminant tenglamasidan foydalanish.

Birinchi usulning afzalligi uning soddaligi, ammo uni barcha tenglamalarga qo'llash mumkin emas. Ikkinchi usul universal, ammo biroz noqulay. Uchinchi usul o'zining ravshanligi bilan ajralib turadi, lekin u har doim ham qulay va qo'llanilishi mumkin emas. Va nihoyat, diskriminant tenglamadan foydalanish mutlaqo har qanday ikkinchi tartibli tenglamaning ildizlarini topishning universal va juda oddiy usulidir. Shuning uchun, maqolada biz faqat buni ko'rib chiqamiz.

Tenglamaning ildizlarini olish formulasi

Kvadrat tenglamaning umumiy shakliga murojaat qilaylik. Keling, yozamiz: a*x²+ b*x + c =0. Uni "diskriminant orqali" hal qilish usulini qo'llashdan oldin, tenglik har doim yozma shaklga tushirilishi kerak. Ya'ni, u uchta shartdan iborat bo'lishi kerak (yoki b yoki c 0 bo'lsa, undan kam).

Misol uchun, agar x²-9*x+8 = -5*x+7*x² ifodasi mavjud bo'lsa, avval uning barcha a'zolarini tenglikning bir tomoniga o'tkazishingiz va x o'zgaruvchisini o'z ichiga olgan shartlarni qo'shishingiz kerak. vakolatlari.

Bunday holda, bu amal quyidagi ifodaga olib keladi: -6*x²-4*x+8=0, bu 6*x²+4*x-8=0 tenglamasiga teng (bu erda biz chapni ko'paytirdik. va tenglamaning o'ng tomonlari -1) ga teng.

Yuqoridagi misolda a = 6, b=4, c=-8. E'tibor bering, ko'rib chiqilayotgan tenglikning barcha shartlari har doim o'zaro yig'iladi, shuning uchun agar "-" belgisi paydo bo'lsa, bu tegishli koeffitsient salbiy ekanligini anglatadi, bu holda c raqami kabi.

Ushbu nuqtani tahlil qilib, biz endi formulaning o'ziga murojaat qilamiz, bu esa kvadrat tenglamaning ildizlarini olish imkonini beradi. Bu quyidagi fotosuratga o'xshaydi.

Ushbu ifodadan ko'rinib turibdiki, bu sizga ikkita ildiz olish imkonini beradi (siz "±" belgisiga e'tibor berishingiz kerak). Buning uchun unga b, c va a koeffitsientlarini qo'yish kifoya.

Diskriminant tushunchasi

Oldingi paragrafda har qanday ikkinchi tartibli tenglamani tezda yechish imkonini beruvchi formula berilgan edi. Unda radikal ifoda diskriminant deb ataladi, ya'ni D \u003d b²-4 * a * c.

Nima uchun formulaning bu qismi alohida ajratilgan va uning o'z nomi bormi? Gap shundaki, diskriminant tenglamaning barcha uchta koeffitsientini bitta ifodaga bog'laydi. Oxirgi fakt shuni anglatadiki, u quyidagi ro'yxat bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan ildizlar haqida ma'lumotni to'liq olib boradi:

1. D>0: tenglikning 2 xil yechimi bor, ikkalasi ham haqiqiy sonlar.
2. D=0: Tenglama faqat bitta ildizga ega va u haqiqiy son.

Diskriminantni aniqlash vazifasi

Diskriminantni qanday topishga oddiy misol. Quyidagi tenglik berilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Uni standart shaklga keltiramiz, biz olamiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, shundan biz tenglikka erishamiz. : -2*x² +2*x-11 = 0. Bu yerda a=-2, b=2, c=-11.

Endi siz diskriminant uchun nomlangan formuladan foydalanishingiz mumkin: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Olingan raqam topshiriqning javobidir. Misoldagi diskriminant noldan kichik bo'lgani uchun bu kvadrat tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q deb aytishimiz mumkin. Uning yechimi faqat murakkab turdagi raqamlar bo'ladi.

Diskriminant orqali tengsizlikka misol

Biroz boshqacha turdagi masalalarni yechamiz: -3*x²-6*x+c = 0 tengligi berilgan c ning D>0 bo'lgan shunday qiymatlarini topish kerak.

Bunday holda, 3 ta koeffitsientdan faqat 2 tasi ma'lum, shuning uchun diskriminantning aniq qiymatini hisoblash mumkin bo'lmaydi, lekin u ijobiy ekanligi ma'lum. Tengsizlikni tuzishda oxirgi faktdan foydalanamiz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Olingan tengsizlikning yechimi shunday natijaga olib keladi: c>-3.

Olingan raqamni tekshiramiz. Buning uchun 2 holat uchun D ni hisoblaymiz: c=-2 va c=-4. -2 soni natijani qanoatlantiradi (-2>-3), mos keladigan diskriminant quyidagi qiymatga ega bo'ladi: D = 12>0. O'z navbatida, -4 soni tengsizlikni qanoatlantirmaydi (-4 Shunday qilib, -3 dan katta bo'lgan har qanday c raqamlari shartni qondiradi.

Tenglamani yechishga misol

Bu erda faqat diskriminantni topish emas, balki tenglamani yechishdan iborat bo'lgan masala. -2*x²+7-9*x = 0 tengligining ildizlarini topish kerak.

Bu misolda diskriminant quyidagi qiymatga teng: D = 81-4*(-2)*7= 137. Keyin tenglamaning ildizlari quyidagicha aniqlanadi: x = (9±√137)/(- 4). Bu ildizlarning aniq qiymatlari, agar siz ildizni taxminan hisoblasangiz, unda siz raqamlarni olasiz: x \u003d -5,176 va x \u003d 0,676.

geometrik muammo

Keling, faqat diskriminantni hisoblash qobiliyatini emas, balki mavhum fikrlash qobiliyatini va kvadrat tenglamalarni yozishni bilishni ham talab qiladigan masalani hal qilaylik.

Bobda 5 x 4 metrli yorgan bor edi. Bola butun perimetr bo'ylab chiroyli matodan uzluksiz chiziq tikmoqchi edi. Agar Bobning 10 m² matoga ega ekanligi ma'lum bo'lsa, bu chiziq qanchalik qalin bo'ladi.

Ip qalinligi xm bo'lsin, keyin adyolning uzun tomoni bo'ylab matoning maydoni (5 + 2 * x) * x bo'ladi va 2 ta uzun tomoni borligi sababli bizda: 2 * x * (5 + 2 * x). Qisqa tomonda tikilgan matoning maydoni 4 * x bo'ladi, chunki bu tomonlarning 2 tasi bor, biz 8 * x qiymatini olamiz. E'tibor bering, uzun tomonga 2 * x qo'shilgan, chunki choyshabning uzunligi bu raqamga ko'paygan. Adyolga tikilgan matoning umumiy maydoni 10 m² ni tashkil qiladi. Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Bu misol uchun diskriminant: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Uning ildizi 22. Formuladan foydalanib, kerakli ildizlarni topamiz: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Shubhasiz, ikkita ildizdan faqat 0,5 raqami muammoning holatiga mos keladi.

Shunday qilib, Bob o'zining adyoliga tikadigan mato chizig'i kengligi 50 sm bo'ladi.

Kopyevskaya qishloq o'rta maktabi

Kvadrat tenglamalarni yechishning 10 ta usuli

Rahbar: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematika o'qituvchisi

s. Kopyevo, 2007 yil

1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi

1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar

1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan

1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar

1.4 Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar

1.5 Evropada XIII - XVII asrlarda kvadrat tenglamalar

1.6 Vyeta teoremasi haqida

2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Xulosa

Adabiyot

1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi

1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar

Qadimgi davrlarda nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni yechish zarurati harbiy xarakterdagi er va tuproq ishlarining maydonlarini topish, shuningdek, astronomiya va boshqa fanlarning rivojlanishi bilan bog'liq muammolarni hal qilish zarurati bilan bog'liq edi. matematikaning o'zi. Miloddan avvalgi 2000-yillarda kvadrat tenglamalar echishga muvaffaq bo'lgan. e. Bobilliklar.

Zamonaviy algebraik yozuvlarni qo'llagan holda, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar borligini aytishimiz mumkin:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Bobil matnlarida aytilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday kelgani noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari retseptlar ko'rinishida bayon qilingan yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmagan.

Bobilda algebra fanining yuqori darajada rivojlanganligiga qaramasdan mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi va kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy usullari yoʻq.

1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan.

Diofantning arifmetikasida algebraning tizimli ekspozitsiyasi mavjud emas, lekin u tushuntirishlar bilan birga kelgan va turli darajadagi tenglamalarni shakllantirish orqali echilgan tizimli masalalarni o'z ichiga oladi.

Tenglamalarni tuzishda Diophantus yechimni soddalashtirish uchun noma'lumlarni mohirlik bilan tanlaydi.

Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.

11-topshiriq."Ularning yig'indisi 20 va mahsuloti 96 ekanligini bilgan holda ikkita raqamni toping"

Diofant quyidagicha ta'kidlaydi: masalaning shartidan kelib chiqadiki, kerakli sonlar teng emas, chunki ular teng bo'lganida, ularning mahsuloti 96 ga emas, balki 100 ga teng bo'ladi. Shunday qilib, ulardan biri dan ko'p bo'ladi. ularning summasining yarmi, ya'ni. 10+x, ikkinchisi kichikroq, ya'ni. 10-lar. Ularning orasidagi farq 2x .

Demak, tenglama:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Bu yerdan x = 2. Istalgan raqamlardan biri 12 , boshqa 8 . Yechim x = -2 chunki Diofant mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilardi.

Agar bu masalani kerakli sonlardan birini noma’lum qilib tanlab yechsak, u holda tenglama yechimiga kelamiz.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ma'lumki, Diophantus noma'lum sifatida kerakli raqamlarning yarim farqini tanlab, yechimni soddalashtiradi; u masalani to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishgacha qisqartirishga muvaffaq bo'ladi (1).

1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar

Kvadrat tenglamalar uchun muammolar 499 yilda hind matematiki va astronomi Aryabhatta tomonidan tuzilgan "Aryabhattam" astronomik traktida allaqachon topilgan. Boshqa bir hind olimi Brahmagupta (7-asr) bitta kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasini belgilab berdi:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) tenglamada koeffitsientlar bundan mustasno a, salbiy ham bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga to'g'ri keladi.

Qadimgi Hindistonda murakkab masalalarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh o‘zining yorqinligi bilan yulduzlarni ortda qoldirganidek, bilimdon kishi jamoat yig‘ilishlarida, algebra masalalarini taklif qilish va yechishda boshqasining shon-shuhratini ham shunday yoritadi”. Vazifalar ko'pincha she'riy shaklda kiyingan.

XII asrdagi mashhur hind matematigining muammolaridan biri shu. Bhaskara.

13-topshiriq.

"Maymunlar galasi va tokda o'n ikkita ...

Quvvatni iste'mol qilib, xursand bo'ldi. Ular osilib, sakrashni boshladilar ...

Ularning sakkizinchi qismi kvadratda Qancha maymun bor edi,

Yaylovda dam olish. Ayting-chi, bu suruvdami?

Bxaskaraning yechimi uning kvadrat tenglamalar ildizlarining ikki qiymatliligi haqida bilganligini ko'rsatadi (3-rasm).

13-masalaga mos keladigan tenglama:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara niqob ostida yozadi:

x 2 - 64x = -768

va bu tenglamaning chap tomonini kvadratga to'ldirish uchun u ikkala tomonni ham qo'shadi 32 2 , keyin olish:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Al-Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar

Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalar tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab o'tadi va ularni quyidagicha ifodalaydi:

1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c = b X.

2) "Kvadratchalar songa teng", ya'ni. ax 2 = s.

3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.

4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c = b X.

5) "Kvadratchalar va ildizlar songa teng", ya'ni. ah 2+ bx = s.

6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni. bx + c \u003d bolta 2.

Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirish emas, qo‘shimcha hisoblanadi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-muqobala usullaridan foydalangan holda bayon qiladi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Uning sof ritorik ekanligi haqida gapirmasa ham, shuni ta'kidlash kerakki, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishda.

al-Xorazmiy 17-asrgacha boʻlgan barcha matematiklar singari nol yechimni hisobga olmaydi, ehtimol bu aniq amaliy masalalarda ahamiyatsizligi uchundir. Toʻliq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy alohida sonli misollar yordamida yechish qoidalarini, keyin esa geometrik isbotlarni belgilaydi.

14-topshiriq.“Kvadrat va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping" (tenglamaning ildizini x 2 + 21 = 10x deb hisoblaymiz).

Muallifning yechimi shunday bo'ladi: ildizlar sonini ikkiga bo'ling, 5 ni olasiz, 5 ni o'z-o'zidan ko'paytirasiz, ko'paytmadan 21 ni ayirasiz, 4 qoladi. 4 ning ildizini oling, siz 2 ni olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz, siz 3-ni oling, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 dan 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.

“Al-Xorazmiy” risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalar tasnifi tizimli bayon qilingan va ularni yechish formulalari keltirilgan.

1.5 Yevropadagi kvadrat tenglamalar XIII - XVII asrlar

Evropada al-Xorazmiy modelida kvadrat tenglamalarni yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202 yilda yozilgan "Abakus kitobi"da keltirilgan. Islom mamlakatlari ham, Qadimgi Yunoniston ham matematikaning taʼsirini aks ettiruvchi bu katta hajmli asar taqdimotning toʻliqligi va ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda muammoni yechishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi" dan ko'plab vazifalar 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklariga o'tdi. va qisman XVIII.

Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni echishning umumiy qoidasi:

x 2+ bx = bilan,

koeffitsientlar belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun b , Bilan Evropada faqat 1544 yilda M. Stiefel tomonidan tuzilgan.

Vietada kvadrat tenglamani yechish formulasining umumiy kelib chiqishi bor, lekin Vieta faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilardan boʻlgan. Ijobiy va salbiy ildizlardan tashqari, hisobga oling. Faqat XVII asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnati tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi.

1.6 Vyeta teoremasi haqida

Kvadrat tenglamaning koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Veta nomini oldi, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirdi: “Agar B + D ga ko'paytiriladi A - A 2 , teng BD, keyin A teng V va teng D ».

Vyetani tushunish uchun buni yodda tutish kerak A, har qanday unli kabi, u uchun noma'lumni anglatadi (bizning X), unlilar V, D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida Vietaning yuqoridagi formulasi: agar

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi munosabatni belgilar yordamida yozilgan umumiy formulalar orqali ifodalab, Vyet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vyeta ramzi hali ham uning zamonaviy shaklidan uzoqda. U manfiy sonlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni echishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.

2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari

Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar trigonometrik, ko‘rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglama va tengsizliklarni yechishda keng qo‘llaniladi. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz.

Oddiyroq tarzda. Buning uchun qavs ichidan z ni oling. Siz olasiz: z(az + b) = 0. Omillarni yozish mumkin: z=0 va az + b = 0, chunki ikkalasi ham nolga olib kelishi mumkin. Az + b = 0 yozuvida ikkinchisini boshqa belgi bilan o'ngga o'tkazamiz. Bu yerdan z1 = 0 va z2 = -b/a ni olamiz. Bu asl nusxaning ildizlari.

Agar az² + c \u003d 0 ko'rinishidagi to'liq bo'lmagan tenglama mavjud bo'lsa, bu holda ular erkin atamani tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazish orqali topiladi. Shuningdek, uning belgisini o'zgartiring. Siz az² \u003d -s rekordini olasiz. Ekspress z² = -c/a. Ildizni oling va ikkita yechimni yozing - kvadrat ildizning ijobiy va salbiy qiymati.

Eslatma

Agar tenglamada kasr koeffitsientlari mavjud bo'lsa, kasrlardan xalos bo'lish uchun butun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytiring.

Kvadrat tenglamalarni qanday echishni bilish maktab o'quvchilari uchun ham, talabalar uchun ham zarur, ba'zan bu kundalik hayotda kattalarga yordam berishi mumkin. Bir nechta maxsus qaror usullari mavjud.

Kvadrat tenglamalarni yechish

a*x^2+b*x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglama. Koeffitsient x - kerakli o'zgaruvchi, a, b, c - raqamli koeffitsientlar. Esda tutingki, "+" belgisi "-" belgisiga o'zgarishi mumkin.

Bu tenglamani yechish uchun Vieta teoremasidan foydalanish yoki diskriminantni topish kerak. Eng keng tarqalgan usul diskriminantni topishdir, chunki a, b, c ning ba'zi qiymatlari uchun Viet teoremasidan foydalanish mumkin emas.

Diskriminantni (D) topish uchun D=b^2 - 4*a*c formulasini yozish kerak. D qiymati noldan katta, kichik yoki teng bo'lishi mumkin. Agar D noldan katta yoki kichik bo'lsa, u holda ikkita ildiz bo'ladi, agar D = 0 bo'lsa, unda faqat bitta ildiz qoladi, aniqrog'i, bu holda D ning ikkita ekvivalent ildizi borligini aytishimiz mumkin. Formulaga ma'lum a, b, c koeffitsientlarni almashtiring va qiymatni hisoblang.

Diskriminantni topgandan so'ng, x topish uchun formulalardan foydalaning: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a bu yerda sqrt berilgan sonning kvadrat ildizini olish funksiyasi. Ushbu ifodalarni hisoblab chiqqandan so'ng, siz tenglamangizning ikkita ildizini topasiz, shundan so'ng tenglama yechilgan hisoblanadi.

Agar D noldan kichik bo'lsa, u hali ham ildizlarga ega. Maktabda bu bo'lim amalda o'rganilmaydi. Universitet talabalari ildiz ostida salbiy raqam paydo bo'lishini bilishlari kerak. Biz xayoliy qismni ajratib, undan xalos bo'lamiz, ya'ni ildiz ostidagi -1 har doim bir xil musbat son bilan ildizga ko'paytiriladigan "i" xayoliy elementiga teng bo'ladi. Masalan, agar D=sqrt(-20), o'zgartirilgandan so'ng D=sqrt(20)*i olinadi. Ushbu transformatsiyadan so'ng, tenglamaning yechimi yuqorida aytib o'tilganidek, ildizlarning bir xil topilmasiga keltiriladi.

Vyeta teoremasi x(1) va x(2) qiymatlarni tanlashdan iborat. Ikkita bir xil tenglamalardan foydalaniladi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Bundan tashqari, juda muhim nuqta b koeffitsienti oldidagi belgidir, bu belgi tenglamadagiga qarama-qarshi ekanligini unutmang. Bir qarashda, x(1) va x(2) ni hisoblash juda oddiydek tuyuladi, lekin yechishda siz raqamlarni aniq tanlash kerakligiga duch kelasiz.

Kvadrat tenglamalarni yechish elementlari

Matematika qoidalariga ko'ra, ba'zilarini faktorlarga ajratish mumkin: (a + x (1)) * (bx (2)) \u003d 0, agar siz ushbu kvadrat tenglamani matematik formulalar yordamida shu tarzda o'zgartira olgan bo'lsangiz, bemalol javobni yozing. x(1) va x(2) qavs ichidagi qo'shni koeffitsientlarga teng bo'ladi, lekin teskari belgi bilan.

Shuningdek, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar haqida unutmang. Sizda ba'zi shartlar etishmayotgan bo'lishi mumkin, agar shunday bo'lsa, unda uning barcha koeffitsientlari nolga teng. Agar x^2 yoki x dan oldin hech narsa bo'lmasa, a va b koeffitsientlari 1 ga teng.