Plafond in de badkamer / 05.01.2022

De projecties van de vector a op de coördinaatassen zijn gegeven. Basisformules voor het vinden van afstanden met behulp van de projectie van een vector op een as

Laten we eerst onthouden wat is coördinaatas, projectie van een punt op een as En coördinaten van een punt op de as.

Coördinatenas is een rechte lijn waaraan een richting wordt gegeven. Je kunt het zien als een vector met een oneindig grote modulus.

Coördinatenas aangegeven met een willekeurige letter: X, Y, Z, s, t ... Gewoonlijk wordt een punt (willekeurig) op de as geselecteerd, dat de oorsprong wordt genoemd en in de regel wordt aangegeven met de letter O. Afstanden tot andere Vanaf dit punt worden voor ons interessante punten gemeten.

Projectie van een punt op een as- dit is de basis van de loodlijn die vanaf dit punt op de gegeven as valt (Fig. 8). Dat wil zeggen, de projectie van een punt op de as is een punt.

Puntcoördinaat per as is een getal waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het segment van de as (in de geselecteerde schaal) ingesloten tussen het begin van de as en de projectie van het punt op deze as. Dit getal wordt genomen met een plusteken als de projectie van het punt zich vanaf het begin in de richting van de as bevindt en met een minteken als het in de tegenovergestelde richting is.

Scalaire projectie van een vector op een as- deze nummer, waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het segment van de as (in de geselecteerde schaal) ingesloten tussen de projecties van het beginpunt en het eindpunt van de vector. Belangrijk! Meestal in plaats van de uitdrukking scalaire projectie van een vector op een as ze zeggen gewoon - projectie van een vector op een as, dat wil zeggen, het woord scalair verlaagd. vector projectie aangegeven met dezelfde letter als de geprojecteerde vector (in normaal, niet-vetgedrukt schrift), met een subscript (meestal) van de naam van de as waarop deze vector wordt geprojecteerd. Als bijvoorbeeld een vector op de x-as wordt geprojecteerd maar, dan wordt de projectie ervan aangeduid als a x . Wanneer dezelfde vector op een andere as wordt geprojecteerd, bijvoorbeeld de Y-as, wordt de projectie ervan aangeduid als y (Fig. 9).

Rekenen vectorprojectie op de as(bijvoorbeeld de X-as) is het noodzakelijk om de coördinaat van het startpunt af te trekken van de coördinaat van zijn eindpunt, dat wil zeggen

en x \u003d x k - x n.

We moeten onthouden: de scalaire projectie van een vector op een as (of simpelweg de projectie van een vector op een as) is een getal (geen vector)! Bovendien kan de projectie positief zijn als de waarde x k groter is dan de waarde x n, negatief als de waarde x k kleiner is dan de waarde x n en gelijk aan nul als x k gelijk is aan x n (Fig. 10).

De projectie van een vector op een as kan ook worden gevonden door de modulus van de vector te kennen en de hoek die deze met die as maakt.

Figuur 11 laat zien dat a x = a Cos α

Dat wil zeggen, de projectie van de vector op de as is gelijk aan het product van de vectormodulus en de cosinus van de hoek tussen asrichting en vectorrichting. Als de hoek scherp is, dan is Cos α > 0 en a x > 0, en als het stomp is, dan is de cosinus van de stompe hoek negatief en zal de projectie van de vector op de as ook negatief zijn.

Hoeken geteld vanaf de as tegen de klok in worden als positief beschouwd, en in de richting - negatief. Omdat de cosinus echter een even functie is, dat wil zeggen Cos α \u003d Cos (− α), kunnen de hoeken bij het berekenen van projecties zowel met de klok mee als tegen de klok in worden geteld.

Bij het oplossen van problemen worden vaak de volgende eigenschappen van projecties gebruikt: if

maar = B + C +…+ D, dan a x = b x + c x +…+ d x (vergelijkbaar voor andere assen),

een= m B, dan a x = mb x (vergelijkbaar voor andere assen).

De formule a x = a Cos α wordt Vaak ontmoeten bij het oplossen van problemen, dus het moet bekend zijn. U moet de regel kennen voor het bepalen van de projectie van buiten!

Onthouden!

Om de projectie van een vector op een as te vinden, moet de module van deze vector worden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en de richting van de vector.

Nogmaals - SNEL!

BASISCONCEPTEN VAN VECTOR ALGEBRA

Scalaire en vectorgrootheden

Uit de cursus elementaire natuurkunde is bekend dat sommige natuurkundige grootheden, zoals temperatuur, volume, lichaamsgewicht, dichtheid, enz., alleen door een numerieke waarde worden bepaald. Dergelijke hoeveelheden worden genoemd scalairen of scalairen.

Om enkele andere grootheden te bepalen, zoals kracht, snelheid, versnelling en dergelijke, is het naast numerieke waarden ook nodig om hun richting in de ruimte in te stellen. Grootheden die naast de absolute grootte ook worden gekenmerkt door richting worden genoemd vector.

Definitie Een vector is een gericht segment, dat wordt gedefinieerd door twee punten: het eerste punt bepaalt het begin van de vector en het tweede bepaalt het einde. Daarom zeggen ze ook dat een vector een geordend puntenpaar is.

In de figuur is de vector weergegeven als een recht lijnsegment, waarop de pijl de richting van het begin van de vector naar het einde aangeeft. Bijvoorbeeld afb. 2.1.

Als het begin van de vector samenvalt met het punt , en eindigen met een punt , dan wordt de vector aangeduid
. Bovendien worden vectoren vaak aangeduid met één kleine letter met een pijl erboven. . In boeken wordt soms de pijl weggelaten, dan wordt vetgedrukte tekst gebruikt om de vector aan te geven.

Vectoren zijn null vector die hetzelfde begin en einde heeft. Het wordt aangegeven of gewoon .

De afstand tussen het begin en het einde van een vector wordt zijn . genoemd lengte, of module. De vectormodulus wordt aangegeven door twee verticale balken aan de linkerkant:
, of zonder pijlen
of .

Vectoren die evenwijdig zijn aan één lijn heten collineair.

Vectoren die in hetzelfde vlak liggen of evenwijdig aan hetzelfde vlak worden genoemd coplanair.

De nulvector wordt als collineair voor elke vector beschouwd. De lengte is 0.

Definitie Twee vectoren
En
worden gelijk genoemd (Fig. 2.2) als ze:
1)collineair; 2) mede-geregisseerd 3) gelijk in lengte.

Het is zo geschreven:
(2.1)

Uit de definitie van gelijkheid van vectoren volgt dat bij een parallelle overdracht van een vector een vector wordt verkregen die gelijk is aan de oorspronkelijke, daarom kan het begin van de vector op elk punt in de ruimte worden geplaatst. Dergelijke vectoren (in de theoretische mechanica, geometrie), waarvan het begin op elk punt in de ruimte kan worden geplaatst, worden genoemd vrij. En het zijn deze vectoren die we zullen beschouwen.

Definitie vector systeem
heet lineair afhankelijk als er zulke constanten zijn
, waaronder er minstens één anders is dan nul, en waarvoor gelijkheid geldt.

Definitie Een willekeurige drie niet-coplanaire vectoren, die in een bepaalde volgorde worden genomen, worden een basis in de ruimte genoemd.

Definitie Als
- basis en vector, dan de getallen
worden de coördinaten van de vector genoemd op deze grondslag.

We zullen de vectorcoördinaten tussen accolades schrijven na de vectoraanduiding. Bijvoorbeeld,
betekent dat de vector in een gekozen basis heeft een ontleding:
.

Uit de eigenschappen van vermenigvuldiging van een vector met een getal en optelling van vectoren volgt een bewering over lineaire acties op vectoren die worden gegeven door coördinaten.

Om de coördinaten van een vector te vinden, als de coördinaten van het begin en einde bekend zijn, is het noodzakelijk om de coördinaat van het begin af te trekken van de corresponderende coördinaat van het einde.

Lineaire bewerkingen op vectoren

Lineaire bewerkingen op vectoren zijn de bewerkingen van het optellen (aftrekken) van vectoren en het vermenigvuldigen van een vector met een getal. Laten we ze eens bekijken.

Definitie Vector product per nummer
heet een vector die samenvalt in de richting met de vector , als
, die de tegenovergestelde richting heeft, als
negatief. De lengte van deze vector is gelijk aan het product van de lengte van de vector per modulo nummer
.

P voorbeeld . Bouw vector
, als
En
(Afb. 2.3).

Wanneer een vector wordt vermenigvuldigd met een getal, worden de coördinaten vermenigvuldigd met dat getal..

Inderdaad, als, dan

Vector product op de
genaamd vector
;
- tegengestelde richting .

Merk op dat een vector waarvan de lengte 1 is, wordt genoemd enkel(of ortho).

Met behulp van de bewerking van het vermenigvuldigen van een vector met een getal, kan elke vector worden uitgedrukt in termen van een eenheidsvector van dezelfde richting. Inderdaad, het delen van de vector voor zijn lengte (d.w.z. vermenigvuldigen) op de ), krijgen we een eenheidsvector van dezelfde richting als de vector . We zullen het aanduiden
. Hieruit volgt dat
.

Definitie De som van twee vectoren En genaamd vector , die voortkomt uit hun gemeenschappelijke oorsprong en de diagonaal is van een parallellogram waarvan de zijden vectoren zijn En (Afb. 2.4).

Per definitie van gelijke vectoren
Dat is waarom
-driehoeksregel. De driehoeksregel kan worden uitgebreid tot een willekeurig aantal vectoren en zo de polygoonregel verkrijgen:
is de vector die het begin van de eerste vector verbindt met het einde van de laatste vector (Afb. 2.5).

Dus om de somvector te construeren, is het noodzakelijk om het begin van de tweede aan het einde van de eerste vector te bevestigen, aan het einde van de tweede om het begin van de derde te bevestigen, enzovoort. Dan is de somvector de vector die het begin van de eerste van de vectoren verbindt met het einde van de laatste.

Wanneer vectoren worden opgeteld, worden hun corresponderende coördinaten ook opgeteld

Inderdaad, als en
,

Als de vectoren
En zijn niet coplanair, dan is hun som een diagonaal
een parallellepipedum gebouwd op deze vectoren (Fig. 2.6)

waar

Eigenschappen:

- commutativiteit;

- associativiteit;

- distributiviteit met betrekking tot vermenigvuldiging met een getal

Die. een vectorsom kan worden getransformeerd volgens dezelfde regels als een algebraïsche.

DefinitieHet verschil van twee vectoren En heet zo'n vector , die, wanneer toegevoegd aan de vector geeft een vector . Die.
als
. Geometrisch vertegenwoordigt de tweede diagonaal van het parallellogram gebouwd op de vectoren En met een gemeenschappelijk begin en gericht vanaf het einde van de vector naar het einde van de vector (Afb. 2.7).

Projectie van een vector op een as. Projectie-eigenschappen

Denk aan het concept van een getallenlijn. Een numerieke as is een rechte lijn waarop:

richting (→);

referentiepunt (punt O);

segment, dat als schaaleenheid wordt genomen.

Laat er een vector zijn
en as . van punten En laten we de loodlijnen op de as laten vallen . Laten we de punten pakken En - puntprojecties En (Afb. 2.8a).

Definitie vector projectie
per as de lengte van het segment genoemd
deze as, die zich bevindt tussen de basissen van de projecties van het begin en einde van de vector
per as . Het wordt genomen met een plusteken als de richting van het segment
samenvalt met de richting van de projectie-as, en met een minteken als deze richtingen tegengesteld zijn. Aanduiding:
.

OVER definitie Hoek tussen vector
en as de hoek genoemd , waarbij het nodig is om de as op de kortste manier te draaien zodat het samenvalt met de richting van de vector
.

Laten we vinden
:

Figuur 2.8a toont:
.

Op afb. 2.8b): .

De projectie van een vector op een as is gelijk aan het product van de lengte van deze vector en de cosinus van de hoek tussen de vector en de projectie-as:
.

Projectie-eigenschappen:

Als
, dan worden de vectoren orthogonaal genoemd

Voorbeeld . Vectoren worden gegeven
,
.Dan

Voorbeeld. Als het begin van de vector
is op het punt
en eindigen op een punt
, dan de vector
heeft coördinaten:

OVER definitie Hoek tussen twee vectoren En de kleinste hoek genoemd
(Fig. 2.13) tussen deze vectoren, teruggebracht tot een gemeenschappelijk begin .

Hoek tussen vectoren En symbolisch als volgt geschreven: .

Uit de definitie volgt dat de hoek tussen vectoren kan variëren binnen
.

Als
, dan worden de vectoren orthogonaal genoemd.

Definitie. De cosinussen van de hoeken van een vector met de coördinaatassen worden richtingscosinus van de vector genoemd. Als de vector
vormt hoeken met de coördinaatassen

Algebraïsche vectorprojectie op elke as is gelijk aan het product van de lengte van de vector en de cosinus van de hoek tussen de as en de vector:

Rechts a b = |b|cos(a,b) of

Waar a b het scalaire product van vectoren is, |a| - modulus van vector a .

Instructie. Om de projectie van de vector Пp a b online te vinden, moet je de coördinaten van de vectoren a en b specificeren. In dit geval kan de vector in het vlak (twee coördinaten) en in de ruimte (drie coördinaten) worden gegeven. De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word-bestand. Als de vectoren worden gegeven door de coördinaten van de punten, moet u deze rekenmachine gebruiken.

Classificatie van vectorprojectie

Soorten projecties per definitie vectorprojectie

De geometrische projectie van de vector AB op de as (vector) wordt de vector A"B" genoemd, waarvan A' de projectie is van het begin A op de as (vector), en het einde B' de projectie is van het uiteinde B op dezelfde as.
De algebraïsche projectie van de vector AB op de as (vector) wordt de lengte van de vector A"B" genoemd, genomen met een + of - teken, afhankelijk van of de vector A"B" dezelfde richting heeft als de as ( vector).

Soorten projecties per coördinatensysteem

Eigenschappen vectorprojectie

De geometrische projectie van een vector is een vector (hij heeft een richting).
De algebraïsche projectie van een vector is een getal.

Stellingen van vectorprojectie

Stelling 1. De projectie van de som van vectoren op een willekeurige as is gelijk aan de projectie van de termen van de vectoren op dezelfde as.

AC"=AB"+B"C"

Stelling 2. De algebraïsche projectie van een vector op een willekeurige as is gelijk aan het product van de lengte van de vector en de cosinus van de hoek tussen de as en de vector:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Soorten vectorprojecties

projectie op de OX-as.
projectie op de OY-as.
projectie op een vector.

Projectie op de OX-as	Projectie op de OY-as	Projectie naar vector
Als de richting van de vector A'B' samenvalt met de richting van de OX-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.	Als de richting van de vector A'B' samenvalt met de richting van de OY-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.	Als de richting van de vector A'B' samenvalt met de richting van de vector NM, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.
Als de richting van de vector tegengesteld is aan de richting van de OX-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.	Als de richting van de vector A'B' tegengesteld is aan de richting van de OY-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.	Als de richting van de vector A'B' tegengesteld is aan de richting van de vector NM, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.
Als de vector AB evenwijdig is aan de as OX, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de modulus van de vector AB.	Als de vector AB evenwijdig is aan de OY-as, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de modulus van de vector AB.	Als de vector AB evenwijdig is aan de vector NM, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de modulus van de vector AB.
Als de vector AB loodrecht staat op de as OX, dan is de projectie van A'B' gelijk aan nul (nul-vector).	Als de vector AB loodrecht staat op de OY-as, dan is de projectie van A'B' gelijk aan nul (een nulvector).	Als de vector AB loodrecht staat op de vector NM, dan is de projectie van A'B' gelijk aan nul (een nulvector).

1. Vraag: Kan de projectie van een vector een negatief teken hebben. Antwoord: Ja, vectorprojecties kunnen negatief zijn. In dit geval heeft de vector de tegenovergestelde richting (zie hoe de OX-as en de AB-vector gericht zijn)
2. Vraag: Kan de projectie van een vector samenvallen met de modulus van de vector. Antwoord: Ja, dat kan. In dit geval zijn de vectoren evenwijdig (of liggen ze op dezelfde lijn).
3. Vraag: Kan de projectie van een vector gelijk zijn aan nul (nul-vector). Antwoord: Ja, dat kan. In dit geval staat de vector loodrecht op de overeenkomstige as (vector).

Voorbeeld 1 . De vector (Fig. 1) vormt een hoek van 60 o met de OX-as (deze wordt gegeven door de vector a). Als OE een schaaleenheid is, dan is |b|=4, dus .

Inderdaad, de lengte van de vector (geometrische projectie b) is gelijk aan 2, en de richting valt samen met de richting van de OX-as.

Voorbeeld 2 . De vector (Fig. 2) vormt een hoek met de OX-as (met de vector a) (a,b) = 120 o . Lengte |b| vector b is gelijk aan 4, dus pr a b=4 cos120 o = -2.

Inderdaad, de lengte van de vector is gelijk aan 2 en de richting is tegengesteld aan de richting van de as.

Er zullen ook taken zijn voor een onafhankelijke oplossing, waarop u de antwoorden kunt zien.

vector concept

Voordat u alles leert over vectoren en bewerkingen daarop, moet u eerst afstemmen om een eenvoudig probleem op te lossen. Er is een vector van uw onderneming en een vector van uw innovatieve vaardigheden. De vector van ondernemerschap leidt je naar Doel 1, en de vector van innovatief vermogen - naar Doel 2. De spelregels zijn zodanig dat je niet tegelijk in de richting van deze twee vectoren kunt bewegen en twee doelen tegelijk kunt bereiken. Vectoren werken op elkaar in, of, wiskundig gesproken, er wordt een bewerking uitgevoerd op vectoren. Het resultaat van deze bewerking is de vector "Resultaat", die u naar Doel 3 leidt.

Vertel me nu: het resultaat van welke bewerking op de vectoren "Onderneming" en "Innovatieve vaardigheden" is de vector "Resultaat"? Als je het niet meteen kunt zeggen, wees dan niet ontmoedigd. Als je deze les bestudeert, zul je in staat zijn om deze vraag te beantwoorden.

Zoals we hierboven hebben gezien, komt de vector noodzakelijkerwijs van een bepaald punt EEN in een rechte lijn naar een bepaald punt B. Bijgevolg heeft elke vector niet alleen een numerieke waarde - lengte, maar ook een fysieke en geometrische - richting. Hieruit wordt de eerste, eenvoudigste definitie van een vector afgeleid. Een vector is dus een gericht segment vanuit een punt EEN ter zake B. Het is als volgt gemarkeerd:

En om anders te beginnen vector operaties , moeten we nog een definitie van een vector leren kennen.

Een vector is een soort representatie van een punt dat bereikt moet worden vanaf een bepaald startpunt. Een driedimensionale vector wordt bijvoorbeeld meestal geschreven als (x, y, z) . Simpel gezegd, deze cijfers geven aan hoe ver je in drie verschillende richtingen moet gaan om ter zake te komen.

Laat een vector worden gegeven. Waarin x = 3 (rechterhand wijst naar rechts) ja = 1 (linkerhand wijst naar voren) z = 5 (onder de punt gaat een ladder omhoog). Op basis van deze gegevens vindt u het punt door 3 meter te lopen in de richting die wordt aangegeven door de rechterhand, dan 1 meter in de richting die wordt aangegeven door de linkerhand, en dan wacht een ladder op u en, als u 5 meter klimt, vindt u uiteindelijk jezelf op het eindpunt.

Alle andere termen zijn verfijningen van de hierboven gepresenteerde uitleg, die nodig zijn voor verschillende bewerkingen op vectoren, dat wil zeggen voor het oplossen van praktische problemen. Laten we deze meer rigoureuze definities doornemen en stilstaan bij typische vectorproblemen.

fysieke voorbeelden vectorgrootheden kunnen de verplaatsing zijn van een materieel punt dat in de ruimte beweegt, de snelheid en versnelling van dit punt, evenals de kracht die erop werkt.

geometrische vector weergegeven in tweedimensionale en driedimensionale ruimte in de vorm gericht segment. Dit is een segment met een begin en een einde.

Als EEN is het begin van de vector, en B is het einde, dan wordt de vector aangeduid met het symbool of een enkele kleine letter . In de figuur is het einde van de vector aangegeven met een pijl (Fig. 1)

Lengte(of module) van een geometrische vector is de lengte van het segment dat het genereert

De twee vectoren worden genoemd Gelijk , als ze kunnen worden gecombineerd (wanneer de richtingen samenvallen) door parallelle translatie, d.w.z. als ze evenwijdig zijn, wijzen ze in dezelfde richting en zijn ze even lang.

In de natuurkunde wordt vaak gedacht: vastgezette vectoren, gegeven door het aanbrengpunt, de lengte en de richting. Als het aangrijpingspunt van de vector er niet toe doet, kan deze worden overgedragen, waarbij de lengte en richting naar elk punt in de ruimte behouden blijft. In dit geval heet de vector vrij. We stemmen ermee in om alleen te overwegen gratis vectoren.

Lineaire bewerkingen op geometrische vectoren

Een vector vermenigvuldigen met een getal

Vector product per nummer Een vector wordt een vector genoemd die is verkregen uit een vector door tijden uit te rekken (at ) of te verkleinen (at ), en de richting van de vector blijft behouden als , en omgekeerd als . (Figuur 2)

Uit de definitie volgt dat de vectoren en = altijd op één of evenwijdige lijnen liggen. Dergelijke vectoren worden genoemd collineair. (Je kunt ook zeggen dat deze vectoren parallel zijn, maar in vectoralgebra is het gebruikelijk om "collineair" te zeggen.) Het omgekeerde is ook waar: als de vectoren en collineair zijn, dan zijn ze gerelateerd door de relatie

Daarom drukt gelijkheid (1) de voorwaarde van collineariteit van twee vectoren uit.

Vector optellen en aftrekken

Als u vectoren toevoegt, moet u dat weten som vectoren en wordt een vector genoemd waarvan het begin samenvalt met het begin van de vector, en het einde samenvalt met het einde van de vector, op voorwaarde dat het begin van de vector aan het einde van de vector is bevestigd. (Afb. 3)

Deze definitie kan worden verdeeld over een willekeurig eindig aantal vectoren. Laat in de ruimte gegeven N gratis vectoren. Bij het optellen van meerdere vectoren wordt hun som genomen als de sluitvector, waarvan het begin samenvalt met het begin van de eerste vector en het einde met het einde van de laatste vector. Dat wil zeggen, als het begin van de vector aan het einde van de vector is bevestigd, en het begin van de vector aan het einde van de vector, enz. en, ten slotte, tot het einde van de vector - het begin van de vector, dan is de som van deze vectoren de afsluitende vector , waarvan het begin samenvalt met het begin van de eerste vector , en waarvan het einde samenvalt met het einde van de laatste vector . (Afb. 4)

De termen worden de componenten van de vector genoemd, en de geformuleerde regel is veelhoek regel. Deze veelhoek mag niet vlak zijn.

Wanneer een vector wordt vermenigvuldigd met het getal -1, wordt de tegenovergestelde vector verkregen. De vectoren en hebben dezelfde lengte en tegengestelde richtingen. Hun som geeft null vector, waarvan de lengte nul is. De richting van de nulvector is niet gedefinieerd.

In vectoralgebra is het niet nodig om de bewerking van aftrekken afzonderlijk te beschouwen: een vector aftrekken van een vector betekent de tegenovergestelde vector bij de vector optellen, d.w.z.

voorbeeld 1 Vereenvoudig de uitdrukking:

dat wil zeggen, vectoren kunnen worden opgeteld en vermenigvuldigd met getallen op dezelfde manier als polynomen (in het bijzonder ook problemen voor het vereenvoudigen van uitdrukkingen). Gewoonlijk ontstaat de noodzaak om lineair vergelijkbare uitdrukkingen met vectoren te vereenvoudigen voordat de producten van vectoren worden berekend.

Voorbeeld 2 De vectoren en dienen als diagonalen van het parallellogram ABCD (Fig. 4a). Druk uit in termen van en de vectoren , , en , die de zijden van dit parallellogram zijn.

Oplossing. Het snijpunt van de diagonalen van een parallellogram halveert elke diagonaal. De lengtes van de vectoren die nodig zijn in de toestand van het probleem worden gevonden als de helft van de sommen van de vectoren die een driehoek vormen met de gewenste, of als de helft van de verschillen (afhankelijk van de richting van de vector die als diagonaal dient), of, zoals in het laatste geval, de helft van de som met een minteken. Het resultaat is de vectoren die nodig zijn in de toestand van het probleem:

Er is alle reden om aan te nemen dat u de vraag over de vectoren "Onderneming" en "Innovatieve vaardigheden" aan het begin van deze les nu correct hebt beantwoord. Correct antwoord: deze vectoren worden onderworpen aan een optelbewerking.

Los zelf problemen op vectoren op en bekijk vervolgens de oplossingen

Hoe vind je de lengte van de som van vectoren?

Dit probleem neemt een speciale plaats in bij operaties met vectoren, omdat het gaat om het gebruik van trigonometrische eigenschappen. Stel dat u een taak heeft zoals de volgende:

Gezien de lengte van vectoren en de lengte van de som van deze vectoren. Zoek de lengte van het verschil van deze vectoren.

Oplossingen voor deze en andere soortgelijke problemen en uitleg over hoe ze op te lossen - in de les " Vectoroptelling: de lengte van de som van vectoren en de cosinusstelling ".

En u kunt de oplossing van dergelijke problemen bekijken op Online rekenmachine "Onbekende zijde van een driehoek (vectoroptelling en cosinusstelling)" .

Waar zijn de producten van vectoren?

De producten van een vector door een vector zijn geen lineaire operaties en worden afzonderlijk beschouwd. En we hebben lessen "Dot Product van Vectoren" en "Vector en Gemengd Product van Vectoren".

Projectie van een vector op een as

De projectie van een vector op een as is gelijk aan het product van de lengte van de geprojecteerde vector en de cosinus van de hoek tussen de vector en de as:

Zoals bekend is de projectie van een punt EEN op de lijn (vlak) is de basis van de loodlijn die vanaf dit punt naar de lijn (vlak) is gevallen.

Laat - een willekeurige vector (Fig. 5), en en - projecties van het begin (punten EEN) en einde (punten B) per as ik. (Om de projectie van een punt te bouwen EEN) teken recht door het punt EEN vlak loodrecht op de lijn. Het snijpunt van een lijn en een vlak bepaalt de vereiste projectie.

Component van de vector op de l-as zo'n vector genoemd die op deze as ligt, waarvan het begin samenvalt met de projectie van het begin en het einde - met de projectie van het einde van de vector .

De projectie van de vector op de as ik een nummer gebeld

gelijk aan de lengte van de componentvector op deze as, genomen met een plusteken als de richting van de component samenvalt met de richting van de as ik, en met een minteken als deze richtingen tegengesteld zijn.

De belangrijkste eigenschappen van vectorprojecties op de as:

1. De projecties van gelijke vectoren op dezelfde as zijn gelijk aan elkaar.

2. Wanneer een vector wordt vermenigvuldigd met een getal, wordt de projectie ervan vermenigvuldigd met hetzelfde getal.

3. De projectie van de som van vectoren op een willekeurige as is gelijk aan de som van de projecties op dezelfde as van de termen van de vectoren.

4. De projectie van een vector op een as is gelijk aan het product van de lengte van de geprojecteerde vector en de cosinus van de hoek tussen de vector en de as:

Oplossing. Laten we de vectoren op de as projecteren ik zoals gedefinieerd in de theoretische referentie hierboven. Uit figuur 5a blijkt duidelijk dat de projectie van de som van vectoren gelijk is aan de som van de projecties van vectoren. We berekenen deze projecties:

We vinden de uiteindelijke projectie van de som van vectoren:

Relatie van een vector met een rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel in de ruimte

kennismaking met rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel in de ruimte vond plaats in de bijbehorende les, bij voorkeur openen in een nieuw venster.

In een geordend systeem van coördinaatassen 0xyz as OS genaamd x-as, as 0j – y-as, en as 0z – as toepassen.

met willekeurig punt m ruimte stropdas vector

genaamd straal vector punten m en projecteer het op elk van de coördinaatassen. Laten we de waarden van de bijbehorende projecties aanduiden:

Cijfers x, y, z genaamd coördinaten van punt M respectievelijk abscis, ordinaat En appliqueren, en worden geschreven als een geordend punt van nummers: M(x; y; z)(Afb. 6).

Een vector van lengte-eenheid waarvan de richting samenvalt met de richting van de as heet eenheid Vector(of ortom) assen. Aanduiden door

Dienovereenkomstig zijn de eenheidsvectoren van de coördinaatassen OS, Oy, Ozo

Stelling. Elke vector kan worden ontleed in de eenheidsvectoren van de coördinaatassen:

(2)

Gelijkheid (2) wordt de expansie van de vector langs de coördinaatassen genoemd. De coëfficiënten van deze expansie zijn de projecties van de vector op de coördinaatassen. De uitzettingscoëfficiënten (2) van de vector langs de coördinaatassen zijn dus de coördinaten van de vector.

Na het kiezen van een bepaald coördinatensysteem in de ruimte, bepalen de vector en het drietal van zijn coördinaten elkaar op unieke wijze, zodat de vector kan worden geschreven in de vorm

De vectorrepresentaties in de vorm (2) en (3) zijn identiek.

De toestand van collineaire vectoren in coördinaten

Zoals we al hebben opgemerkt, worden vectoren collineair genoemd als ze gerelateerd zijn door de relatie

Laat vectoren . Deze vectoren zijn collineair als de coördinaten van de vectoren gerelateerd zijn door de relatie

dat wil zeggen, de coördinaten van de vectoren zijn evenredig.

Voorbeeld 6 gegeven vectoren . Zijn deze vectoren collineair?

Oplossing. Laten we eens kijken naar de verhouding van de coördinaten van deze vectoren:

De coördinaten van de vectoren zijn evenredig, daarom zijn de vectoren collineair, of wat hetzelfde is, parallel.

Vector lengte en richting cosinus

Door de onderlinge loodrechtheid van de coördinaatassen is de lengte van de vector

is gelijk aan de lengte van de diagonaal van een rechthoekig parallellepipedum gebouwd op de vectoren

en wordt uitgedrukt door de gelijkheid

(4)

Een vector wordt volledig gedefinieerd door twee punten op te geven (begin en einde), dus de coördinaten van de vector kunnen worden uitgedrukt in termen van de coördinaten van deze punten.

Laat het begin van de vector in het gegeven coördinatensysteem in het punt zijn

en het einde is op het punt

van gelijkheid

volgt dat

of in coördinaatvorm

Vervolgens, de coördinaten van de vector zijn gelijk aan de verschillen van de coördinaten met dezelfde naam van het einde en het begin van de vector . Formule (4) heeft in dit geval de vorm

De richting van de vector wordt bepaald richting cosinus . Dit zijn de cosinuslijnen van de hoeken die de vector maakt met de assen OS, Oy En Ozo. Laten we deze hoeken respectievelijk aanwijzen α , β En γ . Dan kunnen de cosinuslijnen van deze hoeken worden gevonden met de formules

De richtingscosinus van een vector zijn ook de coördinaten van de vector van de vector en dus de vector van de vector