Tegn grafen for en funktion f, der opfylder betingelserne. Skitsér grafen for en funktion, vel vidende det
I denne lektion vil vi overveje teknikken til at konstruere en skitse af en funktionsgraf, vi vil give forklarende eksempler.
Emne: Gentagelse
Lektion: Skitsering af en graf for en funktion (ved hjælp af eksemplet med en brøk-kvadratfunktion)
Vores mål er at skitsere en graf af den brøk-kvadratfunktion. Lad os f.eks. tage en funktion, vi allerede kender:
Der gives en brøkfunktion, i hvis tæller og nævner der er kvadratiske funktioner.
Skitseteknikken er som følger:
1. Lad os vælge intervaller for tegnkonstans og definere tegnet for funktionen på hver (figur 1)
Vi undersøgte i detaljer og fandt ud af, at en funktion, der er kontinuert i ODZ'en, kun kan ændre fortegn, når argumentet passerer gennem ODZ'ens rødder og brudpunkter.
Den givne funktion у er kontinuerlig i sin ODZ, lad os angive ODV:
Lad os finde rødderne:
Lad os vælge konstante intervaller. Vi fandt funktionens rødder og definitionsdomænets brudpunkter - nævnerens rødder. Det er vigtigt at bemærke, at funktionen bevarer tegnet inden for hvert interval.
Ris. 1. Konstansintervaller for funktionen
For at bestemme tegnet for en funktion ved hvert interval kan du tage ethvert punkt, der hører til intervallet, erstatte det med funktionen og bestemme dets fortegn. For eksempel:
Funktionen har et plustegn på intervallet
Funktionen har et minustegn på intervallet.
Dette er fordelen ved intervalmetoden: Vi bestemmer fortegnet ved et enkelt prøvepunkt og konkluderer, at funktionen vil have det samme fortegn over hele det valgte interval.
Det er dog muligt at indstille fortegnene automatisk uden at beregne værdierne for funktionen; for dette skal du bestemme tegnet i det ekstreme interval og derefter skifte fortegnene.
1. Lad os bygge en graf i nærheden af hver rod. Husk, at rødderne til denne funktion og:
Ris. 2. Graf i nærheden af rødderne
Da funktionens fortegn på punktet skifter fra plus til minus, er kurven først placeret over aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret under x-aksen. På det punkt er det modsatte sandt.
2. Lad os konstruere en graf i nærheden af hver diskontinuitet i ODZ. Husk, at rødderne af nævneren for denne funktion og:
Ris. 3. Grafen for funktionen i nærheden af SDS'ens diskontinuitetspunkter
Når enten nævneren af en brøk er praktisk talt nul, betyder det, at når værdien af argumentet har tendens til disse tal, har brøkens værdi en tendens til uendelig. I dette tilfælde, når argumentet nærmer sig tredobbelt til venstre, er funktionen positiv og har en tendens til plus uendeligt, til højre er funktionen negativ og går ud af minus uendelig. Omkring fire, tværtimod, til venstre har funktionen en tendens til minus uendelig, og til højre forlader den plus uendelig.
Ifølge den konstruerede skitse kan vi med nogle intervaller gætte funktionens adfærd.
Ris. 4. Skitsér funktionsgraf
Overvej følgende vigtige opgave - at bygge en skitse af grafen for en funktion i nærheden af uendeligt fjerne punkter, dvs. når argumentet nærmer sig plus eller minus uendeligt. I dette tilfælde kan de konstante vilkår negligeres. Vi har:
Nogle gange kan du finde sådan en optegnelse over dette faktum:
Ris. 5. Skitse af grafen for funktionen i nærheden af uendeligt fjerne punkter
Vi har fået en tilnærmet karakter af funktionens adfærd over hele dens definitionsdomæne, så skal vi forfine konstruktionerne ved hjælp af den afledede.
Eksempel 1 - Tegn en graf for en funktion:
Vi har tre punkter, når vi sender argumentet, hvorigennem funktionen kan skifte fortegn.
Bestem fortegnene for funktionen ved hvert interval. Vi har et plus på det yderste højre interval, så skifter tegnene, da alle rødder har første grad.
Vi bygger en skitse af grafen i nærheden af ODZ'ens rødder og knækpunkter. Vi har: da funktionens fortegn på punktet skifter fra plus til minus, er kurven først placeret over aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret under x-aksen. Når enten nævneren af en brøk er praktisk talt nul, betyder det, at når værdien af argumentet har tendens til disse tal, har brøkens værdi en tendens til uendelig. I dette tilfælde, når argumentet nærmer sig minus to til venstre, er funktionen negativ og har en tendens til minus uendelig, til højre er funktionen positiv og går ud af plus uendelig. Omkring to er ens.
Lad os finde den afledede af funktionen:
Det er klart, at den afledede altid er mindre end nul, derfor falder funktionen i alle sektioner. Så i sektionen fra minus uendeligt til minus to, falder funktionen fra nul til minus uendelig; i sektionen fra minus to til nul falder funktionen fra plus uendeligt til nul; i området fra nul til to falder funktionen fra nul til minus uendelig; i området fra to til plus uendeligt falder funktionen fra plus uendeligt til nul.
Lad os illustrere:
Ris. 6. Skitse af funktionsgrafen for eksempel 1
Eksempel 2 - Tegn en graf for en funktion:
Vi bygger en skitse af grafen for funktionen uden at bruge den afledede.
Lad os først undersøge den givne funktion:
Vi har et enkelt punkt, når vi sender argumentet, hvorigennem funktionen kan skifte fortegn.
Bemærk, at den givne funktion er ulige.
Bestem fortegnene for funktionen ved hvert interval. Vi har et plus på det yderste højre interval, så skifter fortegnet, da roden har den første grad.
Vi bygger en skitse af grafen i nærheden af roden. Vi har: da funktionens fortegn på punktet skifter fra minus til plus, er kurven først placeret under aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret over x-aksen.
Nu bygger vi en skitse af grafen for funktionen i nærheden af uendeligt fjerne punkter, dvs. når argumentet nærmer sig plus eller minus uendeligt. I dette tilfælde kan de konstante vilkår negligeres. Vi har:
Efter at have gennemført ovenstående trin forestiller vi os allerede grafen for funktionen, men vi skal forfine den ved hjælp af den afledede.
Lad os finde den afledede af funktionen:
Vi fremhæver intervallerne for konstans for den afledte: kl. ODZ her. Således har vi tre konstantintervaller for den afledte og tre sektioner af monotoni af den oprindelige funktion. Lad os bestemme fortegnene for den afledede på hvert interval. Hvornår 
den afledte er positiv, funktionen øges; når den afledede er negativ, falder funktionen. I dette tilfælde er punktet minimum, da den afledte skifter fortegn fra minus til plus; tværtimod det maksimale point.
I denne lektion vil vi overveje teknikken til at konstruere en skitse af en funktionsgraf, vi vil give forklarende eksempler.
Emne: Gentagelse
Lektion: Skitsering af en graf for en funktion (ved hjælp af eksemplet med en brøk-kvadratfunktion)
1. Teknik til skitsering af funktionsgrafer
Vores mål er at skitsere en graf af den brøk-kvadratfunktion. Lad os f.eks. tage en funktion, vi allerede kender:
Der gives en brøkfunktion, i hvis tæller og nævner der er kvadratiske funktioner.
Skitseteknikken er som følger:
1. Lad os vælge intervaller for tegnkonstans og definere tegnet for funktionen på hver (figur 1)
Vi undersøgte i detaljer og fandt ud af, at en funktion, der er kontinuert i ODZ'en, kun kan ændre fortegn, når argumentet passerer gennem ODZ'ens rødder og brudpunkter.
Den givne funktion у er kontinuerlig i sin ODZ, lad os angive ODV:
Lad os finde rødderne:
Lad os vælge konstante intervaller. Vi fandt funktionens rødder og definitionsdomænets brudpunkter - nævnerens rødder. Det er vigtigt at bemærke, at funktionen bevarer tegnet inden for hvert interval.
Ris. 1. Konstansintervaller for funktionen
For at bestemme tegnet for en funktion ved hvert interval kan du tage ethvert punkt, der hører til intervallet, erstatte det med funktionen og bestemme dets fortegn. For eksempel:
Funktionen har et plustegn på intervallet
Funktionen har et minustegn på intervallet.
Dette er fordelen ved intervalmetoden: Vi bestemmer fortegnet ved et enkelt prøvepunkt og konkluderer, at funktionen vil have det samme fortegn over hele det valgte interval.
Det er dog muligt at indstille fortegnene automatisk uden at beregne værdierne for funktionen; for dette skal du bestemme tegnet i det ekstreme interval og derefter skifte fortegnene.
1. Lad os bygge en graf i nærheden af hver rod. Husk, at rødderne til denne funktion og:
Ris. 2. Graf i nærheden af rødderne
Da funktionens fortegn på punktet skifter fra plus til minus, er kurven først placeret over aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret under x-aksen. På det punkt er det modsatte sandt.
2. Lad os konstruere en graf i nærheden af hver diskontinuitet i ODZ. Husk, at rødderne af nævneren for denne funktion og:
Ris. 3. Grafen for funktionen i nærheden af SDS'ens diskontinuitetspunkter
Når enten nævneren af en brøk er praktisk talt nul, betyder det, at når værdien af argumentet har tendens til disse tal, har brøkens værdi en tendens til uendelig. I dette tilfælde, når argumentet nærmer sig tredobbelt til venstre, er funktionen positiv og har en tendens til plus uendeligt, til højre er funktionen negativ og går ud af minus uendelig. Omkring fire, tværtimod, til venstre har funktionen en tendens til minus uendelig, og til højre forlader den plus uendelig.
Ifølge den konstruerede skitse kan vi med nogle intervaller gætte funktionens adfærd.
Ris. 4. Skitsér funktionsgraf
Overvej følgende vigtige opgave - at bygge en skitse af grafen for en funktion i nærheden af uendeligt fjerne punkter, det vil sige når argumentet har en tendens til plus eller minus uendeligt. I dette tilfælde kan de konstante vilkår negligeres. Vi har:
Nogle gange kan du finde sådan en optegnelse over dette faktum:
Ris. 5. Skitse af grafen for funktionen i nærheden af uendeligt fjerne punkter
Vi har fået en tilnærmet karakter af funktionens adfærd over hele dens definitionsdomæne, så skal vi forfine konstruktionerne ved hjælp af den afledede.
2. Løsning af eksempel nr. 1
Eksempel 1 - Tegn en graf for en funktion:
Vi har tre punkter, når vi sender argumentet, hvorigennem funktionen kan skifte fortegn.
Bestem fortegnene for funktionen ved hvert interval. Vi har et plus på det yderste højre interval, så skifter tegnene, da alle rødder har første grad.
Vi bygger en skitse af grafen i nærheden af ODZ'ens rødder og knækpunkter. Vi har: da funktionens fortegn på punktet skifter fra plus til minus, er kurven først placeret over aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret under x-aksen. Når enten nævneren af en brøk er praktisk talt nul, betyder det, at når værdien af argumentet har tendens til disse tal, har brøkens værdi en tendens til uendelig. I dette tilfælde, når argumentet nærmer sig minus to til venstre, er funktionen negativ og har en tendens til minus uendelig, til højre er funktionen positiv og går ud af plus uendelig. Omkring to er ens.
Lad os finde den afledede af funktionen:
Det er klart, at den afledede altid er mindre end nul, derfor falder funktionen i alle sektioner. Så i sektionen fra minus uendeligt til minus to, falder funktionen fra nul til minus uendelig; i sektionen fra minus to til nul falder funktionen fra plus uendeligt til nul; i området fra nul til to falder funktionen fra nul til minus uendelig; i området fra to til plus uendeligt falder funktionen fra plus uendeligt til nul.
Lad os illustrere:
Ris. 6. Skitse af funktionsgrafen for eksempel 1
3. Løsning af eksempel nr. 2
Eksempel 2 - Tegn en graf for en funktion:
Vi bygger en skitse af grafen for funktionen uden at bruge den afledede.
Lad os først undersøge den givne funktion:
Vi har et enkelt punkt, når vi sender argumentet, hvorigennem funktionen kan skifte fortegn.
Bemærk, at den givne funktion er ulige.
Bestem fortegnene for funktionen ved hvert interval. Vi har et plus på det yderste højre interval, så skifter fortegnet, da roden har den første grad.
Vi bygger en skitse af grafen i nærheden af roden. Vi har: da funktionens fortegn på punktet skifter fra minus til plus, er kurven først placeret under aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret over x-aksen.
Nu bygger vi en skitse af grafen for funktionen i nærheden af uendeligt fjerne punkter, det vil sige når argumentet har en tendens til plus eller minus uendeligt. I dette tilfælde kan de konstante vilkår negligeres. Vi har:
Efter at have gennemført ovenstående trin forestiller vi os allerede grafen for funktionen, men vi skal forfine den ved hjælp af den afledede.
Dit privatliv er vigtigt for os. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Læs venligst vores privatlivspolitik og lad os vide, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere en bestemt person eller kontakte ham.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du efterlader en anmodning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse osv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig og rapportere unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og beskeder.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende salgsfremmende begivenhed, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere disse programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysninger modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retskendelse, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder på Den Russiske Føderations territorium - at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af sikkerhedsmæssige, retshåndhævende eller andre samfundsvigtige årsager.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante tredjepart - den juridiske efterfølger.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug samt mod uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekt for dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, bringer vi reglerne om fortrolighed og sikkerhed til vores medarbejdere og overvåger strengt implementeringen af fortrolighedsforanstaltninger.
I denne lektion vil vi overveje teknikken til at konstruere en skitse af en funktionsgraf, vi vil give forklarende eksempler.
Emne: Gentagelse
Lektion: Skitsering af en graf for en funktion (ved hjælp af eksemplet med en brøk-kvadratfunktion)
Vores mål er at skitsere en graf af den brøk-kvadratfunktion. Lad os f.eks. tage en funktion, vi allerede kender:
Der gives en brøkfunktion, i hvis tæller og nævner der er kvadratiske funktioner.
Skitseteknikken er som følger:
1. Lad os vælge intervaller for tegnkonstans og definere tegnet for funktionen på hver (figur 1)
Vi undersøgte i detaljer og fandt ud af, at en funktion, der er kontinuert i ODZ'en, kun kan ændre fortegn, når argumentet passerer gennem ODZ'ens rødder og brudpunkter.
Den givne funktion у er kontinuerlig i sin ODZ, lad os angive ODV:
Lad os finde rødderne:
Lad os vælge konstante intervaller. Vi fandt funktionens rødder og definitionsdomænets brudpunkter - nævnerens rødder. Det er vigtigt at bemærke, at funktionen bevarer tegnet inden for hvert interval.
Ris. 1. Konstansintervaller for funktionen
For at bestemme tegnet for en funktion ved hvert interval kan du tage ethvert punkt, der hører til intervallet, erstatte det med funktionen og bestemme dets fortegn. For eksempel:
Funktionen har et plustegn på intervallet
Funktionen har et minustegn på intervallet.
Dette er fordelen ved intervalmetoden: Vi bestemmer fortegnet ved et enkelt prøvepunkt og konkluderer, at funktionen vil have det samme fortegn over hele det valgte interval.
Det er dog muligt at indstille fortegnene automatisk uden at beregne værdierne for funktionen; for dette skal du bestemme tegnet i det ekstreme interval og derefter skifte fortegnene.
1. Lad os bygge en graf i nærheden af hver rod. Husk, at rødderne til denne funktion og:
Ris. 2. Graf i nærheden af rødderne
Da funktionens fortegn på punktet skifter fra plus til minus, er kurven først placeret over aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret under x-aksen. På det punkt er det modsatte sandt.
2. Lad os konstruere en graf i nærheden af hver diskontinuitet i ODZ. Husk, at rødderne af nævneren for denne funktion og:
Ris. 3. Grafen for funktionen i nærheden af SDS'ens diskontinuitetspunkter
Når enten nævneren af en brøk er praktisk talt nul, betyder det, at når værdien af argumentet har tendens til disse tal, har brøkens værdi en tendens til uendelig. I dette tilfælde, når argumentet nærmer sig tredobbelt til venstre, er funktionen positiv og har en tendens til plus uendeligt, til højre er funktionen negativ og går ud af minus uendelig. Omkring fire, tværtimod, til venstre har funktionen en tendens til minus uendelig, og til højre forlader den plus uendelig.
Ifølge den konstruerede skitse kan vi med nogle intervaller gætte funktionens adfærd.
Ris. 4. Skitsér funktionsgraf
Overvej følgende vigtige opgave - at bygge en skitse af grafen for en funktion i nærheden af uendeligt fjerne punkter, dvs. når argumentet nærmer sig plus eller minus uendeligt. I dette tilfælde kan de konstante vilkår negligeres. Vi har:
Nogle gange kan du finde sådan en optegnelse over dette faktum:
Ris. 5. Skitse af grafen for funktionen i nærheden af uendeligt fjerne punkter
Vi har fået en tilnærmet karakter af funktionens adfærd over hele dens definitionsdomæne, så skal vi forfine konstruktionerne ved hjælp af den afledede.
Eksempel 1 - Tegn en graf for en funktion:
Vi har tre punkter, når vi sender argumentet, hvorigennem funktionen kan skifte fortegn.
Bestem fortegnene for funktionen ved hvert interval. Vi har et plus på det yderste højre interval, så skifter tegnene, da alle rødder har første grad.
Vi bygger en skitse af grafen i nærheden af ODZ'ens rødder og knækpunkter. Vi har: da funktionens fortegn på punktet skifter fra plus til minus, er kurven først placeret over aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret under x-aksen. Når enten nævneren af en brøk er praktisk talt nul, betyder det, at når værdien af argumentet har tendens til disse tal, har brøkens værdi en tendens til uendelig. I dette tilfælde, når argumentet nærmer sig minus to til venstre, er funktionen negativ og har en tendens til minus uendelig, til højre er funktionen positiv og går ud af plus uendelig. Omkring to er ens.
Lad os finde den afledede af funktionen:
Det er klart, at den afledede altid er mindre end nul, derfor falder funktionen i alle sektioner. Så i sektionen fra minus uendeligt til minus to, falder funktionen fra nul til minus uendelig; i sektionen fra minus to til nul falder funktionen fra plus uendeligt til nul; i området fra nul til to falder funktionen fra nul til minus uendelig; i området fra to til plus uendeligt falder funktionen fra plus uendeligt til nul.
Lad os illustrere:
Ris. 6. Skitse af funktionsgrafen for eksempel 1
Eksempel 2 - Tegn en graf for en funktion:
Vi bygger en skitse af grafen for funktionen uden at bruge den afledede.
Lad os først undersøge den givne funktion:
Vi har et enkelt punkt, når vi sender argumentet, hvorigennem funktionen kan skifte fortegn.
Bemærk, at den givne funktion er ulige.
Bestem fortegnene for funktionen ved hvert interval. Vi har et plus på det yderste højre interval, så skifter fortegnet, da roden har den første grad.
Vi bygger en skitse af grafen i nærheden af roden. Vi har: da funktionens fortegn på punktet skifter fra minus til plus, er kurven først placeret under aksen, går derefter gennem nul og er derefter placeret over x-aksen.
Nu bygger vi en skitse af grafen for funktionen i nærheden af uendeligt fjerne punkter, dvs. når argumentet nærmer sig plus eller minus uendeligt. I dette tilfælde kan de konstante vilkår negligeres. Vi har:
Efter at have gennemført ovenstående trin forestiller vi os allerede grafen for funktionen, men vi skal forfine den ved hjælp af den afledede.
Lad os finde den afledede af funktionen:
Vi fremhæver intervallerne for konstans for den afledte: kl. ODZ her. Således har vi tre konstantintervaller for den afledte og tre sektioner af monotoni af den oprindelige funktion. Lad os bestemme fortegnene for den afledede på hvert interval. Hvornår den afledte er positiv, funktionen øges; når den afledede er negativ, falder funktionen. I dette tilfælde er punktet minimum, da den afledte skifter fortegn fra minus til plus; tværtimod det maksimale point.