Vectorprojectie van een vector op een as. vector projectie
In natuurkunde voor graad 9 (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
een taak №5
naar hoofdstuk " HOOFDSTUK 1. ALGEMENE INFORMATIE OVER BEWEGING».
1. Hoe heet de projectie van een vector op de coördinatenas?
1. De projectie van de vector a op de coördinatenas is de lengte van het segment tussen de projecties van het begin en het einde van de vector a (loodlijnen neergelaten vanaf deze punten op de as) op deze coördinaatas.
2. Hoe is de verplaatsingsvector van het lichaam gerelateerd aan zijn coördinaten?
2. De projecties van de verplaatsingsvector s op de coördinaatassen zijn gelijk aan de verandering in de corresponderende coördinaten van het lichaam.
3. Als de coördinaat van een punt in de loop van de tijd toeneemt, welk teken heeft de projectie van de verplaatsingsvector op de coördinatenas dan? Wat als het minder wordt?
3. Als de coördinaat van een punt in de loop van de tijd toeneemt, dan is de projectie van de verplaatsingsvector op de coördinatenas positief, omdat in dit geval gaan we van de projectie van het begin naar de projectie van het einde van de vector in de richting van de as zelf.
Als de coördinaat van het punt in de loop van de tijd afneemt, dan is de projectie van de verplaatsingsvector op de coördinatenas negatief, omdat in dit geval gaan we van de projectie van het begin naar de projectie van het einde van de vector tegen de richtingsas zelf.
4. Als de verplaatsingsvector evenwijdig is aan de X-as, wat is dan de module van de projectie van de vector op deze as? Hoe zit het met de projectiemodule van dezelfde vector op de Y-as?
4. Als de verplaatsingsvector evenwijdig is aan de X-as, dan is de module van de vectorprojectie op deze as gelijk aan de module van de vector zelf, en is de projectie op de Y-as nul.
5. Bepaal de tekens van de projecties op de X-as van de verplaatsingsvectoren in figuur 22. Hoe veranderen de coördinaten van het lichaam tijdens deze verplaatsingen?
5. In alle volgende gevallen verandert de Y-coördinaat van het lichaam niet en verandert de X-coördinaat van het lichaam als volgt:
a) s1;
de projectie van de vector s 1 op de X-as is negatief en modulo gelijk aan de lengte van de vector s 1 . Met zo'n verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam afnemen met de lengte van de vector s 1 .
b) s2;
de projectie van de vector s 2 op de X-as is positief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 1 . Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam toenemen met de lengte van de vector s 2 .
c) s3;
de projectie van de vector s 3 op de X-as is negatief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 3 . Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam afnemen met de lengte van de vector s 3 .
d) s4;
de projectie van de vector s 4 op de X-as is positief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 4 . Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam toenemen met de lengte van de vector s 4 .
e) s5;
de projectie van de vector s 5 op de X-as is negatief en in absolute waarde gelijk aan de lengte van de vector s 5 . Bij een dergelijke verplaatsing zal de X-coördinaat van het lichaam afnemen met de lengte van de vector s 5 .
6. Als de afgelegde afstand groot is, kan de verplaatsingsmodulus dan klein zijn?
6. Misschien. Dit komt door het feit dat verplaatsing (verplaatsingsvector) een vectorgrootheid is, d.w.z. is een gericht recht lijnsegment dat de beginpositie van het lichaam verbindt met zijn volgende posities. En de eindpositie van het lichaam (ongeacht de afgelegde afstand) kan willekeurig dicht bij de beginpositie van het lichaam liggen. Als de eind- en beginpositie van het lichaam samenvallen, is de verplaatsingsmodulus gelijk aan nul.
7. Waarom is de verplaatsingsvector van een lichaam belangrijker in de mechanica dan het pad dat het heeft afgelegd?
7. De belangrijkste taak van de mechanica is om op elk moment de positie van het lichaam te bepalen. Als we de verplaatsingsvector van het lichaam kennen, kunnen we de coördinaten van het lichaam bepalen, d.w.z. de positie van het lichaam op elk moment, en als we alleen de afgelegde afstand kennen, kunnen we de coördinaten van het lichaam niet bepalen, omdat we hebben geen informatie over de bewegingsrichting, maar we kunnen alleen de lengte van het afgelegde pad op een bepaald moment beoordelen.
Laten we eerst onthouden wat is coördinaatas, projectie van een punt op een as En coördinaten van een punt op de as.
Coördinatenas is een rechte lijn waaraan een richting wordt gegeven. Je kunt het zien als een vector met een oneindig grote modulus.
Coördinatenas aangegeven met een willekeurige letter: X, Y, Z, s, t ... Gewoonlijk wordt een punt (willekeurig) op de as geselecteerd, dat de oorsprong wordt genoemd en in de regel wordt aangegeven met de letter O. Afstanden tot andere Vanaf dit punt worden voor ons interessante punten gemeten.
Projectie van een punt op een as- dit is de basis van de loodlijn die vanaf dit punt op de gegeven as valt (Fig. 8). Dat wil zeggen, de projectie van een punt op de as is een punt.
Puntcoördinaat per as is een getal waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het segment van de as (in de geselecteerde schaal) ingesloten tussen het begin van de as en de projectie van het punt op deze as. Dit getal wordt genomen met een plusteken als de projectie van het punt zich vanaf het begin in de richting van de as bevindt en met een minteken als het in de tegenovergestelde richting is.
Scalaire projectie van een vector op een as- deze nummer, waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het segment van de as (in de geselecteerde schaal) ingesloten tussen de projecties van het beginpunt en het eindpunt van de vector. Belangrijk! Meestal in plaats van de uitdrukking scalaire projectie van een vector op een as ze zeggen gewoon - projectie van een vector op een as, dat wil zeggen, het woord scalair verlaagd. vector projectie aangegeven met dezelfde letter als de geprojecteerde vector (in normaal, niet-vetgedrukt schrift), met een subscript (meestal) van de naam van de as waarop deze vector wordt geprojecteerd. Als bijvoorbeeld een vector op de x-as wordt geprojecteerd maar, dan wordt de projectie ervan aangeduid als a x . Wanneer dezelfde vector op een andere as wordt geprojecteerd, bijvoorbeeld de Y-as, wordt de projectie ervan aangeduid als y (Fig. 9).
Rekenen vectorprojectie op de as(bijvoorbeeld de X-as) is het noodzakelijk om de coördinaat van het startpunt af te trekken van de coördinaat van zijn eindpunt, dat wil zeggen
en x \u003d x k - x n.
We moeten onthouden: de scalaire projectie van een vector op een as (of simpelweg de projectie van een vector op een as) is een getal (geen vector)! Bovendien kan de projectie positief zijn als de waarde x k groter is dan de waarde x n, negatief als de waarde x k kleiner is dan de waarde x n en gelijk aan nul als x k gelijk is aan x n (Fig. 10).
De projectie van een vector op een as kan ook worden gevonden door de modulus van de vector te kennen en de hoek die deze met die as maakt.
Figuur 11 laat zien dat a x = a Cos α
Dat wil zeggen, de projectie van de vector op de as is gelijk aan het product van de vectormodulus en de cosinus van de hoek tussen asrichting en vectorrichting. Als de hoek scherp is, dan is Cos α > 0 en a x > 0, en als het stomp is, dan is de cosinus van de stompe hoek negatief en zal de projectie van de vector op de as ook negatief zijn.
Hoeken geteld vanaf de as tegen de klok in worden als positief beschouwd, en in de richting - negatief. Omdat de cosinus echter een even functie is, dat wil zeggen Cos α \u003d Cos (− α), kunnen de hoeken bij het berekenen van projecties zowel met de klok mee als tegen de klok in worden geteld.
Bij het oplossen van problemen worden vaak de volgende eigenschappen van projecties gebruikt: if
maar = B + C +…+ D, dan a x = b x + c x +…+ d x (vergelijkbaar voor andere assen),
een= m B, dan a x = mb x (vergelijkbaar voor andere assen).
De formule a x = a Cos α wordt Vaak ontmoeten bij het oplossen van problemen, dus het moet bekend zijn. U moet de regel kennen voor het bepalen van de projectie van buiten!
Onthouden!
Om de projectie van een vector op een as te vinden, moet de module van deze vector worden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en de richting van de vector.
Nogmaals - SNEL!
Het oplossen van problemen met het evenwicht van convergerende krachten door het construeren van gesloten krachtpolygonen gaat gepaard met omslachtige constructies. Een universele methode om dergelijke problemen op te lossen is de overgang naar het bepalen van de projecties van bepaalde krachten op de coördinaatassen en het werken met deze projecties. De as wordt een rechte lijn genoemd, die een bepaalde richting krijgt toegewezen.
De projectie van een vector op een as is een scalaire waarde, die wordt bepaald door het segment van de as dat wordt afgesneden door de loodlijnen die erop vallen vanaf het begin en het einde van de vector.
De projectie van een vector wordt als positief beschouwd als de richting van het begin van de projectie tot het einde ervan samenvalt met de positieve richting van de as. De projectie van een vector wordt als negatief beschouwd als de richting van het begin van de projectie tot het einde tegengesteld is aan de positieve richting van de as.
De projectie van de kracht op de coördinatenas is dus gelijk aan het product van de modulus van de kracht en de cosinus van de hoek tussen de krachtvector en de positieve richting van de as.
Beschouw een aantal gevallen waarin krachten op een as worden geprojecteerd:
Kracht vector F(Fig. 15) maakt een scherpe hoek met de positieve richting van de x-as.
Om de projectie te vinden, verlagen we vanaf het begin en einde van de krachtvector de loodlijnen op de as Oh; we krijgen
1. FX = F omdat
De projectie van de vector is in dit geval positief
Kracht F(Fig. 16) is met de positieve richting van de as x stompe hoek .
Dan F x= F cos α, maar aangezien α = 180 0 - φ,
F x= F cosα = F cos180 0 - φ =- F cos phi.
Kracht projectie F per as Oh is in dit geval negatief.
Kracht F(Fig. 17) loodrecht op de as Oh.
Projectie van kracht F op de as x nul
F x= F cos 90° = 0.
Kracht gelokaliseerd op een vliegtuig hoezo(Fig. 18), kan op twee coördinaatassen worden geprojecteerd Oh En OU.
Kracht F kan worden onderverdeeld in componenten: F x en F j . vectormodulus F x is gelijk aan de vectorprojectie F per as OS, en de modulus van de vector F y is gelijk aan de projectie van de vector F per as ojee.
Van OAB: F x= F dus, F x= F zonde.
Van SLA: F x= F cos phi, F x= F zonde phi.
De krachtmodulus kan worden gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras:
De projectie van de vectorsom of de resultante op een willekeurige as is gelijk aan de algebraïsche som van de projecties van de termen van de vectoren op dezelfde as.
Overweeg convergerende krachten F 1 , F 2 , F 3 , en F 4, (afb. 19, a). De geometrische som, of resultante, van deze krachten F bepaald door de sluitzijde van de krachtpolygoon
Val van de hoekpunten van de krachtpolygoon op de as x loodlijnen.
Gezien de verkregen projecties van krachten rechtstreeks van de voltooide constructie, hebben we:
F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x
waarbij n het aantal termen van vectoren is. Hun projecties voeren de bovenstaande vergelijking in met het juiste teken.
In een vlak kan de geometrische som van krachten op twee coördinaatassen worden geprojecteerd, en in de ruimte op drie.
Definitie 1. Op een vlak is de parallelle projectie van punt A op de l-as het punt - het snijpunt van de l-as met een rechte lijn getrokken door punt A evenwijdig aan de vector die de projectierichting aangeeft.
Definitie 2. De parallelle projectie van een vector op de l-as (op een vector) is de coördinaat van de vector ten opzichte van de basis de l-as, waar de punten en parallelle projecties zijn van respectievelijk de punten A en B op de l-as (Fig. 1).
Per definitie hebben we
Definitie 3. als en de basis van de l-as cartesiaans, dat wil zeggen, dan is de projectie van de vector op de l-as wordt orthogonaal genoemd (Fig. 2).
In de ruimte blijft definitie 2 van de projectie van een vector op een as geldig, alleen de projectierichting wordt gegeven door twee niet-collineaire vectoren (Fig. 3).
Uit de definitie van de projectie van een vector op een as, volgt dat elke coördinaat van een vector de projectie is van deze vector op een as bepaald door de overeenkomstige basisvector. In dit geval wordt de ontwerprichting bepaald door twee andere basisvectoren, als het ontwerp wordt uitgevoerd (beschouwd) in de ruimte, of door een andere basisvector, als het ontwerp op een vlak wordt beschouwd (Fig. 4).
Stelling 1. De orthogonale projectie van een vector op de l-as is gelijk aan het product van de modulus van de vector en de cosinus van de hoek tussen de positieve richting van de l-as en, d.w.z.
Aan de andere kant
van we vinden
Als we AC vervangen door gelijkheid (2), krijgen we
Sinds de cijfers x en van hetzelfde teken in beide beschouwde gevallen ((Fig. 5, a) ; (Fig. 5, b) , dan impliceert gelijkheid (4)
Opmerking. In de toekomst zullen we alleen de orthogonale projectie van de vector op de as beschouwen, en daarom zal het woord "orth" (orthogonaal) in de notatie worden weggelaten.
We presenteren een aantal formules die in de toekomst gebruikt zullen worden bij het oplossen van problemen.
a) Projectie van een vector op een as.
Als, dan heeft de orthogonale projectie op de vector volgens formule (5) de vorm
c) Afstand van een punt tot een vlak.
Laat b een gegeven vlak zijn met een normaalvector, M een gegeven punt,
d - afstand van punt M tot vlak b (Fig. 6).
Als N een willekeurig punt van het vlak b is, en en zijn de projecties van de punten M en N op de as, dan
- G) Afstand tussen snijdende lijnen.
Stel dat a en b snijdende lijnen krijgen, een vector zijn die er loodrecht op staat, A en B willekeurige punten zijn van respectievelijk de lijnen a en b (Fig. 7), en projecties zijn van de punten A en B op, dan
e) Afstand van een punt tot een lijn.
laten zijn ik- gegeven lijn met richtingsvector, M - gegeven punt,
N - zijn projectie op de lijn ik, dan - de gewenste afstand (Fig. 8).
Als A een willekeurig punt op de lijn is ik, dan zijn in de rechthoekige driehoek MNA de hypotenusa MA en de benen te vinden. Middelen,
e) Hoek tussen een lijn en een vlak.
Laat de richtingsvector van de gegeven lijn zijn ik, - normaalvector van het gegeven vlak b, - projectie van een rechte lijn ik naar vlak b (Fig. 9).
Zoals je weet, is de hoek q tussen de lijn ik en de projectie ervan op het vlak b wordt de hoek tussen de lijn en het vlak genoemd. We hebben
Laten we voorbeelden geven van het oplossen van metrische problemen met de vector-coördinaatmethode.
projectie vector op een as wordt een vector genoemd, die wordt verkregen door de scalaire projectie van een vector op deze as en de eenheidsvector van deze as te vermenigvuldigen. Als een x bijvoorbeeld is scalaire projectie vector maar op de x-as, dan een x l- zijn vectorprojectie op deze as.
aanduiden vectorprojectie net als de vector zelf, maar met de index van de as waarop de vector wordt geprojecteerd. Dus de vectorprojectie van de vector maar op de x-as geven aan maar x ( vettig een letter die een vector aangeeft en een subscript van de asnaam) of (een niet-vette letter die een vector aangeeft, maar met een pijl bovenaan (!) en een subscript van de asnaam).
scalaire projectie vector per as heet nummer, waarvan de absolute waarde gelijk is aan de lengte van het segment van de as (in de geselecteerde schaal) ingesloten tussen de projecties van het beginpunt en het eindpunt van de vector. Meestal in plaats van de uitdrukking scalaire projectie zeg gewoon - projectie. De projectie wordt aangegeven met dezelfde letter als de geprojecteerde vector (in normaal, niet-vetgedrukt schrift), met een subscript (meestal) van de naam van de as waarop deze vector wordt geprojecteerd. Als bijvoorbeeld een vector op de x-as wordt geprojecteerd maar, dan wordt de projectie ervan aangeduid als a x . Wanneer dezelfde vector op een andere as wordt geprojecteerd en de as Y is, wordt de projectie ervan aangeduid als y .
Projectie berekenen: vector op een as (bijvoorbeeld de X-as) is het nodig om de coördinaat van het startpunt af te trekken van de coördinaat van zijn eindpunt, dat wil zeggen
en x \u003d x k - x n.
De projectie van een vector op een as is een getal. Bovendien kan de projectie positief zijn als de waarde van x k groter is dan de waarde van x n,
negatief als de waarde van x k kleiner is dan de waarde van x n
en gelijk aan nul als x k gelijk is aan x n.
De projectie van een vector op een as kan ook worden gevonden door de modulus van de vector te kennen en de hoek die deze met die as maakt.
Uit de figuur blijkt dat a x = a Cos α
dat wil zeggen, de projectie van de vector op de as is gelijk aan het product van de modulus van de vector en de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en vector richting. Als de hoek scherp is, dan
Cos α > 0 en a x > 0, en indien stomp, dan is de cosinus van een stompe hoek negatief en zal de projectie van de vector op de as ook negatief zijn.
Hoeken geteld vanaf de as tegen de klok in worden als positief beschouwd, en in de richting - negatief. Omdat de cosinus echter een even functie is, dat wil zeggen Cos α = Cos (− α), kunnen de hoeken bij het berekenen van projecties zowel met de klok mee als tegen de klok in worden geteld.
Om de projectie van een vector op een as te vinden, moet de module van deze vector worden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen de richting van de as en de richting van de vector.
Vector coördinaten zijn de coëfficiënten van de enige mogelijke lineaire combinatie van basisvectoren in het gekozen assenstelsel gelijk aan de gegeven vector.
waar zijn de coördinaten van de vector.
Puntproduct van vectoren
SCOAL PRODUCT VAN VECTOREN[- in eindig-dimensionaal Vector ruimte wordt gedefinieerd als de som van de producten van dezelfde componenten van de vermenigvuldigde vectoren.
Bijvoorbeeld, S. p. een = (een 1 , ..., een) En B = (B 1 , ..., b n):
(een , B ) = een 1 B 1 + een 2 B 2 + ... + een n b n