Konstruer en del af pyramiden. Konstruktion af en naturlig form af en figur af et udsnit af en pyramide ved et fly
Regelmæssig sekskantet pyramide krydset af et frontalt fremspringende plan R, vist i fig. 180.
Som i de foregående eksempler falder den frontale projektion af sektionen sammen med den frontale
Hus Pv fly. Snitfigurens vandrette projektioner og profilprojektioner er bygget på punkter, der er planets skæringspunkter R med pyramide ribben.
Det faktiske udseende af sektionsfiguren i dette eksempel bestemmes af registreringsmetoden.
En udvikling af sidefladen af en afkortet pyramide med en snitfigur og en basisfigur er vist i fig. 180, b.
For det første bygges en udvikling af en ikke-trunkeret pyramide, hvis flader, der har form som en trekant, er ens. Marker et punkt på flyet sl(toppen af pyramiden) og fra den, som fra midten, tegn en cirkelbue med en radius R, lig med den faktiske længde af pyramidens sidekant. Den faktiske længde af ribben kan bestemmes ud fra profilprojektionen af pyramiden, for eksempel segmenter s"e" eller s"b", da disse kanter er parallelle med planet W og er afbildet på den med en rigtig længde. Længere langs cirkelbuen fra ethvert punkt, for eksempel en 1, lægges seks identiske segmenter lig med den faktiske længde af siden af sekskanten - bunden af pyramiden. Den faktiske længde af siden af pyramidens bund er opnået på et vandret fremspring (segment ab). point -en 1 ...f1 er forbundet med rette linjer til toppunktet s 1 . Så fra toppen en 1 på disse lige linjer lægges de faktiske længder af ribbernes segmenter til sekantplanet til side.
På profilprojektionen af en afkortet pyramide er der reelle længder på kun to
skarp - s"5 Og s"2. De faktiske længder af de resterende segmenter bestemmes ved at rotere dem omkring en akse vinkelret på planet H og passerer gennem toppunktet s. For eksempel at dreje segmentet s"6" om aksen til en position parallelt med planet W, vi får dens rigtige længde på dette fly. Hertil er det nok gennem prikken 6" tegne en vandret linje, indtil den skærer kantens faktiske længde SE eller SB. Afsnit s"6 0"(se fig. 180).
Modtaget point 1 1 2 1 , 3 1 , etc. forbindes med lige linjer og fastgør basis- og snitfigurerne ved hjælp af trianguleringsmetoden. Foldelinjerne på scanningen er tegnet med en stiplet linje med to punkter.
Konstruktionen af en isometrisk projektion af en afkortet pyramide begynder med konstruktionen af en isometrisk projektion af bunden af pyramiden i henhold til dimensionerne taget fra den vandrette projektion af den komplekse tegning. Derefter på basisplanet langs punkternes koordinater 1...6 byg en vandret projektion af sektionen (se tynde blå linjer i fig. 180, a, c). Lodrette rette linjer tegnes fra hjørnerne af den resulterende sekskant, hvorpå koordinater taget fra prismets frontale eller profilprojektioner er plottet, for eksempel segmenter K ( , K 2 , K 3 etc. Modtaget point 1...6 forbinde, får vi en snitfigur. Ved at forbinde prikkerne 1...6 med hjørnerne af sekskanten, bunden af pyramiden, får vi en isometrisk projektion af en afkortet pyramide. Usynlige kanter er vist med stiplede linjer.
Et eksempel på et udsnit af en trekantet uregelmæssig pyramide med et front-projekterende plan er vist i fig. 181.
Alle kanter på tre projektionsplaner er vist med forvrængning. Vandret projektion
base repræsenterer dens faktiske form, da bunden af pyramiden er placeret på et plan H.
Gyldig visning 1 0 , 2 0 , 3 0 snitfigurer opnået ved at ændre projektionsplanerne. I dette eksempel er det vandrette projektionsplan H erstattet af et nyt plan, der er parallelt med planet R; ny aksel x 1 på linje med sporet R V(Fig. 181, men).
Udviklingen af pyramidens overflade er bygget som følger. Rotationsmetoden bruges til at finde den faktiske længde af pyramidens kanter og deres segmenter fra bunden til skæreplanet R.
For eksempel de faktiske kantlængder SC og dets segment NW henholdsvis lig med længden af frontalprojektionen s"c" kant og segment c 1 ′ 3 1 efter vendingen.
Derefter bygger de en udvikling af en trekantet uregelmæssig pyramide (fig. 181, c). For at gøre dette fra et vilkårligt punkt S tegne en lige linje, på katten, læg den faktiske længde af kanten SA. Fra et punkt s lave et hak med en radius R1, lig med ribbens faktiske længde SB, og fra et punkt et hak med en radius R2, lig med siden af bunden af pyramiden AB, resulterer i et punkt b 1 og kanten s 1 b 1 a 1 . Så fra point s Og b 1 fra centre, er seriffer lavet med radier svarende til den faktiske længde af kanten SC og side sol få kanten s 1 b 1 s 1 pyramider. Kanten er også bygget s 1 c 1 a 1.
Fra point a 1 b 1 Og fra 1 læg de faktiske længder af segmenterne af ribbenene, som er taget på det frontale fremspring (segmenter) a 1 ′1 1′, b 1 ′2 1′, c 1 ′3 1). Ved hjælp af trianguleringsmetoden fastgøres bunden og figuren af sektionen.
For at bygge en isometrisk projektion af en afkortet pyramide (fig. 181, b) tegnes en isometrisk akse X. Efter koordinater T Og P bygge bunden af pyramiden ABC. Base side AC parallelt med aksen x eller falder sammen med aksen X. Som i det foregående eksempel bygges en isometrisk projektion af den horisontale projektion af snitfiguren 1 2 2 2 3 2 (ved anvendelse af punkt I, III og IV). Fra disse punkter tegnes lodrette lige linjer, hvorpå segmenter taget fra prismets frontale eller profilprojektion lægges. K1, K2 Og K 3 . Modtaget point 1 , 2, 3 forbundet med lige linjer til hinanden og til toppen af basen.
Definition. Sideflade- dette er en trekant, hvor en vinkel ligger i toppen af pyramiden, og den modsatte side af den falder sammen med siden af basen (polygon).
Definition. Side ribben er de fælles sider af sidefladerne. En pyramide har lige så mange kanter, som der er hjørner i en polygon.
Definition. pyramide højde er en vinkelret faldet fra toppen til bunden af pyramiden.
Definition. Apotem- dette er vinkelret på pyramidens sideflade, sænket fra toppen af pyramiden til siden af bunden.
Definition. Diagonalt snit- dette er et udsnit af pyramiden af et plan, der går gennem toppen af pyramiden og diagonalen af basen.
Definition. Korrekt pyramide- Dette er en pyramide, hvor basen er en regulær polygon, og højden falder til midten af basen.
Volumen og overfladeareal af pyramiden
Formel. pyramidevolumen gennem grundareal og højde:
pyramide egenskaber
Hvis alle sidekanter er ens, så kan en cirkel omskrives omkring pyramidens basis, og bundens centrum falder sammen med cirklens centrum. Også den vinkelrette faldet fra toppen passerer gennem midten af basen (cirklen).
Hvis alle sideribber er ens, så hælder de til grundplanet i samme vinkler.
Sideribberne er ens, når de danner lige store vinkler med grundplanet, eller hvis en cirkel kan beskrives omkring pyramidens bund.
Hvis sidefladerne hælder til bundens plan i en vinkel, kan der indskrives en cirkel i bunden af pyramiden, og toppen af pyramiden projiceres ind i dens centrum.
Hvis sidefladerne hælder til grundplanet i en vinkel, er sidefladernes apotemer ens.
Egenskaber ved en almindelig pyramide
1. Toppen af pyramiden er lige langt fra alle hjørner af basen.
2. Alle sidekanter er ens.
3. Alle sideribber er skråtstillede i samme vinkler i forhold til basen.
4. Apotemer af alle sideflader er ens.
5. Arealerne af alle sideflader er lige store.
6. Alle flader har de samme dihedriske (flade) vinkler.
7. En kugle kan beskrives omkring pyramiden. Centrum af den beskrevne kugle vil være skæringspunktet for de perpendikulære, der passerer gennem midten af kanterne.
8. En kugle kan indskrives i en pyramide. Centrum af den indskrevne kugle vil være skæringspunktet for halveringslinjen, der udgår fra vinklen mellem kanten og bunden.
9. Hvis midten af den indskrevne kugle falder sammen med midten af den omskrevne kugle, så er summen af de flade vinkler ved spidsen lig π eller omvendt, en vinkel er lig π / n, hvor n er tallet af vinkler ved bunden af pyramiden.
Pyramidens forbindelse med kuglen
En kugle kan beskrives omkring pyramiden, når der ved bunden af pyramiden ligger et polyeder, som en cirkel kan beskrives omkring (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Kuglens centrum vil være skæringspunktet for planer, der passerer vinkelret gennem midtpunkterne på pyramidens sidekanter.
En kugle kan altid beskrives omkring enhver trekantet eller regulær pyramide.
En kugle kan indskrives i en pyramide, hvis halveringsfladerne af pyramidens indre dihedrale vinkler skærer hinanden i et punkt (en nødvendig og tilstrækkelig betingelse). Dette punkt vil være midten af kuglen.
Forbindelsen af pyramiden med keglen
En kegle kaldes indskrevet i en pyramide, hvis deres toppunkter falder sammen, og keglens bund er indskrevet i bunden af pyramiden.
En kegle kan indskrives i en pyramide, hvis pyramidens apotemer er ens.
En kegle kaldes omskrevet omkring en pyramide, hvis deres toppunkter falder sammen, og keglens bund er omskrevet omkring bunden af pyramiden.
En kegle kan beskrives omkring en pyramide, hvis alle sidekanter af pyramiden er lige hinanden.
Forbindelse af en pyramide med en cylinder
En pyramide siges at være indskrevet i en cylinder, hvis toppen af pyramiden ligger på den ene base af cylinderen, og bunden af pyramiden er indskrevet i en anden base af cylinderen.
En cylinder kan omskrives omkring en pyramide, hvis en cirkel kan omskrives omkring bunden af pyramiden.
Et tetraeder har fire flader og fire spidser og seks kanter, hvor to kanter ikke har nogen fælles spidser, men ikke rører hinanden.
Hvert vertex består af tre flader og kanter, der dannes trihedral vinkel.
Segmentet, der forbinder tetraederens toppunkt med midten af den modsatte flade kaldes medianen af tetraederet(GM).
Bimedian kaldes et segment, der forbinder midtpunkterne af modsatte kanter, der ikke rører hinanden (KL).
Alle bimedianer og medianer af et tetraeder skærer hinanden i et punkt (S). I dette tilfælde er bimedianerne opdelt i halvdelen, og medianerne i forholdet 3: 1 fra toppen.
Definition. Akut vinklet pyramide er en pyramide, hvor apotemet er mere end halvdelen af længden af siden af basen.
Definition. stump pyramide er en pyramide, hvor apotem er mindre end halvdelen af længden af siden af basen.
Definition. almindelig tetraeder Et tetraeder, hvis fire flader er ligesidede trekanter. Det er en af fem regulære polygoner. I et regulært tetraeder er alle dihedriske vinkler (mellem flader) og trihedriske vinkler (ved et toppunkt) lige store.
Definition. Rektangulært tetraeder kaldes et tetraeder, som har en ret vinkel mellem tre kanter i toppunktet (kanterne er vinkelrette). Tre ansigter dannes rektangulær trihedrisk vinkel og fladerne er retvinklede trekanter, og basen er en vilkårlig trekant. Ethvert ansigts apotem er lig med halvdelen af den side af bunden, som apotemet falder på.
Definition. Isohedral tetraeder Et tetraeder kaldes, hvor sidefladerne er lig med hinanden, og basen er en regulær trekant. Ansigterne på et sådant tetraeder er ligebenede trekanter.
Definition. Ortocentrisk tetraeder kaldes et tetraeder, hvor alle de højder (perpendikulære), der er sænket fra toppen til den modsatte flade, skærer hinanden i et punkt.
Definition. stjernepyramide Et polyeder, hvis basis er en stjerne, kaldes.
Lad os analysere, hvordan man bygger en sektion af en pyramide ved hjælp af specifikke eksempler. Da der ikke er nogen parallelle planer i pyramiden, involverer konstruktionen af skæringslinjen (sporet) af sekantplanet med fladeplanet oftest at tegne en lige linje gennem to punkter, der ligger i denne flades plan.
I de enkleste opgaver er det påkrævet at konstruere en sektion af pyramiden af et plan, der passerer gennem de givne punkter, der allerede ligger i den ene flade.
Eksempel.
Konstruer plansektion (MNP)
Trekant MNP - Pyramidesektion
Punkterne M og N ligger i samme plan ABS, så vi kan tegne en linje igennem dem. Sporet af denne linje er segmentet MN. Det er synligt, så vi forbinder M og N med en ubrudt linje.
Punkterne M og P ligger i samme ACS-plan, så vi tegner en lige linje gennem dem. Sporet er segmentet MP. Vi kan ikke se det, så vi tegner segmentet MP med et streg. Vi konstruerer sporet PN på en lignende måde.
Trekant MNP er den nødvendige sektion.
Hvis det punkt, hvorigennem det er påkrævet at tegne et snit, ikke ligger på en kant, men på et ansigt, vil det ikke være enden af sporsegmentet.
Eksempel. Konstruer et udsnit af pyramiden ved et plan, der går gennem punkterne B, M og N, hvor punkterne M og N henholdsvis hører til fladerne ABS og BCS.
Her ligger punkt B og M på samme flade af ABS, så vi kan tegne en streg gennem dem.
På samme måde trækker vi en ret linje gennem punkterne B og P. Vi har fået henholdsvis sporene af BK og BL.
Punkterne K og L ligger på samme flade af ACS, så vi kan tegne en linje gennem dem. Dens spor er segmentet KL.
Trekant BKL er den nødvendige sektion.
Det er dog ikke altid muligt at tegne en ret linje gennem dataene i punkttilstanden. I dette tilfælde skal du finde et punkt, der ligger på skæringslinjen mellem de fly, der indeholder ansigterne.
Eksempel. Konstruer et udsnit af pyramiden ved et plan, der går gennem punkterne M, N, P.
Punkterne M og N ligger i samme plan ABS, så der kan trækkes en ret linje gennem dem. Vi får sporet MN. Tilsvarende - NP. Begge spor er synlige, så vi forbinder dem med en fast linje.
Punkterne M og P ligger i forskellige planer. Derfor kan vi ikke forbinde dem direkte.
Vi fortsætter linjen NP.
Det ligger i BCS-ansigtets plan. NP skærer kun med linjer, der ligger i samme plan. Vi har tre sådanne linjer: BS, CS og BC. Der er allerede skæringspunkter med linjerne BS og CS - disse er kun N og P. Så vi leder efter skæringspunktet mellem NP og linje BC.
Skæringspunktet (lad os kalde det H) fås ved at fortsætte linjerne NP og BC indtil skæringspunktet.
Dette punkt H hører både til planet (BCS), da det ligger på linjen NP, og til planet (ABC), da det ligger på linjen BC.
Således har vi fået endnu et punkt af sekantplanet, der ligger i planet (ABC).
Gennem H og et punkt M, der ligger i samme plan, kan vi tegne en ret linje.
Vi får sporet MT.
T er skæringspunktet mellem linjerne MH og AC.
Da T hører til linjen AC, kan vi tegne en linje gennem den og punktet P, da de begge ligger i samme plan (ACS).
Quad MNPT er den nødvendige sektion af pyramiden af planet, der passerer gennem de givne punkter M,N,P.
Vi har arbejdet med linjen NP og udvidet den for at finde skæringspunktet mellem skæreplanet og planet (ABC). Hvis vi arbejder med den rette linie MN, kommer vi frem til samme resultat.
Vi argumenterer som følger: linjen MN ligger i planet (ABS), så den kan kun skære linjer, der ligger i samme plan. Vi har tre sådanne linjer: AB, BS og AS. Men med linjerne AB og BS er der allerede skæringspunkter: M og N.
I forlængelse af MN leder vi derfor efter skæringspunktet med den lige linje AS. Lad os kalde dette punkt R.
Punktet R ligger på linjen AS, så det ligger også i det plan (ACS), som linjen AS hører til.
Da punktet P ligger i planet (ACS), kan vi tegne en linje gennem R og P. Vi får sporet af PT.
Punktet T ligger i planet (ABC), så vi kan tegne en linje gennem det og punktet M.
Således fik vi det samme MNPT-tværsnit.
Lad os overveje et andet eksempel af denne art.
Konstruer et udsnit af pyramiden ved et plan, der går gennem punkterne M, N, P.
Tegn en lige linje gennem punkterne M og N, der ligger i samme plan (BCS). Vi får sporet MN (synligt).
Tegn en lige linje gennem punkterne N og P, der ligger i samme plan (ACS). Vi får sporet PN (usynlig).
Vi kan ikke tegne en ret linje gennem punkterne M og P.
1) Linjen MN ligger i planet (BCS), hvor der er yderligere tre linjer: BC, SC og SB. Der er allerede skæringspunkter med linjerne SB og SC: M og N. Derfor leder vi efter skæringspunktet mellem MN og BC. Fortsætter vi disse linjer, får vi punktet L.
Punktet L hører til linjen BC, hvilket betyder, at det ligger i planet (ABC). Derfor kan vi gennem L og P, som også ligger i planet (ABC), tegne en ret linje. Hendes fodaftryk er PF.
F ligger på linjen AB og dermed i planet (ABS). Derfor tegner vi gennem F og punktet M, som også ligger i planet (ABS), en ret linje. Hendes nummer er FM. Den firkantede MNPF er den påkrævede sektion.
2) En anden måde er at fortsætte lige PN. Den ligger i planet (ACS) og skærer linjerne AC og CS, der ligger i dette plan i punkterne P og N.
Så vi leder efter skæringspunktet for PN med den tredje rette linje i dette plan - med AS. Vi fortsætter AS og PN, i skæringspunktet får vi punkt E. Da punktet E ligger på linjen AS, som hører til planet (ABS), kan vi tegne en linje gennem E og punktet M, som også ligger i ( ABS). Hendes nummer er FM. Punkterne P og F ligger på vandplanet (ABC), vi tegner en lige linje gennem dem og får sporet PF (usynlig).
Pyramide. Stumpet pyramide
Pyramide kaldes et polyeder, hvis flader er en polygon ( grundlag ), og alle andre flader er trekanter med et fælles toppunkt ( sideflader ) (Fig. 15). Pyramiden kaldes korrekt , hvis dens base er en regulær polygon, og toppen af pyramiden er projiceret ind i midten af basen (fig. 16). En trekantet pyramide, hvor alle kanter er lige, kaldes tetraeder .
Side rib pyramide kaldes den side af sidefladen, der ikke hører til basen Højde pyramiden er afstanden fra dens top til bundens plan. Alle sidekanter af en regulær pyramide er ens med hinanden, alle sideflader er ens ligebenede trekanter. Højden af sidefladen af en regulær pyramide trukket fra toppunktet kaldes apotem . diagonalt snit En sektion af en pyramide kaldes et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade.
Sideoverfladeareal pyramide kaldes summen af arealerne af alle sideflader. Fuld overflade er summen af arealerne af alle sidefladerne og basen.
Sætninger
1. Hvis alle sidekanter i en pyramide hælder lige meget til bundens plan, så projiceres toppen af pyramiden ind i midten af den omskrevne cirkel nær bunden.
2. Hvis alle sidekanter i en pyramide har samme længde, så projiceres toppen af pyramiden ind i midten af den omskrevne cirkel nær bunden.
3. Hvis alle flader i pyramiden hælder lige meget til bundens plan, så projiceres toppen af pyramiden ind i midten af cirklen, der er indskrevet i bunden.
For at beregne rumfanget af en vilkårlig pyramide er formlen korrekt:
hvor V- volumen;
S hoved- basisareal;
H er pyramidens højde.
For en almindelig pyramide er følgende formler sande:
hvor s- omkredsen af basen;
h a- apotem;
H- højde;
S fuld
S side
S hoved- basisareal;
V er volumenet af en regulær pyramide.
afkortet pyramide kaldet den del af pyramiden, der er indesluttet mellem bunden og skæreplanet parallelt med pyramidens bund (fig. 17). Korrekt afkortet pyramide kaldet den del af en regulær pyramide, der er indesluttet mellem bunden og et skærende plan parallelt med bunden af pyramiden.
Fundamenter afkortet pyramide - lignende polygoner. Sideflader - trapez. Højde afkortet pyramide kaldes afstanden mellem dens baser. Diagonal En afkortet pyramide er et segment, der forbinder dets hjørner, som ikke ligger på samme flade. diagonalt snit En sektion af en afkortet pyramide kaldes et plan, der går gennem to sidekanter, der ikke hører til den samme flade.
For en afkortet pyramide er formlerne gyldige:
(4)
hvor S 1 , S 2 - områder af de øvre og nedre baser;
S fuld er det samlede overfladeareal;
S side er det laterale overfladeareal;
H- højde;
V er volumenet af den afkortede pyramide.
For en regulær afkortet pyramide gælder følgende formel:
hvor s 1 , s 2 - basisomkredse;
h a- apotem af en regulær afkortet pyramide.
Eksempel 1 I en regulær trekantet pyramide er den dihedriske vinkel ved bunden 60º. Find tangenten af hældningsvinklen af sidekanten til basens plan.
Opløsning. Lad os lave en tegning (fig. 18).
 |
Pyramiden er regulær, hvilket betyder, at grundfladen er en ligesidet trekant, og alle sidefladerne er lige store trekanter. Den dihedriske vinkel ved bunden er hældningsvinklen af pyramidens sideflade til bundens plan. Den lineære vinkel vil være vinklen -en mellem to perpendikulære: dvs. Pyramidens top er projiceret i midten af trekanten (midten af den omskrevne cirkel og den indskrevne cirkel i trekanten ABC). Hældningsvinklen af sideribben (f.eks SB) er vinklen mellem selve kanten og dens projektion på basisplanet. Til ribben SB denne vinkel vil være vinklen SBD. For at finde tangenten skal du kende benene SÅ Og OB. Lad længden af segmentet BD er 3 men. prik OM afsnit BD er opdelt i dele: og Fra finder vi SÅ: 
Fra vi finder: 
Svar:
Eksempel 2 Find rumfanget af en regulær afkortet firkantet pyramide, hvis diagonalerne på dens baser er cm og cm, og højden er 4 cm.
Opløsning. For at finde volumen af en afkortet pyramide bruger vi formel (4). For at finde grundfladernes areal skal du finde siderne af grundkvadrene og kende deres diagonaler. Siderne af baserne er henholdsvis 2 cm og 8 cm. Det betyder, at basenes areal og Substituerer alle data i formlen, beregner vi rumfanget af den afkortede pyramide:
Svar: 112 cm3.
Eksempel 3 Find arealet af sidefladen af en almindelig trekantet afkortet pyramide, hvis sider af baserne er 10 cm og 4 cm, og pyramidens højde er 2 cm.
Opløsning. Lad os lave en tegning (fig. 19).
Sidefladen af denne pyramide er et ligebenet trapez. For at beregne arealet af en trapez skal du kende baserne og højden. Baserne er givet efter tilstand, kun højden forbliver ukendt. Find det hvorfra MEN 1 E vinkelret på et punkt MEN 1 på planet for den nederste base, EN 1 D- vinkelret fra MEN 1 på AC. MEN 1 E\u003d 2 cm, da dette er højden af pyramiden. For at finde DE vi vil lave en ekstra tegning, hvor vi vil afbilde en topvisning (fig. 20). Prik OM- projektion af midten af de øvre og nedre baser. siden (se Fig. 20) og På den anden side Okay er radius af den indskrevne cirkel og 
OM er radius af den indskrevne cirkel:
MK=DE.
Ifølge Pythagoras sætning fra
Sidefladeområde: 
Svar:
Eksempel 4 I bunden af pyramiden ligger en ligebenet trapez, hvis baser men Og b (-en> b). Hver sideflade danner en vinkel, der er lig med pyramidens bundplan j. Find det samlede overfladeareal af pyramiden.
Opløsning. Lad os lave en tegning (fig. 21). Samlet overfladeareal af pyramiden SABCD er lig med summen af arealerne og arealet af trapez ABCD.
Lad os bruge det udsagn, at hvis alle pyramidens flader er lige skråtstillede i forhold til basens plan, så projiceres toppunktet ind i midten af cirklen, der er indskrevet i basen. Prik OM- vertex projektion S ved bunden af pyramiden. Trekant SOD er den ortogonale projektion af trekanten CSD til basisplanet. Ifølge teoremet om arealet af den ortogonale projektion af en flad figur får vi:
På samme måde betyder det 
Således blev problemet reduceret til at finde området af trapez ABCD. Tegn en trapez ABCD separat (fig. 22). Prik OM er midten af en cirkel indskrevet i en trapez.
Da en cirkel kan indskrives i en trapezoid, så eller Ved Pythagoras sætning har vi
Introduktion. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Begrebet et polyeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Pyramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
pyramide egenskaber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Afkortet pyramide. . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... . . . 8
2.3. Konstruktion af en pyramide og dens plane sektioner. . . .ni
3. Prisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . elleve
3.1. Billede af et prisme og dets konstruktion
sektioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Parallelepipedum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Nogle egenskaber ved et parallelepipedum. . . . . . . 16
5. Eulers polyedre-sætning. . . . . . . . . . . . . . . atten
6. Polyedres lighed. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Regelmæssige polyedre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1. Oversigtstabel over polyedre. . . . . . . . . . . 22
Konklusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Introduktion
Blaise Pascal sagde engang: "Faget matematik er så alvorligt, at det er godt ikke at gå glip af en mulighed for at gøre det lidt mere underholdende." Fra denne position, lad os prøve at overveje stereometri, som er en af sektionerne af geometri. Stereometri studerer egenskaberne af figurer i rummet. For eksempel tager flydende dråber i vægtløshed form af en geometrisk krop kaldet en bold. Den samme form har en lille tennisbold og større genstande - vores planet og mange andre rumobjekter. En dåse er en cylinder.
Stereometri omkring os: i hverdagen og i professionelle aktiviteter. Vi kan selvfølgelig ikke "se" videnskaben, men vi kan dagligt se de tredimensionelle kroppe i rummet, som den studerer. Er det ikke interessant at se sig selv i spejlet fra alle sider? Men den menneskelige figur er også et tredimensionelt objekt.
For at løse mange geometriske problemer forbundet med et tetraeder og et parallelepipedum er det nødvendigt at kunne bygge deres sektioner i figuren efter forskellige planer. Lad os kalde et skæreplan et hvilket som helst plan, på begge sider af hvilket der er punkter af denne figur. Skæreplanet skærer figurens flader langs segmenter. En polygon, hvis sider er disse segmenter, kaldes et udsnit af figuren. Da et tetraeder har fire flader, kan kun trekanter og firkanter være dets sektioner. Parallepipedet har seks flader. Dens sektioner kan være trekanter, firkanter, femkanter og sekskanter.
1. Begrebet et polyeder
Polyeder- et geometrisk rumligt legeme afgrænset på alle sider af et begrænset antal flade polygoner. Facetter polyeder kaldes polygoner, der binder polyederet (ansigter - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). ribben polyhedron kaldes de fælles sider af tilstødende flader (kanter - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). toppe polyeder kaldes hjørner af polyedriske vinkler dannet af dets flader, der konvergerer i et punkt . Diagonal Et polyeder er et linjestykke, der forbinder to hjørner, der ikke ligger på samme flade (BN). diagonalt plan polyeder kaldes et plan, der går gennem tre hjørner af polyederet, som ikke ligger i samme flade (plan BEN).
Polyederet kaldes konveks , hvis den er placeret på den ene side af planet for hver polygon på dens overflade. Fladerne på et konveks polyeder kan kun være konvekse polygoner (et eksempel på et konveks polyeder er en terning, fig. 1).
Hvis en polygons flader skærer sig selv, kaldes et sådant polyeder ikke-konveks (Fig. 2).
Et snit af et polyeder af et plan er den del af dette plan, der er afgrænset af skæringslinjen mellem polyederens overflade og dette plan.
.
2. Pyramide
Pyramide et polyeder kaldes, hvoraf den ene side er en vilkårlig polygon, og de resterende flader er trekanter med et fælles toppunkt.
Pyramidens bund kaldes et polyeder opnået i et skæreplan (ABCDE). Sideflader af pyramiden kaldes trekanter ASB, BSC, ... med et fælles toppunkt S, som kaldes toppen af pyramiden. Sidekanterne af en pyramide er de kanter, langs hvilke sidefladerne skærer hinanden. Højden af en pyramide er vinkelret tegnet fra spidserne af pyramiden til planet af dens base. Apotemet for en pyramide er højden af sidefladen sænket fra toppen af pyramiden.
Pyramiden kaldes korrekt , hvis dens base er en regulær polygon, og toppen af pyramiden er projiceret ind i midten af denne polygon.
Lad os bevise det alle sidekanter af en regulær pyramide er lige store, og sidefladerne er lige store trekanter
Overvej en regulær pyramide PA 1 A 2 …A n . Først beviser vi, at alle sidekanter af denne pyramide er ens. Enhver sidekant er hypotenusen af en retvinklet trekant, hvor det ene ben er højden PO af pyramiden, og det andet er radius af cirklen omskrevet nær basen (for eksempel er sidekanten PA 1 hypotenusen af trekant OPA 1, hvor OP=h, OA1 =R). Ved Pythagoras sætning er enhver sidekant lig med √(h 2 +R 2), så PA 1 =PA 2 =…= PA n .
Vi har bevist, at sidekanterne af en regulær pyramide PA 1 A 2 …A n er lig med hinanden, så sidefladerne er ligebenede trekanter. Baserne af disse trekanter er også lig med hinanden, da A 1 A 2 …A n er en regulær polygon. Derfor er sidefladerne ens i henhold til det tredje kriterium for trekanters lighed, som skulle bevises.
Sektionen af pyramiden med et plan parallelt med bundens plan kaldes pyramide tværsnit .
pyramide egenskaber
Egenskaber af pyramidens tværsnit.
1. Hvis du krydser pyramiden med et plan parallelt med bunden, så:
· 
sidekanterne og pyramidens højde vil blive opdelt af dette plan i proportionale segmenter;
i afsnittet får du en polygon, der ligner polygonen, der ligger ved bunden;
Tværsnits- og basisarealerne vil relatere til hinanden som kvadraterne af deres afstande fra toppen af pyramiden:
S 1:S 2 = X 1 2: X 2 2
2. Hvis to pyramider med lige høje højder skæres af planer parallelt med baserne, i samme afstand fra toppen, så vil sektionernes areal være proportional med arealerne af baserne.
Arealet af den laterale overflade (eller blot den laterale overflade) af en pyramide er summen af arealerne af dens laterale flader.
Samlet overfladeareal(eller blot den samlede overflade) af en pyramide er summen af arealet af dens laterale overflade og arealet af dens base.
Pyramidehøjdeegenskaber
1. Hvis pyramidens sideflade er vinkelret på bundens plan, så passerer pyramidens højde i denne flades plan.
2. Hvis to tilstødende sidekanter af pyramiden er lige store, så er bunden af pyramidens højde på en vinkelret trukket gennem midten af den side af bunden, fra hvis ender disse sidekanter udgår.
3. Hvis to tilstødende sideflader af pyramiden hælder lige meget til bundens plan, så ligger bunden af pyramidens højde på halveringslinjen af vinklen dannet af de sider af bunden, gennem hvilke disse sideflader passerer.
4. Hvis pyramidens sidekant danner lige store vinkler med to sider af basen ved siden af den, så ligger bunden af pyramidens højde på halveringslinjen af vinklen dannet af disse sider af basen.
5. Hvis pyramidens sidekant er vinkelret på den side af bunden, der skærer med den, så er bunden af pyramidens højde på vinkelret restaureret (i bunden af pyramidens plan) til denne side fra punktet for dets skæringspunkt med denne sidekant.
BEMÆRK: hvis pyramiden har to af disse funktioner, så er det muligt entydigt at angive det punkt, der er bunden af pyramidens højde.
Figuren viser et fragment af en regulær n-kulspyramide SABCD…, hvor SH er pyramidens højde; SK er et apotem. Lad os introducere følgende notation: vinkel alfa ( ά
) er vinklen mellem pyramidens sidekant og basens plan; beta (β) er vinklen mellem sidefladen og basisplanet; vinklen y (y) er vinklen mellem tilstødende sideribber; vinkel phi (φ) - vinklen mellem tilstødende sideflader.
Hvis en af disse vinkler er kendt i en regulær pyramide, så kan de tre andre findes. Seks relationer er vist i tabellen:
Pyramidevolumen findes efter formlen:
V=1/3S hoved-H,
hvor Sbase er basisarealet, H er højden.
Sidefladeareal den korrekte pyramide er udtrykt som følger:
S side \u003d 1 / 2Ph,
hvor P er omkredsen af basen, h er højden af sidefladen
2.2. Afkortet pyramide.
afkortet pyramide den del af pyramiden kaldes, indesluttet mellem dens basis og et skærende plan parallelt med bunden, for eksempel pyramiden ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Baserne i en afkortet pyramide kaldes parallelle flader ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD er den nederste base, og A 1 B 1 C 1 D 1 er den øvre base).
Højde afkortet pyramide - et lige linjesegment vinkelret på baserne og indesluttet mellem deres planer.
Stumpet pyramide korrekt , hvis dens baser er regulære polygoner, og linjen, der forbinder basernes centre, er vinkelret på basernes plan.
Apotemet for en afkortet pyramide er højden af dens sideflade.
Side overflade afkortet pyramide er summen af områderne af dens sideflader. Den samlede overflade af en afkortet pyramide er lig med summen af sidefladen og arealerne af baserne.
En afkortet pyramide opnås fra en pyramide ved at skære den øverste del af den med et plan parallelt med bunden. Baserne af den afkortede pyramide er lignende polygoner, sidefladerne er trapezoider.
Bind afkortet pyramide findes ved formlen:
V=1/3 H(S+ √ SS1+S1),
hvor S og S1 er arealerne af baserne, og H er højden.
Sidefladeareal en regulær afkortet pyramide udtrykkes som følger:
S side \u003d 1/2 (P + P 1) h,
hvor P og P1 er omkredsen af baserne, h er højden af sidefladen (eller apotem af en regulær afkortet pyramide).
2.3. Konstruktion af en pyramide og dens plane sektioner
I overensstemmelse med reglerne for parallel projektion er billedet af pyramiden konstrueret som følger. Først bygges fundamentet. Det vil være en flad polygon. Derefter markeres toppen af pyramiden, som er forbundet med laterale ribber til toppen af basen.
Udsnit af pyramiden efter fly, der går gennem dens top, er trekanter (fig. a). Især diagonale sektioner er også trekanter. Disse er snit efter planer, der går gennem to ikke-tilstødende sidekanter af pyramiden (fig. b).
Snittet af en pyramide af et plan med et givet spor g på bundens plan er konstrueret på samme måde som snittet af et prisme.
For at konstruere en sektion af en pyramide ved et plan er det tilstrækkeligt at konstruere skæringerne mellem dens sideflader og skæreplanet.
Hvis et punkt A, der hører til snittet, er kendt på en flade, der ikke er parallel med sporet g, så konstrueres skæringen af sporet g af sekantplanet med planet for denne flade først - punkt D i figuren ( i). Punkt D er forbundet med punkt A med en ret linje. Så er segmentet af denne linje, der hører til ansigtet, skæringspunktet mellem dette ansigt og skæreplanet. Hvis punktet A ligger på en flade parallelt med sporet g, så skærer skæreplanet denne flade langs et segment parallelt med linjen g. Når de går til den tilstødende sideflade, bygger de sin skæring med skæreplanet osv. Som et resultat opnås den nødvendige sektion af pyramiden.