, [-5π / 2; −3π / 2] ,. ... ... - egyszóval minden szakaszon [−π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], ahol k Z, és minden szegmensen csökken

[π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], ahol n Z.

11.6. feladat. Milyen intervallumokon növekszik az y = cos x függvény és milyen intervallumokon?

11.8. feladat. Rendezd növekvő sorrendbe: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

12. § Tangens és kotangens grafikonjai

Készítsük el az y = tg x függvény grafikonját. Először is konstruáljuk meg a (−π / 2; π / 2) intervallumhoz tartozó x számokra.

Ha x = 0, akkor tg x = 0; amikor x 0-ról π / 2-re növekszik, akkor a tan x is növekszik - ez látható, ha az érintőtengelyt nézzük (12.1 a ábra). Amikor x megközelíti a π / 2-t, kevesebb marad

Rizs. 12.2. y = tg x.

π / 2 esetén a tan x értéke növekszik (a 12.1. ábra M pontja egyre feljebb fut) és nyilván tetszőlegesen nagy pozitív számmá válhat. Hasonlóképpen, ha x 0-ról −π / 2-re csökken, tan x negatív számmá válik, amelynek abszolút értéke növekszik, amikor x megközelíti a −π / 2-t. x = π / 2 vagy −π / 2 esetén a tan x függvény definiálatlan. Ezért az y = tan x x-nél (−π / 2; π / 2) grafikon megközelítőleg úgy néz ki, mint az 1. ábrán. 12.1 b.

A koordináták origója közelében a görbénk közel van az y = x x egyeneshez: elvégre kis hegyesszögekre a tg x ≈ x közelítő egyenlőség igaz. Azt mondhatjuk, hogy az y = x egyenes érinti az y = tg x függvény grafikonját az origóban. Ezenkívül a 12.1b ábrán látható görbe szimmetrikus az origóra. Ez azzal magyarázható, hogy az y = tg x függvény páratlan, vagyis teljesül a tg (−x) = - tg x azonosság.

Az y = tg x függvény minden x-re való ábrázolásához ne feledje, hogy tg x egy π periódusú periodikus függvény. Ezért ahhoz, hogy az y = tg x függvény teljes grafikonját megkapjuk, végtelenül sokszor meg kell ismételni a 2. ábra görbéjét. 12.1 b, átvisszük az abszcissza mentén a πn távolságra, ahol n egész szám. Az y = tg x függvény grafikonjának végső formáját a ábra mutatja. 12.2.

A grafikon szerint még egyszer látjuk, hogy az y = tg x függvény

Rizs. 12.3. y = ctg x.

nincs definiálva x = π / 2 + πn, n Z esetén, vagyis azokra az x-ekre, amelyekre cos x = 0. Függőleges egyenesek x = π / 2, 3π / 2 , egyenletekkel. ... ... a gráf közeledő ágait gráfaszimptotáknak nevezzük.

Ugyanez az ábra. 12.2 ábrázoltuk a tg x = a egyenlet megoldásait.

Készítsük el az y = ctg x függvény grafikonját. A legegyszerűbb módszer a ctg x = tg (π / 2 - x) redukciós képlet használatával az y = tg x függvény grafikonjából nyerni ezt a grafikont az előző bekezdésben leírt transzformációkkal. Az eredmény az ábrán látható. 12.3

12.1. feladat. Az y = ctg x függvény grafikonját az y = tg x függvény grafikonjából kapjuk valamilyen egyenesre vonatkozó szimmetria segítségével. Melyik? Vannak más egyenesek a megadott tulajdonsággal?

12.2. feladat. Hogyan néz ki az y = ctg x függvény grafikonját érintő egyenes egyenlete egy (π / 2; 0) koordinátájú pontban?

12.3. feladat. Hasonlítsa össze a számokat: a) tg (13π / 11) és tg 3,3π; b) tan 9,6π és ctg (−11,3π).

12.4. feladat. Rendezd a számokat növekvő sorrendbe: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

12.5. feladat. Funkciógrafikonok ábrázolása:

12.7. feladat. Ábrázolja az y = arctan x + arctan (1 / x) függvényt.

13. § Mi a sin x + cos x?

Ebben a részben a következő problémát próbáljuk megoldani: mekkora a legnagyobb érték, amit a sin x + cos x kifejezés felvehet?

Ha jól gondolta, ki kellett volna jönnie, hogy ebben a táblázatban az összes x közül a legnagyobb érték sin x + cos x

akkor kapjuk meg, ha x közel 45◦, vagy radián mértékében π / 4.

Ha x = π / 4, akkor a sin x + cos x pontos értéke 2. Kiderül, hogy a kísérletileg kapott eredményünk

valójában igaz: minden x esetén a sin x + cos x 6 egyenlőtlenség

2, tehát a 2 az ezzel a kifejezéssel elfogadott legnagyobb érték.

Még mindig hiányoznak az eszközök, hogy ezt az egyenlőtlenséget a legtermészetesebb módon bizonyítsuk. Egyelőre megmutatjuk, hogyan lehet ezt planimetriás problémává redukálni.

Ha 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Ezért a feladatunkat a következőképpen fogalmazzuk meg: bizonyítsuk be, hogy egy 1-es befogójú derékszögű háromszög szárainak összege akkor lesz maximális, ha ez a háromszög egyenlő szárú.

13.1. feladat. Bizonyítsd be ezt az állítást.

Mivel egy egyenlő szárú derékszögű háromszög egy hi-

Potenciál 1, a lábak hosszának összege egyenlő 2√-vel, ennek a feladatnak az eredménye a sin x + cos x 6 2 egyenlőtlenség minden x-re, amely a (0; π / 2) intervallumban található. Ebből már könnyen levonható a következtetés, hogy ez az egyenlőtlenség általánosságban minden x-re érvényes.

A 13.1. feladat eredménye nem csak derékszögű háromszögekre igaz.

13.2. feladat. Bizonyítsuk be, hogy az összes adott AC oldalú és B szögű háromszög közül a legnagyobb AB + BC összeg egy AC bázisú egyenlő szárú háromszög esetében lesz.

Térjünk vissza a trigonometriához.

13.3. feladat. A 3. §-ból származó szinusztáblázat segítségével ábrázolja pontról pontra az y = sin x + cos x függvényt.

Jelzés. Ne feledje, hogy x-et radiánban kell kifejezni; a tartományon kívüli x értékekhez használja az öntött képleteket.

Ha mindent helyesen csinált, akkor szinuszszerű görbének kell lennie. Később látni fogjuk, hogy ez a görbe nemcsak hasonló, hanem szinuszos is. Azt is megtanuljuk, hogyan találjuk meg az olyan kifejezések legnagyobb értékeit, mint a 3 sin x + 4 cos x (mellesleg, az y = 3 sin x + 4 cos x függvény grafikonja is szinuszos!).

Ez az oktatóvideó a függvények tulajdonságait ismerteti y =tgx, y = ctgx, bemutatja, hogyan kell elkészíteni a grafikonjaikat.

Az oktatóvideó a funkció megtekintésével kezdődik y =tgx.

A függvény tulajdonságai kiemelve vannak.

1) A funkció hatóköre y =tgx minden valós szám meg van nevezve, kivéve x =π / 2 + 2 πk. Azok. a grafikonon nincsenek egyeneshez tartozó pontok x =π / 2 és x = -π / 2, valamint x = 3π / 2 és így tovább (ugyanolyan frekvenciával). Ezért a függvény grafikonja y =tgx végtelen számú ágból fog állni, amelyek az egyenesek közötti intervallumokban lesznek x = - 3π / 2 és x = -π / 2, x = -π / 2 és x = π / 2 és így tovább.

2) Funkció y =tgx periodikus, ahol a főperiódus π. Ez megerősíti az egyenlőséget tg (x - π ) = tg x =tg (x +π ) . Ezeket az egyenlőségeket korábban tanulmányozták, a szerző felkéri a hallgatókat, hogy emlékezzenek rájuk, jelezve, hogy bármilyen elfogadható értékre t az egyenlőségek igazak:

tg (t + π ) = tg tés c tg (t +π ) = ctg t... Ezen egyenlőségek következménye, hogy ha az y = tg függvény gráfjának egyik ága x egyenes vonalak között x = - π / 2 és x= π / 2, akkor a fennmaradó ágakat úgy kaphatjuk meg, hogy ezt az ágat az x tengely mentén -val eltoljuk π, 2π és így tovább.

3) Funkció y =tgx furcsa, mert . tg (- x) =- tg x.

Ezután térjünk át a függvény ábrázolására y =tgx. Amint a függvény fent leírt tulajdonságaiból következik, a függvény y =tgx periodikus és páratlan. Ezért elég felépíteni a gráf egy részét - egy ágat egy intervallumban, majd a szimmetriát használni az átvitelhez. A szerző egy táblázatot ad, amelyben az értékeket kiszámítják tgx bizonyos értékeken x a pontosabb ábrázolás érdekében. Ezeket a pontokat a koordinátatengelyen jelöljük, és egy sima vonal köti össze. Mivel a gráf szimmetrikus az origóra, akkor ugyanazt az ágat konstruáljuk, szimmetrikusan az origóra. Ennek eredményeként a gráf egyik ágát kapjuk y =tgx. Továbbá, az x tengely mentén π-vel, 2 π-vel és így tovább eltolással, egy grafikont kapunk. y =tgx.

Függvénygrafikon y =tgx tangentoidnak nevezzük, az ábrán látható gráf három ága pedig a tangentoid fő ága.

4) Funkció y =tgx mindegyik intervallumban (- +; +) növekszik.

5) Függvénygrafikon y =tgx nincs felső vagy alsó korlátozása.

6) Funkció y =tgx nem a legnagyobb és a legkisebb jelentőséggel bír.

7) Funkció y =tgx folyamatos bármely intervallumban (- - π / 2 + π; π / 2 + π). A π / 2 + π egyenest a függvény grafikonjának aszimptotájának nevezzük. y =tgx mivel ezeken a pontokon a függvény grafikonja megszakad.

8) Függvényértékek halmaza y =tgx minden valós szám meg van nevezve.

A következő oktatóvideó példát ad: egyenlet megoldása a tgx... A megoldáshoz a függvény 2 grafikonját ábrázoljuk nál nélés keressük meg ezeknek a gráfoknak a metszéspontjait: ez egy végtelen ponthalmaz, amelynek abszcisszái πk-vel különböznek egymástól. Ennek az egyenletnek a gyökere az lesz x= π / 6 + πk.

Tekintsük a függvény grafikonját y =ctgx. A függvénygráf kétféleképpen ábrázolható.

Az első módszer a grafikon ábrázolását ugyanúgy tartalmazza, mint egy grafikont. függvény y =tgx. Építsük fel a függvény grafikonjának egyik ágát y = ctgx egyenes vonalak között x= 0 és x= π. Ezután a szimmetria és a periodicitás segítségével megépítjük a gráf további ágait.

A második út egyszerűbb. Függvénygrafikon y = ctgx tangentoidok átalakításával kaphatjuk meg a redukciós képlet segítségével Val veltgx = - tg (x +π / 2). Ehhez elmozdítjuk a függvény grafikonjának egyik ágát y = tgx az abszcissza tengely mentén π / 2-vel jobbra. A fennmaradó ágakat úgy kapjuk meg, hogy ezt az ágat az x tengely mentén eltoljuk π-vel, 2π-vel stb. Függvénygráf y = ctg x tangentoidnak is nevezik, a gráf (0; π) intervallumban lévő ága pedig a tangentoid fő ága.

SZÖVEG KÓD:

Figyelembe vesszük az y = tg x (y = érintő x), y = ctg x (y = x kotangens) függvény tulajdonságait, és elkészítjük a grafikonjaikat. Tekintsük az y = tgx függvényt

Az y = tg x függvény ábrázolása előtt felírjuk ennek a függvénynek a tulajdonságait.

TULAJDONSÁG 1. Az y = tan x függvény tartománya minden valós szám, kivéve az x = + πk alakú számokat (x egyenlő pi kettővel és pi ka összegével).

Ez azt jelenti, hogy ennek a függvénynek a grafikonján nincsenek olyan pontok, amelyek az x = egyeneshez (akkor kapjuk, ha k = 0 ka egyenlő nullával) és az x = egyeneshez (x egyenlő mínusz pi-vel) tartoznának kettővel. (kapjuk, ha k = - 1 ka egyenlő mínusz eggyel), és az x = egyenest (x egyenlő három pi-vel) (azt kapjuk, ha k = 1 ka egyenlő eggyel) stb. Az y = tg x függvény grafikonja egy végtelen számú ágból áll, amelyek az egyenesek közötti intervallumokban lesznek. Mégpedig az x = és x = - közötti sávban; a sávban x = - és x =; a sávban x = és x = és így tovább a végtelenségig.

TULAJDONSÁG 2. Az y = tan x függvény periodikus a π főperiódussal. (Mivel a kettős egyenlőség igaz

tan (x- π) = tanx = tan (x + π) x mínusz pi érintője egyenlő x érintőjével és egyenlő x plusz pi érintőjével. Ezt az egyenlőséget vettük figyelembe az érintő és a kotangens vizsgálatakor. Emlékeztessük őt:

A t bármely megengedett értékére az egyenlőségek igazak:

tg (t + π) = tgt

ctg (t + π) = ctgt

Ebből az egyenlőségből az következik, hogy az y = tg x függvény grafikonjának egy ágát az x = - és x = intervallumban megszerkesztve a fennmaradó ágakat úgy kapjuk meg, hogy a megszerkesztett ágat az X tengely mentén π, 2π-vel eltoljuk. , stb.

TULAJDONSÁG 3. Az y = tg x függvény páratlan függvény, mivel a tg (- x) = - tg x egyenlőség igaz.

Készítsük el az y = tg x függvény gráfját

Mivel ez a függvény periodikus, végtelen elágazások halmazából áll (az x = és x = közötti sávban, valamint az x = és x = közötti sávban stb.) és páratlan, akkor egy részt fogunk megszerkeszteni. a gráf nullától pi-ig terjedő intervallum pontjait kettővel (), majd használja az origó és a periodicitás szimmetriáját.

Készítsünk egy táblázatot az érintőértékek ábrázolásához.

Megtaláljuk az első pontot: tudva, hogy x = 0-nál tg x = 0 (x egyenlő nullával, az x érintő is egyenlő nullával); a következő pont: at x = tg x = (x egyenlő pivel hat érintővel x egyenlő három-három gyökével); vegye figyelembe a következő pontokat: x = tg x = 1 (x egyenlő pivel négy érintővel x egyenlő eggyel), és x = tan x = (x egyenlő pivel három érintővel x egyenlő a négyzetgyökkel) háromból). A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük és sima vonallal kössük össze (2. ábra).

Mivel a függvény gráfja szimmetrikus az origóra, ugyanazt az ágat az origóra szimmetrikusan fogjuk megszerkeszteni. (3. ábra).

És végül a periodicitás alkalmazásával megkapjuk az y = tg x függvény grafikonját.

Felépítettük az y = tg x függvény gráfjának ágát az x = - és x = sávban. A fennmaradó ágakat úgy építjük meg, hogy a megszerkesztett ágat az X tengely mentén eltoljuk π-vel, 2π-vel stb.

Az ábrázolt gráfot tangentoidnak nevezzük.

A 3. ábrán látható tangentoid részét a tangentoid fő ágának nevezzük.

A grafikon alapján felírjuk ennek a függvénynek a tulajdonságait is.

TULAJDONSÁG 4. Az y = tan x függvény mindegyik intervallumban növekszik (mínusz pi-ről kettő plusz pi-ről pi-ről kettő plusz pi-re).

TULAJDONSÁG 5. Az y = tg x függvény nem korlátos sem feljebb, sem alul.

TULAJDONSÁG 6. Az y = tan x függvénynek nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb értéke.

TULAJDONSÁG 7. Az y = tan x függvény az alak bármely intervallumán folytonos (mínusz pi-től kettő plusz pi-től a pi-ig kettő plusz pi ka).

Az x = + πk alakú egyenes (x egyenlő pi kettő és p ka összegével) a függvény grafikonjának függőleges aszimptotája, mivel az x = + πk alakú pontokban a függvény egy megszakítás.

TULAJDONSÁG 8. Az y = tg x függvény értékkészlete mind valós szám, azaz (e-ből eff egyenlő a mínusz végtelentől a plusz végtelenig terjedő intervallummal).

PÉLDA 1. Oldja meg a tg x = egyenletet (az x érintő egyenlő háromszor három gyökével).

Megoldás. Szerkesszük meg egy koordinátarendszerben az y = tg x függvények grafikonjait

(a játék egyenlő x) és y = érintőjével (a játék egyenlő három gyökével osztva hárommal).

Végtelen sok metszéspontot kaptunk, amelyek abszcisszán πk (pi ka) különböznek egymástól Mivel tg x = x =-nél, a főágon a metszéspont abszcissza (pi hat).

Ennek az egyenletnek az összes megoldását az x = + πk képlettel írjuk fel (x egyenlő pivel hat plusz pi ka).

Válasz: x = + πk.

Készítsük el az y = ctg x függvény grafikonját.

Tekintsünk két építési módot.

Az első út hasonló az y = tg x függvény ábrázolásához.

Mivel ez a függvény periodikus, végtelen elágazások halmazából áll (az x = 0 és x = π közötti sávban, valamint az x = π és x = 2π közötti sávban stb.) és páratlan, akkor mi A gráf egy részét a nullától pi-ig terjedő intervallum pontjai alapján kettővel (), akkor szimmetriát és periodicitást használunk.

Használjuk a kotangens értékek táblázatát a grafikon ábrázolásához.

A kapott pontok jelölése a koordinátasíkon és sima vonallal összekötve.

Mivel a függvény gráfja szimmetrikus a függvényhez képest, ugyanazt az ágat szimmetrikusan fogjuk megszerkeszteni.

Alkalmazzuk a periodicitást, megkapjuk az y = ctg x függvény grafikonját.

Az x = 0 és x = π sávban felépítettük az y = ctg x függvény gráfjának egy ágát. A fennmaradó ágakat úgy építjük meg, hogy a megszerkesztett ágat az x tengely mentén eltoljuk π, - π, 2π, - 2π és így tovább.

Második út az y = ctg x függvény ábrázolása.

Az y = ctg x függvény grafikonját legegyszerűbben úgy kaphatjuk meg, hogy a tangentoidot a redukciós képlet segítségével transzformáljuk (az x kotangens egyenlő mínusz x és pi összegének érintője kettővel).

Ebben az esetben először az y = tg x függvény grafikonjának ágát az abszcissza tengelye mentén jobbra toljuk, így kapjuk

y = tg (x +), majd elvégezzük a kapott gráf szimmetriáját az abszcissza tengely körül. Az eredmény az y = ctg x függvény grafikonjának egy ága lesz (4. ábra). Egy ág ismeretében a teljes gráfot fel tudjuk építeni a függvény gyakoriságának felhasználásával. A fennmaradó ágakat úgy építjük meg, hogy a megszerkesztett ágat az x tengely mentén eltoljuk π-vel, 2π-vel stb.

Az y \ u003d ctg x függvény grafikonját tangentoidnak is nevezik, akárcsak az y \ u003d tg x függvény grafikonját. A nullától piig terjedő intervallumba zárt ágat az y = ctg x függvény gráfjának fő ágának nevezzük.

Az A pont közepén.
α a radiánban kifejezett szög.

Érintő ( tg α) egy trigonometrikus függvény, amely a derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szemközti szár hosszának arányával | a szomszédos láb hosszához | AB | ...

Kotangens ( ctg α) egy trigonometrikus függvény, amely a derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával | a szemközti láb hosszáig | BC | ...

Tangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.

Az érintőfüggvény diagramja, y = tg x

Kotangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő elnevezéseket is elfogadják:
;
;
.

Kotangens függvény grafikonja, y = ctg x

Érintő és kotangens tulajdonságok

Periodikaság

Függvények y = tg xés y = ctg xπ periódusú periodikus.

Paritás

Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.

Területek és értékek, növekvő, csökkenő

Az érintő és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész).

Képletek

Kifejezések szinuszban és koszinuszban

; ;
; ;
;

Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete

A többi képlet például könnyen beszerezhető

Érintők szorzata

Az érintők összegének és különbségének képlete

Ez a táblázat az érv egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja.

Kifejezések komplex számokkal

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

;
;

Származékok

; .

.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Az érintő képletei származtatása>>>; kotangensre>>>

Integrálok

Sorozatbővítések

Az x hatványai érintőjének kiterjesztéséhez több tagot kell felvenni a függvények hatványsorában bűn xés cos xés osztjuk el ezeket a polinomokat egymással,. Ez a következő képleteket eredményezi.

Nál nél .

nál nél .
ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint:

Inverz függvények

Az érintő és a kotangens inverz függvénye az arc tangens és az arc kotangens.

Arctangens, arctg

, ahol n- egész.

Arccotangens, arcctg

, ahol n- egész.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és műszaki intézmények hallgatóinak, "Lan", 2009.
G. Korn, A matematika kézikönyve tudósoknak és mérnököknek, 2012.