1 ning natural logarifmi nima 2. Logarifm nima

ko'pincha raqamni oling e = 2,718281828 ... Bu asosdagi logarifmlar deyiladi tabiiy... Tabiiy logarifmlar bilan hisob-kitoblarni bajarishda odatda belgi bilan ishlash qabul qilinadi ln, lekin emas jurnal; raqam esa 2,718281828 asosni belgilash ko'rsatmaydi.

Boshqacha qilib aytganda, matn quyidagicha ko'rinadi: tabiiy logarifm raqamlar X sonni ko'tarish kerak bo'lgan darajaning ko'rsatkichidir e, Olish uchun x.

Shunday qilib, ln (7,389 ...)= 2, chunki e 2 =7,389... ... Raqamning tabiiy logarifmi e= 1 chunki e 1 =e, va birning natural logarifmi nolga teng, chunki e 0 = 1.

Raqamning o'zi e monoton chegaralangan ketma-ketlikning chegarasini belgilaydi

buni hisoblab chiqdi e = 2,7182818284... .

Ko'pincha, raqamni xotirada tuzatish uchun kerakli raqamning raqamlari ba'zi bir muhim sana bilan bog'lanadi. Raqamning birinchi to'qqizta raqamini yodlash tezligi e 1828 yil Lev Tolstoyning tug'ilgan yili ekanligini sezsangiz, kasrdan keyin ortadi!

Bugungi kunda tabiiy logarifmlarning to'liq jadvallari mavjud.

Tabiiy logarifm syujeti(funktsiyalari y =ln x) koʻzgu tasvirining toʻgʻri chiziqqa nisbatan koʻrsatkichli chizmasining natijasidir y = x va quyidagi shaklga ega:

Tabiiy logarifmni har bir musbat haqiqiy son uchun topish mumkin a egri chiziq ostidagi maydon sifatida y = 1/x dan 1 oldin a.

Tabiiy logarifm ishtirok etadigan boshqa ko'plab formulalar bilan mos keladigan ushbu formulaning elementar tabiati "tabiiy" nomining paydo bo'lishiga sabab bo'ldi.

Agar siz tahlil qilsangiz tabiiy logarifm, haqiqiy o'zgaruvchining haqiqiy funktsiyasi sifatida, keyin u harakat qiladi teskari funktsiya identifikatsiyalarga qisqartiruvchi eksponensial funktsiyaga:

e ln (a) = a (a> 0)

ln (e a) = a

Barcha logarifmlarga o'xshab, natural logarifm ko'paytirishni qo'shishga, bo'linishni ayirishga aylantiradi:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x / y) = lnx - lny

Logarifmni faqat uchun emas, balki bittaga teng bo'lmagan har bir musbat asos uchun topish mumkin e, lekin boshqa asoslar uchun logarifmlar natural logarifmadan faqat doimiy omil bilan farqlanadi va odatda natural logarifm nuqtai nazaridan aniqlanadi.

Tahlil qilgandan keyin tabiiy logarifm grafigi, biz o'zgaruvchining ijobiy qiymatlari uchun mavjudligini olamiz x... U o'z ta'rifi sohasida monoton ravishda ortadi.

Da x → 0 natural logarifm chegarasi minus cheksizlik ( -∞ ).Da x → + ∞ natural logarifm chegarasi plyus cheksizlik ( + ∞ ). Katta uchun x logarifm ancha sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi x a ijobiy ko'rsatkich a logarifmadan tezroq ortadi. Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas.

Foydalanish tabiiy logarifmlar oliy matematikadan o'tishda juda oqilona. Shunday qilib, logarifmdan foydalanish noma'lumlar ko'rsatkich sifatida paydo bo'ladigan tenglamalarga javob topish uchun qulaydir. Hisoblashda tabiiy logarifmdan foydalanish ko'p sonli matematik formulalarni sezilarli darajada osonlashtirishga imkon beradi. Baza uchun logarifmlar e Ular ko'p sonli fizik muammolarni hal qilishda mavjud va tabiiy ravishda individual kimyoviy, biologik va boshqa jarayonlarning matematik tavsifiga kiradi. Shunday qilib, logarifmlar ma'lum yarim yemirilish davri uchun parchalanish konstantasini hisoblash yoki radioaktivlik masalalarini hal qilishda parchalanish vaqtini hisoblash uchun ishlatiladi. Ular matematika va amaliy fanlarning ko'pgina sohalarida asosiy rol o'ynaydi, ular moliya sohasida juda ko'p muammolarni hal qilish uchun, shu jumladan murakkab foizlarni hisoblashda qo'llaniladi.

Natural logarifm tushunchasi bilan tanishishdan oldin $ e $ doimiy soni tushunchasini ko'rib chiqamiz.

$ e $ raqami

Ta'rif 1

$ e $ raqami Transsendental son bo'lgan va $ e \ taxminan 2,718281828459045 \ ldots $ ga teng bo'lgan matematik doimiydir.

Ta'rif 2

Transsendental butun koeffitsientli ko'phadning ildizi bo'lmagan sondir.

Izoh 1

Oxirgi formula tavsiflaydi ikkinchi ajoyib chegara.

e raqami ham deyiladi Eyler raqamlari va ba'zan Napier raqamlari.

Izoh 2

$ e $ raqamining birinchi belgilarini eslab qolish uchun ko'pincha quyidagi ibora ishlatiladi: "$ 2 $, $ 7 $, ikki marta Lev Tolstoy"... Albatta, undan foydalanish imkoniyatiga ega bo'lish uchun Lev Tolstoy 1828 dollarda tug'ilganini esdan chiqarmaslik kerak.Mana bu raqamlar $2 $ ning butun qismidan keyin $ e $ qiymatida ikki marta takrorlanadi. va o'nlik $ 7 $.

Biz natural logarifmni o'rganishda $ e $ soni tushunchasini ko'rib chiqishni boshladik, chunki u odatda $ \ log_ (e) ⁡a $ logarifmining negizida joylashgan. tabiiy va $ \ ln ⁡a $ shaklida yoziladi.

Tabiiy logarifm

Ko'pincha, hisoblashda logarifmlar qo'llaniladi, ularning bazasida $ e $ raqami mavjud.

Ta'rif 4

Bazasi $ e $ bo'lgan logarifm deyiladi tabiiy.

Bular. natural logarifm $ \ log_ (e) ⁡a $ sifatida belgilanishi mumkin, lekin matematikada $ \ ln ⁡a $ belgisidan foydalanish odatiy holdir.

Tabiiy logarifm xossalari

Chunki bittadan istalgan bazaga logarifm $ 0 $ ga teng, u holda bittasining natural logarifmi $ 0 $ ga teng:

$ e $ sonining natural logarifmi bittaga teng:

Ikki sonning ko‘paytmasining natural logarifmi bu sonlarning natural logarifmlari yig‘indisiga teng:

$ \ ln ⁡ (ab) = \ ln ⁡a + \ ln ⁡b $.

Ikki sonning natural logarifmi bu sonlarning natural logarifmlari orasidagi farqga teng:

$ \ ln⁡ \ frac (a) (b) = \ ln ⁡a- \ ln⁡ b $.

Sonning kuchining natural logarifmini sublogarifmik sonning natural logarifmi bilan ko‘rsatkichning ko‘paytmasi sifatida ko‘rsatish mumkin:

$ \ ln⁡ a ^ s = s \ cdot \ ln⁡ a $.

1-misol

$ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) $ ifodasini soddalashtiring.

Yechim.

Ko‘paytmaning logarifmi xossasini sanoq va maxrajdagi birinchi logarifmga, sanoq va maxrajning ikkinchi logarifmiga daraja logarifmi xossasini qo‘llaymiz:

$ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = \ frac (2 (\ ln ⁡4 + \ ln ⁡e) - \ ln⁡ 4 ^ 2) (\ ln ⁡5 + \ ln ⁡e- \ frac (1) (2) \ ln⁡ 5 ^ 2) = $

qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni taqdim eting, shuningdek $ \ ln ⁡e = 1 $ xususiyatini qo'llang:

$ = \ frac (2 \ ln ⁡4 + 2-2 \ ln ⁡4) (\ ln ⁡5 + 1- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ ln ⁡5) = \ frac (2) ( \ ln ⁡5 + 1- \ ln ⁡5) = 2 $.

Javob: $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = 2 $.

2-misol

$ \ ln⁡ 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) $ ifoda qiymatini toping.

Yechim.

Logarifmlar yig‘indisi formulasini qo‘llaymiz:

$ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = \ ln 2e ^ 2 \ cdot \ frac (1) (2e) = \ ln ⁡e = 1 $.

Javob: $ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = 1 $.

3-misol

$ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln⁡ e ^ 5 $ logarifmik ifoda qiymatini baholang.

Yechim.

Darajaning logarifmi xossasini qo‘llaymiz:

$ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 2 \ lg 10 ^ (- 1) +3 \ cdot 5 \ ln ⁡e = -2 \ lg ⁡10 + 15 \ ln ⁡e = -2 + 15 = 13 $.

Javob: $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 13 $.

4-misol

$ \ ln \ frac (1) (8) -3 \ ln ⁡4 $ uchun logarifmik ifodani soddalashtiring.

$ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = 3 \ ln (\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \ ln 3 ^ 3 = 3 \ cdot 2 \ ln \ frac (3) (e) -2 \ cdot 3 \ ln ⁡3 = 6 \ ln \ frac (3) (e) -6 \ ln ⁡3 = $

birinchi logarifmga bo'linish logarifmining xossasini qo'llaymiz:

$ = 6 (\ ln ⁡3- \ ln ⁡e) -6 \ ln⁡ 3 = $

Qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz:

$ = 6 \ ln ⁡3-6 \ ln ⁡e-6 \ ln ⁡3 = -6 $.

Javob: $ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = -6 $.

e raqami asosida: ln x = log e x.

Tabiiy logarifm matematikada keng qo'llaniladi, chunki uning hosilasi eng oddiy shaklga ega: (ln x) ′ = 1 / x.

Asoslangan ta'riflar, natural logarifmning asosi sondir e:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.

Funktsiya grafigi y = ln x.

Natural logarifm syujeti (funksiyalar y = ln x) koʻrsatkich grafigini y = x toʻgʻri chiziqqa nisbatan aks ettirish orqali olinadi.

Tabiiy logarifm x o'zgaruvchisining musbat qiymatlari uchun aniqlanadi. U o'z ta'rifi sohasida monoton ravishda ortadi.

x → sifatida 0 natural logarifmning chegarasi minus cheksizlik (- ∞).

X → + ∞ sifatida natural logarifmning chegarasi plyus cheksizlikdir (+ ∞). Katta x uchun logarifm ancha sekin ortadi. Har qanday quvvat funktsiyasi x a musbat ko'rsatkichli a logarifmadan tezroq o'sadi.

Tabiiy logarifm xossalari

Aniqlanish diapazoni, qiymatlar to'plami, ekstremal, ortib boruvchi, kamayuvchi

Tabiiy logarifm monoton ravishda ortib boruvchi funktsiyadir, shuning uchun u ekstremalga ega emas. Tabiiy logarifmning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

Ln x

ln 1 = 0

Tabiiy logarifmlar uchun asosiy formulalar

Teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadigan formulalar:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Har qanday logarifmni tabiiy logarifmlar yordamida asosiy o'zgarish formulasi yordamida ifodalash mumkin:

Ushbu formulalarning isbotlari "Logarifm" bo'limida keltirilgan.

Teskari funksiya

Natural logarifmning teskari ko‘rsatkichi ko‘rsatkichdir.

Agar, keyin

Agar, keyin.

Hosil ln x

Natural logarifmning hosilasi:
.
X modulining natural logarifmining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni hosil qilish>>>

Integral

Integral qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi:
.
Shunday qilib,

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

z kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqaylik:
.
Kompleks o'zgaruvchini ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki
.
ph argumenti yagona aniqlanmagan. Agar qo'ysak
, bu yerda n butun son,
u har xil n uchun bir xil raqam bo'ladi.

Demak, natural logarifm kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir ma’noli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

Parchalanishda quyidagilar sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va texnik muassasalar talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Mavzular bo'yicha dars va taqdimot: "Natural logarifmlar. Natural logarifmning asosi. Natural sonning logarifmi".

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interaktiv o'quv qo'llanma
10-11-sinflar uchun "Logarifmlar" interfaol o'quv qo'llanma

Tabiiy logarifm nima

Bolalar, o'tgan darsda biz yangi, maxsus raqamni o'rgandik - e. Bugun biz ushbu raqam bilan ishlashni davom ettiramiz.
Biz logarifmlarni o'rgandik va bilamizki, logarifmning negizida 0 dan katta bo'lgan ko'plab sonlar bo'lishi mumkin. Bugun biz logarifmni ham ko'rib chiqamiz, uning negizida e soni joylashgan. Bunday logarifm odatda logarifm deb ataladi. tabiiy logarifm. Uning o'ziga xos yozuvi bor: $ \ ln (n) $ - natural logarifm. Bu yozuv quyidagi yozuvga teng: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalar teskari, keyin natural logarifm funksiya uchun teskari: $ y = e ^ x $.
Teskari funksiyalar $ y = x $ chiziqqa nisbatan simmetrikdir.
Ko‘rsatkichli funksiyani $ y = x $ chiziqqa nisbatan aks ettirib, natural logarifmni chizamiz.

(0; 1) nuqtada $ y = e ^ x $ funktsiyasi grafigiga teginish burchagi 45 ° ga teng ekanligini ta'kidlash kerak. Shunda (1; 0) nuqtadagi tabiiy logarifm grafigiga teginish burchagi ham 45 ° ga teng bo'ladi. Bu tangenslarning ikkalasi $ y = x $ chizig'iga parallel bo'ladi. Keling, tangenslarni chizamiz:

$ y = \ ln (x) $ funksiyasining xossalari

1. $ D (f) = (0; + ∞) $.
2. Juft ham, toq ham emas.
3. Ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi.
4. Yuqorida cheklanmagan, pastda cheklanmagan.
5. Eng yuqori qiymat, eng past qiymat yo'q.
6. Uzluksiz.
7. $ E (f) = (- ∞; + ∞) $.
8. Qavariq yuqoriga.
9. Hamma joyda farqlanadigan.

Oliy matematika kursida bu isbotlangan teskari funktsiyaning hosilasi berilgan funktsiyaning hosilasiga teskari hisoblanadi.
Isbotga chuqurroq kirib borish unchalik mantiqqa to‘g‘ri kelmaydi, faqat formulani yozamiz: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.

Misol.
Funktsiya hosilasining qiymatini hisoblang: $ y = \ ln (2x-7) $ $ x = 4 $ nuqtasida.
Yechim.
Umuman olganda, bizning funktsiyamiz $ y = f (kx + m) $ funktsiyasini ifodalaydi, biz bunday funktsiyalarning hosilalarini hisoblashimiz mumkin.
$ y "= (\ ln ((2x-7))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
Kerakli nuqtada hosilaning qiymatini hisoblaymiz: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
Javob: 2.

Misol.
$ x = e $ nuqtasida $ y = ln (x) $ funksiya grafigiga teginish chizing.
Yechim.
Funktsiya grafigiga teginish tenglamasi, $ x = a $ nuqtasida, biz yaxshi eslaymiz.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
Kerakli qiymatlarni ketma-ket hisoblaylik.
$ a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
$ x = e $ nuqtadagi tangens tenglama $ y = \ frac (x) (e) $ funktsiyadir.
Keling, natural logarifm va tangens chiziqni chizamiz.

Misol.
Funktsiyani monotonlik va ekstremallik uchun tekshiring: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
Yechim.
Funktsiya sohasi $ D (y) = (0; + ∞) $.
Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
Losos ta'rif sohasidagi barcha x uchun mavjud bo'lsa, unda hech qanday tanqidiy nuqta yo'q. Statsionar nuqtalarni toping:
$ 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) = 0 $.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$ 6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$ x ^ 6 = 1 $.
$ x = ± 1 $.
$ x = -1 $ nuqtasi amalda emas. Keyin bizda bitta statsionar nuqta bor $ x = 1 $. O'sish va kamayish oraliqlarini topamiz:

$ x = 1 $ nuqtasi minimal nuqta, keyin $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
Javob: (0; 1] segmentida funksiya kamayadi, $ nurida funksiya ortadi)