Mi a természetes logaritmus 1 2. Mi a logaritmus

gyakran vesz egy számot e = 2,718281828 . Az ebben az alapban lévő logaritmusokat ún természetes. Természetes logaritmusokkal végzett számításoknál gyakori az előjellel történő művelet ln, de nem log; míg a szám 2,718281828 , amely meghatározza az alapot, ne jelezze.

Más szavakkal, a megfogalmazás így fog kinézni: természetes logaritmus számok x az a kitevő, amelyre a számot emelni kell e, Megszerezni x.

Így, ln(7,389...)= 2 mert e 2 =7,389... . Magának a számnak a természetes logaritmusa e= 1 mert e 1 =e, és az egység természetes logaritmusa egyenlő nullával, hiszen e 0 = 1.

Maga a szám e meghatározza a monoton korlátos sorozat határát

kiszámolta azt e = 2,7182818284... .

Elég gyakran egy szám rögzítéséhez a memóriában a kívánt szám számjegyei valamilyen kiemelkedő dátumhoz kapcsolódnak. Egy szám első kilenc számjegyére való emlékezés sebessége e a tizedesvessző növekszik, ha megjegyzi, hogy 1828 Lev Tolsztoj születési éve!

A mai napig meglehetősen teljes táblázatok állnak rendelkezésre a természetes logaritmusokról.

természetes log grafikon(függvények y=ln x) a kitevő tükörképként való ábrázolásának következménye az egyeneshez képest y = xés így néz ki:

A természetes logaritmus minden pozitív valós számra megtalálható a mint a görbe alatti terület y = 1/x tól től 1 előtt a.

Ennek a megfogalmazásnak az elemi jellege, amely sok más olyan képlethez illeszkedik, amelyekben a természetes logaritmus is szerepet játszik, volt az oka a "természetes" elnevezés kialakulásának.

Ha elemezzük természetes logaritmus, egy valós változó valós függvényeként, akkor hat inverz függvény exponenciális függvényre, amely az azonosságokra redukál:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Az összes logaritmushoz hasonlóan a természetes logaritmus a szorzást összeadássá, az osztást pedig kivonásssá alakítja:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

A logaritmus minden olyan pozitív bázisra megtalálható, amely nem egyenlő eggyel, nem csak a számára e, de a többi bázis logaritmusa csak konstans tényezővel tér el a természetes logaritmustól, és általában a természetes logaritmus alapján határozzák meg.

Miután elemezte természetes log grafikon, azt kapjuk, hogy a változó pozitív értékei esetén létezik x. Meghatározási tartományán monoton módon növekszik.

Nál nél x → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen ( -∞ ).Nál nél x → +∞ a természetes logaritmus határa plusz a végtelen ( + ∞ ). Szabadságban x a logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármilyen teljesítmény funkció x a pozitív kitevővel a gyorsabban növekszik, mint a logaritmus. A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke.

Használat természetes logaritmusok nagyon racionális a felsőbb matematika átmenetében. Így a logaritmus használata kényelmes olyan egyenletekre való válasz megtalálásához, amelyekben az ismeretlenek kitevőként jelennek meg. A természetes logaritmusok használata a számításokban lehetővé teszi számos matematikai képlet nagymértékű megkönnyítését. bázis logaritmusok e jelentős számú fizikai probléma megoldásában vannak jelen, és természetesen szerepelnek az egyes kémiai, biológiai és egyéb folyamatok matematikai leírásában. Így logaritmusokat használnak a bomlási állandó kiszámítására egy ismert felezési időre, vagy a bomlási idő kiszámítására a radioaktivitási problémák megoldásában. Vezető szerepet töltenek be a matematika és a gyakorlati tudományok számos területén, a pénzügyek területén számos probléma megoldásához fordulnak hozzájuk, beleértve a kamatos kamat kiszámítását is.

Mielőtt megismerkednénk a természetes logaritmus fogalmával, vegyük figyelembe a $e$ állandó szám fogalmát.

$e$ szám

1. definíció

$e$ szám egy olyan matematikai állandó, amely egy transzcendentális szám, és egyenlő a $e \approx 2,718281828459045\ldots$ értékkel.

2. definíció

transzcendens olyan szám, amely nem gyöke egy egész együtthatós polinomnak.

Megjegyzés 1

Az utolsó képlet leírja második csodálatos határ.

Az e számot is hívják Euler-számok, és néha Napier számok.

2. megjegyzés

A $e$ szám első karaktereinek megjegyezéséhez gyakran használják a következő kifejezést: "$2$, $7$, kétszer Lev Tolsztoj". Természetesen a használatához emlékezni kell arra, hogy Lev Tolsztoj 1828$-ban született, ezek a számok kétszer ismétlődnek a $2$ egész rész és a tizedesjegy után a $e$ szám értékében. 7 dollár.

A természetes logaritmus tanulmányozása során a $e$ szám fogalmát éppen azért kezdtük figyelembe venni, mert az a $\log_(e)⁡a$ logaritmus alapján van, amit általában ún. természetesés írd $\ln⁡a$-ként.

természetes logaritmus

A számításoknál gyakran használnak logaritmusokat, amelyek a $e$ számon alapulnak.

4. definíció

Meghívjuk a $e$ bázisú logaritmust természetes.

Azok. a természetes logaritmus jelölhető $\log_(e)⁡a$-ként, de a matematikában elterjedt a $\ln ⁡a$ jelölés használata.

A természetes logaritmus tulajdonságai

Mivel az egységből származó bármely bázis logaritmusa egyenlő $0$-val, akkor az egység természetes logaritmusa egyenlő: $0$:

A $e$ szám természetes logaritmusa egyenlő eggyel:

Két szám szorzatának természetes logaritmusa egyenlő ezeknek a számoknak a természetes logaritmusának összegével:

$\ln⁡(ab)=\ln⁡a+\ln⁡b$.

Két szám hányadosának természetes logaritmusa egyenlő ezeknek a számoknak a természetes logaritmusának különbségével:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Egy szám hatványának természetes logaritmusa a szublogaritmikus szám kitevőjének és természetes logaritmusának szorzataként ábrázolható:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

1. példa

Egyszerűsítse a $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$ kifejezést.

Megoldás.

Alkalmazza az első logaritmusra a számlálóban és a nevezőben a szorzat logaritmusának tulajdonságát, és a számláló és nevező második logaritmusára - a fokozat logaritmusának tulajdonságát:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln⁡5+\ln⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

nyisd meg a zárójeleket és adj meg hasonló kifejezéseket, és alkalmazd a $\ln ⁡e=1$ tulajdonságot is:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln⁡5+1-\ln⁡5)=2$.

Válasz: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

2. példa

Keresse meg a $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ kifejezés értékét.

Megoldás.

A logaritmusok összegének képletét alkalmazzuk:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Válasz: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

3. példa

Számítsa ki a $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$ logaritmikus kifejezés értékét.

Megoldás.

Alkalmazza a fokozat logaritmusának tulajdonságát:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15=13$.

Válasz: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

4. példa

Egyszerűsítse a $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$ logaritmikus kifejezést.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

alkalmazzuk az első logaritmusra a hányados logaritmus tulajdonságát:

$=6(\ln⁡3-\ln⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

nyisd ki a zárójeleket, és írj be hasonló kifejezéseket:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6 $.

Válasz: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Az e szám alapján: ln x = log e x.

A természetes logaritmust széles körben használják a matematikában, mivel származéka a legegyszerűbb: (ln x)′ = 1/x.

Alapján definíciók, a természetes logaritmus alapja a szám e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Az y = függvény grafikonja ln x.

A természetes logaritmus grafikonja (függvények y = ln x) a kitevő grafikonjából az y = x egyenesre való tükörreflexióval kapjuk meg.

A természetes logaritmus az x pozitív értékeire van definiálva. Meghatározási tartományán monoton módon növekszik.

Mint x → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen ( - ∞ ).

Mint x → + ∞, a természetes logaritmus határa plusz a végtelen ( + ∞ ). Nagy x esetén a logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármely x a hatványfüggvény, amelynek pozitív kitevője a, gyorsabban növekszik, mint a logaritmus.

A természetes logaritmus tulajdonságai

Meghatározási tartomány, értékkészlet, szélsőség, növekedés, csökkenés

A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. A természetes logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.

ln x érték

log 1 = 0

Természetes logaritmusok alapképletei

Az inverz függvény definíciójából adódó képletek:

A logaritmus fő tulajdonsága és következményei

Alaphelyettesítő képlet

Bármely logaritmus kifejezhető természetes logaritmusban az alapváltoztatási képlet segítségével:

Ezeknek a képleteknek a bizonyítása a „Logaritmus” részben található.

Inverz függvény

A természetes logaritmus reciproka a kitevő.

Ha akkor

Ha akkor .

Származék ln x

A természetes logaritmus származéka:
.
Az x modul természetes logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

Integrál

Az integrál kiszámítása részenkénti integrációval történik:
.
Így,

Kifejezések komplex számokkal

Tekintsük egy z komplex változó függvényét:
.
Fejezzük ki a komplex változót z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
A logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Ha feltesszük
, ahol n egy egész szám,
akkor ugyanaz a szám lesz különböző n-re.

Ezért a természetes logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

A számára a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Óra és előadás a következő témákban: "Természetes logaritmus. Természetes logaritmus alapja. Természetes szám logaritmusa"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 11. osztály számára
Interaktív kézikönyv 9-11. osztályos „Trigonometria”
Interaktív kézikönyv 10-11. osztályosoknak "Logaritmusok"

Mi a természetes logaritmus

Srácok, az utolsó órán egy új, különleges számot tanultunk - pl. Ma ezzel a számmal folytatjuk a munkát.
Tanulmányoztuk a logaritmusokat, és tudjuk, hogy a logaritmus alapja lehet 0-nál nagyobb számok halmaza. Ma figyelembe vesszük a logaritmust is, amely az e számon alapul. Az ilyen logaritmusokat általában természetes logaritmusnak nevezik. . Ennek saját jelölése van: $\ln(n)$ a természetes logaritmus. Ez a jelölés a következővel egyenértékű: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Az exponenciális és a logaritmikus függvény inverze, ekkor a természetes logaritmus a függvény inverze: $y=e^x$.
Az inverz függvények szimmetrikusak az $y=x$ egyeneshez képest.
Ábrázoljuk a természetes logaritmust úgy, hogy az exponenciális függvényt az $y=x$ egyeneshez viszonyítva ábrázoljuk.

Érdemes megjegyezni, hogy a $y=e^x$ függvény grafikonjának érintőjének meredeksége a (0;1) pontban 45°. Ekkor a természetes logaritmus grafikonjának érintőjének meredeksége az (1; 0) pontban szintén 45° lesz. Mindkét érintő párhuzamos lesz az $y=x$ egyenessel. Vázoljuk fel az érintőket:

A $y=\ln(x)$ függvény tulajdonságai

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Se nem páros, se nem páratlan.
3. Növeli a teljes definíciós tartományt.
4. Felülről nem, alulról nem korlátozva.
5. Nincs maximális érték, nincs minimális érték.
6. Folyamatos.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konvex felfelé.
9. Mindenhol megkülönböztethető.

A felsőbb matematika során bebizonyosodik, hogy egy inverz függvény deriváltja az adott függvény deriváltjának reciproka.
Nem sok értelme van a bizonyításban elmélyülni, csak írjuk fel a képletet: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Példa.
Számítsa ki a függvény deriváltjának értékét: $y=\ln(2x-7)$ a $x=4$ pontban.
Megoldás.
Általában a függvényünket a $y=f(kx+m)$ függvény reprezentálja, az ilyen függvények deriváltjait ki tudjuk számítani.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Számítsuk ki a derivált értékét a kívánt pontban: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Válasz: 2.

Példa.
Rajzolja meg az $y=ln(x)$ függvény grafikonjának érintőjét a $x=e$ pontban.
Megoldás.
Jól emlékszünk a függvény grafikonjának érintőjének egyenletére a $x=a$ pontban.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Számítsuk ki egymás után a szükséges értékeket.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Az érintőegyenlet a $x=e$ pontban a $y=\frac(x)(e)$ függvény.
Ábrázoljuk a természetes logaritmust és az érintőt.

Példa.
Vizsgáljuk meg a monotonitás és szélsőség függvényét: $y=x^6-6*ln(x)$.
Megoldás.
A $D(y)=(0;+∞)$ függvény tartománya.
Keresse meg az adott függvény deriváltját:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
A derivált minden x-re létezik a definíciós tartományból, akkor nincsenek kritikus pontok. Keressünk stacioner pontokat:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
A $х=-1$ pont nem tartozik a definíció tartományába. Ekkor van egy állópontunk $х=1$. Keresse meg a növekedés és a csökkenés intervallumait:

A $x=1$ pont a minimális pont, ekkor $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Válasz: A függvény a szakaszon csökken (0;1], a függvény növekszik a $ sugáron)