Het artikel analyseert het concept van deling van gehele getallen met een rest. Laten we de stelling over de deelbaarheid van gehele getallen met een rest bewijzen en kijken naar de verbanden tussen deelbare en delers, onvolledige quotiënten en resten. Overweeg de regels bij het delen van gehele getallen met resten, na in detail te hebben onderzocht met voorbeelden. Aan het einde van de oplossing voeren we een controle uit.

Algemeen begrip van deling van gehele getallen met resten

Deling van gehele getallen met een rest wordt beschouwd als een algemene deling met een rest van natuurlijke getallen. Dit wordt gedaan omdat natuurlijke getallen een bestanddeel zijn van gehele getallen.

Delen met een rest van een willekeurig getal zegt dat het gehele getal a deelbaar is door het getal b, dat verschilt van nul. Als b = 0 dan wordt er geen deling met rest uitgevoerd.

Naast de deling van natuurlijke getallen met een rest, wordt de deling van gehele getallen a en b uitgevoerd, waarbij b verschillend is van nul, door c en d. In dit geval worden a en b dividend en deler genoemd, en is d de rest van de deling, c is een geheel getal of een gedeeltelijk quotiënt.

Als we aannemen dat de rest een niet-negatief geheel getal is, dan is de waarde ervan niet groter dan de modulus van het getal b. Laten we het zo schrijven: 0 ≤ d ≤ b . Deze reeks ongelijkheden wordt gebruikt bij het vergelijken van 3 of meer getallen.

Als c een onvolledig quotiënt is, dan is d de rest van het delen van een geheel getal a door b, je kunt kort oplossen: a: b \u003d c (blijf d).

De rest bij het delen van de getallen a door b is mogelijk nul, dan zeggen ze dat a volledig wordt gedeeld door b, dat wil zeggen zonder rest. Delen zonder rest wordt als een speciaal geval van deling beschouwd.

Als we nul delen door een getal, krijgen we nul als resultaat. De rest van de deling zal ook nul zijn. Dit blijkt uit de theorie van deling van nul door een geheel getal.

Beschouw nu de betekenis van deling van gehele getallen met een rest.

Het is bekend dat positieve gehele getallen natuurlijk zijn, en bij delen door een rest zal de betekenis hetzelfde zijn als bij het delen van natuurlijke getallen door een rest.

Het is logisch om een ​​negatief geheel getal a te delen door een positief geheel getal b. Laten we naar een voorbeeld kijken. Stel je een situatie voor waarin we een schuld hebben aan items voor het bedrag a dat moet worden terugbetaald door b mensen. Om dit te doen, moet iedereen in gelijke mate bijdragen. Om het bedrag van de schuld voor elk te bepalen, is het noodzakelijk om aandacht te besteden aan de waarde van private c. De rest d geeft aan dat het aantal posten na aflossing van schulden bekend is.

Laten we een voorbeeld nemen met appels. Als 2 personen 7 appels nodig hebben. Als we berekenen dat iedereen 4 appels moet inleveren, hebben ze na de volledige berekening nog 1 appel over. Laten we dit schrijven als een gelijkheid: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

Een willekeurig getal a delen door een geheel getal is niet logisch, maar het is mogelijk als een optie.

Deelbaarheidsstelling voor gehele getallen met rest

We vonden dat a het deeltal is, dan is b de deler, c is het partiële quotiënt en d is de rest. Ze zijn met elkaar verbonden. We zullen deze relatie laten zien met behulp van de gelijkheid a = b · c + d . De relatie tussen hen wordt gekenmerkt door de deelbaarheidsstelling met rest.

Stelling

Elk geheel getal kan alleen worden weergegeven in termen van een geheel getal en een niet-nul getal b op deze manier: a = b · q + r , waarbij q en r enkele gehele getallen zijn. Hier hebben we 0 ≤ r ≤ b .

Laten we de mogelijkheid van het bestaan ​​van a = b · q + r bewijzen.

Bewijs

Als er twee getallen a en b zijn, en a is deelbaar door b zonder rest, dan volgt uit de definitie dat er een getal q is, dat de gelijkheid a = b · q waar is. Dan kan de gelijkheid als waar worden beschouwd: a = b q + r voor r = 0.

Dan is het nodig om q zo te nemen dat gegeven door de ongelijkheid b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

We hebben dat de waarde van de uitdrukking a b · q groter is dan nul en niet groter dan de waarde van het getal b, hieruit volgt dat r = a − b · q . We krijgen dat het getal a kan worden weergegeven als a = b · q + r.

Nu moeten we de mogelijkheid overwegen om a = b · q + r weer te geven voor negatieve waarden van b .

De modulus van het getal blijkt positief te zijn, dan krijgen we a = b q 1 + r, waarbij de waarde q 1 een geheel getal is, r is een geheel getal dat voldoet aan de voorwaarde 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Bewijs van uniciteit

Neem aan dat a = b q + r , q en r gehele getallen zijn met de voorwaarde 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 En r1 zijn enkele nummers waar q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

Als de ongelijkheid van de linker- en rechterkant wordt afgetrokken, krijgen we 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , wat gelijk is aan r - r 1 = b · q 1 - q . Aangezien de module wordt gebruikt, krijgen we de gelijkheid r - r 1 = b · q 1 - q.

De gegeven voorwaarde zegt dat 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что Q En q 1- geheel, en q ≠ q 1, dan q 1 - q 1 . We hebben dus dat b · q 1 - q ≥ b . De resulterende ongelijkheden r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Hieruit volgt dat het getal a op geen enkele andere manier kan worden weergegeven, behalve door een dergelijke notatie a = b · q + r.

Relatie tussen deeltal, deler, deelquotiënt en rest

Met behulp van de gelijkheid a \u003d b c + d, kun je het onbekende deeltal a vinden wanneer de deler b bekend is met een onvolledig quotiënt c en de rest d.

voorbeeld 1

Bepaal het deeltal als we bij het delen - 21 krijgen, een onvolledig quotiënt 5 en een rest 12.

Oplossing

Het is noodzakelijk om het deeltal a te berekenen met een bekende deler b = − 21, een onvolledig quotiënt c = 5 en een rest d = 12. We moeten verwijzen naar de gelijkheid a = b c + d, van hier krijgen we a = (− 21) 5 + 12. Afhankelijk van de volgorde van bewerkingen, vermenigvuldigen we - 21 met 5, waarna we (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 krijgen.

Antwoord: - 93 .

De relatie tussen de deler en het deelquotiënt en de rest kan worden uitgedrukt met behulp van de gelijkheden: b = (a d) : c , c = (a − d) : b en d = a − b · c . Met hun hulp kunnen we de deler, het partiële quotiënt en de rest berekenen. Dit komt neer op het constant vinden van de rest van het delen van een geheel getal a door b met een bekend deeltal, deler en partieel quotiënt. De formule d = a b · c wordt toegepast. Laten we de oplossing in detail bekijken.

Voorbeeld 2

Vind de rest van het delen van een geheel getal - 19 door een geheel getal 3 met een bekend onvolledig quotiënt dat gelijk is aan - 7.

Oplossing

Om de rest van een deling te berekenen, passen we een formule toe van de vorm d = a b c . Per voorwaarde zijn alle gegevens a = − 19 , b = 3 , c = − 7 beschikbaar. Vanaf hier krijgen we d \u003d a - bc \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (verschil - 19 - (- 21)... Dit voorbeeld wordt berekend door de aftrekregel geheel negatief getal.

Antwoord: 2 .

Alle positieve gehele getallen zijn natuurlijk. Hieruit volgt dat de deling wordt uitgevoerd volgens alle regels van deling met een rest van natuurlijke getallen. De snelheid van delen met een rest van natuurlijke getallen is belangrijk, omdat niet alleen de deling van positieve enen daarop is gebaseerd, maar ook de regels voor het delen van willekeurige gehele getallen.

De handigste delingsmethode is een kolom, omdat het gemakkelijker en sneller is om een ​​onvolledig of slechts een quotiënt met een rest te krijgen. Laten we de oplossing in meer detail bekijken.

Voorbeeld 3

Deel 14671 door 54 .

Oplossing

Deze verdeling moet in een kolom worden gedaan:

Dat wil zeggen, het onvolledige quotiënt is gelijk aan 271 en de rest is 37.

Antwoord: 14671: 54 = 271. (rust 37)

De regel van deling met een rest van een positief geheel getal door een negatief geheel getal, voorbeelden

Om deling met een rest van een positief getal door een negatief geheel getal uit te voeren, is het noodzakelijk om een ​​regel te formuleren.

Definitie 1

Het onvolledige quotiënt van het delen van een positief geheel getal a door een negatief geheel getal b geeft een getal dat tegengesteld is aan het onvolledige quotiënt van het delen van de modules van getallen a door b. Dan is de rest de rest als a wordt gedeeld door b.

Daarom hebben we dat het onvolledige quotiënt van het delen van een positief geheel getal door een negatief geheel getal als een niet-positief geheel getal wordt beschouwd.

We krijgen het algoritme:

• deel de modulus van het deeltal door de modulus van de deler, dan krijgen we een onvolledig quotiënt en
• rest;
• schrijf het tegenovergestelde getal op.

Beschouw het voorbeeld van het algoritme voor het delen van een positief geheel getal door een negatief geheel getal.

Voorbeeld 4

Voer deling uit met een rest van 17 bij - 5.

Oplossing

Laten we het delingsalgoritme toepassen met de rest van een positief geheel getal door een negatief geheel getal. Het is noodzakelijk om 17 te delen door - 5 modulo. Hieruit krijgen we dat het onvolledige quotiënt 3 is, en de rest is 2.

We krijgen dat het gewenste getal door 17 te delen door - 5 \u003d - 3 met een rest gelijk aan 2.

Antwoord: 17: (− 5) = − 3 (overige 2).

Voorbeeld 5

Deel 45 door - 15.

Oplossing

Het is noodzakelijk om de getallen modulo te delen. We delen het getal 45 door 15, we krijgen het quotiënt 3 zonder rest. Het getal 45 is dus deelbaar door 15 zonder rest. In het antwoord krijgen we - 3, omdat de deling modulo is uitgevoerd.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Antwoord: 45: (− 15) = − 3 .

De formulering van de deelregel met een rest is als volgt.

definitie 2

Om een ​​onvolledig quotiënt c te krijgen bij het delen van een negatief geheel getal   a door een positief b, moet je het tegenovergestelde van dit getal toepassen en er 1 van aftrekken, dan wordt de rest d berekend met de formule: d = a − b · C.

Op basis van de regel kunnen we concluderen dat we bij het delen een niet-negatief geheel getal krijgen. Voor de nauwkeurigheid van de oplossing wordt het algoritme voor het delen van a door b met een rest gebruikt:

• vind de modules van het dividend en de deler;
• modulo verdelen;
• schrijf het tegenovergestelde van het gegeven getal en trek 1 af;
• gebruik de formule voor de rest d = a b c .

Overweeg een voorbeeld van een oplossing waarbij dit algoritme wordt toegepast.

Voorbeeld 6

Zoek het onvolledige quotiënt en de rest van de deling - 17 bij 5.

Oplossing

We delen de gegeven getallen modulo. We krijgen dat bij delen, het quotiënt 3 is en de rest 2. Aangezien we 3 hebben , is het tegenovergestelde 3 . Het is noodzakelijk om 1 af te trekken.

− 3 − 1 = − 4 .

De gewenste waarde is gelijk aan -4.

Om de rest te berekenen heb je a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , dan d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

Dit betekent dat het onvolledige quotiënt van deling het getal is - 4 met een rest gelijk aan 3.

Antwoord:(− 17) : 5 = − 4 (overige 3).

Voorbeeld 7

Deel het negatieve gehele getal - 1404 door de positieve 26 .

Oplossing

Het is noodzakelijk om te delen door een kolom en door modulus.

We hebben de verdeling van modules van getallen zonder rest. Dit betekent dat de deling wordt uitgevoerd zonder rest, en het gewenste quotiënt = - 54.

Antwoord: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Deelregel met een rest van negatieve gehele getallen, voorbeelden

Het is noodzakelijk om een ​​delingsregel te formuleren met een rest van gehele negatieve getallen.

Definitie 3

Om een ​​onvolledig quotiënt te krijgen door een negatief geheel getal a te delen door een negatief geheel getal b, is het noodzakelijk om modulo-berekeningen uit te voeren, waarna 1 optelt, dan kunnen we berekenen met de formule d = a − b · c.

Hieruit volgt dat het onvolledige quotiënt van de deling van negatieve gehele getallen een positief getal zal zijn.

We formuleren deze regel in de vorm van een algoritme:

• vind de modules van het dividend en de deler;
• deel de modulus van het deeltal door de modulus van de deler om een ​​onvolledig quotiënt te verkrijgen met
• rest;
• 1 toevoegen aan het onvolledige quotiënt;
• berekening van de rest, gebaseerd op de formule d = a b c .

Laten we dit algoritme met een voorbeeld bekijken.

Voorbeeld 8

Vind het onvolledige quotiënt en de rest bij het delen van - 17 door - 5.

Oplossing

Voor de juistheid van de oplossing passen we het algoritme voor delen met een rest toe. Deel eerst de getallen modulo. Vanaf hier krijgen we dat het onvolledige quotiënt \u003d 3, en de rest is 2. Volgens de regel is het noodzakelijk om het onvolledige quotiënt en 1 op te tellen. We krijgen dat 3 + 1 = 4 . Vanaf hier krijgen we dat het onvolledige quotiënt van het delen van de gegeven getallen 4.

Om de rest te berekenen, passen we de formule toe. Voorwaarde is dat we dat a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, dan krijgen we met behulp van de formule d \u003d a - bc \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . Het gewenste antwoord, dat wil zeggen de rest, is 3 en het onvolledige quotiënt is 4.

Antwoord:(− 17) : (− 5) = 4 (overige 3).

Het resultaat controleren van het delen van gehele getallen door een rest

Na het uitvoeren van de deling van getallen met een rest, is het noodzakelijk om een ​​controle uit te voeren. Deze controle bestaat uit 2 fasen. Eerst wordt de rest d gecontroleerd op niet-negativiteit, de voorwaarde 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Laten we naar voorbeelden kijken.

Voorbeeld 9

Geproduceerde divisie - 521 door - 12. Het quotiënt is 44, de rest is 7. Voer een controle uit.

Oplossing

Aangezien de rest een positief getal is, is de waarde ervan kleiner dan de modulus van de deler. De deler is -12, dus de modulus is 12. U kunt doorgaan naar het volgende controlepunt.

Voorwaarde is dat a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . Vanaf hier berekenen we b c + d , waarbij b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Hieruit volgt dat de gelijkheid waar is. Cheque geslaagd.

Voorbeeld 10

Controleer deling (− 17) : 5 = − 3 (resterend − 2). Is gelijkheid waar?

Oplossing

De betekenis van de eerste fase is dat het nodig is om de deling van gehele getallen met een rest te controleren. Dit geeft aan dat de actie niet correct is uitgevoerd, aangezien de rest wordt gegeven, gelijk aan - 2. De rest is geen negatief getal.

We hebben dat aan de tweede voorwaarde is voldaan, maar onvoldoende voor dit geval.

Antwoord: Nee.

Voorbeeld 11

Het getal - 19 gedeeld door - 3. Het partiële quotiënt is 7 en de rest is 1. Controleer of deze berekening klopt.

Oplossing

Gegeven een rest van 1. Hij is positief. De waarde is kleiner dan de delermodule, wat betekent dat de eerste fase wordt uitgevoerd. Laten we doorgaan naar de tweede fase.

Laten we de waarde van de uitdrukking b · c + d berekenen. Op voorwaarde hebben we dat b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, daarom krijgen we, door de numerieke waarden te vervangen, bc + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. Hieruit volgt dat a = b · c + d gelijkheid niet is voldaan, aangezien de voorwaarde wordt gegeven a = - 19 .

Dit houdt in dat de verdeling met een fout is gemaakt.

Antwoord: Nee.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Tekenen van deelbaarheid van getallen- dit zijn regels die het mogelijk maken om, zonder te delen, relatief snel te weten of dit getal deelbaar is door een gegeven getal zonder rest.
Enkele van tekenen van deelbaarheid vrij eenvoudig, sommige moeilijker. Op deze pagina vind je zowel tekens van deelbaarheid van priemgetallen, zoals bijvoorbeeld 2, 3, 5, 7, 11, als tekens van deelbaarheid van samengestelde getallen, zoals 6 of 12.
Ik hoop dat deze informatie nuttig voor u zal zijn.
Veel plezier met leren!

Teken van deelbaarheid door 2

Dit is een van de eenvoudigste tekenen van deelbaarheid. Het klinkt als volgt: als het record van een natuurlijk getal eindigt met een even cijfer, dan is het even (zonder rest gedeeld door 2), en als het record van een getal eindigt met een oneven cijfer, dan is dit getal oneven.
Met andere woorden, als het laatste cijfer van een getal is 2 , 4 , 6 , 8 of 0 - het getal is deelbaar door 2, zo niet, dan is het niet deelbaar
Bijvoorbeeld cijfers: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 zijn deelbaar door 2 omdat ze even zijn.
A-nummers: 23 5 , 137 , 2303
zijn niet deelbaar door 2 omdat ze oneven zijn.

Teken van deelbaarheid door 3

Dit teken van deelbaarheid heeft heel andere regels: als de som van de cijfers van een getal deelbaar is door 3, dan is het getal ook deelbaar door 3; Als de som van de cijfers van een getal niet deelbaar is door 3, dan is het getal ook niet deelbaar door 3.
Dus om te begrijpen of een getal deelbaar is door 3, hoef je alleen maar de getallen op te tellen waaruit het bestaat.
Het ziet er zo uit: 3987 en 141 zijn gedeeld door 3, want in het eerste geval 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deelbaar zonder rest door 3), en in de tweede 1+4+1= 6 (6:3=2 - ook deelbaar door 3 zonder rest).
Maar de getallen: 235 en 566 zijn niet deelbaar door 3, want 2+3+5= 10 en 5+6+6= 17 (en we weten dat noch 10 noch 17 kan worden gedeeld door 3 zonder rest).

Deelbaarheid door 4 teken

Deze test van deelbaarheid zal ingewikkelder zijn. Als de laatste 2 cijfers van het getal een getal vormen dat deelbaar is door 4 of het is 00, dan is het getal deelbaar door 4, anders is dit getal niet deelbaar door 4 zonder rest.
Bijvoorbeeld: 1 00 en 3 64 zijn deelbaar door 4, want in het eerste geval eindigt het getal op 00 , en in de tweede 64 , die op zijn beurt deelbaar is door 4 zonder rest (64:4=16)
Nummers 3 57 en 8 86 zijn niet deelbaar door 4 omdat geen van beide 57 geen van beide 86 zijn niet deelbaar door 4 en komen daarom niet overeen met dit deelbaarheidscriterium.

Teken van deelbaarheid door 5

En nogmaals, we hebben een vrij eenvoudig teken van deelbaarheid: als het record van een natuurlijk getal eindigt met het cijfer 0 of 5, dan is dit getal deelbaar zonder rest door 5. Als het record van het getal eindigt met een ander cijfer, dan is het getal zonder rest niet deelbaar door 5.
Dit betekent dat alle getallen die eindigen op cijfers 0 En 5 , bijvoorbeeld 1235 5 en 43 0 , vallen onder de regel en zijn deelbaar door 5.
En bijvoorbeeld 1549 3 en 56 4 eindigen niet op 5 of 0, wat betekent dat ze niet deelbaar zijn door 5 zonder rest.

Teken van deelbaarheid door 6

Voor ons staat een samengesteld getal 6, dat het product is van de getallen 2 en 3. Daarom is het teken van deelbaarheid door 6 ook samengesteld: om een ​​getal deelbaar te maken door 6, moet het overeenkomen met twee tekens van deelbaarheid tegelijkertijd: het teken van deelbaarheid door 2 en het teken van deelbaarheid door 3. Merk tegelijkertijd op dat zo'n samengesteld getal als 4 een individueel teken van deelbaarheid heeft, omdat het een product is van het getal 2 op zichzelf . Maar terug naar de test voor deelbaarheid door 6.
De getallen 138 en 474 zijn even en komen overeen met de tekens van deelbaarheid door 3 (1+3+8=12, 12:3=4 en 4+7+4=15, 15:3=5), wat betekent dat ze deelbaar door 6. Maar 123 en 447, hoewel ze deelbaar zijn door 3 (1+2+3=6, 6:3=2 en 4+4+7=15, 15:3=5), maar ze zijn oneven, en komen daarom niet overeen met het criterium van deelbaarheid door 2, en komen daarom niet overeen met het criterium van deelbaarheid door 6.

Teken van deelbaarheid door 7

Dit deelbaarheidscriterium is ingewikkelder: een getal is deelbaar door 7 als het resultaat van het aftrekken van het laatste cijfer van het aantal tientallen van dit getal deelbaar is door 7 of gelijk is aan 0.
Het klinkt nogal verwarrend, maar in de praktijk is het simpel. Overtuig uzelf: aantal 95 9 is deelbaar door 7 omdat 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 is deelbaar door 7 zonder rest). Bovendien, als er problemen zijn met het getal dat wordt verkregen tijdens de transformaties (vanwege de grootte is het moeilijk te begrijpen of het deelbaar is door 7 of niet, dan kan deze procedure zo vaak worden voortgezet als je wilt).
Bijvoorbeeld, 45 5 en 4580 1 hebben tekenen van deelbaarheid door 7. In het eerste geval is alles vrij eenvoudig: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. In het tweede geval doen we dit: 4580 -2*1=4580-2=4578. Het is voor ons moeilijk te begrijpen of 457 8 bij 7, dus laten we het proces herhalen: 457 -2*8=457-16=441. En opnieuw zullen we het teken van deelbaarheid gebruiken, omdat we nog steeds een driecijferig getal voor ons hebben 44 1. Dus, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, d.w.z. 42 is deelbaar door 7 zonder rest, wat betekent dat 45801 ook deelbaar is door 7.
En hier zijn de cijfers 11 1 en 34 5 is niet deelbaar door 7 omdat 11 -2*1=11-2=9 (9 is niet gelijk deelbaar door 7) en 34 -2*5=34-10=24 (24 is niet deelbaar door 7).

Teken van deelbaarheid door 8

Het teken van deelbaarheid door 8 klinkt als volgt: als de laatste 3 cijfers een getal vormen dat deelbaar is door 8, of het is 000, dan is het gegeven getal deelbaar door 8.
Nummers 1 000 of 1 088 zijn deelbaar door 8: de eerste eindigt op 000 , de seconde 88 :8=11 (deelbaar door 8 zonder rest).
En hier zijn de nummers 1 100 of 4 757 zijn niet deelbaar door 8 omdat getallen 100 En 757 zijn niet deelbaar door 8 zonder rest.

Teken van deelbaarheid door 9

Dit teken van deelbaarheid is vergelijkbaar met het teken van deelbaarheid door 3: als de som van de cijfers van een getal deelbaar is door 9, dan is het getal ook deelbaar door 9; Als de som van de cijfers van een getal niet deelbaar is door 9, dan is het getal niet deelbaar door 9.
Bijvoorbeeld: 3987 en 144 zijn deelbaar door 9 omdat in het eerste geval 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - deelbaar zonder rest door 9) en in de tweede 1+4+4= 9 (9:9=1 - ook zonder rest deelbaar door 9).
Maar de getallen: 235 en 141 zijn niet deelbaar door 9, want 2+3+5= 10 en 1+4+1= 6 (en we weten dat noch 10 noch 6 kan worden gedeeld door 9 zonder rest).

Tekenen van deelbaarheid door 10, 100, 1000 en andere biteenheden

Ik heb deze deelbaarheidscriteria gecombineerd omdat ze op dezelfde manier kunnen worden beschreven: een getal is deelbaar door een biteenheid als het aantal nullen aan het einde van het getal groter is dan of gelijk is aan het aantal nullen in een bepaalde biteenheid.
Met andere woorden, we hebben bijvoorbeeld getallen als deze: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . die allemaal deelbaar zijn door 1 0 ; 46400 en 867 000 zijn ook deelbaar door 1 00 ; en slechts één van hen - 867 000 deelbaar door 1 000 .
Alle getallen met minder nullen aan het einde dan een biteenheid zijn niet deelbaar door die biteenheid, zoals 600 30 en 7 93 niet delen 1 00 .

Teken van deelbaarheid door 11

Om erachter te komen of een getal deelbaar is door 11, moet je het verschil berekenen tussen de som van de even en oneven cijfers van dit getal. Als dit verschil gelijk is aan 0 of deelbaar is door 11 zonder rest, dan is het getal zelf deelbaar door 11 zonder rest.
Om het duidelijker te maken, stel ik voor om voorbeelden te overwegen: 2 35 4 is deelbaar door 11 omdat ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 is ook deelbaar door 11 omdat ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
En hier is 1 1 1 of 4 35 4 is niet deelbaar door 11, want in het eerste geval krijgen we (1 + 1) - 1 =1, en in de tweede ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Teken van deelbaarheid door 12

Het getal 12 is samengesteld. Het teken van deelbaarheid is de overeenkomst met de tekens van deelbaarheid door 3 en tegelijkertijd door 4.
300 en 636 komen bijvoorbeeld overeen met zowel de tekens van deelbaarheid door 4 (de laatste 2 cijfers zijn nullen of deelbaar door 4) en de tekens van deelbaarheid door 3 (de som van de cijfers en het eerste en tweede getal zijn deelbaar door 3 ), en daarom zijn ze deelbaar door 12 zonder rest.
Maar 200 of 630 zijn niet deelbaar door 12, omdat in het eerste geval het getal alleen overeenkomt met het teken van deelbaarheid door 4, en in het tweede - alleen met het teken van deelbaarheid door 3. Maar niet beide tekens tegelijk.

Teken van deelbaarheid door 13

Een teken van deelbaarheid door 13 is dat als het aantal tientallen van een getal, opgeteld bij de eenheden van dit getal vermenigvuldigd met 4, een veelvoud is van 13 of gelijk aan 0, het getal zelf deelbaar is door 13.
Neem bijvoorbeeld 70 2. Dus 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 is deelbaar door 13), dus 70 2 is deelbaar door 13 zonder rest. Een ander voorbeeld is het nummer 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Het getal 130 is deelbaar door 13 zonder rest, wat betekent dat het gegeven getal overeenkomt met het teken van deelbaarheid door 13.
Als we de cijfers nemen 12 5 of 21 2, dan krijgen we 12 +4*5=32 en 21 +4*2=29 respectievelijk, en 32 noch 29 zijn deelbaar door 13 zonder rest, wat betekent dat de gegeven getallen niet deelbaar zijn door 13 zonder rest.

Deelbaarheid van getallen

Zoals uit het bovenstaande blijkt, kan worden aangenomen dat elk van de natuurlijke getallen kan worden gekoppeld aan zijn eigen individuele teken van deelbaarheid of een "samengesteld" teken als het getal een veelvoud is van verschillende getallen. Maar zoals de praktijk laat zien, hoe groter het getal, hoe complexer de functie ervan. Misschien is de tijd die besteed wordt aan het controleren van het deelbaarheidscriterium gelijk aan of groter dan de deling zelf. Daarom gebruiken we meestal de eenvoudigste deelbaarheidstesten.

Overweeg een eenvoudig voorbeeld:
15:5=3
In dit voorbeeld hebben we het natuurlijke getal 15 . gedeeld volledig 3, geen rest.

Soms kan een natuurlijk getal niet volledig worden gedeeld. Denk bijvoorbeeld aan het probleem:
Er waren 16 speelgoed in de kast. Er waren vijf kinderen in de groep. Elk kind nam evenveel speelgoed mee. Hoeveel speelgoed heeft elk kind?

Oplossing:
Deel het getal 16 bij 5 door een kolom en krijg:

We weten dat 16 keer 5 niet deelbaar is. Het dichtstbijzijnde kleinere getal dat deelbaar is door 5 is 15 met een rest van 1. We kunnen het getal 15 schrijven als 5⋅3. Als resultaat (16 - deeltal, 5 - deler, 3 - deelquotiënt, 1 - rest). Ontvangen formule deling met rest wat kan worden gedaan oplossing verificatie.

een= B⋅ C+ D
een - deelbaar
B - verdeler,
C - onvolledig quotiënt,
D - restant.

Antwoord: Elk kind krijgt 3 speeltjes en er blijft één stuk speelgoed over.

Rest van de divisie

De rest moet altijd kleiner zijn dan de deler.

Als de rest nul is bij het delen, dan is het deelbaar. volledig of geen rest per deler.

Als bij het delen de rest groter is dan de deler, betekent dit dat het gevonden getal niet het grootste is. Er is een groter aantal dat het dividend zal delen en de rest zal kleiner zijn dan de deler.

Vragen over het onderwerp "Delen met rest":
Kan de rest groter zijn dan de deler?
Antwoord: nee.

Kan de rest gelijk zijn aan de deler?
Antwoord: nee.

Hoe het deeltal te vinden door het onvolledige quotiënt, de deler en de rest?
Antwoord: we vervangen de waarden van het onvolledige quotiënt, deler en rest in de formule en vinden het deeltal. Formule:
a=b⋅c+d

Voorbeeld 1:
Voer deling uit met een rest en controleer: a) 258:7 b) 1873:8

Oplossing:
a) Verdeel in een kolom:

258 - deelbaar,
7 - verdeler,
36 - onvolledig quotiënt,
6 - restant. Rest kleiner dan deler 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Verdeel in een kolom:

1873 - deelbaar,
8 - verdeler,
234 - onvolledig quotiënt,
1 is de rest. Rest kleiner dan deler 1<8.

Vervang in de formule en controleer of we het voorbeeld goed hebben opgelost:
8⋅234+1=1872+1=1873

Voorbeeld #2:
Welke resten krijg je bij het delen van natuurlijke getallen: a) 3 b) 8?

Antwoord:
a) De rest is kleiner dan de deler, dus kleiner dan 3. In ons geval kan de rest 0, 1 of 2 zijn.
b) De rest is kleiner dan de deler, dus kleiner dan 8. In ons geval kan de rest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 of 7 zijn.

Voorbeeld #3:
Wat is de grootste rest die kan worden verkregen door natuurlijke getallen te delen: a) 9 b) 15?

Antwoord:
a) De rest is kleiner dan de deler, dus kleiner dan 9. Maar we moeten de grootste rest aangeven. Dat wil zeggen, het dichtstbijzijnde getal bij de deler. Dit aantal is 8.
b) De rest is kleiner dan de deler, dus kleiner dan 15. Maar we moeten de grootste rest aangeven. Dat wil zeggen, het dichtstbijzijnde getal bij de deler. Dit nummer is 14.

Voorbeeld #4:
Zoek het dividend: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

Oplossing:
a) Los op met behulp van de formule:
a=b⋅c+d
(a is het deeltal, b is de deler, c is het deelquotiënt, d is de rest.)
a:6=3(rust.4)
(a is het deeltal, 6 is de deler, 3 is het onvolledige quotiënt, 4 is de rest.) Vervang de getallen in de formule:
a=6⋅3+4=22
Antwoord: a=22

b) Los op met de formule:
a=b⋅c+d
(a is het deeltal, b is de deler, c is het deelquotiënt, d is de rest.)
s:24=4(rest.11)
(c is het deeltal, 24 is de deler, 4 is het onvolledige quotiënt, 11 is de rest.) Vervang de getallen in de formule:
c=24⋅4+11=107
Antwoord: s=107

Een taak:

Draad 4m. moet in stukken van 13 cm worden gesneden. Hoeveel van deze stukken zullen er zijn?

Oplossing:
Eerst moet je meters omrekenen naar centimeters.
4m.=400cm.
Je kunt delen door een kolom of in gedachten krijgen we:
400:13=30(rust 10)
Laten we het controleren:
13⋅30+10=390+10=400

Antwoord: Er zullen 30 stuks uitkomen en er blijft 10 cm draad over.