25 Qaytish matritsasini aniqlang. Qaytish matritsasini topish
Teskari matritsani topish usullari,. Kvadrat matritsani ko'rib chiqing
Doka det \u003d AR.
Square matritsasi chaqirilgan nimzaxegale yoki Yakka bo'lmaganAgar uning hal qiluvchi omillari noldan farq qilsa va yomonlamoq yoki maxsus, agar a bo'lsaΔ = 0.
Square Matritsa B maydon uchun, ammo agar ularning mahsulotlari A \u003d E \u003d E va V matritsasi sifatida bir xil tartibning yagona matritsasi bo'lgan bo'lsa, xuddi shu tartibda.
Teorema . Matritsa uchun, ammo teskari matritsaga ega bo'lish uchun, uning aniqlangani noldan farq qiladi.
Teskari matritsa matritsasi A tomonidan belgilanadi - 1, shuning uchun \u003d a - 1 va formula bilan hisoblab chiqilgan
, (1)
qaerda va men i j matritsani a algebraik qo'shimchalar.
Formulaga (1) ko'ra hisoblash juda qiyin, shuning uchun amalda elementar aylantirish usuli (EE) yordamida A -1-ni qulay bo'lishi mumkin. Agar RAPning har qanday yakka bo'lmagan matritsasi faqat bitta matritsa (yoki faqat chiziqlar) bitta matritsaga yoki bitta matritsaga murojaat qilish uchun bitta ustun (yoki faqat chiziqlar) bitta matritsaga olib borilishi mumkin, natijasi teskari Matritsa. Bir vaqtning o'zida A va e Matritsalar ustidan RaIni yaratish qulay, ya'ni yaqin atrofda ham matritsalarni yozib olish qulay. Matritsaning kanalik turlarini topishda siz qatorlar va ustunlarning suhbatlaridan foydalanishingiz mumkinligini yana yozamiz. Agar siz o'zgartirish paytida faqat satr yoki faqat ustunlar ishlatilishi kerak.
2.10-misol. Matritsa uchun 
A -1 ni toping.
Qaror.Matritsaning birinchi dipinisini toping a 
Shunday qilib, teskari matritsa mavjud va biz uni formula bilan topamiz: 
qaerda va men (i, j \u003d 1,2,3) elementlarning algebraik qo'shimchalari A i j Mode matritsasi. 
Dan 
.
2.11-misol. Matritsa uchun A -1 topish uchun elementar o'zgarishlar usuli bilan: a \u003d.
Qaror.Biz asl matritsaga bir xil tartibning bitta matritsasi huquqiga bog'laymiz: 
. Ustaruvlarning boshlang'ich o'zgarishlari yordamida chapga "yarmi" ni bittaga beramiz, bir vaqtning o'zida to'g'ri matritsada bunday o'zgarishlarni amalga oshiradi.
Buning uchun biz birinchi va ikkinchi ustunlarni almashtiramiz: 
~
. Uchinchi ustunga birinchisini qo'shing va ikkinchisi birinchi bo'lib -2 ga ko'paytirildi: 
. BIRINChI ustundan, shubhali ikkinchisidan, uchinchi - 6 soniya ko'paytirildi; 
. Uchinchi ustunni birinchi va ikkinchisiga qo'shing: 
. So'nggi ustunni -1 ni -1-ni ko'paytiring: 
. Vertikal chiziqdan olingan vertikal xususiyatdan olingan maydon matritsasi bu matritsa A. ning teskari matritsa. Shunday qilib,
.
N-buyurtmaning kvadrat matritsasi bo'lishi kerak
Matritsa A -1 deb nomlangan teskari matritsa A * A -1 \u003d E, agar e-Buyurtning bitta matritsasi bo'lsa, matritsaga nisbatan matritsaga nisbatan.
Yagona matritsa - asosiy chap burchakdan o'ng pastki burchagidan o'ng pastki burchagidagi barcha elementlarning yuqori qismida joylashgan bunday kvadrat matritsalar birliklar va qolganlari esa zeroslardir, masalan:
teskari matritsa mavjud bo'lishi mumkin Kvadrat matrilar faqat ular. Sabablar va ustunlar soni bir-biriga to'g'ri keladigan bu matritsalar uchun.
Qaytish matritsasi mavjudligi shartlari
Matritsalar uchun teskari matritsaga ega bo'lish uchun kerak va nimzencenseratice bo'lishi kerak.
Matritsa A \u003d (A1, A2, ... va n) qo'ng'iroq qildi yomonlashmoqAgar ustunlar vektorlar ochiqchasiga mustaqil bo'lsa. Oldinda mustaqil ustunli matritsalar soni matritsaning latta deb ataladi. Shuning uchun, aytishimiz mumkinki, teskari matritsani yo'q qilish uchun matritsa halqasi uning o'lchamiga teng, ya'ni. R \u003d n.
Qaytish matritsasi uchun algoritm
- Gauss Matrix A va o'ngdagi tenglamalar tizimiga (tenglamalarning o'ng qismlarida) atributini E. matritsasi bilan atributni hal qilish uchun stolga yozib oling
- Iordaniya o'zgarishlaridan foydalanish, matritsani bitta ustunlardan tashkil topgan matritsaga olib boradi; Shu bilan birga, bir vaqtning o'zida E. Matritsani o'zgartirishi kerak
- Agar kerak bo'lsa, bitta matritsa A va manba jadvalida evaziga o'tkaziladigan stolning torrasi (tenglamalari) ni qayta joylashtiring.
- Real jadvalining matrix deiginalida joylashgan oxirgi stolda joylashgan oxirgi jadvalda joylashgan teskari matritsali matritsani yozing.
Matritsa uchun A -1 teskari matritsani toping
Qaror: Iordaniya konversiyasini bitta matritsani yozib oling, Iordaniya konversiyasini yozib oling, Iordaniya konversiyasidan foydalanib, matritsani "Matritsa" ni o'z ichiga oladi. Hisob-kitoblar 31.1-jadvalda keltirilgan.
Biz boshlang'ich matritsani a varial Prrix A -1ning qaytishini va qayta o'rnatilganligini hisoblash orqali hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshiramiz.
Matritsalarning ko'payishi natijasida yagona matritsa olindi. Binobarin, hisob-kitoblar to'g'ri amalga oshiriladi.
Javob: 
Matritsa tenglamalarining echimi
Matritsa tenglamalari ko'rinishi mumkin:
Ah \u003d in, ha \u003d in, AGV \u003d s,
bu erda A, B, C ko'rsatilgan matritsalar, bu kerakli matritsadir.
Matritsa tenglamalari teskari matrislar uchun tenglamani ko'paytirish orqali hal qilinadi.
Masalan, tenglamadan matritsani topish uchun ushbu tenglamani chapga ko'paytirishingiz kerak.
Binobarin, tenglamaning echimini topish uchun siz teskari matritsani topishingiz va uni tenglamaning o'ng qismida turgan matritsaga ko'paytirishingiz kerak.
Shunga o'xshab, boshqa tenglamalar hal qilinadi.
A tenglamani hal qiling 
Qaror: Teskari matritsa teng bo'lsa (1-misolga qarang)
Iqtisodiy tahlilda matritsami
Boshqalar bilan birga ular ham foydalanadilar matritsalar usullari. Ushbu usullar chiziqli va vektor-matritsa algebraga asoslangan. Bunday usullar kompleks va ko'p o'lchovli iqtisodiy hodisalarni tahlil qilish maqsadida qo'llaniladi. Ko'pincha, agar kerak bo'lsa, ushbu usullardan foydalaniladi, tashkilotlarning ishlashini va ularning tarkibiy bo'linmalarini qiyosiy baholash.
Matritsalarni tahlil qilish usullarini qo'llash jarayonida bir nechta qadamlarni ajratish mumkin.
Birinchi bosqichda Iqtisodiy ko'rsatkichlar tizimi yaratilmoqda va dastlabki ma'lumotlar matritsasi unga asoslangan bo'lib, unda tizim raqamlari alohida yo'nalishlarida ko'rsatilgan jadval. (i \u003d 1,2, ...., n)va vertikal grafikalar - ko'rsatkichlar soni (j \u003d 1,2, ...., m).
Ikkinchi bosqichda Har bir vertikal ustun uchun indikatorlarning mavjud qiymatlarining eng kattasi aniqlandi, bu har bir birlik uchun qabul qilinadi.
Shundan so'ng, ushbu grafikda aks ettirilgan barcha summalar eng katta qiymatga va standart koeffitsient koeffitsient shakllantiriladi.
Uchinchi bosqichda Matritsaning barcha tarkibiy qismlari maydonda ko'tariladi. Agar ular har xil ahamiyatga ega bo'lsa, har bir matritsa indikatori ma'lum bir vazn koeffitsientiga tayinlanadi k K.. Ikkinchisining kattaligi mutaxassisi tomonidan belgilanadi.
Ikkinchisida to'rtinchi bosqich Reyting reytinglarining qiymatlari topildi R j. Ularni ko'paytirish yoki kamaytirish uchun ularni maydalang.
O'rnatilgan matritsalar usullaridan, masalan, turli xil investitsiya loyihalarini qiyosiy tahlil qilish, shuningdek tashkilotlarning boshqa iqtisodiy ko'rsatkichlarini baholashda qo'llanilishi kerak.
Ushbu mavzu eng yomon o'quvchilardan biridir. Eng yomoni, ehtimol faqat deterinantlar.
Chip shuni anglatadiki, qarama-qarshi elementning juda tushunchasi (va men endi matratparatlar haqida emas), balki ko'payish operatsiyasiga kiradi. Maktab dasturida ham ko'p sonli operatsiya hisoblanadi va matrislarning ko'payishi umuman bir xatboshi va video qo'llanma menga bag'ishlangan.
Bugun biz matritsa hisob-kitoblari tafsilotlariga kirmaymiz. Shunchaki esda tuting: Matratiyalar sifatida ular ko'paygan va undan nimaga boradigan narsalar sifatida belgilanadi.
Takrorlash: Matripslarning ko'payishi
Avvalo, biz notizatsiyani rozi qilamiz. $ $ \\ Chap [m \\ marta n \\ o'ng] $ shunchaki raqamlar jadvali shunchaki raqamlar jadvali deb ataladi
\\ \u003d \\ tambrira ((Matrix) ((A) _ (A) _ (12) _ (12)) _ (12)) _ (a) _ (1N) _ (1N)) \\ (1n)) \\ (1N)) \\ (1N)) \\ (1N)) \\ (1N)) \\ (1N)) \\ (1N)) \\ (1N)) \\\\ (1N)) \\ (1N)) a) _ (21)) _ (a) _ (a) _ (22)) & ... _ (2n)) _\\ ... & ... \\\\ (a) _ (m1)) _ (m2)) _ (a) _ (a) _ (mn) _ (MN) _ (MN) _ (matritsa) _ (mn))) _ (matrix) \\t]) _ (n))
Tasodifan ba'zi joylarda qatorlar va ustunlarni aralashtirmang (menga ishoning, bitta qatorni imtihonda chalkashtirib yuborishingiz mumkin), shunchaki rasmga qarang:
Matritsa hujayralari uchun indekslarni aniqlash Nima bo'lyapti? Agar siz oxsi $ Oky Beartle Coorcater tizimini yuqori chap burchakda joylashtirsangiz va ularning butun matritsani qoplash uchun o'qni yuboring, shunda ushbu matritsaning har bir kataksizligi $ \\ chap koordinatalarni solishtirishi mumkin (x; y \\ o'ng) $ - bu chiziq raqami va ustun raqami bo'ladi.
Nima uchun koordinata tizimi yuqori chap burchakka joylashtiriladi? Ha, chunki biz u erdan biz biron bir matnni o'qishni boshlaymiz. Yodda tutish juda oson.
Va nima uchun o'q $ x $ aniq emas, va to'g'ri emas? Hammasi juda oddiy: standart koordinata tizimini oling ($ x $ o'qi o'ngga, o'qga boradi, o'qga o'tadi) va uni matritsani qoplab, aylantiring. Bu burilish soat yo'nalishi bo'yicha 90 daraja - bu biz rasmda ko'rinamiz.
Umuman olganda, matritsa elementlaridan indekslarni qanday aniqlash mumkinligini bilib oldik. Endi ko'payish bilan shug'ullanamiz.
Ta'rif. Matrices $ a \u003d \\ chap] $ va $ b \u003d \\ chap] $ va $ b \u003d \\ chap] $, birinchisidagi ustunlar soni bir-biriga mos keladigan tarzda kelishilgan deb nomlanadi.
Bu tartibda. Siz tinchlantirishingiz va aytishingiz mumkin, deyishadi matritsa $ va $ b $ buyurtma qilingan juftlik $ \\ chap (a; b \\ to'g'ri) $. Agar ular ushbu tartibda izchil bo'lsa, bu juda ixtiyoriydir B $ va $ a $ bu. $ \\ Chap (b; a \\ o'ng) $ ham kelishilgan.
Siz faqat kelishilgan matritsalarni ko'paytira olasiz.
Ta'rif. Kelishilgan matritsaning mahsuloti $ a \u003d \\ chap [m \\ wime n \\ Tight] $ va $ b \u003d \\ chap [N \\ WIDO] $ yangi matrix $ c \u003d \\ chap [m \\ marta k \\ o'ng ] $ ((C) _ (IJ)) $ C formulas tomonidan ko'rib chiqiladi:
\\ [(c) _ (iJ)) \u003d \\ so'm \\ cheksitlar_ (n) ^ ((A) _ (b) _ (b) _ (kj)) \\]
Boshqacha aytganda: element $ (C) _ (IJ)) $ C \u003d A \\ CDOT B $, $ J $-N ustunini olishingiz kerak Ikkinchi matritsa, so'ngra ushbu ketma-ket va ustundan ko'paytirish elementlarini ko'paytiring. Natijalar katlanadi.
Ha, bu erda qattiq ta'rif. Bu zudlik bilan bir nechta faktga amal qiladi:
- Matratiklarning ko'payishi, umuman nutq, nomuvofiq: $ a \\ cdot b \\ n b \\ cdot a $.
- Biroq, ko'paytirish assotsiativ: $ \\ chap (a \\ cdot b \\ o'ng) \\ cdot c \u003d a \\ cdot \\ chap (b \\ cdot c \\ o'ng) $;
- Va hatto taqsimlash: $ \\ chap (a + b \\ o'ng) \\ cdot c \u003d a \\ cdot c + b \\ cDOT C $;
- Va yana bir marta tarqatish: $ a \\ cdot \\ chap (b + c \\ o'ng) \u003d a \\ cdot b + a \\ cdot c $.
Ko'plab ko'payishning taqsimlanishi ko'p sonli va to'g'ri omil uchun alohida tavsiflanishi kerakligi sababli, ko'paytirish operatsiyasining nomuvofiqligi tufayli aniq.
Agar shunday bo'lsa ham, $ a \\ CDOT b \u003d b \\ CDOT A $, bunday matritsalar chaqiriladi.
U erda ko'paytirilgan barcha matritsalar orasida maxsus - $ $ Matritsani ko'paytiradigan maxsus -
Ta'rif. $ E $ Matritsasi $ a \\ CDOT E \u003d $ yoki $ e \\ cDOT A \u003d $ $ deb a \u003d a Kvadrat Matrix $ a $ Biz yoza olamiz:
Yagona matritsa - Matritsa tenglamalarini echishda tez-tez uchraydigan mehmon. Va umuman olganda, matrislar dunyosida tez-tez uchraydigan mehmon. :)
Va ushbu e $ uchun kimdir barcha o'yinni ixtiro qildi, bu esa yoziladi.
Teskari matritsa nima
Matritsalar juda ko'p mehnat va ustunlarni ko'paytirish kerak bo'lganligi sababli, teskari matritsaning kontseptsiyasi ham eng ko'p ahamiyatga ega emas. Va ba'zi tushuntirishlarni talab qilish.
Asosiy ta'rif
Xo'sh, haqiqatni bilish vaqti keldi.
Ta'rif. MATrix $ B $ $ $ $ bitikga qaytariladi
Teskari matritsa $ ((a) ^ (- 1)) $ (daraja bilan chalkashib ketmaslik kerak!) Shunday qilib, ta'rif quyidagicha takrorlanishi mumkin:
Hammasi juda sodda va ravshan ko'rinadi. Ammo bunday ta'rifni tahlil qilishda darhol bir nechta savollar paydo bo'ladi:
- Har doim teskari matritsa bormi? Agar har doim ham bo'lmasa, qanday qilib aniqlanish kerak: qachon mavjud bo'lsa va qachon?
- Va bunday matritsa aynan kimligini aytdi? To'satdan, ba'zi manbali Matritsa uchun $ a $ butunlay teskari tomoni bormi?
- Bularning barchasi "teskari" nimaga o'xshaydi? Qanday qilib ularni hisoblaydi?
Hisob-kitob algoritmlari haqida nima deyish mumkin - biz bu haqda biroz keyinroq gaplashamiz. Ammo ular boshqa savollarga hozir javob berishadi. Biz ularni alohida bayonotlar shaklida beramiz - lemmas.
Asosiy xususiyatlar
Keling, printsipialyum $ ((a) ^ (- 1)) bo'lishi kerak, shunda u uchun $ ((- 1)) mavjud. Endi biz ikkala oyning ikkalasi kvadrat bo'lishi kerakligiga ishonch hosil qilamiz va bir xil o'lchamda: $ \\ chap [o'ng] $.
Lema 1. Dana Matrix $ a $ va teskari $ ((a) ^ (- 1)) $. Shunda ikkala murakkablik ikkalasi kvadrat, va $ N $.
Dalillar. Hammasi oddiy. Matritsa $ a \u003d \\ chap [M \\ TIME] $, $ (a) ^ (- 1)) \u003d \\ chap [o'ng] $ [A \\ TIC]. mahsulot $ beri bir \\ cdot ((a) ^ (- 1)) \u003d E $, ta'rifga ko'ra, mavjud, Matrix $ A $ va $ ((a) ^ (- 1)) belgilangan tartibda kelishib $:
\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) \\ chap [o'ng] \\ cdot \\ chap [a \\ Tign] \u003d \\ chap [M \\ Vaqt b \\ Tight] \\\\ \\ N \u003d ENG ) \\]
Bu matritsani ko'paytirish algoritmining bevosita natijasidir: $ N $ va $ a $ $ "tranzit" va teng bo'lishi kerak.
Shu bilan birga, teskari ko'payish: $ ((a) ^ (- 1)) \\ CDOT A \u003d E $, shuning uchun $ $ (- 1)) $ (- 1)) Belgilangan tartibda kelishilgan:
\\ [boshlang'ich boshlanadi (a \\ tigot b \\ o'ng] \\ cdot \\ chap [m \\ Tight] \u003d \\ chap [o'ng] \\\\ \\ b \u003d m \\ end ) \\]
Shunday qilib, biz cheklovsiz, biz $ \u003d \\ chap [M \\ Time N ^ o'ng], $ ((a) ^ (- 1)) \u003d \\ chap [o'ng] deb taxmin qilishimiz mumkin. Biroq, $ a \\ CDOT ((a) ^ (- 1)) ta'rifiga ko'ra \\ cdot a $ (- 1)) \\ CDOT A $, shuning uchun matrislarning o'lchamlari qat'iy mos keladi:
\\ [\\ Boshlang'ich (tekislash) \\ chap [m \\ marta n \\ chap] \\\\ chap] \\\\ \\ m \u003d n \\ end (albat) \\]
Shunday qilib, uchta uchta matritsa, $ ((a) ^ (- 1)) $ va $ e $ - \\ chap raqami - $ [N \\ TIME]. Lemma isbotlangan.
Xo'sh, yomon emas. Biz faqat kvadrat matrislari qaytarilmasligini ko'ramiz. Endi teskari matritsa doimo yolg'iz ekanligiga ishonch hosil qilaylik.
Lema 2. Dana Matrix $ a $ va teskari $ ((a) ^ (- 1)) $. Keyin bu teskari matritsa faqat bitta.
Dalillar. Xayirdan chiqaylik: $ $ Matritsasi kamida ikki nusxada teskari versiyaga ega bo'lsin - $ B $ va $ c $. Keyin, ta'rifga ko'ra, quyidagi tengliklar to'g'ri:
\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) & A \\ CDOT b \u003d b \\ cdot a \u003d e; \\\\ \\ CDOT C \u003d C \\ CDOT A \u003d E. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Lema 1-dan biz har to'rtta matri, $ B $, $ c $ va $ e $ bu bir xil tartibda: $ [N \\ marta n \\ o'ng]. Shuning uchun ish quyidagicha aniqlanadi:
Matritsalarning ko'payishi assotsiativdir (ammo o'zgaruvchan emas!), Biz yozishimiz mumkin:
\\ [\\ boshlang'ich (tekislash) \\ b cdot c \u003d \\ chap (b \\ CDOT A \\ Tight) \\ CDOT C \u003d E \\ CDOT C \u003d C; \\\\ \\ cdot a \\ cdot c \u003d b \\ cdot \\ chap (a \\ cdot c \\ o'ng) \u003d b \\ cdot e \u003d b; b; \\ & B \\ cdot a \\ cdot c \u003d c \u003d l \\trow b \u003d C. b. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Faqat mumkin bo'lgan variantni qabul qildi: teskari matritsaning ikki nusxasi teng. Lemma isbotlangan.
Yuqoridagi tortishuvlar deyarli teng bo'lmagan raqamlar uchun teskari elementning golbayal xususiyatlarini aniq takrorlaydi $ b \\ n 0 $. Faqat asosiy qo'shimcha, matrislarning o'lchamini hisobga olish.
Biroq, har qanday kvadrat matritsasi qaytarilmasligini hali ham hali ham bilmaymiz. Doimiy ravishda bizga yordam berish uchun keladi - bu barcha maydonlarning matritlari uchun asosiy xususiyatdir.
Lema 3. Dana Matrix $ a $. Agar teskari matritsa $ ((a) ^ (- 1)) $ mavjud bo'lsa, unda dastlabki matritsani aniqlash noldan farq qiladi:
\\ [chap | | A \\ o'ng | \\ NE 0 \\]
Dalillar. Biz allaqachon $ va $ ((a) ^ (- 1)) $ - $ \\ chap o'lchamdagi kvadrat matritsasi [n \\ marta n \\ o'ng]. Shuning uchun, ularning har biri uchun siz hal qiluvchilarni hisoblashingiz mumkin: $ \\ chap | A \\ o'ng | $ va $ \\ chap | (A) ^ (- 1)) \\ To'g'ri | $. Biroq, ishning hal etuvchisi - deb belgilovchilarning mahsulotiga teng:
\\ [chap | | A \\ cdot b \\ o'ng | \u003d chap | | A \\ o'ng | \\ CDOT \\ chap | B \\ o'ng | \\trow \\ chap | | A \\ CDOT ((a) ^ (- 1)) \\ o'ng | \u003d \\ chap | | A \\ o'ng | \\ CDOT \\ chap | (A) ^ (- 1)) \\ o'ng | \\]
Ammo $ a \\ CDOT ((A) ^ (- 1)) ta'rifiga ko'ra \u003d e $. E $ SOJ $ E $ 1 ga teng
\\ [\\ boshlang'ich (salati) & A \\ CDOT ((a) ^ (- 1)) \u003d E; \\\\ & \\ chap | | A \\ CDOT ((a) ^ (- 1)) \\ o'ng | \u003d \\ chap | | E \\ huquq |; \\\\ & \\ chap | | A \\ o'ng | \\ CDOT \\ chap | (A) ^ (- 1)) \\ o'ng | \u003d 1. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Ikki raqamning mahsuloti har bir raqamning har biri noldan farq qiladi:
\\ [chap | | A \\ o'ng | \\ NE 0; \\ Quad \\ chap | (A) ^ (- 1)) \\ o'ng | \\ NE 0. \\]
Shunday qilib, $ \\ chap | A \\ o'ng | \\ NE 0 $. Lemma isbotlangan.
Aslida, ushbu talab juda mantiqiy. Endi biz teskari matritsani topish uchun algoritmni tahlil qilamiz va nima uchun nol determinant bilan, hech qanday to'lov amalga oshirilmasligi mumkin emasligi aniq bo'ladi.
Ammo boshlanish uchun biz "yordamchi" ta'rifini tuzamiz:
Ta'rif. Deatheraticaticaticaticaticatix - $ \\ chap harfi - $ [Tign N \\t N \\ Tight] $.
Shunday qilib, biron bir o'zgaruvchan matritsaning nimzenereneresi haqida bahslashishimiz mumkin.
Teskari matritsani qanday topish mumkin
Endi biz takroriy matrislar uchun universal algoritmni ko'rib chiqamiz. Umuman olganda, ikkalasi ham qabul qilingan ikkita qabul qilingan algoritmlar mavjud va biz ham buni ham ko'rib chiqamiz.
Endi ko'rib chiqiladigan ish haqi $ \\ chapdagi matritsalar uchun juda samarali [2 \\ marta 2 \\ To'g'ri] $ va qisman hajmi $ \\ chap o'lcham [3 \\ marta 3 \\ o'ng]. Ammo $ \\ chap o'lchamdan beri [4 \\ marta 4 \\ o'ng] $ uni qo'llamaslik yaxshiroqdir. Nima uchun - endi siz hamma narsani o'zingiz tushunasiz.
Algebraik qo'shimchalar
Tayyor bo'l. Endi og'riq bo'lmaydi. Yo'q, xavotirlanmang: Sizda yubkada chiroyli hamshira yo'q, stokda paketlar bor va dumba ichiga ildiz otmaydi. Hamma narsa talaffuz qilinadi: algebraik qo'shimchalar sizga va undan yuqori "ittifoq matritsasi".
Asosiy ikkinchisidan boshlaylik. A \u003d \\ chap raqamli kvadrat matritsasi bo'lsin, uning elementlari $ ((a) _ (IJ)). Keyin, har bir bunday element uchun siz algebraik qo'shimchani aniqlashingiz mumkin:
Ta'rif. Algebraik qo'shimcha $ ((a) _ (A) _ (IJ)) $ BTT $ (A) _ (IJ)) Bo'yish $ $ (IJ)). $ - $ - -M ustunli matritsa $ a \u003d \\ chap \\ To'g'ri] $ bu turdagi dizayn
\\ [(A) _ (IJ)) \u003d ((-1 chap)) ^ (i + j)) \\ CDOT M_ (IJ) ^ (*) \\] ^ (*) \\]
U erda $ m_ (IJ) ^ (*) $ 1 $ va $ JJ $ Ustun miqdorini sinchkovlik bilan tajriba o'tkazish orqali $ a $ dan olingan matritsani aniqlash.
Yana bir marta. $ \\ Chap (i; j \\ o'ng) bo'lgan matritsa elementi bilan algebraik qo'shimcha (i; j u) _ (IJ) _ (IJ)). Sxemaga muvofiq ko'rib chiqiladi.
- Birinchidan, biz $ i $ i $ Aviêill matritsadan va $ j $ ustunidan tugatamiz. Biz yangi kvadrat matritsani olamiz va uni $ m_ (IJ) ^ (*) $ 1. deb belgilaymiz.
- Keyin biz ushbu muddatni $ ((-1 \\ o'ng) ga ko'paytiramiz ((i + j)) $ - Avvaliga bu ibora miya bo'roniga o'xshaydi, ammo biz shunchaki $ m_ ( IJ) ^ (*) $.
- Biz ko'rib chiqamiz - biz ma'lum bir sonni olamiz. Ular. Algebraik qo'shimchadir, ba'zi turdagi yangi matritsa va boshqa narsadir.
$ M_ (IJ) ^ (*) ^ (*) ^ (A) _ (IJ)) ning qo'shimcha voyaga etmaydigan matritsa. Va shu ma'noda, algebraik qo'shilishning yuqoridagi ta'rifi yanada murakkab ta'rifning alohida holatidir - biz belgilangan tartibda nimani ko'rib chiqdik.
Muhim eslatma. Aslida, "kattalar" matematikasida algebraik qo'shimchalar quyidagicha aniqlanadi:
- Biz $ K $ liniyalari va $ ke $ ustunlik kvadrat matritsasini olamiz. Ularning chorrahasida $ \\ chapdagi [k \\ To'g'ri] MATRIX [K \\ To'g'ri] MATRIX olinadi - bu $ ke $ KNE $ K $ (K)).
- Keyin biz "Sevimli" $ K $ liniyalari va $ ke $ ustunlarni ajratib turamiz. Yana, maydon matritsasi ochiladi - bu muddatli kichik ahamiyatga ega va m_ (k) ^ (*) $ deb nomlanadi.
- $ M_ (k) ^ (*) $ ((-1 \\ o'ng) $ (T $)) $ (hozirda katta)) $ (hozirda engil) raqami (hozirda katta!). Barcha tanlangan liniyalar va ustunlar miqdori . Bu algebraik qo'shimcha bo'ladi.
Uchinchi bosqichni ko'rib chiqing: odatda 2k $ shartlari mavjud! Yana bir narsa bu $ K \u003d 1 $ Biz faqat 2 shartni olamiz - bu $ (a) _ (IJ)) $ Biz qidirayotganingiz uchun $ ((IJ)). "Koordinatalar". algebraik qo'shimcha uchun.
Shunday qilib, bugun biz biroz soddalashtirilgan ta'rifdan foydalanamiz. Ammo kelajakda ko'rganimizdek, bu etarli darajada ko'proq bo'ladi. Eng muhimi, quyidagi narsa:
Ta'rif. Ittifoqli Matrix $ S $ Square Matrits $ $ A \u003d \\ chap [N \\ Tight] $ bu $ $ almashtirishdan $ \\ chapdagi yangi matritsadir $ ((a) _ (IJ)) $ algebraik qo'shimchalar $ ((a) _ (IJ)) $:
& \\\\ RIGHTARROW S \u003d \\ Chap [boshlang \\ (Matrix) (a) _ (11) () ((a) _ (12)) va ... ε (a) _ (1N)) \\\\ ((A ) _ (21)) _ (a) _ (a) _ (22)) & ... (a) _ (2n)) _\\ ... _ (& ... & ... (A) _ (N1)) _ (A) _ ((a) _ (A) _ (a) _ (nn) _ (matrix) \\ o'ng] \\]
Ushbu ta'rifni xabardor qilish paytida paydo bo'lgan birinchi g'oya - "Bu siz hamma narsani ko'rib chiqishingiz kerak!" Tinchlaning: Hisoblash kerak, ammo unchalik emas. :)
Xo'sh, bularning barchasi juda yaxshi, lekin nega bunga muhtojsiz? Lekin nega.
Asosiy nazariy.
Keling, biroz orqaga qaytaylik. Yodingizda bo'lsin, Lemma 3-da qayta tiklanadigan matritsaj dollar har doimgidan farq qilmadi (ya'ni hal qiluvchi omil noldan farq qilmasdi: $ \\ chap | a \\ o'ng | \\ n Ne 0 $).
Shunday qilib, o'ng va buning aksi: Agar $ $ bir $ yomon bo'lmasa, u har doim qaytarilsa. Va hatto qidiruv sxemasi (a) ^ (- 1)) $. Tekshirib ko'rmoq:
Teorema teskari matritsada. $ A \u003d \\ chapdagi kvadrat matritsasi [n \\ marta n \\ o'ng] $ va uni aniqlash noldan farq qiladi: $ \\ chap | | A \\ o'ng | \\ NE 0 $. Keyin teskari matritsa $ ((a) ^ (- 1)) $ bor va formulada ko'rib chiqiladi:
\\ [(A) ^ (- 1)) \u003d \\ FRAC (1) (\\ chap | a \\ o'ng |) \\ CDOT ((lar) ^ (t)) \\]
Va endi - barchasi bir xil, lekin singan qo'l yozuvi bilan. Teskari matritsani topish uchun sizga kerak:
- $ $ \\ Chapda hisoblang | A \\ o'ng | $ va u noldan farq qiladiligiga ishonch hosil qiling.
- Ittifoqdosh matritsani $ s $, i.e. $ 100,500 algebraik qo'shimchalar $ ((A) _ (IJ)) $ va ularni $ ((a) _ (IJ)) joylashtiring.
- Ushbu matritsa $ s $ ni kiriting va keyin uni ma'lum miqdordagi $ 1 (1) / (chap | a \\ o'ng |) ga aylantiring. \\; $.
Va tamom! Teskari matritsa $ ((a) ^ (- 1)) $ topildi. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:
\\ [\\ Chapdan [\\ boshlanadi (matritsa) 3 & 1 \\\\ 5 \\\\ end (matritsa) \\ o'ng] \\]
Qaror. Qayta tiklanishni tekshiring. Detchinantni hisoblang:
\\ [chap | | A \\ o'ng | \u003d chap | | \\ Boshlang'ich (matritsa) 3 & 1 \\\\ 5 \\\\ End (matrix) \\ o'ng | \u003d 3 \\ cdot 2-1 \\ cdot 5 \u003d 6-5 \u003d 1 \\]
Periodsiz noldan farq qiladi. Shunday qilib, matritsa qaytarib berilmaydi. Ittifoqi matritsasini yaratamiz:
Algebraik qo'shimchalarni ko'rib chiqing:
\\ [\\ boshlang'ich ((A) _ (11)) \u003d ((-1 chap tomon)) ^ (1 + 1)) \\ cdot \\ chap | 2 \\ o'ng | \u003d 2; \\\\ _ (a) _ (12)) \u003d ((-1 chap)) ^ (1 + 2)) \\ CDOT \\ chap | 5 \\ o'ng | \u003d -5; \\\\ _ (a) _ (21)) \u003d ((-1 \\ o'ng)) ^ (2 + 1)) \\ CDOT \\ chap | 1 \\ o'ng | \u003d -1; \\\\ _ ((a) _ (22)) \u003d (chap (-1 \\ o'ng)) ^ (2 + 2)) \\ CDOT \\ chap | 3 \\ o'ng | \u003d 3. \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Shuni yodda tuting: Deterpetes | 2 |, | 5 |, | 1 | va | 3 | - Bu $ \\ chap o'lchamdagi matritsalar - $ 1 \\ To'g'ri] modullar emas, balki modullar. Ular. salbiy raqamlari omillaridan turib bo'lsa, u toza "minus" kerak emas.
Hammasi bo'lib, bizning ittifoq matritsasi quyidagicha ko'rinadi:
\\ [(A) ^ (1)) \u003d \\ FRAC (1) (\\ chap | a \\ o'ng |) \\ CDOT ((S) ^ (T) ^ (1) (1) \\ CDOT (1) (Chapdan boshlanadi) (* (35) (R) (R)) 2 &5 -1 & 3 \\ & 3 \\ & 3 \\ & 3 \\\\ & 3 \\\\ & 3 \\\\ tugadi (T)) \u003d \\ chap [\\ past (Massiv) (* (3) (r) (R)) 2 &1 -5 \\ & 3 \\\\ end (massiv) \\ o'ng] \\]
Bo'ldi shu. Vazifa hal qilinadi.
Javob. $ [(* (35) (R)) 2 & -1 \\\\ -5 & 3 \\\\\\ End (Array) \\ o'ng (qator) boshlanadi \\] tark $ \\
Vazifa. Teskari matritsani toping:
\\ [\\ Tark [] \\ Right (* (35) (R)) 1 va -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ End (Array) (qator) boshlanadi \\ \\ ]
Qaror. Biz yana hal qiluvchilarni ko'rib chiqamiz:
\\ [Boshlang'ich boshlanadi (tekislang) & \\ chap | | \u003d \\ Boshlang (Matrix) | (* (35) (R)) 1 va -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ End (Array) \\ o'ng (qator) boshlang \\ \\ Chap (1 \\ CDOT 2 \\ CDOT 1+ \\ LEFT (-1 \\ o'ng) \\ CDOT \\ LEFT (-1 \\ o'ng) \\ CDOT 1 + 2 \\ CDOT 0 \\ CDOT 0 \\ o'ng) - \\\\ - \\ LEFT ( 2 \\ Cdot 2 \\ CDOT 1+ \\ LEFT (-1 \\ o'ng) \\ CDOT 0 \\ CDOT 1 + 1 \\ CDOT \\ LEFT (-1 \\ o'ng) \\ CDOT 0 \\ o'ng) \\\\\\ End (Matrix) \u003d \\ \\ & \u003d \\ tark (2 + 1 + 0 \\ o'ng) - \\ tark (4 + 0 + 0 \\ o'ng) \u003d - 1 \\ Ne 0. \\\\\\ End (align) \\]
asosiy noldan farq qiladi - Matrix qaytar. Ammo endi eng ko'p bo'ladi: men 9 (to'qqiz, onalar!) Algebraik qo'shimchalarni hisoblashim kerak. Va ularning har biri asosiy $ \\ [2 \\ Times 2 \\ O'ng] $ tark o'z ichiga oladi. Uchish:
\\ [(Matrix) boshlanadi \\ ((a) _ (11)) \u003d ((\\ tark (-1 \\ o'ng)) ^ (1 + 1)) \\ Cdot \\ tark | (Matrix) 2 & -1 \\\\ 0 & 1 \\\\ End (Matrix) boshlanadi \\ \\ O'ng | \u003d 2; \\\\ ((a) _ (12)) \u003d ((\\ tark (-1 \\ o'ng)) ^ (1 + 2)) \\ Cdot \\ tark | (Matrix) 0 & -1 \\\\ 1 & 1 \\\\ End (Matrix) boshlang \\ \\ O'ng | \u003d -1; \\\\ ((a) _ (13)) \u003d ((-1 \\ o'ng)) ^ (1 + 3)) \\ cdot \\ chap | \\ Boshlang'ich (matritsa) 0 & 2 \\ 1 \\ 0 \\\\ oxirgi (matritsa) \\ o'ng | \u003d -2; \\\\ ... (a) _ (33)) \u003d ((-1 chap (-1 tugma)) ^ (3 + 3)) \\ CDOT \\ chap | \\ Boshlang'ich (matritsa) 1 & -1 \\ 0 \\ 0 & 2 \\\\ oxirgi (matritsa) \\ o'ng | \u003d 2; \\\\ \\ end (matritsa) \\]
Qisqasi, ittifoqli matritsalar quyidagicha ko'rinadi:
Binobarin, qaytish Matrix, bu kabi bo'ladi:
\\ [((A) ^ (- 1)) \u003d \\ kechqurun (1) (- 1) \\ CDOT \\ LEFT [boshlanadi \\ (Matrix) 2 & -1 & -2 \\\\ 1 & -1 & -1 \\\\ -3 & 1 & 2 \\\\ End (Matrix) \\ o'ng] \u003d \\ Chap [boshlang \\ (Array) (* (35) (R)) - 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & -1 \\ \\ 2 & 1 &2 \\\\\\ tugadi (Arri) \\ o'ng] \\]
Xo'sh, bu hammasi. Bu javob.
Javob. Chapga $ \\ [(array) boshlanadi \\ (* (35) (R)) -2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ End (Array) \\ O'ng] $
Ko'rinib turibdiki, har bir misolning oxirida biz sinovdan o'tkazdik. Shu munosabat bilan muhim eslatma:
Tekshirish uchun dangasa bo'lmang. Dastlabki matritsani topilgan orqaga qaytaring - $ e $ ni o'chirib qo'yishingiz kerak.
Ushbu tekshiruvni keyingi hisob-kitoblarni qidirishdan ko'ra, ushbu tekshiruvni yanada osonroq va tezroq qiling, masalan, matritsa tenglamasini hal qilasiz.
Muqobil usul
Aytganimdek, teskari matritik $ \\ chap o'lchamdagi $ 2 \\ To'g'ri] $ va $ 3 \\ To'g'ri] (ikkinchisida 3 \\ o'ng] (oxirgi holatda - endi "nozik" , Lekin katta o'lchamdagi matritsalar uchun to'g'ri qayg'u boshlanadi.
Ammo xavotirlanmang: Hech bo'lmaganda Merix $ 10 \\ o'ngga 10 \\ TIG'il] uchun yana 10 \\ To'g'ri] ni tezda topishingiz mumkin bo'lgan alternativ algoritm mavjud. Ammo, tez-tez sodir bo'lganda, bu algoritmni ko'rib chiqish uchun kichik nazariy kirish vaqtini oladi.
Boshlang'ich o'zgarishlar
Turli o'zgarishlar orasida matritsada bir nechta maxsus - ular boshlang'ich deb nomlanadi. Bunday o'zgarishlar aniq uchta:
- Ko'plab ko'paytirish. Siz $ i $ i $ i $ (ustun) va uni har qanday raqamga ko'paytirishingiz mumkin, $ k \\ n 0 $;
- Qo'shimcha. $ I $ i $ uchun (ustun) har qanday boshqa raqamli (ustun) har qanday raqamga ko'paytiriladi (siz, albatta, va $ va $ K \u003d 0 $. Nonsiz? o'zgaradi).
- Ta'sir. $ A va $ J $ -un liniyalari (ustunlar) va almashtirish joylarini oling.
Nega bu o'zgarishlar boshlang'ich deb nomlanadi (ular bunday boshlang'ich ko'rinmaydi) va nima uchun ulardan uchtasi bor - bu savollar bugungi darsdan tashqari. Shuning uchun biz tafsilotlarga kirmaymiz.
Yana bir narsa muhimdir: Bu buzuqliklar biriktirilgan matritsadan yuqori. Ha, ha: siz eshitmadingiz. Endi yana bir ta'rif bo'ladi - bugungi darsda oxirgi marta.
Biriktirilgan matritsa
Shubhasiz, maktabda siz tenglamalar tizimini qo'shib hal qildingiz. Xo'sh, yana bir qatordan ushlab qolish uchun, raqamga bir nechta qatorni ko'paytiring - bularning barchasi.
Xo'sh, endi hamma narsa bir xil, ammo allaqachon "kattalar". Tayyormi?
Ta'rif. $ A \u003d \\ chapdagi matritsani [N \\ marta n \\ Tight] va $ e $ bir xil o'lchamdagi $ e $ bir xil o'lchamdagi bitta matritsa bo'lsin. Keyin biriktirilgan matritsa $ \\ chap [chap | | E \\ o'ng. \\ To'g'ri] $ bu $ \\ chapdagi yangi matritsa [n \\ marta 2n \\ o'ng] $.
\\ [\\ chap | E \\ o'ng. \\ O'ng] \u003d chapdan ((RRRR | RRRR) ((A) _ (11) ((A) _ (12)) _ ((A) _ ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... _ (A) _ (A) _ (a) _ (a) _ (22)) _ ((a) _ (a) _ (2n)) _ 0 & 1 _ (a) _ (a) _ (a)) _ (a) _ (a) _ (a)) _ (2n)) _ 0 va 1 _ (a) _ (a)) _ (a)) _ (a) _ (a)) _ (a)) _ 0 va 1 _ (a)) _ (a) _ (a) _ (a)) _ (a)) _ (a)) _ (2n)) _ 0 & 1 va ... & 0 \\\\ ... & ... & ... \\ (a) _ (a) _ (a) _ (a) _ (N2)) _ (N2)) va .. . _ (a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... \\ \\\\ End (CAST) \\ o'ng] \\]
Qisqasi, biz matritsani $ eni egallaymiz, to'g'ri o'lchamdagi $ E burchini tenglashtiramiz, biz ularni go'zallik uchun vertikal xususiyat bilan ajratamiz - bu siz biriktirilgan narsa. :)
Qanday qilib ushlash? Lekin nima:
Teorema. Matritsa $ qaytarib bersin. Vikipedli Matrix $ \\ chap [chap | | E \\ o'ng. \\ O'ng] $. Agar yordam bilan bo'lsa boshlang'ich qatorni o'zgartirish uni $ \\ chapga olib keling [e \\ chap | | B \\ o'ng. \\ O'ng] $, i.e. $ S $ e $ dan to'g'ri keladigan $ e $ olish uchun ko'paytirish, aylanma va imkon beruvchi satrlar, so'ngra chapda olingan $ B $ Matritsa $ a $ ga qaytish:
\\ [\\ chap | E \\ o'ng. \\ O'ng] \\ chapga [e \\ chap | | B \\ o'ng. \\ O'ng] \\trow b \u003d (a) ^ (- 1)) \\]
Shunday qilib, hamma narsa oddiy! Qisqasi, teskari matritsani topish algoritmi quyidagicha ko'rinadi:
- Bitta biriktirilgan matrix $ \\ chap [chap | | E \\ o'ng. \\ O'ng] $;
- E $ $ a $ o'rniga $ e $ unga aylantirilgunga qadar elementar satrni amalga oshiradi;
- Albatta, chap tomonda ham, nimadir paydo bo'ladi - ba'zi matritsa $ B $. Bu teskari bo'ladi;
- Foyda! :)
Albatta, tugatishdan ko'ra osonroq aytish. Shunday qilib, keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik: $ 3 \\ marta 3 \\ o'ng] va $ 4 \\ To'g'ri] $ [4 \\ To'g'ri].
Vazifa. Teskari matritsani toping:
\\ [\\ chapdan ((35) (r) (R)) 1 & 5 & 1 & 1 & 2 &2 \\\\ & 1 &2 \\\\ End "\\ o'ngga]
Qaror. Biriktirilgan matritsani tuzing:
1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ | \\ [\\ Chap [(RRR RRR) (qator) boshlang \\ \\ End (massiv) \\ o'ng] \\]
Ikkinchisining asl nusxasi ustuni birliklar bilan to'ldirilganligi sababli, qolgan qismidan birinchi satrni o'qing:
\\ [(Array) (RRR | RRR) (Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [boshlang \\ 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\\\ Ending (Maslahat) \\ To'g'ri] \\ DickRow \\ Hindiston \\ DickRow \\ DickRow \\ \\ \\ \\ \\ / \\ dan \\ \\ gacha [boshlang \\ (Array) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 \\ 3 & 0 & -7 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\\\\\ End (Array ) \\ O'ng] \\\\ \\ end (alt) \\] \\] \\] \\] \\] \\] \\] \\]
Birinchi satrdan boshqa birlik yo'q. Ammo biz unga tegmaymiz, aks holda uchinchi ustun birliklarni "ko'paytirish" ni boshlaydi.
Ammo biz ikkinchi qatorni oxirgi kundan ikki marta chiqara olamiz - chap burchagida jihozni olamiz:
\\ [(Array) (RRR | RRR) (Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [boshlang \\ 1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 5 & - 7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ End / o'ng] \\ o'ng] \\tram \\\\\\ endrrow \\\\\\ enterrrow \\\\ \\\\ end \\\\ \\ \\ chapga (matrix) \\\\ \\ \\ chapga [\\ boshlang (Array) (RRR | RRR) 1 & 5 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\\\ End (Array) \\ o'ng] \\\\ \\ end (alt) \\] \\]
Endi siz birinchi va ikki marta ikkinchisidan oxirgi qatorni olib tashlashingiz mumkin - shuning uchun biz birinchi ustunni "ZAEA" olamiz:
1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 | (RRR RRR) \\ [(Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [(Array) boshlang \\ & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ End (Array) \\ o'ng] boshlang \\ (Matrix) -1 \\\\ -2 \\\\ \\ Uparrow \\\\\\ End (Matrix) \\ uchun \\\\ & \\ qilish 0 & 6 & 1 & 0 & 0 & -3 & 5 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & | \\ tark [(RRR RRR) (qator) boshlanadi \\ -2 & 1 \\\\ end / to'g'ri] \\\\ \\ end (alt) \\]
Men ikkinchi qatorni -1 ni ko'paytiraman -1 ni ko'paytiraman, so'ngra uni birinchidan 6 marta olib tashlayman va oxirgi 1 marta qo'shing:
\\ [\\ Boshlang'ich (tekislash) & \\ chap [\\ boshlang'ich (RRRA | RRR) 0 & 6 & 1 & -1 & -1 & -2 & -2 \\ & 0 &-2 \\ 0 & -2 \\ 0 &-2 \\ 0 & -2 \\ & 0 &-2 \\ 0 & -2 \\ 0 & -2 \\ & 0 & -2 \\ \\ & 0 &-2 \\ 0 &-2 \\ & 0 & 0 &-2 \\ 0 & -2 "\\ 0 & -2 \\ & -2 \\ 0 & -2 \\ 0 &-2 \\ 0 &-2 \\ 0 & -2 \\ & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ &-2 \\ 0 &-2 \\ 0 & -2 \\" \\ 1 &1 & 0 & 1 &2 & 1 \\\\ & 1 \\\\ tugadi (Casy) \\ o'ng] \\ boshlang'ich (matritsa) \\ \\\\ chap | \\ Cdot \\ chap (-1 \\ o'ng) \\ o'ng. \\\\ \\\\\\ tugadi (Matrix) \\\\ & \\ dan (RRAY | RRR) 0 & 6 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 "yoki" 3 &5 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & -2 & -2 & -2 &-2 \\ \\ \\ \\\\ End \\ o'ng] \\ To'g'ri] \\ boshlang'ich (matrix) \\\\ +1 \\ \\ \\\\ \\\\ tugadi ( Matrix) \\ uchun \\\\ & \\ uchun \\ Chap [boshlang \\ (Array) (RRR | RRR) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ \\ 1 & 0 & 0 & -7 & 3 & 3 \\ \\\\ End / To'g'ri] \\ tugaydi (tekis) \\] \\] \\]
Bu faqat 1 va 3-o'rinlarni o'zgartirish kerak:
(18 va 32 va -13 \\\\\\ oxiri - 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\ 5 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & | \\ [\\ tark [(RRR RRR) (qator) boshlanadi \\ Array) \\ o'ng] \\]
Tayyor! To'g'ri - kerakli teskari matritsa.
Javob. $ \\ Chapcha [\\ boshlang'ich ((35) (R) (R)) 4 & 17 & 3 &5 & -5 & -18 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ tgli (massiv) $
Vazifa. Teskari matritsani toping:
\\ [\\ LEFT [\\ boshlang (Matrix) 1 va 4 va 2 & 3 \\\\ 1 & -2 & 1 & -2 \\\\ 1 & -1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\\ oxirgi (matritsa) \\ o'ng] \\]
Qaror. Biz yana biriktirilgan kompilyatsiya qilamiz:
1 & 4 & 2 & 3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \\ 1 & -1 & 1 & 1 & | \\ [\\ Chap [(rrrr rrrr) (qator) boshlang \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ End "\\ o'ng \\t] \\]
Bir oz silkitdik, biz qancha vaqt o'ylab topishimiz kerakligini va hisoblashni boshlashimiz kerakligini bilamiz. Birinchi ustunni boshlash uchun, 2 va 3 qatorlarning 1 va 3-qatoriga aylantiring:
1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & | (rrrr rrrr) \\ [(Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [(Array) boshlang \\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\\\ End (Array) \\ To'g'ri] \\ Pastirup \\ DickRow \\ -1 \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ / \\ / \\ / \\ gacha [RRRR | RRRR) 1 va 4 & 0 & - 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 "0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1" 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ End & 1 \\ Tignol] \\ tugaydigan \\ tugash (tekis) \\]
Biz 2-4 qatorlarda juda ko'p "minuslar" ni kuzatamiz. Barcha uchta satrni -1 ga ko'paytiring va keyin uchinchi ustunni "baholang", qolganlaridan 3 gacha:
1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -6 & -1 & -5 & - | (rrrr rrrr) \\ [(Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [(Array) boshlang \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ \\ TUGADI (Array) \\ o'ng] boshlang \\ (Matrix ) \\\\\\ chap | \\ Cdot \\ chap (-1 \\ o'ng) \\ o'ng. \\\\ chap | | \\ Cdot \\ chap (-1 \\ o'ng) \\ o'ng. \\\\ chap | | \\ Cdot \\ chap (-1 \\ o'ng) \\ o'ng. \\\\\\ End (Matrix) \\ uchun \\\\ & \\ uchun \\ Chap [(qator) boshlang \\ (rrrr | rrrr) 1 va 4 va 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ End (Array) \\ o'ng] \\ Boshlang'ich (matritsa) -2 \\\\ \\ \\ \\\\ end \\\\ \\ \\\\ end \\ \\ \\ \\ / \\ dan (RRRRR | RRRR) (RRRR | RRRR) & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ tugashi (massiv) \\ o'ng] \\ tugaydi (tekis) \\]
Endi "qovurish" vaqti - bu asl nusxaning so'nggi ustunini "qovurish vaqti": Qolgan 4-qatorni olib tashlaymiz:
1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 | (rrrr rrrr) \\ [(Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [(Array) boshlang \\ & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 End (Array) \\ o'ng] (Matrix) boshlang \\ +1 \\\\ -3 \\\\-2 \\ Yopish \\\\ \\ \\ \\ / \\ / \\ dan chapga (RRRRR | RRRR) 1 &6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 "yoki -3 & 0 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 0 & 3 \\\\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ End / o'ng] \\\\ \\ end (tekislash) \\]
Final otish: "yoqing" ikkinchi ustunni 1 va 3-qatordan 2-qatordan akalang:
1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & 0 & 6 & 6 & -1 & -5 & 3 | (rrrr rrrr) \\ [(Hizala) boshlang \\ & \\ Chap [(Array) boshlang \\ \\\\ 0 & -5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ End (Array) \\ o'ng] \\ \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ / \\ / \\ / \\ / \\ gacha (RRRR |) 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 "yoki - 17 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 0 & 20 & 0 & 1 & -2 & 0 & 0 & 1 \\\\ end (massiv) \\ o'ng] \\ end (alda) \\] \\]
Va yana chap tomonda, bitta matritsa, bu o'ng tomonga - buning aksi. :)
Javob. $ \\ Chap [boshlang \\ (Matrix) 33 va -6 & -26 & 17 \\\\ 6 & -1 & -5 & 3 \\\\ -25 & 5 & 20 & -13 \\\\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\\\\ oxirgi (matritsa) \\ o'ng] $
A -1 matritsasi Matritsaga nisbatan teskari matritsa deb ataladi, agar * a -1 \u003d E, u erda bitta matritsa n-buyurtma. Teskari Matritsa faqat kvadrat matrislar uchun mavjud bo'lishi mumkin.
Xizmatni tayinlash. Ushbu xizmat bilan onlayn rejimda siz algebraik qo'shimchalarni, Transpirlangan matritsa, ittifoqli matritsa va teskari matritsani topishingiz mumkin. Qaror to'g'ridan-to'g'ri saytda amalga oshiriladi (onlayn rejimda) va bepul. Hisob-kitoblar natijalari so'z hisobotida va Excel formatida (I.E.) echimni tekshirish mumkin. Ro'yxatdan o'tish misoliga qarang.
Ko'rsatma. Eritmani olish uchun siz matritsaning o'lchamini belgilashingiz kerak. Keyingi, yangi dialog oynasida matritsani to'ldiring.
Iordan-Gaussning teskari matritsani ham ko'ring
Qaytish matritsasi uchun algoritm
- Taqdim etilmagan matritsani topish.
- Algebraik qo'shimchalar ta'rifi. Matritsaning har bir elementini algebraik qo'shimcha bilan almashtiring.
- Algebraik qo'shimchalar kiritilgan matritsani tayyorlash: natijada olingan matritsaning har bir elementi asl matritsaning aniqlanganiga bo'linadi. Olingan matritsaning asl matritsa uchun teskari.
- Kvadrat matritsani aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, teskari matritsa u uchun mavjud emas.
- Matritsani aniqlashni hisoblash. Agar u nolga teng bo'lmasa, biz echimni davom ettiramiz, aks holda teskari matritsa yo'q.
- Algebraik qo'shimchalar ta'rifi.
- Ittifoqni to'ldirish (o'zaro biriktirilgan) matritsa C.
- Algebraik qo'shimchalarning teskari matritsani tuzish: Ilova qilingan matritsaning har bir elementi asl matritsaning aniqlanganiga bo'linadi. Olingan matritsaning asl matritsa uchun teskari.
- Tekshirish: asl nusxani siljiting va olingan matritsa. Natijada bitta matritsani olish kerak.
1-misol 1. Matritsani shaklda yozamiz:
Algebraik qo'shimchalar.
| A 1.1 \u003d (-1) 1 + 1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1.2 \u003d (-1) 1 + 2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| 1,3 \u003d (-1) 1 + 3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| 2.1 \u003d (-1) 2 + 1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| 2.2 \u003d (-1) 2 + 2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| 2.3 \u003d (-1) 2 + 3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| 3.1 \u003d (-1) 3 + 1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 \u003d (-1) 3 + 2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| 3.3 \u003d (-1) 3 + 3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Keyin teskari matritsa Siz yozishingiz mumkin:
| A -1 \u003d 1/10 |
|
| A -1 \u003d. |
|
Teskari matritsani topish uchun yana bir algoritm
Qaytish matritsasini topishning yana bir diagrammasini beramiz.- Biz ushbu maydonning matritsasini aniqlaymiz.
- Matritsaning barcha elementlariga algebraik qo'shimchalarni topamiz.
- Ustunlardagi qator elementlarining algebraik qo'shimchalarini qayd eting.
- Olingan matritsaning har bir elementini Matritsani aniqlash uchun ajratamiz.
Alohida holat: Teskari, bitta matritsaning bitta matritsasi E.
Qoida tariqasida, murakkab algebraik iboralarni soddalashtirish uchun teskari operatsiyalar qo'llaniladi. Masalan, agar vazifa bo'linmaida bo'linadigan bo'linma bo'lsa, uni ko'paytirish operatsiyasi bilan almashtirish operatsiyasi bilan almashtirish mumkin. Bundan tashqari, matrislar bo'linmaydi, shuning uchun siz teskari matritsani ko'paytirishingiz kerak. Matritsinni hisoblang, 3x3 o'lchamdagi teskari matritsa juda zerikarli, ammo uni qo'lda qilishingiz kerak. Shuningdek, teskari qiymatni yaxshi grafik kalkulyator yordamida topish mumkin.
Qadamlar
Biriktirilgan matritsadan foydalanish
Asl matritsani qismpar. O'tkazish - bu matritsaning asosiy diagonaliga nisbatan ustunlardagi qatorlarni almashtirish, ya'ni elementlarni (i, j) va (j, i) joylarni o'zgartirish kerak. Shu bilan birga, asosiy diagonal elementlari (chap chap burchakda boshlanadi va pastki o'ng burchakda tugaydi) o'zgarmaydi.
- Ustunlardagi qatorlarni o'zgartirish uchun birinchi ustundagi birinchi liniy elementlarni, ikkinchi ustundagi ikkinchi liniyaning elementlarini va uchinchi ustunda uchinchi liniyaning elementlarini yozing. Elementlarning o'rnini o'zgartirish tartibi ushbu raqamda ko'rsatilgan elementlar rangli doiralar bilan aylanib yuradigan rasmda keltirilgan.
Har 2x2 matritsasini aniqlang. Har qanday matritsaning har bir elementi, shu jumladan portlatish, shu jumladan joylashtirilgan, mos keladigan matritsa 2x2 bilan bog'liq. Muayyan elementga mos keladigan 2x2 matritsasini topish, ushbu mahsulot joylashgan satr va ustunni kesib o'ting, ya'ni dastlabki matritsa 3x3 ning beshta elementlarini kesib o'tishingiz kerak. To'rtta elementlar ochilmagan bo'lib, ular tegishli matritsa 2x2 elementlari bo'lgan.
- Masalan, ikkinchi qatorning kesishganida joylashgan element uchun 2x2 matritsasini topish va birinchi ustun, ikkinchi qatorda joylashgan besh elementni va birinchi ustunni kesib o'ting. Qolgan to'rtta element - bu mos matritsa 2x2 elementidir.
- Har 2x2 matritsasi aniqchiligini toping. Buning uchun ikkinchi darajali diagonali mahsulotning mahsuloti asosiy diagonali buyumlardan ushlab qolinadi (rasmga qarang).
- 2x2 Matritsalar haqida batafsil ma'lumot Internetda 3x3 matritsasi mavjud bo'lishi mumkin.
Cochraktor matritsasini yarating. Ilgari olingan natijalar, yangi Cofaktor matritsasi sifatida yozib oling. Buning uchun identifikator har bir matritsa 2x2 yozgan, u erda yozgan 3x3 ning mos keladigan elementi joylashgan. Masalan, agar 2X2 matritsasi element (1.1) uchun ko'rib chiqilsa, uni aniqlash holatida (1,1) qayd etiladi. Keyin rasmda ko'rsatilgan aniq sxema bo'yicha tegishli elementlarning belgilarini o'zgartiring.
- Belgilarning saxiy o'zgarishi: birinchi qatorning birinchi qismi o'zgarmaydi; Birinchi liniyaning ikkinchi qismining belgisi aksini o'zgartirmoqda; Birinchi liniyaning uchinchi elementi belgisi o'zgarmaydi va shu uchun ham. Shuni esda tutingki, diagrammada ko'rsatilgan "+" va "-", tegishli element ijobiy yoki salbiy bo'lishini ko'rsatmang. Bunday holda, "+" belgisi element belgisi o'zgarmaydi va "-" belgisi element belgisining o'zgarishini ko'rsatadi.
- Temirlik to'g'risidagi matris haqida batafsil ma'lumotni Internetda topish mumkin.
- Shunday qilib, siz MATRIX-ning biriktirilgan matritsani topasiz. Ba'zan u murakkab-konjugae matritsasi deb ataladi. Bunday matritsaj (m) sifatida ko'rsatilgan.
Bir dozimitantga biriktirilgan matritsaning har bir elementini ajrating. M Matritsaning deterchisi teskari matritsa mavjudligini tekshirish uchun boshlanganda hisoblab chiqilgan. Endi biriktirilgan matritsaning har bir elementini ushbu determentantga ajrating. Har bir bo'linmaning natijasi tegishli element joylashgan joyda qayd etiladi. Shunday qilib, siz teskari manbani topasiz.
- Rasmda ko'rsatilgan matritsani aniqlash 1 Shunday qilib, biriktirilgan matritsa teskari matritsadir (chunki 1-raqamni o'zgartirganda u o'zgarmaydi).
- Ba'zi manbalarda bo'linish operatsiyasi ko'p sonli ish bilan almashtiriladi 1 / Dindi (m). Bunday holda, yakuniy natija o'zgarmaydi.
Terror matritsasini yozib oling. Yengil matritsaning o'ng yarmida joylashgan elementlarni yozing, bu o'zgaruvchan matritsadir.
Kalkulyatorning xotirasiga MATRIX-ni kiriting. Buning uchun Matrix tugmachasini (matritsani) bosing. Texas asboblari kalkulyatori bo'lmagan taqdirda, siz ND va matritsa tugmachalarini bosishingiz kerak bo'lishi mumkin.
Edit menyusini tanlang. Uni kalkulyator klaviaturasining yuqori qismida joylashgan strelka tugmalarini yoki tegishli funktsiya tugmachasini (tugmachaning joylashgan joyi kalkulyator modeliga bog'liq).
Matritsaning belgisini kiriting. Eng grafik kalkulyatorlari A-J harflari bilan belgilanishi mumkin bo'lgan 3-10 ta matritsalar bilan ishlashi mumkin. Qoida tariqasida, asl matritsani ko'rsatish uchun [a] ni tanlang. Keyin ENTER tugmasini bosing.
Matritsa hajmini kiriting. Ushbu maqolada 3x3 matritsalari kiradi. Ammo grafik kalkulyatorlar katta o'lchamdagi matritsalar bilan ishlashi mumkin. Satrlar sonini kiriting, keyin ENTER tugmasini bosing, keyin ustunlar sonini kiriting va yana ENTER tugmasini bosing.
Har bir matritsa elementini kiriting. Matritsa kalkulyator ekranida paydo bo'ladi. Agar matritsa allaqachon kalkulyatorda kiritilgan bo'lsa, u ekranda paydo bo'ladi. Kursor matritsaning birinchi elementini ajratadi. Birinchi element qiymatini kiriting va Enter ni bosing. Kursor avtomatik ravishda matritsaning keyingi elementiga o'tadi.