Hoe de projectie op de y-as te bepalen. Askracht projectie

§ 3. Projecties van een vector op de coördinatenas

1. Projecties geometrisch vinden.

Vector
is de projectie van de vector op de as OS
is de projectie van de vector op de as OY

Definitie 1. vector projectie op elke coördinatenas is een getal met een plus- of minteken, overeenkomend met de lengte van het segment tussen de basissen van de loodlijnen die van het begin en het einde van de vector naar de coördinaatas vallen.

Het projectieteken wordt als volgt gedefinieerd. Als er bij verplaatsing langs de coördinatenas een beweging is van het projectiepunt van het begin van de vector naar het projectiepunt van het einde van de vector in de positieve richting van de as, dan is de projectie van de vector positief beschouwd. Als het tegengesteld is aan de as, wordt de projectie als negatief beschouwd.

De afbeelding laat zien dat als de vector op de een of andere manier tegengesteld aan de coördinaatas is georiënteerd, de projectie op deze as negatief is. Als een vector op de een of andere manier in de positieve richting van de coördinatenas is georiënteerd, is de projectie op deze as positief.

Als een vector loodrecht op de coördinatenas staat, is de projectie op deze as nul.
Als een vector codirectioneel is met een as, dan is de projectie op deze as gelijk aan de modulus van de vector.
Als een vector tegengesteld aan de coördinatenas is gericht, is de projectie op deze as in absolute waarde gelijk aan de modulus van de vector, genomen met een minteken.

2. De meest algemene definitie van projectie.

Van een rechthoekige driehoek ABD: .

Definitie 2. vector projectie op elke coördinatenas staat een getal gelijk aan het product van de modulus van de vector en de cosinus van de hoek gevormd door de vector met de positieve richting van de coördinatenas.

Het teken van de projectie wordt bepaald door het teken van de cosinus van de hoek gevormd door de vector met de positieve richting van de as.
Als de hoek scherp is, is de cosinus positief en zijn de projecties positief. Voor stompe hoeken heeft de cosinus een negatief teken, dus in dergelijke gevallen zijn de projecties op de as negatief.
- daarom is voor vectoren loodrecht op de as de projectie nul.

Definitie 1. In het vlak is de parallelle projectie van punt A op de l-as een punt - het snijpunt van de l-as met een rechte lijn door punt A evenwijdig aan de vector die de projectierichting bepaalt.

Definitie 2. Parallelle projectie van een vector op de l-as (op een vector) is de coördinaat van de vector ten opzichte van de basis de l-as, waar punten en parallelle projecties zijn van respectievelijk de punten A en B op de l-as (Fig. 1).

Per definitie hebben we

Definitie 3.if en de basis van de l-as Cartesisch, dat wil zeggen de projectie van de vector op de l-as orthogonaal genoemd (Fig. 2).

In de ruimte blijft de definitie 2 van de projectie van de vector op de as van kracht, alleen de projectierichting wordt bepaald door twee niet-collineaire vectoren (Fig. 3).

Uit de definitie van de projectie van een vector op een as volgt dat elke coördinaat van een vector een projectie is van deze vector op een as, bepaald door de overeenkomstige basisvector. In dit geval wordt de richting van het ontwerp bepaald door twee andere basisvectoren, als het ontwerp wordt uitgevoerd (beschouwd) in de ruimte, of door een andere basisvector, als het ontwerp op een vlak wordt beschouwd (Fig. 4).

Stelling 1. De orthogonale projectie van een vector op de l-as is gelijk aan het product van de modulus van de vector door de cosinus van de hoek tussen de positieve richting van de l-as en, dat wil zeggen,

Aan de andere kant

van we vinden

Als we AC vervangen door gelijkheid (2), krijgen we

Sinds de cijfers x en van hetzelfde teken in beide beschouwde gevallen ((Fig. 5, a); (Fig. 5, b), dan impliceert gelijkheid (4)

Commentaar. In wat volgt, zullen we alleen de orthogonale projectie van de vector op de as beschouwen, en daarom zal het woord "orthogonaal" in de notatie worden weggelaten.

Hier zijn een aantal formules die in wat volgt worden gebruikt om problemen op te lossen.

a) Projectie van de vector op de as.

Als, dan heeft de orthogonale projectie op de vector volgens formule (5) de vorm

c) Afstand van punt tot vlak.

Zij b een gegeven vlak met een normaalvector, M - een gegeven punt,

d - afstand van punt M tot vlak b (Fig. 6).

Als N een willekeurig punt van het vlak b is, en en zijn de projecties van de punten M en N op de as, dan

• G) Afstand tussen gekruiste lijnen.

Laat a en b de gegeven snijdende rechte lijnen zijn, is de vector loodrecht daarop, A en B zijn willekeurige punten van respectievelijk de rechte lijnen a en b (Fig. 7), en zijn de projecties van de punten A en B op , dan

e) Afstand van punt tot rechte lijn.

Laat ik- een gegeven lijn met een richtingsvector, M - een gegeven punt,

N - zijn projectie op een rechte lijn ik, dan - de vereiste afstand (Fig. 8).

Als A een willekeurig punt van een rechte is ik, dan zijn in een rechthoekige driehoek MNA de hypotenusa MA en benen te vinden. Middelen,

f) De hoek tussen een rechte lijn en een vlak.

Laat de richtingsvector van deze lijn zijn ik, is de normaalvector van het gegeven vlak b, is de projectie van de rechte lijn ik op vlak b (Fig. 9).

Zoals je weet, is de hoek q tussen de rechte lijn ik en de projectie ervan op het vlak b wordt de hoek tussen de rechte lijn en het vlak genoemd. We hebben

Laten we voorbeelden geven van het oplossen van metrische problemen met de vector-coördinaatmethode.

Laat twee vectoren en worden gegeven in de ruimte. Opzij zetten van een willekeurig punt O vectoren en. Hoek tussen vectoren en wordt de kleinste van de hoeken genoemd. aangegeven .

Beschouw de as ik en zet er een eenheidsvector op (d.w.z. een vector waarvan de lengte gelijk is aan één).

Hoek tussen vector en as ik de hoek tussen vectoren en begrijpen.

Dus laat ik- een as en - vector.

Laten we aanduiden door een 1 en B1 as projectie ik respectievelijk punten EEN en B... Laten we doen alsof een 1 heeft een coördinaat x 1, een B1- coördinaat x 2 op de as ik.

Dan projectie vectoren per as ik het verschil genoemd x 1 – x 2 tussen de coördinaten van de projecties van het einde en het begin van de vector op deze as.

Projectie van een vector op een as ik zal duiden.

Het is duidelijk dat als de hoek tussen de vector en de as ik scherp dan x 2> x 1, en de projectie x 2 – x 1> 0; als deze hoek stomp is, dan x 2< x 1 en projectie x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси ik, dan x 2= x 1 en x 2– x 1=0.

Dus de projectie van de vector op de as ik Is de lengte van het segment A 1 B 1, genomen met een bepaald teken. Daarom is de projectie van een vector op een as een getal of een scalair.

De projectie van de ene vector op de andere wordt op een vergelijkbare manier bepaald. In dit geval worden de projecties gevonden van de uiteinden van de gegeven vector op de lijn waarop de 2e vector ligt.

Laten we eens kijken naar enkele van de belangrijkste projectie eigenschappen.

LINEAIR AFHANKELIJKE EN LINEAIR ONAFHANKELIJKE VECTORSYSTEMEN

Laten we eens kijken naar verschillende vectoren.

Lineaire combinatie van deze vectoren wordt elke vector van de vorm genoemd, waar enkele getallen zijn. De getallen worden de coëfficiënten van de lineaire combinatie genoemd. Ze zeggen ook dat het in dit geval lineair wordt uitgedrukt in termen van deze vectoren, d.w.z. wordt daaruit verkregen met behulp van lineaire acties.

Als er bijvoorbeeld drie vectoren worden gegeven, kunnen vectoren worden beschouwd als hun lineaire combinatie:

Als een vector wordt gepresenteerd als een lineaire combinatie van enkele vectoren, dan zeggen ze dat het ontbonden langs deze vectoren.

De vectoren heten lineair afhankelijk als er getallen zijn, niet allemaal gelijk aan nul, zodanig dat ... Het is duidelijk dat de gegeven vectoren lineair afhankelijk zijn als een van deze vectoren lineair wordt uitgedrukt in termen van de andere.

Anders, nl. wanneer de verhouding wordt alleen uitgevoerd wanneer , deze vectoren heten lineair onafhankelijk.

Stelling 1. Elke twee vectoren zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als ze collineair zijn.

Bewijs:

De volgende stelling kan op dezelfde manier worden bewezen.

Stelling 2. Drie vectoren zijn lineair afhankelijk dan en slechts dan als ze coplanair zijn.

Bewijs.

BASIS

Basis wordt een verzameling van niet-nul lineair onafhankelijke vectoren genoemd. De elementen van de basis worden aangeduid met.

In de vorige paragraaf zagen we dat twee niet-collineaire vectoren in het vlak lineair onafhankelijk zijn. Daarom, volgens Stelling 1, uit de vorige sectie, is een basis op een vlak twee niet-collineaire vectoren op dit vlak.

Evenzo zijn drie niet-coplanaire vectoren lineair onafhankelijk in de ruimte. Bijgevolg worden drie niet-coplanaire vectoren een basis in de ruimte genoemd.

De volgende stelling is waar.

Stelling. Laat een basis gegeven worden in de ruimte. Dan kan elke vector worden weergegeven als een lineaire combinatie , waar x, ja, z- enkele cijfers. Deze ontbinding is uniek.

Bewijs.

De basis maakt het dus mogelijk om elke vector ondubbelzinnig te associëren met een triplet van getallen - de coëfficiënten van de expansie van deze vector in termen van de vectoren van de basis:. Het omgekeerde is ook waar, voor elk drietal getallen x, y, z met een basis kun je een vector matchen als je een lineaire combinatie maakt .

Als de basis en , dan de cijfers x, y, z worden genoemd coördinaten vectoren in de gegeven basis. Vectorcoördinaten geven aan.

DECART'S SYSTEEM VAN CORDINATEN

Laat een punt in de ruimte worden gegeven O en drie niet-coplanaire vectoren.

Cartesisch coördinatenstelsel in de ruimte (op een vlak) wordt een verzameling van een punt en een basis genoemd, d.w.z. een verzameling van een punt en drie niet-coplanaire vectoren (2 niet-collineaire vectoren) die van dit punt uitgaan.

Punt O de oorsprong genoemd; rechte lijnen die door de oorsprong in de richting van de basisvectoren gaan, worden coördinaatassen genoemd - de abscis, ordinaat en toepassingsassen. De vlakken die door de coördinaatassen gaan, worden coördinaatvlakken genoemd.

Overweeg een willekeurig punt in het geselecteerde coördinatensysteem m... Laten we het concept van puntcoördinaten introduceren m... De vector die de oorsprong met het punt verbindt m... genaamd straal vector punten m.

Een vector in de geselecteerde basis kan worden geassocieerd met een drietal getallen - de coördinaten: .

Puntradius vectorcoördinaten m... worden genoemd coördinaten van punt M... in het beschouwde coördinatenstelsel. M (x, y, z)... De eerste coördinaat wordt de abscis genoemd, de tweede is de ordinaat en de derde is de applicate.

Cartesiaanse coördinaten op het vlak worden op een vergelijkbare manier bepaald. Hier heeft het punt slechts twee coördinaten - de abscis en de ordinaat.

Het is gemakkelijk in te zien dat voor een bepaald coördinatensysteem elk punt bepaalde coördinaten heeft. Aan de andere kant is er voor elk triplet van getallen een enkel punt dat deze getallen als coördinaten heeft.

Als de vectoren die als basis worden genomen in het geselecteerde coördinatensysteem een ​​eenheidslengte hebben en paarsgewijs loodrecht staan, dan wordt het coördinatensysteem genoemd Cartesisch rechthoekig.

Het is gemakkelijk om dat aan te tonen.

Richtingscosinussen van een vector bepalen volledig de richting, maar zeggen niets over de lengte ervan.

Algebraïsche vectorprojectie op elke as gelijk is aan het product van de lengte van de vector door de cosinus van de hoek tussen de as en de vector:

Pr a b = | b | cos (a, b) of

Waar a b het scalaire product van vectoren is, | a | is de modulus van de vector a.

Instructie. Om de projectie van de vector Пp a b in de online modus te vinden, moet je de coördinaten van de vectoren a en b specificeren. In dit geval kan de vector worden gespecificeerd op een vlak (twee coördinaten) en in de ruimte (drie coördinaten). De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word-bestand. Als vectoren worden gespecificeerd via de coördinaten van punten, moet deze rekenmachine worden gebruikt.

Classificatie van vectorprojectie

Soorten projecties per definitie vectorprojectie

1. De geometrische projectie van de vector AB op de as (vector) wordt de vector A "B" genoemd, het begin waarvan A 'de projectie is van het begin A op de as (vector), en het einde B' is de projectie van het uiteinde B op dezelfde as.
2. De algebraïsche projectie van de vector AB op de as (vector) wordt de lengte van de vector A "B" genoemd, genomen met een + of - teken, afhankelijk van of de vector A "B" dezelfde richting heeft als de as ( vector).

Projectieweergaven coördineren

Eigenschappen vectorprojectie

1. De geometrische projectie van een vector is een vector (heeft een richting).
2. De algebraïsche projectie van een vector is een getal.

Stellingen van vectorprojectie

Stelling 1. De projectie van de som van vectoren op een as is gelijk aan de projectie van de termen van de vectoren op dezelfde as.

AC "= AB" + B "C"

Stelling 2. De algebraïsche projectie van een vector op een willekeurige as is gelijk aan het product van de lengte van de vector en de cosinus van de hoek tussen de as en de vector:

Pr a b = | b | cos (a, b)

Soorten vectorprojecties

1. projectie op de OX-as.
2. projectie op de OY-as.
3. vector projectie.

OX-projectie	OY-as projectie	vector projectie
Als de richting van de vector A'B 'samenvalt met de richting van de OX-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.	Als de richting van de vector A'B 'samenvalt met de richting van de OY-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.	Als de richting van de vector A'B 'samenvalt met de richting van de vector NM, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.
Als de richting van de vector tegengesteld is aan de richting van de OX-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.	Als de richting van de vector A'B 'tegengesteld is aan de richting van de OY-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.	Als de richting van vector A'B 'tegengesteld is aan de richting van vector NM, dan heeft de projectie van vector A'B' een negatief teken.
Als de vector AB evenwijdig is aan de OX-as, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de absolute waarde van de vector AB.	Als de vector AB evenwijdig is aan de OY-as, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de absolute waarde van de vector AB.	Als vector AB evenwijdig is aan vector NM, dan is de projectie van vector A'B ' gelijk aan de modulus van vector AB.
Staat de vector AB loodrecht op de OX-as, dan is de projectie A'B' gelijk aan nul (nul-vector).	Staat de vector AB loodrecht op de OY-as, dan is de projectie A'B' gelijk aan nul (nul-vector).	Als vector AB loodrecht staat op vector NM, dan is projectie A'B ' gelijk aan nul (nul-vector).

1. Vraag: Kan de vectorprojectie een negatief teken hebben. Antwoord: Ja, de vectorprojectie kan negatief zijn. In dit geval heeft de vector de tegenovergestelde richting (zie hoe de OX-as en de AB-vector gericht zijn)
2. Vraag: Kan de projectie van de vector hetzelfde zijn als de modulus van de vector. Antwoord: Ja, dat kan. In dit geval zijn de vectoren parallel (of collineair).
3. Vraag: Kan de projectie van een vector gelijk zijn aan nul (nul-vector). Antwoord: Ja, dat kan. In dit geval staat de vector loodrecht op de overeenkomstige as (vector).

Voorbeeld 1. De vector (Fig. 1) vormt een hoek van 60° met de OX-as (deze wordt gespecificeerd door de vector a). Als OE een schaaleenheid is, dan is | b | = 4, dus .

Inderdaad, de lengte van de vector (geometrische projectie b) is 2, en de richting valt samen met de richting van de OX-as.

Voorbeeld 2. De vector (Fig. 2) vormt een hoek (a, b) = 120 o met de OX-as (met de vector a). Lengte | b | vector b is gelijk aan 4, dus pr a b = 4 · cos120 o = -2.

Inderdaad, de lengte van de vector is 2 en de richting is tegengesteld aan de richting van de as.

In dit artikel gaan we in op de projectie van een vector op een as en leren we hoe we de numerieke projectie van een vector kunnen vinden. Eerst zullen we de projectie van een vector op een as definiëren, aanduidingen introduceren en ook een grafische illustratie geven. Daarna zullen we de definitie van de numerieke projectie van een vector op een as aankondigen, bekijken hoe we deze kunnen vinden en oplossingen laten zien voor verschillende voorbeelden waarin het nodig is om de numerieke projectie van een vector op een as te vinden.

Paginanavigatie.

Projectie van een vector op een as - definitie, notatie, illustraties, voorbeeld.

Laten we beginnen met algemene informatie.

Onder een as wordt een rechte lijn verstaan ​​waarvan de richting is aangegeven. Dus de projectie van een vector op een as en een projectie van een vector op een gerichte lijn zijn één en hetzelfde.

De projectie van een vector op een as kan in twee betekenissen worden bekeken: geometrisch en algebraïsch. In geometrische zin is de projectie van een vector op een as een vector en in algebraïsche zin is het een getal. Vaak wordt dit onderscheid niet expliciet gesteld, maar eerder uit de context begrepen. We zullen dit onderscheid niet negeren: we zullen de term "" gebruiken als het gaat om de projectie van een vector in geometrische zin, en de term "" als het gaat om de projectie van een vector in algebraïsche zin (de volgende paragraaf van dit artikel is gewijd aan de numerieke projectie van een vector op een as) ...

Laten we nu verder gaan met het definiëren van de projectie van de vector op de as. Om dit te doen, kan het geen kwaad om te herhalen.

Geef ons een L-as en een vector die niet nul is op een vlak of in een driedimensionale ruimte. Laten we de projecties van de punten A en B op de lijn L respectievelijk aanduiden als A 1 en B 1 en een vector construeren. Laten we, vooruitkijkend, zeggen dat een vector de projectie is van een vector op de L-as.

Definitie.

Projectie van een vector op een as Is een vector waarvan het begin en einde respectievelijk de projecties zijn van het begin en het einde van de gegeven vector.

De projectie van de vector op de L-as wordt aangeduid als.

Om een ​​vectorprojectie op de L-as te bouwen, moet u de loodlijnen van de punten A en B naar de richtlijn L verlagen - de basis van deze loodlijnen geeft het begin en einde van de gewenste projectie.

Laten we een voorbeeld geven van de projectie van een vector op een as.

Laat het rechthoekige coördinatenstelsel Oxy op het vlak worden ingevoerd en er wordt een punt gegeven. Laten we de straalvector van het punt М 1 tekenen en zijn projecties op de coördinaatassen Ox en Oy construeren. Het zijn duidelijk vectoren met respectievelijk coördinaten en.

Je kunt vaak horen over de projectie van een vector op een andere vector die niet nul is, of over de projectie van een vector op de richting van een vector. In dit geval bedoelen we de projectie van de vector op een as, waarvan de richting samenvalt met de richting van de vector (in het algemeen zijn er oneindig veel assen, waarvan de richtingen samenvallen met de richting van de vector). De projectie van een vector op een rechte lijn, waarvan de richting de vector bepaalt, wordt aangeduid als.

Merk op dat als de hoek tussen vectoren en scherp is, vectoren en codirectioneel zijn. Als de hoek tussen vectoren en stomp is, dan zijn vectoren en tegengesteld gericht. Als de vector nul is of loodrecht op de vector, dan is de projectie van de vector op de rechte lijn, waarvan de richting de vector definieert, de nulvector.

Numerieke projectie van een vector op een as - definitie, aanduiding, voorbeelden van bevinding.

Het numerieke kenmerk van de projectie van een vector op een as is de numerieke projectie van deze vector op deze as.

Definitie.

Numerieke projectie van een vector op een as Is een getal dat gelijk is aan het product van de lengte van deze vector door de cosinus van de hoek tussen deze vector en de vector die de richting van de as bepaalt.

De numerieke projectie van de vector op de L-as wordt aangeduid als (zonder de pijl hierboven), en de numerieke projectie van de vector op de as gedefinieerd door de vector wordt aangeduid als.

In deze notatie heeft de definitie van de numerieke projectie van een vector op een als vector gerichte rechte lijn de vorm , waarbij de lengte van de vector is, is de hoek tussen de vectoren en.

Dus we hebben de eerste de formule voor het berekenen van de numerieke projectie van een vector:. Deze formule wordt gebruikt als de lengte van de vector en de hoek tussen de vectoren bekend zijn. Deze formule kan ongetwijfeld ook worden toegepast wanneer de coördinaten van de vectoren ook bekend zijn ten opzichte van een bepaald rechthoekig coördinatenstelsel, maar in dit geval is het handiger om een ​​andere formule te gebruiken, die we hieronder verkrijgen.

Voorbeeld.

Bereken de numerieke projectie van een vector op een als vector gerichte lijn als de vector 8 lang is en de hoek tussen de vectoren en is.

Oplossing.

Van de toestand van het probleem dat we hebben: ... Het blijft alleen om de formule toe te passen waarmee u de vereiste numerieke projectie van de vector kunt bepalen:

Antwoord:

We weten dat , waar is het scalaire product van vectoren en. Dan de formule , waarmee u de numerieke projectie van een vector op een als vector gerichte rechte lijn kunt vinden, krijgt de vorm ... Dat wil zeggen, we kunnen een andere definitie formuleren van de numerieke projectie van een vector op een as, die equivalent is aan de definitie die aan het begin van deze paragraaf is gegeven.

Definitie.

Numerieke projectie van een vector op een as, waarvan de richting samenvalt met de richting van de vector, is de verhouding van het puntproduct van de vectoren en de lengte van de vector.

Het is handig om de resulterende formule van de vorm te gebruiken om de numerieke projectie van een vector op een rechte lijn te vinden, waarvan de richting samenvalt met de richting van de vector, wanneer de coördinaten van de vectoren en bekend zijn. We zullen dit laten zien door voorbeelden op te lossen.

Voorbeeld.

Het is bekend dat de vector de richting van de L-as bepaalt. Zoek de numerieke projectie van de vector op de L-as.

Oplossing.

De formule in coördinaatvorm is waar en. We gebruiken het om de vereiste numerieke projectie van de vector op de L-as te vinden:

Antwoord:

Voorbeeld.

Twee vectoren worden gegeven met betrekking tot het rechthoekige coördinatenstelsel Oxyz in de driedimensionale ruimte en ... Zoek de numerieke projectie van de vector op de L-as, waarvan de richting samenvalt met de richting van de vector.

Oplossing.

Op coördinaten van vectoren en je kunt het puntproduct van deze vectoren berekenen: ... De lengte van een vector door zijn coördinaten wordt berekend met de volgende formule: ... Dan heeft de formule voor het bepalen van de numerieke projectie van de vector op de L-as in coördinaten de vorm .

Laten we het toepassen:

Antwoord:

Laten we nu de relatie bekijken tussen de numerieke projectie van de vector op de L-as, de richting waarvan de vector definieert, en de lengte van de projectie van de vector op de L-as. Om dit te doen, tekent u de L-as, legt u de vectoren opzij en laat u vanaf een punt dat op L ligt de loodlijn van het uiteinde van de vector op de lijn L vallen en construeert u een projectie van de vector op de L-as. Afhankelijk van de maat van de hoek tussen de vectoren en zijn de volgende vijf opties mogelijk:

In het eerste geval ligt het dus voor de hand dat dan .

In het tweede geval, in de gemarkeerde rechthoekige driehoek, hebben we uit de definitie van de cosinus van een hoek , Vandaar, .

In het derde geval is het duidelijk dat, en , daarom, en .

In het vierde geval volgt uit de definitie van de cosinus van een hoek dat , waar .

In het laatste geval dus dan
.

De volgende definitie van de numerieke projectie van een vector op een as combineert de verkregen resultaten.

Definitie.

Numerieke projectie van de vector op de L-as gericht als een vector is

Voorbeeld.

De lengte van de vectorprojectie op de L-as, waarvan de richting de vector definieert, is. Wat is de numerieke projectie van de vector op de L-as, als de hoek tussen de vectoren en gelijk is aan radialen.