Cr 4 taikant kvadratinės šaknies savybes. Aritmetinė kvadratinė šaknis (8 klasė)
Šiame straipsnyje apžvelgsime pagrindinius šaknų savybės... Pradėkime nuo aritmetinės kvadratinės šaknies savybių, pateikime jų formuluotes ir pateiksime įrodymus. Po to nagrinėsime n-osios aritmetikos šaknies savybes.
Puslapio naršymas.
Kvadratinės šaknies savybės
Šiuo metu nagrinėsime šiuos pagrindinius dalykus aritmetinės kvadratinės šaknies savybės:
Kiekvienoje parašytoje lygybėje kairę ir dešinę puses galima sukeisti, pavyzdžiui, lygybę galima perrašyti kaip 
... Šioje „atvirkštinėje“ formoje aritmetinės kvadratinės šaknies savybės taikomos, kai posakių supaprastinimas taip dažnai, kaip ir „tiesiogine“ forma.
Pirmųjų dviejų savybių įrodymas pagrįstas aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimu ir toliau. Ir norint pagrįsti paskutinę aritmetinės kvadratinės šaknies savybę, teks prisiminti.
Taigi pradėkime nuo dviejų neneigiamų skaičių sandaugos aritmetinės kvadratinės šaknies savybės įrodymas:. Tam, pagal aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimą, pakanka parodyti, kad yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a · b. Padarykime tai. Išraiškos reikšmė yra neneigiama kaip neneigiamų skaičių sandauga. Dviejų skaičių sandaugos laipsnio savybė leidžia parašyti lygybę 
, o kadangi pagal aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimą ir tada.
Panašiai įrodyta, kad k neneigiamų faktorių sandaugos a 1, a 2,…, a k aritmetinė kvadratinė šaknis yra lygi šių faktorių aritmetinių kvadratinių šaknų sandaugai. Tikrai,. Ši lygybė tai reiškia.
Štai keletas pavyzdžių: ir.
Dabar įrodykime dalinio aritmetinės kvadratinės šaknies savybė:. Natūralaus laipsnio koeficiento savybė leidžia parašyti lygybę 
, a 
, ir yra neneigiamas skaičius. Tai yra įrodymas.
Pavyzdžiui, ir 
.
Atėjo laikas atskirti skaičiaus kvadrato aritmetinės kvadratinės šaknies savybė, lygybės formoje rašoma kaip. Norėdami tai įrodyti, apsvarstykite du atvejus: a≥0 ir a<0 .
Akivaizdu, kad lygybė galioja a≥0. Taip pat nesunku pastebėti, kad a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 ir (-a) 2 = a 2. Taigi, 
, kaip reikalaujama įrodyti.
Štai keletas pavyzdžių: 
ir 
.
Ką tik įrodyta kvadratinės šaknies savybė leidžia pagrįsti tokį rezultatą, kur a yra bet koks realusis skaičius, o m yra bet koks. Iš tiesų, galios pakėlimo į laipsnį savybė leidžia laipsnį a 2 m pakeisti išraiška (a m) 2, tada 
.
Pavyzdžiui, 
ir 
.
N-osios šaknies savybės
Pirmiausia išvardinkime pagrindinius n-ųjų šaknų savybės:
Visos parašytos lygybės lieka galioti, jei jose sukeičiama kairė ir dešinė pusės. Šioje formoje jie taip pat dažnai naudojami, daugiausia supaprastinant ir transformuojant išraiškas.
Visų garsinių šaknies savybių įrodymas grindžiamas n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies apibrėžimu, laipsnio savybėmis ir skaičiaus modulio apibrėžimu. Įrodykime juos prioriteto tvarka.
Pradėkime nuo įrodymų n-osios produkto šaknies savybės ... Neneigiamų a ir b išraiškos reikšmė taip pat yra neneigiama, kaip ir neneigiamų skaičių sandauga. Produkto savybė natūraliu laipsniu leidžia parašyti lygybę 
... Pagal n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies apibrėžimą ir todėl 
... Tai įrodo nagrinėjamos šaknies savybę.
Ši savybė panašiai įrodoma ir k faktorių sandaugai: neneigiamiems skaičiams a 1, a 2, ..., a n, 
ir .
Čia pateikiami produkto n-osios šaknies savybės naudojimo pavyzdžiai: 
ir .
Įrodykime koeficiento šaknies savybė... Jei a≥0 ir b> 0, sąlyga tenkinama ir 
.
Parodykime pavyzdžius: 
ir 
.
Judėjimas toliau. Įrodykime skaičiaus n-osios šaknies savybė iki n-osios laipsnio... Tai yra, mes tai įrodysime 
bet kokiam realiam a ir natūraliam m. Jei a≥0 turime ir, kuris įrodo lygybę, ir lygybę aišku. Dėl<0
имеем и 
(paskutinė ištrauka galioja dėl laipsnio su lyginiu laipsniu savybės), kuri įrodo lygybę, ir yra teisinga dėl to, kad, kalbėdami apie nelyginio laipsnio šaknį, ėmėme 
bet kuriam neneigiamam skaičiui c.
Čia yra analizuojamos šaknies nuosavybės naudojimo pavyzdžiai: and 
.
Mes pereiname prie šaknies savybės įrodymo iš šaknies. Sukeisime dešinės ir kairės pusės vietomis, tai yra, įrodysime lygybės pagrįstumą, o tai reikš pradinės lygybės galiojimą. Neneigiamo skaičiaus a formos šaknies šaknis yra neneigiamas skaičius. Prisimindami laipsnio pakėlimo į laipsnį savybę ir naudodami šaknies apibrėžimą, galime užrašyti formos lygybių grandinę 
... Tai įrodo šaknies savybę nuo nagrinėjamos šaknies.
Panašiai įrodoma ir šaknies savybė iš šaknies iš šaknies ir pan. tikrai, 
.
Pavyzdžiui, 
ir .
Įrodykime tai. šaknies eksponento sutrumpinimo savybė... Tam, remiantis šaknies apibrėžimu, pakanka parodyti, kad yra neneigiamas skaičius, kuris, pakeltas iki laipsnio n · m, yra lygus m. Padarykime tai. Aišku, kad jei skaičius a yra neneigiamas, tai skaičiaus a n-oji šaknis yra neneigiamas skaičius. Kuriame 
, kuris užbaigia įrodymą.
Pateiksime analizuojamos šaknies nuosavybės naudojimo pavyzdį:.
Įrodykime tokią savybę – formos laipsnio šaknies savybę 
... Akivaizdu, kad a≥0 laipsnis yra neneigiamas skaičius. Be to, jo n-asis laipsnis yra lygus m, iš tikrųjų. Tai įrodo nagrinėjamo laipsnio savybę.
Pavyzdžiui, 
.
Eikime toliau. Įrodykime, kad bet kurių teigiamų skaičių a ir b sąlyga a , tai yra, a≥b. Ir tai prieštarauja sąlygai a
Kaip pavyzdį pateikiame teisingą nelygybę 
.
Galiausiai belieka įrodyti paskutinę n-osios šaknies savybę. Pirmiausia įrodykime pirmąją šios savybės dalį, tai yra, įrodysime, kad m> n ir 0 Panašiai prieštaraujant įrodoma, kad m> n ir a> 1 sąlyga yra įvykdyta. Pateiksime įrodytos šaknies savybės pritaikymo konkrečiais skaičiais pavyzdžius. Pavyzdžiui, nelygybės ir yra teisingos.
, tai yra, a n ≤a m. Ir gauta nelygybė m> n ir 0
Bibliografija.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei švietimo įstaigos.
- Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnitsyn Yu.P. ir kt.. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis 10 - 11 ugdymo įstaigų klasėms.
- Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas).
\ (\ sqrt (a) = b \), jei \ (b ^ 2 = a \), kur \ (a≥0, b≥0 \)
Pavyzdžiai:
\ (\ kvadratas (49) = 7 \) nuo \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) nuo \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)
Kaip išgauti skaičiaus kvadratinę šaknį?
Norėdami išgauti skaičiaus kvadratinę šaknį, turite užduoti sau klausimą: kokį skaičių kvadrate duos po šaknimis esanti išraiška?
Pavyzdžiui... Išskleiskite šaknį: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)
a) Koks skaičius kvadratu duos \ (2500 \)?
\ (\ sqrt (2500) = 50 \)
b) Koks skaičius kvadratu duos \ (\ frac (4) (9) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Koks skaičius kvadratu duos \ (0,0001 \)?
\ (\ sqrt (0,0001) = 0,01 \)
d) Koks skaičius kvadratu duos \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Norėdami atsakyti į klausimą, turite išversti į neteisingą.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
komentuoti: Nors \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), taip pat atsakykite į klausimus , tačiau į juos neatsižvelgiama, nes kvadratinė šaknis visada yra teigiama.
Pagrindinė šaknies savybė
Kaip žinote, matematikoje bet koks veiksmas turi priešingą. Sudėtis turi atimtį, o daugyba – padalijimą. Kvadratavimo atvirkštinė vertė yra kvadratinė šaknis. Todėl šie veiksmai panaikina vienas kitą:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)
Tai yra pagrindinė šaknies savybė, kuri dažniausiai naudojama (įskaitant OGE)
Pavyzdys ... (užduotis iš OGE). Raskite išraiškos reikšmę \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)
Sprendimas :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)
Pavyzdys ... (užduotis iš OGE). Raskite išraiškos reikšmę \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Sprendimas:
Atsakymas: \ (86-2 \ kv. (85) \)Žinoma, dirbant su kvadratine šaknimi reikia naudoti ir kitus.
Pavyzdys
... (užduotis iš OGE). Raskite išraiškos reikšmę \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Sprendimas:
Atsakymas: \(220\)
4 taisyklės, kurios visada pamirštamos
Šaknis ne visada paimamas
Pavyzdys: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) ir kt. - ne visada įmanoma išgauti šaknį iš skaičiaus ir tai normalu!
Skaičiaus šaknis, taip pat skaičiaus
Nebūtina nurodyti \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), kažkaip ypač. Tai skaičiai, bet ne sveikieji skaičiai, taip, bet ne viskas mūsų pasaulyje matuojama sveikais skaičiais.
Šaknis išgaunama tik iš neneigiamų skaičių
Todėl vadovėliuose nematysite tokių įrašų \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \) ir kt.
Pavadinimas: Savarankiškas ir kontrolinis algebros ir geometrijos darbas 8 klasei.
Vadove yra savarankiški ir kontroliniai darbai visomis svarbiausiomis algebros ir geometrijos kurso temomis 8 klasėje.
Darbus sudaro 6 trijų sudėtingumo lygių variantai. Didaktinė medžiaga skirta diferencijuoto savarankiško studentų darbo organizavimui.
TURINYS
ALGEBRA 4
P-1 Racionalioji išraiška. Mažinančios frakcijos 4
C-2 Trupmenų pridėjimas ir atėmimas 5
K-1 Racionaliosios trupmenos. Trupmenų pridėjimas ir atėmimas 7
C-3 Trupmenų daugyba ir dalyba. Trupmenos didinimas iki 10 laipsnio
C-4 Racionalios išraiškos transformacija 12
С-5 Atvirkštinis proporcingumas ir jo grafikas 14
К-2 Racionalios trupmenos 16
C-6 Aritmetinė kvadratinė šaknis iš 18
C-7 Lygtis x2 = a. Funkcija y = y [x 20
С-8 Produkto kvadratinė šaknis, trupmena, galia 22
K-3 Aritmetinė kvadratinė šaknis ir jos savybės 24
C-9 Daugiklio kvadratinėmis šaknimis įvedimas ir pašalinimas 27
C-10 Reiškių su kvadratinėmis šaknimis konvertavimas 28
K-4 Aritmetinės kvadratinės šaknies savybių taikymas 30
P-11 Nebaigtos kvadratinės lygtys 32
С-12 Kvadratinės lygties 33 šaknų formulė
С-13 Užduočių sprendimas naudojant kvadratines lygtis. Vietos teorema 34
K-5 kvadratinės lygtys 36
P-14 trupmeninės racionalios lygtys 38
С-15 Trupmeninių racionaliųjų lygčių taikymas. Problemų sprendimas 39
K-6 trupmeninės racionalios lygtys 40
C-16 Skaitinių nelygybių savybės 43
K-7 Skaitinės nelygybės ir jų savybės 44
С-17 Tiesinės nelygybės su vienu kintamuoju 47
С-18 Tiesinių nelygybių sistemos 48
K-8 Tiesinės nelygybės ir nelygybių sistemos su vienu kintamuoju 50
С-19 laipsnis su neigiamu indikatoriumi 52
K-9 laipsnis su sveikuoju skaičiumi 54
К-10 Kasmetinis testas 56
GEOMETRIJOS (pagal Pogorelovą) 58
С-1 Lygiagretainio savybės ir ženklai. "58
C-2 Stačiakampis. Rombas. 60 aikštė
K-1 Lygiagretė 62
С-3 Talio teorema. 63 trikampio vidurio linija
C-4 Trapecija. Vidurinė trapecijos linija 66
K-2 Trapecija. Trikampio ir trapecijos vidurio linijos ... 68
C-5 Pitagoro teorema 70
С-6 Pitagoro teoremai priešinga teorema. Statmenas ir įstrižas 71
C-7 Trikampio nelygybė 73
K-3 Pitagoro teorema 74
C-8 Stačiojo trikampio sprendimas 76
C-9 Trigonometrinių funkcijų savybės 78
К-4 Stačiakampis trikampis (apibendrinimo testas) 80
С-10 Atkarpos vidurio taško koordinatės. Atstumas tarp taškų. Apskritimo lygtis 82
C-11 Tiesės lygtis 84
K-5 Dekarto koordinatės 86
С-12 Judėjimas ir jo savybės. Centrinė ir ašinė simetrija. Pasukite 88
S-13. Lygiagretus perdavimas 90
С-14 Vektorinė koncepcija. Vektorių lygybė 92
С-15 Veiksmai su vektoriais koordinačių pavidalu. Kolineariniai vektoriai 94
С-16 Veiksmai su vektoriais geometrine forma 95
C-17 taškinis gaminys 98
K-6 vektoriai 99
К-7 Kasmetinis patikrinimas 102
GEOMETRIJOS (pagal Atanasyan) 104
С-1 Lygiagretainio savybės ir ženklai 104
C-2 Stačiakampis. Rombas. 106 aikštė
К-1 Keturkampiai 108
С-3 Stačiakampio plotas, kvadratas 109
С-4 Lygiagretainio, rombo, trikampio 111 plotas
С-5 Trapecijos plotas 113
C-6 Pitagoro teorema 114
K-2 kvadratai. Pitagoro teorema 116
C-7 Panašių trikampių apibrėžimas. Trikampio kampo pusiausvyros savybė 118
С-8 Trikampių panašumo ženklai 120
K-3 Trikampių panašumas 122
С-9 Panašumo taikymas sprendžiant uždavinius 124
C-10 Stačiojo trikampio kraštinių ir kampų santykis 126
К-4 Panašumo taikymas problemų sprendimui. Stačiojo trikampio kraštinių ir kampų santykis 128
С-11 130 apskritimo liestinė
С-12 Centras ir užrašyti kampai 132
С-13 Teorema apie susikertančių stygų atkarpų sandaugą. Nuostabūs trikampio taškai 134
С-14 Įbrėžti ir apibrėžti apskritimai 136
K-5 Perimetras 137
C-15 Vektorių sudėjimas ir atėmimas 139
С-16 Vektoriaus padauginimas iš skaičiaus 141
С-17 142 trapecijos vidurinė linija
K-6 vektoriai. Vektorių taikymas sprendžiant uždavinius 144
К-7 Kasmetinis patikrinimas 146
ATSAKYMAI 148
NUORODOS 157
PRATARMĖ
.
1. Vienoje palyginti nedidelėje knygelėje yra visas 8 klasės algebros ir geometrijos kurso testų komplektas (įskaitant ir baigiamuosius), todėl vienai klasei užtenka įsigyti vieną knygų komplektą.
Testiniai darbai skirti pamokai, savarankiškam darbui – 20-35 min., priklausomai nuo temos. Kad būtų patogiau naudotis knyga, kiekvieno savarankiško ir bandomojo darbo pavadinime atsispindi jo tema.
2. Kolekcija leidžia diferencijuoti žinių kontrolę, nes užduotys paskirstytos trimis sudėtingumo lygiais A, B ir C. A lygis atitinka privalomuosius programos reikalavimus, B – vidutinį sudėtingumo lygį, C lygio užduotys yra skirtas mokiniams, kurie labiau domisi matematika, taip pat naudoti klasėse, mokyklose, gimnazijose ir aukštosiose mokyklose, kuriose mokosi matematikos. Kiekvienam lygiui yra 2 gretimi lygiaverčiai variantai (kaip paprastai rašomi lentoje), todėl pamokai užtenka vienos knygos ant stalo.
Nemokamai atsisiųskite elektroninę knygą patogiu formatu, žiūrėkite ir skaitykite:
Atsisiųskite knygą Savarankiškas darbas ir kontroliniai algebros ir geometrijos 8 klasei. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, greitai ir nemokamai atsisiųskite.
- Savarankiškas ir kontrolinis geometrijos darbas 11 klasei. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004 m
- Savarankiškas ir kontrolinis algebros ir geometrijos darbas 9 klasei. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 m
- Savarankiški ir kontroliniai algebros ir geometrijos darbai, 8 klasė, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013 m.