, [−5π / 2; −3π / 2],. ... ... - i et ord, på alle segmenter [−π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], hvor k Z, og falder på alle segmenter

[π/2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], hvor n Z.

Opgave 11.6. På hvilke intervaller øges funktionen y = cos x og med hvilke intervaller?

Opgave 11.8. Arranger i stigende rækkefølge: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafer over tangent og cotangens

Lad os bygge en graf over funktionen y = tg x. Lad os først konstruere det for tal x, der hører til intervallet (−π / 2; π / 2).

Hvis x = 0, så er tg x = 0; når x stiger fra 0 til π / 2, stiger tan x også - det kan ses, hvis man ser på tangentaksen (fig. 12.1 a). Når x nærmer sig π / 2, forbliver mindre

Ris. 12.2. y = tg x.

π / 2, øges værdien af ​​tan x (punkt M i fig. 12.1 a løber højere og højere væk) og kan naturligvis blive et vilkårligt stort positivt tal. På samme måde, når x falder fra 0 til −π / 2, bliver tan x et negativt tal, hvis absolutte værdi stiger, når x nærmer sig −π / 2. For x = π / 2 eller −π / 2 er funktionen tan x udefineret. Derfor ser grafen y = tan x ved x (−π / 2; π / 2) ud omtrent som i fig. 12,1 b.

I nærheden af ​​koordinaternes begyndelse er vores kurve tæt på den rette linje y = x x: for små spidse vinkler er den omtrentlige lighed tg x ≈ x sand. Vi kan sige, at den rette linje y = x rører grafen for funktionen y = tg x ved origo. Desuden er kurven i figur 12.1b symmetrisk om origo. Dette forklares ved, at funktionen y = tg x er ulige, det vil sige, at identiteten tg (−x) = - tg x er opfyldt.

For at plotte funktionen y = tg x for alle x, skal du huske, at tg x er en periodisk funktion med en periode på π. For at få en komplet graf over funktionen y = tg x er det derfor nødvendigt at gentage uendeligt mange gange kurven i fig. 12.1 b, der overfører det langs abscissen til afstanden πn, hvor n er et heltal. Den endelige form af grafen for funktionen y = tg x er vist i fig. 12.2.

Ifølge grafen ser vi igen, at funktionen y = tg x

Ris. 12.3. y = ctg x.

ikke defineret for x = π / 2 + πn, n Z, det vil sige for de x, for hvilke cos x = 0. Lodrette linjer med ligningerne x = π / 2, 3π / 2 ,. ... ... de grene af grafen, der nærmer sig, kaldes grafasymptoter.

Samme fig. 12.2 har vi afbildet løsninger af ligningen tg x = a.

Lad os bygge en graf over funktionen y = ctg x. Den nemmeste måde er ved at bruge reduktionsformlen ctg x = tg (π / 2 - x), at få denne graf fra grafen for funktionen y = tg x ved hjælp af transformationer som dem, vi beskrev i det foregående afsnit. Resultatet er vist i fig. 12.3

Opgave 12.1. Grafen for funktionen y = ctg x er hentet fra grafen for funktionen y = tg x ved hjælp af symmetri om en ret linje. Hvilken en? Er der andre lige linjer med den angivne egenskab?

Opgave 12.2. Hvordan ser ligningen for en ret linje, der berører grafen for funktionen y = ctg x ud i et punkt med koordinater (π / 2; 0)?

Opgave 12.3. Sammenlign tallene: a) tg (13π / 11) og tg 3,3π; b) tan 9,6π og ctg (−11,3π).

Opgave 12.4. Arranger tallene i stigende rækkefølge: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Opgave 12.5. Plot funktionsgrafer:

Opgave 12.7. Plot funktionen y = arctan x + arctan (1 / x).

§ 13. Hvad er sin x + cos x?

I dette afsnit vil vi forsøge at løse følgende problem: hvad er den største værdi, som udtrykket sin x + cos x kan tage?

Hvis du tænkte rigtigt, skulle du have fundet ud af, at af alle x i denne tabel er den største værdi sin x + cos x

opnås for x tæt på 45◦ eller, i radianmål, til π / 4.

Hvis x = π / 4, er den nøjagtige værdi af sin x + cos x 2. Det viser sig, at vores eksperimentelt opnåede resultat er

er faktisk sandt: for alle x er uligheden sin x + cos x 6

2, så 2 er den største værdi, der accepteres af dette udtryk.

Vi mangler stadig midlerne til at bevise denne ulighed på den mest naturlige måde. Indtil videre vil vi vise dig, hvordan du reducerer det til et planimetriproblem.

Hvis 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Derfor omformuleres vores opgave som følger: at bevise, at summen af ​​benlængderne i en retvinklet trekant med hypotenusen 1 vil være maksimal, hvis denne trekant er ligebenet.

Opgave 13.1. Bevis denne erklæring.

Da en ligebenet retvinklet trekant med en hy-

Potentiale 1 summen af ​​længderne af benene er lig med 2√, resultatet af dette problem indebærer uligheden sin x + cos x 6 2 for alle x, der ligger i intervallet (0; π / 2). Heraf er det allerede let at konkludere, at denne ulighed gælder for alle x generelt.

Resultatet af opgave 13.1 gælder ikke kun for retvinklede trekanter.

Opgave 13.2. Bevis, at blandt alle trekanter med givet side AC og vinkel B vil den største sum AB + BC være for en ligebenet trekant med basis AC.

Lad os gå tilbage til trigonometri.

Opgave 13.3. Brug sinustabellen fra § 3 til at plotte funktionen y = sin x + cos x punkt for punkt.

Tegn. Husk at x skal udtrykkes i radianer; for x-værdier uden for intervallet, brug cast-formlerne.

Hvis du gjorde alt korrekt, skulle du have en sinuslignende kurve. Vi vil se senere, at denne kurve ikke kun er ens, men en sinusformet. Vi vil også lære, hvordan man finder de største værdier af udtryk som 3 sin x + 4 cos x (i øvrigt er grafen for funktionen y = 3 sin x + 4 cos x også en sinusformet!).

Denne video tutorial dækker egenskaberne af funktioner y =tgx, y = ctgx, viser, hvordan man bygger deres grafer.

Videotutorialen starter med at se på funktionen y =tgx.

Funktionens egenskaber er fremhævet.

1) Funktionens omfang y =tgx alle reelle tal er navngivet, undtagen x =π / 2 + 2 πk. De der. der er ingen punkter på grafen, der hører til en ret linje x =π / 2 og x = -π / 2, og også x = 3π / 2 og så videre (med samme frekvens). Derfor grafen for funktionen y =tgx vil bestå af et uendeligt antal grene, der vil være i intervallerne mellem de rette linjer x = - 3π / 2 og x = -π / 2, x = -π / 2 og x = π / 2 og så videre.

2) Funktion y =tgx er periodisk, hvor hovedperioden er π. Dette bekræfter ligestillingen tg (x - π ) = tg x =tg (x +π ) . Disse ligheder blev undersøgt tidligere, forfatteren inviterer eleverne til at huske dem, hvilket indikerer, at for enhver acceptabel værdi t lighederne er sande:

tg (t + π ) = tg t og c tg (t +π ) = ctg t... En konsekvens af disse ligheder er, at hvis en gren af ​​grafen for funktionen y = tg x mellem lige linjer x = - π / 2 og x= π / 2, så kan de resterende grene opnås ved at flytte denne gren langs x-aksen med π, 2π og så videre.

3) Funktion y =tgx er mærkeligt fordi . tg (- x) =- tg x.

Lad os derefter gå videre til at plotte funktionen y =tgx. Som det følger af egenskaberne af funktionen beskrevet ovenfor, funktionen y =tgx periodisk og ulige. Derfor er det nok at bygge en del af grafen - en gren i et interval, og derefter bruge symmetrien til overførsel. Forfatteren giver en tabel, hvor værdierne beregnes tgx til bestemte værdier x for mere nøjagtig plotning. Disse punkter er markeret på koordinataksen og forbundet med en glat linje. Fordi grafen er symmetrisk omkring oprindelsen, så er den samme gren konstrueret, symmetrisk med oprindelsen. Som et resultat får vi en gren af ​​grafen y =tgx. Yderligere, ved at bruge et skift langs x-aksen med π, 2 π og så videre, opnås en graf y =tgx.

Funktionsgraf y =tgx kaldes tangentoiden, og de tre grene af grafen vist på figuren er tangentoidens hovedgrene.

4) Funktion y =tgx med hvert af intervallerne (- +; +) stiger.

5) Funktionsgraf y =tgx har ingen øvre eller nedre begrænsninger.

6) Funktion y =tgx har ikke den største og mindste betydning.

7) Funktion y =tgx kontinuerlig på ethvert interval (- - π / 2 + π; π / 2 + π). Den rette linie π / 2 + π kaldes asymptoten af ​​funktionens graf y =tgx siden på disse punkter er grafen for funktionen afbrudt.

8) Et sæt funktionsværdier y =tgx alle reelle tal er navngivet.

Følgende videotutorial giver et eksempel: løs en ligning med tgx... For at løse, plotter vi 2 grafer af funktionen på og find skæringspunkterne for disse grafer: dette er et uendeligt sæt punkter, hvis abscisser afviger med πk. Roden til denne ligning vil være x= π / 6 + πk.

Overvej grafen for funktionen y =ctgx. Funktionsgrafen kan plottes på to måder.

Den første metode går ud på at plotte en graf på samme måde som at plotte en graf. funktion y =tgx. Lad os bygge en gren af ​​funktionens graf y = ctgx mellem lige linjer x= 0 og x= π. Derefter vil vi ved hjælp af symmetri og periodicitet bygge andre grene af grafen.

Den anden måde er enklere. Funktionsgraf y = ctgx kan opnås ved at transformere tangentoider ved hjælp af reduktionsformlen Medtgx = - tg (x +π / 2). For at gøre dette flytter vi en gren af ​​funktionens graf y = tgx langs abscisse-aksen med π / 2 til højre. De resterende grene opnås ved at flytte denne gren langs x-aksen med π, 2π og så videre. Funktionsgraf y = ctg x kaldes også en tangentoid, og grenen af ​​grafen i intervallet (0; π) er tangentoidens hovedgren.

TEKSTKODE:

Vi vil overveje egenskaberne for funktionen y = tg x (y = tangent x), y = ctg x (y = cotangens x), bygge deres grafer. Overvej funktionen y = tgx

Før vi plotter funktionen y = tg x, nedskriver vi egenskaberne for denne funktion.

EGENSKAB 1. Domænet for funktionen y = tan x er alle reelle tal, undtagen tal på formen x = + πk (x er lig med summen af ​​pi med to og pi ka).

Det betyder, at på grafen for denne funktion er der ingen punkter, der hører til den rette linje x = (vi får, hvis k = 0 ka er lig med nul) og den rette linje x = (x er lig med minus pi med to) (vi får, hvis k = - 1 ka er lig med minus én), og den rette linje x = (x er lig med tre pi gange to) (vi får, hvis k = 1 ka er lig med én), osv. Så grafen for funktionen y = tg x vil bestå af et uendeligt sæt af grene, der vil være i intervallerne mellem rette linjer. Nemlig i striben mellem x = og x = -; i strimlen x = - og x =; i strimlen x = og x = og så videre ad infinitum.

EGENSKAB 2. Funktionen y = tan x er periodisk med hovedperioden π. (Da den dobbelte lighed er sand

tan (x- π) = tanx = tan (x + π) tangens af x minus pi er lig tangens af x og er lig tangens af x plus pi). Vi overvejede denne lighed, da vi studerede tangent og cotangens. Lad os minde ham om:

For enhver tilladt værdi af t er lighederne sande:

tg (t + π) = tgt

ctg (t + π) = ctgt

Det følger af denne lighed, at vi ved at konstruere en gren af ​​grafen for funktionen y = tg x i intervallet fra x = - og x = opnår de resterende grene ved at forskyde den konstruerede gren langs X-aksen med π, 2π , og så videre.

EGENSKAB 3. Funktionen y = tg x er en ulige funktion, da ligheden tg (- x) = - tg x er sand.

Lad os konstruere en graf for funktionen y = tg x

Da denne funktion er periodisk, består af et uendeligt sæt grene (i strimlen mellem x = og x =, samt i strimlen mellem x = og x = osv.) og er ulige, så konstruerer vi en del af grafen efter punkter på intervallet fra nul til pi gange to (), brug derefter symmetrien af ​​oprindelsen og periodiciteten.

Lad os bygge en tabel med tangentværdier til plotning.

Vi finder det første punkt: vel vidende at ved x = 0 tg x = 0 (x lig nul er tangenten x også lig nul); det næste punkt: ved x = tg x = (x er lig med pi med seks tangent x er lig med roden af ​​tre til tre); Bemærk følgende punkter: ved x = tg x = 1 (x er lig med pi med fire tangent x er lig med en), og ved x = tan x = (x lig med pi med tre tangent x er lig med kvadratroden af tre). Markering af de opnåede punkter på koordinatplanet og forbind dem med en glat linje (fig. 2).

Da grafen for funktionen er symmetrisk omkring origo, vil vi konstruere den samme gren symmetrisk i forhold til origo. (fig. 3).

Og endelig, ved at anvende periodicitet, får vi en graf over funktionen y = tg x.

Vi har bygget en gren af ​​grafen for funktionen y = tg x i striben fra x = - og x =. Vi bygger de resterende grene ved at flytte den konstruerede gren langs X-aksen med π, 2π og så videre.

Den plottede graf kaldes tangentoiden.

Den del af tangentoiden vist i figur 3 kaldes tangentoidens hovedgren.

Ud fra grafen vil vi også nedskrive egenskaberne for denne funktion.

EGENSKAB 4. Funktionen y = tan x øges i hvert af intervallerne (fra minus pi med to plus pi til pi med to plus pi).

EGENSKAB 5. Funktionen y = tg x er ikke afgrænset over eller under.

EGENSKAB 6. Funktionen y = tan x har hverken den største eller den mindste værdi.

EGENSKAB 7. Funktionen y = tan x er kontinuerlig på ethvert interval af formen (fra minus pi gange to plus pi til pi gange to plus pi ka).

Den rette linie på formen x = + πk (x er lig med summen af ​​pi med to og p ka) er den lodrette asymptote af funktionens graf, da funktionen i punkterne på formen x = + πk har en diskontinuitet.

EGENSKAB 8. Værdisættet for funktionen y = tg x er alle reelle tal, det vil sige (e fra eff er lig med intervallet fra minus uendeligt til plus uendeligt).

EKSEMPEL 1. Løs ligningen tg x = (tangens x er lig med roden af ​​tre gange tre).

Opløsning. Lad os konstruere graferne for funktionerne y = tg x i ét koordinatsystem

(spillet er lig med tangenten af ​​x) og y = (spillet er lig med roden af ​​tre divideret med tre).

Vi fik uendeligt mange skæringspunkter, hvis abscisser adskiller sig fra hinanden med πk (pi ka) Da tg x = ved x =, er abscissen af ​​skæringspunktet på hovedgrenen (pi med seks).

Vi skriver alle løsninger af denne ligning med formlen x = + πk (x er lig med pi gange seks plus pi ka).

Svar: x = + πk.

Lad os bygge en graf over funktionen y = ctg x.

Lad os overveje to måder at bygge på.

Den første måde svarer til at plotte funktionen y = tg x.

Da denne funktion er periodisk, består af et uendeligt sæt grene (i striben mellem x = 0 og x = π, samt i striben mellem x = π og x = 2π osv.) og er ulige, så vi vil konstruere en del af grafen efter punkter på intervallet fra nul til pi med to (), så bruger vi symmetri og periodicitet.

Lad os bruge tabellen med cotangensværdier til at plotte grafen.

Markering af de opnåede punkter på koordinatplanet og forbind dem med en glat linje.

Da grafen for funktionen er symmetrisk i forhold til, vil vi konstruere den samme gren symmetrisk.

Vi anvender periodicitet, vi får en graf over funktionen y = ctg x.

Vi har bygget en gren af ​​grafen for funktionen y = ctg x i striben fra x = 0 og x = π. Vi bygger de resterende grene ved at flytte den konstruerede gren langs x-aksen med π, - π, 2π, - 2π, og så videre.

Anden vej plotte funktionen y = ctg x.

Den nemmeste måde at få grafen for funktionen y = ctg x på er ved at transformere tangentoiden ved hjælp af reduktionsformlen (cotangensen x er lig med minus tangenten af ​​summen af ​​x og pi med to).

I dette tilfælde forskyder vi først grenen af ​​grafen for funktionen y = tg x langs abscisseaksen til højre, vi får

y = tg (x +), og så udfører vi symmetrien af ​​den resulterende graf om abscisseaksen. Resultatet vil være en gren af ​​grafen for funktionen y = ctg x (fig. 4). Når vi kender én gren, kan vi bygge hele grafen ved at bruge funktionens frekvens. Vi bygger de resterende grene ved at flytte den konstruerede gren langs x-aksen med π, 2π og så videre.

Grafen for funktionen y \ u003d ctg x kaldes også tangentoiden, ligesom grafen for funktionen y \ u003d tg x. Grenen, som er indesluttet i intervallet fra nul til pi, kaldes hovedgrenen af ​​grafen for funktionen y = ctg x.

Centreret ved punkt A.
α er vinklen udtrykt i radianer.

Tangent ( tg α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det modsatte ben | BC | til længden af ​​det tilstødende ben | AB | ...

Cotangens ( ctg α) er en trigonometrisk funktion afhængig af vinklen α mellem hypotenusen og benet i en retvinklet trekant, lig med forholdet mellem længden af ​​det tilstødende ben AB | til længden af ​​det modsatte ben | BC | ...

Tangent

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur betegnes tangent som følger:
.
;
;
.

Plot af tangentfunktionen, y = tg x

Cotangens

Hvor n- hel.

I vestlig litteratur er cotangensen betegnet som følger:
.
Følgende betegnelser vedtages også:
;
;
.

Cotangens funktion graf, y = ctg x

Tangent og Cotangens egenskaber

Periodicitet

Funktioner y = tg x og y = ctg x periodisk med en periode på π.

Paritet

Tangent- og cotangensfunktionerne er ulige.

Domæner og værdier, stigende, faldende

Tangent- og cotangensfunktionerne er kontinuerte på deres definitionsdomæne (se beviset for kontinuitet). Hovedegenskaberne for tangent og cotangens er præsenteret i tabellen ( n- hel).

Formler

Udtryk i form af sinus og cosinus

; ;
; ;
;

Formler for tangent og cotangens af sum og difference

Resten af ​​formlerne er lette at få f.eks

Produkt af tangenter

Formel for sum og forskel af tangenter

Denne tabel viser værdierne af tangenter og cotangenter for nogle værdier af argumentet.

Udtryk i form af komplekse tal

Udtryk i form af hyperbolske funktioner

;
;

Derivater

; .

.
Afledt af n-te orden med hensyn til variablen x af funktionen:
.
Afledning af formler for tangent>>>; for cotangens >>>

Integraler

Serieudvidelser

For at opnå en udvidelse af tangenten i potenser af x skal du tage flere led af udvidelsen i en potensrække for funktionerne synd x og fordi x og dividere disse polynomier med hinanden,. Dette giver følgende formler.

kl.

kl.
hvor B n- Bernoulli tal. De bestemmes enten ud fra gentagelsesrelationen:
;
;
hvor .
Eller ifølge Laplace-formlen:

Omvendte funktioner

De omvendte funktioner af tangent og cotangens er henholdsvis buetangens og buecotangens.

Arctangens, arctg

, hvor n- hel.

Arccotangens, arcctg

, hvor n- hel.

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved tekniske institutioner, "Lan", 2009.
G. Korn, A Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.