, [−5π/2; −3π/2]. . . - kortom, op alle intervallen [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], waarbij k Z, en op alle segmenten afneemt

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], waarbij n Z.

Probleem 11.6. Op welke intervallen neemt de functie y = cos x af en op welke?

Probleem 11.8. Rangschik in oplopende volgorde: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafieken van tangens en cotangens

Laten we de functie y = tg x plotten. Laten we het eerst construeren voor getallen x die behoren tot het interval (−π/2; π/2).

Als x = 0, dan is tg x = 0; als x toeneemt van 0 tot π / 2, neemt ook tg x toe - dit is te zien als je naar de raaklijn kijkt (Fig. 12.1 a). Naarmate x π/2 nadert terwijl hij kleiner blijft

Rijst. 12.2. y = tgx.

π/2 neemt de waarde van tg x toe (het punt M in figuur 12.1a loopt hoger en hoger) en kan uiteraard een willekeurig groot positief getal worden. Evenzo, als x afneemt van 0 tot −π/2, wordt tg x een negatief getal waarvan de absolute waarde toeneemt naarmate x −π/2 nadert. Voor x = π/2 of −π/2 is de functie tg x niet gedefinieerd. Daarom ziet de grafiek y = tg x voor x (−π/2; π/2) er ongeveer zo uit als in Fig. 12.1 b.

Nabij de oorsprong ligt onze kromme dicht bij een rechte lijn y = x x: voor kleine scherpe hoeken is immers de benaderde gelijkheid tg x ≈ x waar. We kunnen zeggen dat de lijn y = x de grafiek van de functie y = tg x in de oorsprong raakt. Bovendien is de curve in figuur 12.1 b symmetrisch om de oorsprong. Dit wordt verklaard door het feit dat de functie y = tg x oneven is, dat wil zeggen dat de identiteit tg(−x) = − tg x geldt.

Om de functie y = tg x voor alle x uit te zetten, onthoud dat tg x een periodieke functie is met periode π. Om de volledige grafiek van de functie y = tg x te krijgen, is het daarom noodzakelijk om de curve in Fig. 12.1 b, door het langs de abscis te verplaatsen naar afstanden πn, waarbij n een geheel getal is. Het uiteindelijke aanzicht van de grafiek van de functie y = tg x is in Fig. 12.2.

Volgens de grafiek zien we opnieuw dat de functie y = tg x

Rijst. 12.3. y = ctgx.

is niet gedefinieerd voor x = π/2 + πn, n Z, dat wil zeggen voor die x waarvoor cos x = 0. Verticale lijnen met de vergelijkingen x = π/2, 3π/2,. . . , waarnaar de takken van de grafiek naderen, worden de asymptoten van de grafiek genoemd.

Op dezelfde afb. 12.2 we hebben oplossingen voor de vergelijking tg x = a weergegeven.

Laten we de functie y = ctg x plotten. De eenvoudigste manier is om de reductieformule ctg x = tg(π/2 − x) te gebruiken om deze grafiek uit de grafiek van de functie y = tg x te halen met behulp van transformaties zoals die we in de vorige paragraaf hebben beschreven. Het resultaat staat in afb. 12.3

Probleem 12.1. De grafiek van de functie y = ctg x wordt verkregen uit de grafiek van de functie y = tg x met symmetrie rond een lijn. Welke? Zijn er andere regels met de opgegeven eigenschap?

Probleem 12.2. Hoe ziet de vergelijking van een rechte raaklijn aan de grafiek van de functie y = ctg x eruit op een punt met coördinaten (π/2; 0)?

Probleem 12.3. Vergelijk de getallen: a) tg(13π/11) en tg 3,3π; b) tan 9.6π en ctg(−11.3π).

Probleem 12.4. Rangschik de getallen in oplopende volgorde: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Probleem 12.5. Teken de functiegrafieken:

Probleem 12.7. Plot de functie y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Waar is sin x + cos x gelijk aan?

In deze paragraaf proberen we het volgende probleem op te lossen: wat is de grootste waarde die de uitdrukking sin x + cos x kan aannemen?

Als je goed hebt geteld, zou je uit die van alle x in deze tabel moeten komen, de grootste waarde is sin x + cos x

wordt verkregen voor x dichtbij 45◦ of, in radiale maat, tot π/4.

Als x = π/4, is de exacte waarde van sin x + cos x 2. Het blijkt dat ons experimenteel verkregen resultaat en in

is eigenlijk waar: voor alle x is de ongelijkheid sin x + cos x 6 waar

2, dus 2 is de grootste waarde die deze uitdrukking kan aannemen.

We missen nog steeds de middelen om deze ongelijkheid op de meest natuurlijke manier te bewijzen. Voor nu zullen we laten zien hoe we dit kunnen reduceren tot een planimetrieprobleem.

Als 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Daarom wordt onze taak als volgt geherformuleerd: bewijzen dat de som van de lengtes van de benen van een rechthoekige driehoek met hypotenusa 1 maximaal zal zijn als deze driehoek gelijkbenig is.

Probleem 13.1. Bewijs deze stelling.

Aangezien een gelijkbenige rechthoekige driehoek met gi-

potentiuse 1, de som van de lengtes van de benen is gelijk aan 2√ , het resultaat van dit probleem impliceert de ongelijkheid sin x + cos x 6 2 voor alle x liggend in het interval (0; π/2). Hieruit kan al gemakkelijk worden geconcludeerd dat deze ongelijkheid in het algemeen geldt voor alle x.

Het resultaat van probleem 13.1 geldt niet alleen voor rechthoekige driehoeken.

Probleem 13.2. Bewijs dat van alle driehoeken met gegeven zijde AC en hoek B, de grootste som AB + BC is voor een gelijkbenige driehoek met basis AC.

Laten we teruggaan naar trigonometrie.

Probleem 13.3. Gebruik de sinustabel van § 3 om de grafiek van de functie y \u003d sin x + cos x in punten uit te zetten.

Indicatie. Vergeet niet dat x in radialen moet zijn; gebruik voor x-waarden buiten het segment de reductieformules.

Als je alles goed hebt gedaan, zou je een curve moeten hebben die eruitziet als een sinusgolf. Later zullen we zien dat deze curve niet alleen vergelijkbaar is, maar een sinusoïde is. We zullen ook leren hoe we de grootste waarden kunnen vinden van uitdrukkingen zoals 3 sin x + 4 cos x (trouwens, de grafiek van de functie y = 3 sin x + 4 cos x is ook een sinusoïde!).

Deze videoles bespreekt de eigenschappen van functies y =tgx,y=ctgx, laat zien hoe ze hun grafieken kunnen plotten.

De video-tutorial begint door naar de functie te kijken y =tgx.

De eigenschappen van de functie worden gemarkeerd.

1) Functiebereik: y =tgx alle reële getallen worden genoemd behalve x =π / 2 + 2 pk. Die. er zijn geen punten in de grafiek die bij een rechte lijn horen x =π/2 en x = -π/2, evenals x = 3π/2 enzovoort (met dezelfde frequentie). Dus de grafiek van de functie y =tgx zal bestaan ​​uit een oneindig aantal takken die in de openingen tussen de rechte lijnen zullen zijn x = - 3π/2 en x = -/2 , x = -π/2 en x = π/2 enzovoort.

2) Functie: y =tgx is periodiek, waarbij de hoofdperiode π is. Dit bevestigt de gelijkheid tg(x- π ) = tg x =tg(x +π ) . Deze gelijkheden werden eerder bestudeerd, de auteur nodigt studenten uit om ze terug te roepen, wat aangeeft dat voor elke toelaatbare waarde t gelijkheden zijn waar:

tg(t + π ) = tg t, en C tg(t +π ) = ctg t. Het gevolg van deze gelijkheden is dat als een tak van de grafiek van de functie y \u003d tg x tussen de lijnen x = - π/2 en x\u003d π / 2, dan kunnen de resterende takken worden verkregen door deze tak langs de x-as te verschuiven met π, 2π enzovoort.

3) Functie: y =tgx is vreemd, omdat . tg(- x) =- tg x.

Laten we nu verder gaan met het plotten van de functiegrafiek y =tgx. Zoals volgt uit de eigenschappen van de hierboven beschreven functie, is de functie y =tgx periodiek en vreemd. Daarom is het voldoende om een ​​deel van de grafiek te bouwen - één tak in één interval, en vervolgens de symmetrie te gebruiken om over te dragen. De auteur geeft een tabel waarin de waarden worden berekend tgx bij bepaalde waarden x voor nauwkeurigere grafieken. Deze punten zijn gemarkeerd op de coördinatenas en verbonden door een vloeiende lijn. Omdat de grafiek is symmetrisch rond de oorsprong, dan wordt dezelfde tak geconstrueerd, symmetrisch aan de oorsprong. Als resultaat krijgen we één tak van de grafiek y =tgx. Verder wordt door een verschuiving langs de x-as met π, 2 π, enzovoort, een grafiek verkregen y =tgx.

Functie Grafiek y =tgx wordt de tangentoïde genoemd, en de drie takken van de grafiek in de figuur zijn de hoofdtakken van de tangentoïde.

4) Functie: y =tgx op elk van de intervallen (- + ; +) toeneemt.

5) Functiegrafiek: y =tgx heeft geen boven- en onderbeperkingen.

6) Functie: y =tgx heeft geen maximale of minimale waarde.

7) Functie: y =tgx continu op elk interval (- - π/2+π; π/2+π). De rechte lijn π/2+π heet de asymptoot van de grafiek van de functie y =tgx sinds op deze punten wordt de grafiek van de functie onderbroken.

8) Een set functiewaarden: y =tgx alle reële getallen worden genoemd.

Verderop in de video-tutorial wordt een voorbeeld gegeven: los de vergelijking op met tgx. Om op te lossen, construeren we 2 grafieken van de functie Bij en vind de snijpunten van deze grafieken: dit is een oneindige reeks punten waarvan de abscis verschillen met πk. De wortel van deze vergelijking zal zijn x= π/6 + πk.

Beschouw de grafiek van de functie y =ctgx. Een functiegrafiek kan op twee manieren worden geplot.

De eerste methode omvat het plotten van een grafiek op dezelfde manier als het plotten van een grafiek functies y =tgx. Laten we een tak van de grafiek van de functie bouwen y = ctgx tussen de lijnen x= 0en x= pi. Vervolgens construeren we met behulp van symmetrie en periodiciteit andere takken van de grafiek.

De tweede manier is eenvoudiger. Functie Grafiek y = stgx kan worden verkregen door de tangentoïde om te zetten met behulp van de reductieformule Mettgx = - tg (x +/2). Om dit te doen, verschuiven we een tak van de grafiek van de functie y=tgx langs de x-as met π/2 naar rechts. De overige takken worden verkregen door deze tak langs de x-as te verschuiven met π, 2π, enzovoort. Grafiek van de functie y \u003d ctg x ook wel de tangentoïde genoemd, en de tak van de grafiek in het interval (0; π) is de hoofdtak van de tangentoïde.

TEKST INTERPRETATIE:

We zullen de eigenschappen van de functie y \u003d tg x (y is gelijk aan tangens x), y \u003d ctg x (y is gelijk aan cotangens x) beschouwen, we zullen hun grafieken bouwen. Beschouw de functie y = tgx

Laten we, voordat we de functie y \u003d tg x plotten, de eigenschappen van deze functie opschrijven.

EIGENSCHAP 1. Het domein van de functie y \u003d tg x is alle reële getallen, behalve getallen van de vorm x \u003d + πk (x is gelijk aan de som van pi door twee en pi ka).

Dit betekent dat er geen punten in de grafiek van deze functie zijn die behoren tot de rechte x = (we krijgen als k= 0 ka gelijk is aan nul) en de rechte x = (x is gelijk aan minus pi door twee) (we krijgen als k= - 1 ka gelijk is aan min één), en de rechte lijn x \u003d (x is gelijk aan drie pi bij twee) (we krijgen als k \u003d 1 ka gelijk is aan één), enz. Dus de grafiek van de functie y \u003d tg x zal bestaan ​​uit een oneindig aantal takken die zich in de intervallen tussen rechte lijnen zullen bevinden. Namelijk in de strook tussen x = en x =-; in de strook x = - en x = ; in de strook x = en x = enzovoort tot in het oneindige.

EIGENSCHAP 2. De functie y = tg x is periodiek met de hoofdperiode π. (Aangezien de dubbele gelijkheid waar is)

tg(x- π) \u003d tgx \u003d tg (x + π) de tangens van x minus pi is gelijk aan de tangens van x en is gelijk aan de tangens van x plus pi). We hebben deze gelijkheid overwogen bij het bestuderen van de tangens en cotangens. Herinner het:

Voor elke toelaatbare waarde van t zijn de gelijkheden waar:

tg (t + π)= tgt

ctg(t + π) = ctgt

Uit deze gelijkheid volgt dat we, nadat we een tak van de grafiek van de functie y \u003d tg x in het interval van x \u003d - en x \u003d hebben gebouwd, de resterende takken krijgen door de geconstrueerde tak langs de X-as te verschuiven door π, 2π, enzovoort.

EIGENSCHAP 3. De functie y \u003d tg x is een oneven functie, aangezien de gelijkheid tg (- x) \u003d - tg x waar is.

Laten we een grafiek maken van de functie y \u003d tg x

Aangezien deze functie periodiek is, bestaat uit een oneindig aantal takken (in de strook tussen x \u003d en x \u003d, evenals in de strook tussen x \u003d en x \u003d, enz.) en oneven, dan zullen we bouw je een deel van de grafiek op het interval van nul tot pi met twee (), dan gebruiken we de symmetrie van de oorsprong en periodiciteit.

Laten we een tabel met raaklijnwaarden maken om te plotten.

We vinden het eerste punt: wetende dat bij x \u003d 0 tg x \u003d 0 (x gelijk aan nul, de tangens x is ook gelijk aan nul); volgend punt: bij x = tg x = (x is gelijk aan pi maal zes, tangens x is gelijk aan de wortel van drie maal drie); let op de volgende punten: bij x \u003d tg x \u003d 1 (x gelijk aan pi bij vier, tangens x is gelijk aan één), en bij x \u003d tg x \u003d (x gelijk aan pi bij drie, tangens x is gelijk aan de vierkantswortel van drie). Nadat de verkregen punten op het coördinatenvlak zijn gemarkeerd en verbonden met een vloeiende lijn (Fig. 2).

Aangezien de grafiek van de functie symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong, zullen we dezelfde tak symmetrisch aan de oorsprong construeren. (Afb. 3).

En ten slotte, door de periodiciteit toe te passen, krijgen we de grafiek van de functie y \u003d tg x.

We hebben een tak van de grafiek van de functie y \u003d tg x gebouwd in de strip van x \u003d - en x \u003d. We bouwen de resterende takken door de geconstrueerde tak langs de X-as te verschuiven met π, 2π, enzovoort.

De geconstrueerde grafiek wordt de tangentoïde genoemd.

Het deel van de tangentoïde dat in figuur 3 wordt getoond, wordt de hoofdtak van de tangentoïde genoemd.

Op basis van de grafiek gaan we ook de eigenschappen van deze functie opschrijven.

EIGENSCHAP 4. De functie y \u003d tg x neemt toe op elk van de intervallen (van minus pi met twee plus pi ka tot pi met twee plus pi ka).

EIGENSCHAP 5. De functie y = tg x is niet boven noch onder begrensd.

EIGENSCHAP 6. De functie y \u003d tg x heeft noch de grootste noch de kleinste waarden.

EIGENSCHAP 7. De functie y \u003d tg x is continu op elk interval van de vorm (van minus pi met twee plus pi ka tot pi met twee plus pi ka).

Een rechte lijn van de vorm x = + πk (x is gelijk aan de som van pi door twee en pi ka) is een verticale asymptoot van de grafiek van de functie, aangezien op punten van de vorm x = + πk de functie breekt.

EIGENSCHAP 8. De reeks waarden van de functie y \u003d tg x zijn allemaal reële getallen, dat wil zeggen, (e van eff is gelijk aan het interval van minus oneindig tot plus oneindig).

VOORBEELD 1. Los de vergelijking tg x \u003d op (de tangens van x is de wortel van drie bij drie).

Oplossing. We construeren in één coördinatensysteem de grafieken van functies y \u003d tg x

(y is gelijk aan de raaklijn van x) en y = (y is gelijk aan de wortel van drie gedeeld door drie).

We hebben oneindig veel snijpunten waarvan de abscis van elkaar verschillen met πk (pi ka).Omdat tg x = bij x = is de abscis van het snijpunt op de hoofdtak (pi met zes).

We schrijven alle oplossingen van deze vergelijking met de formule x = + πk (x is gelijk aan pi met zes plus pi).

Antwoord: x = + πk.

Laten we een grafiek maken van de functie y \u003d сtg x.

Laten we eens kijken naar twee constructiemethoden.

de eerste manier vergelijkbaar met het plotten van de functie y = tg x.

Aangezien deze functie periodiek is, bestaat uit een oneindig aantal takken (in de strook tussen x \u003d 0 en x \u003d π, evenals in de strook tussen x \u003d π en x \u003d 2π, enz.) en oneven , dan bouwen we een deel van de grafiek met punten op het interval van nul tot pi met twee (), dan gebruiken we symmetrie en periodiciteit.

Laten we de tabel met cotangenswaarden gebruiken om een ​​grafiek te maken.

Na de verkregen punten op het coördinatenvlak te hebben gemarkeerd en ze te verbinden met een vloeiende lijn.

Omdat de grafiek van de functie relatief symmetrisch is, zullen we dezelfde tak symmetrisch construeren.

We passen de periodiciteit toe, we krijgen de grafiek van de functie y \u003d сtg x.

We hebben een tak van de grafiek van de functie y \u003d сtg x gebouwd in de strip van x \u003d 0 en x \u003d π. We bouwen de resterende takken door de geconstrueerde tak langs de x-as te verschuiven met π, - π, 2π, - 2π, enzovoort.

tweede manier de functie y \u003d сtg x plotten.

De eenvoudigste manier om een ​​grafiek van de functie y \u003d stg x te krijgen, is door de tangentoïde om te zetten met behulp van de reductieformule (de cotangens van x is gelijk aan minus de tangens van de som van x en pi door twee).

In dit geval verschuiven we eerst de tak van de grafiek van de functie y \u003d tg x langs de x-as naar rechts, we krijgen

y \u003d tg (x +), en dan voeren we de symmetrie van de resulterende grafiek rond de as van de abscis uit. Als resultaat wordt een tak van de grafiek van de functie y \u003d сtg x verkregen (Fig. 4). Als we één tak kennen, kunnen we de hele grafiek bouwen met behulp van de periodiciteit van de functie. We bouwen de resterende takken door de geconstrueerde tak langs de x-as te verschuiven met π, 2π, enzovoort.

De grafiek van de functie y \u003d сtg x wordt ook wel de tangentoïde genoemd, net als de grafiek van de functie y \u003d tg x. De tak, die tussen nul en pi ligt, wordt de hoofdtak van de grafiek van de functie y \u003d сtg x genoemd.

Gecentreerd op punt A.
α is de hoek uitgedrukt in radialen.

raaklijn ( tg) is een goniometrische functie afhankelijk van de hoek α tussen de hypotenusa en het been van een rechthoekige driehoek, gelijk aan de verhouding van de lengte van het tegenoverliggende been |BC| tot de lengte van het aangrenzende been | AB | .

Cotangens ( ctg) is een goniometrische functie afhankelijk van de hoek α tussen de hypotenusa en het been van een rechthoekige driehoek, gelijk aan de verhouding van de lengte van het aangrenzende been |AB| tot de lengte van het andere been | BC | .

Raaklijn

Waar N- geheel.

In de westerse literatuur wordt de raaklijn als volgt aangeduid:
.
;
;
.

Plot van de raaklijnfunctie, y = tg x

Cotangens

Waar N- geheel.

In de westerse literatuur wordt de cotangens als volgt aangeduid:
.
De volgende aanduidingen worden ook aangenomen:
;
;
.

Cotangens functie grafiek, y = ctg x

Tangens en cotangens eigenschappen

periodiciteit

Functies y = tg x en y= ctg x periodiek met een periode van π.

Pariteit

De tangens en cotangens functies zijn oneven.

Domeinen en waarden, stijgend, dalend

De tangens- en cotangensfuncties zijn continu op hun definitiegebied (zie het bewijs van continuïteit). De belangrijkste eigenschappen van de tangens en cotangens worden weergegeven in de tabel ( N- geheel).

formules

Uitdrukkingen in termen van sinus en cosinus

; ;
; ;
;

Formules voor tangens en cotangens van som en verschil

De rest van de formules zijn bijvoorbeeld gemakkelijk te verkrijgen

Product van raaklijnen

Formule voor som en verschil van raaklijnen

Deze tabel toont de waarden van raaklijnen en cotangensen voor sommige waarden van het argument.

Uitdrukkingen in termen van complexe getallen

Uitdrukkingen in termen van hyperbolische functies

;
;

derivaten

; .

.
Afgeleide van de n-de orde met betrekking tot de variabele x van de functie:
.
Afleiding van formules voor tangens>>>; voor cotangens>>>

integralen

Serie-uitbreidingen

Om een ​​uitbreiding van de raaklijn in machten van x te verkrijgen, moet je voor de functies verschillende termen van de uitbreiding in een machtreeks nemen zonde x en want x en deel deze veeltermen door elkaar. Dit levert de volgende formules op.

Bij .

Bij .
waar B n- Bernoulli-nummers. Ze worden bepaald aan de hand van de herhalingsrelatie:
;
;
waar .
Of volgens de Laplace-formule:

Inverse functies

De inverse functies van tangens en cotangens zijn respectievelijk arc tangens en arc cotangens.

Arctangens, arctg

, waar N- geheel.

Arccotangens, arcctg

, waar N- geheel.

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handboek wiskunde voor ingenieurs en studenten van instellingen voor hoger onderwijs, Lan, 2009.
G. Korn, A Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.