Asosiy tenglamalar sistemalarini yechish usullari. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining notrivial va fundamental yechimini qanday topish mumkin
Bo'lsin M 0 - chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi (4) yechimlari to'plami.
Ta'rif 6.12. Vektorlar bilan 1 ,bilan 2 , …, p bilan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari deyiladi yechimlarning asosiy to'plami(FNR deb qisqartirilgan) agar
1) vektorlar bilan 1 ,bilan 2 , …, p bilan chiziqli mustaqil (ya'ni, ularning birortasini boshqalar bilan ifodalab bo'lmaydi);
2) bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining boshqa har qanday yechimi yechimlar bilan ifodalanishi mumkin. bilan 1 ,bilan 2 , …, p bilan.
E'tibor bering, agar bilan 1 ,bilan 2 , …, p bilan- har qanday f.n.r., keyin ifoda k 1 × bilan 1 + k 2 × bilan 2 + … + k p× p bilan butun to'plam M(4) sistemaning 0 yechimlari, shuning uchun u deyiladi tizim yechimining umumiy ko'rinishi (4).
6.6 teorema. Har qanday noaniq bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi asosiy yechimlar to'plamiga ega.
Yechimlarning asosiy to'plamini topish yo'li quyidagicha:
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping;
qurish ( n – r) ushbu tizimning alohida yechimlari, erkin noma'lumlarning qiymatlari esa birlik matritsasini tashkil qilishi kerak;
Kiritilgan yechimning umumiy ko'rinishini yozing M 0 .
6.5-misol. Quyidagi tizim uchun asosiy yechimlar to‘plamini toping:
Yechim... Keling, ushbu tizimning umumiy yechimini topaylik.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ushbu tizimda beshta noma'lum ( n= 5), ulardan ikkitasi asosiy noma'lumlar ( r= 2), uchta bepul noma'lum ( n – r), ya'ni asosiy yechimlar to'plami uchta yechim vektorini o'z ichiga oladi. Keling, ularni quraylik. Bizda ... bor x 1 va x 3 - asosiy noma'lumlar, x 2 , x 4 , x 5 - bepul noma'lumlar
Erkin noma'lum qiymatlar x 2 , x 4 , x 5 identifikatsiya matritsasi hosil qiladi E uchinchi tartib. Biz bu vektorlarni oldik bilan 1 ,bilan 2 , bilan 3-shakl f.n.r. bu tizim. Keyin bu bir jinsli sistemaning yechimlari to'plami bo'ladi M 0 = {k 1 × bilan 1 + k 2 × bilan 2 + k 3 × bilan 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).
Keling, bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining nolga teng bo'lmagan yechimlari mavjudligi shartlarini, boshqacha aytganda, fundamental yechimlar to'plamining mavjudligi shartlarini aniqlab olaylik.
Bir hil chiziqli tenglamalar tizimi nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega, ya'ni agar u noaniq bo'lsa.
1) tizimning asosiy matritsasining darajasi noma'lumlar sonidan kamroq;
2) bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasida tenglamalar soni noma’lumlar sonidan kam;
3) agar bir hil chiziqli tenglamalar sistemasida tenglamalar soni noma’lumlar soniga, asosiy matritsaning determinanti esa nolga teng bo‘lsa (ya’ni | A| = 0).
6.6-misol... Parametrning qaysi qiymatida a chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi 
nolga teng bo'lmagan echimlar bormi?
Yechim... Bu sistemaning bosh matritsasini tuzamiz va uning determinantini topamiz: = = 1 × (–1) 1 + 1 × = - a- 4. Bu matritsaning determinanti uchun nolga teng a = –4.
Javob: –4.
7. Arifmetika n-o'lchovli vektor fazosi
Asosiy tushunchalar
Oldingi bo'limlarda biz allaqachon ma'lum bir tartibda joylashtirilgan haqiqiy sonlar to'plami tushunchasiga duch keldik. Bu qatorli (yoki ustunli) matritsa va chiziqli tenglamalar tizimining yechimi n noma'lum. Ushbu ma'lumotni umumlashtirish mumkin.
Ta'rif 7.1. n-o'lchovli arifmetik vektor ning tartiblangan to'plami deyiladi n haqiqiy raqamlar.
anglatadi a= (a 1, a 2, ..., a n), bu erda a iÎ R, i = 1, 2, …, n- vektorning umumiy ko'rinishi. Raqam n chaqirdi o'lcham vektor va a raqamlari i chaqirdi koordinatalar.
Masalan: a= (1, –8, 7, 4,) besh oʻlchovli vektor.
Butun to'plam n-o'lchovli vektorlar odatda sifatida belgilanadi R n.
Ta'rif 7.2. Ikki vektor a= (a 1, a 2, ..., a n) va b= (b 1, b 2, ..., b n) bir xil o'lchamdagi teng agar va faqat ularning tegishli koordinatalari teng bo'lsa, ya'ni a 1 = b 1, a 2 = b 2, ..., a n= b n.
Ta'rif 7.3.summasi ikki n-o'lchovli vektorlar a= (a 1, a 2, ..., a n) va b= (b 1, b 2, ..., b n) vektor deyiladi a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+ b n).
Ta'rif 7.4. Mahsulot bo'yicha haqiqiy raqam k vektor uchun a= (a 1, a 2, ..., a n) vektor deyiladi k× a = (k× a 1, k× a 2,…, k× a n)
Ta'rif 7.5. Vektor O= (0, 0, ..., 0) chaqiriladi nol(yoki nol vektor).
Vektorlarni qo'shish va ularni haqiqiy songa ko'paytirish harakatlari (operatsiyalari) quyidagi xususiyatlarga ega ekanligini tekshirish oson: " a, b, c Î R n, " k, lÎ R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1 × a = a, 1 Î R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Ta'rif 7.6. Kopgina R n unga berilgan vektorlarni qo'shish va ularni haqiqiy songa ko'paytirish amallari bilan deyiladi arifmetik n o'lchovli vektor fazosi.
Chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimlarining yechimi, shubhasiz, chiziqli algebra kursining eng muhim mavzusidir. Matematikaning barcha bo'limlaridan juda ko'p muammolar chiziqli tenglamalar tizimini echishga qisqartiriladi. Ushbu omillar ushbu maqolani yaratish sababini tushuntiradi. Maqolaning materiali tanlangan va tuzilgan, shunda siz uning yordami bilan qila olasiz
- chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning optimal usulini tanlash;
- tanlangan usul nazariyasini o'rganish,
- tipik misollar va masalalarning tahlil qilingan yechimlarini batafsil ko'rib chiqish orqali chiziqli tenglamalar tizimingizni hal qiling.
Maqola materialining qisqacha tavsifi.
Birinchidan, biz barcha kerakli ta'riflar va tushunchalarni beramiz va yozuvni kiritamiz.
Keyinchalik, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan va yagona yechimga ega bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish usullarini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, Kramer usuliga to‘xtalib o‘tamiz, ikkinchidan, bunday tenglamalar sistemasini yechishning matritsa usulini ko‘rsatamiz, uchinchidan, Gauss usulini (noma’lum o‘zgaruvchilarni ketma-ket yo‘q qilish usuli) tahlil qilamiz. Nazariyani mustahkamlash uchun biz bir nechta SLAE ni turli yo'llar bilan hal qilamiz.
Shundan so'ng biz umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini echishga murojaat qilamiz, bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi yoki tizimning asosiy matritsasi degenerativdir. Keling, SLAE mosligini o'rnatishga imkon beruvchi Kronecker - Kapelli teoremasini tuzamiz. Keling, matritsaning asosiy minorlari tushunchasidan foydalangan holda tizimlarning yechimini (ularning muvofiqligida) tahlil qilaylik. Gauss usulini ham ko'rib chiqamiz va misollar yechimlarini batafsil bayon qilamiz.
Biz, albatta, chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli va bir jinsli sistemalarining umumiy yechimlari tuzilishiga to`xtalib o`tamiz. Fundamental yechimlar sistemasi tushunchasini beraylik va SLAE ning umumiy yechimi fundamental yechimlar sistemasi vektorlari yordamida qanday yozilishini ko'rsatamiz. Yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Xulosa qilib aytganda, biz chiziqli tenglamalarga qisqaradigan tenglamalar tizimlarini, shuningdek, SLAElar paydo bo'ladigan turli muammolarni ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Ta'riflar, tushunchalar, belgilar.
Ko'rinishdagi n ta noma'lum o'zgaruvchiga ega (p n ga teng bo'lishi mumkin) p chiziqli algebraik tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz.
Noma'lum o'zgaruvchilar, - koeffitsientlar (ba'zi haqiqiy yoki murakkab sonlar), - erkin atamalar (shuningdek, haqiqiy yoki kompleks sonlar).
SLAE yozuvining bu shakli deyiladi muvofiqlashtirish.
V matritsa shakli yozuvda, bu tenglamalar tizimi shaklga ega,
qayerda 
- tizimning bosh matritsasi, - noma'lum o'zgaruvchilar matritsasi-ustunlari, - erkin a'zolar matritsasi-ustunlari.
Agar A matritsaga (n + 1) ustun sifatida erkin atamalar matritsa-ustunini qo'shsak, u holda biz shunday deyilamiz. kengaytirilgan matritsa chiziqli tenglamalar tizimlari. Odatda, kengaytirilgan matritsa T harfi bilan belgilanadi va bo'sh a'zolar ustuni qolgan ustunlardan vertikal chiziq bilan ajratiladi, ya'ni 
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish orqali tizimning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradigan noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plamidir. Noma'lum o'zgaruvchilarning berilgan qiymatlari uchun matritsa tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi.
Agar tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u deyiladi qo'shma.
Agar tenglamalar tizimining yechimlari bo'lmasa, u deyiladi mos kelmaydigan.
Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi ma'lum; agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, unda - aniqlanmagan.
Agar tizimning barcha tenglamalarining erkin shartlari nolga teng bo'lsa 
, keyin tizim chaqiriladi bir hil, aks holda - heterojen.
Chiziqli algebraik tenglamalarning elementar sistemalarini yechish.
Agar tizim tenglamalari soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa va uning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, bunday SLAElar deyiladi. boshlang'ich... Bunday tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega va bir jinsli sistemada barcha noma’lum o‘zgaruvchilar nolga teng.
Biz o'rta maktabda bunday SLAElarni o'rganishni boshladik. Ularni yechishda bitta tenglama olib, bitta noma’lum o‘zgaruvchini boshqalar bilan ifodalab, qolgan tenglamalarga almashtirdik, keyin keyingi tenglamani olib, keyingi noma’lum o‘zgaruvchini ifodalab, boshqa tenglamalarga almashtirdik va hokazo. Yoki qo'shish usulini qo'llaganlar, ya'ni ba'zi noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish uchun ikki yoki undan ortiq tenglamalarni qo'shganlar. Biz bu usullarga batafsil to'xtalib o'tirmaymiz, chunki ular aslida Gauss usulining modifikatsiyalaridir.
Chiziqli tenglamalarning elementar tizimlarini yechishning asosiy usullari Kramer usuli, matritsa usuli va Gauss usuli hisoblanadi. Keling, ularni tahlil qilaylik.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini Kramer usulida yechish.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishimiz kerak deylik 
bunda tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng va sistemaning bosh matritsasining determinanti nolga teng bo'ladi, ya'ni,.
Sistemaning bosh matritsasining determinanti bo'lsin, va 
- matritsalarning determinantlari, ular A dan almashtirish orqali olinadi 1, 2, ..., n ustun, mos ravishda, bepul a'zolar ustuniga: 
Ushbu belgi bilan noma'lum o'zgaruvchilar Kramer usuli formulalari bo'yicha hisoblanadi 
... Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi Kramer usulida shunday topiladi.
Misol.
Kramer usuli 
.
Yechim.
Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega 
... Keling, uning determinantini hisoblaymiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): 
Tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmaganligi sababli, tizim Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega.
Keling, kerakli determinantlarni tuzamiz va hisoblaymiz 
(aniqlovchi A matritsadagi birinchi ustunni boʻsh aʼzolar ustuniga, determinant ikkinchi ustunni boʻsh aʼzolar ustuniga, - A matritsaning uchinchi ustunini boʻsh aʼzolar ustuniga almashtirish orqali olinadi. ): 
Noma'lum o'zgaruvchilarni formulalar bo'yicha toping 
:
Javob:
Kramer usulining asosiy kamchiligi (agar uni kamchilik deb atash mumkin bo'lsa) tizimdagi tenglamalar soni uchdan ortiq bo'lganda determinantlarni hisoblashning murakkabligidir.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini matritsa usulida yechish (teskari matritsa yordamida).
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi matritsa ko‘rinishida berilgan bo‘lsin, bunda A matritsaning o‘lchami n ga, determinanti esa nolga teng emas.
Chunki A matritsa teskari bo'ladi, ya'ni teskari matritsa mavjud. Agar tenglikning ikkala tomonini chapga ko'paytirsak, u holda noma'lum o'zgaruvchilarning ustun matritsasi topish formulasini olamiz. Shunday qilib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimining matritsa usuli bilan yechimini oldik.
Misol.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching matritsa usuli.
Yechim.
Tenglamalar tizimini matritsa shaklida qayta yozamiz: 
Chunki
u holda SLAE ni matritsa usuli bilan yechish mumkin. Teskari matritsadan foydalanib, bu sistemaning yechimini quyidagicha topish mumkin 
.
A matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilari matritsasidan foydalanib, teskari matritsani tuzamiz (agar kerak bo‘lsa, maqolaga qarang): 
Hisoblash qoladi - teskari matritsani ko'paytirish orqali noma'lum o'zgaruvchilar matritsasi 
bepul a'zolarning ustun matritsasiga (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang): 
Javob:
yoki boshqa belgida x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Matritsali usulda chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining yechimini topishda asosiy muammo teskari matritsani topishning murakkabligi, ayniqsa uchinchidan yuqori tartibli kvadrat matritsalar uchun.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usulida yechish.
Faraz qilaylik, n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega n ta chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishimiz kerak. 
asosiy matritsasining determinanti nolga teng.
Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat: birinchidan, x 1 ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan chiqarib tashlanadi, so'ngra x 2 barcha tenglamalardan uchinchidan boshlab chiqariladi va hokazo, faqat noma'lum o'zgaruvchiga qadar. xn oxirgi tenglamada qoladi. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi. Gauss usulining bevosita kursi bilan... Gauss usulining oldinga siljishi tugallangach, oxirgi tenglamadan x n topiladi, bu qiymatdan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 hisoblanadi va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 topiladi. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. orqaga Gauss usuli.
Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.
Biz buni taxmin qilamiz, chunki biz tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan noma'lum o'zgaruvchi x 1ni chiqarib tashlang. Buning uchun tizimning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ko'paytma, uchinchi tenglamaga birinchi, ko'paytma va hokazo, n- tenglamaga birinchi, ko'paytmani qo'shamiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shakl oladi 
qayerda, va 
.
Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalab, olingan ifodani boshqa barcha tenglamalarda almashtirsak, xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.
Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda harakat qilamiz, lekin faqat rasmda ko'rsatilgan natijada olingan tizimning bir qismi bilan 
Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ikkinchi ko'paytmani, to'rtinchi tenglamaga ikkinchi ko'paytmani qo'shamiz va hokazo, n-chi tenglamaga ikkinchi ko'paytmani qo'shamiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shakl oladi 
qayerda, va 
... Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.
Keyinchalik, biz noma'lum x 3 ni yo'q qilishga o'tamiz, shu bilan birga biz tizimning rasmda belgilangan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz. 
Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishini davom ettiramiz 
Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskari yo'nalishini boshlaymiz: biz oxirgi tenglamadan xn ni hisoblaymiz, chunki olingan xn qiymatidan foydalanib, biz oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo. birinchi tenglama.
Misol.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching Gauss usuli bilan.
Yechim.
Tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan nomaʼlum x 1 oʻzgaruvchisini chiqarib tashlang. Buning uchun birinchi tenglamaning mos keladigan qismlarini ikkinchi va uchinchi tenglamalarning ikkala tomoniga ko'paytiring va qo'shing: 
Endi uchinchi tenglamadan x 2 ni uning chap va o‘ng tomonlariga ikkinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini qo‘shib, quyidagiga ko‘paytiramiz: 
Bu vaqtda Gauss usulining oldinga siljishi tugadi, biz teskari harakatni boshlaymiz.
Olingan tenglamalar tizimining oxirgi tenglamasidan x 3 ni topamiz: 
Ikkinchi tenglamadan biz olamiz.
Birinchi tenglamadan biz qolgan noma'lum o'zgaruvchini topamiz va bu Gauss usulining teskari yo'nalishini yakunlaydi.
Javob:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.
Umumiy holatda p tizimidagi tenglamalar soni n noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelmaydi:
Bunday SLAElar yechimga ega bo'lmasligi, bitta yechimga ega bo'lishi yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin. Ushbu bayonot asosiy matritsasi kvadrat va degenerativ bo'lgan tenglamalar tizimlariga ham tegishli.
Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini topishdan oldin uning mosligini aniqlash kerak. SLAE qachon mos keladi va qachon mos kelmaydi degan savolga javob beradi Kroneker-Kapelli teoremasi:
n ta noma’lumli (p n ga teng bo‘lishi mumkin) p tenglamalar sistemasi izchil bo‘lishi uchun sistemaning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo‘lishi zarur va yetarli, ya’ni Rank. (A) = Darajasi (T).
Chiziqli tenglamalar tizimining mosligini aniqlash uchun Kroneker - Kapelli teoremasining qo'llanilishini misol orqali ko'rib chiqamiz.
Misol.
Chiziqli tenglamalar sistemasini toping 
yechimlar.
Yechim.
... Keling, chegaralangan voyaga etmaganlar usulidan foydalanamiz. Ikkinchi darajali kichik 
nolga teng. Keling, u bilan chegaradosh uchinchi darajali voyaga etmaganlarni ajratamiz: 
Uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lganligi sababli, asosiy matritsaning darajasi ikkitadir.
O'z navbatida, kengaytirilgan matritsaning darajasi 
uch ga teng, chunki uchinchi tartibli minor 
nolga teng.
Shunday qilib, Rang (A), shuning uchun Kronecker - Kapelli teoremasi bo'yicha biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimi mos kelmaydigan degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Javob:
Tizimda hech qanday yechim yo'q.
Shunday qilib, biz Kronecker - Kapelli teoremasi yordamida tizimning nomuvofiqligini aniqlashni o'rgandik.
Ammo, agar uning muvofiqligi aniqlangan bo'lsa, SLAE ga qanday yechim topish mumkin?
Buning uchun bizga matritsaning asosiy minori tushunchasi va matritsaning rankiga oid teorema kerak.
A matritsaning noldan tashqari eng yuqori tartib minori deyiladi Asosiy.
Asosiy minorning ta'rifidan kelib chiqadiki, uning tartibi matritsaning darajasiga teng. Nolga teng bo'lmagan A matritsasi uchun bir nechta asosiy minorlar bo'lishi mumkin; har doim bitta asosiy minor mavjud.
Masalan, matritsani ko'rib chiqing 
.
Ushbu matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng, chunki bu matritsaning uchinchi qatori elementlari birinchi va ikkinchi qatorlarning mos keladigan elementlari yig'indisidir.
Quyidagi ikkinchi darajali kichiklar asosiy hisoblanadi, chunki ular nolga teng emas 
Voyaga etmaganlar 
asosiy emas, chunki ular nolga teng.
Matritsa darajalari teoremasi.
Agar p n ga teng bo'lgan matritsaning darajasi r ga teng bo'lsa, u holda matritsaning tanlangan asosiy minorni tashkil etmaydigan barcha satrlari (va ustunlari) satrlarning mos keladigan elementlari bo'yicha chiziqli ravishda ifodalanadi ( va ustunlar) asosiy minorni tashkil qiladi.
Matritsa darajalari teoremasi bizga nimani beradi?
Agar Kroneker - Kapelli teoremasi bo'yicha biz tizimning mosligini aniqlagan bo'lsak, unda biz tizimning asosiy matritsasining istalgan asosiy minorini tanlaymiz (uning tartibi r) va biz tizimdan hosil bo'lmagan barcha tenglamalarni chiqarib tashlaymiz. tanlangan asosiy minor. Shu tarzda olingan SLAE asl tenglamaga teng bo'ladi, chunki bekor qilingan tenglamalar hali ham ortiqcha (matritsa darajasi teoremasiga ko'ra, ular qolgan tenglamalarning chiziqli birikmasidir).
Natijada, tizimning keraksiz tenglamalarini bekor qilgandan so'ng, ikkita holat mumkin.
Agar hosil bo’lgan sistemada r tenglamalar soni noma’lum o’zgaruvchilar soniga teng bo’lsa, u aniq bo’ladi va yagona yechimni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan topish mumkin.
Misol.
.
Yechim.
Tizimning asosiy matritsasining darajasi 
ikkiga teng, chunki ikkinchi tartib kichik 
nolga teng. Kengaytirilgan matritsa darajasi 
ham ikkiga teng, chunki uchinchi tartibdagi yagona minor nolga teng 
va yuqorida ko'rib chiqilgan ikkinchi tartibli minor nolga teng emas. Kroneker - Kapelli teoremasiga asoslanib, biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining mosligini tasdiqlashimiz mumkin, chunki Rank (A) = Rank (T) = 2.
Biz asosiy voyaga etmagan sifatida qabul qilamiz ... U birinchi va ikkinchi tenglamalarning koeffitsientlari bilan hosil bo'ladi: 
Tizimning uchinchi tenglamasi asosiy minorni hosil qilishda ishtirok etmaydi, shuning uchun biz uni matritsaning darajasi haqidagi teoremaga asoslangan holda tizimdan chiqaramiz: 
Shunday qilib, biz chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimini oldik. Keling, buni Kramer usuli yordamida hal qilaylik: 
Javob:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Agar olingan SLAEdagi r tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda tenglamalarning chap tomonida asosiy minorni tashkil etuvchi a'zolarni qoldiramiz, qolgan atamalar o'ngga o'tkaziladi - qarama-qarshi belgili tizim tenglamalarining qo'l tomonlari.
Tenglamalarning chap tomonida qolgan noma'lum o'zgaruvchilar (ularning r tasi bor) deyiladi. Asosiy.
O'ng tomonda paydo bo'ladigan noma'lum o'zgaruvchilar (n - r bo'laklar mavjud) deyiladi. ozod.
Endi biz erkin noma'lum o'zgaruvchilar ixtiyoriy qiymatlarni olishi mumkin deb faraz qilamiz va r asosiy noma'lum o'zgaruvchilar yagona usulda erkin noma'lum o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi. Ularning ifodasini olingan SLAE ni Kramer usulida, matritsa usulida yoki Gauss usulida yechish orqali topish mumkin.
Keling, bir misol keltiraylik.
Misol.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yeching 
.
Yechim.
Tizimning bosh matritsasining darajasini toping 
voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan. Biz 1 1 = 1 ni nolga teng bo'lmagan birinchi darajali minor sifatida olamiz. Keling, bu kichikni o'rab turgan nolga teng bo'lmagan ikkinchi darajali minorni qidirishni boshlaylik: 
Shunday qilib, biz nolga teng bo'lmagan ikkinchi darajali kichikni topdik. Keling, uchinchi darajali noldan farqli chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik: 
Shunday qilib, asosiy matritsaning darajasi uchtadir. Kengaytirilgan matritsaning darajasi ham uchta, ya'ni tizim izchil.
Topilgan nolga teng bo'lmagan uchinchi tartibli minorni asosiy sifatida qabul qilamiz.
Aniqlik uchun biz asosiy minorni tashkil etuvchi elementlarni ko'rsatamiz: 
Biz tizim tenglamalarining chap tomonida asosiy minorda ishtirok etuvchi atamalarni qoldiramiz, qolganlarini qarama-qarshi belgilar bilan o'ng tomonlarga o'tkazamiz: 
X 2 va x 5 erkin noma'lum o'zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlarni belgilaymiz, ya'ni biz olamiz 
, bu yerda ixtiyoriy sonlar. Bunday holda, SLAE shaklni oladi 
Olingan chiziqli algebraik tenglamalarning elementar tizimi Kramer usuli bilan yechiladi: 
Demak, .
Javobingizda bepul noma'lum o'zgaruvchilarni ko'rsatishni unutmang.
Javob:
Ixtiyoriy raqamlar qayerda.
Xulosa qiling.
Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun avvalo Kroneker - Kapelli teoremasi yordamida uning mosligini aniqlaymiz. Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lmasa, biz tizim mos kelmaydi degan xulosaga kelamiz.
Agar asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lsa, biz asosiy minorni tanlaymiz va tanlangan asosiy minorni shakllantirishda ishtirok etmaydigan tizim tenglamalarini olib tashlaymiz.
Agar asosiy minorning tartibi noma'lum o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, u holda SLAE noyob echimga ega bo'lib, biz uni har qanday ma'lum usul bilan topamiz.
Agar asosiy minorning tartibi noma'lum o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, u holda tizim tenglamalarining chap tomonida biz asosiy noma'lum o'zgaruvchilar bilan shartlarni qoldiramiz, qolgan hadlarni o'ng tomonlarga o'tkazamiz va erkin noma'lum o'zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlarni bering. Olingan chiziqli tenglamalar tizimidan biz asosiy noma'lum o'zgaruvchilarni Kramer usuli, matritsa usuli yoki Gauss usuli bilan topamiz.
Umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli.
Gauss usuli har qanday turdagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini mosligini tekshirmasdan yechish uchun ishlatilishi mumkin. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni SLAE ning mosligi va nomuvofiqligi to'g'risida xulosa chiqarishga imkon beradi va agar yechim mavjud bo'lsa, uni topishga imkon beradi.
Hisoblash ishlari nuqtai nazaridan Gauss usuli afzalroqdir.
Uning batafsil tavsifi va tahlil qilingan misollarini Gaussning umumiy shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish usuli maqolasida ko'ring.
Fundamental yechimlar sistemasi vektorlaridan foydalanib bir jinsli va bir jinsli chiziqli algebraik sistemalarning umumiy yechimini yozish.
Ushbu bo'limda biz cheksiz yechimlar to'plamiga ega chiziqli algebraik tenglamalarning mos keluvchi bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan tizimlariga e'tibor qaratamiz.
Keling, birinchi navbatda bir hil tizimlar bilan shug'ullanamiz.
Asosiy qarorlar tizimi n ta noma’lum o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan p chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli tizimi bu sistemaning chiziqli mustaqil yechimlari to‘plami (n - r) bo‘lib, bu yerda r – sistemaning asosiy matritsasining asosiy minorining tartibi.
Agar bir hil SLAE ning chiziqli mustaqil yechimlarini X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) deb belgilasak, n dan 1 ga teng. ustun matritsalari) , keyin bu bir hil sistemaning umumiy yechimi ixtiyoriy doimiy koeffitsientlari S 1, S 2, ..., S (nr) bo'lgan asosiy yechimlar tizimining vektorlarining chiziqli birikmasi shaklida ifodalanadi, ya'ni ,.
Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar tizimining umumiy yechimi (oroslau) atamasi nimani anglatadi?
Ma'nosi oddiy: formula asl SLAE ning barcha mumkin bo'lgan echimlarini belgilaydi, boshqacha qilib aytganda, S 1, S 2, ..., S (nr) ixtiyoriy konstantalarining qiymatlari to'plamini oladi, biz formula bo'yicha original bir hil SLAE yechimlaridan birini oling.
Shunday qilib, agar biz fundamental echimlar tizimini topsak, biz ushbu bir hil SLAE ning barcha yechimlarini shunday ko'rsatishimiz mumkin.
Keling, bir hil SLAE yechimlarining fundamental tizimini qurish jarayonini ko'rsatamiz.
Biz chiziqli tenglamalarning dastlabki tizimining asosiy minorini tanlaymiz, boshqa barcha tenglamalarni tizimdan chiqaramiz va erkin noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni qarama-qarshi belgilar bilan tizim tenglamalarining o'ng tomoniga o'tkazamiz. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 1,0,0, ..., 0 qiymatlarini beramiz va natijada olingan chiziqli tenglamalarning elementar tizimini istalgan usulda, masalan, Kramer usulida yechish orqali asosiy noma'lumlarni hisoblaymiz. Bu X (1) ni beradi - asosiy tizimning birinchi yechimi. Agar erkin noma’lumlarga 0,1,0,0, ..., 0 qiymatlarini berib, asosiy noma’lumlarni hisoblasak, X (2) ni olamiz. Va boshqalar. Erkin noma'lum o'zgaruvchilarga 0,0, ..., 0,1 qiymatlarini berib, asosiy noma'lumlarni hisoblasak, X (n-r) ni olamiz. Bir jinsli SLAE ning asosiy yechimlar tizimi shunday tuziladi va uning umumiy yechimini ko'rinishda yozish mumkin.
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari uchun umumiy yechim ko'rinishda ifodalanadi, bu erda mos keladigan bir jinsli tizimning umumiy yechimi va biz erkin noma'lumlarga qiymatlarni berish orqali olingan dastlabki bir jinsli bo'lmagan SLAE ning maxsus yechimi bo'ladi. 0,0, ..., 0 va asosiy noma'lumlarning qiymatlarini hisoblash.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli sistemasining asosiy yechimlar tizimini va umumiy yechimini toping. 
.
Yechim.
Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimlarining asosiy matritsasining darajasi har doim kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng. Chegaraviy kichiklar usuli bilan bosh matritsaning darajasini topamiz. Nolga teng bo'lmagan birinchi tartibli minor sifatida biz tizimning asosiy matritsasining a 1 1 = 9 elementini olamiz. Chegaraviy noldan farqli ikkinchi tartibli minorni toping: 
Nolga teng bo'lmagan ikkinchi darajali kichik topildi. Keling, nolga teng bo'lmaganni izlash uchun uni chegaradosh uchinchi darajali kichiklarni takrorlaymiz: 
Uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh kichiklar nolga teng, shuning uchun asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajasi ikkiga teng. Asosiy kichik sifatida qabul qiling. Aniqlik uchun tizimni tashkil etuvchi elementlarni ta'kidlaymiz: 
Asl SLAE ning uchinchi tenglamasi asosiy minorni shakllantirishda ishtirok etmaydi, shuning uchun uni chiqarib tashlash mumkin: 
Tenglamalarning o'ng tomoniga asosiy noma'lumlarni o'z ichiga olgan shartlarni qoldiramiz, o'ng tomoniga esa erkin noma'lumli shartlarni o'tkazamiz:
Chiziqli tenglamalarning asl bir jinsli sistemasi yechimlarining fundamental tizimini tuzamiz. Ushbu SLAE ning asosiy yechimlar tizimi ikkita yechimdan iborat, chunki dastlabki SLAE to'rtta noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning asosiy minorining tartibi ikkitadir. X (1) ni topish uchun biz erkin noma'lum o'zgaruvchilarga x 2 = 1, x 4 = 0 qiymatlarini beramiz, keyin tenglamalar tizimidan asosiy noma'lumlarni topamiz. 
.
Xizmat maqsadi... Onlayn kalkulyator SLAE uchun ahamiyatsiz va asosiy echimni topish uchun mo'ljallangan. Olingan yechim Word faylida saqlanadi (masalan, yechimga qarang).
Ko'rsatma. Matritsaning o'lchamini tanlang:
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalarining xossalari
Tizimga ega bo'lishi uchun ahamiyatsiz bo'lmagan echimlar, uning matritsasi darajasi noma'lumlar sonidan kichik bo'lishi zarur va etarli.Teorema... m = n holatdagi tizim, agar ushbu tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, notrivial yechimga ega bo'ladi.
Teorema... Tizim yechimlarining har qanday chiziqli birikmasi ham ushbu tizimning yechimidir.
Ta'rif... Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasining yechimlari to'plami deyiladi asosiy qarorlar tizimi agar bu to'plam chiziqli mustaqil echimlardan iborat bo'lsa va tizimning har qanday yechimi bu echimlarning chiziqli birikmasi bo'lsa.
Teorema. Agar sistema matritsasining r darajasi noma’lumlar sonidan n kichik bo’lsa, u holda (n-r) yechimlardan tashkil topgan fundamental yechimlar sistemasi mavjud bo’ladi.
Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemalarini yechish algoritmi
- Matritsaning darajasini toping.
- Asosiy minorni ta'kidlang. Biz qaram (asosiy) va erkin noma'lumlarni tanlaymiz.
- Koeffitsientlari asosiy minorga kiritilmagan tizim tenglamalarini o'chirib tashlaymiz, chunki ular boshqalarning natijasidir (asosiy minor haqidagi teorema bo'yicha).
- Erkin noma'lumlarni o'z ichiga olgan tenglamalar shartlari o'ng tomonga o'tkaziladi. Natijada, determinanti nolga teng bo'lmagan, r noma'lumli, berilganga ekvivalent r tenglamalar tizimini olamiz.
- Olingan tizimni noma'lumlarni yo'q qilish orqali hal qilamiz. Bog'liq o'zgaruvchilarni erkin ko'rinishda ifodalovchi munosabatlarni topamiz.
- Agar matritsaning darajasi o'zgaruvchilar soniga teng bo'lmasa, biz tizimning asosiy yechimini topamiz.
- Rang = n holatida bizda ahamiyatsiz yechim bor.
Misol. Vektorlar sistemasining asosini toping (a 1, a 2, ..., a m), vektorlarni baza bo‘yicha tartiblang va ifodalang. Agar a 1 = (0,0,1, -1), a 2 = (1,1,2,0), a 3 = (1,1,1,1) va 4 = (3,2,1) , 4) va 5 = (2,1,0,3).
Tizimning asosiy matritsasini yozamiz:
3-qatorni (-3) ga ko'paytiring. 3-qatorga 4-qatorni qoʻshamiz:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4-qatorni (-2) ga ko'paytiring. 5-qatorni (3) ga ko'paytiring. 4-qatorga 5-qatorni qoʻshamiz:
1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
Keling, matritsaning darajasini topamiz.
Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va quyidagi shaklga ega:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz noaniq yechim topamiz:
Biz x 1, x 2, x 3 bog'liq o'zgaruvchilarni erkin x 4 orqali ifodalovchi nisbatlarni oldik, ya'ni umumiy yechim topdik:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Berilgan matritsalar
Toping: 1) aA - bB,
Yechim: 1) Matritsani songa ko‘paytirish va matritsani qo‘shish qoidalaridan foydalanib, ketma-ket toping.
2. Agar A * B ni toping
Yechim: Matritsani ko'paytirish qoidasidan foydalanish
Javob: 
3. Berilgan matritsa uchun minor M 31 ni toping va aniqlovchini hisoblang.
Yechim: Minor M 31 matritsaning aniqlovchisi boʻlib, u A dan olinadi
3-qator va 1-ustunni oʻchirib tashlagandan soʻng. Toping
1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.
Biz A matritsasini uning determinantini o'zgartirmasdan o'zgartiramiz (1-qatorda nol hosil qilamiz)
| -3*, -, -4* | |||
| -10 | -15 | ||
| -20 | -25 | ||
| -4 | -5 |
Endi biz 1-qatordagi parchalanish orqali A matritsaning determinantini hisoblaymiz
Javob: M 31 = 0, detA = 0
Gauss usuli va Kramer usulida yechish.
2x 1 + x 2 + x 3 = 2
x 1 + x 2 + 3x 3 = 6
2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5
Yechim: Tekshiring
Kramer usulini qo'llash mumkin
Tizim yechimi: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3
Gauss usulini qo'llaymiz.
Tizimning kengaytirilgan matritsasini uchburchak shaklga keltiramiz.
Hisoblash qulayligi uchun keling, qatorlarni almashtiramiz:
2-qatorni (k = -1 / 2 =) ga ko'paytiring -1 / 2 ) va uchinchi qismga:
| 1 / 2 | 7 / 2 |
1-qatorni (k = -2 / 2 =) ga ko'paytiring -1 ) va 2-bandga:
Asl tizim endi quyidagicha yozilishi mumkin:
x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)
x 2 = 13 - (6x 3)
2-qatordan biz ifodalaymiz
1-qatordan boshlab biz ifodalaymiz
Yechim bir xil.
Javob: (2; -5; 3)
Tizim va SDF uchun umumiy yechim toping
13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0
11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0
5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0
7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0
Yechim: Gauss usulini qo'llaymiz. Tizimning kengaytirilgan matritsasini uchburchak shaklga keltiramiz.
| -4 | -1 | -4 | -6 | |
| -2 | -2 | -3 | ||
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
1-qatorni (-11) ga ko'paytiring. 2-qatorni (13) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
| -2 | -2 | -3 | ||
2-qatorni (-5) ga ko'paytiring. 3-qatorni (11) ga ko'paytiring. 2-qatorga 3-qatorni qo'shamiz:
3-qatorni (-7) ga ko'paytiring. 4-qatorni (5) ga ko'paytiring. 3-qatorga 4-qator qo‘shilsin:
Ikkinchi tenglama qolganlarning chiziqli birikmasidir
Keling, matritsaning darajasini topamiz.
| -18 | -24 | -18 | -27 | |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Ajratilgan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u qarama-qarshi diagonaldagi elementlarning ko'paytmasiga teng), shuning uchun (A) = 2.
Bu kichik asosiy hisoblanadi. U x 1, x 2 noma'lumlar uchun koeffitsientlarni o'z ichiga oladi, ya'ni x 1, x 2 noma'lumlar bog'liq (asosiy), x 3, x 4, x 5 esa erkindir.
Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va quyidagi shaklga ega:
18x 2 = 24x 3 + 18x 4 + 27x 5
7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5
Noma'lumlarni yo'q qilish orqali biz topamiz umumiy qaror:
x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5
x 1 = - 1/3 x 3
Biz (n-r) yechimlardan iborat asosiy qarorlar tizimini (FDS) topamiz. Bizning holatimizda n = 5, r = 2, shuning uchun asosiy echimlar tizimi 3 ta yechimdan iborat va bu echimlar chiziqli mustaqil bo'lishi kerak.
Qatorlar chiziqli mustaqil bo'lishi uchun qatorlar elementlaridan tashkil topgan matritsaning darajasi qatorlar soniga teng, ya'ni 3 ga teng bo'lishi zarur va etarli.
3-darajali determinant satrlaridan noldan tashqari bo'sh noma'lumlar x 3, x 4, x 5 qiymatlarini berish va x 1, x 2 ni hisoblash kifoya.
Nolga teng bo'lmagan eng oddiy determinant - bu identifikatsiya matritsasi.
Ammo bu erda uni olish qulayroqdir
Biz umumiy yechimdan foydalanib topamiz:
a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ
FSR ning I yechimi: (-2; -4; 6; 0; 0)
b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ
SDF II eritmasi: (0; -6; 0; 6; 0)
c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ
FSR III eritmasi: (0; - 9; 0; 0; 6)
Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)
6. Berilgan: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 - 4i. Toping: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2
Yechim: a) z 1 - 2z 2 = -4 + 5i + 2 (2-4i) = -4 + 5i + 4-8i = -3i
b) z 1 z 2 = (-4 + 5i) (2-4i) = -8 + 10i + 16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i
Javob: a) -3i b) 12 + 26i c) -1,4 - 0,3i
Bir hil tizim har doim izchil va ahamiyatsiz yechimga ega 
... Nontrivial yechim mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi bo'lishi kerak 
noma'lumlar sonidan kamroq edi:
.
Asosiy qarorlar tizimi
bir hil tizim 
ustun vektorlar ko'rinishidagi yechimlar sistemasi deyiladi 
kanonik asosga mos keladigan, ya'ni. ixtiyoriy konstantalar bo'lgan asos 
navbatma-navbat bittaga teng, qolganlari esa nolga tenglashtiriladi.
Keyin bir jinsli tizimning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
qayerda 
- ixtiyoriy konstantalar. Boshqacha qilib aytganda, umumiy yechim asosiy yechimlar tizimining chiziqli birikmasidir.
Shunday qilib, agar erkin noma'lumlarga birlik qiymati navbatma-navbat berilsa, qolganlari nolga teng deb hisoblansa, asosiy yechimlarni umumiy yechimdan olish mumkin.
Misol... Keling, tizimga yechim topaylik
Qabul qilaylik, keyin biz yechimni quyidagi shaklda olamiz:
Endi asosiy qarorlar tizimini tuzamiz:
.
Umumiy yechim quyidagi shaklda yoziladi:
Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari quyidagi xususiyatlarga ega:
Boshqacha qilib aytganda, bir hil sistemaga yechimlarning har qanday chiziqli birikmasi yana yechim hisoblanadi.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini Gauss usulida yechish
Chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimi bir necha asrlar davomida matematiklarni qiziqtirib kelgan. Birinchi natijalar 18-asrda olingan. 1750 yilda G. Kramer (1704 – 1752) kvadrat matritsalarning determinantlari haqidagi asarlarini nashr etdi va teskari matritsani topish algoritmini taklif qildi. 1809 yilda Gauss bartaraf etish usuli deb nomlanuvchi yangi yechim usulini belgilab berdi.
Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli, elementar transformatsiyalar yordamida tenglamalar tizimini bosqichma-bosqich (yoki uchburchak) ekvivalent tizimga keltirishdan iborat. Bunday tizimlar barcha noma'lumlarni ma'lum bir tartibda ketma-ket topish imkonini beradi.
Aytaylik, tizimda (1) 
(bu har doim ham mumkin).
(1)
O'z navbatida birinchi tenglamani deb atalmish bilan ko'paytirish mos raqamlar
va ko'paytirish natijasini tizimning tegishli tenglamalari bilan qo'shib, biz ekvivalent tizimga ega bo'lamiz, unda birinchisidan tashqari barcha tenglamalarda noma'lum bo'ladi. NS 1
(2)
Endi biz (2) tizimning ikkinchi tenglamasini mos keladigan raqamlarga ko'paytiramiz, deb faraz qilamiz 
,
va uni bo'ysunuvchilarga qo'shib, biz o'zgaruvchini istisno qilamiz 
uchinchidan boshlab barcha tenglamalar.
Bu jarayonni davom ettirish, keyin 
qadamni olamiz:
(3)
Agar raqamlardan kamida bittasi bo'lsa 
nolga teng emas, u holda mos keladigan tenglik mos kelmaydigan va (1) sistema mos kelmaydi. Aksincha, har qanday qo'shma sanoq tizimi uchun 
nolga teng. Raqam 
sistema (1) matritsasining darajasidan boshqa narsa emas.
Tizimdan (1) (3) ga o'tish deyiladi to'g'ridan-to'g'ri kurs Gauss usuli va (3) dan noma'lumlarni topish - teskari .
Izoh : O'zgartirishlarni tenglamalarning o'zi bilan emas, balki (1) tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan amalga oshirish qulayroqdir.
Misol... Keling, tizimga yechim topaylik
.
Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:
.
2,3,4-satrlarga mos ravishda (-2), (-3), (-2) ga ko'paytiriladigan birinchi qatorlarni qo'shing:
.
Keling, 2 va 3-qatorlarni joylarga almashtiramiz, keyin hosil bo'lgan matritsada 2-qatorni 4-qatorga ko'paytiramiz. 
:
.
4-qatorga 3-qatorni ko'paytiring 
:
.
Bu aniq 
shuning uchun tizim mos keladi. Olingan tenglamalar tizimidan
teskari almashtirish orqali yechim topamiz:
,
,
,
.
2-misol. Tizimga yechim toping:
.
Tizimning mos kelmasligi aniq, chunki 
, a 
.
Gauss usulining afzalliklari :
Kramer usuliga qaraganda kamroq vaqt talab etadi.
Bu tizimning mosligini aniq belgilaydi va yechim topishga imkon beradi.
Bu har qanday matritsalarning darajasini aniqlash imkonini beradi.