Dars “Funksiya y = sinx, uning xossalari va grafigi”. Funksiya y = sin x Grafik funksiyasi y sinx

Bu darsda biz y = sin x funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigini batafsil ko'rib chiqamiz. Dars boshida koordinata aylanada y = sin t trigonometrik funktsiyaning ta'rifini beramiz va funktsiyaning aylana va to'g'ri chiziqdagi grafigini ko'rib chiqamiz. Grafikda ushbu funktsiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funktsiyaning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiya grafigi va uning xossalari yordamida bir nechta oddiy vazifalarni yechamiz.

Mavzu: Trigonometrik funksiyalar

Dars: y = sinx funktsiyasi, uning asosiy xossalari va grafigi

Funktsiyani ko'rib chiqishda har bir argument qiymatini bitta funktsiya qiymatiga belgilash muhimdir. Bu muvofiqlik qonuni va funksiya deyiladi.

uchun yozishmalar qonunini aniqlaylik.

Har qanday haqiqiy son birlik aylanasining bitta nuqtasiga to'g'ri keladi.Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).

Har bir argument qiymati bitta funktsiya qiymati bilan bog'langan.

Aniq xususiyatlar sinus ta'rifidan kelib chiqadi.

Rasm shuni ko'rsatadi beri bu birlik aylanasidagi nuqtaning ordinatasi.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Keling, argumentning geometrik talqinini eslaylik. Argument - radyanlarda o'lchanadigan markaziy burchak. O'qda biz radianlarda haqiqiy sonlar yoki burchaklarni, o'qda funktsiyaning mos keladigan qiymatlarini chizamiz.

Masalan, birlik aylanasidagi burchak grafikdagi nuqtaga mos keladi (2-rasm).

Biz saytda funksiya grafigini oldik Lekin sinus davrini bilib, funksiyaning grafigini butun ta'rif sohasi bo'yicha tasvirlashimiz mumkin (3-rasm).

Funktsiyaning asosiy davri - Bu grafikni segmentda olish va keyin butun ta'rif sohasiga davom etish mumkinligini anglatadi.

Funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1) Qo'llash doirasi:

2) qiymatlar diapazoni:

3) Funktsiya g'alati:

4) eng kichik ijobiy davr:

5) Grafikning abtsissa o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari:

6) Grafikning y o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalari:

7) Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:

8) Funksiya manfiy qiymatlarni qabul qilish oraliqlari:

9) ortib boruvchi intervallar:

10) pasayish oraliqlari:

11) Minimal ball:

12) Minimal funktsiya:

13) Maksimal ball:

14) Maksimal funksiya:

Biz funktsiyaning xususiyatlarini va uning grafigini ko'rib chiqdik. Muammolarni hal qilishda xususiyatlar qayta-qayta ishlatiladi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun darslik (profil darajasi), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009 yil.

2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007 yil.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10-sinf uchun algebra va matematik tahlil (Matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik) .- M .: Ta'lim, 1996.

4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik tahlilni chuqur o'rganish.-M .: Ta'lim, 1997.

5. Oliy o'quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami (M.I. Skanavi tahriri ostida) .- M.: Oliy maktab, 1992 y.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik simulyator.-K .: A.S.K., 1997 yil.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra bo'yicha vazifalar va tahlil tamoyillari (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma) .- M .: Ta'lim, 2003.

8. Karp A.P. Algebra fanidan masalalar to‘plami va tahlil qilish tamoyillari: darslik. 10-11 sinflar uchun nafaqa chuqurlashishi bilan o'rganish matematika.-M .: Ta'lim, 2006.

Uy vazifasi

Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed.

A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007 yil.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Qo'shimcha veb-resurslar

3. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv portali ().

y = sin x funksiya grafigi qanday tuziladi? Birinchidan, intervaldagi sinus grafigini ko'rib chiqaylik.

Biz daftarning 2 katakcha uzunligi bo'lgan bitta segmentni olamiz. Oy o'qida bittasini belgilang.

Qulaylik uchun biz p / 2 raqamini 1,5 ga yaxlitlaymiz (yaxlitlash qoidalariga ko'ra 1,6 ga emas). Bunday holda, p / 2 uzunlikdagi segment 3 hujayraga to'g'ri keladi.

Ox o'qida biz birlik segmentlarini emas, balki p / 2 uzunlikdagi segmentlarni (har 3 hujayra) belgilaymiz. Shunga ko'ra, p uzunlikdagi segment 6 hujayraga, p / 6 uzunlikdagi segmentga - 1 hujayraga to'g'ri keladi.

Birlik segmentini bunday tanlash bilan qutidagi daftar varag'ida tasvirlangan grafik y = sin x funktsiyasi grafigiga imkon qadar mos keladi.

Keling, intervalda sinus qiymatlari jadvalini tuzamiz:

Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz:

y = sin x toq funksiya bo lgani uchun sinus grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo ladi - O nuqta (0; 0). Ushbu faktni hisobga olgan holda, biz chapga, so'ngra -p nuqtalarini chizishni davom ettiramiz:

y = sin x funksiya T = 2p davri bilan davriydir. Shuning uchun [-p; p] oraliqda olingan funksiya grafigi cheksiz marta o‘ngga va chapga takrorlanadi.

Bu darsda biz y = sin x funksiyasi, uning asosiy xossalari va grafigini batafsil ko'rib chiqamiz. Dars boshida koordinata aylanada y = sin t trigonometrik funktsiyaning ta'rifini beramiz va funktsiyaning aylana va to'g'ri chiziqdagi grafigini ko'rib chiqamiz. Grafikda ushbu funktsiyaning davriyligini ko'rsatamiz va funktsiyaning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Dars oxirida funksiya grafigi va uning xossalari yordamida bir nechta oddiy vazifalarni yechamiz.

Mavzu: Trigonometrik funksiyalar

Dars: y = sinx funktsiyasi, uning asosiy xossalari va grafigi

Funktsiyani ko'rib chiqishda har bir argument qiymatini bitta funktsiya qiymatiga belgilash muhimdir. Bu muvofiqlik qonuni va funksiya deyiladi.

uchun yozishmalar qonunini aniqlaylik.

Har qanday haqiqiy son birlik aylanasining bitta nuqtasiga to'g'ri keladi.Nuqta bitta ordinataga ega bo'lib, u sonning sinusi deb ataladi (1-rasm).

Har bir argument qiymati bitta funktsiya qiymati bilan bog'langan.

Aniq xususiyatlar sinus ta'rifidan kelib chiqadi.

Rasm shuni ko'rsatadi beri bu birlik aylanasidagi nuqtaning ordinatasi.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing. Keling, argumentning geometrik talqinini eslaylik. Argument - radyanlarda o'lchanadigan markaziy burchak. O'qda biz radianlarda haqiqiy sonlar yoki burchaklarni, o'qda funktsiyaning mos keladigan qiymatlarini chizamiz.

Masalan, birlik aylanasidagi burchak grafikdagi nuqtaga mos keladi (2-rasm).

Biz saytda funksiya grafigini oldik Lekin sinus davrini bilib, funksiyaning grafigini butun ta'rif sohasi bo'yicha tasvirlashimiz mumkin (3-rasm).

Funktsiyaning asosiy davri - Bu grafikni segmentda olish va keyin butun ta'rif sohasiga davom etish mumkinligini anglatadi.

Funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqing:

1) Qo'llash doirasi:

2) qiymatlar diapazoni:

3) Funktsiya g'alati:

4) eng kichik ijobiy davr:

5) Grafikning abtsissa o'qi bilan kesishish nuqtalarining koordinatalari:

6) Grafikning y o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalari:

7) Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallar:

8) Funksiya manfiy qiymatlarni qabul qilish oraliqlari:

9) ortib boruvchi intervallar:

10) pasayish oraliqlari:

11) Minimal ball:

12) Minimal funktsiya:

13) Maksimal ball:

14) Maksimal funksiya:

Biz funktsiyaning xususiyatlarini va uning grafigini ko'rib chiqdik. Muammolarni hal qilishda xususiyatlar qayta-qayta ishlatiladi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun darslik (profil darajasi), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009 yil.

2. Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed. A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007 yil.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10-sinf uchun algebra va matematik tahlil (Matematikani chuqur o'rganadigan maktablar va sinflar o'quvchilari uchun darslik) .- M .: Ta'lim, 1996.

4. Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik tahlilni chuqur o'rganish.-M .: Ta'lim, 1997.

5. Oliy o'quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to'plami (M.I. Skanavi tahriri ostida) .- M.: Oliy maktab, 1992 y.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebraik simulyator.-K .: A.S.K., 1997 yil.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra bo'yicha vazifalar va tahlil tamoyillari (umumiy ta'lim muassasalarining 10-11-sinf o'quvchilari uchun qo'llanma) .- M .: Ta'lim, 2003.

8. Karp A.P. Algebra fanidan masalalar to‘plami va tahlil qilish tamoyillari: darslik. 10-11 sinflar uchun nafaqa chuqurlashishi bilan o'rganish matematika.-M .: Ta'lim, 2006.

Uy vazifasi

Algebra va tahlil boshlanishi, 10-sinf (ikki qismda). Ta'lim muassasalari uchun muammoli kitob (profil darajasi), ed.

A.G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007 yil.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Qo'shimcha veb-resurslar

3. Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun o'quv portali ().

Funktsiyay = gunohx

Funktsiya grafigi sinusoiddir.

Sinusoidning to'liq takrorlanmaydigan qismi sinusoidal to'lqin deb ataladi.

Sinus to'lqinning yarim to'lqini sinus to'lqinning yarim to'lqini (yoki kamon) deb ataladi.

Funktsiya xususiyatlariy = gunohx:

Funktsiyani chizish uchun y= gunoh x quyidagi tarozilardan foydalanish qulay:

Qafasdagi varaqda biz segment birligi sifatida ikkita hujayraning uzunligini olamiz.

O'qda x p uzunligini o'lchang. Bunday holda, qulaylik uchun biz 3.14 ni 3 - ya'ni kasrsiz ifodalaymiz. Keyin hujayradagi varaqda p 6 katak (uch marta 2 katak) bo'ladi. Va har bir hujayra o'zining mantiqiy nomini oladi (birinchidan oltinchigacha): p / 6, p / 3, p / 2, 2p / 3, 5p / 6, p. Bu qadriyatlar x.

Y o'qida ikkita katakchani o'z ichiga olgan 1-ni belgilang.

Keling, qiymatlarimizdan foydalanib, funktsiya qiymatlari jadvalini yarataylik x:

Keyinchalik, grafik tuzamiz. Siz yarim to'lqinni olasiz, uning eng yuqori nuqtasi (p / 2; 1). Bu funksiyaning grafigi y= gunoh x segmentida. Tuzilgan grafikga simmetrik yarim to‘lqin qo‘shamiz (koordinata boshiga nisbatan simmetrik, ya’ni -p segmentida). Ushbu yarim to'lqinning tepasi koordinatali (-1; -1) x o'qi ostidadir. Natijada to'lqin paydo bo'ladi. Bu funksiyaning grafigi y= gunoh x segmentida [-p; p].

To'lqinni [p] segmentida qurish orqali davom ettirishingiz mumkin; 3p], [p; 5p], [p; 7p] va boshqalar. Bu barcha segmentlarda funksiya grafigi [-p segmentidagi kabi ko'rinadi; p]. Xuddi shu to'lqinlar bilan doimiy to'lqinli chiziqni olasiz.

Funktsiyay = cosx.

Funktsiya grafigi sinusoiddir (ba'zan kosinus deb ataladi).

Funktsiya xususiyatlariy = cosx:

Funktsiyay = mf(x).

Oldingi funktsiyani olaylik y= cos x... Ma'lumki, uning grafigi sinus to'lqinidir. Agar bu funktsiyaning kosinusini ma'lum m soniga ko'paytirsak, u holda to'lqin o'qdan cho'ziladi. x(yoki m qiymatiga qarab qisqaradi).
Bu yangi to'lqin y = mf (x) funksiyaning grafigi bo'ladi, bu erda m har qanday haqiqiy sondir.

Shunday qilib, y = mf (x) funktsiyasi odatiy funktsiya y = f (x) m ga ko'paytiriladi.

Agarm< 1, то синусоида сжимается к оси x omil bo'yicham. Agarm> 1, keyin sinusoid o'qdan cho'ziladix omil bo'yicham.

Cho'zish yoki siqish paytida siz sinusoidning faqat bitta yarim to'lqinini qurishingiz va keyin butun grafikni to'ldirishingiz mumkin.

Funktsiyay = f(kx).

Agar funktsiya y =mf(x) sinusoidning o'qdan cho'zilishiga olib keladi x yoki o'qga siqish x, u holda y = f (kx) funktsiyasi o'qdan cho'zilishga olib keladi y yoki o'qga siqish y.

Bundan tashqari, k har qanday haqiqiy sondir.

0 da< k< 1 синусоида растягивается от оси y omil bo'yichak. Agark> 1, keyin sinusoid o'q tomon siqiladiy omil bo'yichak.

Ushbu funktsiyani chizishda siz avval sinusoidning bir yarim to'lqinini chizishingiz mumkin, so'ngra butun chizmani bajarish uchun foydalaning.

Funktsiyay = tgx.

Funktsiya grafigi y= tg x tangentoid hisoblanadi.

Grafikning bir qismini 0 dan p / 2 gacha bo'lgan oraliqda chizish kifoya, keyin uni 0 dan 3p / 2 gacha bo'lgan oraliqda nosimmetrik tarzda davom ettirishingiz mumkin.

Funktsiya xususiyatlariy = tgx:

Funktsiyay = ctgx

Funktsiya grafigi y= ctg x tangentoid ham (ba'zan kotangentoid deb ataladi).

Funktsiya xususiyatlariy = ctgx:

“Funktsiya y = sinx, ee xossalari va grafigi” video darsida ushbu mavzu bo'yicha ko'rgazmali material, shuningdek, unga sharhlar taqdim etiladi. Namoyish jarayonida funksiyaning turi, uning xossalari ko‘rib chiqiladi, koordinata tekisligining turli segmentlaridagi xatti-harakatlari, grafik xususiyatlari batafsil tavsiflanadi, sinusni o‘z ichiga olgan trigonometrik tenglamalarning grafik yechimiga misol keltiriladi. Videodars yordamida o‘qituvchi uchun o‘quvchida bu funksiya haqidagi tushunchani shakllantirish, masalalarni grafik usulda yechish usullarini o‘rgatish osonlashadi.

Videodarsda ta'lim ma'lumotlarini eslab qolish va tushunishni osonlashtiradigan vositalar qo'llaniladi. Grafiklarni taqdim etishda va masalalar yechimini tavsiflashda funktsiyaning harakatini tushunishga, yechimning borishini ketma-ketlikda ko'rsatishga yordam beradigan animatsion effektlardan foydalaniladi. Shuningdek, materialning balli uni o'qituvchining tushuntirishini almashtiradigan muhim izohlar bilan to'ldiradi. Shunday qilib, ushbu material vizual yordam sifatida ishlatilishi mumkin. Va o'qituvchiga yangi mavzu bo'yicha tushuntirish o'rniga darsning mustaqil qismi sifatida.

Namoyish dars mavzusini tanishtirishdan boshlanadi. Sinus funksiyasi taqdim etilgan, uning tavsifi xotira oynasida ta'kidlangan - s = sint, unda t argumenti istalgan haqiqiy son bo'lishi mumkin. Bu funksiya xossalarining tavsifi qamrovdan boshlanadi. Qayd etilishicha, funksiyaning aniqlanish sohasi haqiqiy sonlarning butun son o‘qidir, ya’ni D (f) = (- ∞; + ∞). Sinus funksiyasining g'alatiligi ikkinchi xususiyat sifatida ta'kidlangan. O‘quvchilarga bu xususiyat 9-sinfda o‘rganilganligi, toq funksiya uchun f (-x) = - f (x) tengligi o‘rinli ekanligi ta’kidlangani eslatiladi. Sinus uchun toq funktsiyani tasdiqlash choraklarga bo'lingan birlik doirasida ko'rsatiladi. Funksiya koordinata tekisligining turli choraklarida qanday belgini olishini bilgan holda, qarama-qarshi belgilarga ega bo'lgan argumentlar uchun sinus uchun L (t) va N (-t) nuqtalari misolidan foydalanib, toq shart qanoatlantirilishi qayd etiladi. Demak, s = sint toq funksiyadir. Bu funktsiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini bildiradi.

Sinusning uchinchi xossasi funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini namoyish etadi. Bu funksiya segmentda ortib borishini va [p / 2; p] segmentida kamayishini ta'kidlaydi. Xususiyat rasmda ko'rsatilgan bo'lib, u birlik doirasini ko'rsatadi va A nuqtadan soat miliga teskari yo'nalishda harakatlanayotganda ordinata ortadi, ya'ni funktsiya qiymati p / 2 ga oshadi. B nuqtadan C ga o'tishda, ya'ni burchak p / 2 dan p ga o'zgarganda, ordinataning qiymati kamayadi. Aylananing uchinchi choragida C nuqtadan D nuqtaga o'tishda koordinata 0 dan -1 gacha kamayadi, ya'ni sinus qiymati kamayadi. Oxirgi chorakda D nuqtadan A nuqtaga o'tishda ordinataning qiymati -1 dan 0 gacha ortadi.Shunday qilib, funksiyaning harakati haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin. Ekranda [- (p / 2) + 2pk segmentida sint ortib borayotgani haqidagi xulosa paydo bo'ladi; (p / 2) + 2p], segmentida kamayadi [(p / 2) + 2pk; (3p / 2) + 2p] har qanday k butun soni uchun.

Sinusning to'rtinchi xossasi funksiyaning chegaralanganligini ko'rib chiqadi. Sint funktsiyasi yuqoridan ham, pastdan ham chegaralanganligi qayd etilgan. O’quvchilar chegaralangan funksiya tushunchasi bilan tanishganlarida 9-sinf algebra fanidan olingan ma’lumotlar esga olinadi. Ekranda yuqorida chegaralangan funksiyaning sharti aks etadi, buning uchun funktsiyaning istalgan nuqtasida f (x)> = M tengsizlik qanoatlantiriladigan ma'lum son mavjud. Shuningdek, pastdan chegaralangan funksiyaning har bir nuqtasidan m soni kam bo'lgan sharti eslatiladi. Sint uchun shart -1 ga teng<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Beshinchi xususiyat funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini hisobga oladi. Har bir nuqtada eng kichik qiymat -1 ga erishish t = - (p / 2) + 2pk, eng kattasi esa t = (p / 2) + 2pk nuqtalarida qayd etilgan.

Ko'rib chiqilgan xususiyatlar asosida sint funksiyasining grafigi segmentga chiziladi. Funktsiyani qurish uchun tegishli nuqtalarning jadvalli sinus qiymatlari qo'llaniladi. Koordinatalar tekisligida p / 6, p / 3, p / 2, 2p / 3, 5p / 6, p nuqtalarning koordinatalari belgilangan. Ushbu nuqtalarda funktsiyaning jadval qiymatlarini belgilab, ularni silliq chiziq bilan bog'lab, biz grafik tuzamiz.

Sint funksiya grafigini [-p;p] oraliqda chizish uchun funktsiyaning koordinata boshiga nisbatan simmetriya xossasidan foydalaniladi. Rasmda olingan chiziqning [-p; 0] segmentiga koordinatali ravishda nosimmetrik tarzda qanday o'tkazilishi ko'rsatilgan.

sin (x + 2p) = sin x qisqartirish formulasida ifodalangan sint funksiyasining xususiyatidan foydalanib, har 2p sinus grafigi takrorlanishi qayd etiladi. Shunday qilib, segmentda [p; 3p] grafik [-p; p] bilan bir xil bo'ladi. Shunday qilib, ushbu funktsiyaning grafigi butun domen bo'ylab takrorlanuvchi parchalarni [-p; p] ifodalaydi. Alohida ta'kidlanganidek, funksiyaning bunday grafigi sinusoid deb ataladi. Sinusoid to'lqin tushunchasi ham kiritiladi - [-p; p] segmentida chizilgan grafikning fragmenti va segmentda chizilgan sinusoidning yoyi. Ushbu parchalar yodlash uchun yana bir bor namoyish etiladi.

Ta'kidlanishicha, sint funktsiyasi butun ta'rif sohasi bo'yicha uzluksiz funktsiyadir, shuningdek, funktsiya qiymatlari diapazoni [-1; 1] oraliq qiymatlari to'plamida joylashgan.

Videodars oxirida sin x = x + p tenglamaning grafik yechimi ko'rib chiqiladi. Shubhasiz, tenglamaning grafik yechimi chap tomondagi ifoda bilan berilgan funksiya grafigining o‘ng tomonidagi ifoda bilan berilgan kesishmasi bo‘ladi. Masalani yechish uchun koordinata tekisligi quriladi, uning ustiga mos sinusoid y = sin x chiziladi va y = x + p funktsiya grafigiga mos keladigan to'g'ri chiziq ham quriladi. Chizilgan grafiklar bitta B nuqtada kesishadi (-p; 0). Demak, x = -p va tenglamaning yechimi bo'ladi.

"Funktsiya y = sinx, ee xususiyatlari va grafigi" video darsi maktabda an'anaviy matematika darsida dars samaradorligini oshirishga yordam beradi. Masofaviy o'qitish jarayonida vizual materiallardan ham foydalanishingiz mumkin. Qo'llanma materialni chuqurroq tushunish uchun qo'shimcha darslarga muhtoj bo'lgan talabalar uchun mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi.

MATN KODI:

Darsimizning mavzusi “y = sin x funksiyasi, uning xossalari va grafigi”.

Avvalroq biz s = sin t funktsiyasi bilan tanishgan edik, bu erda tsR (es sinus tega teng, bu erda te haqiqiy sonlar to'plamiga tegishli). Keling, ushbu funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqaylik:

XUSUSIYAT 1. Ta'rif sohasi R (er) haqiqiy sonlar to'plamidir, ya'ni D (f) = (-; +) (de dan eff minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan intervalni ifodalaydi).

XUSUSIYAT 2. s = sin t funksiyasi toq.

9-sinfdagi darslarda y = f (x), x sX funksiyasi (o'yin x dan ff ga teng, bu erda x to'plamga tegishli bo'lgan x katta) agar ning har qanday qiymati uchun toq deyilishini bilib oldik. X to'plamdan x tenglik

f (- x) = - f (x) (minus x dan eff x dan minus effga teng).

Va abscissa o'qiga nisbatan simmetrik L va N nuqtalarning ordinatalari qarama-qarshi bo'lganligi uchun sin (- t) = -sint.

Ya'ni, s = sin t toq funksiya va s = sin t funksiyaning grafigi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir. tOs(es haqida).

MULK 3. Segmentda [0; ] (noldan pi ga ikkiga) s = sin t funksiya [ segmentida ortadi va kamayadi; ] (pi dan ikkitagacha pigacha).

Bu raqamlarda yaqqol ko'rinib turibdi: nuqta sonli aylana bo'ylab noldan pi ga ikkiga (A nuqtadan B gacha) harakat qilganda ordinata asta-sekin 0 dan 1 ga, pi dan ikkiga pi (dan) gacha ko'tariladi. nuqta B dan C gacha), ordinata asta-sekin 1 dan 0 gacha kamayadi.

Nuqta uchinchi chorak bo‘ylab (C nuqtadan D nuqtaga) harakat qilganda, harakatlanuvchi nuqtaning ordinatasi noldan minus birgacha kamayadi, to‘rtinchi chorak bo‘ylab harakatlanayotganda esa ordinata minus birdan nolga oshadi. Demak, umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin: s = sin t funksiya oraliqda ortadi

(minus pi dan ikki plyus ikkita tepalikdan pigacha ikki plyus ikkita tepaga) va segmentda kamayadi [; (pi dan ikki plyus ikkita tepalikdan uch pi ikki plyus ikkita tepaga), bu erda

(ka butun sonlar to'plamiga tegishli).

XUSUSIYAT 4. s = sin t funksiya yuqoridan va pastdan chegaralangan.

9-sinf kursidan chegaralanganlikning ta'rifini eslang: y = f (x) funktsiya pastdan cheklangan deb ataladi, agar funktsiyaning barcha qiymatlari qaysidir sondan kam bo'lmasa. m m shundayki, x ning funksiya sohasidan istalgan qiymati uchun f (x) ≥ tengsizlik m(x dan ff em dan katta yoki teng). y = f (x) funktsiya yuqoridan chegaralangan deb ataladi, agar funktsiyaning barcha qiymatlari bir nechta raqamdan ko'p bo'lmasa M, bu raqam borligini bildiradi M shundayki, x ning funksiya sohasidan istalgan qiymati uchun f (x) ≤ tengsizlik M(x dan ff em dan kichik yoki teng).Funktsiya pastdan ham, yuqoridan ham chegaralangan bo'lsa, cheklangan deyiladi.

Funktsiyamizga qaytaylik: chegaralanganlik shundan kelib chiqadiki, har qanday te uchun - 1 ≤ sint≤ 1. tengsizlik rost (sinus te minus birdan katta yoki teng, lekin birdan kichik yoki teng).

XUSUSIYAT 5. Funksiyaning eng kichik qiymati minus birga teng va funktsiya bu qiymatga t = ko'rinishdagi istalgan nuqtada erishadi (te minus pi ga ikki plyus ikkita tepaga teng, funktsiyaning eng katta qiymati esa teng. birga va t = ko'rinishning istalgan nuqtasida funktsiya orqali erishiladi (te - pi ikki plyus ikki pi ka).

s = sin t funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati s naimni bildiradi. va s naib. ...

Olingan xossalardan foydalanib, y = sin x funksiyaning grafigini tuzamiz (y sin x ga teng), chunki biz s = f (t) emas, balki y = f (x) ni yozishga ko'proq odatlanganmiz.

Boshlash uchun masshtabni tanlaylik: ordinatada ikkita katakka birlik segmentni olamiz, abscissada esa ikkita katakcha pi dan uchga teng (≈ 1 ga teng). Avval segmentda y = sin x funksiyaning grafigini tuzamiz. Bizga ushbu segmentdagi funktsiya qiymatlari jadvali kerak, uni qurish uchun kosinus va sinusning tegishli burchaklari uchun qiymatlar jadvalidan foydalanamiz:

Shunday qilib, argument va funktsiya qiymatlari jadvalini tuzish uchun siz buni eslab qolishingiz kerak X(x) bu raqam mos ravishda noldan pigacha bo'lgan oraliqdagi burchakka teng va da(o'yin) bu burchakning sinus qiymati.

Bu nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz. Segmentdagi MULK 3 bo'yicha

[0; ] (noldan pi ga ikkiga) y = sin x funksiya [ segmentida ortadi va kamayadi; ] (pi dan ikkiga pigacha) va olingan nuqtalarni silliq chiziq bilan bog'lab, biz grafikning bir qismini olamiz.(1-rasm).

Toq funksiya grafigining koordinata boshiga nisbatan simmetriyasidan foydalanib, segmentda allaqachon y = sin x funksiya grafigini olamiz.

[-p; p] (minus pi dan pi gacha).(2-rasm)

Sin (x + 2p) = sinx ekanligini eslang

(x ning sinusi plyus ikkita pi ning sinusiga teng). Demak, x + 2p nuqtada y = sin x funksiya x nuqtadagi kabi qiymatni oladi. Va (x + 2p) s [p] dan beri; 3p] (x plyus ikki pi pi dan uch pigacha bo'lgan segmentga tegishli), agar xs [-p; p], keyin [p] segmentida; 3p] funksiya grafigi [-p” segmentidagi bilan bir xil ko‘rinadi; p]. Xuddi shunday, segmentlarda,, [-3p; -p] va hokazo, y = sin x funksiyaning grafigi segmentdagi kabi ko'rinadi

[-p; p].(3-rasm)

y = sin x funksiyaning grafigi bo'lgan chiziq sinusoid deyiladi. Sinusoidning 2-rasmda ko'rsatilgan qismi sinusoidal to'lqin, 1-rasmda esa sinusoidal yoy yoki yarim to'lqin deb ataladi.

Tuzilgan grafikdan foydalanib, ushbu funktsiyaning yana bir nechta xossalarini yozamiz.

XUSUSIYAT 6. y = sin x funksiya uzluksiz funksiyadir. Demak, funksiya grafigi yaxlit, ya’ni unda sakrash va teshilishlar yo‘q.

XUSUSIYAT 7. y = sin x funksiya qiymatlari diapazoni [-1; 1] (minus birdan birgacha) yoki shunday yozilishi mumkin: (eff dan minus birdan birgacha bo'lgan segmentga teng).

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. sin x = x + p (sinus x teng x plyus pi) tenglamasini grafik tarzda yeching.

Yechim. Funksiyalarning grafiklarini tuzamiz y = gunoh X va y = x + p.

y = sin x funksiyaning grafigi sinusoiddir.

y = x + p - chiziqli funktsiya, uning grafigi koordinatalari (0; p) va (- p; 0) bo'lgan nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziqdir.

Chizilgan grafiklar bitta kesishish nuqtasiga ega - B nuqtasi (- p; 0) (koordinatalari minus pi, nol bilan bo'ling). Demak, bu tenglamaning faqat bitta ildizi bor - B nuqtaning abssissasi - -p. Javob: X = - π.