กฎสำหรับการสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด วาดด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด
ถ้ามันค่อนข้างเป็นธรรมชาติด้วยสมมติฐานของเครื่องมือที่หลากหลายมากขึ้น มันกลายเป็นว่าเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาการก่อสร้างที่กว้างขึ้น จากนั้นใคร ๆ ก็คาดการณ์ได้ว่าภายใต้ข้อ จำกัด ที่กำหนดไว้สำหรับเครื่องมือ ประเภทของปัญหาที่แก้ไขได้จะแคบลง สิ่งที่น่าทึ่งกว่านั้นควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นการค้นพบโดยชาวอิตาลี มาสเชโรนี (1750-1800):โครงสร้างทางเรขาคณิตทั้งหมดที่ทำด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดสามารถทำได้ด้วยเข็มทิศเพียงอันเดียวแน่นอน ควรกำหนดว่าเป็นไปไม่ได้จริง ๆ ที่จะวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดที่กำหนดโดยไม่มีไม้บรรทัด ดังนั้น โครงสร้างพื้นฐานนี้จึงไม่ครอบคลุมอยู่ในทฤษฎีของ Mascheroni เราต้องสันนิษฐานว่าจะได้รับบรรทัดหากได้รับสองคะแนน แต่ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศเพียงอันเดียว เป็นไปได้ที่จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดไว้ด้วยวิธีนี้ หรือจุดตัดของเส้นตรงที่มีวงกลม
อาจเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของการสร้างของ Mascheroni คือการเสแสร้งของกลุ่ม AB ที่กำหนด วิธีแก้ปัญหามีอยู่แล้วในหน้า 174-175 นอกจากนี้ ในหน้า 175-176 เราได้เรียนรู้วิธีแบ่งครึ่งส่วนนี้ ตอนนี้เรามาดูวิธีการแบ่งครึ่งวงกลมของวงกลม AB ที่มีจุดศูนย์กลาง O กัน นี่คือคำอธิบายของโครงสร้างนี้ (รูปที่ 47) ด้วยรัศมี AO เราวาดส่วนโค้งสองส่วนด้วยจุดศูนย์กลาง A และ B จากจุด O เราเลิกใช้ส่วนโค้งเหล่านี้สองส่วนโค้ง OP และ OQ เช่นนั้น OP = OQ = AB... จากนั้นเราจะพบจุด R ของจุดตัดของส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง P และรัศมี PB และส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง Q และรัศมี QA สุดท้าย การนำส่วน OR เป็นรัศมี เราอธิบายส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง P หรือ Q จนถึงจุดตัดกับส่วนโค้ง AB - จุดตัดและเป็นจุดกึ่งกลางที่ต้องการของส่วนโค้ง AB หลักฐานถูกทิ้งไว้ให้ผู้อ่านเป็นแบบฝึกหัด
เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์การยืนยันพื้นฐานของ Mascheroni ด้วยการชี้ให้เห็น สำหรับการก่อสร้างแต่ละครั้งที่ดำเนินการด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด วิธีการที่สามารถทำได้ด้วยเข็มทิศเพียงอันเดียว ท้ายที่สุด มีโครงสร้างที่เป็นไปได้มากมาย แต่เราจะบรรลุเป้าหมายเดียวกัน หากเราพิสูจน์ได้ว่าโครงสร้างพื้นฐานแต่ละอย่างต่อไปนี้สามารถทำได้ด้วยเข็มทิศเดียว:
- วาดวงกลมถ้ามีการระบุจุดศูนย์กลางและรัศมีไว้
- หาจุดตัดของวงกลมสองวง
- หาจุดตัดของเส้นตรงและวงกลม
- หาจุดตัดของสองเส้น
โครงสร้างทางเรขาคณิตใด ๆ (ในความหมายปกติโดยมีการสันนิษฐานของเข็มทิศและไม้บรรทัด) ประกอบด้วยการดำเนินการตามลำดับที่แน่นอนของโครงสร้างพื้นฐานเหล่านี้ ว่าสองคนแรกเป็นไปได้ด้วยเข็มทิศอันเดียวชัดเจนโดยตรง โครงสร้างที่ยากขึ้น 3 และ 4 ดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติการผกผันที่กล่าวถึงในย่อหน้าก่อนหน้า
ให้เราหันไปที่โครงสร้าง 3: เราพบจุดตัดของวงกลม C นี้โดยมีเส้นตรงผ่านจุด A และ B เหล่านี้ เราวาดส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง A และ B และรัศมี ตามลำดับเท่ากับ AO และ BO ยกเว้นจุด O พวกมันตัดกันที่จุด P จากนั้นเราสร้างจุด Q ตรงข้ามกับจุด P ที่สัมพันธ์กับวงกลม C (ดูโครงสร้างที่อธิบายไว้ในหน้า 174) สุดท้ายวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง Q และรัศมี QO (แน่นอนว่าจะตัดกับ C): จุดตัดของจุด X และ X "โดยวงกลม C จะเป็นวงกลมที่ต้องการ เพื่อพิสูจน์ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่าแต่ละจุด X และ X" อยู่ห่างจาก O และ P เท่ากัน (สำหรับจุด A และ B คุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันจะตามมาทันทีจากการก่อสร้าง) อันที่จริงก็เพียงพอแล้วที่จะอ้างถึงความจริงที่ว่าจุดตรงข้ามกับจุด Q นั้นเว้นระยะห่างจากจุด X และ X "ด้วยระยะทางเท่ากับรัศมีของวงกลม C (ดูหน้า 173) เป็นที่น่าสังเกตว่า วงกลมที่ผ่านจุด X, X" และ O เป็นเส้นย้อนกลับ AB ที่ผกผันกับวงกลม C เนื่องจากวงกลมและเส้น AB นี้ตัดกับ C ที่จุดเดียวกัน (ในกรณีของการผกผัน จุดของวงกลมฐานยังคงนิ่ง) โครงสร้างที่ระบุจะทำไม่ได้ก็ต่อเมื่อเส้น AB ผ่านจุดศูนย์กลาง C แต่จากนั้นจะพบจุดตัดโดยใช้วิธีการก่อสร้างที่อธิบายไว้ในหน้า 178 เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง C ที่ได้รับเมื่อเราวาดวงกลมตามอำเภอใจที่มีจุดศูนย์กลาง B ตัดกับ C ที่จุด B 1 และ B 2
วิธีการวาดวงกลมผกผันของเส้นตรง "เชื่อมต่อสองจุดที่กำหนดทันทีให้การก่อสร้างที่แก้ปัญหา 4 ให้เส้นที่กำหนดโดยจุด A, B และ A", B "(รูปที่ 50) วาด วงกลม C โดยพลการ และใช้วิธีการข้างต้น เราจะสร้างวงกลมผกผันกับเส้นตรง AB และ A "B" วงกลมเหล่านี้ตัดกันที่จุด O และอีกจุด Y จุด X ตรงข้ามกับจุด Y คือจุดตัดที่ต้องการ จุด: วิธีการสร้างได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว สิ่งที่ X คือจุดที่ต้องการนั้นชัดเจนจากข้อเท็จจริงที่ว่า Y เป็นจุดเดียวที่อยู่ตรงข้ามกับจุดพร้อมกันซึ่งเป็นของทั้งเส้น AB และ A "B" ดังนั้น จุด X ตรงข้ามกับ Y ต้องนอนพร้อมกันบน AB และ A "B" ...
โครงสร้างทั้งสองนี้ยุติการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันระหว่างโครงสร้างของ Mascheroni ซึ่งอนุญาตให้ใช้เฉพาะวงเวียน และโครงสร้างเรขาคณิตธรรมดาที่มีวงเวียนและเส้นตรง
เราไม่สนใจความสง่างามของการแก้ปัญหาส่วนบุคคลที่เราพิจารณาที่นี่ เนื่องจากเป้าหมายของเราคือค้นหาความหมายภายในของโครงสร้างของ Mascheroni แต่เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะระบุการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติด้วย แม่นยำยิ่งขึ้น เรากำลังพูดถึงการหาจุดห้าจุดบนวงกลมที่สามารถทำหน้าที่เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้
ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนวงกลม K เนื่องจากด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติที่มีเครื่องหมายเท่ากับรัศมีของวงกลม จะเลื่อนจุด B, C, D บน K ได้ไม่ยาก ดังนั้น AB = BC = CD = 60 ° (รูปที่ 51) วาดส่วนโค้งด้วยจุดศูนย์กลาง A และ D ด้วยรัศมีเท่ากับ AC ปล่อยให้พวกมันตัดกันที่จุด X จากนั้น ถ้า O เป็นจุดศูนย์กลางของ K ส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง A และรัศมี OX จะตัดกัน K ที่จุด F ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง BC (ดูหน้า 178) จากนั้น ด้วยรัศมีเท่ากับรัศมี K เราอธิบายส่วนโค้งที่มีจุดศูนย์กลาง F ตัดกับ K ที่จุด G และ H ให้ Y เป็นจุดที่มีระยะห่างจากจุด G และ H เท่ากับ OX และแยกออกจาก X โดย ศูนย์กลาง O ในกรณีนี้ ส่วน AY ตามเวลาคือด้านของรูปห้าเหลี่ยมที่ต้องการ หลักฐานถูกนำเสนอต่อผู้อ่านเพื่อเป็นแบบฝึกหัด เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าในระหว่างการก่อสร้างใช้รัศมีที่แตกต่างกันเพียงสามแบบ
ในปี 1928 Elmslev นักคณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์กพบหนังสือชื่อ . ในร้านหนังสือแห่งหนึ่งในโคเปนเฮเกน Euclides Danicusตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1672 โดยผู้เขียนที่ไม่รู้จัก ก.มอรอม.จากหน้าชื่อเรื่อง เป็นไปได้ที่จะสรุปว่านี่เป็นเพียงหนึ่งในเวอร์ชันของ "องค์ประกอบ" แบบยุคลิด ซึ่งติดตั้งพร้อมคำบรรยายจากบรรณาธิการ แต่เมื่อตรวจสอบอย่างละเอียดแล้ว กลับกลายเป็นว่ามีวิธีแก้ปัญหา Mascheroni อย่างครบถ้วน ซึ่งพบมาก่อน Mascheroni
การออกกำลังกาย. ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายเกี่ยวกับโครงสร้างของ Mohr ตรวจสอบว่าถูกต้องหรือไม่ เหตุใดจึงสามารถโต้แย้งได้ว่าพวกเขาแก้ปัญหา Mascheroni?
โดยได้รับแรงบันดาลใจจากผลงานของ Mascheroni จาค็อบ สไตเนอร์ (พ.ศ. 2339-2406)ได้พยายามศึกษาสิ่งก่อสร้างที่สามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอันเดียว แน่นอน ไม้บรรทัดเพียงอย่างเดียวไม่ได้ทำให้คุณเกินขอบเขตของฟิลด์ตัวเลขที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่เพียงพอที่จะสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิตทั้งหมดตามความหมายดั้งเดิม แต่สิ่งที่น่าสังเกตยิ่งกว่านั้นก็คือผลลัพธ์ที่ได้จาก Steiner พร้อมข้อจำกัดที่เขาแนะนำ - ให้ใช้เข็มทิศเพียงครั้งเดียว เขาพิสูจน์ว่าสิ่งปลูกสร้างทั้งหมดบนเครื่องบิน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด สามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอันเดียว โดยมีเงื่อนไขว่าจะมีวงกลมตายตัวเพียงวงเดียวที่มีจุดศูนย์กลาง โครงสร้างเหล่านี้บ่งบอกถึงการใช้วิธีการฉายภาพและจะอธิบายในภายหลัง (ดูหน้า 228)
* คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่มีวงกลมและยิ่งกว่านั้นด้วยศูนย์ ตัวอย่างเช่น หากกำหนดวงกลมไว้แต่ไม่ได้ระบุจุดศูนย์กลาง จะไม่สามารถหาจุดศูนย์กลางโดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอันเดียวได้ ตอนนี้เราจะพิสูจน์สิ่งนี้โดยอ้างถึงข้อเท็จจริงที่จะจัดตั้งขึ้นในภายหลัง (ดูหน้า 252): มีการเปลี่ยนแปลงของระนาบเป็นตัวเองว่า a) วงกลมที่กำหนดยังคงนิ่ง b) เส้นตรงทุกเส้น เป็นเส้นตรงโดยมี ) จุดศูนย์กลางของวงกลมคงที่ไม่อยู่กับที่ แต่ถูกแทนที่ การมีอยู่จริงของการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเป็นเครื่องยืนยันถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนดโดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอันเดียว อันที่จริงแล้ว ไม่ว่าขั้นตอนการก่อสร้างจะเป็นอย่างไร ก็จะมีขั้นตอนที่แยกจากกันจำนวนหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยการวาดเส้นตรงและการหาทางแยกจากกันหรือด้วยวงกลมที่กำหนด ตอนนี้ให้เราจินตนาการว่าร่างทั้งหมดโดยรวมเป็นวงกลม และเส้นทั้งหมดที่ลากตามไม้บรรทัดเมื่อสร้างจุดศูนย์กลางจะอยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลง การมีอยู่ของสิ่งที่เราสันนิษฐานไว้ที่นี่ เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขที่ได้รับหลังจากการแปลงจะเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งหมดของการก่อสร้างเช่นกัน แต่โครงสร้างที่ระบุโดยรูปนี้จะนำไปสู่จุดอื่นที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าการก่อสร้างที่เป็นปัญหานั้นเป็นไปไม่ได้
วิทยาลัย YouTube
1 / 5
✪ เกรด 7 บทที่ 22 การก่อสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด
✪ เรขาคณิต 7 วงกลม วาดด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด
✪ วาดรูปสามเหลี่ยมสองด้านแล้วทำมุมระหว่างกัน
✪ เรขาคณิต 7 ตัวอย่างปัญหาการก่อสร้าง
✪ เกรด 7 บทที่ 23 ตัวอย่างงานสร้าง
คำบรรยาย
ตัวอย่างของ
ปัญหารอยแยก... ใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด แบ่งส่วนนี้ ABออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน หนึ่งในการแก้ปัญหาแสดงในรูป:
- วาดวงกลมด้วยเข็มทิศโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด NSและ NSรัศมี AB.
- หาจุดตัดกัน NSและ NSวงกลมที่สร้างขึ้นสองวง (ส่วนโค้ง)
- วาดส่วนหรือเส้นตามแนวไม้บรรทัดผ่านจุด NSและ NS.
- ค้นหาจุดกึ่งกลางที่ต้องการของกลุ่ม AB- จุดแยก ABและ PQ.
คำนิยามที่เป็นทางการ
ในปัญหาการก่อสร้าง จะพิจารณาชุดของวัตถุต่อไปนี้: จุดทั้งหมดของเครื่องบิน เส้นตรงทั้งหมดของเครื่องบิน และวงกลมทั้งหมดของเครื่องบิน ในเงื่อนไขของปัญหา มีการระบุชุดของอ็อบเจ็กต์ในขั้นต้น (ซึ่งถือว่าเป็นการสร้าง) ได้รับอนุญาตให้เพิ่ม (สร้าง) ให้กับชุดของวัตถุที่สร้างขึ้น:
- จุดโดยพลการ;
- จุดใดก็ได้บนเส้นตรงที่กำหนด
- จุดโดยพลการบนวงกลมที่กำหนด
- จุดตัดของสองเส้นที่กำหนด
- จุดตัด / แทนเจนซีของเส้นตรงที่กำหนดและวงกลมที่กำหนด
- จุดตัด / แทนเจนซีของวงกลมสองวงที่ระบุ
- เส้นตรงตามอำเภอใจผ่านจุดที่กำหนด
- เส้นตรงผ่านสองจุดที่กำหนด;
- วงกลมตามอำเภอใจที่จุดที่กำหนด;
- วงกลมตามอำเภอใจที่มีรัศมีเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่กำหนด
- วงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดที่กำหนดและมีรัศมีเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่ระบุสองจุด
จำเป็นต้องใช้จำนวนจำกัดของการดำเนินการเหล่านี้เพื่อสร้างชุดของออบเจกต์อื่นที่อยู่ในความสัมพันธ์ที่กำหนดกับชุดเดิม
การแก้ปัญหาการก่อสร้างประกอบด้วยสามส่วนที่สำคัญ:
- คำอธิบายของวิธีสร้างชุดที่กำหนด
- หลักฐานว่าฉากที่สร้างขึ้นในลักษณะที่อธิบายนั้นสัมพันธ์กับชุดดั้งเดิมอย่างแท้จริง โดยปกติการพิสูจน์การก่อสร้างจะดำเนินการตามการพิสูจน์ทฤษฎีบทตามปกติโดยยึดตามสัจพจน์และทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วอื่น ๆ
- การวิเคราะห์วิธีการก่อสร้างที่อธิบายไว้สำหรับการนำไปใช้กับตัวแปรต่างๆ ของเงื่อนไขเริ่มต้น เช่นเดียวกับความเป็นเอกลักษณ์หรือความไม่ซ้ำกันของสารละลายที่ได้จากวิธีการที่อธิบายไว้
งานที่ทราบ
อีกปัญหาหนึ่งที่ทราบกันดีและแก้ไม่ได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดคือการสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวสามส่วนที่กำหนดของเส้นแบ่งครึ่ง งานนี้ยังคงไม่สามารถแก้ไขได้แม้จะใช้เครื่องมือที่ทำสามแยกมุม เช่น ขวานขวาน
ส่วนเส้นที่อนุญาตสำหรับการก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องมือเหล่านี้ คุณสามารถสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวได้:
ในการสร้างส่วนที่มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับผลิตภัณฑ์ ผลหารและรากที่สองของความยาวของส่วนที่ระบุ จำเป็นต้องระบุส่วนของหน่วยบนระนาบของการก่อสร้าง (นั่นคือ ส่วนของความยาว 1) การแยกรากออกจากส่วนที่มีองศาธรรมชาติอื่นที่ไม่ใช่กำลัง 2 นั้นเป็นไปไม่ได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนของความยาวโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดจากส่วนของหน่วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อเท็จจริงนี้บ่งบอกว่าปัญหาของการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่านั้นไม่สามารถระบุได้
โครงสร้างที่เป็นไปได้และเป็นไปไม่ได้
จากมุมมองที่เป็นทางการ การแก้ปัญหาของปัญหาการก่อสร้างจะลดลงเป็นการแก้ปัญหาแบบกราฟิกของสมการพีชคณิตบางส่วน และสัมประสิทธิ์ของสมการนี้สัมพันธ์กับความยาวของส่วนที่กำหนด ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าปัญหาการก่อสร้างลดลงเหลือเพียงการหารากที่แท้จริงของสมการพีชคณิต
ดังนั้นจึงสะดวกที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการสร้างตัวเลข - วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับสมการบางประเภท
ตามโครงสร้างที่เป็นไปได้ของส่วนต่างๆ การก่อสร้างต่อไปนี้เป็นไปได้:
- การสร้างคำตอบของสมการเชิงเส้น
- การสร้างคำตอบของสมการที่ลดเป็นคำตอบของสมการกำลังสอง
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เป็นไปได้ที่จะสร้างเฉพาะส่วนที่เท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้รากที่สองของตัวเลขดั้งเดิม (ความยาวที่กำหนด)
เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่าควรแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ สี่เหลี่ยมรากไม่ใช่อนุมูลของระดับพล. แม้ว่าสมการพีชคณิตจะมีคำตอบเป็นรากศัพท์ แต่ก็ไม่ได้หมายความถึงความเป็นไปได้ในการสร้างเซกเมนต์ที่เท่ากับคำตอบของสมการด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด สมการที่ง่ายที่สุดคือ: x 3 - 2 = 0, (\ displaystyle x ^ (3) -2 = 0,)เกี่ยวข้องกับปัญหาเรื่องการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า ซึ่งลดเหลือสมการกำลังสามนี้ ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว คำตอบของสมการนี้ ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) ไม่สามารถสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดได้
ความสามารถในการสร้าง 17-gon ปกติตามมาจากนิพจน์สำหรับโคไซน์ของมุมศูนย์กลางของด้านข้าง:
cos (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ left ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ right)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17))) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17))))))ซึ่งตามมาจากความเป็นไปได้ของการลดสมการของรูปแบบ x F n - 1 = 0, (\ displaystyle x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,)ที่ไหน F n (\ displaystyle F_ (n))- ไพรม์ไพรม์ใดๆ โดยการเปลี่ยนตัวแปรเป็นสมการกำลังสองรูปแบบและลักษณะทั่วไป
- ก่อสร้างด้วยเข็มทิศเดียวตามทฤษฎีบท Mohr - Mascheroni โดยใช้เข็มทิศอันเดียว คุณสามารถสร้างรูปทรงใดๆ ก็ตามที่สามารถสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดได้ ในกรณีนี้ จะถือว่าเส้นตรงถูกสร้างขึ้นหากมีการระบุจุดสองจุดไว้
- วาดด้วยไม้บรรทัดเดียวเห็นได้ชัดว่ามีเพียงการก่อสร้างที่ไม่เปลี่ยนแปลงแบบโปรเจ็กต์เท่านั้นที่สามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเพียงคนเดียว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
- เป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
- นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด
- หากมีวงกลมที่วาดไว้ก่อนหน้านี้บนเครื่องบินโดยมีจุดกึ่งกลางที่มีไม้บรรทัดหนึ่งอัน คุณสามารถทำสิ่งก่อสร้างเดียวกันกับเข็มทิศและไม้บรรทัด (
เนื้อหาในย่อหน้านี้สามารถใช้ในกิจกรรมนอกหลักสูตรได้ สามารถนำเสนอต่อนักศึกษาได้ทั้งในรูปแบบการบรรยายและในรูปแบบรายงานนักศึกษา
เป็นเวลาหลายศตวรรษมาแล้วที่ผู้คนให้ความสนใจกับปัญหาที่รู้จักกันมานานว่าเป็น "ปัญหาที่มีชื่อเสียงในสมัยโบราณ" สามปัญหาที่มีชื่อเสียงมักจะคิดภายใต้ชื่อนี้:
1) กำลังสองวงกลม
2) สามแยกของมุม
3) เพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า
งานทั้งหมดเหล่านี้เกิดขึ้นในสมัยโบราณจากความต้องการในทางปฏิบัติของผู้คน ในระยะแรกของการดำรงอยู่ของพวกเขาพวกเขาทำหน้าที่เป็นปัญหาการคำนวณ: ตาม "สูตร" บางอย่างจะมีการคำนวณค่าโดยประมาณของปริมาณที่ต้องการ (พื้นที่ของวงกลม, เส้นรอบวง, ฯลฯ ) ในขั้นตอนที่สองของประวัติศาสตร์ของปัญหาเหล่านี้ การเปลี่ยนแปลงครั้งสำคัญในลักษณะของพวกเขาเกิดขึ้น: พวกเขากลายเป็นปัญหาทางเรขาคณิต (เชิงสร้างสรรค์)
ในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงเวลานี้ พวกเขาได้รับสูตรคลาสสิก:
1) สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนด
2) แบ่งมุมที่กำหนดออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน
3) สร้างขอบของลูกบาศก์ใหม่ ซึ่งปริมาตรจะเป็นสองเท่าของลูกบาศก์ที่กำหนด
โครงสร้างทางเรขาคณิตทั้งหมดเหล่านี้เสนอให้ดำเนินการโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ความเรียบง่ายของการกำหนดงานเหล่านี้และ "ปัญหาที่ผ่านไม่ได้" ที่พบในระหว่างทางไปสู่การแก้ปัญหามีส่วนทำให้ความนิยมเพิ่มขึ้น ในความพยายามที่จะแก้ไขปัญหาเหล่านี้อย่างเข้มงวด นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ "ระหว่างทาง" ได้รับผลลัพธ์ที่สำคัญมากมายสำหรับคณิตศาสตร์ ซึ่งมีส่วนทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่กระจัดกระจายไปเป็นวิทยาศาสตร์นิรนัยที่เป็นอิสระ มีร่องรอยที่เห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษในขณะนั้น)
ปัญหาการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า
ปัญหาของการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่ามีดังนี้: การรู้ขอบของลูกบาศก์ที่กำหนด สร้างขอบของลูกบาศก์ดังกล่าว ซึ่งปริมาตรจะเป็นสองเท่าของปริมาตรของลูกบาศก์นี้
อนุญาต a เป็นความยาวของขอบของลูกบาศก์ที่กำหนด x - ความยาวของขอบของลูกบาศก์ที่ต้องการ อนุญาต คือปริมาตรของลูกบาศก์ที่กำหนด และเป็นปริมาตรของลูกบาศก์ที่ต้องการ จากนั้น ตามสูตรการคำนวณปริมาตรของลูกบาศก์ เราได้: = และเนื่องจาก ตามเงื่อนไขของปัญหา เรา มาที่สมการ
เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วจากพีชคณิตว่ารากที่เป็นเหตุเป็นผลของสมการลดรูปด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มสามารถเป็นจำนวนเต็มได้เท่านั้นและอยู่ในตัวหารของเทอมอิสระของสมการ แต่ตัวหารของเลข 2 เป็นเพียงตัวเลข +1, - 1, +2, - 2 และไม่มีตัวหารใดตรงตามสมการเดิม ดังนั้น สมการจึงไม่มีรากที่มีเหตุผล ซึ่งหมายความว่าปัญหาของการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ปัญหาการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดสามารถแก้ไขได้โดยประมาณเท่านั้น นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหานี้โดยประมาณ
ให้ AB = BC = a และ ABCC เราสร้าง AD = AC จากนั้น CD ด้วยความแม่นยำ 1% แน่นอน ซีดี 1.2586…. ในเวลาเดียวกัน = 1.2599….
ปัญหาการยกกำลังสองวงกลม
เหตุผลในการแก้โจทย์ไม่ได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ปัญหาของการยกกำลังสองวงกลมมีดังนี้ สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลม
อนุญาต เป็นรัศมีของวงกลมที่กำหนด เป็นความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ต้องการ แล้วออกไปจากที่นี่
ดังนั้น ปัญหาของการยกกำลังสองวงกลมจะได้รับการแก้ไขหากเราสร้างส่วนของความยาว หากรัศมีของวงกลมที่กำหนดเป็นส่วนของหน่วย (= 1) เรื่องจะลดลงเพื่อสร้างส่วนของความยาวตามส่วนของหน่วย
ดังที่คุณทราบ เมื่อทราบส่วนของหน่วยแล้ว เราสามารถสร้างด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดได้เฉพาะส่วนที่มีความยาวแสดงในรูปของจำนวนตรรกยะโดยใช้ชุดของการดำเนินการตรรกยะที่จำกัดและการแยกรากที่สองออกมา ดังนั้นจึงเป็นตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต ในกรณีนี้ จะไม่มีการใช้ตัวเลขพีชคณิตทั้งหมด ตัวอย่างเช่น คุณไม่สามารถลากเส้นที่มีความยาว ฯลฯ
ในปี ค.ศ. 1882 ลินเดมันน์ได้พิสูจน์ว่ามันยอดเยี่ยม ด้วยเหตุนี้จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนของความยาวด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด และด้วยเหตุนี้ ปัญหาของการยกกำลังสองของวงกลมจึงไม่สามารถแก้ไขได้
วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ลองพิจารณาวิธีใดวิธีหนึ่งในการสร้างส่วนของความยาวโดยประมาณ เทคนิคนี้มีดังต่อไปนี้ แบ่งหนึ่งในสี่ของวงกลม AB ด้วยจุดศูนย์กลางที่จุด O และรัศมีเท่ากับหนึ่งในครึ่งโดยจุด C บนความต่อเนื่องของเส้นผ่านศูนย์กลาง CD ให้แยกส่วน DE เท่ากับรัศมี จากจุด E เราวาดรังสี EA และ EB จนกระทั่งพวกมันตัดกับแทนเจนต์ที่จุด C ส่วนตัด AB นั้นประมาณเท่ากับความยาวของส่วนโค้ง AB และส่วนที่เป็นสองเท่าคือครึ่งวงกลม
ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ของการประมาณนี้ไม่เกิน 0.227%
ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก
เหตุผลในการแก้โจทย์ไม่ได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้: แบ่งมุมที่กำหนดออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน
เราจำกัดตัวเองให้แก้ปัญหามุมไม่เกิน 90 ถ้าเป็นมุมป้าน = 180- โดยที่<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.
สังเกตว่า (เมื่อมีส่วนของหน่วย) ปัญหาในการสร้างมุม (90) เท่ากับปัญหาในการสร้างส่วน x = cos อันที่จริง หากสร้างมุม การสร้างส่วน x = cos จะลดลงจนถึงการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม
กลับ. หากส่วน x ถูกสร้างขึ้น การสร้างมุมโดยที่ x = cos จะลดลงจนถึงการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากตามด้านตรงข้ามมุมฉากและขา
ให้ - มุมที่กำหนด - มุมที่ต้องการ ดังนั้น = จากนั้น cos = cos 3 เป็นที่ทราบกันว่า cos 3 = 4cos-3cos ดังนั้นการตั้งค่า cos = และ cos = เรามาถึงสมการ:
cos = 4cos-3cos,
ส่วนและด้วยเหตุนี้จึงสร้างมุมได้ก็ต่อเมื่อสมการนี้มีรากที่มีเหตุผลอย่างน้อยหนึ่งราก แต่นี่ไม่ใช่กรณีสำหรับทุกคน ดังนั้นปัญหาของการหักมุมซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและขอบตรง ตัวอย่างเช่น. ที่ = 60 เราได้รับ = 1 และสมการที่ได้รับจะอยู่ในรูปแบบ: ง่ายต่อการตรวจสอบว่าสมการนี้ไม่มีรากที่มีเหตุผล ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งมุม 60 ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ดังนั้น ปัญหาของการไตรภาคของมุมจึงไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดโดยทั่วไป
วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
ให้เราพิจารณาวิธีใดวิธีหนึ่งสำหรับการแก้ปัญหาโดยประมาณโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ซึ่งเสนอโดย Albert Durer (1471-1528)
ให้มุม ASB ถูกกำหนด จากจุดยอด S ที่มีรัศมีตามอำเภอใจ เราอธิบายวงกลมและเชื่อมต่อจุดตัดของด้านข้างของมุมกับวงกลมด้วยคอร์ด AB เราแบ่งคอร์ดนี้ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันที่จุด R และ R (A R = R R = RB) จากจุด A และ B จากจุดศูนย์กลาง ด้วยรัศมี A R = RB เราอธิบายส่วนโค้งที่ตัดวงกลมที่จุด T และ T มาทำ RSAB กัน ด้วยรัศมี A S = BS วาดส่วนโค้งที่ตัดกัน AB ที่จุด U และ U ส่วนโค้ง AT, SS และ TB จะเท่ากัน เนื่องจากพวกมันถูกดึงเข้าด้วยกันด้วยคอร์ดที่เท่ากัน
ในการหาจุดตัดของมุม X และ X ดูเรอร์แบ่งเซ็กเมนต์ RU และ RU ออกเป็นสามส่วนเท่าๆ กันด้วยจุด PV และ PV จากนั้น ด้วยรัศมี AV และ BV ให้วาดส่วนโค้งที่ตัดวงกลมที่จุด X และ X เมื่อเชื่อมต่อจุดเหล่านี้กับ S เราจะแบ่งมุมนี้ออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันโดยมีค่าประมาณที่ดีกับค่าจริง
รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ
ในงานสร้าง การดำเนินการต่อไปนี้เป็นไปได้:
- ทำเครื่องหมายโดยพลการ จุดบนเครื่องบิน จุดบนเส้นที่สร้างขึ้นเส้นใดเส้นหนึ่ง หรือจุดตัดของเส้นที่สร้างขึ้นสองเส้น
- โดยใช้ วงเวียนวาดวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดที่สร้างขึ้นและรัศมีเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่สร้างไว้แล้วทั้งสองจุด
- โดยใช้ ไม้บรรทัดลากเส้นตรงผ่านจุดที่สร้างขึ้นสองจุด
ในกรณีนี้ เข็มทิศและไม้บรรทัดถือเป็นเครื่องมือในอุดมคติ โดยเฉพาะ:
1. ตัวอย่างง่ายๆ
แบ่งครึ่ง
งาน.ใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดเพื่อแบ่งส่วนนี้ ABออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน หนึ่งในการแก้ปัญหาแสดงในรูป:
- โดยใช้เข็มทิศ เราสร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง NSรัศมี เอบี.
- สร้างวงกลมที่มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง NSรัศมี เอบี.
- หาจุดตัดกัน NSและ NSสองวงกลมที่สร้างขึ้น
- ใช้ไม้บรรทัดวาดส่วนที่เชื่อมต่อจุด NSและ NS.
- หาจุดสี่แยก ABและ ป.นี่คือจุดกึ่งกลางที่ต้องการของกลุ่ม เอบี.
2. รูปหลายเหลี่ยมปกติ
วิธีสร้างที่ถูกต้อง น-กอน สำหรับ และ .
4. สิ่งก่อสร้างที่เป็นไปได้และเป็นไปไม่ได้
โครงสร้างทั้งหมดไม่มีอะไรมากไปกว่าคำตอบของสมการบางตัว และสัมประสิทธิ์ของสมการนี้สัมพันธ์กับความยาวของส่วนที่กำหนด ดังนั้นจึงสะดวกที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการสร้างตัวเลข - วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับสมการบางประเภท
ภายในกรอบของข้อกำหนดทางเดินอาหาร สามารถสร้างสิ่งต่อไปนี้ได้:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถสร้างเฉพาะตัวเลขที่เท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้รากที่สองของตัวเลขดั้งเดิม (ความยาวของส่วน) ตัวอย่างเช่น,
5. รูปแบบและลักษณะทั่วไป
6. เรื่องน่ารู้
- GeoGebra, Kig, KSEG - โปรแกรมที่ให้คุณสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
วรรณกรรม
- ก. แอดเลอร์. ทฤษฎีการสร้างทางเรขาคณิตแปลจากภาษาเยอรมันโดย G.M. Fikhtengolts ฉบับที่สาม. L., Navchpedvid, 1940-232 p.
- I. อเล็กซานดรอฟ รวบรวมปัญหาการก่อสร้างทางเรขาคณิตฉบับที่สิบแปด, M. , Navchpedvid, 1950-176 p.
- B.I. Argunov, MB Balk.
งานก่อสร้างทางเรขาคณิต
การใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
นักเรียนชั้นป.8-A
หัวหน้างาน: Moskaeva V.N. ,
ครูคณิตศาสตร์
นิจนีย์ นอฟโกรอด
บทนำ
การแสดงภาพ จินตนาการเป็นของศิลปะมากกว่า ตรรกะที่เข้มงวดเป็นสิทธิ์ของวิทยาศาสตร์ ความแห้งแล้งของข้อสรุปที่แน่นอนและความมีชีวิตชีวาของภาพที่มองเห็น - "น้ำแข็งและไฟไม่ได้แตกต่างกันมากนัก" เรขาคณิตรวมเอาสิ่งที่ตรงกันข้ามทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน
เอ.ดี.อเล็กซานดรอฟ
เมื่อไปโรงเรียน เราไม่ลืมที่จะใส่เข็มทิศ ไม้บรรทัด และไม้โปรแทรกเตอร์ในแฟ้มผลงานของเรา เครื่องมือเหล่านี้ช่วยให้คุณวาดและวาดอย่างสวยงามได้อย่างถูกต้อง เครื่องมือเหล่านี้ถูกใช้โดยวิศวกร สถาปนิก คนงาน นักออกแบบเสื้อผ้าและรองเท้า ผู้สร้าง และนักออกแบบภูมิทัศน์ แม้ว่าจะมีคอมพิวเตอร์ แต่ที่ไซต์ก่อสร้าง ในสวนคุณยังไม่ได้ใช้
เครื่องดึงทันทีภายในไม่กี่วินาที นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลาค่อนข้างมากเพื่ออธิบายให้เธอฟังในภาษาที่เครื่องเข้าใจได้ว่าเธอต้องทำอะไรบ้าง - เขียนโปรแกรมแล้วป้อนลงในเครื่อง ดังนั้นนักออกแบบจึงมักชอบทำงานกับความเรียบง่ายและเก่าแก่ที่สุด เครื่องมือ - วงเวียนและไม้บรรทัด
อะไรจะง่ายกว่านี้ กระดานเรียบที่มีขอบตรง - ไม้บรรทัด, ไม้ปลายแหลมสองอันผูกที่ปลายด้านหนึ่ง - เข็มทิศ ใช้ไม้บรรทัดวาดเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศ วงกลมจะถูกวาดด้วยจุดศูนย์กลางที่กำหนดและรัศมีที่กำหนด เลื่อนส่วนที่เท่ากับส่วนนี้ออกไป
เข็มทิศและไม้บรรทัดรู้จักกันมากว่า 3,000 ปี รู้จักกันดีอยู่แล้ว เมื่อ 200-300 ปีก่อน มีการประดับประดาด้วยเครื่องประดับและลวดลายต่างๆ แต่ถึงกระนั้นพวกเขาก็ยังให้บริการเราเป็นประจำ เครื่องมือที่ง่ายที่สุดก็เพียงพอสำหรับการก่อสร้างจำนวนมาก ชาวกรีกโบราณคิดว่ามันเป็นไปได้ที่จะทำสิ่งก่อสร้างที่สมเหตุสมผลด้วยเครื่องมือเหล่านี้ จนกระทั่งพวกเขาค้นพบงานสำคัญสามประการในสมัยโบราณ: "กำลังสองวงกลม", "สามส่วนของมุม", "การเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า"
ดังนั้น ข้าพเจ้าจึงถือว่าหัวข้อของงานข้าพเจ้ามีความร่วมสมัยและมีความสำคัญต่อกิจกรรมของมนุษย์ในหลายๆ ด้านของกิจกรรมของมนุษย์
ทุกคนรู้ดีว่าคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในหลากหลายอาชีพและสถานการณ์ชีวิต คณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องง่าย และเรขาคณิตเรียกว่า "ยาก" โดยนักเรียนส่วนใหญ่ ปัญหาการก่อสร้างแตกต่างจากปัญหาทางเรขาคณิตทั่วไป
การแก้ปัญหาการก่อสร้างช่วยพัฒนาความคิดทางเรขาคณิตได้อย่างเต็มที่และเฉียบแหลมกว่าการแก้ปัญหาทางคอมพิวเตอร์ และสามารถสร้างความหลงใหลในการทำงาน ซึ่งนำไปสู่ความอยากรู้ที่เพิ่มขึ้นและความปรารถนาที่จะขยายและขยายการศึกษาเรขาคณิตให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น
แม้จะมีอดีตอันยาวนาน แต่ปัญหาในการแก้ปัญหาการก่อสร้างยังคงมีความเกี่ยวข้องในศตวรรษที่ 21 ในยุคของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์กำลังพัฒนาอย่างรวดเร็วด้วยการใช้โปรแกรมแก้ไขกราฟิกเพื่อวาดวัตถุทางเรขาคณิต วิธีการสร้างวัตถุทางเรขาคณิตมีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากการเกิดขึ้นของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ใหม่ อย่างไรก็ตาม ในสมัยโบราณ องค์ประกอบหลักในการสร้างวัตถุทางเรขาคณิตคือวงกลมและเส้นตรง กล่าวคือ เข็มทิศและไม้บรรทัด ด้วยการถือกำเนิดของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ใหม่ ปัญหาการก่อสร้างใหม่เกิดขึ้นโดยใช้วัตถุเดียวกัน - เส้นและวงกลม นั่นคือเหตุผลที่ปัญหาในการแก้ปัญหาการก่อสร้างจึงเป็นเรื่องเร่งด่วนมากขึ้น
โปรแกรมเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับการศึกษาเฉพาะเทคนิคและวิธีการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดเท่านั้น แต่การใช้เทคนิคเหล่านี้มักจะทำได้ยาก ดังนั้น เป้าหมายของการวิจัยของฉันคือ รูปทรงเรขาคณิตที่สร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
วัตถุประสงค์ในการทำงานของฉัน:พิจารณาวิธีต่างๆ ในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
วิธีการวิจัย:
ü การวิเคราะห์วิธีการก่อสร้างที่มีอยู่แล้ว
ü ค้นหาวิธีการใหม่ๆ ใช้งานง่าย (การสร้าง GMT และ Steiner)
งาน:
ü เข้าใจวิธีการสร้างต่างๆ มากขึ้น
ü ติดตามการพัฒนาของเรขาคณิตชิ้นนี้ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์
ü พัฒนาทักษะการวิจัยต่อไป
จากประวัติศาสตร์การก่อสร้างทางเรขาคณิตด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด
ข้อจำกัดดั้งเดิมของเครื่องมือในการก่อสร้างทางเรขาคณิตมีมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในหนังสือของเขา "จุดเริ่มต้น" Euclid (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ปฏิบัติตามโครงสร้างทางเรขาคณิตที่ดำเนินการโดยวงเวียนและไม้บรรทัดอย่างเคร่งครัดแม้ว่าเขาจะไม่ได้พูดถึงชื่อของเครื่องดนตรีทุกที่ก็ตาม ข้อจำกัดดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเครื่องมือเหล่านี้เข้ามาแทนที่เชือก ซึ่งเดิมใช้สำหรับวาดเส้นและสำหรับอธิบายวงกลม แต่นักประวัติศาสตร์และนักคณิตศาสตร์หลายคนอธิบายการเลือกวัสดุที่ Euclid ทำขึ้นโดยข้อเท็จจริงที่ว่าตาม Plato และ Pythagoreans เขาถือว่าเส้นตรงและวงกลมเป็นเส้นที่ "สมบูรณ์แบบ" เท่านั้น
ศิลปะการสร้างรูปทรงเรขาคณิตได้รับการพัฒนาอย่างมากในสมัยกรีกโบราณ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณเมื่อ 3,000 ปีก่อน ดำเนินการก่อสร้างโดยใช้อุปกรณ์สองชิ้น: กระดานเรียบที่มีขอบเท่ากัน - ไม้บรรทัดและไม้ปลายแหลมสองอันผูกที่ปลายด้านหนึ่ง - เข็มทิศ อย่างไรก็ตาม เครื่องมือง่ายๆ เหล่านี้ก็เพียงพอที่จะสร้างสิ่งก่อสร้างต่างๆ ได้มากมาย ชาวกรีกโบราณดูเหมือนกับว่าเครื่องมือเหล่านี้สามารถสร้างสิ่งก่อสร้างอันชาญฉลาดได้ จนกระทั่งพวกเขาต้องเผชิญกับงานที่มีชื่อเสียงสามงานในเวลาต่อมา
พวกเขาได้แปลงร่างเป็นเส้นตรงมานานแล้วด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามอำเภอใจที่เท่ากัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รูปทรงสี่เหลี่ยมใดๆ ก็ได้ถูกแปลงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าแนวคิดนี้ดูเหมือนจะเป็นประเด็นทั่วไป: ให้สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ซึ่งพื้นที่ดังกล่าวจะเท่ากับพื้นที่ของวงกลมที่กำหนด ปัญหานี้เรียกว่ากำลังสองวงกลม ร่องรอยของงานนี้สามารถมองเห็นได้ไกลถึงอนุสาวรีย์กรีกโบราณและบาบิโลนในช่วงสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช อย่างไรก็ตาม การตั้งค่าโดยตรงพบได้ในผลงานของกรีกในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสตกาล
ปัญหาในสมัยโบราณอีกสองปัญหาดึงดูดความสนใจของนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมาเป็นเวลาหลายศตวรรษ นี่คือปัญหาของการเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่า ประกอบด้วยการสร้างลูกบาศก์ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัด โดยมีปริมาตรเป็นสองเท่าของปริมาตรของลูกบาศก์นี้ การปรากฏตัวของมันมีความเกี่ยวข้องกับตำนานที่บนเกาะ Delos ในทะเลอีเจียนคำทำนายเพื่อช่วยผู้อยู่อาศัยจากโรคระบาดได้รับคำสั่งให้เพิ่มแท่นบูชาเป็นรูปลูกบาศก์สองเท่า และปัญหาที่สามของการตัดมุมเป็นเรื่องเกี่ยวกับการแบ่งมุมออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กันโดยใช้เข็มทิศกับไม้บรรทัด
ปัญหาทั้งสามนี้หรือที่เรียกว่าปัญหาคลาสสิกที่มีชื่อเสียง 3 ข้อของสมัยโบราณได้ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมาเป็นเวลาสองพันปี และมีเพียงช่วงกลางของศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์ว่าไม่สามารถตัดสินใจได้นั่นคือความเป็นไปไม่ได้ของโครงสร้างเหล่านี้โดยใช้เพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น ในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่งเหล่านี้เป็นผลแรกเกี่ยวกับความไม่สามารถแก้ปัญหาได้เมื่อมีการระบุวิธีการแก้ปัญหา พวกเขาได้มาโดยวิธีที่ไม่ใช่เรขาคณิต แต่จากพีชคณิต (โดยการแปลปัญหาเหล่านี้เป็นภาษาของสมการ) ซึ่งเน้นย้ำความเป็นเอกภาพของคณิตศาสตร์อีกครั้ง ไม่ยอมแพ้ต่อการแก้ปัญหา ปัญหาเหล่านี้ได้เพิ่มคุณค่าทางคณิตศาสตร์ด้วยผลลัพธ์ที่สำคัญ นำไปสู่การสร้างทิศทางใหม่ของการคิดทางคณิตศาสตร์
งานที่น่าสนใจอีกประการสำหรับการสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดคืองานสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติโดยมีจำนวนด้านที่กำหนด ชาวกรีกโบราณรู้วิธีสร้างสามเหลี่ยมธรรมดา สี่เหลี่ยมจัตุรัส ห้าเหลี่ยมปกติและ 15 กอน รวมถึงรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่ได้จากพวกมันโดยเพิ่มด้านข้างเป็นสองเท่า และมีเพียงพวกมันเท่านั้น เฉพาะในปี ค.ศ. 1796 CF Gauss นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ได้ค้นพบวิธีสร้าง 17-gon ปกติโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดและระบุค่าทั้งหมดของ N ซึ่งสามารถสร้าง N-gon ปกติได้ด้วยวิธีการที่ระบุ . Carl Gauss นักศึกษาปีหนึ่งที่มหาวิทยาลัย Göttingen ได้แก้ปัญหาที่คณิตศาสตร์ล้มเหลวมานานกว่า 2,000 ปี ดังนั้นความเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัดที่ถูกต้อง 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 ฯลฯ ได้รับการพิสูจน์แล้ว สี่เหลี่ยม
ทฤษฎีการก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดได้รับการพัฒนาเพิ่มเติม ได้รับคำตอบสำหรับคำถาม: เป็นไปได้ไหมที่จะแก้ปัญหาโดยใช้หนึ่งในสองเครื่องมือที่พิจารณาแล้วและค่อนข้างคาดไม่ถึง โดยแยกจากกัน Dane G. More ในปี 1672 และชาวอิตาลี L. Maskeroni ในปี 1797 พิสูจน์ว่าปัญหาการก่อสร้างใดๆ ที่แก้ไขได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดนั้นสามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำโดยใช้เข็มทิศเพียงอันเดียว ฟังดูน่าเหลือเชื่อ แต่ก็ใช่ และในศตวรรษที่ 19 ได้รับการพิสูจน์ว่าการก่อสร้างใดๆ ที่ทำด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดสามารถทำได้โดยใช้ไม้บรรทัดเพียงอันเดียว โดยมีเงื่อนไขว่าวงกลมหนึ่งๆ ถูกระบุในระนาบการก่อสร้างและระบุจุดศูนย์กลางไว้
3. งานที่ง่ายที่สุดในการสร้างรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
พิจารณาโครงสร้างพื้นฐาน (ระดับประถมศึกษา) ที่มักพบในการแก้ไขปัญหาการก่อสร้าง ปัญหาประเภทนี้ได้รับการพิจารณาแล้วในบทแรกของหลักสูตรของโรงเรียน
การก่อสร้าง 1การสร้างส่วนของเส้นตรงเท่ากับส่วนที่กำหนด
ที่ให้ไว้:ส่วนของความยาว
สร้าง:ส่วน AB ของความยาว a.
สร้าง:
ก่อสร้าง 2
สร้างมุมเท่ากับมุมที่กำหนด
ที่ให้ไว้:อบต.
สร้าง:∟ KMN เท่ากับ ∟ AOB
สร้าง:
การก่อสร้าง 3แบ่งส่วนครึ่ง (สร้างตรงกลางของส่วน)
ที่ให้ไว้:เซ็กเมนต์ AB
สร้าง:จุด O อยู่ตรงกลางของ AB
สร้าง:
การก่อสร้าง 4.หารครึ่งของมุม (พลอตเส้นแบ่งครึ่งของมุม)
ที่ให้ไว้:∟ เอบีซี
สร้าง:ВD เป็นตัวแบ่งครึ่งของ ∟АВС
สร้าง:
การก่อสร้าง 5.ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดผ่านจุดที่กำหนด
NS) ที่ให้ไว้:เส้น a จุด A
สร้าง:
ตรง
อาคาร:
NS) ที่ให้ไว้:เส้นตรง a จุด A
สร้าง:เส้นตรงผ่านจุด A ตั้งฉากกับ
ตรง
สร้าง:
อาคาร 6... สร้างเส้นตรงขนานกับเส้นตรงที่กำหนดและผ่านจุดที่กำหนด
ที่ให้ไว้:เส้นตรง a จุด A
สร้าง:เส้นตรงผ่านจุด A ขนานกับเส้นตรง A
วิธีที่ 1 (ผ่านสองฉากตั้งฉาก)
สร้าง:
วิธีที่สอง (ผ่านสี่เหลี่ยมด้านขนาน)
สร้าง:
ก่อสร้าง 7.สร้างสามเหลี่ยมสามด้าน
ที่ให้ไว้:ส่วนของความยาว a, b, c
สร้าง:Δ เอบีซี
สร้าง:
ก่อสร้าง 8สร้างสามเหลี่ยมตามสองด้านและสร้างมุมระหว่างพวกเขา
ที่ให้ไว้:ส่วนของความยาว b, c, มุม α
สร้าง:สามเหลี่ยมเอบีซี
สร้าง:
ก่อสร้าง 9สร้างสามเหลี่ยมด้านหนึ่งและอีกสองมุมที่อยู่ติดกัน
ที่ให้ไว้:ส่วนของความยาว c, มุม α และ β
สร้าง:ΔABC
สร้าง:
ก่อสร้าง 10.สร้างเส้นสัมผัสของวงกลมที่กำหนดผ่านจุดที่กำหนด
ที่ให้ไว้:วงกลม (O) จุด A ด้านนอก
สร้าง:แทนเจนต์ของวงกลม ω (O) ผ่านจุด A
สร้าง:
งานที่พิจารณาจะรวมเป็นส่วนประกอบในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นจึงไม่ได้อธิบายขั้นตอนของการก่อสร้างหลักในอนาคต
การแก้ปัญหาอาคารประกอบด้วยสี่ส่วน:
1. สมมติว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว เราวาดภาพประมาณของตัวเลขที่ต้องการด้วยมือแล้วตรวจสอบภาพที่วาดอย่างระมัดระวัง พยายามค้นหาความสัมพันธ์ดังกล่าวระหว่างข้อมูลของปัญหากับตัวเลขที่ต้องการ ซึ่งจะทำให้เราสามารถลด ปัญหาที่คนอื่นรู้มาก่อน ส่วนที่สำคัญที่สุดของการแก้ปัญหาซึ่งมุ่งหมายที่จะจัดทำแผนการแก้ปัญหานี้เรียกว่า การวิเคราะห์.
2. เมื่อพบแผนการแก้ปัญหาในลักษณะนี้ พวกเขาจะดำเนินการตามแผนดังกล่าว การก่อสร้าง.
3. การพิสูจน์ - เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของแผนบนพื้นฐานของทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี พวกเขาพิสูจน์ว่าตัวเลขที่ได้นั้นตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดของปัญหา
4. ศึกษา - ถูกถามคำถามสองข้อ:
1) วิธีแก้ปัญหาเป็นไปได้ด้วยข้อมูลใด ๆ หรือไม่?
2) มีวิธีแก้ปัญหากี่ข้อ?
ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ขั้นตอนเหล่านี้โดยตัวอย่างการแก้ปัญหาต่อไปนี้
งาน:สร้างสามเหลี่ยม โดยรู้ฐาน b ของมัน มุม A ประชิดฐาน และผลรวม s ของด้านข้างทั้งสองข้าง
การวิเคราะห์:สมมติว่าปัญหาได้รับการแก้ไขเช่น พบ ΔABS ซึ่งฐาน AC = b, ∟BAC = Aและ AB + BC = s... พิจารณาตอนนี้การวาดภาพที่ได้ ด้านข้าง เช่น,เท่ากับ NS, ∟BAC = Aเรารู้วิธีสร้าง เลยยังต้องเจออีกด้าน ∟Aจุดดังกล่าว วีเพื่อให้ผลรวม AB + BCเท่ากับ NS... ต่อ AB, กันส่วนไว้ ADเท่ากับ NS... ทีนี้คำถามก็มาถึงจุดที่อยู่บนเส้นตรง ADหาจุดดังกล่าว วีซึ่งจะห่างไกลจาก .เท่าๆ กัน กับและ NS... อย่างที่เราทราบจุดดังกล่าวควรอยู่บนเส้นตั้งฉากกับส่วน ซีดีผ่านตรงกลาง จุด วีจะพบที่จุดตัดของแนวตั้งฉากนี้กับ AD.
สร้าง:
1. เราสร้าง ∟Aเท่ากับมุมที่กำหนด
2. ด้านข้างเราเลื่อนออกไป AC = bและ AD = ส
3. ผ่านตรงกลางส่วนของเส้นตรง ซีดีวาดเส้นตั้งฉาก เป็น
4. เป็นข้าม ADณ จุดนั้น วี
5. เชื่อมต่อจุด วีและ กับ
6. ΔABC เป็นสิ่งที่ต้องการ
การพิสูจน์:
ให้เราพิจารณาหา ΔABC ที่ได้รับ ซึ่งในนั้น ∟A เท่ากับมุมที่กำหนด (ตามจุดที่ 1 ของโครงสร้าง) ด้านข้าง AC = b(จุดที่ # 2) และฝ่าย ABและ ดวงอาทิตย์รวมกันได้ s (ข้อ 2, 3, 4) ดังนั้นตามเกณฑ์ที่ 1 ของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ΔABS จึงเป็นค่าที่ต้องการ
ศึกษา:
1.ด้วยข้อมูลทั้งหมด การแก้ปัญหาเป็นไปได้หรือไม่?
เมื่อพิจารณาจากการก่อสร้างแล้ว เราสังเกตเห็นว่างานนี้ไม่สามารถทำได้ด้วยข้อมูลใดๆ อันที่จริง ถ้าผลรวม s ถูกตั้งค่าไว้น้อยเกินไปเมื่อเทียบกับ b แล้ว ให้ตั้งฉาก เป็นไม่อาจข้ามส่วนได้ AD(หรือตัดความต่อเนื่องเกินจุด D) ในกรณีนี้ งานจะเป็นไปไม่ได้
และไม่ว่าจะก่อสร้างแบบไหนก็เห็นได้ว่างานนั้นเป็นไปไม่ได้ถ้า NS< b หรือ ส = ขเนื่องจากไม่มีรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวซึ่งผลรวมของด้านทั้งสองจะน้อยกว่าหรือเท่ากับด้านที่สามไม่ได้
2. มีกี่โซลูชั่น?
ในกรณีที่เกิดปัญหาขึ้นก็มีทางเดียวคือ มีสามเหลี่ยมเดียวที่ตรงตามข้อกำหนดของปัญหาเนื่องจากจุดตัดของแนวตั้งฉาก เป็นด้วยเส้นตรง ADได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น