Schets de grafiek van een functie f die aan de voorwaarden voldoet. Schets de grafiek van een functie, wetende dat
In deze les gaan we in op de techniek voor het construeren van een schets van een functiegrafiek, en geven we verklarende voorbeelden.
Onderwerp: Herhaling
Les: Een grafiek van een functie schetsen (met het voorbeeld van een fractioneel-kwadratische functie)
Ons doel is om een grafiek van de fractioneel-kwadratische functie te schetsen. Laten we bijvoorbeeld een functie nemen die ons al bekend is:
Er wordt een fractionele functie gegeven, in de teller en noemer waarvan er kwadratische functies zijn.
De schetstechniek is als volgt:
1. Laten we intervallen van tekenconstantie selecteren en het teken van de functie op elk ervan definiëren (Figuur 1)
We hebben het in detail onderzocht en ontdekten dat een functie die continu is in de ODZ alleen van teken kan veranderen als het argument door de wortels en breekpunten van de ODZ gaat.
De gegeven functie у is continu in zijn ODZ, laten we de ODV aangeven:
Laten we de wortels vinden:
Laten we intervallen van constantheid selecteren. We vonden de wortels van de functie en de breekpunten van het domein van definitie - de wortels van de noemer. Het is belangrijk op te merken dat de functie het teken binnen elk interval behoudt.
Rijst. 1. Intervallen van constantheid van de functie
Om het teken van een functie bij elk interval te bepalen, kun je elk punt dat tot het interval behoort nemen, het in de functie vervangen en het teken bepalen. Bijvoorbeeld:
De functie heeft een plusteken op het interval
De functie heeft een minteken op het interval.
Dit is het voordeel van de intervalmethode: we bepalen het teken op een enkel monsterpunt en concluderen dat de functie hetzelfde teken zal hebben over het hele geselecteerde interval.
Het is echter mogelijk om de tekens automatisch in te stellen zonder de waarden van de functie te berekenen; bepaal hiervoor het teken in het uiterste interval en wissel vervolgens de tekens af.
1. Laten we een grafiek maken in de buurt van elke wortel. Bedenk dat de wortels van deze functie en:
Rijst. 2. Grafiek in de buurt van de wortels
Aangezien op het punt het teken van de functie verandert van plus naar min, bevindt de curve zich eerst boven de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens onder de x-as. Op dat punt is het tegendeel waar.
2. Laten we een grafiek maken in de buurt van elke discontinuïteit in de ODZ. Bedenk dat de wortels van de noemer van deze functie en:
Rijst. 3. De grafiek van de functie in de buurt van de discontinuïteitspunten van het SDS
Wanneer ofwel de noemer van een breuk praktisch nul is, betekent dit dat wanneer de waarde van het argument naar deze getallen neigt, de waarde van de breuk naar oneindig neigt. In dit geval, wanneer het argument de triple aan de linkerkant nadert, is de functie positief en neigt naar plus oneindig, aan de rechterkant is de functie negatief en gaat uit min oneindig. Ongeveer vier daarentegen, aan de linkerkant neigt de functie naar min oneindig, en aan de rechterkant verlaat hij plus oneindig.
Volgens de geconstrueerde schets kunnen we met bepaalde tussenpozen het gedrag van de functie raden.
Rijst. 4. Schets functiegrafiek
Overweeg de volgende belangrijke taak - een schets maken van de grafiek van een functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten, d.w.z. wanneer het argument plus of min oneindig nadert. In dit geval kunnen de constante termen worden verwaarloosd. We hebben:
Soms kun je zo'n verslag van dit feit vinden:
Rijst. 5. Schets van de grafiek van de functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten
We hebben een benaderend karakter verkregen van het gedrag van de functie over zijn hele definitiegebied, dan moeten we de constructies verfijnen met behulp van de afgeleide.
Voorbeeld 1 - Schets een grafiek van een functie:
We hebben drie punten bij het doorgeven van het argument waardoor de functie van teken kan veranderen.
Bepaal de tekens van de functie bij elk interval. We hebben een plus op het uiterst rechtse interval, dan wisselen de tekens elkaar af, aangezien alle wortels de eerste graad hebben.
We bouwen een schets van de grafiek in de buurt van de wortels en breekpunten van de ODZ. We hebben: aangezien op het punt dat het teken van de functie verandert van plus in min, bevindt de curve zich eerst boven de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens onder de x-as. Wanneer ofwel de noemer van een breuk praktisch nul is, betekent dit dat wanneer de waarde van het argument naar deze getallen neigt, de waarde van de breuk naar oneindig neigt. In dit geval, wanneer het argument min twee aan de linkerkant benadert, is de functie negatief en neigt naar min oneindig, aan de rechterkant is de functie positief en gaat uit plus oneindig. Ongeveer twee is vergelijkbaar.
Laten we de afgeleide van de functie zoeken:
Het is duidelijk dat de afgeleide altijd kleiner is dan nul, daarom neemt de functie in alle secties af. Dus in de sectie van min oneindig tot min twee, neemt de functie af van nul tot min oneindig; in de sectie van min twee naar nul neemt de functie af van plus oneindig naar nul; in het gebied van nul tot twee neemt de functie af van nul tot minus oneindig; in het bereik van twee tot plus oneindig, neemt de functie af van plus oneindig tot nul.
Laten we illustreren:
Rijst. 6. Schets van de functiegrafiek bijvoorbeeld 1
Voorbeeld 2 - Schets een grafiek van een functie:
We bouwen een schets van de grafiek van de functie zonder de afgeleide te gebruiken.
Laten we eerst de gegeven functie bekijken:
We hebben een enkel punt bij het doorgeven van het argument waardoor de functie van teken kan veranderen.
Merk op dat de gegeven functie oneven is.
Bepaal de tekens van de functie bij elk interval. We hebben een plus op het uiterst rechtse interval, dan verandert het teken, aangezien de wortel de eerste graad heeft.
We bouwen een schets van de grafiek in de buurt van de wortel. We hebben: aangezien op het punt dat het teken van de functie verandert van min naar plus, bevindt de curve zich eerst onder de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens boven de x-as.
Nu bouwen we een schets van de grafiek van de functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten, d.w.z. wanneer het argument plus of min oneindig nadert. In dit geval kunnen de constante termen worden verwaarloosd. We hebben:
Na het voltooien van de bovenstaande stappen, stellen we ons de grafiek van de functie al voor, maar we moeten deze verfijnen met behulp van de afgeleide.
Laten we de afgeleide van de functie zoeken:
We onderscheiden de intervallen van constantheid van de afgeleide: op. ODZ hier. We hebben dus drie intervallen van constantheid van de afgeleide en drie secties van monotoniciteit van de oorspronkelijke functie. Laten we de tekens van de afgeleide op elk interval bepalen. Wanneer 
de afgeleide is positief, de functie neemt toe; wanneer de afgeleide negatief is, neemt de functie af. In dit geval is het punt het minimum, aangezien de afgeleide verandert van teken van min naar plus; integendeel, het maximale punt.
In deze les gaan we in op de techniek voor het construeren van een schets van een functiegrafiek, en geven we verklarende voorbeelden.
Onderwerp: Herhaling
Les: Een grafiek van een functie schetsen (met het voorbeeld van een fractioneel-kwadratische functie)
1. Techniek voor het schetsen van functiegrafieken
Ons doel is om een grafiek van de fractioneel-kwadratische functie te schetsen. Laten we bijvoorbeeld een functie nemen die ons al bekend is:
Er wordt een fractionele functie gegeven, in de teller en noemer waarvan er kwadratische functies zijn.
De schetstechniek is als volgt:
1. Laten we intervallen van tekenconstantie selecteren en het teken van de functie op elk ervan definiëren (Figuur 1)
We hebben het in detail onderzocht en ontdekten dat een functie die continu is in de ODZ alleen van teken kan veranderen als het argument door de wortels en breekpunten van de ODZ gaat.
De gegeven functie у is continu in zijn ODZ, laten we de ODV aangeven:
Laten we de wortels vinden:
Laten we intervallen van constantheid selecteren. We vonden de wortels van de functie en de breekpunten van het domein van definitie - de wortels van de noemer. Het is belangrijk op te merken dat de functie het teken binnen elk interval behoudt.
Rijst. 1. Intervallen van constantheid van de functie
Om het teken van een functie bij elk interval te bepalen, kun je elk punt dat tot het interval behoort nemen, het in de functie vervangen en het teken bepalen. Bijvoorbeeld:
De functie heeft een plusteken op het interval
De functie heeft een minteken op het interval.
Dit is het voordeel van de intervalmethode: we bepalen het teken op een enkel monsterpunt en concluderen dat de functie hetzelfde teken zal hebben over het hele geselecteerde interval.
Het is echter mogelijk om de tekens automatisch in te stellen zonder de waarden van de functie te berekenen; bepaal hiervoor het teken in het uiterste interval en wissel vervolgens de tekens af.
1. Laten we een grafiek maken in de buurt van elke wortel. Bedenk dat de wortels van deze functie en:
Rijst. 2. Grafiek in de buurt van de wortels
Aangezien op het punt het teken van de functie verandert van plus naar min, bevindt de curve zich eerst boven de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens onder de x-as. Op dat punt is het tegendeel waar.
2. Laten we een grafiek maken in de buurt van elke discontinuïteit in de ODZ. Bedenk dat de wortels van de noemer van deze functie en:
Rijst. 3. De grafiek van de functie in de buurt van de discontinuïteitspunten van het SDS
Wanneer ofwel de noemer van een breuk praktisch nul is, betekent dit dat wanneer de waarde van het argument naar deze getallen neigt, de waarde van de breuk naar oneindig neigt. In dit geval, wanneer het argument de triple aan de linkerkant nadert, is de functie positief en neigt naar plus oneindig, aan de rechterkant is de functie negatief en gaat uit min oneindig. Ongeveer vier daarentegen, aan de linkerkant neigt de functie naar min oneindig, en aan de rechterkant verlaat hij plus oneindig.
Volgens de geconstrueerde schets kunnen we met bepaalde tussenpozen het gedrag van de functie raden.
Rijst. 4. Schets functiegrafiek
Overweeg de volgende belangrijke taak - een schets maken van de grafiek van een functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten, dat wil zeggen, wanneer het argument neigt naar plus of min oneindig. In dit geval kunnen de constante termen worden verwaarloosd. We hebben:
Soms kun je zo'n verslag van dit feit vinden:
Rijst. 5. Schets van de grafiek van de functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten
We hebben een benaderend karakter verkregen van het gedrag van de functie over zijn hele definitiegebied, dan moeten we de constructies verfijnen met behulp van de afgeleide.
2. Oplossing van voorbeeld nr. 1
Voorbeeld 1 - Schets een grafiek van een functie:
We hebben drie punten bij het doorgeven van het argument waardoor de functie van teken kan veranderen.
Bepaal de tekens van de functie bij elk interval. We hebben een plus op het uiterst rechtse interval, dan wisselen de tekens elkaar af, aangezien alle wortels de eerste graad hebben.
We bouwen een schets van de grafiek in de buurt van de wortels en breekpunten van de ODZ. We hebben: aangezien op het punt dat het teken van de functie verandert van plus in min, bevindt de curve zich eerst boven de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens onder de x-as. Wanneer ofwel de noemer van een breuk praktisch nul is, betekent dit dat wanneer de waarde van het argument naar deze getallen neigt, de waarde van de breuk naar oneindig neigt. In dit geval, wanneer het argument min twee aan de linkerkant benadert, is de functie negatief en neigt naar min oneindig, aan de rechterkant is de functie positief en gaat uit plus oneindig. Ongeveer twee is vergelijkbaar.
Laten we de afgeleide van de functie zoeken:
Het is duidelijk dat de afgeleide altijd kleiner is dan nul, daarom neemt de functie in alle secties af. Dus in de sectie van min oneindig tot min twee, neemt de functie af van nul tot min oneindig; in de sectie van min twee naar nul neemt de functie af van plus oneindig naar nul; in het gebied van nul tot twee neemt de functie af van nul tot minus oneindig; in het bereik van twee tot plus oneindig, neemt de functie af van plus oneindig tot nul.
Laten we illustreren:
Rijst. 6. Schets van de functiegrafiek bijvoorbeeld 1
3. Oplossing van voorbeeld nr. 2
Voorbeeld 2 - Schets een grafiek van een functie:
We bouwen een schets van de grafiek van de functie zonder de afgeleide te gebruiken.
Laten we eerst de gegeven functie bekijken:
We hebben een enkel punt bij het doorgeven van het argument waardoor de functie van teken kan veranderen.
Merk op dat de gegeven functie oneven is.
Bepaal de tekens van de functie bij elk interval. We hebben een plus op het uiterst rechtse interval, dan verandert het teken, aangezien de wortel de eerste graad heeft.
We bouwen een schets van de grafiek in de buurt van de wortel. We hebben: aangezien op het punt dat het teken van de functie verandert van min naar plus, bevindt de curve zich eerst onder de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens boven de x-as.
Nu bouwen we een schets van de grafiek van de functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten, dat wil zeggen, wanneer het argument neigt naar plus of min oneindig. In dit geval kunnen de constante termen worden verwaarloosd. We hebben:
Na het voltooien van de bovenstaande stappen, stellen we ons de grafiek van de functie al voor, maar we moeten deze verfijnen met behulp van de afgeleide.
Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.
Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie
Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een bepaalde persoon te identificeren of contact met hem op te nemen.
U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.
Hieronder staan enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.
Welke persoonlijke informatie we verzamelen:
- Wanneer u een verzoek achterlaat op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.
Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:
- De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen te melden.
- Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke meldingen en berichten te verzenden.
- We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
- Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijk promotie-evenement, kunnen we de informatie die u verstrekt gebruiken om die programma's te beheren.
Openbaarmaking van informatie aan derden
Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.
Uitzonderingen:
- Indien het nodig is - in overeenstemming met de wet, gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures, en/of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens vrij te geven. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheid, wetshandhaving of andere sociaal belangrijke redenen.
- In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de juiste derde partij - de rechtsopvolger.
Bescherming van persoonlijke informatie
We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.
Respect voor uw privacy op bedrijfsniveau
Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke informatie veilig is, brengen we de regels van vertrouwelijkheid en veiligheid naar onze medewerkers en houden we strikt toezicht op de implementatie van vertrouwelijkheidsmaatregelen.
In deze les gaan we in op de techniek voor het construeren van een schets van een functiegrafiek, en geven we verklarende voorbeelden.
Onderwerp: Herhaling
Les: Een grafiek van een functie schetsen (met het voorbeeld van een fractioneel-kwadratische functie)
Ons doel is om een grafiek van de fractioneel-kwadratische functie te schetsen. Laten we bijvoorbeeld een functie nemen die ons al bekend is:
Er wordt een fractionele functie gegeven, in de teller en noemer waarvan er kwadratische functies zijn.
De schetstechniek is als volgt:
1. Laten we intervallen van tekenconstantie selecteren en het teken van de functie op elk ervan definiëren (Figuur 1)
We hebben het in detail onderzocht en ontdekten dat een functie die continu is in de ODZ alleen van teken kan veranderen als het argument door de wortels en breekpunten van de ODZ gaat.
De gegeven functie у is continu in zijn ODZ, laten we de ODV aangeven:
Laten we de wortels vinden:
Laten we intervallen van constantheid selecteren. We vonden de wortels van de functie en de breekpunten van het domein van definitie - de wortels van de noemer. Het is belangrijk op te merken dat de functie het teken binnen elk interval behoudt.
Rijst. 1. Intervallen van constantheid van de functie
Om het teken van een functie bij elk interval te bepalen, kun je elk punt dat tot het interval behoort nemen, het in de functie vervangen en het teken bepalen. Bijvoorbeeld:
De functie heeft een plusteken op het interval
De functie heeft een minteken op het interval.
Dit is het voordeel van de intervalmethode: we bepalen het teken op een enkel monsterpunt en concluderen dat de functie hetzelfde teken zal hebben over het hele geselecteerde interval.
Het is echter mogelijk om de tekens automatisch in te stellen zonder de waarden van de functie te berekenen; bepaal hiervoor het teken in het uiterste interval en wissel vervolgens de tekens af.
1. Laten we een grafiek maken in de buurt van elke wortel. Bedenk dat de wortels van deze functie en:
Rijst. 2. Grafiek in de buurt van de wortels
Aangezien op het punt het teken van de functie verandert van plus naar min, bevindt de curve zich eerst boven de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens onder de x-as. Op dat punt is het tegendeel waar.
2. Laten we een grafiek maken in de buurt van elke discontinuïteit in de ODZ. Bedenk dat de wortels van de noemer van deze functie en:
Rijst. 3. De grafiek van de functie in de buurt van de discontinuïteitspunten van het SDS
Wanneer ofwel de noemer van een breuk praktisch nul is, betekent dit dat wanneer de waarde van het argument naar deze getallen neigt, de waarde van de breuk naar oneindig neigt. In dit geval, wanneer het argument de triple aan de linkerkant nadert, is de functie positief en neigt naar plus oneindig, aan de rechterkant is de functie negatief en gaat uit min oneindig. Ongeveer vier daarentegen, aan de linkerkant neigt de functie naar min oneindig, en aan de rechterkant verlaat hij plus oneindig.
Volgens de geconstrueerde schets kunnen we met bepaalde tussenpozen het gedrag van de functie raden.
Rijst. 4. Schets functiegrafiek
Overweeg de volgende belangrijke taak - een schets maken van de grafiek van een functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten, d.w.z. wanneer het argument plus of min oneindig nadert. In dit geval kunnen de constante termen worden verwaarloosd. We hebben:
Soms kun je zo'n verslag van dit feit vinden:
Rijst. 5. Schets van de grafiek van de functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten
We hebben een benaderend karakter verkregen van het gedrag van de functie over zijn hele definitiegebied, dan moeten we de constructies verfijnen met behulp van de afgeleide.
Voorbeeld 1 - Schets een grafiek van een functie:
We hebben drie punten bij het doorgeven van het argument waardoor de functie van teken kan veranderen.
Bepaal de tekens van de functie bij elk interval. We hebben een plus op het uiterst rechtse interval, dan wisselen de tekens elkaar af, aangezien alle wortels de eerste graad hebben.
We bouwen een schets van de grafiek in de buurt van de wortels en breekpunten van de ODZ. We hebben: aangezien op het punt dat het teken van de functie verandert van plus in min, bevindt de curve zich eerst boven de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens onder de x-as. Wanneer ofwel de noemer van een breuk praktisch nul is, betekent dit dat wanneer de waarde van het argument naar deze getallen neigt, de waarde van de breuk naar oneindig neigt. In dit geval, wanneer het argument min twee aan de linkerkant benadert, is de functie negatief en neigt naar min oneindig, aan de rechterkant is de functie positief en gaat uit plus oneindig. Ongeveer twee is vergelijkbaar.
Laten we de afgeleide van de functie zoeken:
Het is duidelijk dat de afgeleide altijd kleiner is dan nul, daarom neemt de functie in alle secties af. Dus in de sectie van min oneindig tot min twee, neemt de functie af van nul tot min oneindig; in de sectie van min twee naar nul neemt de functie af van plus oneindig naar nul; in het gebied van nul tot twee neemt de functie af van nul tot minus oneindig; in het bereik van twee tot plus oneindig, neemt de functie af van plus oneindig tot nul.
Laten we illustreren:
Rijst. 6. Schets van de functiegrafiek bijvoorbeeld 1
Voorbeeld 2 - Schets een grafiek van een functie:
We bouwen een schets van de grafiek van de functie zonder de afgeleide te gebruiken.
Laten we eerst de gegeven functie bekijken:
We hebben een enkel punt bij het doorgeven van het argument waardoor de functie van teken kan veranderen.
Merk op dat de gegeven functie oneven is.
Bepaal de tekens van de functie bij elk interval. We hebben een plus op het uiterst rechtse interval, dan verandert het teken, aangezien de wortel de eerste graad heeft.
We bouwen een schets van de grafiek in de buurt van de wortel. We hebben: aangezien op het punt dat het teken van de functie verandert van min naar plus, bevindt de curve zich eerst onder de as, gaat dan door nul en bevindt zich vervolgens boven de x-as.
Nu bouwen we een schets van de grafiek van de functie in de buurt van oneindig ver verwijderde punten, d.w.z. wanneer het argument plus of min oneindig nadert. In dit geval kunnen de constante termen worden verwaarloosd. We hebben:
Na het voltooien van de bovenstaande stappen, stellen we ons de grafiek van de functie al voor, maar we moeten deze verfijnen met behulp van de afgeleide.
Laten we de afgeleide van de functie zoeken:
We onderscheiden de intervallen van constantheid van de afgeleide: op. ODZ hier. We hebben dus drie intervallen van constantheid van de afgeleide en drie secties van monotoniciteit van de oorspronkelijke functie. Laten we de tekens van de afgeleide op elk interval bepalen. Wanneer de afgeleide is positief, de functie neemt toe; wanneer de afgeleide negatief is, neemt de functie af. In dit geval is het punt het minimum, aangezien de afgeleide verandert van teken van min naar plus; integendeel, het maximale punt.