Ligevægtspositionerne af lineære autonome systemer. Equilibrium Tel.
Klasse: 10
Præsentation til lektionen
Tilbage fremad
Opmærksomhed! Preview dias bruges udelukkende til informative formål og må ikke give ideer om alle præsentationsfunktioner. Hvis du er interesseret i dette arbejde, skal du downloade den fulde version.
Mål lektion:Undersøg balancen af \u200b\u200bligevægtsorganer, for at blive bekendt med forskellige typer ligevægte; Find ud af de betingelser, hvor kroppen er i ligevægt.
Opgaver lektion:
- Uddannelse:Undersøg to ligevægtsforhold, ligevægtstyper (bæredygtig, ustabil, ligeglad). For at finde ud af under hvilke forhold kroppen er mere stabil.
- Udvikling:Fremme udviklingen af \u200b\u200bkognitiv interesse for fysik. Udvikling af færdigheder til at sammenligne, generalisere, tildele det vigtigste, drage konklusioner.
- Uddannelsesmæssige:Uddannelse, evnen til at udtrykke dit synspunkt og forsvare det, udvikle de kommunikative evner hos eleverne.
Type lektion:lektion studerer nyt materiale med computersupport.
Udstyr:
- Disk "arbejde og strøm" fra "elektroniske lektioner og tests.
- Bord "ligevægtsbetingelser".
- Prisme forlader med en plumb.
- Geometriske legemer: Cylinder, Cube, Cone, etc.
- Computer, multimedieprocket, interaktivt bord eller skærm.
- Præsentation.
Under klasserne.
I dag vil vi ved lektionen finde ud af, hvorfor løftekranen ikke falder, hvorfor legetøjet "Vanka-stand" altid vender tilbage til sin oprindelige tilstand, hvorfor falder ikke Pisa Tower?
I. Gentagelse og aktualisering af viden.
- Formulere den første newton lov. Hvilken tilstand er angivet i loven?
- Hvilket spørgsmål besvarer anden lov Newton? Formel og ordlyd.
- Hvilket spørgsmål er Newton's tredje lov? Formel og ordlyd.
- Hvad hedder den resulterende kraft? Hvordan er det placeret?
- Fra disken "Bevægelse og interaktion af kroppens", for at fuldføre opgav nummer 9 "Enucting Forces med forskellige retninger" (vektor tilsætning af vektorer (2, 3 øvelser)).
II. Studere et nyt materiale.
1. Hvad hedder ligevægt?
Ligevægt er en hvilestatus.
2. Egnibibriumforhold.(Slide 2)
a) Hvornår er kroppen alene? Hvilken lov er det følger?
Første ligevægtstilstand:Kroppen er i ligevægt, hvis den geometriske sum af de ydre kræfter påført kroppen er nul. Σf \u003d 0.
b) Lad to lige effektlov på tavlen som vist i figuren.
Vil hun være i ligevægt? (Nej, hun vil vende)
Kun centerpunktet er placeret alene, og resten bevæger sig. Det betyder, at kroppen er i ligevægt, det er nødvendigt, at summen af \u200b\u200balle kræfter, der virker på hvert element, er 0.
Den anden ligevægtstilstand: Summen af \u200b\u200bde øjeblikke i de kræfter, der virker med uret, bør være lig med summen af \u200b\u200bde øjeblikke i de kræfter, der virker mod uret.
Σ m med uret \u003d σ m mod uret
Power Mome: M \u003d F L
L - skulderstyrke - den korteste afstand fra støttens punkt til handlingslinjen.
3. Kravens tyngdepunkt og dets fund.(Slide 4)
Center for Gravity Body - Dette er et punkt, hvorigennem det resulterende af alle parallelle tyngdekraftskræfter, der virker på individuelle elementer i kroppen (med en hvilken som helst position af kroppen i rummet).
Find tyngdepunktet for de følgende figurer:
4. Typer af ligevægt.
men) (dias 5-8)
Produktion: Ligevægt er støt, hvis der med en lille afvigelse fra ligevægtspositionen er en kraft, der søger at returnere den til denne position.
En støt position, hvori den potentielle energi er minimal. (Slide 9)
b) Stabiliteten af \u200b\u200bde organer, der ligger på støttens punkt eller på støttelinjen. (dias 10-17)
Produktion:For modstanden af \u200b\u200bkroppen placeret på et tidspunkt eller støtte linjen er det nødvendigt, at tyngdepunktet er under plotpunktet (linje).
c) Stabiliteten af \u200b\u200borganer på en flad overflade.
(Slide 18)
1) Overfladeunderstøttelse - Dette er ikke altid en overflade, der kommer i kontakt med kroppen (og den, der er begrænset til linjerne, der forbinder fødderne af bordet, stativene)
2) Verselektion af diaset fra "elektroniske lektioner og test", disk "arbejde og strøm", lektion "typer af ligevægt".
Billede 1.
- Hvilke forskellige afføring? (Support Square)
- Hvilken er mere stabil? (Med et større område)
- Hvilke forskellige afføring? (Placering af tyngdepunktet)
- Hvilken er mest stabil? (Vælger tyngdepunktet nedenfor)
- Hvorfor? (Fordi det kan afvises til en større vinkel uden tipping)
3) Erfaring med discious afvigende
- Vi sætter et prisme med en plumb på tavlen og begynder gradvist at hæve den for en kant. Hvad ser vi?
- Mens plumblinjen krydser overfladen afgrænset af støtten, bevares balancen. Men så snart den lodrette passerer gennem tyngdepunktet, begynder at gå ud over grænserne for overfladen af \u200b\u200bstøtten, hylderen ruller over.
Parse glider 19-22..
Konklusioner:
- Bæredygtigt, kroppen, som har mere støtteområde.
- Af de to kroppe af samme område, den krop, som tyngdepunktet er under, fordi Det kan afvises uden at tippe til en stor vinkel.
Parse glider 23-25.
Hvilke skibe er mest stabile? Hvorfor? (Hvis last er placeret i holdene, og ikke på dækket)
Hvilke biler er mest stabile? Hvorfor? (For at øge stabiliteten af \u200b\u200bmaskiner på drejninger, læringsvejen til ned i rotationsretningen.)
Konklusioner:Equilibrium kan være stabil, ustabil, ligeglad. Stabiliteten af \u200b\u200borganerne er jo større jo større er støttens område og under tyngdepunktet.
III. Anvendelse af viden om stabilitet tlf.
- Hvilke specialiteter er den mest nødvendige viden om ligevægtsorganer?
- Designere og designere af forskellige strukturer (højhuse bygninger, broer, tv-tårne \u200b\u200bosv.)
- Cirkus kunstnere.
- Chauffører og andre specialister.
(dias 28-30)
- Hvorfor vender "Vanka-stand" tilbage til ligevægtspositionen i en hvilken som helst hældning af legetøjet?
- Hvorfor står Pisa Tower under vippen og falder ikke?
- Hvordan bevarer ligevægtscyklister og motorcyklister?
Konklusioner fra lektionen:
- Der er tre typer ligevægte: bæredygtige, ustabile, ligeglade.
- Stabil kropsposition, hvori dens potentielle energi er minimal.
- Stabiliteten af \u200b\u200borganer på en plan overflade er jo større, desto større understøttes støtteområdet og under tyngdepunktet.
Lektier: § 54. – 56 (G.YA. Myakyshev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky)
Brugte kilder og litteratur:
- G.ya. Myakyshev, b.b. Bukhovtsev, n.n.sotsky. Fysik. Grade 10.
- Filter "stabilitet" af 1976 (scannet af mig på filmscanneren).
- Disk "bevægelse og interaktion af organer" fra "elektroniske lektioner og test".
- Disk "arbejde og strøm" fra "elektroniske lektioner og test".
Hovedtyper af ligevægtspunkter
Lad et lineært homogent andet ordenssystem med konstante koefficienter: \\ [\\ VENSTRE \\ (\\ BEGIN (ARRAY) (L) \\ FRAC ((DX)) ((DT)) \u003d ((A_ (11)) X + (A_ ( 12)) Y \\\\ \\ frac ((DY)) ((DT)) \u003d (A_ (21)) X + (A_ (22)) Y \\ End (Array) \\ Højre .. \\] Dette system af ligninger er autonom , da de rigtige dele af ligningerne ikke udtrykkeligt indeholder en uafhængig variabel \\ (t. \\)
I matrixform registreres systemet med ligninger som \\ [(\\ MathBF (X ") \u003d A \\ MathBF (X), \\; \\; \\ Tekst (hvor) \\; \\; \\ Mathbf (x) \u003d \\ Venstre ( (\\ begynder (array) (* (20) (c)) x \\\\ y \\ end (array)) \\ højre),) \\; \\; (a \u003d \\ venstre ((\\ begynder (array) (* (20 ) (C)) ((A_ (11))) & (((A_ (12))) \\\\ (((litra 21))) & ((A_ (22))) \\ End (array)) \\ Højre ).) \\] Ligevægtspositionerne er fra løsningen af \u200b\u200bden stationære ligning \\ Denne ligning har en enkelt opløsning \\ (\\ MathBF (X) \u003d \\ MathBF (0), \\), hvis matrixen \\ (A \\) er ikke-degenereret . under betingelsen \\ (\\ det a \\ ne 0. \\) i tilfælde degenereret matrix Systemet har et uendeligt sæt ligevægtspunkter.
Klassificeringen af \u200b\u200bligevægtspositioner bestemmes egen mening \\ ((\\ lambda _1), (\\ lambda _2) \\) matricer \\ (A. \\) numre \\ ((\\ lambda _1), (\\ lambda _2) \\) er fra løsningen karakteristisk ligning \\ [(\\ lambda ^ 2) - \\ venstre ((((((((11)) + (((A_ (22))) \\ Højre) \\ Lambda + (A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) (A_ (21)) \u003d 0. \\] I det generelle tilfælde, når matrixen \\ (A \\) er nondegenereret, eksisterer der \\ (4 \\) forskellige typer ligevægtspunkter:
Stabilitet af ligevægtspositioner bestemmes fælles bæredygtighed teorems. . Så hvis gyldige egenværdier (eller gyldige dele af komplekse egne værdier) er negative, er punktet for ligevægt asymptotisk bæredygtig . Eksempler på sådanne ligevægtsbestemmelser er stabil fokus. .
Hvis den faktiske del af mindst en egenvalitet er positiv, så er den tilsvarende ligevægtsposition ustabil . For eksempel kan det være.
Endelig er i tilfælde af rent imaginære rødder (ligevægtspunktet centrum ) Vi har at gøre med klassisk stabilitet i form af Lyapunov .
Vores videre mål er at udforske løsningernes adfærd i nærheden af \u200b\u200bligevægtsbestemmelserne. For systemer \\ (2 \\) - thro 'er praktisk at gøre grafisk med fase portræt repræsenterer en totalitet. fase Traectories. på koordinatplanet. Pilene på faseveje viser bevægelsesretningen for punktet (dvs. nogle specifikke tilstand af systemet) over tid.
Overvej mere detaljeret hver type ligevægtspunkt og de tilsvarende faseportrætter.
Bæredygtig og ustabil node
Egne værdier \\ (((\\ lambda _1), (\\ lambda _2)) \\) Punkter af type "node" opfylde betingelserne: \\ [lambda _1), (\\ lambda _2) \\ i \\ re, \\; \\; (\\ Lambda _1) \\ cdot (\\ lambda _2)\u003e 0. \\] Følgende særlige tilfælde kan opstå her.
Roots \\ ((((\\ lambda _1), (\\ lambda _2)) \\) forskellige \\ (\\ venstre ((((\\ lambda _1) \\ ne (\\ lambda _2)) \\ højre) \\) og negativ \\ (\\ venstre ( ((\\ lambda _1)
Vi konstruerer et skematisk fase portræt af et sådant ligevægtspunkt. Lad for definiteness \\ (\\ venstre | ((\\ lambda _1)) \\ højre |
Da begge egenværdier er negative, er løsningen \\ (\\ MATHBF (X) \u003d \\ MATHBF (0) \\) asymptotisk stabil
. Denne ligevægtsposition kaldes bæredygtige noder
. Når \\ (t \\ til \\ infty \\), fase kurver tendens til begyndelsen af \u200b\u200bkoordinaterne \\ (\\ matemathbf (x) \u003d \\ mathbf (0). \\)
Vi klargør retningen af \u200b\u200bfasebaner. Siden \\ [(x \\ venstre (t \\ højre) \u003d (C_1) (V_ (11)) (E ^ ((\\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (12)) (E ^ ((\\ lambda _2) t)),) \\; \\; (Y \\ venstre (t \\ højre) \u003d (c_1) (v_ (21)) (E ^ ((\\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (E ^ ((\\ lambda _2) t)),) \\] det derivat \\ (\\ store \\ frac ((DY)) ((DX)) \\ Normalize \\) er lig med \\ [\\ Frac ((DY)) ((DX)) \u003d \\ Frac ( ((C_1) (V_ (21)) (\\ lambda _1) (E ^ ((\\ lambda _1) t)) + (C_2) (V_ (22)) (\\ lambda _2) (E ^ ((\\ lambda _2 ) t)))) (((c_1) (v_ (11)) (\\ lambda _1) (e ^ ((\\ lambda _1) t)) + (c_2) (v_ (12)) (\\ lambda _2) ( E ^ ((\\ lambda _2) t)))). \\] Vi deler tælleren og nævneren på \\ (((e ^ ((\\ lambda _1) t)): \\) \\ [\\ frac ((dy) ) ((DX)) \u003d \\ frac (((c_1) (v_ (21)) (\\ lambda _1) + (c_2) (v_ (22)) (\\ lambda _2) (e ^ (\\ venstre (((\\ lambda _2) - (\\ lambda _1)) \\ Højre) t)))) (((C_1) (V_ (11)) (\\ lambda _1) + (C_2) (V_ (12)) (\\ lambda _2) ( E ^ (\\ venstre (((\\ lambda _2) - (\\ lambda _1)) \\ Right) t)))). \\] I dette tilfælde \\ ((\\ lambda _2) - (\\ lambda _1)
I tilfælde af \\ (((C_1) \u003d 0 \\) er derivatet ved en hvilken som helst \\ (t \\) lig med \\ \\ frac ((DY)) ((DX)) \u003d \\ Frac (((V_ (22 (22 ))) (((V_ (12)))), \\] dvs. Fasebanen ligger på en lige linje, rettet langs sin egen vektor \\ ((\\ Mathbf (V) _2). \\)
Overvej nu adfærd af fasebaner på \\ (t \\ til - \\ infty. \\) Det er indlysende, at koordinaterne \\ (x \\ venstre (t \\ højre), y \\ venstre (t \\ højre) \\) tendens til uendelig og derivat \\ (\\ store \\ frac ((DY)) ((DX)) \\ Normalize \\) Med \\ ((C_2) \\ NE 0 \\) tager følgende formular: \\ \\ \\ FRAC ((DY)) (( DX)) \u003d \\ frac ((((c_1) (v_ (21)) (\\ lambda _1) (e ^ (\\ venstre (((\\ lambda _1) - (\\ lambda _2)) \\ højre) t)) + ( C_2) (V_ (22)) (\\ lambda _2))) (((C_1) (V_ (11)) (\\ LOVBDA _1) (E ^ (\\ VENSTRE (((\\ lambda _1) - (\\ lambda _2) ) \\ HØJRE) T)) + (C_2) (V_ (12)) (\\ LAMBDA _2))) \u003d \\ frac (((V_ (22)))) ((V_ (12)))), \\] IE. Fasekurver i uendeligt fjernpunkter bliver parallel vektor \\ ((\\ Mathbf (V) _2). \\)
Følgelig er derivatet \\ ((C_2) \u003d 0 \\) lig med \\ [\\ frac ((DY)) ((DX)) \u003d \\ frac (((V_ (21)))) (((V_ (11 )))). \\] I dette tilfælde bestemmes fasebanen af \u200b\u200bretningen af \u200b\u200bsin egen vektor \\ ((\\ MathBF (V) _1). \\)
Under hensyntagen til de betragtede egenskaber af fasebaner, faseportræt bæredygtigt node Det ser ud som vist skematisk i figur \\ (1. \\)
På samme måde kan du udforske adfærd af fasebaner og for andre typer ligevægtspositioner. Yderligere sænkning af den detaljerede analyse vil vi gennemføre de vigtigste kvalitative egenskaber ved andre ligevægtspunkter.
Roots \\ (((\\ lambda _1), (\\ lambda _2)) \\) forskellige \\ (\\ venstre ((((\\ lambda _1) \\ ne (\\ lambda _2)) \\ højre) \\) og positiv \\ (\\ venstre ( ((\\ lambda _1)\u003e 0, (\\ lambda _2))\u003e 0 \\ Right). \\)
I dette tilfælde kaldes punktet \\ (\\ Mathbf (X) \u003d \\ Mathbf (0) \\) ustabil node
. Dens fase portræt er vist i figur \\ (2. \\)
Bemærk, at i tilfælde af både en stabil og ustabil node vedrører fasebaner til en lige linje, som er rettet langs sin egen vektor svarende til en mindre værdi af sin egen værdi \\ (\\ lambda. \\)
Dicritic knot
Lad den karakteristiske ligning have en nul rod af multiplicitet \\ (2, \\) dvs. Overvej sagen \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda) \\ ne 0. \\) I dette tilfælde har systemet grundlaget for to egenvektorer, dvs. Den geometriske multiplikation af egenvalued \\ (\\ lambda \\) er lig med \\ (2. \\) Med hensyn til lineær algebra betyder det, at dimensionen af \u200b\u200bsit eget subspace af matrixen \\ (A \\) er lig med \\ (2: \\) \\ (\\ DIM \\ KER A \u003d 2. \\) Denne situation implementeres i formularerne i formularen \\ [(\\ frac ((DX)) ((DT)) \u003d \\ lambda x,) \\; \\; (((Dy)) ((dt)) \u003d \\ lambda y.) \\] Retningen af \u200b\u200bfasebaner afhænger af tegnet \\ (\\ lambda. \\) Følgende to tilfælde er mulige her:
Case \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda) En sådan ligevægtsposition kaldes bæredygtig dikritisk node (Figur \\ (3 \\)).
Case \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda)\u003e 0. \\) Denne kombination af egne værdier svarer til ustabil dicritic node (Figur \\ (4 \\)).
Degenereret knude
Lad Eigenvalues \u200b\u200bof the Matrix \\ (A \\) igen er sammenfaldet: \\ Lambda _2) \u003d (\\ lambda) \\ ne 0. \\) I modsætning til det foregående tilfælde af en dikritisk samling , Antag at den geometriske multiplicitet af egne værdier (eller med andre ord, dimensionen af \u200b\u200bderes eget underrum) er nu \\ (1. \\) Det betyder, at matrixen \\ (A \\) kun har en egen vektor \\ ((( \\ Mathbf (v) _1). \\) Den anden lineære uafhængige vektor, det krævede grundlag defineres som vektor \\ ((\\ Mathbf (W) _1), \\), der er fastgjort til \\ ((\\ MathBF (V) _1). \\)
I tilfælde af \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda) hedder ligevægtspunktet bæredygtig degenereret node (Figur \\ (5 \\)).
Med \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d (\\ lambda)\u003e 0 \\) Equilibrium-positionen kaldes ustabile degenererede noder (Figur \\ (6 \\)).
Equilibrium-positionen er under betingelser \\ [(\\ lambda _1), (\\ lambda _2) \\ i \\ re, \\; \\; (\\ lambda _1) \\ cdot (\\ lambda _2) 0. \\) egne værdier \\ ( (\\ lambda _1) \\) og \\ ((\\ lambda _2) \\) er forbundet med de tilsvarende egenvektorer \\ ((\\ MathBF (V) _1) \\) og \\ ((\\ MathBF (V) _2). \\) Straight rettet langs deres egne vektorer \\ ((\\ matemathbf (v) _1), \\) \\ ((\\ mathbf (v) _2), \\) kaldes separatrixes. . De er asymptoter for andre fasebaner, der har en form for hyperball. Hver separatrix kan sammenlignes med en bestemt bevægelsesretning. Hvis separatrix er forbundet med en negativ egenvalue \\ ((\\ lambda _1) 0, \\) dvs. For separatices associeret med vektoren \\ ((\\ Mathbf (V) _2), \\) er bevægelsen rettet mod oprindelsen. Skematisk er faseportræt af sadlen vist i figur \\ (7. \\)
Bæredygtigt og ustabilt fokus
Lad nu eigenvalues \u200b\u200b\\ ((\\ lambda _1), (\\ lambda _2) \\) er komplekse tal. , hvis gyldige dele ikke er lig med nul. Hvis matrixen \\ (A \\) består af gyldige tal, vil komplekse rødder blive præsenteret i form af omfattende konjugat Numbers: \\ [(\\ lambda _ (1,2)) \u003d \\ alpha \\ pm i \\ beta. \\] Find ud af, hvilken slags fasebaner i nærheden af \u200b\u200bkoordinaternes oprindelse har. Vi konstruerer en omfattende løsning \\ ((\\ matemathbf (x) _1) \\ venstre (t \\ højre) \\) svarende til eigen nummer \\ ((\\ lambda _1) \u003d \\ alpha + i \\ beta: \\) \\ [((((( \\ Mathbf (x) _1) \\ venstre (t \\ højre) \u003d (e ^ (\\ lambda _1) t)) (\\ mathbf (v) _1)) \u003d ((^ (\\ venstre ((\\ alpha + i \\ beta) \\ højre) t)) \\ venstre ((\\ mathbf (u) + i \\ matemathbf (w)) \\ højre),) \\] hvor \\ ((\\ mathbf (v) _1) \u003d \\ mathbf (u) + I \\ MathBF (W) \\) - En kompleks-værdsat egen vektor, der er knyttet til nummeret \\ (((U) \\) \\ (\\ MathBF (W) \\) - Gyldige vektorfunktioner. Som et resultat af transformationerne får vi \\ [((\\ MathBF (x) _1) \\ venstre (t \\ højre) \u003d (e ^ (\\ alpha t)) (e ^ (I \\ beta t)) \\ venstre ( (\\ Mathbf (U) + I \\ Mathbf (W)) \\ Højre)) \u003d ((\\ \\ cos \\ beta t + jeg \\ sin \\ beta t) \\ højre) \\ Venstre ((\\ Mathbf (U) + I \\ Mathbf (W)) \\ Højre)) \u003d ((E ^ (\\ Alpha T)) \\ Venstre ((\\ Mathbf (U) \\ COS \\ BETA T + I \\ MATHBF ( u) \\ sin \\ beta t + i \\ mathbf (w) \\ cos \\ beta t - \\ mathbf (w) \\ sin \\ beta t) \\ højre)) \u003d ((e ^ (\\ alpha t)) \\ venstre ((( \\ Mathbf (u) \\ cos \\ beta t + - \\ mathbf (w) \\ sin \\ beta t) \\ højre)) + (i (^ (\\ alpha t)) \\ venstre ((\\ matemathbf (u) \\ synd \\ beta t + \\ mathbf (w) \\ cos \\ beta t) \\ højre).) \\] de faktiske og imaginære dele i det sidste udtryk danner en generel løsning af systemet, som har formularen: \\ [(\\ MathBF ( X) \\ venstre (t \\ højre) \u003d (c_1) \\ text (re) \\ venstre [((\\ mathbf (x) _1) \\ venstre (t \\ højre)) \\ højre] + (C_2) \\ Tekst (IM) \\ VENSTRE [((\\ MATHBF (X) _1) \\ LEFT (T \\ Right)) \\ Right]) \u003d ((E ^ (\\ Alpha T)) \\ Venstre [((C_1) \\ Venstre ((\\ MathBF (U ) \\ cos \\ beta t - \\ matemathbf (w) \\ sin \\ beta t) \\ højre)) \\ højre.) + (\\ venstre. ((c_2) \\ venstre ((\\ mathbf (u) \\ sin \\ beta t + \\ Mathbf (w) \\ cos \\ beta t) \\ højre) ) \\ Right]) \u003d ((e ^ (\\ alpha t)) \\ venstre [((c_1) \\ cos \\ beta t + (c_2) \\ sin \\ beta t) \\ højre) ) \\ Ret. ) + (\\ venstre. ((((c_2) \\ cos \\ beta t - (c_1) \\ sin \\ beta t) \\ højre)) \\ ret].) \\] Forestil dig permanent \\ ( (C_1), (C_2) \\) AS \\ [(C_1) \u003d C \\ SIN \\ DELTA, \\; \\; (C_2) \u003d C \\ DELTA \\) er en vis hjælpevinkel. Derefter er løsningen skrevet som \\ [(\\ Mathbf (x) \\ Venstre (t \\ højre) \u003d C (e ^ (\\ alpha t)) \\ venstre [(\\ mathbf (u) \\ venstre ((\\ sin \\ Delta \\ COS \\ BETA T + \\ COS \\ DELTA \\ SIN \\ BETA T) \\ Right)) \\ Right.) + (\\ Venstre. (\\ Mathbf (W) \\ Venstre ((\\ COS \\ DELTA \\ COS \\ BETA T - \\ SIN \\ Delta \\ sin \\ beta t) \\ højre)) \\ ret]) \u003d (c (e ^ (\\ alpha t)) \\ venstre [(\\ mathbf (u) \\ sin \\ venstre ((\\ beta t + \\ Delta) \\ Right)) \\ Right. + \\ Venstre. (\\ Mathbf (W) \\ DEELTA) \\ HØJRE)) \\ Right].) \\] Således, opløsningen \\ (\\ Mathbf ( x) \\ venstre (t \\ højre) \\) udfoldes af basis af de angivne vektorer \\ (\\ matemathbf (U) \\) og \\ (\\ MathBF (W): \\) \\ [\\ MathBF (x) \\ Venstre ( t \\ højre) \u003d \\ mu \\ venstre (t \\ højre) \\ matemathbf (u) + \\ \\ \\ \\ \\ venstre (t \\ højre) \\ matemathbf (w), \\] hvor dekomponeringskoefficienterne \\ (\\ mu \\ venstre (t \\ højre), \\) \\ (\\ eta \\ venstre (t \\ højre) \\) bestemmes af formler: \\ [(\\ mu \\ venstre (t \\ højre) \u003d C (e ^ (\\ alpha t)) \\ sin \\ venstre ((\\ beta t + \\ delta) \\ højre),) \\; \\; (\\ eta \\ venstre (t \\ højre) \u003d c (e ^ (\\ alpha t)) \\ cos \\ venstre ((\\ beta t + \\ delta) \\ højre). ) Herfra kan det ses, at fasebaner er spiraler. Med \\ (\\ alpha bæredygtigt fokus. . Derfor, når \\ (\\ alpha\u003e 0 \\) vi har ustabil fokus. .
Retningen af \u200b\u200bspiralspiraler kan bestemmes af tegnet af koefficienten \\ ((A_ (21)) \\) i den oprindelige matrix \\ (A. \\) mener faktisk, at derivatet \\ (\\ Large \\ Frac ((DY)) ((Dt)) \\ normalsize, \\) for eksempel på punkt \\ (\\ venstre ((1.0) \\ højre): \\) \\ [\\ frac ((DY)) ((DT)) \\ Venstre ((1.0) \\ Højre) \u003d (A_ (21)) \\ CDOT 1 + (A_ (22)) \\ CDOT 0 \u003d (A_ (21)). \\] Positiv koefficient \\ ((A_ (21))\u003e 0 \\) svarer til spiralspiraler mod uret, som vist i figur \\ (8. \\) med \\ ((A_ (21))
Således under hensyntagen til sporet af spiral spiraler eksisterer alt \\ (4 \\) af forskellige former for fokus. Skematisk er de vist i figurerne \\ (8-11. \\)
Hvis matrixens egenværdier er antallet af imaginære tal, kaldes en sådan ligevægtsposition, så en sådan ligevægtsposition kaldes centrum . Til matrixen med gyldige elementer vil imaginære egenværdier være komplekse-konjugat. I tilfælde af et center opnås fasebaner formelt fra helixekvationen på \\ (\\ alpha \u003d 0 \\) og er ellipses. . Beskriv den periodiske bevægelse af punktet på faseplanet. "Center" ligevægtspositionen er modstandsdygtig overfor Lyapunov.
Der er to typer center, der afviger i retning af bevægelsesretning (tegninger \\ (12, 13 \\)). Som i tilfælde af spiraler kan bevægelsesretningen defineres, for eksempel ved tegnet af derivatet \\ (\\ store \\ frac ((DY)) ((DT)) \\ Normalsize \\) på ethvert tidspunkt. Hvis du tager et punkt \\ (\\ VENSTRE ((1.0) \\ HØJRE), \\), derefter \\ [\\ FRAC ((DY)) ((DT)) \\ Venstre ((1.0) \\ Right) \u003d (A_ (21)) . \\] dvs. Rotationsretningen bestemmes af tegnet af koefficienten \\ ((A_ (21)). \\)
Så vi gennemgik forskellige typer ligevægtspunkter i tilfælde af ikke-degenereret matrix \\ (A \\) \\ (\\ VENSTRE ((\\ DET A \\ NE 0) \\ HØJRE). \\) Under hensyntagen til retning af fasebaner, eksisterer der \\ (13 \\) af forskellige faseportrætter vist henholdsvis i tegninger \\ (1- 13. \\)
Lad os nu henvende sig til sagen degenereret matrix \\ (A. \\)
Degenereret matrix
Hvis matrixen er degenereret, så har den en eller begge egenværdier svarende til nul. Samtidig er følgende særlige tilfælde mulige:
Case \\ ((\\ lambda _1) \\ ne 0, (\\ lambda _2) \u003d 0 \\).
Her er den generelle løsning skrevet i formularen \\ [\\ Mathbf (x) \\ Venstre (t \\ højre) \u003d (C_1) (E ^ ((\\ lambda _1) t)) (\\ mathbf (v) _1) + ( C_2) (\\ mathbf (v) _2), \\] hvor \\ ((\\ mathbf (v) _1) \u003d (\\ venstre (((v_ (11)), (v_ (21))) \\ Højre) ^ t) , \\) \\ ((\\ matemathbf (v) _2) \u003d (\\ venstre ((((v_ (12)), (v_ (22))) \\ Højre) ^ t), \\) - egne vektorer svarende til tallene \\ ((\\ lambda _1) \\) og \\ ((\\ lambda _2). \\) Det viser sig, at i dette tilfælde hele direkte, passerer gennem oprindelsen og rettet langs vektoren \\ ((\\ Mathbf (V) _2), \\) består af ligevægtspunkter (disse punkter har ikke et særligt navn). Fasebaner er stråler parallelt med en anden egen vektor \\ ((\\ Mathbf (v) _1). \\) Afhængigt af tegnet \\ ((\\ lambda _1) \\) bevægelse med \\ (t \\ til \\ infty \\) forekommer enten i retning er lige \\ ((\\ matemathbf (v) _2) \\) (fig. \\ (14 \\)) eller fra den (fig. \\ (15 \\)). Case \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d 0, \\ dim \\ ker a \u003d 2. \\)
I dette tilfælde er dimensionen af \u200b\u200bsit eget underrum i matrixen \\ (2 \\) og derfor er der to egen vektor \\ ((\\ MathBF (V) _1) \\) og \\ ((\\ MathBF (V ) _2). \\) Denne situation er mulig. Til nul matrix
\\ (A. \\) Den generelle løsning udtrykkes med formlen \\ [\\ MathBF (x) \\ venstre (t \\ højre) \u003d (c_1) (\\ mathbf (v) _1) + (c_2) (\\ mathbf (v) _2). \\] Det følger, at ethvert punkt i flyet er placeringen af \u200b\u200bsystemets ligevægt.
Case \\ ((\\ lambda _1) \u003d (\\ lambda _2) \u003d 0, \\ dim \\ ker a \u003d 1. \\)
Denne sag af en degenereret matrix adskiller sig fra den foregående, at der kun er \\ (1 \\) egen vektor (matrixen \\ (a \\) vil være nenuleva. ). For at bygge et grundlag som en anden lineær uafhængig vektor, kan du tage Vector \\ ((\\ MathBF (W) _1), \\) fastgjort til \\ ((\\ MathBF (V) _1). \\) Den generelle løsning af systemet er skrevet som \\ [\\ matemathbf (x) \\ venstre (t \\ højre) \u003d \\ venstre (((c_1) + (c_2) t) \\ højre) (\\ mathbf (v) _1) + (c_2) (\\ mathbf ( W) _1). \\] Her er alle point direkte passerer oprindelsen og rettet langs sin egen vektor \\ ((\\ Mathbf (V) _1), \\) ustabile ligevægtspositioner. Fasebaner er lige, parallelle \\ ((\\ mathbf (v) _1). \\) Bevægelsesretningen langs disse direkte med \\ (t \\ til \\ infty \\) afhænger af konstant \\ ((C_2): \\) med \\ ((C_2) 0 \\) - i modsat retning (fig. \\ (16 \\)).
Husk det efter matrixen Antallet svarende til summen af \u200b\u200bde diagonale elementer kaldes: \\ [(A \u003d \\ Venstre (((\\ Begynd (Array) (* (20) (C)) ((A_ (11))) & ((A_ ( 12))) \\\\ ((A_ (21))) & ((A_ (22))) \\ End (array)) \\ Højre),) \\; \\; (\\ TEXT (TR) \\, A \u003d (A_ (11)) + (A_ (22)),) \\; \\; (\\ Det A \u003d (A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) (A_ (21)).) \\] Faktisk har den karakteristiske ligning af matrixen følgende form: \\ [( \\ lambda ^ 2) - \\ venstre ((((A_ (11)) + (A_ (22))) \\ Højre) \\ Lambda + (A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) ( A_ (21)) \u003d 0. \\] Det kan skrives gennem determinanten og mærket af matrixen: \\ [(\\ lambda ^ 2) - \\ text (tr) \\, a \\ cdot \\ lambda + \\ det a \u003d 0. \\] Diskriminelen af \u200b\u200bdenne firkantede ligning er bestemt ratio \\ på denne måde bifurcation kurve. , der skelner mellem forskellige modstandsregimer, er et parabola på flyet \\ (\\ venstre ((\\ TEXT (TR) \\, A, \\ DET A) \\ Right) \\) (Fig. \\ (17 \\)): \\ \\ det A \u003d (\\ venstre ((\\ frac (\\ text (tr) \\, a) (2)) \\ højre) ^ 2). \\] Over parabolaerne er fokus og center ligevægtspunkter. Punkter af type "Center" er placeret på den positive semi-akse \\ (Oy, \\) dvs. Underlagt \\ (\\ TEXT (TR) \\, A \u003d 0. \\) under parabolerne er "node" eller "sadlen" -punktet. Parabola selv indeholder dikritiske eller degenererede noder.
Bæredygtige bevægelsestilstande findes i den venstre øvre kvadrant af bifurcation diagrammet. De resterende tre kvadranter svarer til de ustabile ligevægtspositioner.
Algoritme til opbygning af et faseportræt
Til en skematisk konstruktion af et faseportræt af et lineært autonomt system \\ (2 \\) - rækkefølge med konstante koefficienter \\ [(\\ MathBF (X ") \u003d A \\ MathBF (X),) \\; \\; (A \u003d \\ Venstre (((\\ Begynd (array) (* (20) (c)) ((A_ (11))) & ((A_ (12))) \\\\ ((A_ (21))) & ((A_ (22 ))) \\ End (array)) \\ Right),) \\; \\; (\\ Mathbf (X) \u003d \\ Venstre ((\\ Begynd (Array) (* (20) (C)) X \\\\ Y \\ END ( Array)) \\ Right)) \\] Du skal udføre følgende handlinger:
Find dine egne matrixværdier, løsning af den karakteristiske ligning \\ [(\\ lambda ^ 2) - \\ Venstre (((((A_ (11)) + (A_ (22))) \\ Højre) \\ Lambda + (A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) (A_ (21)) \u003d 0. \\]
Bestemme typen af \u200b\u200bligevægtsposition og stabilitetens art.
Bemærk: Ligevægtspositionstypen kan også bestemmes på basis af et bifurcationsdiagram (fig. \\ (17 \\)) ved at kende sporet og determinant af matrixen: \\ [(\\ Text (tr) \\, A \u003d (A_ (11)) + (A_ (22)),) \\; \\; (\\ Det a \u003d \\ venstre | (\\ begynder (array) (* (20) (c)) ((((11))) og ((A_ (12))) \\\\ (((A (21)) ) & ((A_ (22))) \\ END (Array)) \\ Right |) \u003d ((A_ (11)) (A_ (22)) - (A_ (12)) (A_ (21)).) \\ ]
Find ligningen izoklin. : \\ [(\\ Frac ((DX)) ((DT)) \u003d (A_ (11)) X + (A_ (12)) Y) \\; \\; (\\ VENSTRE (\\ TEXT (VERTICAL ISOCLINE) \\ HØJRE),) \\] \\ [(\\ FRAC ((DY)) ((DT)) \u003d (A_ (21)) X + (A_ (22)) Y) \\ ; \\; (\\ Venstre (\\ Text (Horisontal ISOCline) \\ Right).) \\]
Hvis ligevægtspositionen er node Eller det er nødvendigt at beregne sine egne vektorer og tegne asymptotterne parallelt med dem, der passerer gennem koordinatets oprindelse.
Skematisk tegne et faseportræt.
Vis bevægelsesretningen ved fasebaner (det afhænger af stabiliteten eller ustabiliteten af \u200b\u200bligevægtspunktet). Hvornår fokus Du bør definere retningen af \u200b\u200bvridning af banerne. Dette kan gøres ved at beregne hastighedsvektoren \\ (\\ Venstre ((\\ Large \\ Frac ((DX)) ((DT)) \\ Normalize, \\ Large \\ Frac ((DY)) ((DT)) \\ normalsize) \\ Højre) \\) på et vilkårlig punkt, for eksempel på det punkt \\ (\\ venstre ((1.0) \\ højre). \\) På samme måde bestemmes bevægelsesretningen, hvis ligevægtspositionen er centrum .
« Fysik - Grade 10 »
Husk, hvad magtens øjeblik er.
Under hvilke forhold, kroppen er alene?
Hvis kroppen er i ro i forhold til det valgte referencesystem, siger de, at denne krop er i ligevægt. Bygninger, broer, bjælker sammen med støtter, dele af biler, bog på bordet og mange andre organer hviler på trods af at de er knyttet til dem fra andre organer. Opgaven med at studere betingelserne for ligevægtsorganer har en masse praktisk betydning for maskinteknik, byggevirksomhed, instrumentfremstilling og andre teknologiske områder. Alle rigtige organer under indflydelse af de kræfter, der er knyttet til dem, ændrer deres form og størrelser, eller som de siger, deformeres.
I mange tilfælde, der findes i praksis, er deformationen af \u200b\u200borganerne med deres ligevægt ubetydelig. I disse tilfælde kan deformationer forsømmes og udføres ved beregning, tæller kroppen absolut fast.
For korthed vil helt solid krop blive kaldt fast krop eller simpelthen tel.. Efter at have studeret betingelserne for ligevægten af \u200b\u200bet solidt legeme, vil vi finde betingelserne for ligevægt af virkelige organer i tilfælde, hvor deres deformationer ikke kan overvejes.
Husk definitionen af \u200b\u200ben helt solid krop.
Mekanikafsnittet, hvor betingelserne for ligevægt studeres helt solide legemer, kaldes statisk..
I statikerne tages der hensyn til størrelsen og form af organer, i dette tilfælde er det betydeligt, ikke kun værdien af \u200b\u200bkræfterne, men også placeringen af \u200b\u200bpunkterne i deres ansøgning.
Således i begyndelsen med hjælp fra Newtons love, med hvilken tilstand, vil enhver krop være i ligevægt. Til dette formål bryder vi mentalt hele kroppen for et stort antal små elementer, som hver især kan betragtes som et materielt punkt. Som sædvanlig vil vi kalde styrken på kroppen fra andre organer, ydre og de kræfter, som elementerne i selve kroppen interagerer, er interne (figur 7.1). Således er kraften 1,2 kraften, der virker på elementet 1 fra elementets side 2. Styrken på 2,1 virker på elementet 2 fra elementets side 1. Disse er indre kræfter; Disse omfatter kræfter på 1,3 og 3,1, 2,3 og 3,2. Det er klart, at den geometriske mængde af de indre kræfter er nul, for ifølge den tredje lov i Newton
12 \u003d - 21, 23 \u003d - 32, 31 \u003d - 13 osv.
Statistik - en privat dynamisk sag, som resten af \u200b\u200bde organer, når kræfterne handler på dem, er der en særlig begivenhed (\u003d 0).
På hvert element kan flere eksterne kræfter i det generelle tilfælde handle. Under 1, 2, 3 osv. Vi forstår alle eksterne kræfter påført efter elementer 1, 2, 3, .... Tilsvarende betegner "1," 2, "3 osv. Den geometriske sum af de indre kræfter påført elementerne 2, 2, 3 ... i overensstemmelse hermed (disse kræfter er ikke vist i figuren), dvs.
"1 \u003d 12 + 13 + ...," 2 \u003d 21 + 22 + ..., "3 \u003d 31 + 32 + ... osv.
Hvis kroppen er alene, er accelerationen af \u200b\u200bhvert element nul. Derfor, ifølge Newtons anden lov, vil nul være lig med den geometriske sum af alle kræfter, der virker på ethvert element. Derfor kan du skrive:
1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)
Hver af disse tre ligninger udtrykker ligevægtstilstanden på det hårde kropselement.
Den første betingelse af ligevægten af \u200b\u200bdet faste legeme.
Vi finder ud af, hvilke betingelser de ydre kræfter anvendt på et solidt organ skal være tilfredsstillende at være i ligevægt. For at gøre dette fastsættes ligninger (7.1):
(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.
I de første beslag af denne ligestilling registreres vektor summen af \u200b\u200balle eksterne kræfter på kroppen, og i den anden - vektor summen af \u200b\u200balle interne kræfter, der virker på elementerne i denne krop. Men som du ved, er vektorbeløbet af alle interne systemkræfter nul, da i henhold til Newtons tredje lov svarer enhver intern kraft til kraften svarende til den i modulet og den modsatte retning. På venstre side af den sidste ligestilling vil kun den geometriske mængde af de ydre kræfter, der påføres på kroppen, forblive:
1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)
I tilfælde af et helt solidt legeme kaldes tilstand (7.2) den første betingelse for dens ligevægt.
Det er nødvendigt, men er ikke tilstrækkeligt.
Så hvis den faste krop er i ligevægt, er den geometriske sum af de ydre kræfter, der påføres den, nul.
Hvis summen af \u200b\u200beksterne kræfter er nul, er den nul og mængden af \u200b\u200bfremskrivninger af disse kræfter på koordinatets akse. I særdeleshed, for fremskrivningerne af eksterne kræfter på aksen OH, kan du skrive:
F 1x + f 2x + f 3x + ... \u003d 0. (7.3)
De samme ligninger kan registreres for fremskrivningerne af kræfterne på aksen Oy og Oz.
Den anden betingelse af ligevægten af \u200b\u200bdet faste legeme.
Jeg vil være overbevist om, at tilstand (7.2) er nødvendig, men utilstrækkelig til ligevægt af et solidt organ. Vi anvendte bordet på bordet på forskellige punkter to lige i modulet og de modsatrettede kræfter som vist i figur 7.2. Summen af \u200b\u200bdisse kræfter er nul:
+ (-) \u003d 0. Men bestyrelsen vil alligevel blive til. Tilsvarende er to de samme i modulet, og de modsatte retningskræfter roterer hjulet på en cykel eller bil (fig. 7.3).
Hvad er betingelsen for eksterne kræfter, ud over ligestilling, nul, deres beløb bør udføres, så den hårde krop er i ligevægt? Vi bruger sætningen om ændringen i kinetisk energi.
Vi vil for eksempel finde stangens ligevægtstilstand, hængslet fastgjort på den vandrette akse ved punkt O (figur 7.4). Dette er en simpel enhed, som du ved fra hovedskolens fysik, er den første slags håndtag.
Lad armen påført vinkelret på stangen af \u200b\u200bkraft 1 og 2.
Ud over kræfter 1 og 2 virker styrken af \u200b\u200ben normal reaktion 3 på håndtaget 3 på siden af \u200b\u200bhåndtagsaksen. Når håndtaget er ligevægt, er summen af \u200b\u200balle tre kræfter nul: 1 + 2 + 3 \u003d 0.
Vi beregner det arbejde, som eksterne kræfter udfører, når vi drejer håndtaget til en meget lille vinkel α. Punkterne i anvendelsen af \u200b\u200bkræfterne 1 og 2 vil passere stierne S 1 \u003d BB 1 og S2 \u003d CC1 (bue af BB 1 og SS 1 ved lave vinkler a kan betragtes som ligefremsegner). Arbejde A 1 \u003d F 1 S 1 af styrke 1 er positiv, fordi punktet i bevægelser i kraftens retning, og operationen A2 \u003d -F2S2-kræfterne 2 er negativ, da punktet C bevæger sig til den modsatte side til retning af kraft 2. Styrken på 3 værker gør ikke, da punktet for dets ansøgning ikke bevæger sig.
Veje S1 og S2 kan udtrykkes gennem drejningssvinklen for håndtaget A, målt i radianer: S 1 \u003d α | i | og S2 \u003d α | CO | I betragtning af dette omskrives udtryk for arbejde som dette:
A 1 \u003d F 1 α | BO |, (7.4)
A 2 \u003d -F2 α | CO |.
Radius i og med buer af cirkler beskrevet af applikationskræfterne 1 og 2 er vinkelrettede udeladt fra rotationsaksen på linjen af \u200b\u200bdisse kræfter
Som du allerede ved, er styrken af \u200b\u200bstyrke den korteste afstand fra rotationsaksen til handlingslinjen. Vi vil betegne skulderen af \u200b\u200bskrivets kraft d. Så | i | \u003d D 1 - Skulderstyrke 1, A | CO | \u003d D 2 - Skulderstyrke 2. Samtidig vil udtryk (7.4) tage et kig
A 1 \u003d F 1 αd 1 og 2 \u003d -F2 αd2. (7.5)
Fra formlerne (7.5) kan det ses, at arbejdet i hver af kræfterne er lig med kraftpunktet i vinklen til at dreje håndtaget. Derfor kan udtryk (7.5) til arbejde omskrives som
A 1 \u003d M1 a, A2 \u003d M2 α, (7,6)
og det fulde arbejde af eksterne kræfter kan udtrykkes ved formlen
A \u003d A 1 + A2 \u003d (M1 + M2) a. α, (7.7)
Da kraften 1 er positivt og lig med M1 \u003d F1 D1 (se fig. 7.4), og øjeblikket for kraft 2 er negativt og lig med M2 \u003d -F2 D2, derefter at arbejde og Du kan optage udtrykket
A \u003d (m 1 - | m 2 |) α.
Når kroppen kommer i bevægelse, øges dens kinetiske energi. For at øge den kinetiske energi skal eksterne kræfter udføres, dvs. i dette tilfælde en ≠ 0 og henholdsvis m 1 + m 2 ≠ 0.
Hvis arbejdet med ydre kræfter er nul, ændrer kroppens kinetiske energi ikke (forbliver nul), og kroppen forbliver fast. Derefter
M 1 + m 2 \u003d 0. (7.8)
Ligning (7 8) er den anden betingelse af ligevægten af \u200b\u200bdet faste legeme.
Med ligevægt af det faste legeme er summen af \u200b\u200bøjeblikke af alle eksterne kræfter, der virker på den i forhold til enhver akse, nul.
Så i tilfælde af et vilkårligt antal eksterne kræfter er ligevægtstilstanden helt solid krop:
1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
M 1 + m 2 + m 3 + ... \u003d 0.
Den anden ligevægtstilstand kan udledes af den grundlæggende ligning af dynamikken i rotationsbevægelsen af \u200b\u200bdet faste legeme. Ifølge denne ligning, hvor M er det samlede øjeblik for kræfter, der virker på kroppen, er M \u003d M 1 + M2 + M 3 + ..., ε en vinkelacceleration. Hvis den faste krop er ubevægelig, så e \u003d 0, og derfor m \u003d 0. Således er den anden ligevægtsbetingelse af form M \u003d M1 + M2 + M3 + ... \u003d 0.
Hvis kroppen ikke er helt solid, så under virkningen af \u200b\u200bde ydre kræfter, der er fastgjort til det, må den ikke forblive i ligevægt, selvom mængden af \u200b\u200beksterne kræfter og summen af \u200b\u200bderes øjeblikke i forhold til enhver akse er nul.
Vi anvender for eksempel til enderne af gummikålen, to kræfter svarende til modulet og rettet langs ledningen i modsatte sider. Under handlingen af \u200b\u200bdisse kræfter vil ledningen ikke være i ligevægt (ledningen er strakt), selvom summen af \u200b\u200beksterne kræfter er nul og nul er lig med summen af \u200b\u200bderes øjeblikke i forhold til aksen, der passerer gennem ethvert punkt i ledningen .
Dette forelæsning diskuterer følgende spørgsmål:
1. Mekaniske ligevægtsbetingelser.
2. Ligevægtsstabilitet.
3. Et eksempel på bestemmelse af ligevægtsbestemmelser og forskning af deres stabilitet.
Undersøgelsen af \u200b\u200bdisse spørgsmål er nødvendig for at studere de oscillatoriske bevægelser af det mekaniske system i forhold til ligevægtspositionen i disciplinens "MACHINE detaljer" for at løse problemer i disciplinerne "teori om maskiner og mekanismer" og "materialesistens".
En vigtig anledning af bevægelsen af \u200b\u200bmekaniske systemer er deres oscillatoriske bevægelse. Oscillationer er de gentagne bevægelser af det mekaniske system, der henviser til en del af dets position, forekommer mere eller mindre regelmæssigt i tide. Kursuspapiret anser det oscillatoriske bevægelse af det mekaniske system i forhold til positionen af \u200b\u200bligevægt (relativ eller absolut).
Det mekaniske system kan udføre oscillationer i en tilstrækkelig lang tidsperiode kun nær positionen af \u200b\u200ben stabil ligevægt. Derfor er det nødvendigt at finde ligevægtspositioner, inden de foretager ligningen af \u200b\u200bden oscillatoriske bevægelse, og undersøge deres stabilitet.
Ligevægtsbetingelserne for mekaniske systemer.
Ifølge princippet om mulige bevægelser (Statens hovedliggende ligning), er det nødvendigt og nok for alle generaliserede kræfter til nul i Dette system:
hvor - generaliseret kraft svarende til j -Åh generaliseret koordinat;
s.- antallet af generelle koordinater i det mekaniske system.
Hvis der blev udarbejdet differentialekvationer af bevægelse for det undersøgte system i form af Lagrange II-ligninger, er det tilstrækkeligt at udligne de generelle kræfter til nul for at bestemme de mulige positioner af ligevægt og løse de opnåede ligninger vedrørende de generelle koordinater.
Hvis det mekaniske system er i ligevægt i et potentielt kraftfelt, får vi fra ligninger (1) følgende ligevægtsbetingelser:
Følgelig har den potentielle energi i ligevægtspositionen en ekstrem værdi. Ikke nogen ligevægt, der er defineret af de ovennævnte formler, kan implementeres praktisk talt. Afhængigt af systemets adfærd, med afvigelser fra ligevægtspositionen, taler de om stabiliteten eller ustabiliteten af \u200b\u200bdenne bestemmelse.
Ligevægtsstabilitet
Definitionen af \u200b\u200bbegrebet stabilitet af ligevægtspositionen blev givet i slutningen af \u200b\u200bXIX århundrede i den russiske videnskabsmands værker A. M. Lyapunov. Overvej denne definition.
For at forenkle de beregninger, vi overvejer i de fremtidige generaliserede koordinater q. 1 , Q. 2 ,..., Q. s. tæl på systemets ligevægtsposition:
hvor
Positionen af \u200b\u200bligevægten kaldes stabil, hvis for ethvert lille antaldu kan finde et så andet nummer det i det tilfælde, hvor de oprindelige værdier af de generelle koordinater og hastigheder ikke vil overstige:
værdierne for de generelle koordinater og hastigheder med yderligere bevægelse af systemet vil ikke overstige .
Med andre ord, placeringen af \u200b\u200bligevægtssystemet q. 1 = q. 2 = ...= q. S \u003d. 0 kaldet bæredygtigtHvis du altid kan finde sådanne tilstrækkeligt små indledende værdier, hvor systemetvil ikke forlade nogen givet et vilkårlig kvarter af ligevægtsposition. For et system med en grad af frihed kan systemets faste bevægelse visuelt afbildet i faseplanet (figur 1). For en stabil ligevægtsposition, bevægelsen af \u200b\u200bdet skildende punkt, der starter i regionen [ ] , vil ikke gå ud over grænserne for regionen.
Fig ..
Equilibrium-positionen kaldes asymptotisk stabil Hvis med tiden vil systemet tilnærme ligevægten, det vil sige
Bestemmelsen af \u200b\u200bmodstandsbetingelserne for ligevægtspositionen er en ret kompliceret opgave, derfor begrænser vi os til det enkleste tilfælde: undersøgelsen af \u200b\u200bligevægten af \u200b\u200bkonservative systemer.
Tilstrækkelige betingelser for stabiliteten af \u200b\u200bligevægtsbestemmelser for sådanne systemer bestemmes theorem Lagrange - Dirichlet : equilibrium-positionen af \u200b\u200bdet konservative mekaniske system er støt, hvis i ligevægtspositionen har systemets potentielle energi et isoleret minimum .
Den mekaniske systems potentielle energi bestemmes op til konstant. Vi vælger denne konstant, så potentiel energi er nul i ligevægtspositionen:
P (0) \u003d 0.
Derefter vil der for et system med en grad af frihed en tilstrækkelig betingelse for eksistensen af \u200b\u200bet isoleret minimum sammen med en forudsætning (2) være en betingelse
Siden i ligevægtspositionen har potentiel energi isoleret minimum ogP (0) \u003d 0 Så i nogle endelige kvarter i denne situation
P (q) \u003d 0.
Funktioner med permanent tegn og lige nul kun ved nulværdier af alle deres argumenter kaldes signalt defineret. For at ligevægten af \u200b\u200bligevægtspositionen af \u200b\u200bdet mekaniske system skal være stabilt og tilstrækkeligt, i nærheden af \u200b\u200bdenne stilling, blev den potentielle energi positivt defineret af funktionen af \u200b\u200bgenerelle koordinater.
For lineære systemer og til systemer, der kan reduceres til lineære ved små afvigelser fra ligevægtspositionen (linearisering), kan potentiel energi være repræsenteret som en kvadratisk form af generaliserede koordinater.
hvor - Generelle stivhedskoefficienter.
Generelle koefficienter.er konstante tal, der kan bestemmes direkte fra dekomponeringen af \u200b\u200bpotentiel energi til et tal eller ved værdierne af de andre derivater fra potentiel energi ifølge de generelle koordinater i ligevægtspositionen:
Fra formel (4) følger det, at de generelle stivhedskoefficienter er symmetriske med hensyn til indekser
Til Således at der er tilstrækkelige betingelser for stabiliteten af \u200b\u200bligevægtspositionen, skal den potentielle energi være en positivt defineret kvadratisk form af dets generelle koordinater.
I matematik eksisterer kriterium Sylvester. at give de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for den positive definition af kvadratiske former: den kvadratiske form (3) defineres positivt, hvis det determinant udarbejdes fra sine koefficienter, og alle dens hoveddiagonale mindreårige vil være positive, dvs. Hvis koefficienter vil opfylde betingelserne
.....
I særdeleshed, for et lineært system med to grader af frihed, vil den potentielle energi og betingelser for kriteriet for Sylvester være
På samme måde er det muligt at studere bestemmelserne i relativ ligevægt, hvis i stedet for potentiel energi til at tage hensyn til den potentielle energi i det reducerede system.
P. rymerbestemmelse af ligevægtspositioner og forskning af deres bæredygtighed
Fig. 2.
Overvej et mekanisk system bestående af et rør AB.hvilken stang. Oo 1. forbundet til den vandrette rotationsakse, og bolden, der bevæger sig gennem røret uden friktion, er forbundet med punktet EN. Fjederrør (fig.2). Vi definerer placeringen af \u200b\u200bsystemets ligevægt, og vi vurderer deres stabilitet på følgende parametre: Rørlængde L 2 \u003d.1 m. , længde stang l 1 \u003d.0,5 m. . Længde af en undeformet forår l. 0 = 0,6 m, fjederstivhed c. \u003d 100 n / m. Mass Tube. m. 2 \u003d 2 kg, stang - m. 1 \u003d 1 kg og bold - m. 3 \u003d 0,5 kg. Afstand Oa. ligeligt l. 3 \u003d 0,4 m.
Vi skriver udtrykket for den potentielle energi i det pågældende system. Den består af den potentielle energi hos tre organer, som er i et homogent tyngdekraftområde og den potentielle energi af den deformerede fjeder.
Den potentielle energi i kroppen på tyngdekraften er lig med kroppens produktvægt til højden af \u200b\u200btyngdepunktet over det plan, hvor den potentielle energi anses for at være nul. Lad den potentielle energi lig med nul i flyet, der passerer gennem rotrotationsaksen Oo. 1, så for tyngdekraften
For styrken af \u200b\u200belasticitet bestemmes den potentielle energi af størrelsen af \u200b\u200bdeformationen
Vi vil finde mulige ligevægtspositioner. Koordinatværdierne i ligevægtspositionerne er rødderne af følgende systemer af ligninger.
Et sådant system af ligninger kan udarbejdes for ethvert mekanisk system med to frihedsgrader. I nogle tilfælde kan du få en nøjagtig løsningsløsning. For systemet (5) er der ingen sådan løsning, så rødderne skal søges ved hjælp af numeriske metoder.
Løsning af et system med transcendentale ligninger (5), vi får to mulige ligevægtspositioner:
For at vurdere stabiliteten af \u200b\u200bde opnåede ligevægtspositioner finder vi alle de andre derivater af potentiel energi i overensstemmelse med de generelle koordinater, og vi definerer de generelle stivhedskoefficienter.
