Hvad er den naturlige logaritme af 1 2. Hvad er logaritmen

tager ofte et nummer e = 2,718281828 ... Logaritmer i denne base kaldes naturlig... Når man udfører beregninger med naturlige logaritmer, er det generelt accepteret at operere med tegnet ln, men ikke log; mens nummeret 2,718281828 definere basen angiver ikke.

Med andre ord vil formuleringen se sådan ud: naturlig logaritme tallene x er en indikator for, i hvilken grad tallet skal hæves e, At opnå x.

Så, ln (7.389 ...)= 2, siden e 2 =7,389... ... Naturlig logaritme af selve tallet e= 1 fordi e 1 =e, og den naturlige logaritme af en er nul, da e 0 = 1.

Selve nummeret e definerer grænsen for en monoton afgrænset sekvens

beregnet det e = 2,7182818284... .

For at rette et nummer i hukommelsen er cifrene i det påkrævede nummer ofte forbundet med en udestående dato. Hastigheden for at huske de første ni cifre i et tal e vil stige efter decimaltegnet, hvis du bemærker, at 1828 er året for Leo Tolstojs fødsel!

I dag er der ganske komplette tabeller over naturlige logaritmer.

Naturlig logaritme plot(funktioner y =ln x) er en konsekvens af spejlbilledets eksponentplot i forhold til den rette linje y = x og har formen:

Den naturlige logaritme kan findes for hvert positivt reelt tal -en som arealet under kurven y = 1/x fra 1 Før -en.

Den elementære karakter af denne formulering, som passer med mange andre formler, hvori den naturlige logaritme er involveret, var årsagen til dannelsen af ​​navnet "naturlig".

Hvis du analyserer naturlig logaritme, som en reel funktion af en reel variabel, så virker den omvendt funktion til en eksponentiel funktion, som reducerer til identiteterne:

e ln (a) = a (a> 0)

ln (e a) = a

I analogi med alle logaritmer konverterer naturlig logaritme multiplikation til addition, division til subtraktion:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y) = lnx - lny

Logaritmen kan findes for hver positiv base, der ikke er lig med én, ikke kun for e, men logaritmer for andre baser adskiller sig kun fra den naturlige logaritme med en konstant faktor og defineres normalt ud fra den naturlige logaritme.

Efter at have analyseret naturlig logaritme graf, vi får, at det eksisterer for positive værdier af variablen x... Den øges monotont på sit definitionsdomæne.

På x → 0 grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig ( -∞ ).På x → + ∞ grænsen for den naturlige logaritme er plus uendelig ( + ∞ ). Til store x logaritmen stiger ret langsomt. Enhver strømfunktion x a positiv eksponent -en stiger hurtigere end logaritmen. Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, så den har ingen ekstrema.

Brug naturlige logaritmer meget rationelt, når man består højere matematik. Så brugen af ​​logaritmen er praktisk til at finde svaret på ligninger, hvor ukendte vises som en eksponent. Brugen af ​​naturlig logaritme i beregninger gør det muligt betydeligt at lette et stort antal matematiske formler. Logaritmer til base e er til stede i løsningen af ​​et betydeligt antal fysiske problemer og indgår naturligt i den matematiske beskrivelse af individuelle kemiske, biologiske og andre processer. Således bruges logaritmer til at beregne henfaldskonstanten for en kendt halveringstid eller til at beregne henfaldstid ved løsning af radioaktivitetsproblemer. De spiller hovedrollen i mange grene af matematik og praktiske videnskaber, de bruges inden for finansområdet til at løse et stort antal problemer, herunder i beregningen af ​​renters rente.

Inden vi stifter bekendtskab med begrebet den naturlige logaritme, overveje begrebet et konstant tal $ e $.

Nummer $ e $

Definition 1

Nummer $ e $ Er en matematisk konstant, som er et transcendentalt tal og er lig med $ e \ ca. 2,718281828459045 \ ldots $.

Definition 2

Transcendental er et tal, der ikke er en rod af et polynomium med heltalskoefficienter.

Bemærkning 1

Den sidste formel beskriver anden vidunderlige grænse.

Tallet e kaldes også Euler numre og nogle gange Napier numre.

Bemærkning 2

For at huske de første tegn på tallet $ e $, bruges følgende udtryk ofte: "$ 2 $, $ 7 $, to gange Leo Tolstoy"... For at kunne bruge det skal du selvfølgelig huske, at Leo Tolstoj blev født i $ 1828 $. Det er disse tal, der gentages to gange i værdien af ​​tallet $ e $ efter heltalsdelen af ​​$ 2 $ og decimalen 7 $.

Vi begyndte at overveje begrebet $ e $ i studiet af den naturlige logaritme, netop fordi det står i bunden af ​​logaritmen $ \ log_ (e) ⁡a $, som normalt kaldes naturlig og skrevet på formen $ \ ln ⁡a $.

Naturlig logaritme

Ofte, når man beregner, bruges logaritmer, som ligger til grund for tallet $ e $.

Definition 4

Logaritmen med grundtallet $ e $ kaldes naturlig.

De der. den naturlige logaritme kan betegnes som $ \ log_ (e) ⁡a $, men i matematik er det sædvanligt at bruge notationen $ \ ln ⁡a $.

Naturlige logaritmeegenskaber

Fordi logaritmen til en hvilken som helst base fra en er $ 0 $, så er den naturlige logaritme af en $ 0 $:

Den naturlige logaritme af tallet $ e $ er lig med en:

Den naturlige logaritme af produktet af to tal er lig med summen af ​​de naturlige logaritmer af disse tal:

$ \ ln ⁡ (ab) = \ ln ⁡a + \ ln ⁡b $.

Den naturlige logaritme af kvotienten af ​​to tal er lig med forskellen mellem de naturlige logaritmer af disse tal:

$ \ ln⁡ \ frac (a) (b) = \ ln ⁡a- \ ln⁡ b $.

Den naturlige logaritme af potensen af ​​et tal kan repræsenteres som produktet af eksponenten ved den naturlige logaritme af det sublogaritmiske tal:

$ \ ln⁡ a ^ s = s \ cdot \ ln⁡ a $.

Eksempel 1

Forenkle udtrykket $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) $.

Opløsning.

Vi anvender egenskaben for produktets logaritme til den første logaritme i tælleren og i nævneren, og egenskaben for logaritmen af ​​graden til den anden logaritme af tælleren og nævneren:

$ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = \ frac (2 (\ ln ⁡4 + \ ln ⁡e) - \ ln⁡ 4 ^ 2) (\ ln ⁡5 + \ ln ⁡e- \ frac (1) (2) \ ln⁡ 5 ^ 2) = $

åbne parenteserne og præsentere lignende udtryk, og anvend også egenskaben $ \ ln ⁡e = 1 $:

$ = \ frac (2 \ ln ⁡4 + 2-2 \ ln ⁡4) (\ ln ⁡5 + 1- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ ln ⁡5) = \ frac (2) ( \ ln ⁡5 + 1- \ ln ⁡5) = 2 $.

Svar: $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = 2 $.

Eksempel 2

Find værdien af ​​udtrykket $ \ ln⁡ 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) $.

Opløsning.

Lad os anvende formlen for summen af ​​logaritmer:

$ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = \ ln 2e ^ 2 \ cdot \ frac (1) (2e) = \ ln ⁡e = 1 $.

Svar: $ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = 1 $.

Eksempel 3

Evaluer værdien af ​​det logaritmiske udtryk $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln⁡ e ^ 5 $.

Opløsning.

Lad os anvende egenskaben for gradens logaritme:

$ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 2 \ lg 10 ^ (- 1) +3 \ cdot 5 \ ln ⁡e = -2 \ lg ⁡10 + 15 \ ln ⁡e = -2 + 15 = 13 $.

Svar: $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 13 $.

Eksempel 4

Forenkle det logaritmiske udtryk for $ \ ln \ frac (1) (8) -3 \ ln ⁡4 $.

$ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = 3 \ ln (\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \ ln 3 ^ 3 = 3 \ cdot 2 \ ln \ frac (3) (e) -2 \ cdot 3 \ ln ⁡3 = 6 \ ln \ frac (3) (e) -6 \ ln ⁡3 = $

vi anvender på den første logaritme egenskaben for logaritmen af ​​kvotienten:

$ = 6 (\ ln ⁡3- \ ln ⁡e) -6 \ ln⁡ 3 = $

lad os åbne parenteserne og give lignende udtryk:

$ = 6 \ ln ⁡3-6 \ ln ⁡e-6 \ ln ⁡3 = -6 $.

Svar: $ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = -6 $.

Ved basis af tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritme er meget brugt i matematik, da dens afledte har den enkleste form: (ln x) ′ = 1 / x.

Baseret definitioner, basen af ​​den naturlige logaritme er tallet e:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.

Funktionsgraf y = ln x.

Naturlig logaritme plot (funktioner y = ln x) fås fra eksponentgrafen ved at spejle den i forhold til den rette linje y = x.

Den naturlige logaritme er defineret for positive værdier af variablen x. Den øges monotont på sit definitionsdomæne.

Som x → 0 grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig (- ∞).

Som x → + ∞ er grænsen for den naturlige logaritme plus uendelig (+ ∞). For stort x stiger logaritmen ret langsomt. Enhver potensfunktion x a med en positiv eksponent a vokser hurtigere end en logaritme.

Naturlige logaritmeegenskaber

Definitionsområde, værdisæt, ekstrema, stigende, faldende

Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, derfor har den ingen ekstrema. Hovedegenskaberne for den naturlige logaritme er præsenteret i tabellen.

Ln x

ln 1 = 0

Grundlæggende formler for naturlige logaritmer

Formler, der udspringer af definitionen af ​​den inverse funktion:

Hovedegenskaben ved logaritmer og dens konsekvenser

Formel for basisudskiftning

Enhver logaritme kan udtrykkes i form af naturlige logaritmer ved hjælp af basisændringsformlen:

Beviserne for disse formler er præsenteret i afsnittet "Logaritme".

Omvendt funktion

Det omvendte af den naturlige logaritme er eksponenten.

Hvis så

Hvis så.

Afledt ln x

Afledt af den naturlige logaritme:
.
Afledt af den naturlige logaritme af modulet x:
.
Afledt af n. orden:
.
Afledning af formler>>>

Integral

Integralet beregnes ved integration af dele:
.
Så,

Udtryk i form af komplekse tal

Overvej en funktion af en kompleks variabel z:
.
Lad os udtrykke den komplekse variabel z via modul r og argumentet φ :
.
Ved at bruge logaritmens egenskaber har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Hvis vi sætter
, hvor n er et heltal,
det vil være det samme tal for forskellige n.

Derfor er den naturlige logaritme, som funktion af en kompleks variabel, ikke en entydig funktion.

Power serie udvidelse

Ved nedbrydningen finder sted:

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved tekniske institutioner, "Lan", 2009.

Lektion og oplæg om emnerne: "Naturlige logaritmer. Grundlag for naturlig logaritme. Logaritme af naturligt tal"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 11. klasse
Interaktiv tutorial for klasse 9-11 "Trigonometri"
Interaktiv tutorial for klasse 10-11 "Logarithms"

Hvad er naturlig logaritme

Gutter, i den sidste lektion lærte vi et nyt, specielt nummer - e. I dag vil vi fortsætte med at arbejde med dette nummer.
Vi har undersøgt logaritmer, og vi ved, at der i bunden af ​​logaritmen kan være mange tal, der er større end 0. I dag vil vi også betragte logaritmen, hvis basis er tallet e. Sådan en logaritme kaldes normalt for naturlig logaritme. Den har sin egen notation: $ \ ln (n) $ - naturlig logaritme. Denne post svarer til posten: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Eksponentielle og logaritmiske funktioner er inverse, så er den naturlige logaritme invers for funktionen: $ y = e ^ x $.
Inverse funktioner er symmetriske i forhold til linjen $ y = x $.
Lad os plotte den naturlige logaritme ved at afspejle den eksponentielle funktion med hensyn til linjen $ y = x $.

Det er værd at bemærke hældningsvinklen for tangenten til grafen for funktionen $ y = e ^ x $ ved punktet (0; 1) er 45 °. Så vil hældningsvinklen for tangenten til grafen for den naturlige logaritme i punktet (1; 0) også være 45°. Begge disse tangenter vil være parallelle med linjen $ y = x $. Lad os skitsere tangenterne:

Egenskaber for funktionen $ y = \ ln (x) $

1. $ D (f) = (0; + ∞) $.
2. Er hverken lige eller ulige.
3. Stigning over hele definitionsområdet.
4. Ikke begrænset i toppen, ikke begrænset i bunden.
5. Der er ingen højeste værdi, ingen laveste værdi.
6. Kontinuerlig.
7. $ E (f) = (- ∞; + ∞) $.
8. Konveks opad.
9. Differentierbar overalt.

I løbet af højere matematik er det bevist, at den afledede af en invers funktion er den inverse af den afledte af en given funktion.
Det giver ikke meget mening at gå dybere ind i beviset, lad os bare skrive formlen: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.

Eksempel.
Beregn værdien af ​​den afledede af funktionen: $ y = \ ln (2x-7) $ i punktet $ x = 4 $.
Opløsning.
Generelt repræsenterer vores funktion funktionen $ y = f (kx + m) $, vi kan beregne afledte af sådanne funktioner.
$ y "= (\ ln ((2x-7)))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
Lad os beregne værdien af ​​den afledte på det krævede punkt: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
Svar: 2.

Eksempel.
Tegn en tangent til grafen for funktionen $ y = ln (x) $ i punktet $ x = e $.
Opløsning.
Ligningen for tangenten til funktionens graf, i punktet $ x = a $, husker vi godt.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
Lad os beregne de nødvendige værdier sekventielt.
$ a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
Tangentligningen i punktet $ x = e $ er en funktion $ y = \ frac (x) (e) $.
Lad os plotte den naturlige logaritme og tangentlinjen.

Eksempel.
Undersøg funktionen for monotoni og ekstrema: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
Opløsning.
Funktionens domæne er $ D (y) = (0; + ∞) $.
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
Den afledte eksisterer for alle x fra definitionsdomænet, så er der ingen kritiske punkter. Find stationære punkter:
$ 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) = 0 $.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
6 $ * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$ x ^ 6 = 1 $.
$ x = ± 1 $.
Punkt $ x = -1 $ er ikke i omfanget. Så har vi et stationært punkt $ x = 1 $. Lad os finde intervallerne for stigning og fald:

Punktet $ x = 1 $ er minimumspunktet, så $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
Svar: Funktionen falder på segmentet (0; 1), funktionen øges på strålen $)