Artiklen analyserer begrebet division af heltal med en rest. Vi vil bevise sætningen om deleligheden af ​​heltal med en rest og se på forbindelserne mellem delelige og divisorer, ufuldstændige kvotienter og rester. Overvej reglerne, når opdeling af heltal med rester udføres, efter at have undersøgt i detaljer med eksempler. I slutningen af ​​løsningen udfører vi et tjek.

Generel forståelse af division af heltal med rester

Division af heltal med en rest betragtes som en generaliseret division med en rest af naturlige tal. Dette gøres, fordi naturlige tal er en bestanddel af heltal.

Division med en rest af et vilkårligt tal siger, at hele tallet a er deleligt med tallet b , som er forskelligt fra nul. Hvis b = 0, udføres der ingen division med rest.

Ud over divisionen af ​​naturlige tal med en rest udføres divisionen af ​​heltal a og b, med b forskellig fra nul, med c og d. I dette tilfælde kaldes a og b dividende og divisor, og d er resten af ​​divisionen, c er et heltal eller en partiel kvotient.

Hvis vi antager, at resten er et ikke-negativt heltal, så er dets værdi ikke større end modulet af tallet b. Lad os skrive det på denne måde: 0 ≤ d ≤ b . Denne kæde af uligheder bruges, når man sammenligner 3 eller flere tal.

Hvis c er en ufuldstændig kvotient, så er d resten af ​​at dividere et helt tal a med b, du kan kort fikse: a: b \u003d c (rest d).

Resten når man dividerer tallene a med b er muligt nul, så siger man at a er divideret med b helt, altså uden en rest. Deling uden rest betragtes som et særligt tilfælde af spaltning.

Hvis vi dividerer nul med et tal, får vi nul som resultat. Resten af ​​divisionen vil også være nul. Dette kan ses ud fra teorien om division af nul med et heltal.

Overvej nu betydningen af ​​division af heltal med en rest.

Det er kendt, at positive heltal er naturlige, så når man dividerer med en rest, vil den samme betydning opnås, som når man dividerer naturlige tal med en rest.

At dividere et negativt heltal a med et positivt heltal b giver mening. Lad os se på et eksempel. Forestil dig en situation, hvor vi har en gæld af genstande i beløbet a, som skal tilbagebetales af b mennesker. For at gøre dette skal alle bidrage lige meget. For at bestemme størrelsen af ​​gælden for hver, er det nødvendigt at være opmærksom på værdien af ​​private c. Resten d angiver, at antallet af poster efter betaling af gæld er kendt.

Lad os tage et eksempel med æbler. Hvis 2 personer skal bruge 7 æbler. Hvis vi regner med, at alle skal returnere 4 æbler, vil de efter den fulde beregning have 1 æble tilbage. Lad os skrive dette som en lighed: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

At dividere et hvilket som helst tal a med et heltal giver ikke mening, men det er muligt som en mulighed.

Delelighedssætning for heltal med rest

Vi fandt ud af, at a er dividenden, så er b divisoren, c er partialkvotienten, og d er resten. De hænger sammen. Vi vil vise denne sammenhæng ved at bruge ligheden a = b · c + d . Forholdet mellem dem er karakteriseret ved delelighedssætningen med rest.

Sætning

Ethvert heltal kan kun repræsenteres som et heltal og et ikke-nul tal b på denne måde: a = b · q + r , hvor q og r er nogle heltal. Her har vi 0 ≤ r ≤ b .

Lad os bevise muligheden for eksistensen af ​​a = b · q + r.

Bevis

Hvis der er to tal a og b, og a er delelig med b uden en rest, så følger det af definitionen, at der er et tal q, at ligheden a = b · q vil være sand. Så kan ligheden betragtes som sand: a = b q + r for r = 0.

Så er det nødvendigt at tage q sådan, at givet ved uligheden b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Vi har, at værdien af ​​udtrykket a − b · q er større end nul og ikke større end værdien af ​​tallet b, derfor følger det, at r = a − b · q . Vi får, at tallet a kan repræsenteres som a = b · q + r.

Nu skal vi overveje muligheden for at repræsentere a = b · q + r for negative værdier af b .

Modulet for tallet viser sig at være positivt, så får vi a = b q 1 + r, hvor værdien q 1 er et helt tal, r er et heltal, der passer til betingelsen 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Bevis på unikhed

Antag at a = b q + r , q og r er heltal med betingelsen 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Og r1 er nogle tal hvor q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Når uligheden trækkes fra venstre og højre side, så får vi 0 = b · (q − q 1) + r − r 1, hvilket svarer til r - r 1 = b · q 1 - q . Da modulet bruges, får vi ligheden r - r 1 = b · q 1 - q.

Den givne betingelse siger, at 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Og q 1- hele, og q ≠ q 1, derefter q 1 - q ≥ 1 . Derfor har vi, at b · q 1 - q ≥ b . De resulterende uligheder r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Det følger heraf, at tallet a ikke kan repræsenteres på nogen anden måde, undtagen ved en sådan notation a = b · q + r.

Sammenhæng mellem udbytte, divisor, delkvotient og rest

Ved at bruge ligheden a \u003d b c + d, kan du finde det ukendte udbytte a, når divisor b er kendt med en ufuldstændig kvotient c og resten d.

Eksempel 1

Bestem udbyttet, hvis vi ved opdeling får - 21, en ufuldstændig kvotient 5 og en rest 12.

Opløsning

Det er nødvendigt at beregne udbyttet a med en kendt divisor b = − 21, en ufuldstændig kvotient c = 5, og en rest d = 12. Vi skal referere til ligheden a = b c + d, herfra får vi a = (− 21) 5 + 12. Med forbehold for rækkefølgen af ​​operationer multiplicerer vi - 21 med 5, hvorefter vi får (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93.

Svar: - 93 .

Forholdet mellem divisoren og partialkvotienten og resten kan udtrykkes ved hjælp af lighederne: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b og d = a − b · c . Med deres hjælp kan vi beregne divisor, partialkvotient og rest. Dette bunder i konstant at finde resten af ​​at dividere et heltal a med b med en kendt dividende, divisor og partiel kvotient. Formlen d = a − b · c anvendes. Lad os overveje løsningen i detaljer.

Eksempel 2

Find resten af ​​at dividere et heltal -19 med et heltal 3 med en kendt ufuldstændig kvotient lig med -7.

Opløsning

For at beregne resten af ​​en division anvender vi en formel på formen d = a − b c . Ved betingelse er alle data a = − 19 , b = 3 , c = − 7 tilgængelige. Herfra får vi d \u003d a - bc \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (forskel - 19 - (- 21)... Dette eksempel er beregnet ved subtraktionsreglen hele negative tal.

Svar: 2 .

Alle positive heltal er naturlige. Det følger heraf, at divisionen udføres efter alle divisionsreglerne med en rest af naturlige tal. Delingshastigheden med en rest af naturlige tal er vigtig, da ikke kun delingen af ​​positive er baseret på det, men også reglerne for at dividere vilkårlige heltal.

Den mest bekvemme opdelingsmetode er en kolonne, da det er nemmere og hurtigere at få en ufuldstændig eller kun en kvotient med en rest. Lad os overveje løsningen mere detaljeret.

Eksempel 3

Divider 14671 med 54.

Opløsning

Denne opdeling skal udføres i en kolonne:

Det vil sige, at den ufuldstændige kvotient er lig med 271, og resten er 37.

Svar: 14671: 54 = 271. (rest. 37)

Reglen om division med en rest af et positivt heltal med et negativt heltal, eksempler

For at udføre division med en rest af et positivt tal med et negativt heltal, er det nødvendigt at formulere en regel.

Definition 1

Den ufuldstændige kvotient ved at dividere et positivt heltal a med et negativt heltal b giver et tal, der er modsat den ufuldstændige kvotient ved at dividere modulerne af tal a med b. Så er resten resten, når a divideres med b.

Derfor har vi, at den ufuldstændige kvotient ved at dividere et positivt heltal med et negativt heltal betragtes som et ikke-positivt heltal.

Vi får algoritmen:

• divider modulet af udbyttet med modulet af divisor, så får vi en ufuldstændig kvotient og
• resten;
• skriv det modsatte tal ned.

Overvej eksemplet med algoritmen til at dividere et positivt heltal med et negativt heltal.

Eksempel 4

Udfør division med en rest på 17 gange - 5.

Opløsning

Lad os anvende divisionsalgoritmen med resten af ​​et positivt heltal med et negativt heltal. Det er nødvendigt at dividere 17 med - 5 modulo. Herfra får vi, at den ufuldstændige kvotient er 3, og resten er 2.

Vi får det ønskede tal ved at dividere 17 med - 5 \u003d - 3 med en rest lig med 2.

Svar: 17: (− 5) = − 3 (resterende 2).

Eksempel 5

Divider 45 med - 15 .

Opløsning

Det er nødvendigt at dividere tallene modulo. Vi dividerer tallet 45 med 15, vi får kvotienten 3 uden rest. Så tallet 45 er deleligt med 15 uden en rest. I svaret får vi - 3, da divisionen blev udført modulo.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Svar: 45: (− 15) = − 3 .

Formuleringen af ​​divisionsreglen med en rest er som følger.

Definition 2

For at få en ufuldstændig kvotient c, når du dividerer et negativt heltal   a med et positivt b, skal du anvende det modsatte af dette tal og trække 1 fra det, så vil resten d blive beregnet med formlen: d = a − b · c.

Baseret på reglen kan vi konkludere, at når vi dividerer, får vi et ikke-negativt heltal. For nøjagtigheden af ​​løsningen bruges algoritmen til at dividere a med b med en rest:

• find modulerne for udbytte og divisor;
• opdele modulo;
• skriv det modsatte af det givne tal og træk 1 fra;
• brug formlen for resten d = a − b c .

Overvej et eksempel på en løsning, hvor denne algoritme anvendes.

Eksempel 6

Find den ufuldstændige kvotient og resten af ​​divisionen - 17 gange 5.

Opløsning

Vi dividerer de givne tal modulo. Vi får, at når man dividerer, er kvotienten 3, og resten er 2. Da vi fik 3, er det modsatte 3. Det er nødvendigt at trække 1 fra.

− 3 − 1 = − 4 .

Den ønskede værdi er lig med -4.

For at beregne resten skal du bruge a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , så d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Det betyder, at den ufuldstændige divisionskvotient er tallet - 4 med en rest lig med 3.

Svar:(− 17): 5 = − 4 (resterende 3).

Eksempel 7

Divider det negative heltal - 1404 med det positive 26 .

Opløsning

Det er nødvendigt at dividere med en søjle og med modul.

Vi fik opdelingen af ​​moduler af tal uden en rest. Det betyder, at divisionen udføres uden rest, og den ønskede kvotient = - 54.

Svar: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Divisionsregel med en rest af negative heltal, eksempler

Det er nødvendigt at formulere en divisionsregel med en rest af negative heltal.

Definition 3

For at opnå en ufuldstændig kvotient ved at dividere et negativt heltal a med et negativt heltal b, er det nødvendigt at udføre modulo-beregninger, hvorefter der lægges 1 sammen, så kan vi beregne ved hjælp af formlen d = a − b · c.

Det følger af dette, at den ufuldstændige kvotient af divisionen af ​​negative heltal vil være et positivt tal.

Vi formulerer denne regel i form af en algoritme:

• find modulerne for udbytte og divisor;
• divider modulet af udbyttet med modulet af divisor for at opnå en ufuldstændig kvotient med
• resten;
• tilføjelse af 1 til den ufuldstændige kvotient;
• beregning af resten, baseret på formlen d = a − b c .

Lad os overveje denne algoritme med et eksempel.

Eksempel 8

Find den ufuldstændige kvotient og resten ved at dividere -17 med -5.

Opløsning

For rigtigheden af ​​løsningen anvender vi algoritmen for division med en rest. Del først tallene modulo. Herfra får vi, at den ufuldstændige kvotient \u003d 3, og resten er 2. Ifølge reglen er det nødvendigt at tilføje den ufuldstændige kvotient og 1. Vi får at 3 + 1 = 4 . Herfra får vi, at den ufuldstændige kvotient fra at dividere de givne tal er 4.

For at beregne resten, anvender vi formlen. Ved betingelse har vi, at a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, og derefter ved at bruge formlen, får vi d \u003d a - bc \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . Det ønskede svar, det vil sige resten, er 3, og den ufuldstændige kvotient er 4.

Svar:(− 17): (− 5) = 4 (resterende 3).

Kontrol af resultatet af at dividere heltal med en rest

Efter at have udført opdelingen af ​​tal med en rest, er det nødvendigt at udføre en kontrol. Denne kontrol omfatter 2 trin. Først kontrolleres resten d for ikke-negativitet, betingelsen 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Lad os se på eksempler.

Eksempel 9

Produceret division - 521 af - 12. Kvotienten er 44, resten er 7. Kør et tjek.

Opløsning

Da resten er et positivt tal, er dens værdi mindre end divisormodulet. Divisoren er -12, så dens modul er 12. Du kan gå videre til næste kontrolpunkt.

Ved betingelse har vi, at a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Herfra beregner vi b c + d , hvor b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Det følger heraf, at ligestillingen er sand. Check bestået.

Eksempel 10

Tjek division (− 17): 5 = − 3 (resterende − 2). Er ligestilling sand?

Opløsning

Betydningen af ​​den første fase er, at det er nødvendigt at kontrollere opdelingen af ​​heltal med en rest. Dette viser, at handlingen blev udført forkert, da resten er givet, lig med - 2. Resten er ikke et negativt tal.

Vi har, at den anden betingelse er opfyldt, men utilstrækkelig for denne sag.

Svar: ingen.

Eksempel 11

Tallet - 19 divideret med - 3 . Delkvotienten er 7 og resten er 1. Tjek om denne beregning er korrekt.

Opløsning

Givet en rest på 1. Han er positiv. Værdien er mindre end divider-modulet, hvilket betyder, at den første fase udføres. Lad os gå videre til anden fase.

Lad os beregne værdien af ​​udtrykket b · c + d . Ved betingelse har vi, at b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, derfor, ved at erstatte de numeriske værdier, får vi bc + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Det følger heraf, at a = b · c + d lighed ikke er opfyldt, da betingelsen er givet a = - 19 .

Dette indebærer, at opdelingen er foretaget med en fejl.

Svar: ingen.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Tegn på delelighed af tal- det er regler, der tillader, uden at dividere, relativt hurtigt at finde ud af, om dette tal er deleligt med et givet tal uden en rest.
Noget af tegn på delelighed ganske enkelt, nogle mere vanskelige. På denne side finder du både tegn på delelighed af primtal, såsom f.eks. 2, 3, 5, 7, 11, og tegn på delelighed af sammensatte tal, såsom 6 eller 12.
Jeg håber, at disse oplysninger vil være nyttige for dig.
God læring!

Tegn på delelighed med 2

Dette er et af de enkleste tegn på delelighed. Det lyder sådan her: Hvis posten af ​​et naturligt tal ender med et lige ciffer, så er det lige (dividet uden en rest med 2), og hvis posten af ​​et tal slutter med et ulige ciffer, så er dette tal ulige.
Med andre ord, hvis det sidste ciffer i et tal er 2 , 4 , 6 , 8 eller 0 - tallet er deleligt med 2, hvis ikke, så er det ikke deleligt
For eksempel tal: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 er delelige med 2, fordi de er lige.
Et tal: 23 5 , 137 , 2303
er ikke delelige med 2, fordi de er ulige.

Tegn på delelighed med 3

Dette delelighedstegn har helt andre regler: hvis summen af ​​cifrene i et tal er deleligt med 3, så er tallet også deleligt med 3; Hvis summen af ​​cifrene i et tal ikke er deleligt med 3, så er tallet ikke deleligt med 3.
Så for at forstå, om et tal er deleligt med 3, skal du blot lægge de tal sammen, der udgør det.
Det ser sådan ud: 3987 og 141 divideres med 3, fordi i det første tilfælde 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deleligt uden rest med 3), og i den anden 1+4+1= 6 (6:3=2 - også deleligt med 3 uden rest).
Men tallene: 235 og 566 er ikke delelige med 3, fordi 2+3+5= 10 og 5+6+6= 17 (og vi ved, at hverken 10 eller 17 kan divideres med 3 uden en rest).

Delbarhed med 4 tegn

Denne test af delelighed vil være mere kompliceret. Hvis de sidste 2 cifre i tallet danner et tal, der er deleligt med 4, eller det er 00, så er tallet deleligt med 4, ellers er dette tal ikke deleligt med 4 uden en rest.
For eksempel: 1 00 og 3 64 er delelige med 4, fordi i det første tilfælde ender tallet på 00 , og i den anden 64 , som igen er deleligt med 4 uden en rest (64:4=16)
Nummer 3 57 og 8 86 er ikke delelige med 4, fordi ingen af ​​dem 57 ingen af ​​dem 86 er ikke delelige med 4, og svarer derfor ikke til dette delelighedskriterium.

Tegn på delelighed med 5

Og igen har vi et ret simpelt tegn på delelighed: Hvis posten af ​​et naturligt tal ender med cifferet 0 eller 5, så er dette tal deleligt uden en rest med 5. Hvis posten af ​​tallet slutter med et andet ciffer, så er tallet uden en rest ikke deleligt med 5.
Det betyder, at alle tal, der ender med cifre 0 Og 5 , for eksempel 1235 5 og 43 0 , falder ind under reglen og er delelige med 5.
Og for eksempel 1549 3 og 56 4 slutter ikke på 5 eller 0, hvilket betyder, at de ikke kan divideres med 5 uden en rest.

Tegn på delelighed med 6

Foran os er et sammensat tal 6, som er produktet af tallene 2 og 3. Derfor er tegnet for delelighed med 6 også sammensat: For at et tal skal være deleligt med 6, skal det svare til to delelighedstegnet samtidig: tegnet for delelighed med 2 og tegnet for delelighed med 3. Bemærk samtidig, at et sådant sammensat tal som 4 har et individuelt delelighedstegn, fordi det er et produkt af tallet 2 i sig selv . Men tilbage til testen for delelighed med 6.
Tallene 138 og 474 er lige og svarer til delelighedstegnene med 3 (1+3+8=12, 12:3=4 og 4+7+4=15, 15:3=5), hvilket betyder, at de er delelige med 6. Men 123 og 447, selvom de er delelige med 3 (1+2+3=6, 6:3=2 og 4+4+7=15, 15:3=5), men de er ulige, og svarer derfor ikke til delelighedskriteriet med 2, og svarer derfor ikke til delelighedskriteriet med 6.

Tegn på delelighed med 7

Dette delelighedskriterium er mere komplekst: et tal er deleligt med 7, hvis resultatet af at trække det fordoblede sidste ciffer fra antallet af tiere af dette tal er deleligt med 7 eller er lig med 0.
Det lyder ret forvirrende, men i praksis er det enkelt. Se selv: nummer 95 9 er deleligt med 7 fordi 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 er deleligt med 7 uden en rest). Desuden, hvis der er vanskeligheder med antallet opnået under transformationerne (på grund af dets størrelse er det svært at forstå, om det er deleligt med 7 eller ej, så kan denne procedure fortsættes så mange gange, som du finder passende).
For eksempel, 45 5 og 4580 1 har tegn på delelighed med 7. I det første tilfælde er alt ret simpelt: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. I det andet tilfælde vil vi gøre dette: 4580 -2*1=4580-2=4578. Det er svært for os at forstå om 457 8 gange 7, så lad os gentage processen: 457 -2*8=457-16=441. Og igen vil vi bruge delelighedstegnet, da vi stadig har et trecifret tal foran os 44 1. Så, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, dvs. 42 er deleligt med 7 uden en rest, hvilket betyder at 45801 også er deleligt med 7.
Og her er tallene 11 1 og 34 5 er ikke deleligt med 7 fordi 11 -2*1=11-2=9 (9 er ikke ligeligt deleligt med 7) og 34 -2*5=34-10=24 (24 er ikke ligeligt deleligt med 7).

Tegn på delelighed med 8

Tegnet for delelighed med 8 lyder således: Hvis de sidste 3 cifre danner et tal, der er deleligt med 8, eller det er 000, så er det givne tal deleligt med 8.
Nummer 1 000 eller 1 088 er delelige med 8: den første ender på 000 , Sekundet 88 :8=11 (delelig med 8 uden en rest).
Og her er tallene 1 100 eller 4 757 er ikke delelige med 8, fordi tal 100 Og 757 er ikke delelige med 8 uden en rest.

Tegn på delelighed med 9

Dette delelighedstegn svarer til delelighedstegnet med 3: hvis summen af ​​cifrene i et tal er deleligt med 9, så er tallet også deleligt med 9; Hvis summen af ​​cifrene i et tal ikke er deleligt med 9, så er tallet ikke deleligt med 9.
For eksempel: 3987 og 144 er delelige med 9, fordi i det første tilfælde er 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - deleligt uden rest med 9), og i den anden 1+4+4= 9 (9:9=1 - også deleligt uden rest med 9).
Men tallene: 235 og 141 er ikke delelige med 9, fordi 2+3+5= 10 og 1+4+1= 6 (og vi ved, at hverken 10 eller 6 kan divideres med 9 uden en rest).

Tegn på delelighed med 10, 100, 1000 og andre bit-enheder

Jeg kombinerede disse delelighedskriterier, fordi de kan beskrives på samme måde: et tal er deleligt med en bitenhed, hvis antallet af nuller i slutningen af ​​tallet er større end eller lig med antallet af nuller i en given bitenhed.
Med andre ord, for eksempel, har vi tal som dette: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . som alle er delelige med 1 0 ; 46400 og 867 000 er også delelige med 1 00 ; og kun en af ​​dem - 867 000 deleligt med 1 000 .
Eventuelle tal, der ender på nuller mindre end en bitenhed, er ikke delelige med den bitenhed, såsom 600 30 og 7 93 del ikke 1 00 .

Tegn på delelighed med 11

For at finde ud af, om et tal er deleligt med 11, skal du få forskellen mellem summen af ​​lige og ulige cifre i dette tal. Hvis denne forskel er lig med 0 eller delelig med 11 uden en rest, så er tallet i sig selv deleligt med 11 uden en rest.
For at gøre det klarere, foreslår jeg at overveje eksempler: 2 35 4 er deleligt med 11 fordi ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 er også deleligt med 11 fordi ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
Og her er 1 1 1 eller 4 35 4 er ikke deleligt med 11, da vi i det første tilfælde får (1 + 1) - 1 =1, og i den anden ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Tegn på delelighed med 12

Tallet 12 er sammensat. Dens delelighedstegn er overensstemmelsen med delelighedstegnene med 3 og med 4 på samme tid.
For eksempel svarer 300 og 636 til både delelighedstegnene med 4 (de sidste 2 cifre er nuller eller delelige med 4) og delelighedstegnene med 3 (summen af ​​cifrene og det første og andet tal er deleligt med 3 ), og derfor er de delelige med 12 uden en rest.
Men 200 eller 630 er ikke delelige med 12, for i det første tilfælde svarer tallet kun til delelighedstegnet med 4, og i det andet - kun til delelighedstegnet med 3. Men ikke begge tegn på samme tid.

Tegn på delelighed med 13

Et tegn på delelighed med 13 er, at hvis antallet af tiere af et tal, lagt til enhederne af dette tal ganget med 4, er et multiplum af 13 eller lig med 0, så er tallet i sig selv deleligt med 13.
Tag for eksempel 70 2. Altså 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 er ligeligt deleligt med 13), så 70 2 er deleligt med 13 uden en rest. Et andet eksempel er tallet 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Tallet 130 er deleligt med 13 uden rest, hvilket betyder, at det givne tal svarer til delelighedstegnet med 13.
Hvis vi tager tallene 12 5 eller 21 2, så får vi 12 +4*5=32 og 21 +4*2=29 henholdsvis, og hverken 32 eller 29 er delelige med 13 uden en rest, hvilket betyder, at de givne tal ikke er delelige med 13 uden en rest.

Delbarhed af tal

Som det fremgår af ovenstående, kan det antages, at et hvilket som helst af de naturlige tal kan matches med sit eget individuelle delelighedstegn eller et "sammensat" fortegn, hvis tallet er et multiplum af flere forskellige tal. Men som praksis viser, jo større tal, jo mere kompleks er dens egenskab. Måske kan den tid, der bruges på at kontrollere delelighedskriteriet, være lig med eller større end selve opdelingen. Derfor bruger vi normalt de enkleste delelighedskriterier.

Overvej et simpelt eksempel:
15:5=3
I dette eksempel dividerede vi det naturlige tal 15 fuldstændig 3, ingen rest.

Nogle gange kan et naturligt tal ikke opdeles fuldstændigt. Overvej for eksempel problemet:
Der var 16 legetøj i skabet. Der var fem børn i gruppen. Hvert barn tog det samme antal legetøj. Hvor meget legetøj har hvert barn?

Opløsning:
Divider tallet 16 med 5 med en kolonne og få:

Vi ved, at 16 gange 5 ikke er deleligt. Det nærmeste mindre tal, der er deleligt med 5, er 15 med en rest på 1. Vi kan skrive tallet 15 som 5⋅3. Som et resultat (16 - udbytte, 5 - divisor, 3 - partiel kvotient, 1 - resten). Modtaget formel division med resten som kan lade sig gøre verifikation af løsning.

-en= b⋅ c+ d
-en - delelig
b - skillevæg,
c - ufuldstændig kvotient,
d - resten.

Svar: Hvert barn tager 3 legetøj med, og der er et legetøj tilbage.

Resten af ​​delingen

Resten skal altid være mindre end divisoren.

Hvis resten er nul, når der divideres, er udbyttet deleligt. fuldstændig eller ingen rest pr. divisor.

Hvis resten ved division er større end divisoren, betyder det, at det fundne tal ikke er det største. Der er et større antal, der deler udbyttet, og resten vil være mindre end divisoren.

Spørgsmål om emnet "Opdeling med rest":
Kan resten være større end divisoren?
Svar: nej.

Kan resten være lig med divisor?
Svar: nej.

Hvordan finder man udbyttet efter den ufuldstændige kvotient, divisor og resten?
Svar: vi erstatter værdierne af den ufuldstændige kvotient, divisor og resten i formlen og finder udbyttet. Formel:
a=b⋅c+d

Eksempel #1:
Udfør division med en rest og tjek: a) 258:7 b) 1873:8

Opløsning:
a) Opdel i en kolonne:

258 - delelig,
7 - skillevæg,
36 - ufuldstændig kvotient,
6 - resten. Resten mindre end divisor 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Opdel i en kolonne:

1873 - delelig,
8 - skillevæg,
234 - ufuldstændig kvotient,
1 er resten. Resten mindre end divisor 1<8.

Erstat i formlen og kontroller, om vi har løst eksemplet korrekt:
8⋅234+1=1872+1=1873

Eksempel #2:
Hvilke rester får man ved at dividere naturlige tal: a) 3 b) 8?

Svar:
a) Resten er mindre end divisoren, derfor mindre end 3. I vores tilfælde kan resten være 0, 1 eller 2.
b) Resten er mindre end divisoren, derfor mindre end 8. I vores tilfælde kan resten være 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 eller 7.

Eksempel #3:
Hvad er den største rest, der kan opnås ved at dividere naturlige tal: a) 9 b) 15?

Svar:
a) Resten er mindre end divisoren, derfor mindre end 9. Men vi skal angive den største rest. Det vil sige det nærmeste tal til divisoren. Dette tal er 8.
b) Resten er mindre end divisoren, derfor mindre end 15. Men vi skal angive den største rest. Det vil sige det nærmeste tal til divisoren. Dette tal er 14.

Eksempel #4:
Find udbyttet: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Opløsning:
a) Løs ved hjælp af formlen:
a=b⋅c+d
(a er udbyttet, b er divisor, c er partialkvotient, d er resten.)
a:6=3(rest.4)
(a er udbyttet, 6 er divisor, 3 er den ufuldstændige kvotient, 4 er resten.) Erstat tallene i formlen:
a=6⋅3+4=22
Svar: a=22

b) Løs ved hjælp af formlen:
a=b⋅c+d
(a er udbyttet, b er divisor, c er partialkvotient, d er resten.)
s:24=4(rest.11)
(c er udbyttet, 24 er divisor, 4 er den ufuldstændige kvotient, 11 er resten.) Erstat tallene i formlen:
c=24⋅4+11=107
Svar: s=107

En opgave:

Tråd 4m. skal skæres i stykker på 13 cm. Hvor mange af disse stykker vil der være?

Opløsning:
Først skal du konvertere meter til centimeter.
4m.=400cm.
Du kan dividere med en kolonne eller i dit sind får vi:
400:13=30 (rest 10)
Lad os tjekke:
13⋅30+10=390+10=400

Svar: Der kommer 30 stykker ud, og der er 10 cm tråd tilbage.