Chiziqli avtonom tizimlarning muvozanatli pozitsiyalari. Tugallangan telekanal
Sinf: 10
Darsga taqdimot
Oldinga oldinga
Diqqat! Oldindan ko'rish Slaydlardan faqat axborot maqsadlari uchun foydalaniladi va barcha taqdimot imkoniyatlari to'g'risida fikrlar bildirmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, iltimos to'liq versiyasini yuklab oling.
Maqsadlar dars:Muvozanaviy organlar muvozanatini, turli xil muvozanat bilan tanishish uchun; Tananing muvozanatida bo'lgan sharoitlarni bilib oling.
Vazifalar darsi:
- Ta'lim:Ikki muvozanat sharoitlarini, muvozanat turlarini (barqaror, beqaror, beqaror) tekshiring. Tananing qanday sharoitda barqarorligini aniqlash uchun.
- Rivojlanayotgan:Fizikaga kognitiv manfaatlarni rivojlantirishga ko'maklashish. Taqqoslash, umumlashtirish, asosiy narsani ajratish, xulosalar chiqarish uchun ko'nikmalarni ishlab chiqish.
- Ta'lim:Diqqatni tarbiyalash, sizning nuqtai nazaringizni ifoda etish va himoya qilish qobiliyatini, talabalarning kommunikativ qobiliyatlarini rivojlantirish.
Dars turi:kompyuterni qo'llab-quvvatlash bilan yangi materialni o'rganish darslari.
Uskunalar:
- "Ish va energiya" Disk "Elektron darslar va testlar" dan.
- "Tugallangan sharoitlar" jadvali.
- Prizma plyonka bilan ketish.
- Geometrik jismlar: silindr, kub, konus va boshqalar.
- Kompyuter, multimediaPronpetcw, interfaol dog 'yoki ekran.
- Taqdimot.
Sinflar davomida
Bugungi kunda darsda biz ko'tarish kranining nima uchun yiqilmasligi, nima uchun o'yinchoq "Vanka-Stening" o'yinchoqlari har doim asl holatiga qaytmaydi, nima uchun Piva minorasi tushmaydi?
I. Ma'lumotni takrorlash va amalga oshirish.
- Birinchi Nyuton qonunini shakllantiring. Qonunda qanday shart ko'rsatilgan?
- Ikkinchi qonunga qanday savol javob berdi Nyuton? Formula va tahrirlash.
- Nyutonning uchinchi qonuni qanday savol? Formula va tahrirlash.
- Natijada nima deyiladi? U qanday joylashgan?
- "Tashkilotlarning harakati va o'zaro ta'siri" diskidan "Turli yo'nalishdagi kuchlar bilan kuchlarni etish" vazifasini bajarish uchun (turli yo'nalishlar bo'yicha kuchlar (2, 3 mashqi).
II. Yangi materialni o'rganish.
1. Tuvayalqani nima deb ataladi?
Muvozanat - bu dam olish holati.
2. muvozanat sharoitlari.(2-slayd)
a) Faqat tana qachon? Bu qaysi qonunga amal qiladi?
Birinchi muvozanat holati:Tana muvozanatda, agar tanaga qo'llanilgan tashqi kuchlarning geometrik summasi nolga teng bo'lsa. Scf \u003d 0.
b) Rasmda ko'rsatilganidek, kengashda ikkita teng kuch harakat qilishiga yo'l qo'ying.
U muvozanatda bo'ladimi? (Yo'q, u o'giradi)
Faqat markaz nuqtai nazarda faqat joylashgan va qolgan qismi joylashgan. Bu shuni anglatadiki, tana muvozanatda bo'lganligini anglatadi, har bir elementda ishlaydigan barcha kuchlarning yig'indisi 0.
Ikkinchi muvozanat holati: Soat yo'nalishi bo'yicha harakat qiladigan kuchlarning sonlarining yig'indisi soat miliga teskari tomonga yo'naltirilgan kuchlarning soniga teng bo'lishi kerak.
Sc soat metrikasi soat miliga teskari
Quvvat lahzasi: m \u003d f l
L - elkaning kuchi - yordam berish joyidan eng qisqa masofada harakat yo'nalishi bo'yicha.
3. Tananing og'irlik markazi va uning ajrimi.(4 slayd)
Tortishish markazi markazi - Bu har qanday parallel tortishish kuchlarining tananing individual elementlariga (tananing har qanday pozitsiyasi bilan) amalga oshiradigan natijasidir.
Quyidagi raqamlarning og'irlik markazini toping:
4. muvozanat turlari.
ammo) (5-8 slaydlar)
Chiqish: Muvozanat barqaror bo'lsa, agar muvozanat holatidan kichik og'ish bo'lsa, uni ushbu pozitsiyaga qaytarishga harakat qilish uchun kuch bor.
Uning potentsial energiyasi minimal darajada minimal darajada. (9 slayd)
b) qo'llab-quvvatlash joyida yoki qo'llab-quvvatlash liniyasida joylashgan jasadlarning barqarorligi. (10-17 slaydlar)
Chiqish:Tananing bir nuqtada yoki qo'llab-quvvatlash liniyasida joylashgan qarindoshi uchun tortishish markazi fitna nuqtasidan past (satr) ostida joylashgan bo'lishi kerak.
c) tananing tekis yuzasida bo'lgan barqarorlik.
(18 slayd)
1) Sirtni qo'llab-quvvatlash - Bu har doim ham tana bilan aloqa qiladigan sirt emas (va stolning oyoqlarini bog'laydigan chiziqlar bilan cheklangan chiziqlar bilan cheklangan.
2) "Elektron darslar va testlar", "Ish va quvvat", "muvozanat turlari" dan Slaydni tarqatish.
1-rasm.
- Najot nimada? (Qo'llab-quvvatlash maydoni)
- Qaysi biri yanada barqaror? (Kattaroq maydon bilan)
- Najot nimada? (Tortishish markazi joylashgan joy)
- Qaysi biri eng barqaror? (Quyida tortishish markazini tanlash)
- Nima uchun? (Chunki uni egilmasdan kattaroq burchakka rad etish mumkin)
3) Garqalovchi boshlanish tajribasi
- Biz plastmassa bilan prizma bilan joylashtiramiz va uni asta-sekin bir chetga ko'tara boshlaymiz. Biz nimani ko'ryapmiz?
- Plumble liniyasi qo'llab-quvvatlanadigan sirtni kesib o'tadi, muvozanat saqlanib qoladi. Ammo tortishish markazidan o'tib ketayotgan vertikal, tayanchning yuzasi chegarasidan tashqarida, tokull rulonidan chiqa boshlaydi.
Tahlil qilish 19-22 slayd..
Xulosa:
- Bu barqaror, bu ko'proq yordam zonasida.
- Xuddi shu hududning ikki jasadini, tortishish markazi quyida joylashganligi sababli Katta burchakka o'qilmasdan rad etish mumkin.
Tahlil qilish 23-25 \u200b\u200bslaydlar.
Qaysi kemalar eng barqaror? Nima uchun? (Uning yuklari ushlagichda emas, balki ushlagichda joylashgan)
Qanday mashinalar eng barqaror? Nima uchun? (Burilishlardagi mashinalar barqarorligini oshirish uchun tuval yo'li aylanish yo'nalishi bilan pastga tushadi.)
Xulosa:Muvozanat barqaror, beqaror, befarq bo'lishi mumkin. Tananing barqarorligi qo'llab-quvvatlovchi va tortishish markazining quyi sohasi kattaroqdir.
III. Tel barqarorlik bilimlarini qo'llash tel.
- Muvozanatli organlar haqida qanday mutaxassisliklar eng muhim bilimlar mavjud?
- Turli xil tuzilmalarning dizaynerlari va dizaynerlari (yuqori qavatli binolar, ko'priklar, televizion minoralar va boshqalar)
- Sirk rassomlari.
- Haydovchilar va boshqa mutaxassislar.
(28-30 slaydlar)
- Nima uchun "Vanka-Sten" o'yin o'yinchisining har qanday qiyalikida muvozanat holatiga qaytadi?
- Nega Piza minorasi oriq ostida turadi va yiqilmaydi?
- Qanday qilib muvozanat velosipedlari va mototsikllar saqlanib qolishadi?
Darsdan xulosalar:
- Tuvali uch xil mavjud: barqaror, beqaror, befarq.
- Uning potentsial energiyasi minimal bo'lgan barqaror tana holati.
- Yassi yuzada jasadlarning barqarorligi katta, qo'llab-quvvatlash maydoni va tortishish markazining pastki qismi kattaroqdir.
Uy vazifasi: 54. – 56 (G.Ya. Myakishev, B.B. Buxtobtsev, N.n. Sotsky)
Ishlatilgan manbalar va adabiyotlar:
- G.Ya. Myakishev, B.B. BuxvaTSev, N.N.Sotskiy. Fizika. 10-sinf.
- 1976 yildagi "Barqarorlik" filtri (men skanerdan kino skanerida).
- "Elektron darslar va testlar" dan "organlarning harakati va o'zaro ta'siri" diski.
- "Elektron darslar va testlar" dan "Ish va quvvat" disklari.
Muvozanat ballarining asosiy turlari
Doimiy koeffitsientlar bilan chiziqli bir hil soniya tizimi: \\ [\\ chap \\ (L) \\ FRAC (L) \\ Frace ((DT)) ((DT)) X + (A_)) X + (A_) 12)) y \\\\ \\ FRAC ((dt)) \u003d (A_ (21)) X + (A_ (21)) y \\ Ens (A_ (21)) y \\ end (massiv) avtonom , chunki tenglamalarning to'g'ri qismlari aniq o'zgaruvchan \\ (t. \\)
Matritsa shaklida, tenglamalar tizimi \\ [(x) \u003d a \\ matbf (x), \\; \\; \\ yoki chap (x) \u003d \\ chap (x) \u003d \\ chap (x)) sifatida qayd etiladi. \\; (\\ boshlanadi (* (20) (c) (c)) \\ o'ng),) \\ o'ngda),) \\; \\; ((\\ \\ chap (* (20 (20) ) (C)) ((A_ (11))) ((A_ (12))) \\\\ ((A_ (21)))) \\ tugaydi (massiv)) \\ o'ng ). \\] Og'riqli pozitsiyalar statsionar tenglamaning eritmasidandir \\ Ushbu tenglama bitta echimga ega \\ (X) \u003d \\ Mathbf (0), \\) bo'lsa, \\ (a \\) bo'lsa yomonlashmoq . holatda \\ (\\ det A \\ NE 0. \\) holatda yomonlashgan matritsa Tizim muvozanatning cheksiz to'plamlari mavjud.
Muvozanat pozitsiyalarining tasnifi aniqlandi o'z ma'nosi \\ ((\\ lambda _1), (\\ lambda _2) \\) Matrites \\ (A. \\) raqamlar \\ ((\\ lambda _2), (\\ lambda _2) xarakterli tenglama \\ [(\\ ♥ 2) - \\ chap (((((A_ (11)) + (A_ (11))) \\ Lambda + (A_ (11)) (A_)) - (A_)) (A_ (12)) (A_ (21)) \u003d 0. \\] Matritsasi MATIX-ga tegishli bo'lganida, muvozanatning turli xil turlari mavjud:
Muvozanat pozitsiyalarining barqarorligi aniqlandi umumiy barqarorlik teoremalari . Shunday qilib, agar eigenvaluessa (yoki kompleksning haqiqiy qiymatlari) salbiy bo'lsa, muvozanat nuqtasi asemptomal barqaror . Bunday muvozanat qoidalariga misollar barqaror e'tibor .
Agar kamida bitta eigenvalening haqiqiy qismi ijobiy bo'lsa, unda tegishli muvozanat holati beqaror . Masalan, bo'lishi mumkin.
Va nihoyat, faqat xayoliy ildizlar (muvozanat nuqtasi) holatida markaz ) Biz klassik bilan shug'ullanamiz lyapunov ma'nosida barqarorlik .
Keyingi maqsadimiz - muvozanatning muvozanati-oimosining xatti-harakatlarini o'rganish. Systemlar uchun \\ (2 \\) - grafik jihatdan juda mos keladi fazal portret umumiylik vakili fazaviy traektoriyalar koordinata tekisligida. Fazalardagi o'qlar vaqt o'tishi bilan (I.E. ning ba'zi bir o'ziga xos holati) ko'rsatma yo'nalishini ko'rsatadi.
Muvozanat nuqtasi va mos keladigan portretlarning har bir turi batafsilroq ko'rib chiqing.
Barqaror va beqaror tugun
O'z qiymati \\ (((\\ lambda _2)), "tugun" turidagi "tugun" turidagi "tugun" turidagi "The" shartlari: \\ [lammma _2 "; \\; (\\ Lambda _1) \\ CDOT (\\ Lambda _2)\u003e 0. \\] Bu erda quyidagi maxsus holatlar paydo bo'lishi mumkin.
Ildiz \\ (((\\ lambda _2)), (\\ lam _2)) \\) \\ ((\\ Lambda _2)) \\ To'g'ri) \\ (chapda (\\ chap)) ((\\ lambda _1)
Biz bunday muvozanat nuqtai nazaridan sxematik fazali portreti quramiz. Aniqlik uchun ruxsat bering \\ (\\ chap | ((((\\ Lambda _1)) \\ To'g'ri |
Ikkala eigenval ham salbiy, echim \\ (\\ Mathbf (x) \u003d \\ matbf (0) \\) asemptomatik barqaror
. Ushbu muvozanat holati deyiladi barqaror tugunlar
.
Biz faza traektoriyasining yo'nalishini aniqlaymiz. \\ [(X \\ chap (t \\ o'ngda) \u003d (s_1) (e \\ ♥ _1) t)) (V_ (12) (v_) (e \\) Lambda _2) t),); \\; (Y \\ chap (t \\ o'ng) \u003d ((21)) (e \\ mbda _1) t)) (m ((22)) (v_ (22)) (e \\ lambda _2) t),), buatiatiatiatiatiatiatiatiatiat\\ Norcalsing \\ ((dy) ((dx) \u003d \\ FRAC (dy)) ga tengdir. ((C_1) (V_ (21)) (e \\ ♥ _1) t)) (v_ ((22)) (v_ (22)) (e \\ bamma _2) ) t)))) (((11)) (v_ (11)) (e \\ ♥ _1) t)) (v_ (12)) (v_ (12)) (\\ lam _2) ( E ^ (((\\ lam _2) t))) biz hisoblovchi va denominatorni ajratamiz \\ (((e \\ ♥ _1) t))) "((\\ FRAC) ) ((Dx) \u003d \\ FRAC ((21)) (V_ (21)) (V_ (22)) (v_ (22)) (e \\ chap) ((\\ chap) Lambda _2) - (\\ lam lim _1)) \\ o'ng) t)) ((11) (2) (V_ (12)) (v_ (12)) (\\ lam _2) (\\ Lambda _2) ( E ^ (chap (((\\ lambda _2) - (\\ lampda _1)) - to'g'ri)) \\ R)), bu holda, \\ (\\ lam lam _1) - (\\ lammma _1)
\\ (((S_1) \u003d 0 \\ holatida, har qanday \\ (t \\) hosilasi ((dx) \u003d \\ FRAC (((V_) ga teng )))) (((12)))), \\] i.e. Fazasi traektoriyasi o'z vektoriga ((\\ matbf (v) _2 bilan yo'naltirilgan to'g'ri chiziqda joylashgan. \\)
Endi faza traektoriyasining xatti-harakatlarini \\ (t \\ ga - \\) deb hisoblang. \\ (X \\ chap (t \\ chap (t \\ chap), y \\ chap (t \\ o'ng) \\) cheksizlikka moyilligi aniq va hosilasiativ \\ (\\ katta \\ frac (dy)) \\ Noralsing \\ ") \\ Noralsing \\") \\ Na 0 \\ Dx) \u003d \\ FRAC (((21)) (\\ Lambda _1) (e \\ chap (((\\ lam _2)) - (\\ lam lam _2)) \\ o'ng)) C_2) (v_ (22-lam _2)) (((11)) (v_ (11)) (\\ bma _1) (e \\ chap _1) - (\\ lam lim _2) ) \\ To'g'ri) t)) (v_ (12)) (\\ ♥ _2))) (((V_ (V_ ((12))))))))) ((12))))))) ((12)))))) " ya'ni Faza egri cheksiz masofaviy nuqtalarda parallel vektor parallel vektor parallel bo'ladi ((V) _2). \\
Shunga ko'ra, \\ ((s_2) \u003d 0 \\ ga teng ((dn)) \u003d \\ FRAC ((V_ (21))) )))). \\] Bunday holatda faza traektoriyasi o'z vektorining yo'nalishi bo'yicha belgilanadi \\ (v) _1). \\). \\
Fazaviy traektoriyalarning ko'rinishini hisobga olgan holda, fazali portret barqaror tugun Bu sxematik shaklda ko'rinadi \\ (1. \\)
Shunga o'xshab, siz fazali tazyalar va boshqa muvozanat joylarining boshqa turlarining xatti-harakatlarini o'rganishingiz mumkin. Bundan tashqari, batafsil tahlilni pasaytirish, biz boshqa muvozanat punktlarining asosiy sifat xususiyatlarini olib boramiz.
Ildiz \\ (((\\ lambda _2), (\\ lam _2)) \\) Turli \\ ((\\ Lambda _2)) \\ To'g'ri) \\) va ijobiy \\ ( ((\\ lambda _1)\u003e 0, (\\ lambda _2))\u003e 0 \\ o'ngda). \\)
Bunday holda, nuqta \\ (\\ matbf (x) \u003d \\ matbf (0) \\) deb nomlanadi beqaror tugun
. Uning faza portreti rasmda keltirilgan \\ (2. \\)
Shuni yodda tutingki, barqaror va beqaror tugunning holatida, faz tazyasi, o'z qiymatining kichikroq qiymatining kichikroq qiymatiga mos keladigan o'ziga xos yo'nalishga tegishli. \\ (\\ Lammda. \\)
Dikritik tugun
Xarakterli tenglamaning ko'p sonli nol ildizi bor \\ (2, \\) i.e. Ishni ko'rib chiqing \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lammma _2) \\ NE 0. \\ ") Bu holda tizim ikki egenvektorning asosiga ega, I.E. Eigenvaleed \\ (\\ lam \\) ning geometrik mulki (2. \\) \\ (2. \\) ga teng, bu matritsa \\ (a \\) ning asosiy qismining o'lchamini (2: 2: 2: \\) \\ (\\ dri \\ kver a \u003d 2. \\) Ushbu holat shakli ((dt)) tizim tizimida amalga oshiriladi ((dt) \u003d \\ lammma x,); \\; (\\ FRAC ((dt)) \u003d \\ lambda y.) \\] Fazaviy traektorlar yo'nalishi belgining yo'nalishi \\ (\\ lammda. \\) Bu erda quyidagi ikkita holat mumkin:
Ish \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lammda) bunday muvozanat holati deb nomlanadi barqaror dikitni davolash ((Rasm \\ (3 \\)).
Ish \\ (((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda)\u003e 0. \\) Ushbu qiymatlarning bu kombinatsiyasi mos keladi beqaror dikit tugun ((Rasm \\ (4 \\)).
Yomon tugun
Matrix \\ (A \\) ning eigenvalessi yana bir-biriga to'g'ri kelsin: \\ (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambama _2) \u003d (\\ Lambda) Aytaylik, bu o'z qadriyatlarining geometrik mulozimlari (yoki boshqa so'zlarning o'lchamlari) endi bu "MATrix" (A \\) ning o'lchami faqat bitta vektorga ega ekanligini anglatadi. \\ Matbf (v) _1). \\) Ikkinchi chiziqli mustaqil vektor, zaruriy asosda Vektor \\ (V) \\ (v) _1) sifatida belgilanadi. \\)
\\ ((\\ Lambda _1) holatida \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda) muvozanat nuqtai nazaridan chaqiriladi barqaror degeneratsion tugun (Fight \\ (5 \\)).
\\ ((\\ Lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda)\u003e 0 \\) Muvozanat holati deyiladi beqaror yomon tugunlar (Fight \\ (6 \\)).
Muvozanat holati - (\\ lammma _1), \\ re, \\; \\; \\ cdot (\\ lambda _2) \\ cdot (\\ lammma _2) 0. \\) O'z qiymati \\ ( (\\ Lambda _1) \\) va \\ (((\\ №2 _2) \\ ((\\ matbf) \\ (v) \\) va \\ (v) _2) bilan bog'liq. \\) to'g'ri o'z vektorlari bo'ylab ((V) \\ (v) \\), \\ ((v) _2), \\) deb nomlanadi dreatparastlik . Ular giperbol shakli bo'lgan boshqa faza traektoriylari uchun assimotlar. Har bir separatrixning harakatning ma'lum bir yo'nalishi bilan taqqoslanishi mumkin. Agar segrenvalue salbiy eigenvalue bilan bog'liq bo'lsa ((\\ lambda _1) 0, \\) i.e. Vektor \\ ((VCRBF) bilan bog'liq bo'lgan separatriklar uchun, \\) Harakat kelib chiqishdan yuboriladi. Sxaymatik jihatdan, egarning fazasi portreti rasmda keltirilgan \\ (7. \\)
Barqaror va beqaror e'tibor
Xozirgi eigenvalues \u200b\u200b\\ ((\\ lambda _1), (\\ Lambda _2) \\) murakkab raqamlar , ularning yaroqsiz qismlari nolga teng emas. Agar matritsa \\ (a \\) haqiqiy raqamlardan iborat bo'lsa, unda murakkab ildizlar shaklida keltiriladi keng qamrovli birlik Raqamlar: \\ [(1,2)) \u003d \\ Alpha \\ pm i \\ ata. \\] Koordinatlarning kelib chiqishi qo'shnisidagi qanday fazali traektoriyalar mavjudligini bilib oling. Biz keng qamrovli echimini tuzamiz \\ ((\\ o'ng) \\ chap ((\\ Lambda _1) \u003d \\ alpha + i \\ anik. i \\ anik (((( \\ Matbf (x) _1) \\ chap (t \\ o'ng) \u003d (e \\ lmabda _1) t) (v) _1)) \u003d ((e \\ chap ((\\ alpha + i) \\ beta) \\ o'ng) t)) chap ((w) + i \\ matbf (w) + i \\ matbf (v) \\) \\ (v) \\) \u003d \\ matbf (u) + i \\ matbf (w) \\) - \\ ((\\ matbf (U) \\) va \\ (w) \\) bilan bog'liq kompleks vektor va \\ (\\ matbf (w) \\) bilan bog'liq kompleks vektor. yaroqli vektor funktsiyalari. O'zgarishlar natijasida biz ((x) \\ chap (t \\ o'ng) \u003d (e \\ alpha t)) (e \\ alpha t)) (e \\ alpha t)) (e \\ alpha t)) kiramiz (e \\ ata t)) (\\ Matbf (U) + i \\ matbf (w)) \\ o'ngda)) \u003d ((e \\ alfa t + i \\ pingiz \\ pingiz \\ pingiz \\ pingiz \\ gin \\ pingiz \\ pingiz \\ gin \\ pingiz \\ gin t) \\ o'ngda) chap tomonda ((U) + i \\ matbf (w)) \\ o'ngda) ((e \\ alfa t)) \\ chap ((\\ matbf) (u) \\ cos \\ ima t + i \\ matbf ( u) \\ gr \\ be + i \\ matbf (w) \\ pod \\ piro t - \\ grbf (w) \\ pie t) \\ chap ((\\ alpha t)) \\ Matbf (U) \\ Cos \\ BEA T + - Sin \\ Beta t) \\ chap)) \\ chap ((\\ matbf (U) \\ STH \\ be + \\ matbf (w) \\ Cos \\ BEA t) \\] So'nggi ifodadagi haqiqiy va xayoliy qismlar oxirgi ifoda shaklida: \\ [(\\ mathbf) tizimning umumiy eritmasini tashkil etadi: \\ [(\\ mathbf) X) \\ chap (t \\ o'ng) \u003d (C_1) \\ Matn (RE) \\ chap (t \\ o'ng) \\ chap (t \\ o'ng)) \\ o'ng (t_2) \\ matn (im) \\ Chap [((\\ tugma) \\ chap (t \\ o'ng)) \\ o'ng ((e \\ alpha t)) chap ((\\ matbf) ) \\ Cos \\ Beta T - \\ Matbf (W) \\ BEMA t) \\ o'ng) \\ o'ngda) \\ o'ngda) \\ o'ngda) + (\\ chap) \\ chap (u) \\ BEA T + \\ Matbf (w) \\ cos \\ beta t) \\ o'ngda) ) \\ O'ng]) \u003d (e \\ alfa t)) \\ chap [(c_1) \\ Cos \\ Cos \\ Cos \\ Cos \\ BEA T + ) \\ O'ng. ) + (chapda) (\\ mathbf (w) \\ chap (((c_1) \\ BETA T) \\ Sint \\ Beta t) \\ty]). (C_1), (c_2) \\) \u003d c \\ gen \\ delta, \\; \\; (\\ cos \\ delta, \\ (\\ delta \\) - bu qanday yordamchi burchak bor. Keyin eritma \\ [(x) \\ chap (t \\ o'ng) \u003d c (E \\ Alpha t)) sifatida yozilgan (e \\ alfa t)) \\ chap ((\\ gont \\ delta) cos \\ Beta T + \\ cos \\ Delta \\ Sin \\ Beta T) \\ o'ng)) \\ o'ng) + (\\ Chap (\\ MathBF (W) \\ Chap ((\\ cos \\ Delta \\ cos \\ Beta T -.. \\ Sin \\ Delta \\ gin \\ BEA t) \\ o'ng)) \\ o'ngda)) \u003d (E \\ alpha t)) \\ chap ((\\ ata t + \\ delta) \\ O'ng)) \\ o'ng. + \\ Chap. (\\ Matbf (w) \\ cos \\ chap ((\\ anik t + \\ latta) \\ o'ng)) \\ (\\ mathbf). x) \\ chap (t \\ o'ng) \\) ko'rsatilgan vektorlar asosida boshlanadi va \\ (\\ Mathbf (w) \\ [\\ matbf (x) \\ chap (x) t \\ o'ngda) \u003d \\ mu \\ chap (U) \\ Mathbf (U) + \\ eta \\ chap (V) chap (V), \\ chap (t \\ chap). o'ngda), \\) \\ (t \\ o'ng (t \\ o'ng) formulalar tomonidan belgilanadi: \\ [(e \\ alpha t)) \\ Sin \\ chap ((\\ beta t + \\ delta) \\ o'ng),) \\; \\; (\\ eta \\ chap (t \\ o'ng) \u003d c (E \\ Alpha t)) \\ Cos \\ chap ((\\ atata t + \\ delta) \\ o'ng). ) Bu yerdan ko'rinib turibdiki, fazali traektoriyalar spirallardir. \\ (\\ Alfa) bilan barqaror e'tibor . Shunga ko'ra, \\ (\\ alfa\u003e 0 \\) bizda bor beqaror e'tibor .
Spiral spirallarning yo'nalishi koeffitsientning belgisi bilan aniqlanishi mumkin (A. (A. \\). Haqiqatan ham drivis \\ (\\ katta \\ frac ((dy)) ni hisobga olgan holda belgilash mumkin ((Dt)) \\ Noralslash, \\), masalan, \\ ((1,0) \\ o'ngda): \\ [(dt)) \\ chap ((dt)) \\ chap ((1.0) O'ngda) \u003d (a_ (21)) \\ CDOT 1 + (A_ (22)) \\ CDOT 0 \u003d (A_ (21)). \\] Ijobiy koeffitsient \\ ((21))\u003e 0 \\) spiral spirallarga to'g'ri keladi Soatga qarshi, rasmda ko'rsatilganidek \\ (8. \\) \\ (((21))
Shunday qilib, spiral spirallarning yo'nalishini hisobga olgan holda hamma narsa diqqatning turli xil turlari mavjud. Sxematik tarzda, ular raqamlarda ko'rsatilgan (8-11. \\)
Agar matritsali \\ (a \\) eigenvales xayoliy sonlarning soni bo'lsa, unda bunday muvozanat holati deyiladi markaz . Tasdiqlangan elementlar bilan matritsa uchun xayoliy eigenvallar murakkab-konjuga etadi. Markazda faz tazyalarida projeektsiyalar (\\ alfa \u003d 0 \\) da Helix tenglamaidan rasmiy ravishda olinadi va ellips . Fazali punktning davriy harakatini tasvirlab bering. "Markaz" muvozanati pozitsiyasi Lyapunovga chidamli.
Maydonlarning ikki turi mavjud, ochkolar harakati yo'nalishi bo'yicha farq qiladi (rasmlar \\ (12, 13 \\). Spirallar holatida bo'lgani kabi, harakat yo'nalishi, masalan, hosilasiativ \\ (dt) ((dt)) ning istalgan nuqtasida \\ NoralSing \\) belgisi bilan belgilanishi mumkin. Agar siz bir nuqtaga ega bo'lsangiz, \\ ((1,0) \\ o'ng), \\ [(dt) ((dt)) \\ chap ((1.0) \\ o'ng) \u003d (A_ (21)) . \\] ya'ni Aylanish yo'nalishi koeffitsientning belgisi bilan belgilanadi ((A_ (21)). \\)
Shunday qilib, ishda turli xil muvozanat nuqtalarini ko'rib chiqdik buzilmagan matritsa \\ (A \\) \\ (((\\ chap) \\ o'ng) \\ o'ngga). \\) Faza traektoriyasining yo'nalishini hisobga olgan holda, mos ravishda, rasmlarda, mos ravishda turli xil portretlar mavjud bo'lgan. (13 \\) \\ (1- 13. \\)
Endi ishni bajaraylik yomonlashgan matritsa \\ (A. \\)
Yomonlashgan matritsa
Agar matritsa yomon bo'lsa, unda u bitta yoki ikkala eigenval nolga teng. Shu bilan birga, quyidagi maxsus holatlar bo'lishi mumkin:
Ish \\ (((\\ lambda _1) \\ N 0, (\\ lambda _2) \u003d 0 \\).
Bu erda umumiy echim shakli \\ [\\ mathbf (x) \\ chap (t \\ o'ng) \u003d (E ^ ((\\ Lambda _1) t) "(v) _1) + ( C_2) (\\ mathbf (v) _2), \\] qayerda \\ ((v_) \u003d ((21))) ((21))) \\ TIST) ^ Tic) , \\) \\ ((v_) \u003d ((12)), ((12)), ((22))), \\ t ", \\) - raqamlarga mos keladigan vektorlar ((\\ lambda _1) \\) va \\ (((\\ lambda _2). \\) Bu holda butunlay to'g'ridan-to'g'ri, kelib chiqishi va vektor \\ (v) _2 bilan yo'naltirilganligi aylanadi. \\ muvozanat nuqtalaridan iborat (bu fikrlar o'zgacha ism yo'q). Fazaviy traektoriyalar - bu boshqa o'z vektoriga parallel bo'lgan nurlar. \\ ((\\ Lammma _1) \\) Belgi \\ (\\ \\ \\ freygty \\ ga) \\ (t \\ infty \\ ga) Yo'nalish to'g'ri \\ (v) \\ _2) \\) (rasm) (14 \\)), yoki undan (15 \\)). Case \\ (((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d 0, \\ dim \\ ker a \u003d 2. 2.)
Bu holda, matritsaning o'z pasayishi o'lchovi \\ (2 \\) va shuning uchun ikkita o'z vektori \\ (v) \\) \\ (v) \\) \\ (v) \\ (v) \\) va \\ (v) \\) mavjud va \\ (v) \\ (\\ matbf) mavjud. ) _2). \\) Bu vaziyat mumkin. Uchun nol matritsa
\\ (A. \\) Umumiy echim formulasi \\ [\\ mathbf (x) \\ chap (t \\ o'ng) (v) _1) + (v) (v) (v)) tomonidan ifodalanadi. (VEGBF) _2). \\] Samolyotning har qanday nuqtasi tizimning muvozanatining pozitsiyasidir.
Ish \\ (((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d 0, \\ DIM \\ KER A \u003d 1. 1.)
Bu yomon matritsaning bu holatidan farq qiladi (1 \\) faqat vektor (matritsa \\ (a \\) bo'ladi nenuleva ). Ikkinchi chiziqli mustaqil vektor sifatida asos yaratish uchun siz vektor \\ (\\ mathbf (VTBF), \\) \\) \\ "ga biriktiriladi. \\) Tizimning umumiy echimi \\ [\\ mathbf (x) \\ chap (t \\ o'ng) \u003d \\ chap (((C_1) + (v) _1) + (v) _1) + (v)) (\\ mathf) yozilgan W) _1). \\] Bu erda barcha ball kelib chiqishi va o'z vektoriga ((vektor (vektor) va \\ (v) \\), \\) muvozanat pozitsiyalari bilan ajralib turadi. Fazaviy traektoriyalar to'g'ri, parallel, parallel \\ (v) \\ (v) \\ (v) \\ ((v) _1). Bular bo'ylab harakat yo'nalishi \\ ((c_2) bilan harakat yo'nalishi doimiy \\ ((c_2) bilan bog'liq. \\) ((C_2) 0 \\) - qarama-qarshi yo'nalishda (16 \\)).
Buni eslang matritsadan keyin Diagonali elementlar yig'indisiga teng bo'lgan raqam: \\ [(((((20) (C)) ((20)) ((A_ (11))) deb ataladi. 12))) ((A_ (21))) \\ tugaydi (massiv)) \\ o'ng),) \\; \\; (\\ Matn (tr) \\, a \u003d (a_ (11)) + (A_ (22)),) \\; \\; (\\ Det a \u003d (A_ (11)) (A_ (12)) - (A_ (21)) (A_ (21)) (A_ (21)) (A_ (21)). Haqiqatan ham, matritsaning o'ziga xos xususiyati quyidagi shaklga ega: \\ [( \\ lambda ^ 2) - \\ tark (((A_ (11)) + (A_ (22))) \\ o'ng) \\ Lambda + (A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) ( A_ (21)) \u003d 0. \\] Matritsaning belgisi va matritsasi orqali yozilishi mumkin: \\ [TR) \\ Lambda + \\ det a 0. \\] Ushbu kvadrat tenglamaning kamsituvchisi bu yo'l bilan bog'liq bifurcation egri Turli qarshilik rejimlarini ajratib turadigan rejimlar, samolyotda parabola \\ (chapda ((tr) \\, a) \\ o'ngda) (17 \\)): \\ [\\ pley A \u003d ((\\ chap ((tr) \\, a) \\ o'ngda) ^ o'ngda) ^ 2). \\] Parabolada fokus va markaziy muvozanat nuqtalari. "Markaz" turidagi ballar ijobiy yarim o'qda (Oy, \\) i.e. Paraboladan pastda (\\ matn (tr) \\, a \u003d 0. \\) "tugun" yoki "egar" nuqtai nazaridan. Parabolaning o'zida dikritik yoki yomon tugun mavjud.
Barqaror harakat rejimlari Bifuratsion diagrammaning chap yuqori kvadratida mavjud. Qolgan uchta kvadrantlar muvozanatli muvozanat holatlariga mos keladi.
Fazali portretni qurish algoritmi
Chiziqli avtonom tizimining fazasi portretini sxematik konstruktsiya qilish uchun - doimiy koeffitsientlar \\ [(x)) \u003d a \\ matbf (x),) \\; \\; (a \u003d \\ chap (((((20) (c)) ((11))) ((A_ (12)))) ((A_ (12)))) ((A_ (21))))) ((A_ (21)))))) " ))) \\ End (massiv)) \\t),) \\; (\\ Mathbf (x) \u003d \\ chap (c) (c)) x \\\\ y \\ oxirgi ( Array)) \\ o'ngda)) \\] Siz quyidagi harakatlarni bajarishingiz kerak:
O'zingizning matritsa qiymatlarini topib, xarakteristik tenglamani yeching \\ [(((A_ ((A_ ((A_ (11)) + ((A_ (22))) \\ Lambda + (A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) (A_ (21)) \u003d 0. \\]
Muvozanat mavqeining turini va barqarorlik xususiyatini aniqlang.
Eslatma: Tugallash holati, shuningdek, Bifurcation Diagramma asosida aniqlanishi mumkin (17 \\). \\ [(\\ Matn (tr) \\, a \u003d (a_) (11)) (A_ (22)),). \\; (\\ Det a \u003d \\ chap | (\\ boshlang'ich) (* (20) (C)) ((((11))) ((A_ (12)))) \\\\ ((A_ ((A_ (21)))) ) va ((A_ (22))) \\ End (Array)) \\ o'ng |.) \u003d ((A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) (A_ (21))) \\ ]
Tenglamani toping izoh : \\ [(Dt) ((dt)) \u003d (A_ (11)) X + (A_ (12)) y) \\; \\; (\\ chap (\\ matn (vertikal isocline) \\ o'ng),) \\] \\ [(dt)) ((dt)) \u003d (A_ (21)) X + (A_ (22)) y) \\ ; \\; (\\ Chap (\\ matn (gorizontal iOCline) \\ o'ng).) \\]
Agar muvozanat holati bo'lsa tugun Yoki o'z vektorlarini hisoblash va koordinatlarning kelib chiqishi orqali o'tadigan assimotlarni parallel ravishda chizish kerak.
Fazali portretni sxematik ravishda torting.
Fazaviy traektorlar tomonidan harakat yo'nalishini ko'rsating (bu muvozanat nuqtasining barqarorligi yoki beqarorligiga bog'liq). Qachon e'tibor Siz traektorlarni burish yo'nalishini aniqlashingiz kerak. Buni tezlik vektorini hisoblash orqali amalga oshirish mumkin ((dt) ((dt)) \\ Normallashtirish, \\ Katta \\ Frace ((dt)) \\ NoralSize) \\ To'g'ri) o'zboshimchalik bilan, masalan, \\ ((1,0) \\ o'ngda), xuddi shu tarzda muvozanat yo'nalishi bo'lsa, harakat yo'nalishi aniqlanadi markaz .
« Fizika - 10-sinf »
Kuchli vaqt nima ekanligini eslang.
Tana qaysi sharoitda yolg'iz?
Agar tana tanlangan ma'lumot tizimiga nisbatan dam olish paytida bo'lsa, ular ushbu organ muvozanatda. Binolar, ko'priklar, avtoulovlarning ehtiyot qismlari, stol, stol va boshqa ko'plab tashkilotlar, ular boshqa organlardan biriktirilganligiga qaramay, boshqa ko'plab tashkilotlar. Muvozanatli organlarning shartlarini o'rganishning vazifasi mashinasozlik, qurilish ishi, asbobsozlik va texnologiyaning boshqa sohalarida juda katta ahamiyatga ega. Barcha haqiqiy organlar ularga biriktirilgan kuchlarning ta'siri ostida shakllari va o'lchamlari o'zgaradi yoki deformat qiladilar.
Amaliyotda uchraydigan ko'p holatlarda, ularning muvozanatiga ega jasadlarning deformatsiyasi ahamiyatsiz. Bunday hollarda deformatsiyalar e'tiborsiz qoldirilishi va hisobni hisoblash orqali amalga oshirilishi mumkin mutlaqo qattiq.
Qisqartirish mutlaqo qattiq tanani chaqirishadi qattiq tana yoki oddiy telba. Qattiq tananing muvozanatini o'rgangandan so'ng, biz ularning deformatsiyalari ko'rib chiqilmasa, haqiqiy organlarning muvozanatini topamiz.
Mutlaqo qattiq tananing ta'rifini eslang.
Muvozanat shartlari mutlaqo qattiq o'rganiladigan mexanika bo'limi deyiladi statik.
Statika bo'yicha jasadlar hajmi va shakli hisobga olinadi, bu holda nafaqat kuchlarning ahamiyati, balki ularni qo'llash punktlari pozitsiyasini ham hal qiladi.
Shunday qilib, boshida Nyutonning qonunlari yordamida, har qanday tana muvozanatida bo'ladi. Buning uchun biz butun tanani juda ko'p sonli kichik elementlar uchun aqliy ravishda sindiramiz, ularning har biri moddiy nuqtai nazar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. Odatdagidek, tanadagi elementlar ichki ko'rinishga ega bo'lgan boshqa jasadlar, tashqi va kuchlardan jasadni boshqa jasadlar, tashqi va kuchlar bilan shug'ullanadigan kuchni chaqiramiz (7.1-rasm). Shunday qilib, 1,2 kuch 1,2 elementning 1-qismida amal qiladigan kuch 2. elementning 2-qismidagi 2,1 ning kuchi 1.1 elementning kuchi 1. Bu ichki kuchlar; Bularga 1,3 va 3,1, 2.3 va 3.2. Shubhasiz, ichki kuchlarning geometrik miqdori nolga teng, chunki Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra
12 \u003d - 21, 23 \u003d - 32, 31 \u003d - 13 va boshqalar.
Statistik ma'lumotlar - boshqa jismlar kabi jismoniy dinamik hodisa, chunki ularda harakat qilish uchun maxsus harakat (\u003d 0) mavjud.
Har bir elementda, umumiy holatda bir nechta tashqi kuchlar harakat qilishi mumkin. 1, 2, 3 va hokazo. Biz 1, 2, 3 elementlarga muvofiq qo'llaniladigan barcha tashqi kuchlarni tushunamiz .... Shunga o'xshab, "1," 2, 2, "Elektr kuchlarining geometrik miqdorini ... shunga ko'ra (ushbu kuchlar rasmda ko'rsatilmagan), i.e.
"1 \u003d 12 + 13 + ...", "2 \u003d 21 + 22 + ...", "3 \u003d 31 + 32 + ...
Agar tana yolg'iz bo'lsa, unda har bir elementning tezlashishi nolga teng. Shu sababli, Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra, nol har qanday element bo'yicha amal qiladigan barcha kuchlarning geometrik miqdoriga teng bo'ladi. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Ushbu uchta tenglamalarning har biri qattiq tana elementi muvozanatining muvozanatini ifodalaydi.
Qattiq tananing muvozanatining birinchi sharti.
Qattiq tanaga nisbatan qo'llaniladigan tashqi kuchlar qanday sharoitda muvozanatni qondirish kerakligini bilib olamiz. Buning uchun tenglamalarni qo'ying (7.1):
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
Ushbu tenglikning birinchi qavktlarida tanaga qo'llaniladigan barcha tashqi kuchlarning vektori summasi qayd etiladi, ikkinchisi esa ushbu organning elementlariga amal qiladigan barcha ichki kuchlarning vektori yig'indisi. Ammo, siz bilganingizdek, barcha ichki tizimning vektori kuchlari nolga teng, chunki Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, har qanday ichki kuch, har qanday ichki kuch, modul va qarama-qarshi yo'nalishda teng kuchga mos keladi. Shuning uchun, oxirgi tenglikning chap tomonida, tanaga qo'llaniladigan tashqi kuchlarning geometrik miqdori qoladi:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
Mutlaqo qattiq tanasi, ahvoli (7.2) deb ataladi uning muvozanatining birinchi sharti.
Bu kerak, ammo etarli emas.
Shunday qilib, agar qattiq tana muvozanatda bo'lsa, unga qo'llaniladigan tashqi kuchlarning geometrik summasi nolga teng.
Agar tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, bu nolga teng va bu kuchlarning koordinatalarining o'qiga proektsiyalar miqdori. Xususan, tashqi kuchlarning o'qda prognozlari uchun, siz yozishingiz mumkin:
F 1x + f 2x + f 3x + ... \u003d 0. (7.3)
Xuddi shu tenglamalar o'qlarni o'qga jalb qilish uchun yozish va oz.
Qattiq tananing muvozanatining ikkinchi sharti.
Men ahvoli (7.2) zarur bo'lgan, ammo qattiq tananing muvozanatiga etarli emasligiga amin bo'laman. Biz stolda yotgan kengashga, turli nuqtalarda, ikkita va 7.2-rasmda ko'rsatilgandek yo'naltirilgan kuchlarda qo'lladik. Ushbu kuchlarning yig'indisi nolga teng:
+ (-) \u003d 0. lekin delko bo'lmaydi. Shunga o'xshab, ikkitasi modulda bir xil va qarama-qarshi kuchlar velosiped yoki mashinaning g'ildiragini aylantiradi (7.3-rasm).
Tenglik bilan bir qatorda tashqi kuchlar uchun shart, ularning summasi og'ir tana muvozanatda bo'lgani uchun amalga oshirilishi kerakmi? Biz teoremani kinetik energiya o'zgarishi bo'yicha ishlatamiz.
Masalan, siz gorizontal o'qga o'rnatilgan novdaning muvozanatini topamiz, gorizontal o'qda (7.4-rasm). Bu oddiy qurilma, siz asosiy maktab fizikasi kursidan bilganingizdek, birinchi mehribon tutqichdir.
Qovil 1 va 2 kuch novdasiga perpendikulyar qo'llanilsin.
1 va 2 kuchlarga qo'shimcha ravishda, normal reaktsiyaning kuchi 3 - bu qo'lidagi o'qning yon tomonida qo'lning 3-da harakat qiladi. To'l muvozanat muvozanat bo'lsa, uchta kuchning yig'indisi nolga teng: 1 + 2 + 3 \u003d 0.
Biz kuchni juda kichik burchakka aylantirishda tashqi kuchlar ishlaydigan ishni hisoblaymiz. 1 va 2 kuchlarni qo'llash nuqtalari s 1 \u003d BB 1 va S 2 \u003d CC 1 va 1-sonli ARCS ARClar soni aniq segmentlarni ko'rib chiqish mumkin). 1 \u003d F 1 s 1-quvvat ijobiy, chunki kuch yo'nalishi va 2 \u003d-2 kuchlari 2 \u003d -F 2-chi kuchlanish nuqtasi salbiy, chunki c nuqtasi qarama-qarshi tomonga siljiydi kuch yo'nalishi bo'yicha 2. 3 ta ishning kuchi ishlamaydi, chunki uning arizasi harakat qilmaydi.
1 va s 2-ning RRASS-da o'lchanadigan dastakni aylantirish burchagi orqali ifodalanishi mumkin: S 1 \u003d a | va s 2 \u003d a | co | Shuni hisobga olib, ish uchun iboralarni qayta yozing:
A 1 \u003d f 1 a | maqomi, (7.4)
A 2 \u003d -F 2 a | co |
Radiusdagi radius 1 va 2 kuchlar bilan tasvirlangan doiralar bilan 1 va 2 kuchlari bu kuchlar satrida aylanish o'qidan chiqarib yuborilgan perpendikulyarlar
Siz allaqachon bilganingizdek, kuchning elkasi aylantirish o'qidan eng qisqa masofada harakat yo'nalishi bo'yicha. Biz d harfining elkasini belgilaymiz. Keyin | da | \u003d D 1 - elka kuchi 1, a | co | \u003d D 2 - elka kuchi 2. Shu bilan birga, iboralar (7.4) ko'rinadi
A 1 \u003d f 1 \u003d - 2 \u003d -F 2 a 2. (7.5)
Formulsdan (7.5) har bir kuchning ishi dastagini burish burchagidagi kuchga teng ekanligini ko'rish mumkin. Shunday qilib, ish uchun iboralarni (7.5) qayta yozilishi mumkin
A 1 \u003d m 1, a 2 \u003d m 2 va (7.6)
va tashqi kuchlarning to'liq ishlashi formula tomonidan ifodalanishi mumkin
A \u003d a 1 + a 2 \u003d (m 1 + m 2) a. a, (7.7)
1 kuchga kirgan vaqtdan boshlab, m 1 \u003d f 1 d 1 ga teng (7-rasm) va m 2 \u003d d 2, keyin ishlashga va Siz iborani yozishingiz mumkin
A \u003d (m 1 - | |) a.
Tana harakatga kelganda, uning kinetik energiyasi oshadi. Kinetik energiyani ko'paytirish uchun tashqi kuchlarni ko'paytirish kerak, i.e., bu holda, a ≠ 0 va mos ravishda, m 1 + m 2 ≠ 0.
Agar tashqi kuchlar ishi nolga teng bo'lsa, tananing kinetik energiyasi o'zgarmaydi (nol bo'lib qoladi) va tana o'rnatiladi. Keyin
M 1 + m 2 \u003d 0. (7.8)
Tenglama (7 8) qattiq tananing muvozanatining ikkinchi sharti.
Qattiq tananing muvozanati bilan, har qanday o'qga nisbatan unga tegishli barcha tashqi kuchlarning sonlari nolga teng.
Shunday qilib, tashqi kuchlarning o'zboshimchalik bilan bog'liq bo'lsa, muvozanatning holati mutlaqo qattiq tanadir:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + m 2 + m 3 + ... \u003d 0.
Ikkinchi muvozanat holati qattiq tananing aylanish harakatining dinamikasining asosiy tenglamasidan olinishi mumkin. Bu tanli kuchlar, m \u003d m 1 + m 2 + m 2 + m 2 + m 2 + m 2 + m 2 + m 3 + ..., Ea burchak tezlashishi bo'lgan ushbu tenglamaga muvofiq. Agar qattiq tana harakatsiz bo'lsa, unda e \u003d 0, m \u003d 0. Shunday qilib, ikkinchi muvozanat holati m \u003d m 1 + m 2 + m 3 + ... \u003d 0.
Agar tana mutlaqo mustahkam bo'lmasa, unda unga biriktirilgan tashqi kuchlar ta'sirida, u muvozanatda qolmasligi, garchi tashqi kuchlar miqdori va har qanday o'qga nisbatan ularning yig'indisi nolga teng.
Masalan, kauchuk ipning uchlariga, modulga teng bo'lgan ikki kuchga qarama-qarshi tomondan qarama-qarshi tomondan murojaat qilamiz. Ushbu kuchlarning harakati ostida simni muvozanatda bo'lmaydi (shnur cho'zilgan), garchi tashqi kuchlar nolga teng bo'lsa ham, sim vilkasining istalgan nuqtasiga qaragan o'qlar soniga tengdir .
Ushbu ma'ruza quyidagi masalalarni muhokama qiladi:
1. Mexanik muvozanat sharoitlari.
2. muvozanat barqarorligi.
3. Ularning muvozanatini yoki ularning barqarorligini tadqiq qilishni aniqlash misoli.
Ushbu masalalarni o'rganish "Mashinalar tafsilotlari" va "Mashinalar va mexanizmlar nazariyasi" va "moddiy qarshilik" fanlaridagi muammolarni hal qilishda mexanik tizimning tebranish harakatlarini o'rganish uchun ushbu masalalarni o'rganish zarur.
Mexanik tizimlarning harakatlanishining muhim vaqti bu ularning tebranish harakati hisoblanadi. Tebranishlar - bu mexanik tizimning takrorlanadigan harakatlari, ular o'z mavqeiga qarab, vaqt o'tishi bilan doimiy yoki kamroq uchraydi. Kurs qog'ozi mexanik tizimning muvozanati (nisbiy yoki mutlaq) holatiga nisbatan tebranish harakatini ko'rib chiqadi.
Mexanik tizim etarlicha uzoq vaqt davomida barqaror muvozanat holatida etarli vaqt davomida tebranishlarni amalga oshirishi mumkin. Shuning uchun, tebranish harakati tenglamasini qilishdan oldin, muvozanat holatlarini topish va ularning barqarorligini tekshirish kerak.
Mexanik tizimlarning muvozanat sharoiti.
Mumkinlik harakatlarining printsipiga ko'ra (statikaning asosiy tenglamasi), mexanik tizimga mos keladigan mexanik tizim, muvozanatni, u barcha umumiy kuchlar uchun nolga teng va umumiy kuchlar uchun etarli Ushbu tizim:
qayerda - mos keladigan umumiy kuch j -oh umumlashtirilgan koordinata;
s.- mexanik tizimda umumlashtirilgan koordinatalar soni.
Agar tizimga Lagraning II tenglamalari shaklida turli xil tenglamalar ishlab chiqilgan bo'lsa, umumiy kuchlarni nolga tenglashtirish uchun muvozanatning mumkin bo'lgan pozitsiyasini aniqlash va umumiy muvofiq koordinatalar bo'yicha olingan tenglamalarni tenglashtirish kifoya.
Agar mexanik tizim potentsial kuch maydonida muvozanatda bo'lsa, unda tenglamalardan (1) quyidagi tenglama sharoitlarini olamiz:
Binobarin, muvozanat sharoitida potentsial energiya ekstremal qiymatga ega. Yuqoridagi formulalar tomonidan belgilangan hech qanday muvozanatni deyarli amalga oshirish mumkin emas. Tizimning xatti-harakatlariga qarab, muvozanat mavqeidan og'ishlar bilan ular ushbu qoidaning barqarorligi yoki beqarorligi haqida gapirishadi.
Muvozanat barqarorligi
Muvg'alash holatining aniqlanishi XIX asr oxirida rossiyalik olim A. M. Lyapunov asarida berildi. Ushbu ta'rifni ko'rib chiqing.
Biz kelajakdagi koordinatalarda ko'rib chiqayotgan hisob-kitoblarni soddalashtirish savol: 1 , Q. 2 ,..., Savol: s. tizimning muvozanat holatini hisoblang:
qayerda
Muvozanatning holati, agar biron bir kichik bo'lsa, barqaror deb ataladisiz boshqa raqamni topishingiz mumkin Agar umumlashtirilgan koordinatalar va tezlikning dastlabki qiymatlari oshmasa, bu holatda:
tizimning keyingi harakatlanishi bilan umumiy muvofiqlashtiriladigan koordinatalar va tezlikning qiymatlari oshmaydi .
Boshqacha aytganda, muvozanat tizimining holati savol: 1 = savol: 2 = ...= savol: S \u003d. 0 deb nomlangan barqarorAgar siz har doim bunday etarlicha kichik dastlabki qiymatlarni topa olsangiz, qaysi tizimmuvozanat holatining o'zboshimchalik bilan qo'shnilarni qoldirmaydi. Bir darajali erkinlik tizimi uchun tizimning barqaror harakatlanishi fazada vizual ravishda tasvirlangan bo'lishi mumkin (1-rasm). Barqaror muvozanat pozitsiyasi uchun mintaqada boshlanadigan tasvirlarni harakati uchun [ ] , mintaqaning chegaralaridan tashqariga chiqmaydi.
Art
Muvozanat holati deyiladi asemptomatik barqaror Agar vaqt bilan tizim muvozanatni taxminiy bo'lsa, ya'ni
Muvozanat holati uchun qarshilik shartlarini aniqlash juda murakkab vazifadir, shuning uchun biz o'zimizni oddiy ish haqimizni cheklaymiz: konservativ tizimlarning muvozanatini o'rganish.
Bunday tizimlar uchun muvozanatning barqarorligi uchun etarli sharoitlar belgilangan teorema Lagrani - dirishul : konservativ mexanik tizimning muvozanatining muvozanati barqaror bo'lsa, agar muvozanat holatida tizimning potentsial energiyasi izolyatsiya qilingan minimal bo'lsa .
Mexanik tizimning potentsial energiyasi doimiy ravishda belgilanadi. Biz bu doimiylikni tanlaymizki, potentsial energiya muvozanat holatida nolga teng:
P (0) \u003d 0.
Keyin, bir darajali erkinlik tizimi uchun izolyatsiya qilingan minimalning mavjudligi (2) mavjudligi uchun etarli shart (2), shart bo'ladi
Muvozanat holatida potentsial energiya sarflangan minimal vaP (0) \u003d 0 Keyin bu vaziyatning ba'zi cheksiz qo'shnisida
P (q) \u003d 0.
Doimiy belgi va teng nolga ega bo'lgan funktsiyalar faqat ularning barcha dalillari uchun nol qiymatlari deb nomlanadi imzolangan. Shu sababli, mexanik tizimning muvozanatiy holati barqaror va etarlicha barqaror bo'lishi uchun, ushbu pozitsiya yaqinida potentsial energiya umumiy muvofiq koordinatalar funktsiyasi bilan ijobiy belgilandi.
Chiziqli tizimlar va chiziqli tizimga muvozanat pozitsiyasidan kichik og'ishlar uchun kamaytirilishi mumkin bo'lgan tizimlar uchun, potentsial energiya umumlashtirilgan koordinatalarning kvadratik shakli sifatida taqdim etilishi mumkin.
qayerda - Birlamchi qattiqlik koeffitsientlari.
Umumiy koeffitsientlarmuloqotdagi energiya miqdoriga yoki boshqa energiya qiymatlari bo'yicha muvozanatning umumiy koordinatalariga muvofiq belgilanishi mumkin bo'lgan doimiy raqamlardir:
Formulasidan (4) ko'ra, umumlashtirilgan qattiqlik koeffitsientlari indekslarga nisbatan nosimmetrikdir
Uchun Shunday qilib, muvozanat o'rnini barqarorligi uchun etarli shartlar mavjud bo'lsa, potentsial energiya umumiy koordinatalarning ijobiy kvadratik shakli bo'lishi kerak.
Matematikada mavjud mezon Silvester kvadratik shakllarning ijobiy aniqligi uchun zarur va etarli sharoitlarni berish: (3) kvadrat shakl (3) agar uning koeffitsientlaridan tuzilgan bo'lsa, uning asosiy diagonali voyaga etmaganlar ijobiy bo'ladi, i.e. Agar koeffitsientlar bo'lsa shartlarni qondiradi
.....
Xususan, ikki darajali erkinlik bilan chiziqli tizim uchun, Sylyvester mezoni va Sylvestester mezonining shartlari bo'ladi
Shunga o'xshab, o'zgartirilgan tizimning potentsial energiyasini inobatga olishning mumkin bo'lgan energiyasini hisobga olishning o'rniga nisbiy muvozanatning qoidalarini o'rganish mumkin.
Pechka muvozanat pozitsiyalarini va ularning barqarorligini o'rganish rimer
Arm
Naychadan iborat mexanik tizimni ko'rib chiqing Abqaysi novda Oo 1. aylanishning gorizontal o'qiga ulangan va naychani ishqalanishsiz harakatlanadigan to'p A. Bahor naychalari (2-rasm). Biz tizimning muvozanatini belgilaymiz va biz ularning barqarorligini quyidagi parametrlarda taxmin qilamiz: naycha uzunligi L 2 \u003d.1 m. , uzunligi novda l 1 \u003d.0,5 m. . Birlashtirilgan bahorning uzunligi l. 0 = 0,6 m, bahorning qattiqligi c. \u003d 100 n / m. Ommaviy naycha m. 2 \u003d 2 kg, novcha - m. 1 \u003d 1 kg va to'p - m. 3 \u003d 0,5 kg. Masofa Oa. bir xil l. 3 \u003d 0,4 m.
Biz ko'rib chiqilayotgan tizimning potentsial energetikasi uchun ifoda yozamiz. U bir hil astoyitning bir hil astrida bo'lgan uchta jasadning potentsial energiyasidan va deformatsiyalanmagan bahorning kuchi.
Gravitatsiya sohasidagi tananing asosiy energiyasi tananing og'irlikning og'irligigacha, unda potentsial energiya nolga teng deb hisoblanadi. Samolyotning aylanishining o'qi orqali o'tadigan tekislikning nolga tenglashtirsin Oo. 1, keyin tortishish uchun
Elastiklik kuchi uchun potentsial energiya deformatsiya kattaligi bilan belgilanadi
Biz mumkin bo'lgan muvozanat holatlarini topamiz. Muvozanat holatidagi muvofiqlik qiymatlari quyidagi tenglamalar tizimining ildizlari.
Bunday tenglamalar tizimi ikki darajali erkinlik bilan har qanday mexanik tizim uchun tuzilishi mumkin. Ba'zi hollarda, siz aniq echim echimini olishingiz mumkin. Tizim (5) uchun bunday yechim yo'q, shuning uchun ildizlar raqamli usullardan foydalanish kerak.
Transcendental tenglamalar tizimini (5) hal qilish, biz ikkita mumkin bo'lgan muvozanat holatini olamiz:
Olingan muvozanat pozitsiyalarining barqarorligini baholash uchun biz umumlashtirilgan koordinatalarga muvofiq barcha energiyaning ikkinchi loteratsiyasini topamiz va biz umumlashtirilgan qattiqlik koeffitsientlarini aniqlaymiz.
