Lecke "Y = sinx függvény, tulajdonságai és grafikonja". Az y = sin x ábrázolási függvény y sinx ábrázolása

Ebben a leckében közelebbről megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, annak alapvető tulajdonságait és a grafikont. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját körön és egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén több egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Tanulság: Az y = sinx függvény, alapvető tulajdonságai és gráfja

Amikor egy függvényt mérlegelünk, fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez rendeljünk. Ez megfelelőségi törvényés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelés törvényét.

Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, amelynek egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mivel ez az egységkör pontjának ordinátája.

Tekintsük egy függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a középpont szöge, radiánban mérve. A tengelyen a valós számokat vagy szögeket ábrázoljuk radiánban, a tengelyen a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikont egy szegmensen kaphatjuk meg, majd folytathatjuk a definíció teljes tartományára.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) Hatály:

2) Értéktartomány:

3) A függvény páratlan:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf y tengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Az intervallumok, amelyek között a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Az intervallumok, amelyek között a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő intervallumok:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkció:

13) Maximális pontszám:

14) Maximális funkció:

Megvizsgáltuk a függvény és grafikonjának tulajdonságait. Problémamegoldáskor a tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra és matematikai elemzés 10. évfolyamra (tankönyv a matematika emelt szintű tanulmányait folytató iskolák és osztályok tanulói számára) .- M .: Nevelés, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M .: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (MI Skanavi szerkesztésében) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K .: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai feladatok és az elemzés alapelvei (Kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. évfolyamos tanulói számára) .- M .: Nevelés, 2003.

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és az elemzés alapelvei: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon elmélyítéssel tanulmány matematika.-M .: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Vizsgafelkészítő oktatási portál ().

Hogyan ábrázoljuk az y = sin x függvényt? Először nézzük meg a szinuszos gráfot az intervallumban.

Egy jegyzetfüzet egyetlen szegmensét vesszük 2 cella hosszúságúra. Jelöljön ki egyet az Oy tengelyen.

A kényelem kedvéért a π / 2 számot 1,5-re kerekítjük (és nem 1,6-ra, ahogy azt a kerekítési szabályok előírják). Ebben az esetben egy π / 2 hosszúságú szegmens 3 cellának felel meg.

Az Ox tengelyen nem egységszegmenseket jelölünk, hanem π / 2 hosszúságú szegmenseket (minden 3 cellában). Ennek megfelelően egy π hosszúságú szegmens 6 cellának, egy π hosszúságú szegmensnek / 6-1 cellának felel meg.

Ezzel az egységszegmens kiválasztásával a notebook lapján egy dobozban ábrázolt grafikon a lehető legnagyobb mértékben megfelel az y = sin x függvény grafikonjának.

Készítsünk egy táblázatot az intervallum szinuszértékeiből:

A kapott pontokat a koordinátasíkon jelöljük:

Mivel y = sin x páratlan függvény, a szinuszgráf szimmetrikus az origó - O pontra (0; 0). Ezt a tényt figyelembe véve folytatjuk az ábrázolást balra, majd a -π pontokat:

Az y = sin x függvény T = 2π periódusú periodikus. Ezért a függvény [-π; π] intervallumon felvett grafikonja végtelen számú alkalommal ismétlődik jobbra és balra.

Ebben a leckében közelebbről megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, annak alapvető tulajdonságait és a grafikont. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját körön és egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén több egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Tanulság: Az y = sinx függvény, alapvető tulajdonságai és gráfja

Amikor egy függvényt mérlegelünk, fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez rendeljünk. Ez megfelelőségi törvényés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelés törvényét.

Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg, amelynek egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mivel ez az egységkör pontjának ordinátája.

Tekintsük egy függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a középpont szöge, radiánban mérve. A tengelyen a valós számokat vagy szögeket ábrázoljuk radiánban, a tengelyen a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikont egy szegmensen kaphatjuk meg, majd folytathatjuk a definíció teljes tartományára.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) Hatály:

2) Értéktartomány:

3) A függvény páratlan:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf y tengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Az intervallumok, amelyek között a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Az intervallumok, amelyek között a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő intervallumok:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkció:

13) Maximális pontszám:

14) Maximális funkció:

Megvizsgáltuk a függvény és grafikonjának tulajdonságait. Problémamegoldáskor a tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra és matematikai elemzés 10. évfolyamra (tankönyv a matematika emelt szintű tanulmányait folytató iskolák és osztályok tanulói számára) .- M .: Nevelés, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M .: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (MI Skanavi szerkesztésében) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K .: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai feladatok és az elemzés alapelvei (Kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. évfolyamos tanulói számára) .- M .: Nevelés, 2003.

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és az elemzés alapelvei: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon elmélyítéssel tanulmány matematika.-M .: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M .: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Vizsgafelkészítő oktatási portál ().

Funkcióy = bűnx

A függvénygráf egy szinuszos.

A szinuszos teljes nem ismétlődő részét szinuszos hullámnak nevezzük.

A szinuszhullám félhullámát szinuszhullám félhullámának (vagy ívnek) nevezzük.

Funkció tulajdonságaiy = bűnx:

A függvény ábrázolásához y= bűn x kényelmes a következő mérlegek használata:

Egy ketrecben lévő lapon két cella hosszát vesszük szegmens egységnek.

A tengelyen x mérje meg a π hosszt. Ebben az esetben a kényelem kedvéért a 3,14-et 3-ként ábrázoljuk - vagyis tört nélkül. Ekkor egy cellában lévő lapon π 6 cella lesz (háromszor 2 cella). És minden cella megkapja a saját logikai nevét (az elsőtől a hatodikig): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. Ezek az értékek x.

Az y tengelyen jelölje be az 1-et, amely két cellát foglal magában.

Készítsünk egy táblázatot a függvényértékekről az értékeink felhasználásával x:

Ezután készítsünk egy grafikont. Kapsz egy félhullámot, melynek legmagasabb pontja (π / 2; 1). Ez a függvény grafikonja y= bűn x a szegmensen. Adjunk hozzá egy szimmetrikus félhullámot az ábrázolt gráfhoz (szimmetrikus az origóra, vagyis a -π szakaszra). Ennek a félhullámnak a csúcsa az x tengely alatt van, koordinátákkal (-1; -1). Az eredmény egy hullám. Ez a függvény grafikonja y= bűn x szakaszon [-π; π].

A hullámot a [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] stb. Ezeken a szegmenseken a függvény grafikonja ugyanúgy fog kinézni, mint a [-π; π]. Folyamatos hullámvonalat kapsz ugyanazokkal a hullámokkal.

Funkcióy = kötözősalátax.

Egy függvény grafikonja szinuszos (néha koszinusznak is nevezik).

Funkció tulajdonságaiy = kötözősalátax:

Funkcióy = mf(x).

Vegyük az előző függvényt y= cos x... Mint már tudja, a grafikonja egy szinuszhullám. Ha ennek a függvénynek a koszinuszát megszorozzuk egy bizonyos m számmal, akkor a hullám a tengely felől fog kinyúlni x(vagy zsugorodni fog, m értékétől függően).
Ez az új hullám lesz az y = mf (x) függvény grafikonja, ahol m bármely valós szám.

Így az y = mf (x) függvény a szokásos y = f (x) függvény szorozva m-rel.

Ham< 1, то синусоида сжимается к оси x tényező szerintm. Ham> 1, akkor a szinuszot a tengelytől kinyújtjukx tényező szerintm.

Nyújtás vagy tömörítés végrehajtásakor először csak egy szinuszos félhullámot építhet fel, majd befejezheti a teljes grafikont.

Funkcióy = f(kx).

Ha a funkció y =mf(x) a szinusz tengely felőli megnyúlásához vezet x vagy a tengelyhez való tömörítés x, akkor az y = f (kx) függvény a tengely felőli nyújtáshoz vezet y vagy a tengelyhez való tömörítés y.

Ráadásul k bármely valós szám.

0-nál< k< 1 синусоида растягивается от оси y tényező szerintk. Hak> 1, akkor a szinusz a tengely felé összenyomódiky tényező szerintk.

Ennek a függvénynek a kirajzolásakor először egy szinuszos félhullámot ábrázolhat, majd a teljes diagram kitöltéséhez használja.

Funkcióy = tgx.

Függvénygrafikon y= tg x egy tangentoid.

Elegendő a grafikon egy részét a 0-tól π / 2-ig terjedő intervallumban ábrázolni, majd szimmetrikusan folytatni a 0-tól 3π / 2-ig terjedő intervallumban.

Funkció tulajdonságaiy = tgx:

Funkcióy = ctgx

Függvénygrafikon y= ctg x tangentoid is (néha kotangentoidnak is nevezik).

Funkció tulajdonságaiy = ctgx:

A „Funkció y = sinx, ee tulajdonságok és grafikon” című videólecke vizuális anyagokat mutat be erről a témáról, valamint megjegyzéseket tesz hozzá. A demonstráció során figyelembe veszik a függvény típusát, tulajdonságait, a viselkedést a koordinátasík különböző szakaszain, a gráf jellemzőit részletesen ismertetjük, egy példát mutatunk be szinust tartalmazó trigonometrikus egyenletek grafikus megoldására. Egy videóóra segítségével a tanár könnyebben kialakítja a tanulóban e funkcióról alkotott elképzelését, grafikusan tanítja meg a feladatok megoldását.

A videólecke olyan eszközöket használ, amelyek megkönnyítik az oktatási információk memorizálását és megértését. A grafikonok bemutatásánál és a feladatok megoldásának leírásánál olyan animációs effektusokat alkalmaznak, amelyek segítenek megérteni egy függvény viselkedését, sorrendben bemutatni a megoldás menetét. Emellett a tananyag pontozása fontos megjegyzésekkel egészíti ki, amelyek helyettesítik a tanári magyarázatot. Így ez az anyag vizuális segédeszközként használható. És az óra önálló részeként ahelyett, hogy egy új témáról magyarázkodna a tanárnak.

A bemutató az óra témájának bemutatásával kezdődik. Bemutatjuk a szinuszfüggvényt, melynek leírását a memóriadobozban kiemeljük - s = sint, amelyben a t argumentum tetszőleges valós szám lehet. A függvény tulajdonságainak leírása a hatókörrel kezdődik. Megjegyezzük, hogy a függvény tartománya a valós számok teljes numerikus tengelye, azaz D (f) = (- ∞; + ∞). Második tulajdonságként a szinuszfüggvény páratlanságát emeljük ki. Emlékeztetjük a tanulókat, hogy ezt a tulajdonságot a 9. osztályban tanulmányozták, amikor megállapították, hogy egy páratlan függvényre az f (-x) = - f (x) egyenlőség teljesül. Szinusz esetén a páratlan függvény megerősítését a negyedekre osztott egységkör mutatja. Tudva, hogy a függvény milyen előjelet vesz fel a koordinátasík különböző negyedeiben, megjegyezzük, hogy az ellentétes előjelű argumentumok esetében a szinusz L (t) és N (-t) pontjainak példáján a páratlan feltétel teljesül. Ezért az s = sint páratlan függvény. Ez azt jelenti, hogy a függvénygráf szimmetrikus az origóra.

A szinusz harmadik tulajdonsága a függvény növekedésének és csökkentésének intervallumát mutatja. Megjegyzi, hogy ez a függvény a szegmensen növekszik, a [π / 2; π] szakaszon pedig csökken. A tulajdonságot az ábra szemlélteti, amely az egységkört mutatja, és az A pontból az óramutató járásával ellentétes irányba haladva az ordináta nő, vagyis a függvény értéke π / 2-re nő. Amikor B pontból C-be haladunk, vagyis amikor a szög π / 2-ről π-re változik, az ordináta értéke csökken. A kör harmadik negyedében a C pontból D pontba haladva a koordináta 0-ról -1-re csökken, azaz csökken a szinuszérték. Az utolsó negyedben D pontból A pontba haladva az ordináta értéke -1-ről 0-ra nő. Így általános következtetést vonhatunk le a függvény viselkedéséről. A képernyőn megjelenik az a következtetés, hogy a sint növekszik a [- (π / 2) + 2πk szakaszon; (π / 2) + 2πk], a [(π / 2) + 2πk szakaszon csökken; (3π / 2) + 2πk] bármely k egész számra.

A szinusz negyedik tulajdonsága a függvény korlátosságát veszi figyelembe. Megjegyzendő, hogy a sint függvény fent és lent is korlátozott. A 9. osztályos algebra információi jutnak eszébe a tanulóknak, amikor megismerkedtek a korlátos függvény fogalmával. A képernyőn megjelenik egy fent korlátos függvény feltétele, amelyre van egy bizonyos szám, amelyre a függvény bármely pontján teljesül az f (x)> = M egyenlőtlenség. Emlékeztetve van egy alulról korlátos függvény feltétele is, amelynél m-rel kisebb a függvény minden pontja. Sint esetén a feltétel -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Az ötödik tulajdonság a függvény legkisebb és legnagyobb értékét veszi figyelembe. A legkisebb -1 érték elérését minden pontban t = - (π / 2) + 2πk jegyezzük fel, a legnagyobb - pedig a t = (π / 2) + 2πk pontokban.

A figyelembe vett tulajdonságok alapján a szakaszon a sint függvény grafikonja kerül felrajzolásra. A függvény összeállításához a megfelelő pontok táblázatos szinuszértékeit használjuk. A koordinátasíkon a π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π pontok koordinátáit jelöljük. Miután ezeken a pontokon megjelöltük a függvény táblázatos értékeit, és sima vonallal összekapcsoltuk, grafikont készítünk.

A sint függvény grafikonjának ábrázolásához a [-π; π] intervallumon a függvény origóhoz viszonyított szimmetriájának tulajdonságát használjuk. Az ábra azt mutatja, hogy az eredményül kapott egyenes hogyan kerül simán szimmetrikusan az origó körül a [-π; 0] szakaszba.

A sin (x + 2π) = sin x redukciós képletben kifejezett sint függvény tulajdonságát felhasználva megjegyezzük, hogy minden 2π-nél megismétlődik a szinuszgráf. Így a [π; 3π] a grafikon ugyanaz lesz, mint a [-π; π] esetén. Így ennek a függvénynek a grafikonja az ismétlődő [-π; π] fragmentumokat reprezentálja a teljes tartományban. Külön meg kell jegyezni, hogy egy függvény ilyen grafikonját szinuszosnak nevezzük. Bemutatjuk a szinuszos hullám fogalmát is - egy grafikon töredéke, amely egy szakaszon [-π; π], és egy szinuszos ív egy szegmensen van ábrázolva. Ezeket a töredékeket ismét bemutatjuk memorizálás céljából.

Meg kell jegyezni, hogy a sint függvény egy folytonos függvény a teljes definíciós tartományban, és azt is, hogy a függvény értéktartományát a [-1; 1] intervallum értékkészlete tartalmazza.

A videóóra végén megvizsgáljuk a sin x = x + π egyenlet grafikus megoldását. Nyilvánvalóan az egyenlet grafikus megoldása a bal oldali kifejezés által adott függvény és a jobb oldali kifejezés által adott függvény grafikonjának metszéspontja lesz. A feladat megoldásához egy koordinátasíkot építünk, amelyre a megfelelő y = sin x szinusz körvonalazódik, és az y = x + π függvény grafikonjának megfelelő egyenest is megszerkesztjük. Az ábrázolt grafikonok egyetlen B pontban metszik egymást (-π; 0). Ezért x = -π és az egyenlet megoldása lesz.

A „Funkció y = sinx, ee tulajdonságok és grafikon” című videólecke segít növelni a leckék hatékonyságát egy hagyományos iskolai matematika órán. A távoktatás során vizuális anyagot is használhat. A kézikönyv segíthet a téma elsajátításában azoknak a tanulóknak, akiknek további leckékre van szükségük az anyag mélyebb megértéséhez.

SZÖVEG KÓD:

Leckénk témája: "Y = sin x függvény, tulajdonságai és grafikonja".

Korábban már megismerkedtünk az s = sin t függvénnyel, ahol tϵR (es egyenlő a te szinuszával, ahol te a valós számok halmazához tartozik). Vizsgáljuk meg ennek a függvénynek a tulajdonságait:

TULAJDONSÁG 1. A definíciós tartomány az R (er) valós számok halmaza, azaz D (f) = (-; +) (de az eff-től a mínusz végtelentől a plusz végtelenig terjedő intervallumot jelöli).

TULAJDONSÁG 2. Az s = sin t függvény páratlan.

A 9. osztályban megtanultuk, hogy az y = f (x), x ϵX függvényt (a játék egyenlő az x-ből származó eff-el, ahol x az x halmazhoz tartozik, nagy) páratlannak nevezzük, ha bármely x értékre állítsa be X az egyenlőséget

f (- x) = - f (x) (eff mínusz x-ből egyenlő mínusz eff x-ből).

És mivel az abszcissza tengelyre szimmetrikus L és N pontok ordinátái ellentétesek, akkor sin (- t) = -sint.

Azaz s = sin t páratlan függvény, és az s = sin t függvény grafikonja szimmetrikus az origóra egy derékszögű koordinátarendszerben tOs(te kb es).

Tekintsük a TULAJDONSÁGOT 3. A [0; ] (nulláról pi-re kettővel) az s = sin t függvény növekszik és csökken a [ szakaszon; ] (pi-ről kettőre pi-re).

Ez jól látható az ábrákon: ha egy pont egy numerikus kör mentén nulláról pi-re kettővel mozog (A pontból B-be), az ordináta fokozatosan 0-ról 1-re növekszik, ha pedig pi-ből kettővel pi-be (a pontból) pont B-től C-ig), az ordináta fokozatosan csökken 1-ről 0-ra.

Amikor egy pont a harmadik negyed mentén mozog (C pontból D pontba), a mozgó pont ordinátája nulláról mínusz egyre csökken, a negyedik negyed mentén haladva pedig mínusz egyről nullára nő. Ezért általános következtetést vonhatunk le: az s = sin t függvény az intervallumon növekszik

(mínusz pi-ről kettő plusz két csúccsal pi-re kettő plusz két csúcs), és csökken a [; (pi-től kettő plusz két csúcstól három pi-ig kettő plusz két csúcsig), ahol

(ka az egész számok halmazába tartozik).

TULAJDONSÁG 4. Az s = sin t függvény alul és felül korlátos.

A 9. osztályos kurzusból idézzük fel a korlátosság definícióját: az y = f (x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha a függvény minden értéke nem kisebb valamilyen számnál m múgy, hogy a függvény tartományából származó x bármely értékére az f (x) egyenlőtlenség ≥ m(x-ből származó ff nagyobb vagy egyenlő, mint em). Az y = f (x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha a függvény összes értéke nem több egy számnál M, ez azt jelenti, hogy van egy szám Múgy, hogy a függvény tartományából származó x bármely értékére az f (x) egyenlőtlenség ≤ M(x-ből származó ff kisebb vagy egyenlő, mint em.) Egy függvényt korlátozottnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos.

Térjünk vissza a függvényünkhöz: a korlátosság abból adódik, hogy bármely te-re igaz az -1 ≤ sint≤ 1. egyenlőtlenség (a te szinusz nagyobb vagy egyenlő mínusz egynél, de kisebb vagy egyenlő eggyel).

TULAJDONSÁG 5. A függvény legkisebb értéke mínusz eggyel egyenlő, és ezt az értéket a függvény bármely t = alakú pontban eléri (te egyenlő mínusz pi-vel két plusz két csúcs, és a függvény legnagyobb értéke egyenlő egyhez, és a függvénnyel elérjük a t = alak bármely pontjában (te a pi kettő plusz kettő pi ka).

Az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értéke s naim. és s naib. ...

A kapott tulajdonságok felhasználásával megszerkesztjük az y = sin x függvény grafikonját (y egyenlő x-szel), mert jobban megszoktuk, hogy y = f (x) írjuk, és nem s = f (t).

Kezdésként válasszunk egy skálát: az ordinátán egy egységnyi szegmenst veszünk fel két cellával, az abszcisszán pedig két cella pi értéke hárommal (mivel ≈ 1). Először készítsük el az y = sin x függvény grafikonját a szakaszon. Szükségünk van a függvény értéktáblázatára ezen a szegmensen, ennek elkészítéséhez a koszinusz és a szinusz megfelelő szögeinek értéktáblázatát használjuk:

Így egy argumentum és egy függvény értéktáblázatának összeállításához emlékeznie kell erre x(x) ez a szám rendre egyenlő a nullától pi-ig terjedő intervallum szögével, és nál nél(játék) ennek a szögnek a szinuszértéke.

Jelöljük ezeket a pontokat a koordinátasíkon. A szegmens 3. TULAJDONJA szerint

[0; ] (nulláról pi-re kettővel) az y = sin x függvény növekszik és csökken a [ szakaszon; ] (pi-ből kettővel pi-be) és a kapott pontokat sima vonallal összekötve a gráf egy részét kapjuk (1. ábra)

A páratlan függvény grafikonjának origóhoz viszonyított szimmetriáját felhasználva megkapjuk az y = sin x függvény grafikonját már a szakaszon.

[-π; π] (mínusz pi-ről pi-re). (2. ábra)

Emlékezzünk vissza, hogy sin (x + 2π) = sinx

(x plusz két pi szinusza egyenlő x szinuszával). Ez azt jelenti, hogy az x + 2π pontban az y = sin x függvény ugyanazt az értéket veszi fel, mint az x pontban. És mivel (x + 2π) ϵ [π; 3π] (x plusz két pi a pi-től három pi-ig terjedő szakaszhoz tartozik), ha xϵ [-π; π], majd a [π; 3π] a függvény grafikonja pontosan ugyanúgy néz ki, mint a [-π; π]. Hasonlóképpen a szegmenseken, [-3π; -π] és így tovább, az y = sin x függvény grafikonja ugyanúgy néz ki, mint a szakaszon

[-π; π]. (3. ábra)

Az egyenest, amely az y = sin x függvény grafikonja, szinuszosnak nevezzük. A 2. ábrán látható szinuszos részt szinuszos hullámnak, az 1. ábrán szinuszos ívnek vagy félhullámnak nevezzük.

A megszerkesztett gráf segítségével írjuk fel ennek a függvénynek még néhány tulajdonságát.

TULAJDONSÁG 6. Az y = sin x függvény folytonos függvény. Ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja szilárd, azaz nincs benne ugrás és defekt.

TULAJDONSÁG 7. Az y = sin x függvény értéktartománya a [-1; 1] (mínusz egytől egyig), vagy így írható fel: (e-ből eff egyenlő a mínusz egytől egyig terjedő szegmenssel).

Tekintsünk egy PÉLDÁT. Oldja meg grafikusan a sin x = x + π egyenletet (szinusz x egyenlő x plusz pi).

Megoldás. Készítsünk függvénygrafikonokat y = bűn xés y = x + π.

Az y = sin x függvény grafikonja szinuszos.

y = x + π egy lineáris függvény, melynek grafikonja egy (0; π) és (- π; 0) koordinátájú pontokon áthaladó egyenes.

Az ábrázolt grafikonoknak egy metszéspontja van - B pont (- π; 0) (legyen mínusz pi, nulla koordinátákkal). Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek csak egy gyöke van - a B pont abszcisszája - -π. Válasz: x = - π.