Wat is de natuurlijke logaritme van 1 2. Wat is de logaritme

neem vaak een nummer e = 2,718281828 ... Logaritmen in deze basis heten natuurlijk... Bij het uitvoeren van berekeningen met natuurlijke logaritmen is het algemeen aanvaard om met het teken te werken ikN, maar niet log; terwijl het nummer 2,718281828 het definiëren van de basis niet aangeven.

Met andere woorden, de formulering ziet er als volgt uit: natuurlijke logaritme de nummers x is een indicator van de mate waarin het getal moet worden verhoogd e, Verkrijgen x.

Dus, ln (7.389 ...)= 2, sinds e 2 =7,389... ... Natuurlijke logaritme van het getal zelf e= 1 omdat e 1 =e, en de natuurlijke logaritme van één is nul, aangezien e 0 = 1.

Het nummer zelf e definieert de limiet van een monotone begrensde reeks

berekend dat e = 2,7182818284... .

Om een ​​nummer in het geheugen vast te leggen, worden de cijfers van het vereiste nummer vaak geassocieerd met een openstaande datum. De snelheid waarmee de eerste negen cijfers van een getal worden onthouden e zal toenemen tot achter de komma als je merkt dat 1828 het geboortejaar is van Leo Tolstoj!

Tegenwoordig zijn er vrij complete tabellen met natuurlijke logaritmen.

Natuurlijke logaritme plot(functies y =ln x) is een gevolg van de exponentplot van het spiegelbeeld ten opzichte van de rechte lijn y = x en heeft de vorm:

De natuurlijke logaritme kan worden gevonden voor elk positief reëel getal een als het gebied onder de curve ja = 1/x van 1 voordat een.

Het elementaire karakter van deze formulering, die past bij vele andere formules waarin de natuurlijke logaritme een rol speelt, was de reden voor de vorming van de naam "natuurlijk".

Als je analyseert natuurlijke logaritme, als een reële functie van een reële variabele, dan werkt het omgekeerde functie tot een exponentiële functie, die reduceert tot de identiteiten:

e ln (a) = een (a> 0)

ln (e a) = a

Naar analogie met alle logaritmen, zet natuurlijke logaritme vermenigvuldiging om in optellen, delen in aftrekken:

ln(xy) = ln(x) + ln(ja)

ln(x / y) = lnx - lny

De logaritme kan worden gevonden voor elke positieve basis die niet gelijk is aan één, niet alleen voor e, maar logaritmen voor andere basen verschillen van de natuurlijke logaritme alleen door een constante factor, en worden meestal gedefinieerd in termen van de natuurlijke logaritme.

Na analyse natuurlijke logaritme grafiek, we krijgen dat het bestaat voor positieve waarden van de variabele x... Het neemt monotoon toe op zijn domein van definitie.

Bij x → 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is min oneindig ( -∞ ).Bij x → + de limiet van de natuurlijke logaritme is plus oneindig ( + ∞ ). voor grote x de logaritme neemt vrij langzaam toe. Elke power-functie x a positieve exponent een neemt sneller toe dan de logaritme. De natuurlijke logaritme is een monotoon stijgende functie en heeft dus geen extrema.

Gebruik natuurlijke logaritmen zeer rationeel bij het passeren van hogere wiskunde. Het gebruik van de logaritme is dus handig om het antwoord te vinden op vergelijkingen waarin onbekenden als exponent verschijnen. Het gebruik van natuurlijke logaritmen in berekeningen maakt het mogelijk een groot aantal wiskundige formules aanzienlijk te vergemakkelijken. Logaritmen naar grondtal e zijn aanwezig bij de oplossing van een aanzienlijk aantal fysieke problemen en komen van nature in de wiskundige beschrijving van individuele chemische, biologische en andere processen. Logaritmen worden dus gebruikt om de vervalconstante voor een bekende halfwaardetijd te berekenen, of om de vervaltijd te berekenen bij het oplossen van radioactiviteitsproblemen. Ze spelen de hoofdrol in veel takken van wiskunde en praktische wetenschappen, ze worden gebruikt op het gebied van financiën om een ​​groot aantal problemen op te lossen, ook bij de berekening van samengestelde rente.

Voordat we kennis maken met het concept van de natuurlijke logaritme, moet je eens kijken naar het concept van een constant getal $ e $.

Nummer $ e $

Definitie 1

Nummer $ e $ Is een wiskundige constante, wat een transcendentaal getal is en gelijk is aan $ e \ ongeveer 2.718281828459045 \ ldots $.

definitie 2

transcendentaal is een getal dat geen wortel is van een polynoom met gehele coëfficiënten.

Opmerking 1

De laatste formule beschrijft tweede prachtige limiet.

Het getal e wordt ook wel Euler-nummers en soms Napier-nummers.

Opmerking 2

Om de eerste tekens van het getal $ e $ te onthouden, wordt vaak de volgende uitdrukking gebruikt: "$ 2 $, $ 7 $, tweemaal Leo Tolstoj"... Om het te kunnen gebruiken, moet je natuurlijk onthouden dat Leo Tolstoy werd geboren in $ 1828 $. Het zijn deze getallen die twee keer worden herhaald in de waarde van het getal $ e $ na het gehele deel van $ 2 $ en de decimale $ 7 $.

We begonnen het concept van het getal $ e $ in de studie van de natuurlijke logaritme te beschouwen, juist omdat het aan de basis staat van het logaritme $ \ log_ (e) ⁡a $, dat gewoonlijk wordt genoemd natuurlijk en geschreven in de vorm $ \ ln ⁡a $.

Natuurlijke logaritme

Vaak worden bij het berekenen logaritmen gebruikt, met als basis het getal $ e $.

Definitie 4

De logaritme met grondtal $ e $ heet natuurlijk.

Die. de natuurlijke logaritme kan worden genoteerd als $ \ log_ (e) a $, maar in de wiskunde is het gebruikelijk om de notatie $ \ ln ⁡a $ te gebruiken.

Natuurlijke logaritme eigenschappen

Omdat de logaritme van elk grondtal van één is $ 0 $, dan is de natuurlijke logaritme van één $ 0 $:

De natuurlijke logaritme van het getal $ e $ is gelijk aan één:

De natuurlijke logaritme van het product van twee getallen is gelijk aan de som van de natuurlijke logaritmen van deze getallen:

$ \ ln ⁡ (ab) = \ ln ⁡a + \ ln ⁡b $.

De natuurlijke logaritme van het quotiënt van twee getallen is gelijk aan het verschil tussen de natuurlijke logaritmen van deze getallen:

$ \ ln⁡ \ frac (a) (b) = \ ln ⁡a- \ ln⁡ b $.

De natuurlijke logaritme van de macht van een getal kan worden weergegeven als het product van de exponent door de natuurlijke logaritme van het sublogaritmische getal:

$ \ ln⁡ a ^ s = s \ cdot \ ln⁡ a $.

voorbeeld 1

Vereenvoudig de uitdrukking $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) $.

Oplossing.

We passen de eigenschap van de logaritme van het product toe op de eerste logaritme in de teller en in de noemer, en de eigenschap van de logaritme van de graad op de tweede logaritme van de teller en noemer:

$ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = \ frac (2 (\ ln ⁡4 + \ ln ⁡e) - \ ln⁡ 4 ^ 2) (\ ln ⁡5 + \ ln ⁡e- \ frac (1) (2) \ ln⁡ 5 ^ 2) = $

open de haakjes en presenteer vergelijkbare termen, en pas ook de eigenschap $ \ ln ⁡e = 1 $ toe:

$ = \ frac (2 \ ln ⁡4 + 2-2 \ ln ⁡4) (\ ln ⁡5 + 1- \ frac (1) (2) \ cdot 2 \ ln ⁡5) = \ frac (2) ( \ ln ⁡5 + 1- \ ln ⁡5) = 2 $.

Antwoord: $ \ frac (2 \ ln ⁡4e- \ ln ⁡16) (\ ln ⁡5e- \ frac (1) (2) \ ln ⁡25) = 2 $.

Voorbeeld 2

Zoek de waarde van de uitdrukking $ \ ln⁡ 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) $.

Oplossing.

Laten we de formule voor de som van logaritmen toepassen:

$ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = \ ln 2e ^ 2 \ cdot \ frac (1) (2e) = \ ln ⁡e = 1 $.

Antwoord: $ \ ln 2e ^ 2 + \ ln \ frac (1) (2e) = 1 $.

Voorbeeld 3

Evalueer de waarde van de logaritmische uitdrukking $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln⁡ e ^ 5 $.

Oplossing.

Laten we de eigenschap van de logaritme van de graad toepassen:

$ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 2 \ lg 10 ^ (- 1) +3 \ cdot 5 \ ln ⁡e = -2 \ lg ⁡10 + 15 \ ln ⁡e = -2 + 15 = 13 $.

Antwoord: $ 2 \ lg ⁡0,1 + 3 \ ln e ^ 5 = 13 $.

Voorbeeld 4

Vereenvoudig de logaritmische uitdrukking voor $ \ ln \ frac (1) (8) -3 \ ln ⁡4 $.

$ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = 3 \ ln (\ frac (3) (e)) ^ 2-2 \ ln 3 ^ 3 = 3 \ cdot 2 \ ln \ frac (3) (e) -2 \ cdot 3 \ ln ⁡3 = 6 \ ln \ frac (3) (e) -6 \ ln ⁡3 = $

we passen op de eerste logaritme de eigenschap van de logaritme van het quotiënt toe:

$ = 6 (\ ln ⁡3- \ ln ⁡e) -6 \ ln⁡ 3 = $

laten we de haakjes openen en vergelijkbare termen geven:

$ = 6 \ ln ⁡3-6 \ ln ⁡e-6 \ ln ⁡3 = -6 $.

Antwoord: $ 3 \ ln \ frac (9) (e ^ 2) -2 \ ln ⁡27 = -6 $.

Door de basis van het getal e: ln x = log e x.

De natuurlijke logaritme wordt veel gebruikt in de wiskunde, omdat de afgeleide de eenvoudigste vorm heeft: (ln x) ′ = 1 / x.

gebaseerd definities, de basis van de natuurlijke logaritme is het getal e:
e 2.718281828459045 ...;
.

Functiegrafiek y = ln x.

Natuurlijke logaritme plot (functies y = ln x) wordt verkregen uit de exponentgrafiek door deze te spiegelen ten opzichte van de rechte lijn y = x.

De natuurlijke logaritme is gedefinieerd voor positieve waarden van de variabele x. Het neemt monotoon toe op zijn domein van definitie.

Als x → 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is min oneindig (- ).

Als x → + ∞ is de limiet van de natuurlijke logaritme plus oneindig (+ ∞). Voor grote x neemt de logaritme vrij langzaam toe. Elke machtsfunctie x a met een positieve exponent a groeit sneller dan een logaritme.

Natuurlijke logaritme eigenschappen

Bereik van definitie, set van waarden, extrema, toenemend, afnemend

De natuurlijke logaritme is een monotoon toenemende functie en heeft daarom geen extrema. De belangrijkste eigenschappen van de natuurlijke logaritme zijn weergegeven in de tabel.

Ln x

ln1 = 0

Basisformules voor natuurlijke logaritmen

Formules die voortkomen uit de definitie van de inverse functie:

De belangrijkste eigenschap van logaritmen en de gevolgen ervan

Basis vervangende formule

Elke logaritme kan worden uitgedrukt in natuurlijke logaritmen met behulp van de formule voor basisverandering:

De bewijzen van deze formules worden gepresenteerd in de sectie "Logaritme".

Omgekeerde functie

De inverse van de natuurlijke logaritme is de exponent.

Als dan

Als dan.

Afgeleide ln x

Afgeleide van de natuurlijke logaritme:
.
Afgeleide van de natuurlijke logaritme van de modulus x:
.
Afgeleide van de nde orde:
.
Afleiding van formules>>>

Integraal

De integraal wordt berekend door integratie in delen:
.
Dus,

Uitdrukkingen in termen van complexe getallen

Beschouw een functie van een complexe variabele z:
.
Laten we de complexe variabele uitdrukken z via module R en het argument φ :
.
Met behulp van de eigenschappen van de logaritme hebben we:
.
Of
.
Het argument φ is niet uniek gedefinieerd. Als we zetten
, waarbij n een geheel getal is,
het zal hetzelfde nummer zijn voor verschillende n.

Daarom is de natuurlijke logaritme, als functie van een complexe variabele, geen eenduidige functie.

Uitbreiding vermogensreeks

Bij de ontbinding vindt plaats:

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics voor ingenieurs en studenten van technische instellingen, "Lan", 2009.

Les en presentatie over de onderwerpen: "Natuurlijke logaritmen. Basis van natuurlijke logaritme. Logaritme van natuurlijk getal"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet om uw opmerkingen, beoordelingen, wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor leerjaar 11
Interactieve tutorial voor de rangen 9-11 "Trigonometrie"
Interactieve tutorial voor de rangen 10-11 "Logaritmen"

Wat is natuurlijke logaritme

Jongens, in de laatste les hebben we een nieuw, speciaal nummer geleerd - E. Vandaag zullen we blijven werken met dit nummer.
We hebben logaritmen bestudeerd en we weten dat er aan de basis van de logaritme veel getallen kunnen staan ​​die groter zijn dan 0. Vandaag zullen we ook kijken naar de logaritme, met als basis het getal e. Zo'n logaritme wordt meestal de natuurlijke logaritme. Het heeft zijn eigen notatie: $ \ ln (n) $ - natuurlijke logaritme. Deze invoer is gelijk aan de invoer: $ \ log_e (n) = \ ln (n) $.
Exponentiële en logaritmische functies zijn inverse, dan is de natuurlijke logaritme inverse voor de functie: $ y = e ^ x $.
Inverse functies zijn symmetrisch ten opzichte van de lijn $ y = x $.
Laten we de natuurlijke logaritme plotten door de exponentiële functie weer te geven met betrekking tot de lijn $ y = x $.

Het is vermeldenswaard dat de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de functie $ y = e ^ x $ op het punt (0; 1) 45 ° is. Dan is de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de natuurlijke logaritme in het punt (1; 0) ook 45°. Beide raaklijnen zullen evenwijdig zijn aan de lijn $ y = x $. Laten we de raaklijnen schetsen:

Eigenschappen van de functie $ y = \ ln (x) $

1. $ D (f) = (0; + ∞) $.
2. Is niet even of oneven.
3. Stijgt over het hele definitiegebied.
4. Niet beperkt aan de bovenkant, niet beperkt aan de onderkant.
5. Er is geen hoogste waarde, geen laagste waarde.
6. Continu.
7. $ E (f) = (- ; + ∞) $.
8. Convex naar boven.
9. Overal differentieerbaar.

In de loop van de hogere wiskunde is bewezen dat: de afgeleide van een inverse functie is de inverse van de afgeleide van een bepaalde functie.
Het heeft niet veel zin om dieper op het bewijs in te gaan, laten we gewoon de formule schrijven: $ y "= (\ ln (x))" = \ frac (1) (x) $.

Voorbeeld.
Bereken de waarde van de afgeleide van de functie: $ y = \ ln (2x-7) $ in het punt $ x = 4 $.
Oplossing.
Over het algemeen vertegenwoordigt onze functie de functie $ y = f (kx + m) $, we kunnen de afgeleiden van dergelijke functies berekenen.
$ y "= (\ ln ((2x-7)))" = \ frac (2) ((2x-7)) $.
Laten we de waarde van de afgeleide op het vereiste punt berekenen: $ y "(4) = \ frac (2) ((2 * 4-7)) = 2 $.
Antwoord: 2.

Voorbeeld.
Teken een raaklijn aan de grafiek van de functie $ y = ln (x) $ in het punt $ x = e $.
Oplossing.
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie, op het punt $ x = a $, herinneren we ons goed.
$ y = f (a) + f "(a) (x-a) $.
Laten we de vereiste waarden opeenvolgend berekenen.
$ a = e $.
$ f (a) = f (e) = \ ln (e) = 1 $.
$ f "(a) = \ frac (1) (a) = \ frac (1) (e) $.
$ y = 1 + \ frac (1) (e) (x-e) = 1 + \ frac (x) (e) - \ frac (e) (e) = \ frac (x) (e) $.
De raaklijnvergelijking in het punt $ x = e $ is een functie $ y = \ frac (x) (e) $.
Laten we de natuurlijke logaritme en de raaklijn plotten.

Voorbeeld.
Onderzoek de functie voor monotoniciteit en extrema: $ y = x ^ 6-6 * ln (x) $.
Oplossing.
Het domein van de functie is $ D (y) = (0; + ∞) $.
Laten we de afgeleide van de gegeven functie zoeken:
$ y "= 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) $.
De afgeleide bestaat voor alle x uit het definitiedomein, dan zijn er geen kritische punten. Zoek stationaire punten:
$ 6 * x ^ 5- \ frac (6) (x) = 0 $.
$ \ frac (6 * x ^ 6-6) (x) = 0 $.
$ 6 * x ^ 6-6 = 0 $.
$ x ^ 6-1 = 0 $.
$ x ^ 6 = 1 $.
$ x = ± 1 $.
Punt $ x = -1 $ valt niet binnen het bereik. Dan hebben we een stationair punt $ x = 1 $. Laten we de intervallen van toename en afname vinden:

Het punt $ x = 1 $ is het minimumpunt, dan is $ y_min = 1-6 * \ ln (1) = 1 $.
Antwoord: De functie neemt af op het segment (0; 1], de functie neemt toe op de straal $)