Regler for konstruktion ved hjælp af et kompas og en lineal. Tegning med kompas og lineal

Hvis det er helt naturligt, at det med antagelsen om en større variation af værktøjer viser sig at være muligt at løse et bredere sæt af konstruktionsproblemer, så kunne man tværtimod forudse, at under de restriktioner, der er pålagt værktøjerne, klassen af ​​løselige problemer vil indsnævres. Så meget desto mere bemærkelsesværdig bør betragtes den opdagelse, som italieneren gjorde Mascheroni (1750-1800):alle geometriske konstruktioner udført med et kompas og en lineal kan udføres med kun ét kompas. Det bør naturligvis fastsættes, at det faktisk er umuligt at tegne en ret linje gennem to givne punkter uden en lineal, så denne grundkonstruktion er ikke omfattet af Mascheronis teori. I stedet må man antage, at en linje er givet, hvis to af dens punkter er givet. Men ved hjælp af kun ét kompas er det muligt at finde skæringspunktet for to rette linjer defineret på denne måde, eller skæringspunktet for en ret linje med en cirkel.

Det formentlig enkleste eksempel på Mascheronis konstruktion er fordoblingen af ​​et givet segment AB. Løsningen er allerede givet på side 174-175. Yderligere, på side 175-176, lærte vi, hvordan man deler dette segment i to. Lad os nu se, hvordan man deler buen af ​​en cirkel AB med centrum O i halvdelen. Her er en beskrivelse af denne konstruktion (fig. 47). Med radius AO tegner vi to buer med centrum A og B. Fra punktet O lægger vi to sådanne buer OP og OQ af på disse buer, således at OP = OQ = AB... Så finder vi punktet R for skæringspunktet mellem buen med centrum P og radius PB og buen med centrum Q og radius QA. Til sidst, idet vi tager segmentet OR som radius, beskriver vi buen med centrum P eller Q frem til skæringspunktet med buen AB - skæringspunktet og er det ønskede midtpunkt af buen AB. Beviset overlades til læseren som en øvelse.

Det ville være umuligt at bevise Mascheronis grundpåstand ved at pege på, for hver konstruktion udført med et kompas og en lineal, hvordan den kan udføres med et enkelt kompas: Der er trods alt utallige mulige konstruktioner. Men vi opnår det samme mål, hvis vi fastslår, at hver af følgende grundlæggende konstruktioner kan lade sig gøre med et enkelt kompas:

1. Tegn en cirkel, hvis dens centrum og radius er angivet.
2. Find skæringspunkterne for to cirkler.
3. Find skæringspunkterne for en linje og en cirkel.
4. Find skæringspunktet for to linjer.

Enhver geometrisk konstruktion (i sædvanlig forstand, med antagelsen af ​​et kompas og en lineal) er sammensat af udførelsen af ​​en endelig sekvens af disse elementære konstruktioner. At de to første af dem er gennemførlige med ét kompas, er direkte klart. Mere vanskelige konstruktioner 3 og 4 udføres ved hjælp af inversionsegenskaberne diskuteret i det foregående afsnit.

Lad os gå til konstruktion 3: vi finder skæringspunkterne for denne cirkel C med en ret linje, der går gennem disse punkter A og B. Vi tegner buer med centre A og B og radier, henholdsvis lig med AO og BO, undtagen punkt O , skærer de hinanden i punktet P. Derefter konstruerer vi punktet Q modsat punktet P i forhold til cirklen C (se konstruktionen beskrevet på side 174). Til sidst skal du tegne en cirkel med centrum Q og radius QO (den vil helt sikkert skære med C): dens skæringspunkter X og X "ved cirkel C vil være de ønskede. For at bevise det er det nok at fastslå, at hvert af punkterne X og X" er i samme afstand fra O og P (som for punkt A og B følger deres analoge egenskab umiddelbart af konstruktionen). Det er faktisk nok at henvise til det faktum, at punktet modsat punktet Q er adskilt fra punkterne X og X "med en afstand svarende til radius af cirklen C (se side 173). Det er værd at bemærke, at cirkel, der går gennem punkterne X, X" og O, er den omvendte linje AB i inversion i forhold til cirklen C, da denne cirkel og linje AB skærer med C i de samme punkter. (Under inversion forbliver grundcirklens punkter ubevægelige.) Den angivne konstruktion er kun upraktisk, hvis linjen AB går gennem centrum C. Men så kan skæringspunkterne findes ved hjælp af konstruktionen beskrevet på side 178 som midtpunkterne af buerne C opnået, når vi tegner en vilkårlig cirkel med centrum B, der skærer C i punkterne B 1 og B 2.

Metoden til at tegne en cirkel, det omvendte af en ret linje "der forbinder to givne punkter, giver umiddelbart en konstruktion, der løser opgave 4. Lad linjerne være givet ved punkterne A, B og A", B "(Fig. 50) Tegn en vilkårlig cirkel C og ved hjælp af ovenstående metode vil vi konstruere cirkler modsat rette linjer AB og A "B". Disse cirkler skærer hinanden i punkt O og i endnu et punkt Y, punkt X, modsat punkt Y, er det ønskede skæringspunkt : hvordan man konstruerer det er allerede blevet forklaret ovenfor. det ønskede punkt, dette er klart af det faktum, at Y er det eneste punkt modsat et punkt, der samtidig hører til både linje AB og A "B", derfor punktet X, modsat til Y, skal ligge samtidigt på AB og A "B" ...

Disse to konstruktioner afslutter beviset på ækvivalensen mellem Mascheronis konstruktioner, hvor det kun er tilladt at bruge kompasser, og almindelige geometriske konstruktioner med kompasser og rette kanter.

Vi var ligeglade med den yndefulde løsning af individuelle problemer, som vi overvejede her, da vores mål var at finde ud af den indre betydning af Mascheronis konstruktioner. Men som eksempel vil vi også angive konstruktionen af ​​en regulær femkant; mere præcist taler vi om at finde omkring fem punkter på en cirkel, der kan tjene som hjørnerne af en regulær indskrevet femkant.

Lad A være et vilkårligt punkt på cirklen K. Da siden af ​​en regulær indskrevet sekskant er lig med cirklens radius, vil det ikke være svært at udskyde punkterne B, C, D på K, således at AB = BC = CD = 60° (fig. 51). Tegn buer med centre A og D med en radius lig med AC; lad dem skære i punktet X. Så, hvis O er centrum af K, vil buen med centrum A og radius OX skære K i punktet F, som er midten af ​​buen BC (se side 178). Derefter, med en radius lig med radius K, beskriver vi buer med centrum F, der skærer med K i punkterne G og H. Lad Y være et punkt, hvis afstande fra punkterne G og H er lig med OX, og som er adskilt fra X med center O. I dette tilfælde er segmentet AY som gange siden af ​​den påkrævede femkant. Beviset præsenteres for læseren som en øvelse. Det er interessant at bemærke, at der kun bruges tre forskellige radier under konstruktionen.

I 1928 fandt den danske matematiker Elmslev i en boghandel i København et eksemplar af en bog kaldet Euklides Danicus udgivet i 1672 af en ukendt forfatter G. Morom. Fra titelbladet var det muligt at konkludere, at dette blot var en af ​​versionerne af de euklidiske "Elementer", måske udstyret med en redaktionel kommentar. Men ved nærmere undersøgelse viste det sig, at den indeholder en komplet løsning på Mascheroni-problemet, fundet længe før Mascheroni.

Øvelser. I det følgende gives en beskrivelse af Mohrs konstruktioner. Tjek om de er rigtige. Hvorfor kan det hævdes, at de løser Mascheroni-problemet?

Med inspiration fra Mascheronis resultater, Jacob Steiner (1796-1863) gjort et forsøg på at studere konstruktioner, der kan udføres med kun én lineal. Selvfølgelig fører linealen dig ikke ud over grænserne for et givet numerisk felt, og derfor er det utilstrækkeligt at udføre alle geometriske konstruktioner i deres klassiske forstand. Men så meget desto mere bemærkelsesværdig er de resultater, Steiner opnåede med den af ​​ham indførte begrænsning - kun at bruge kompasset én gang. Han beviste, at alle konstruktioner på flyet, som kan udføres ved hjælp af et kompas og en lineal, også kan udføres ved hjælp af en lineal, forudsat at der er en enkelt fast cirkel med et centrum. Disse konstruktioner indebærer brug af projektive metoder og vil blive beskrevet senere (se s. 228).

* Du kan ikke undvære en cirkel, og desuden med et center. For eksempel, hvis en cirkel er givet, men dens centrum ikke er angivet, så er det umuligt at finde centrum ved hjælp af en lineal. Vi vil nu bevise dette, dog med henvisning til en kendsgerning, der vil blive fastslået senere (se s. 252): der sker en sådan transformation af planet til sig selv, at a) den givne cirkel forbliver ubevægelig, b) hver ret linje går ind i en ret linie, med ) centrum af den faste cirkel forbliver ikke stationær, men forskydes. Selve eksistensen af ​​en sådan transformation vidner om umuligheden af ​​at konstruere midten af ​​en given cirkel ved hjælp af en lineal. Faktisk, uanset byggeproceduren, koger det ned til et antal separate stadier, der består i at tegne lige linjer og finde deres skæringspunkter med hinanden eller med en given cirkel. Lad os nu forestille os, at hele figuren som helhed er en cirkel, og alle linjer tegnet langs en lineal ved konstruktion af midten er udsat for en transformation, hvis eksistens vi her har antaget. Så er det klart, at tallet opnået efter transformationen også ville tilfredsstille alle konstruktionskrav; men konstruktionen angivet af denne figur ville føre til et andet punkt end midten af ​​den givne cirkel. Det betyder, at den pågældende konstruktion er umulig.

Collegiate YouTube

1 / 5

✪ 7. klasse, lektion 22, konstruktioner med et kompas og en lineal

✪ Geometry 7 Circle Tegn med kompas og lineal

✪ Tegn en trekant på to sider og en vinkel mellem dem

✪ Geometri 7 Eksempler på konstruktionsproblemer

✪ Karakter 7, Lektion 23, Eksempler på byggeopgaver

Undertekster

Eksempler på

Bisektionsproblem... Brug et kompas og en lineal til at opdele dette segment AB i to lige store dele. En af løsningerne er vist på figuren:

• Tegn cirkler med et kompas med midten i punkterne EN og B radius AB.
• At finde skæringspunkterne P og Q to konstruerede cirkler (buer).
• Tegn et stykke eller en linje langs linealen gennem punkterne P og Q.
• Find det ønskede midtpunkt af segmentet AB- skæringspunkt AB og PQ.

Formel definition

I konstruktionsproblemer betragtes et sæt af følgende objekter: alle punkter i planet, alle lige linjer i planet og alle cirkler i planet. I betingelserne for problemet er et sæt objekter indledningsvis specificeret (anses for at være konstrueret). Det er tilladt at tilføje (bygge) til sættet af konstruerede objekter:

1. vilkårligt punkt;
2. et vilkårligt punkt på en given ret linje;
3. et vilkårligt punkt på en given cirkel;
4. skæringspunktet mellem to givne linjer;
5. skæringspunkter / tangens af en given ret linje og en given cirkel;
6. skæringspunkter / tangens af to specificerede cirkler;
7. en vilkårlig lige linje, der går gennem et givet punkt;
8. en ret linje, der går gennem to givne punkter;
9. en vilkårlig cirkel centreret i et givet punkt;
10. en vilkårlig cirkel med en radius lig med afstanden mellem to specificerede punkter;
11. en cirkel centreret i det angivne punkt og med en radius svarende til afstanden mellem de to angivne punkter.

Det er nødvendigt at bruge et begrænset antal af disse operationer for at konstruere et andet sæt af objekter, der er i et givet forhold til det oprindelige sæt.

Løsningen på konstruktionsproblemet indeholder tre væsentlige dele:

1. Beskrivelse af metoden til at konstruere et givent sæt.
2. Bevis for, at sættet konstrueret på den beskrevne måde faktisk står i et givet forhold til det originale sæt. Normalt udføres beviset for konstruktionen som et sædvanligt bevis for sætningen, baseret på aksiomer og andre beviste sætninger.
3. Analyse af den beskrevne konstruktionsmetode for dens anvendelighed til forskellige varianter af begyndelsesbetingelser samt for det unikke eller ikke-unik af løsningen opnået ved den beskrevne metode.

Kendte opgaver

Et andet velkendt og uløseligt problem ved hjælp af et kompas og en lineal er konstruktionen af ​​en trekant ud fra tre givne længder af halveringslinjen. Denne opgave forbliver uløselig selv med et værktøj, der udfører hjørnetrisektion, såsom en tomahawk.

Tilladte linjestykker til konstruktion ved hjælp af et kompas og en lineal

Ved hjælp af disse værktøjer er det muligt at oprette et linjestykke, der er i længden:

For at konstruere et segment med en længde numerisk lig med produktet, kvotienten og kvadratroden af ​​længderne af de specificerede segmenter, er det nødvendigt at angive et enhedssegment på konstruktionsplanet (det vil sige et segment med længde 1). Det er umuligt at udtrække rødder fra segmenter med andre naturlige grader, der ikke er en potens af 2, ved hjælp af et kompas og en lineal. Så det er for eksempel umuligt at konstruere et længdesegment ved hjælp af et kompas og en lineal ud fra et enhedssegment. Dette faktum indebærer især, at problemet med at fordoble en terning er uafgørligt.

Mulige og umulige konstruktioner

Fra et formelt synspunkt er løsningen af ​​ethvert konstruktionsproblem reduceret til den grafiske løsning af en algebraisk ligning, og koefficienterne for denne ligning er relateret til længderne af de givne segmenter. Derfor kan vi sige, at konstruktionsproblemet er reduceret til at finde de rigtige rødder til en eller anden algebraisk ligning.

Derfor er det praktisk at tale om at bygge et tal - en grafisk løsning på en ligning af en bestemt type.

Baseret på de mulige konstruktioner af segmenter er følgende konstruktioner mulige:

• Konstruktion af løsninger til lineære ligninger.
• Konstruktion af løsninger af ligninger, der reducerer til løsninger af andengradsligninger.

Det er med andre ord muligt kun at konstruere segmenter svarende til aritmetiske udtryk ved at bruge kvadratroden af ​​de oprindelige tal (givne segmentlængder).

Det er vigtigt at bemærke, at det er væsentligt, at løsningen skal udtrykkes vha firkant rødder, ikke radikaler af vilkårlig grad. Selvom en algebraisk ligning har en løsning i radikaler, så indebærer dette ikke muligheden for at konstruere et segment svarende til dets løsning med et kompas og en lineal. Den enkleste ligning er: x 3 - 2 = 0, (\ displaystil x ^ (3) -2 = 0,) relateret til det berømte problem med at fordoble en terning, som reducerer til denne kubiske ligning. Som nævnt ovenfor er løsningen til denne ligning ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) kan ikke konstrueres med et kompas og en lineal.

Evnen til at konstruere en regulær 17-gon følger af udtrykket for cosinus for den centrale vinkel på dens side:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ venstre ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ højre)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17))) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17))))))),) hvilket igen følger af muligheden for at reducere en ligning af formen x F n - 1 = 0, (\ displaystil x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) hvor F n (\ displaystil F_ (n))- enhver Fermat-primtal, ved at ændre variablen til en andengradsligning.

Variationer og generaliseringer

• Konstruktioner med ét kompas. Ifølge Mohr - Mascheroni-sætningen kan du ved hjælp af et kompas konstruere enhver figur, der kan konstrueres med et kompas og en lineal. I dette tilfælde betragtes en ret linje som konstrueret, hvis der er angivet to punkter på den.
• Tegn med en lineal. Det er indlysende, at kun projektivt invariante konstruktioner kan udføres ved hjælp af en lineal. I særdeleshed,
  • det er umuligt selv at opdele et segment i to lige store dele,
  • det er også umuligt at finde midten af ​​en given cirkel.

Men,

• hvis der er en tidligere tegnet cirkel på planet med et markeret centrum med en lineal, kan du udføre de samme konstruktioner som med et kompas og en lineal (

Materialet i dette afsnit kan bruges i fritidsaktiviteter. Det kan præsenteres for studerende, både i form af en forelæsning og i form af studenterrapporter.

I mange århundreder har der været megen opmærksomhed på problemer, der længe har været kendt som "antikkens berømte problemer". Tre berømte problemer optrådte normalt under dette navn:

1) Kvadring af cirklen,

2) tredeling af hjørnet,

3) fordobling af terningen.

Alle disse opgaver opstod i oldtiden fra menneskers praktiske behov. I den første fase af deres eksistens fungerede de som beregningsproblemer: ifølge nogle "opskrifter" blev de omtrentlige værdier af de nødvendige mængder (cirkelareal, omkreds osv.) beregnet. På det andet trin i disse problemers historie sker der væsentlige ændringer i deres karakter: de bliver til geometriske (konstruktive) problemer.

I det antikke Grækenland fik de i denne periode de klassiske formuleringer:

1) byg et kvadrat svarende til den givne cirkel;

2) opdel den givne vinkel i tre lige store dele;

3) byg en kant af en ny terning, hvis volumen ville være det dobbelte af den givne terning.

Alle disse geometriske konstruktioner blev foreslået udført ved hjælp af et kompas og en lineal.

Enkelheden i formuleringen af ​​disse opgaver og de "uoverstigelige vanskeligheder", man stødte på på vejen til deres løsning, bidrog til væksten i deres popularitet. I et forsøg på at give strenge løsninger på disse problemer opnåede oldgræske videnskabsmænd "undervejs" mange vigtige resultater for matematik, som bidrog til transformationen af ​​spredt matematisk viden til en uafhængig deduktiv videnskab (pythagoræerne, Hippokrates fra Chios og Arkimedes forlod et særligt mærkbart spor på det tidspunkt).

Problemet med at fordoble en terning.

Problemet med at fordoble en terning er som følger: at kende kanten af ​​en given terning, konstruer en kant af en sådan terning, hvis volumen ville være dobbelt så stor som volumen af ​​denne terning.

Lad a være længden af ​​kanten af ​​den givne terning, x - længden af ​​kanten af ​​den nødvendige terning. Lad er rumfanget af den givne terning, og er rumfanget af den ønskede terning, så har vi ifølge formlen til beregning af terningens rumfang det: =, og da vi i henhold til problemets tilstand komme til ligningen.

Det er kendt fra algebra, at de rationelle rødder af en reduceret ligning med heltalskoefficienter kun kan være heltal og være indeholdt blandt divisorerne af ligningens frie led. Men divisorerne for tallet 2 er kun tallene +1, - 1, +2, - 2, og ingen af ​​dem opfylder den oprindelige ligning. Følgelig har ligningen ingen rationelle rødder, hvilket betyder, at problemet med at fordoble en terning ikke kan løses ved hjælp af et kompas og en lineal.

Problemet med at fordoble en terning ved hjælp af et kompas og en lineal kan kun løses tilnærmelsesvis. Her er en af ​​de enkleste måder at løse dette problem på.

Lad AB = BC = a, og ABBC. Vi bygger AD = AC, derefter CD med en nøjagtighed på 1%. Faktisk, CD 1.2586…. På samme tid = 1,2599….

Problemet med at kvadrere cirklen.

Begrundelse for problemets uløselighed ved hjælp af et kompas og en lineal.

Problemet med at kvadrere en cirkel er som følger: Byg en firkant, der er lige stor som en cirkel.

Lad være radius af den givne cirkel, være sidelængden af ​​det nødvendige kvadrat. Så ud herfra.

Følgelig vil problemet med at kvadrere cirklen blive løst, hvis vi konstruerer et længdesegment. Hvis radius af en given cirkel tages som et enhedssegment (= 1), så vil sagen blive reduceret til at konstruere et længdesegment langs et enhedssegment.

Som du ved, ved at kende enhedssegmentet, kan vi med et kompas og en lineal kun konstruere de segmenter, hvis længde er udtrykt i form af rationelle tal ved hjælp af et endeligt sæt af rationelle operationer og ekstraktion af kvadratrødder og derfor er algebraiske tal. I dette tilfælde vil ikke alle algebraiske tal blive brugt. Du kan fx ikke tegne en streg med en længde osv.

I 1882 beviste Lindemann, at det er transcendentalt. Derfor følger det, at det er umuligt at konstruere et længdesegment med et kompas og en lineal, og derfor er problemet med at kvadrere en cirkel uløseligt på denne måde.

Tilnærmet løsning af problemet ved hjælp af et kompas og en lineal.

Lad os overveje en af ​​metoderne til omtrentlig konstruktion af linjesegmenter. Denne teknik er som følger. Del en fjerdedel af en cirkel AB med et centrum i punktet O og en radius svarende til en i halvdelen med punktet C. På fortsættelsen af ​​diameteren CD afsættes segmentet DE lig med radius. Fra punkt E tegner vi strålerne EA og EB, indtil de skærer tangenten i punktet C. Afskæringssegmentet AB er omtrent lig med længden af ​​buen AB, og det fordoblede segment er lig med halvcirklen.

Den relative fejl af denne tilnærmelse overstiger ikke 0,227%.

Trisektionsproblem med vinkel.

Begrundelse for problemets uløselighed ved hjælp af et kompas og en lineal.

Problemet med tredeling af en vinkel er som følger: opdel den givne vinkel i tre lige store dele.

Vi begrænser os til at løse problemet for vinkler, der ikke overstiger 90. Hvis er en stump vinkel, så = 180-, hvor<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Bemærk, at (i nærvær af et enhedssegment) problemet med at konstruere vinklen (90) svarer til problemet med at konstruere segmentet x = cos. Faktisk, hvis vinklen er konstrueret, så reduceres konstruktionen af ​​segmentet x = cos til konstruktionen af ​​en retvinklet trekant fra hypotenusen og den spidse vinkel.

Tilbage. Hvis et segment x er konstrueret, så reduceres konstruktionen af ​​en vinkel, således at x = cos, til konstruktionen af ​​en retvinklet trekant langs hypotenusen og benet.

Lad - den givne vinkel, - den nødvendige vinkel, så =. Så er cos = cos 3. Det er kendt, at cos 3 = 4cos-3cos. Ved at sætte cos = og cos = kommer vi derfor frem til ligningen:

cos = 4cos-3cos,

Segmentet, og dermed vinklen, kan kun konstrueres, hvis denne ligning har mindst én rationel rod. Men dette er ikke tilfældet for alle, og derfor kan problemet med tredeling af en vinkel generelt ikke løses ved hjælp af et kompas og en lige kant. For eksempel. Ved = 60 får vi = 1 og den opnåede ligning har formen:. Det er let at verificere, at denne ligning ikke har nogen rationel rod, hvilket indebærer, at det er umuligt at opdele en vinkel på 60 i tre lige store dele ved hjælp af et kompas og en lineal. Således er problemet med tredeling af en vinkel ikke løses med et kompas og en lineal generelt.

Tilnærmet løsning af problemet ved hjælp af et kompas og en lineal.

Lad os overveje en af ​​metoderne til den omtrentlige løsning af problemet ved hjælp af et kompas og en lineal, foreslået af Albert Durer (1471-1528).

Lad vinklen ASB være givet. Fra toppunktet S med en vilkårlig radius beskriver vi en cirkel og forbinder skæringspunkterne mellem siderne af hjørnet med cirklen med akkorden AB. Vi deler denne akkord i tre lige store dele i punkterne R og R (A R = R R = RB). fra punkt A og B, som fra centre, med radius A R = RB beskriver vi de buer, der skærer cirklen i punkterne T og T. Lad os udføre RSAB. Med radius A S = BS tegner buer, der skærer AB i punkterne U og U. Buer AT, SS og TB er ens med hinanden, da de er trukket sammen af ​​lige store akkorder.

For at finde tresnitspunkterne for vinklen X og X opdeler Dürer segmenterne RU og RU i tre lige store dele med punkterne PV og PV. Tegn derefter med radius AV og BV buer, der skærer cirklen i punkterne X og X. Ved at forbinde disse punkter med S, får vi opdelingen af ​​denne vinkel i tre lige store dele med en god tilnærmelse til de sande værdier.

Kendt siden oldtiden.

I byggeopgaver er følgende operationer mulige:

• Marker vilkårlig punkt på et plan, et punkt på en af ​​de konstruerede linjer eller skæringspunktet mellem to konstruerede linjer.
• Ved hjælp af kompasser tegne en cirkel med et centrum i det konstruerede punkt og en radius svarende til afstanden mellem de to allerede konstruerede punkter.
• Ved hjælp af herskere tegne en ret linje, der går gennem de to konstruerede punkter.

I dette tilfælde betragtes et kompas og en lineal som ideelle værktøjer, især:

1. Et simpelt eksempel

At dele et segment i to

Opgave. Brug et kompas og en lineal til at opdele dette segment AB i to lige store dele. En af løsningerne er vist på figuren:

• Ved hjælp af et kompas konstruerer vi en cirkel centreret i et punkt EN radius AB.
• Byg en cirkel centreret i et punkt B radius AB.
• At finde skæringspunkterne P og Q to byggede cirkler.
• Tegn et segment, der forbinder punkterne med en lineal P og Q.
• Find skæringspunktet AB og PQ. Dette er det ønskede midtpunkt af segmentet AB.

2. Regelmæssige polygoner

Metoder til at konstruere korrekt n-gons for og.

4. Mulige og umulige konstruktioner

Alle konstruktioner er ikke andet end en løsning på en eller anden ligning, og koefficienterne for denne ligning er relateret til længderne af de givne segmenter. Derfor er det praktisk at tale om at bygge et tal - en grafisk løsning på en ligning af en bestemt type.

Inden for rammerne af gastrointestinale krav er følgende konstruktioner mulige:

Med andre ord kan du kun bygge tal svarende til aritmetiske udtryk ved at bruge kvadratroden af ​​de oprindelige tal (segmentlængder). For eksempel,

5. Variationer og generaliseringer

6. Sjove fakta

• GeoGebra, Kig, KSEG - programmer, der giver dig mulighed for at konstruere ved hjælp af et kompas og en lineal.

Litteratur

• A. Adler. Teorien om geometriske konstruktioner, Oversat fra tysk af G. M. Fikhtengolts. Tredje udgave. L., Navchpedvid, 1940-232 s.
• I. Alexandrov, Indsamling af geometriske konstruktionsproblemer, Attende udgave, M., Navchpedvid, 1950-176 s.
• B.I. Argunov, MB Balk.

Geometriske byggeopgaver

Brug af kompas og lineal

elev af klasse 8-A

Tilsynsførende: Moskaeva V.N.,

matematiklærer

Nizhny Novgorod

Introduktion

Visualisering, fantasi hører mere til kunst, streng logik er videnskabens privilegium. Tørheden af ​​den nøjagtige konklusion og livligheden af ​​det visuelle billede - "is og ild er ikke så forskellige fra hinanden." Geometri kombinerer disse to modsætninger.

A. D. Alexandrov

Når vi går i skole, glemmer vi ikke at sætte et kompas, en lineal og en vinkelmåler i vores portefølje. Disse værktøjer hjælper dig med at tegne og tegne smukt korrekt. Disse værktøjer bruges af ingeniører, arkitekter, arbejdere, tøj- og fodtøjsdesignere, bygherrer og landskabsdesignere. Selvom der er computere, men på byggepladsen, i haven bruger man dem ikke endnu.

Maskinen trækker øjeblikkeligt inden for få sekunder. En matematiker skal bruge ret meget tid på at forklare hende på et sprog, der er forståeligt for en maskine, hvad hun skal gøre - skrive et program og indtaste det i en maskine, derfor foretrækker designere ofte at arbejde med de enkleste og ældste værktøjer - kompasser og en lineal.

Hvad kunne være nemmere? Et glat bræt med en lige kant - en lineal, to spidse pinde bundet i den ene ende - et kompas. Brug en lineal til at tegne en lige linje gennem to givne punkter. Ved hjælp af et kompas tegnes cirkler med et givet centrum og en given radius, udskyd et segment svarende til dette.

Kompasset og linealen har været kendt i mere end 3 tusind år, de var allerede kendt, for 200-300 år siden blev de dekoreret med ornamenter og mønstre. Men på trods af dette tjener de os stadig regelmæssigt. De enkleste værktøjer er nok til et stort antal konstruktioner. De gamle grækere mente, at det var muligt at udføre en hvilken som helst rimelig konstruktion med disse værktøjer, indtil de opdagede tre væsentlige opgaver fra antikken: "kvadre en cirkel", "trisektion af en vinkel", "fordoble en terning".

Derfor anser jeg emnet for mit arbejde for at være nutidigt og vigtigt for menneskelig aktivitet på mange områder af menneskelig aktivitet.

Alle ved udmærket, at matematik bruges i en lang række forskellige erhverv og livssituationer. Matematik er ikke et let fag. Og de fleste af eleverne kalder geometri "svær". Konstruktionsproblemer er forskellige fra traditionelle geometriproblemer.

Løsning af konstruktionsproblemer udvikler geometrisk tænkning meget mere fuldstændigt og skarpt end at løse beregningsmæssige problemer, og kan generere en passion for arbejde, hvilket fører til øget nysgerrighed og et ønske om at udvide og uddybe studiet af geometri.

På trods af den rige historiske fortid er problemet med at løse byggeproblemer stadig relevant i det 21. århundrede. I vores tid udvikler computerteknologier sig hurtigt med brug af grafiske editorer til at tegne geometriske objekter. Midlerne til at skabe geometriske objekter har ændret sig på grund af fremkomsten af ​​nye computerteknologier. Men som i oldtiden er hovedelementerne i konstruktionen af ​​geometriske objekter en cirkel og en lige linje, med andre ord et kompas og en lineal. Med fremkomsten af ​​nye computerteknologier opstod der nye konstruktionsproblemer ved at bruge de samme objekter - en linje og en cirkel. Derfor bliver problemet med at løse byggeproblemer endnu mere presserende.

Geometriprogrammet involverer kun undersøgelse af de enkleste teknikker og konstruktionsmetoder. Men brugen af ​​disse teknikker er ofte vanskelig. Derfor er genstanden for min forskning geometriske figurer konstrueret ved hjælp af et kompas og en lineal.

Formålet med mit arbejde: overveje forskellige måder at konstruere geometriske former på ved hjælp af et kompas og en lineal.

Forskningsmetoder:

ü Analyse af allerede eksisterende byggemetoder

ü Søg efter nye metoder, nemme at bruge (GMT og Steiner konstruktion)

Opgaver:

ü få en bedre forståelse af de forskellige måder at bygge på

ü følge udviklingen af ​​dette stykke geometri i matematikkens historie

ü fortsætte med at udvikle forskningskompetencer.

Fra historien om geometrisk konstruktion med kompas og lineal.

Den traditionelle begrænsning af værktøjerne til geometriske konstruktioner går tilbage til oldtiden. I sin bog "Begyndelser" overholder Euklid (III århundrede f.Kr.) strengt de geometriske konstruktioner udført af kompasser og en lineal, selvom han ikke nævner navnene på instrumenterne nogen steder. Begrænsningerne synes at have været relateret til, at disse redskaber erstattede rebet, som oprindeligt tjente både til at tegne streger og til at beskrive cirkler. Men mange historikere-matematikere forklarer Euklids udvælgelse af materiale med, at han efter Platon og pythagoræerne anså kun den rette linje og cirklen for at være "perfekte" linjer.

Kunsten at konstruere geometriske former var højt udviklet i det antikke Grækenland. Gamle græske matematikere for 3000 år siden udførte deres konstruktioner ved hjælp af to enheder: et glat bord med en jævn kant - en lineal og to spidse pinde bundet i den ene ende - et kompas. Disse enkle værktøjer var imidlertid tilstrækkelige til at udføre et stort udvalg af forskellige konstruktioner. Det forekom endda for de gamle grækere, at enhver intelligent konstruktion kunne udføres med disse værktøjer, indtil de stod over for tre senere berømte opgaver.

De har længe forvandlet enhver retlinet figur ved hjælp af et kompas og en lineal til en vilkårlig retlinet figur svarende til den. Især blev enhver retlinet figur omdannet til en firkant af samme størrelse. Derfor er det klart, at ideen så ud til at generalisere dette problem: at konstruere en sådan firkant ved hjælp af et kompas og en lineal, hvis areal ville være lig med arealet af den givne cirkel. Dette problem kaldes at kvadrere cirklen. Spor af denne opgave kan ses så langt tilbage som de antikke græske og babylonske monumenter fra det andet årtusinde f.Kr. Imidlertid findes dens direkte omgivelser i græske værker fra det 5. århundrede f.Kr.

Yderligere to problemer fra antikken har tiltrukket sig opmærksomhed fra fremtrædende videnskabsmænd i mange århundreder. Dette er problemet med at fordoble en terning. Det består i at konstruere en terning med et kompas og en lineal, der har en volumen dobbelt så stor som volumen af ​​denne terning. Dets udseende er forbundet med legenden om, at på øen Delos i Det Ægæiske Hav beordrede oraklet, for at redde indbyggerne fra pestepidemien, at fordoble alteret i form af en terning. Og det tredje problem med tredeling af en vinkel handler om at dele en vinkel i tre lige store dele ved hjælp af et kompas og en lineal.

Disse tre problemer, antikkens såkaldte 3 berømte klassiske problemer, har tiltrukket sig opmærksomhed fra fremtrædende matematikere i to årtusinder. Og først i midten af ​​det 19. århundrede blev deres ubeslutsomhed bevist, det vil sige umuligheden af ​​disse konstruktioner kun ved at bruge et kompas og en lineal. I matematik var disse de første resultater om problemers uløselighed, når løsningsmidlerne blev angivet. De blev opnået ved hjælp af ikke geometri, men algebra (ved at oversætte disse problemer til ligningssproget), hvilket endnu en gang understregede matematikkens enhed. Uden at bukke under for løsningen, har disse problemer beriget matematik med betydelige resultater, ført til skabelsen af ​​nye retninger for matematisk tanke.

En anden interessant opgave til at konstruere ved hjælp af et kompas og en lineal er opgaven med at konstruere en regulær polygon med et givet antal sider. De gamle grækere vidste, hvordan man byggede en regulær trekant, firkant, regulær femkant og 15-gon, såvel som alle de polygoner, der opnås fra dem ved at fordoble siderne, og kun dem. Først i 1796 opdagede den store tyske matematiker CF Gauss en måde at konstruere en regulær 17-gon ved hjælp af et kompas og en lineal og angav alle de værdier af N, hvor det er muligt at konstruere en regulær N-gon med de angivne midler . Carl Gauss, en førsteårsstuderende ved universitetet i Göttingen, løste et problem, som matematikken havde fejlet i mere end 2.000 år. Dermed blev umuligheden af ​​ved hjælp af et kompas og en lineal at konstruere de rigtige 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 osv. bevist. firkanter.

Teorien om konstruktion ved hjælp af et kompas og en lineal blev videreudviklet. Et svar blev modtaget på spørgsmålet: er det muligt at løse problemet ved kun at bruge et af de to betragtede værktøjer, og det er ret uventet. Uafhængigt af hinanden beviste danskeren G. More i 1672 og italieneren L. Maskeroni i 1797, at ethvert konstruktionsproblem løst med et kompas og en lineal kan løses nøjagtigt med kun ét kompas. Det lyder utroligt, men det er det. Og i det 19. århundrede blev det bevist, at enhver konstruktion udført med et kompas og en lineal kan udføres med kun en lineal, forudsat at en bestemt cirkel er angivet i konstruktionsplanet og dens centrum er angivet.

3. De enkleste opgaver til at konstruere geometriske figurer ved hjælp af et kompas og en lineal

Overvej de grundlæggende (elementære) konstruktioner, der oftest møder i praksis med at løse konstruktionsproblemer. Problemer af denne art behandles allerede i de første kapitler af skoleforløbet.

Byggeri 1. Konstruktion af et linjestykke svarende til det givne.

Givet: segment af længde a.

Byg: segment AB af længden a.

Byg:

Byggeri 2. Konstruerer en vinkel lig med den givne.

Givet:∟AOB.

Byg:∟ KMN lig med ∟ AOB.

Byg:

Byggeri 3. Opdeling af et segment i to (opbygning af midten af ​​et segment).

Givet: segment AB.

Byg: punkt O er midten af ​​AB.

Byg:

Konstruktion 4. Opdeling af vinklen i to (aftegning af vinklens halveringslinje).

Givet:∟ ABC.

Byg:ВD er halveringslinjen af ​​∟АВС.

Byg:

Konstruktion 5. Tegner en vinkelret på en given linje, der går gennem et givet punkt.

en) Givet: linje a, punkt A a.

Byg:

lige a.

Bygning:

b) Givet: lige linje a, punkt A a.

Byg: lige linje, der går gennem punkt A, vinkelret på

lige a.

Byg:

Bygning 6... Konstruerer en ret linje parallel med en given ret linje og går gennem et givet punkt.

Givet: lige linje a, punkt A a.

Byg: lige linje, der går gennem punkt A, parallel med lige linje a.

Metode I (gennem to perpendikulære).

Byg:

Metode II (gennem et parallelogram).

Byg:

Byggeri 7. Opretter en trekant på tre sider.

Givet: segmenter af længden a, b, c.

Byg:Δ ABC.

Byg:

Byggeri 8. Opretter en trekant langs to sider og en vinkel mellem dem.

Givet: segmenter af længde b, c, vinkel α.

Byg: trekant ABC.

Byg:

Byggeri 9. Opretter en trekant langs en side og to tilstødende hjørner.

Givet: segment af længde c, vinkler α og β.

Byg:ΔABC.

Byg:

Byggeri 10. Opretter en tangentlinje til en given cirkel, der går gennem et givet punkt.

Givet: cirkel (O), punkt A uden for den.

Byg: tangenten til cirklen ω (O), der går gennem punkt A.

Byg:

De overvejede opgaver indgår som komponenter i løsningen af ​​mere komplekse problemer, derfor er faserne af hovedkonstruktionerne i fremtiden ikke beskrevet.

Løsning af byggeproblemer består af fire dele:

1. Forudsat at problemet er løst, tegner vi en omtrentlig tegning af den ønskede figur i hånden og undersøger derefter omhyggeligt den tegnede figur og prøver at finde sådanne forhold mellem dataene for problemet og de ønskede, som ville give os mulighed for at reducere problemet til andre kendte tidligere. Denne vigtigste del af løsningen af ​​et problem, som har til formål at udarbejde en løsningsplan, kaldes analyse.

2. Når en løsningsplan findes på denne måde, udfører de i overensstemmelse med den. konstruktion.

3. Bevis - for at kontrollere rigtigheden af ​​planen, på grundlag af velkendte teoremer, beviser de, at den resulterende figur opfylder alle kravene til problemet.

4. Undersøgelse - stilles af to spørgsmål:

1) Er en løsning mulig med nogen data?

2) Hvor mange løsninger er der?

Lad os overveje anvendelsen af ​​disse stadier ved eksemplet med at løse følgende problem.

Opgave: Konstruer en trekant ved at kende dens base b, vinklen A, der støder op til basen, og summen s af de to laterale sider.

Analyse: Antag at problemet er løst, dvs. fundet sådanne ΔABS, for hvilke basen AC = b, ∟BAC = A og AB + BC = s... Overvej nu den resulterende tegning. Side SOM, lige b, ∟BAC = A, vi ved, hvordan man bygger. Så det er tilbage at finde på den anden side ∟A sådan et punkt V således at summen AB + BC lig med s... Fortsætter AB, læg segmentet til side AD svarende til s... Nu er spørgsmålet bragt til det punkt, at på den lige linje AD finde sådan et punkt V som ville være lige så fjernt fra MED og D... Et sådant punkt bør, som vi ved, ligge på vinkelret tegnet på segmentet CD gennem dens midte. Punkt V findes i skæringspunktet mellem denne vinkelret med AD.

Byg:

1. Vi bygger ∟A lig med den givne vinkel

2. På dens sider sætter vi af AC = b og AD = s

3. Gennem midten af ​​et linjestykke CD tegne en vinkelret VÆRE

4. VÆRE krydser over AD på punktet V

5. Forbind prikkerne V og MED

6. ΔABS er den ønskede.

Bevis:

Lad os betragte den opnåede ΔABC, i den er ∟A lig med den givne vinkel (i henhold til punkt # 1 i konstruktionen). Side AC = b(punkt # 2) og fester AB og Sol lægge op til s (punkt 2, 3, 4). Derfor, ifølge det 1. kriterium for trekanters lighed, er ΔABS den ønskede.

Undersøgelse:

1.Med alle data er en løsning mulig?

Konstruktionen taget i betragtning bemærker vi, at opgaven ikke er mulig med nogen data. Faktisk, hvis summen s er sat for lille i forhold til b, så er vinkelret VÆRE må ikke krydse segmentet AD(eller skærer dens fortsættelse ud over punkt D), i dette tilfælde vil opgaven være umulig.

Og uanset konstruktionen kan det ses, at opgaven er umulig, hvis s< b eller s = b, fordi der ikke kan være en sådan trekant, hvor summen af ​​de to sider ville være mindre end eller lig med den tredje side.

2. Hvor mange løsninger er der?

I det tilfælde, hvor problemet er muligt, har det kun én løsning, dvs. der er kun én trekant, der opfylder kravene til problemet, da skæringen af ​​vinkelret VÆRE med en lige linje AD kan kun være på et tidspunkt.