, [−5p / 2; −3p / 2] ,. ... ... - bir so'z bilan aytganda, barcha segmentlarda [−p / 2 + 2pk; p / 2 + 2pk], bu erda k Z va barcha segmentlarda kamayadi

[p / 2 + 2pn; 3p / 2 + 2pn], bu erda n Z.

11.6-topshiriq. y = cos x funksiya qaysi intervallarda va qaysi intervallarda ortadi?

11.8-topshiriq. O'sish tartibida joylashtiring: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Tangens va kotangensning grafiklari

y = tg x funksiyaning grafigini tuzamiz. Avval uni (−p / 2; p / 2) intervalga tegishli x sonlari uchun tuzamiz.

Agar x = 0 bo'lsa, u holda tg x = 0; x 0 dan p / 2 gacha ko'tarilganda, tan x ham ortadi - buni tangens o'qiga qarasangiz ko'rish mumkin (12.1-rasm a). X p / 2 ga yaqinlashganda, kamroq qoladi

Guruch. 12.2. y = tg x.

p / 2, tan x qiymati ortadi (12.1-rasmdagi M nuqtasi a yuqori va yuqoriroq qochib ketadi) va, shubhasiz, o'zboshimchalik bilan katta ijobiy raqamga aylanishi mumkin. Xuddi shunday, x 0 dan −p / 2 gacha kamayganda, tan x manfiy songa aylanadi, uning mutlaq qiymati x −p / 2 ga yaqinlashganda ortadi. X = p / 2 yoki -p / 2 uchun tan x funksiyasi aniqlanmagan. Shuning uchun x (−p / 2; p / 2) da y = tan x grafigi taxminan shakldagi kabi ko'rinadi. 12.1 b.

Koordinatalarning kelib chiqishi yaqinida bizning egri chizig'imiz y = x x to'g'ri chiziqqa yaqin: axir, kichik o'tkir burchaklar uchun tg x ≈ x taxminiy tengligi haqiqatdir. Aytishimiz mumkinki, y = x to'g'ri chiziq y = tg x funktsiyaning grafigiga bosh nuqtasida tegadi. Bundan tashqari, 12.1b-rasmdagi egri chiziq kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu y = tg x funksiyaning toq, ya'ni tg (−x) = - tg x tengligi bajarilganligi bilan izohlanadi.

Barcha x uchun y = tg x funktsiyaning grafigini yaratish uchun tg x davriy funktsiya p davriga ega ekanligini unutmang. Shuning uchun y = tg x funktsiyaning to'liq grafigini olish uchun rasmdagi egri chiziqni cheksiz ko'p marta takrorlash kerak. 12.1 b, uni abtsissa bo'ylab pn masofaga o'tkazamiz, bu erda n - butun son. y = tg x funksiya grafigining yakuniy shakli rasmda ko'rsatilgan. 12.2.

Grafikga ko'ra y = tg x funktsiyani yana bir bor ko'ramiz

Guruch. 12.3. y = ctg x.

x = p / 2 + pn, n Z uchun aniqlanmagan, ya'ni cos x = 0 bo'lgan x uchun. x = p / 2, 3p / 2, tenglamali vertikal chiziqlar. ... ... grafning yaqinlashayotgan shoxlari grafik asimptotalari deyiladi.

Xuddi shu anjir. 12.2 tg x = a tenglamaning yechimlarini tasvirladik.

y = ctg x funksiyaning grafigini tuzamiz. Eng oson yo'li - ctg x = tg (p / 2 - x) qisqartirish formulasidan foydalanib, bu grafikni y = tg x funktsiyasining grafigidan oldingi paragrafda tasvirlangan o'zgartirishlar yordamida olishdir. Natija rasmda ko'rsatilgan. 12.3

Vazifa 12.1. y = ctg x funksiyaning grafigi y = tg x funktsiya grafigidan qandaydir to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya yordamida olinadi. Aynan qanday? Belgilangan xususiyatga ega bo'lgan boshqa to'g'ri chiziqlar bormi?

Vazifa 12.2. Koordinatalari (p / 2; 0) bo'lgan nuqtada y = ctg x funksiya grafigiga tegib turgan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday ko'rinishga ega?

Vazifa 12.3. Raqamlarni solishtiring: a) tg (13p / 11) va tg 3,3p; b) tan 9,6p va ctg (-11,3p).

Vazifa 12.4. Raqamlarni o'sish tartibida joylashtiring: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

12.5-topshiriq. Funksiya grafiklari:

Vazifa 12.7. y = arctan x + arctan (1 / x) funksiyasining grafigini tuzing.

§ 13. Sin x + cos x nima?

Ushbu bo'limda biz quyidagi masalani hal qilishga harakat qilamiz: sin x + cos x ifodasi olishi mumkin bo'lgan eng katta qiymat nima?

Agar siz to'g'ri o'ylagan bo'lsangiz, ushbu jadvaldagi barcha x dan chiqib ketishingiz kerak edi, eng katta qiymat - sin x + cos x

x uchun 45◦ ga yaqin yoki radian oʻlchamida p/4 ga olinadi.

Agar x = p / 4 bo'lsa, sin x + cos x ning aniq qiymati 2 ga teng. Ma'lum bo'lishicha, bizning eksperimental olingan natijamiz

aslida to'g'ri: barcha x uchun sin x + cos x 6 tengsizligi

2, shuning uchun 2 bu ifoda tomonidan qabul qilingan eng katta qiymatdir.

Bizda bu tengsizlikni eng tabiiy tarzda isbotlash uchun haligacha vositalar etishmayapti. Hozircha, uni qanday qilib planimetriya muammosiga tushirishni ko'rsatamiz.

Agar 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Shuning uchun bizning vazifamiz quyidagicha qayta tuzilgan: gipotenuzasi 1 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari uzunliklarining yig'indisi, agar bu uchburchak teng yonli bo'lsa, maksimal bo'lishini isbotlash.

Vazifa 13.1. Ushbu bayonotni isbotlang.

Chunki teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak gi-

Potensial 1, oyoqlarning uzunliklari yig'indisi 2√ ga teng, bu muammoning natijasi (0; p / 2) oraliqda yotgan barcha x uchun sin x + cos x 6 2 tengsizlikni nazarda tutadi. Bundan allaqachon xulosa qilish mumkinki, bu tengsizlik umuman barcha x uchun amal qiladi.

13.1-masalaning natijasi faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun emas.

13.2-topshiriq. AC tomoni va B burchagi berilgan barcha uchburchaklar ichida eng katta yig‘indi AB + BC asosi AC bo‘lgan teng yonli uchburchak uchun bo‘lishini isbotlang.

Keling, trigonometriyaga qaytaylik.

13.3-topshiriq. 3-§ dan sinuslar jadvalidan foydalanib, y = sin x + cos x funksiyani nuqta bo‘yicha chizamiz.

Ko'rsatma. Esda tutingki, x radianlarda ifodalanishi kerak; diapazondan tashqaridagi x qiymatlari uchun quyma formulalardan foydalaning.

Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, sinusga o'xshash egri chiziqqa ega bo'lishingiz kerak. Keyinchalik bu egri chiziq nafaqat o'xshash, balki sinusoid ekanligini ko'ramiz. Shuningdek, biz 3 sin x + 4 cos x kabi ifodalarning eng katta qiymatlarini qanday topishni o'rganamiz (Aytgancha, y = 3 sin x + 4 cos x funksiya grafigi ham sinusoiddir!).

Ushbu video darslik funksiyalarning xususiyatlarini qamrab oladi y =tgx, y = ctgx, ularning grafiklarini qanday qurish kerakligini ko'rsatadi.

Video darslik funksiyaga qarashdan boshlanadi y =tgx.

Funktsiyaning xususiyatlari ta'kidlangan.

1) Funktsiya doirasi y =tgx bundan mustasno, barcha haqiqiy sonlar nomlanadi x = p / 2 + 2 pk. Bular. grafikda to'g'ri chiziqqa tegishli nuqtalar yo'q x = p / 2 va x = - p / 2, shuningdek, x = 3p / 2 va boshqalar (bir xil chastotada). Demak, funksiya grafigi y =tgx to'g'ri chiziqlar orasidagi intervallarda bo'ladigan cheksiz sonli shoxlardan iborat bo'ladi x = - 3p / 2 va x = - p / 2, x = - p / 2 va x = p / 2 va boshqalar.

2) Funktsiya y =tgx davriy bo'lib, bu erda asosiy davr p. Bu tenglikni tasdiqlaydi tg (x - π ) = tg x =tg (x +π ) . Ushbu tengliklar ilgari o'rganilgan, muallif har qanday maqbul qiymat uchun talabalarni eslab qolishga taklif qiladi. t tenglik to'g'ri:

tg (t + π ) = tg t, va c tg (t +π ) = ctg t... Bu tengliklarning natijasi shundan iboratki, agar funktsiya grafigining bir tarmog'i y = tg x to'g'ri chiziqlar orasida X = - p / 2 va X= p / 2, keyin qolgan shoxlarni bu shoxni x o'qi bo'ylab siljitish orqali olish mumkin. p, 2p va boshqalar.

3) Funktsiya y =tgx g'alati, chunki . tg (- x) =- tg x.

Keyin funksiya grafigini tuzishga o‘tamiz y =tgx. Yuqorida tavsiflangan funksiyaning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, funktsiya y =tgx davriy va g'alati. Shuning uchun, grafikning bir qismini - bitta oraliqda bitta filialni qurish va keyin simmetriyani uzatish uchun ishlatish kifoya. Muallif qiymatlar hisoblangan jadvalni beradi tgx ma'lum qiymatlarda x aniqroq chizma yaratish uchun. Bu nuqtalar koordinata o'qida belgilangan va silliq chiziq bilan bog'langan. Chunki grafa koordinata boshiga nisbatan simmetrik, keyin bir xil shoxcha quriladi, koordinata boshiga simmetrikdir. Natijada biz grafikning bitta novdasini olamiz y =tgx. Bundan tashqari, x o'qi bo'ylab p, 2 p va boshqalarga siljish yordamida grafik olinadi. y =tgx.

Funktsiya grafigi y =tgx tangentoid deb ataladi va rasmda ko'rsatilgan grafikning uchta tarmog'i tangentoidning asosiy tarmoqlari hisoblanadi.

4) Funktsiya y =tgx oraliqlarning har birida (- +; +) ortadi.

5) Funksiya grafigi y =tgx yuqori yoki pastki cheklovlarga ega emas.

6) Funktsiya y =tgx eng katta va eng kichik ahamiyatga ega emas.

7) Funktsiya y =tgx har qanday oraliqda uzluksiz (- - p / 2 + p; p / 2 + p). p / 2 + p to'g'ri chiziq funktsiya grafigining asimptotasi deyiladi. y =tgx beri bu nuqtalarda funksiya grafigi uziladi.

8) Funksiya qiymatlari to‘plami y =tgx barcha haqiqiy sonlar nomlanadi.

Quyidagi video darsda misol keltirilgan: bilan tenglamani yechish tgx... Yechish uchun funksiyaning 2 ta grafigini chizamiz da va bu grafiklarning kesishish nuqtalarini toping: bu cheksiz nuqtalar to'plami bo'lib, ularning abssissalari pk ga farq qiladi. Bu tenglamaning ildizi bo'ladi X= p / 6 + pk.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing y =ctgx. Funksiya grafigini ikki usulda tuzish mumkin.

Birinchi usul grafikni xuddi grafik chizilgandek chizishni o'z ichiga oladi. funktsiya y =tgx. Funksiya grafigining bitta shoxini quramiz y = ctgx to'g'ri chiziqlar orasida X= 0 va X= p. Keyin simmetriya va davriylikdan foydalanib, biz grafikning boshqa tarmoqlarini quramiz.

Ikkinchi yo'l oddiyroq. Funktsiya grafigi y = ctgx qisqarish formulasi yordamida tangentoidlarni o'zgartirish orqali olinishi mumkin Bilantgx = - tg (x + p / 2). Buning uchun funksiya grafigining bir shoxini siljitamiz y = tgx abscissa o'qi bo'ylab o'ngga p / 2 ga. Qolgan shoxlar bu shoxni x o'qi bo'ylab p, 2p va boshqalarga siljitish orqali olinadi. Funktsiya grafigi y = ctg x tangentoid ham deyiladi va grafikning (0; p) oraliqdagi shoxchasi tangentoidning asosiy tarmog'i hisoblanadi.

MATN KODI:

y = tg x (y = tangens x), y = ctg x (y = kotangent x) funksiyaning xossalarini ko'rib chiqamiz, ularning grafiklarini tuzamiz. y = tgx funktsiyasini ko'rib chiqing

y = tg x funksiya grafigini tuzishdan oldin bu funksiyaning xossalarini yozamiz.

XUSUSIYAT 1. y = tan x funksiyaning aniqlanish sohasi x = + pk ko'rinishdagi raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir (x pi yig'indisiga ikki va pi ka teng).

Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya grafigida x = to'g'ri chiziqqa (agar k = 0 ka nolga teng bo'lsa, biz olamiz) va x = to'g'ri chiziqqa (x minus pi ga ikkiga teng) tegishli nuqtalar yo'q. (agar k = - 1 ka minus birga teng bo'lsa) va x = to'g'ri chiziq (x uchta pi ikkiga teng) (agar k = 1 ka birga teng bo'lsa, olamiz) va hokazo. y = tg x funksiyaning grafigi to'g'ri chiziqlar orasidagi intervallarda bo'ladigan cheksiz tarmoqlar to'plamidan iborat bo'ladi. Ya'ni, x = va x = - orasidagi chiziqda; chiziqda x = - va x =; chiziqda x = va x = va hokazo ad infinitum.

XUSUSIYAT 2. y = tan x funksiyasi asosiy davri p bilan davriydir. (Chunki ikki tomonlama tenglik to'g'ri

tan (x- p) = tanx = tan (x + p) x minus pi tangensi x tangensiga teng va x plus pi tangensiga teng). Biz tangens va kotangensni o'rganishda bu tenglikni hisobga oldik. Unga eslatib o'tamiz:

t ning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun tengliklar to'g'ri bo'ladi:

tg (t + p) = tgt

ctg (t + p) = ctgt

Bu tenglikdan kelib chiqadiki, y = tg x funktsiya grafigining x = - va x = oralig'ida shoxini tuzib, qurilgan shoxni X o'qi bo'ylab p, 2p ga siljitish orqali qolgan tarmoqlarni olamiz. , va hokazo.

XUSUSIYAT 3. tg (- x) = - tg x tengligi togri bolganligi uchun y = tg x funksiya toq funksiyadir.

y = tg x funksiyaning grafigini tuzamiz

Bu funksiya davriy boʻlib, cheksiz shoxlar toʻplamidan (x = va x = orasidagi chiziqda, shuningdek, x = va x = orasidagi chiziqda va hokazo) iborat boʻlgani uchun va toq boʻlsa, u holda biz qismni tuzamiz. Grafikni noldan pigacha bo'lgan oraliqdagi nuqtalar bo'yicha ikkiga (), so'ngra kelib chiqishi va davriyligi simmetriyasidan foydalaning.

Keling, chizish uchun tangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Birinchi nuqtani topamiz: x = 0 tg x = 0 (x nolga teng x tangensi ham nolga teng) ekanligini bilib; keyingi nuqta: x = tg x = da (x olti tangens pi ga teng x uchdan uchtagacha ildizga teng); quyidagi fikrlarga e'tibor bering: x = tg x = 1 da (x to'rtta tangens pi ga teng x birga teng) va x = tan x = (x pi ga uchta tangens x kvadrat ildizga teng) da uchtadan). Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilash va ularni silliq chiziq bilan bog'lash (2-rasm).

Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo lgani uchun biz bir xil novdani koordinata boshiga simmetrik ravishda quramiz. (3-rasm).

Va nihoyat, davriylikni qo'llagan holda, biz y = tg x funksiyaning grafigini olamiz.

X = - va x = dan chiziqqa y = tg x funksiya grafigining filialini qurdik. Qolgan shoxlarni X o'qi bo'ylab qurilgan novdani p, 2p va boshqalarga siljitish orqali quramiz.

Chizilgan grafik tangentoid deb ataladi.

Tangentoidning 3-rasmda ko'rsatilgan qismi tangentoidning asosiy tarmog'i deyiladi.

Grafikga asoslanib, biz ushbu funktsiyaning xususiyatlarini ham yozamiz.

XUSUSIYAT 4. y = tan x funksiyasi har bir oraliqda ortadi (minus pi ikki plyus pi dan pi ga ikki plyus pi).

XUSUSIYAT 5. y = tg x funksiya yuqoridan yoki pastdan chegaralanmagan.

XUSUSIYAT 6. y = tan x funksiyasi na eng katta, na eng kichik qiymatga ega.

XUSUSIYAT 7. y = tan x funksiyasi shaklning istalgan oralig'ida uzluksizdir (minus pi dan ikki plyus pi dan pi ga ikki plyus pi ka).

X = + p ko'rinishdagi to'g'ri chiziq (x pi yig'indisi ikkiga va p ka) funksiya grafigining vertikal asimptotasidir, chunki x = + p ko'rinishdagi nuqtalarda funktsiya a ga ega. uzilish.

XUSUSIYAT 8. y = tg x funksiyaning qiymatlari to'plami barcha haqiqiy sonlar, ya'ni (eff dan eff minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan intervalga teng).

O'RNAK 1. tg x = tenglamani yeching (tangens x uchdan uchtaning ildiziga teng).

Yechim. y = tg x funksiyalarning grafiklarini bitta koordinatalar tizimida tuzamiz

(o'yin x ning tangensiga teng) va y = (o'yin uchta ildizning uchga bo'linishiga teng).

Biz cheksiz ko'p kesishish nuqtalariga ega bo'ldik, ularning abscissalari bir-biridan pk (pi ka) bilan farq qiladi.Tg x = da x = bo'lgani uchun, asosiy shoxchadagi kesishish nuqtasining abssissasi (pi oltiga) bo'ladi.

Bu tenglamaning barcha yechimlarini x = + pk formulasi bilan yozamiz (x pi ga olti plyus pi ka teng).

Javob: x = + p k.

y = ctg x funksiyaning grafigini tuzamiz.

Keling, qurilishning ikkita usulini ko'rib chiqaylik.

Birinchi yo'l y = tg x funksiyaning grafigini tuzishga o'xshaydi.

Bu funksiya davriy boʻlgani uchun cheksiz shoxlar toʻplamidan (x = 0 va x = p oraligʻidagi chiziqda, shuningdek, x = p va x = 2p orasidagi chiziqda va hokazo) iborat boʻlib, toq boʻlsa, u holda biz noldan pi gacha bo'lgan oraliqda nuqtalar bo'yicha grafikning bir qismini ikkiga () quramiz, keyin biz simmetriya va davriylikdan foydalanamiz.

Grafikni tuzish uchun kotangens qiymatlari jadvalidan foydalanamiz.

Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilash va ularni silliq chiziq bilan bog'lash.

Funksiya grafigi ga nisbatan simmetrik bo lgani uchun biz bir xil novdani simmetrik tarzda quramiz.

Biz davriylikni qo'llaymiz, biz y = ctg x funksiyasining grafigini olamiz.

X = 0 va x = p dan chiziqqa y = ctg x funksiya grafigining filialini qurdik. Qolgan shoxlarni biz qurilgan shoxni x o'qi bo'ylab p, - p, 2p, - 2p va boshqalarga siljitish orqali quramiz.

Ikkinchi yo'l y = ctg x funksiyasining grafigini tuzish.

y = ctg x funksiyasining grafigini olishning eng oson yo'li tangentoidni kamaytirish formulasi yordamida o'zgartirishdir (x kotangenti x va pi yig'indisining tangensiga ikkiga teng).

Bunda, avvalo, y = tg x funksiya grafigining shoxini abtsissa o'qi bo'ylab o'ngga siljitamiz, hosil bo'ladi.

y = tg (x +), so'ngra hosil bo'lgan grafikning abscissa o'qiga nisbatan simmetriyasini bajaramiz. Natijada y = ctg x funktsiya grafigining filiali bo'ladi (4-rasm). Bitta tarmoqni bilib, biz funktsiya chastotasidan foydalanib, butun grafikni qurishimiz mumkin. Qolgan shoxlarni biz qurilgan shoxni x o'qi bo'ylab p, 2p va boshqalarga siljitish orqali quramiz.

y \ u003d ctg x funktsiyasining grafigi y \ u003d tg x funksiyasining grafigi kabi tangentoid deb ham ataladi. Noldan pi gacha bo'lgan oraliqda joylashgan shox y = ctg x funksiya grafigining asosiy tarmog'i deyiladi.

Markazi A nuqtada joylashgan.
a - radianlarda ifodalangan burchak.

tangent ( tg a) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC | qo'shni oyoq uzunligiga | AB | ...

kotangent ( ctg a) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qo'shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB | qarama-qarshi oyoq uzunligiga | BC | ...

Tangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida tangens quyidagicha ifodalanadi:
.
;
;
.

Tangens funksiya grafigi, y = tg x

Kotangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
.
Quyidagi belgilar ham qabul qilinadi:
;
;
.

Kotangent funksiya grafigi, y = ctg x

Tangens va kotangens xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = tg x va y = ctg x p davri bilan davriy.

Paritet

Tangens va kotangens funksiyalari toq.

Domenlar va qiymatlar, ortib boruvchi, kamayuvchi

Tangens va kotangens funksiyalar aniqlanish sohasi bo‘yicha uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).

Formulalar

Sinus va kosinus bilan ifodalangan ifodalar

; ;
; ;
;

Yig'indi va ayirmaning tangensi va kotangensi uchun formulalar

Masalan, qolgan formulalarni olish oson

Tangenslar mahsuloti

Tangenslar yig‘indisi va ayirmasining formulasi

Ushbu jadval argumentning ba'zi qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlarini ko'rsatadi.

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

Giperbolik funktsiyalar nuqtai nazaridan ifodalar

;
;

Hosila hosilalari

; .

.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-tartibning hosilasi:
.
Tangens uchun formulalarni chiqarish>>>; kotangent uchun>>>>

Integrallar

Seriyani kengaytirish

X ning darajalarida tangensning kengayishini olish uchun siz funktsiyalar uchun darajalar qatoridagi kengayishning bir necha shartlarini olishingiz kerak. gunoh x va chunki x va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling,. Bu quyidagi formulalarni beradi.

Da .

da .
qayerda B n- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi:
;
;
qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra:

Teskari funksiyalar

Tangens va kotangensning teskari funksiyalari mos ravishda yoy tangensi va yoy kotangensidir.

Arktangens, arctg

, qayerda n- butun.

Arkkotangent, arkktg

, qayerda n- butun.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va texnik muassasalar talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.
G. Korn, Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma, 2012 yil.