Cr 4 anvender kvadratrodens egenskaber. Aritmetisk kvadratrod (klasse 8)
I denne artikel vil vi dække det vigtigste rod egenskaber... Lad os starte med egenskaberne for den aritmetiske kvadratrod, give deres formuleringer og give beviser. Derefter vil vi beskæftige os med egenskaberne for den n'te rod af regnestykket.
Sidenavigation.
Egenskaber for kvadratrod
På dette tidspunkt vil vi beskæftige os med følgende hoved egenskaber ved den aritmetiske kvadratrod:
I hver af de skrevne ligheder kan venstre og højre side ombyttes, f.eks. kan ligheden omskrives som 
... I denne "omvendte" form anvendes egenskaberne for den aritmetiske kvadratrod når forenkling af udtryk så ofte som i den "direkte" form.
Beviset for de to første egenskaber er baseret på definitionen af den aritmetiske kvadratrod og på. Og for at underbygge den sidste egenskab ved den aritmetiske kvadratrod skal man huske.
Så lad os starte med bevis for egenskaben af den aritmetiske kvadratrod af produktet af to ikke-negative tal:. Til dette er det ifølge definitionen af den aritmetiske kvadratrod nok at vise, at der er et ikke-negativt tal, hvis kvadrat er lig med a · b. Lad os gøre det. Værdien af et udtryk er ikke-negativ som produktet af ikke-negative tal. Egenskaben af graden af produktet af to tal giver dig mulighed for at skrive ligheden 
, og da ved definitionen af den aritmetiske kvadratrod og, derefter.
På samme måde er det bevist, at den aritmetiske kvadratrod af produktet af k ikke-negative faktorer a 1, a 2, ..., a k er lig med produktet af de aritmetiske kvadratrødder af disse faktorer. Virkelig,. Denne lighed indebærer det.
Her er nogle eksempler: og.
Lad os nu bevise egenskab for den aritmetiske kvadratrod af kvotienten:. Quotientegenskaben i naturlig grad giver os mulighed for at skrive ligheden 
, a 
, og der er et ikke-negativt tal. Dette er beviset.
For eksempel og 
.
Det er tid til at skille sig ad egenskab for den aritmetiske kvadratrod af kvadratet af et tal, i form af ligestilling, skrives det som. For at bevise det, overvej to tilfælde: for a≥0 og for a<0 .
Det er klart, lighed gælder for a≥0. Det er også nemt at se, at for en<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 og (−a) 2 = a 2. Dermed, 
, som det kræves for at bevise.
Her er nogle eksempler: 
og 
.
Egenskaben af kvadratroden netop bevist giver os mulighed for at underbygge følgende resultat, hvor a er et hvilket som helst reelt tal, og m er et hvilket som helst. Egenskaben ved at hæve en potens til en potens tillader os faktisk at erstatte magten a 2 m med udtrykket (a m) 2, så 
.
For eksempel, 
og 
.
Egenskaber for den n. rod
Lad os først liste de vigtigste egenskaber af n-te rødder:
Alle de skriftlige ligheder forbliver gyldige, hvis venstre og højre side er byttet om i dem. I denne form bruges de også ofte, primært til at forenkle og transformere udtryk.
Beviset for alle rodens stemte egenskaber er baseret på definitionen af den aritmetiske rod af den n-te grad, på gradens egenskaber og på definitionen af tallets modul. Lad os bevise dem i prioriteret rækkefølge.
Lad os starte med beviser egenskaber af produktets n'te rod ... For ikke-negative a og b er værdien af udtrykket også ikke-negativ, ligesom produktet af ikke-negative tal. Produktets egenskab i naturlig grad giver os mulighed for at skrive ligheden 
... Ved definitionen af en aritmetisk rod af n. grad og derfor, 
... Dette beviser den pågældende rods egenskab.
Denne egenskab bevises på samme måde for produktet af k faktorer: for ikke-negative tal a 1, a 2, ..., a n, 
og .
Her er eksempler på brug af egenskaben for den n'te rod af produktet: 
og .
Lad os bevise egenskab af roden af kvotienten... For a≥0 og b> 0 er betingelsen opfyldt, og 
.
Lad os vise eksempler: 
og 
.
Komme videre. Lad os bevise egenskab af den n'te rod af et tal i n'te potens... Det vil vi bevise 
for enhver ægte a og naturlig m. For a≥0 har vi og, hvilket beviser ligheden og ligheden naturligvis. For en<0
имеем и 
(den sidste passage er gyldig på grund af gradens egenskab med en lige eksponent), hvilket beviser ligheden, og er sandt på grund af det faktum, at når vi taler om roden til en ulige grad, tog vi 
for ethvert ikke-negativt tal c.
Her er eksempler på brug af den parsede rodegenskab: og 
.
Vi går videre til beviset for egenskaben af en rod fra en rod. Vi vil bytte plads på højre og venstre side, det vil sige, vi vil bevise gyldigheden af ligheden, hvilket vil betyde gyldigheden af den oprindelige lighed. For et ikke-negativt tal a, er roden af en rod af formen et ikke-negativt tal. Ved at huske egenskaben ved at hæve en grad til en magt og bruge definitionen af en rod, kan vi nedskrive en kæde af ligheder i formen 
... Dette beviser rodens egenskab fra roden under overvejelse.
Egenskaben af en rod fra en rod fra en rod osv. bevises på lignende måde. Virkelig, 
.
For eksempel, 
og .
Lad os bevise følgende. rodeksponentforkortende egenskab... Hertil er det i kraft af definitionen af roden tilstrækkeligt at vise, at der er et ikke-negativt tal, som, når det hæves til potensen n · m, er lig med en m. Lad os gøre det. Det er klart, at hvis tallet a er ikke-negativt, så er den n-te rod af tallet a et ikke-negativt tal. Hvori 
, som fuldender beviset.
Lad os give et eksempel på brug af den parsede rodegenskab:.
Lad os bevise følgende egenskab - egenskaben af en rod af en grad af formen 
... For a≥0 er graden naturligvis et ikke-negativt tal. Desuden er dens n-te grad lig med en m, faktisk. Dette beviser egenskaben af den pågældende grad.
For eksempel, 
.
Lad os gå videre. Lad os bevise, at for alle positive tal a og b for hvilken betingelse a , det vil sige a≥b. Og dette er i modstrid med betingelsen a
Som eksempel præsenterer vi den korrekte ulighed 
.
Til sidst er det tilbage at bevise den sidste egenskab af den n'te rod. Lad os først bevise den første del af denne egenskab, det vil sige, vi vil bevise, at for m> n og 0 Tilsvarende bevises det ved modsigelse, at for m> n og a> 1 er betingelsen opfyldt. Lad os give eksempler på anvendelsen af rodens beviste egenskab i konkrete tal. For eksempel er ulighederne og sande.
, dvs. a n ≤a m. Og den resulterende ulighed for m> n og 0
Bibliografi.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebog for klasse 8 uddannelsesinstitutioner.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begyndelsen af analysen: Lærebog for 10 - 11 klassetrin på uddannelsesinstitutioner.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (en vejledning for ansøgere til tekniske skoler).
\ (\ sqrt (a) = b \) hvis \ (b ^ 2 = a \), hvor \ (a≥0, b≥0 \)
Eksempler:
\ (\ sqrt (49) = 7 \) siden \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) siden \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)
Hvordan udtrækker du kvadratroden af et tal?
For at udtrække kvadratroden af et tal, skal du stille dig selv spørgsmålet: hvilket tal i kvadratet vil udtrykket under roden give?
For eksempel... Udtræk roden: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)
a) Hvilket tal i anden anden giver \ (2500 \)?
\ (\ sqrt (2500) = 50 \)
b) Hvilket tal i anden anden giver \ (\ frac (4) (9) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Hvilket tal i anden anden giver \ (0,0001 \)?
\ (\ sqrt (0,0001) = 0,01 \)
d) Hvilket tal i anden anden giver \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? For at besvare spørgsmålet skal du oversætte til det forkerte.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
Kommentar: Selvom \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), skal du også besvare spørgsmålene , men de tages ikke i betragtning, da kvadratroden altid er positiv.
Rodens hovedegenskab
Som du ved, i matematik har enhver handling det modsatte. Addition har subtraktion, og multiplikation har division. Det omvendte af kvadratur er til kvadratrod. Derfor ophæver disse handlinger hinanden:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)
Dette er hovedegenskaben for roden, som oftest bruges (inklusive i OGE)
Eksempel ... (opgave fra OGE). Find værdien af udtrykket \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)
Løsning :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36) ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)
Eksempel ... (opgave fra OGE). Find værdien af udtrykket \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Løsning:
Svar: \ (86-2 \ sqrt (85) \)Når du arbejder med en kvadratrod, skal du selvfølgelig også bruge andre.
Eksempel
... (opgave fra OGE). Find værdien af udtrykket \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Løsning:
Svar: \(220\)
4 regler, der altid glemmes
Roden hentes ikke altid
Eksempel: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) osv. - det er ikke altid muligt at udtrække roden fra et tal, og det er normalt!
Roden til et tal, også et tal
Det er ikke nødvendigt at henvise til \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), især på en eller anden måde. Det er tal, men ikke hele tal, ja, men ikke alt i vores verden måles i hele tal.
Roden udvindes kun fra ikke-negative tal
Derfor vil du ikke se sådanne poster i lærebøgerne \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \), osv.
Titel: Selvstændigt og prøvearbejde i algebra og geometri til 8. klasse.
Manualen indeholder selvstændige og kontrolarbejder om alle de vigtigste emner i algebra- og geometriforløbet i 8. klasse.
Værkerne består af 6 varianter af tre sværhedsgrader. Didaktiske materialer er beregnet til tilrettelæggelse af differentieret selvstændigt arbejde af studerende.
INDHOLD
ALGEBRA 4
P-1 Rationelt udtryk. Reducerende brøker 4
C-2 Tilføjelse og subtraktion af brøker 5
K-1 Rationelle brøker. Tilføjelse og subtraktion af brøker 7
C-3 Multiplikation og division af brøker. At hæve en brøkdel til 10
C-4 Rationel udtrykstransformation 12
С-5 Invers proportionalitet og dens graf 14
К-2 Rationale brøker 16
C-6 Aritmetisk kvadratrod af 18
C-7 Ligning x2 = a. Funktion y = y [x 20
С-8 Kvadratroden af et produkt, brøk, potens 22
K-3 Aritmetisk kvadratrod og dens egenskaber 24
C-9 Introduktion og fjernelse af en multiplikator i kvadratrødder 27
C-10 Konvertering af udtryk, der indeholder kvadratrødder 28
K-4 Anvendelse af egenskaberne for den aritmetiske kvadratrod 30
P-11 Ufuldstændige kvadratiske ligninger 32
С-12 Formlen for rødderne af en andengradsligning 33
С-13 Problemløsning ved hjælp af andengradsligninger. Vietas sætning 34
K-5 andengradsligninger 36
P-14 Rationale brøkligninger 38
С-15 Anvendelse af rationelle brøkligninger. Problemløsning 39
K-6 Rationale brøkligninger 40
C-16 Egenskaber ved numeriske uligheder 43
K-7 Numeriske uligheder og deres egenskaber 44
С-17 Lineære uligheder med én variabel 47
С-18 Systemer med lineære uligheder 48
K-8 Lineære uligheder og ulighedssystemer med én variabel 50
С-19 grader med negativ indikator 52
K-9 grader med heltal 54
К-10 Årlig test 56
GEOMETRI (Ifølge Pogorelov) 58
С-1 Egenskaber og tegn på et parallelogram. "58
C-2 rektangel. Rhombus. Kvadrat 60
K-1 Parallelogram 62
С-3 Thales' sætning. Midtlinje i trekant 63
C-4 Trapezium. Midterste linje af trapez 66
K-2 Trapezium. Midtlinjer i en trekant og en trapez ... 68
C-5 Pythagoras sætning 70
С-6 Den modsatte sætning til Pythagoras sætning. Vinkelret og skrå 71
C-7 Trekantulighed 73
K-3 Pythagoras sætning 74
C-8 retvinklet løsning 76
C-9 Egenskaber for trigonometriske funktioner 78
К-4 Retvinklet trekant (generaliseringstest) 80
С-10 Koordinater for segmentmidtpunktet. Afstand mellem punkter. Cirklens ligning 82
C-11 Ligning af en ret linje 84
K-5 kartesiske koordinater 86
С-12 Bevægelse og dens egenskaber. Central og aksial symmetri. Bliver 88
S-13. Parallel overførsel 90
С-14 vektor koncept. Ligestilling af vektorer 92
С-15 Handlinger med vektorer i koordinatform. Kollineære vektorer 94
С-16 Handlinger med vektorer i geometrisk form 95
C-17 Dot produkt 98
K-6 vektorer 99
К-7 Årseksamen 102
GEOMETRI (Ifølge Atanasyan) 104
С-1 Egenskaber og tegn på et parallelogram 104
C-2 rektangel. Rhombus. Square 106
К-1 firkanter 108
С-3 Arealet af et rektangel, firkantet 109
С-4 Arealet af et parallelogram, rombe, trekant 111
С-5 Trapezium område 113
C-6 Pythagoras sætning 114
K-2 firkanter. Pythagoras sætning 116
C-7 Definition af lignende trekanter. Vinkelhalveringslinjen egenskab for en trekant 118
С-8 Tegn på lighed mellem trekanter 120
K-3 lighed mellem trekanter 122
С-9 Anvendelse af lighed til problemløsning 124
C-10 Forholdet mellem siderne og hjørnerne af en retvinklet trekant 126
К-4 Anvendelse af lighed til problemløsning. Forhold mellem siderne og vinklerne i en retvinklet trekant 128
С-11 Tangent til cirkel 130
С-12 Center og indskrevne hjørner 132
С-13 Sætning om produktet af segmenter af krydsende akkorder. Wonderful Points of Triangle 134
С-14 Indskrevne og omskrevne cirkler 136
K-5 omkreds 137
C-15 Vektoraddition og -subtraktion 139
С-16 Multiplikation af en vektor med tallet 141
С-17 Midterste linje af trapez 142
K-6 vektorer. Anvendelse af vektorer til problemløsning 144
К-7 Årseksamen 146
SVAR 148
REFERENCER 157
FORORD
.
1. En forholdsvis lille bog indeholder et komplet sæt af prøver (inklusive afsluttende prøver) for hele forløbet af 8. klasses algebra og geometri, så det er nok at købe et sæt bøger pr. klasse.
Testpapirer er designet til en lektion, selvstændigt arbejde - i 20-35 minutter, afhængigt af emnet. For at gøre det nemmere at bruge bogen, afspejler titlen på hvert selvstændigt og testværk dets emne.
2. Samlingen giver mulighed for en differentieret styring af viden, da opgaverne er fordelt på tre kompleksitetsniveauer A, B og C. Niveau A svarer til de obligatoriske uddannelseskrav, B - til det gennemsnitlige kompleksitetsniveau, niveau C opgaver er beregnet til elever med øget interesse for matematik, og også til brug i klasseværelser, skoler, gymnasier og gymnasier med videregående studier i matematik. For hvert niveau er der 2 tilstødende tilsvarende muligheder (som de normalt er skrevet på tavlen), så en bog på skrivebordet er nok til lektionen.
Gratis download en e-bog i et praktisk format, se og læs:
Download bogen Selvstændigt arbejde og prøver i algebra og geometri til 8. klasse. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, hurtig og gratis download.
- Selvstændigt og kontrolarbejde i geometri for klasse 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Selvstændigt og prøvearbejde i algebra og geometri for 9. klassetrin. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Uafhængige og kontrollerende arbejder på algebra og geometri, grad 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013