Sirkul va chizg'ich yordamida qurish qoidalari. Sirkul va chizg‘ich yordamida rasm chizish

Agar asboblarning xilma-xilligini nazarda tutgan holda, qurilish muammolarining kengroq to'plamini hal qilish mumkinligi tabiiy bo'lsa, unda, aksincha, asboblarga qo'yilgan cheklovlar ostida, hal qilinadigan masalalar sinfi torayadi. Italiyalik kashfiyotni yana diqqatga sazovor deb hisoblash kerak Mascheroni (1750-1800):sirkul va chizg'ich bilan bajariladigan barcha geometrik konstruktsiyalarni faqat bitta sirkul bilan bajarish mumkin. Albatta, shuni ta'kidlash kerakki, ikkita berilgan nuqta orqali o'lchagichsiz to'g'ri chiziq o'tkazishning iloji yo'q, shuning uchun bu asosiy konstruktsiya Mascheroni nazariyasi bilan qamrab olinmaydi. Buning o'rniga, agar chiziqning ikkita nuqtasi berilgan bo'lsa, berilgan deb taxmin qilish kerak. Lekin faqat bitta kompas yordamida shu tarzda aniqlangan ikkita toʻgʻri chiziqning kesishish nuqtasini yoki toʻgʻri chiziqning aylana bilan kesishgan nuqtasini topish mumkin.

Mascheroni qurilishining eng oddiy misoli, ehtimol, berilgan AB segmentini ikki barobarga oshirishdir. Yechim allaqachon 174-175 sahifalarda berilgan. Keyinchalik, 175-176-sahifalarda biz ushbu segmentni ikkiga bo'lish haqida bilib oldik. Endi markazi O bo'lgan AB aylana yoyining yarmini qanday bo'lish kerakligini ko'rib chiqamiz. Mana bu konstruktsiyaning tavsifi (47-rasm). AO radiusi bilan markazlari A va B boʻlgan ikkita yoy chizamiz. O nuqtadan bu yoylar ustiga shunday ikkita OP va OQ yoylarini yotqizamizki, OP = OQ = AB... Keyin yoyning markaz P va radiusi PB va markaz Q va radiusi QA bo‘lgan yoyning kesishish R nuqtasini topamiz. Nihoyat, OR segmentini radius sifatida olib, markaz P yoki Q bo'lgan yoyni AB yoyi bilan kesishmagacha - kesishish nuqtasini tasvirlaymiz va AB yoyining istalgan o'rta nuqtasidir. Isbot o'quvchiga mashq sifatida qoldiriladi.

Mascheroni asosiy fikrini sirkul va o'lchagich bilan bajarilgan har bir konstruktsiyani bitta kompas bilan qanday bajarish mumkinligini ko'rsatib, isbotlab bo'lmaydi: axir, son-sanoqsiz konstruktsiyalar mavjud. Ammo, agar biz quyidagi asosiy konstruktsiyalarning har biri bitta kompas bilan bajarilishi mumkinligini aniqlasak, xuddi shu maqsadga erishamiz:

1. Agar uning markazi va radiusi ko'rsatilgan bo'lsa, doira chizing.
2. Ikki doiraning kesishish nuqtalarini toping.
3. Chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini toping.
4. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini toping.

Har qanday geometrik konstruktsiya (odatiy ma'noda, sirkul va o'lchagichni nazarda tutgan holda) ushbu elementar konstruktsiyalarning cheklangan ketma-ketligini bajarishdan iborat. Ulardan birinchi ikkitasini bitta kompas bilan amalga oshirish mumkinligi aniq. 3 va 4-sonli murakkabroq konstruktsiyalar oldingi paragrafda muhokama qilingan inversiya xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

3-konstruktsiyaga murojaat qilaylik: biz bu aylananing kesishish nuqtalarini shu A va B nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bilan topamiz. O nuqtadan tashqari, mos ravishda AO va BO ga teng markazlari A va B va radiusli yoylar chizamiz. , ular P nuqtada kesishadi. Keyin C aylanaga nisbatan P nuqtaga qarama-qarshi Q nuqtasini quramiz (174-betda tasvirlangan qurilishga qarang). Nihoyat, markazi Q va radiusi QO bo'lgan doira chizing (u, albatta, C bilan kesishadi): uning C aylana bo'ylab kesishgan X va X nuqtalari kerakli nuqtalar bo'ladi. Buni isbotlash uchun nuqtalarning har birini aniqlab olish kifoya. X va X" O va P dan bir xil masofada joylashgan (A va B nuqtalarida bo'lgani kabi, ularning o'xshash xususiyati darhol qurilishdan kelib chiqadi). Darhaqiqat, Q nuqtaga qarama-qarshi nuqta X va X nuqtalardan aylana radiusiga teng masofada joylashganligiga murojaat qilish kifoya (173-betga qarang). Shuni ta'kidlash kerakki, X, X" va O nuqtalardan o'tuvchi aylana C aylanaga nisbatan inversiyadagi teskari AB chiziqdir, chunki bu doira va AB chizig'i C bilan bir xil nuqtalarda kesishadi. (Inversiya paytida asos aylananing nuqtalari harakatsiz qoladi.) Agar AB chizig'i C markazidan o'tsagina ko'rsatilgan konstruktsiyani amalga oshirish mumkin emas. Ammo keyin kesishish nuqtalarini 178-betda o'rta nuqtalar sifatida tasvirlangan konstruktsiya yordamida topish mumkin. B 1 va B 2 nuqtalarda C bilan kesishuvchi markaz B bo'lgan ixtiyoriy aylana chizilganda olingan C yoylarining.

Doira chizish usuli, to'g'ri chiziqning teskarisi "ikki berilgan nuqtani bog'lab, darhol 4-masalani hal qiladigan konstruktsiyani beradi. Chiziqlar A, B va A, B nuqtalari bilan berilgan bo'lsin" (50-rasm) Chiz. ixtiyoriy C aylana va yuqoridagi usuldan foydalanib AB va A "B" to'g'ri chiziqlarga qarama-qarshi doiralar quramiz.Bu doiralar O nuqtada kesishadi va yana bir Y nuqtada Y nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan X nuqta kerakli kesishish nuqtasidir. : uni qanday qurish kerakligi yuqorida allaqachon tushuntirilgan edi.kerakli nuqta, bu Y nuqtaning bir vaqtning o'zida ikkala AB va A "B" to'g'rilariga tegishli nuqtaga qarama-qarshi bo'lgan yagona nuqta ekanligi, shuning uchun X nuqtasi, qarama-qarshiligi aniq. Y ga, bir vaqtning o'zida AB va A "B" da yotishi kerak ...

Bu ikki konstruksiya Mascheroni konstruksiyalari o‘rtasidagi ekvivalentlik isbotini tugatadi, buning uchun faqat sirkul va sirkul va to‘g‘ri chiziqli oddiy geometrik konstruksiyalardan foydalanishga ruxsat beriladi.

Biz bu erda ko'rib chiqqan individual muammolarni hal qilishning nafisligi haqida qayg'urmadik, chunki bizning maqsadimiz Mascheroni konstruktsiyalarining ichki ma'nosini aniqlash edi. Ammo misol sifatida biz oddiy beshburchakning qurilishini ham ko'rsatamiz; aniqrog'i, biz muntazam chizilgan beshburchakning cho'qqilari bo'lib xizmat qila oladigan aylananing beshta nuqtasini topish haqida gapiramiz.

A nuqta K aylanadagi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. Muntazam chizilgan oltiburchakning yon tomoni aylananing radiusiga teng bo‘lgani uchun K dagi B, C, D nuqtalarni AB = BC = CD bo‘ladigan tarzda kechiktirish qiyin bo‘lmaydi. = 60 ° (51-rasm). Radiusi AC ga teng boʻlgan markazlari A va D boʻlgan yoylarni chizish; ular X nuqtada kesishsin. U holda, agar O K ning markazi bo‘lsa, markazi A va radiusi OX bo‘lgan yoy K ni BC yoyining o‘rtasi bo‘lgan F nuqtada kesib o‘tadi (178-betga qarang). Keyin, radiusi K radiusga teng bo'lgan, biz G va H nuqtalarda K bilan kesishuvchi markaz F bo'lgan yoylarni tasvirlaymiz. G va H nuqtalardan masofalari OX ga teng bo'lgan va X dan X dan ajratilgan Y nuqta bo'lsin. markaz O. Bu holda, marta sifatida AY segmenti zarur beshburchak tomoni hisoblanadi. Dalil o'quvchiga mashq sifatida taqdim etiladi. Shunisi qiziqki, qurilish vaqtida faqat uch xil radius ishlatiladi.

1928 yilda daniyalik matematik Elmslev Kopengagendagi kitob do'konida kitobning nusxasini topdi. Evklid Danicus 1672 yilda noma'lum muallif tomonidan nashr etilgan G. Morom. Sarlavha sahifasidan xulosa qilish mumkinki, bu Evklidning "Elementlar" versiyalaridan biri bo'lib, ehtimol tahririyat sharhi bilan jihozlangan. Ammo diqqat bilan o'rganib chiqqach, unda Mascheronidan ancha oldin topilgan Mascheroni muammosining to'liq yechimi borligi ma'lum bo'ldi.

Mashqlar. Quyida Mohr konstruksiyalarining tavsifi berilgan. Ular to'g'ri yoki yo'qligini tekshiring. Nima uchun ular Mascheroni muammosini hal qiladi, deb bahslash mumkin?

Mascheroni natijalaridan ilhom olib, Jeykob Shtayner (1796-1863) faqat bitta o'lchagich yordamida bajarilishi mumkin bo'lgan konstruktsiyalarni o'rganishga harakat qildi. Albatta, o'lchagichning o'zi sizni berilgan raqamli maydon chegarasidan tashqariga olib chiqmaydi va shuning uchun barcha geometrik konstruktsiyalarni klassik ma'noda bajarish etarli emas. Ammo Shtayner tomonidan kiritilgan cheklov bilan erishilgan natijalar yanada diqqatga sazovordir - kompasdan faqat bir marta foydalanish. U tekislikdagi sirkul va chizg‘ich yordamida bajarilishi mumkin bo‘lgan barcha konstruksiyalarni markazga ega bo‘lgan yagona qo‘zg‘almas aylana bo‘lishi sharti bilan bir o‘lchagich yordamida ham bajarish mumkinligini isbotladi. Ushbu konstruktsiyalar proyektiv usullardan foydalanishni nazarda tutadi va keyinroq tavsiflanadi (228-betga qarang).

* Siz doirasiz va bundan tashqari, markazsiz qilolmaysiz. Masalan, aylana berilgan, lekin uning markazi ko'rsatilmagan bo'lsa, unda bitta o'lchagich yordamida markazni topish mumkin emas. Endi biz buni keyinroq aniqlanadigan haqiqatga (252-betga qarang) murojaat qilib, buni isbotlaymiz: tekislikning o'ziga shunday o'zgarishi borki, a) berilgan aylana harakatsiz qoladi, b) har bir to'g'ri chiziq ketadi. to'g'ri chiziqqa, ) bilan qo'zg'almas aylananing markazi qo'zg'almas, balki siljiydi. Bunday transformatsiyaning mavjudligi ma'lum bir doira markazini bitta o'lchagich yordamida qurish mumkin emasligidan dalolat beradi. Aslida, qurilish jarayoni qanday bo'lishidan qat'i nazar, u to'g'ri chiziqlar chizish va ularning bir-biri bilan yoki berilgan doira bilan kesishish joylarini topishdan iborat bo'lgan bir qancha alohida bosqichlarga bo'linadi. Keling, tasavvur qilaylik, butun figura bir butun sifatida aylana bo'lib, markazni qurishda o'lchagich bo'ylab chizilgan barcha chiziqlar o'zgarishlarga duchor bo'ladi, biz bu erda mavjudligini taxmin qildik. Shunda transformatsiyadan keyin olingan raqam ham qurilishning barcha talablarini qondirishi aniq; lekin bu rasmda ko'rsatilgan konstruktsiya berilgan aylananing markazidan boshqa nuqtaga olib keladi. Bu ko'rib chiqilayotgan qurilishning mumkin emasligini anglatadi.

Kollegial YouTube

1 / 5

✪ 7-sinf, 22-dars, Sirkul va chizg‘ich yordamida yasash

✪ Geometriya 7 Sirkul va chizg‘ich yordamida doira chizing

✪ Ikki tomondan uchburchak va ular orasidagi burchakni chizing

✪ Geometriya 7 Qurilish masalalariga misollar

✪ 7-sinf, 23-dars, Qurilish vazifalariga misollar

Subtitrlar

ga misollar

Bisektsiya muammosi... Kompas va o'lchagich yordamida ushbu segmentni ajrating AB ikkita teng qismga bo'ling. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan:

• Markazi nuqtalarda joylashgan kompas bilan doiralar chizing A va B radius AB.
• Kesishish nuqtalarini topish P va Q ikkita qurilgan doiralar (yoylar).
• Nuqtalar orqali o‘lchagich bo‘ylab segment yoki chiziq chizing P va Q.
• Segmentning kerakli o'rta nuqtasini toping AB- kesishish nuqtasi AB va PQ.

Rasmiy ta'rif

Qurilish masalalarida quyidagi ob'ektlar to'plami ko'rib chiqiladi: tekislikning barcha nuqtalari, tekislikning barcha to'g'ri chiziqlari va tekislikning barcha doiralari. Masalaning shartlarida dastlab ob'ektlar to'plami ko'rsatiladi (qurilgan deb hisoblanadi). Qurilgan ob'ektlar to'plamiga quyidagilar qo'shilishi (qurilishi) mumkin:

1. ixtiyoriy nuqta;
2. berilgan to'g'ri chiziqdagi ixtiyoriy nuqta;
3. berilgan doiradagi ixtiyoriy nuqta;
4. berilgan ikkita chiziqning kesishish nuqtasi;
5. berilgan to'g'ri chiziq va berilgan doiraning kesishish / tegish nuqtalari;
6. ikkita belgilangan doiraning kesishish / tegish nuqtalari;
7. berilgan nuqtadan o'tuvchi ixtiyoriy to'g'ri chiziq;
8. berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq;
9. berilgan nuqtada markazlashtirilgan ixtiyoriy doira;
10. radiusi belgilangan ikkita nuqta orasidagi masofaga teng bo'lgan ixtiyoriy doira;
11. belgilangan nuqtada markazlashtirilgan va radiusi belgilangan ikkita nuqta orasidagi masofaga teng bo'lgan doira.

Dastlabki to'plam bilan ma'lum munosabatda bo'lgan boshqa ob'ektlar to'plamini qurish uchun ushbu operatsiyalarning cheklangan sonidan foydalanish talab qilinadi.

Qurilish muammosini hal qilish uchta muhim qismni o'z ichiga oladi:

1. Berilgan to'plamni qurish usulining tavsifi.
2. Ta'riflangan tarzda tuzilgan to'plamning asl to'plam bilan haqiqatdan ham ma'lum munosabatda ekanligini isbotlash. Odatda konstruksiyani isbotlash aksiomalar va boshqa isbotlangan teoremalarga asoslanib, teoremaning odatiy isboti sifatida amalga oshiriladi.
3. Ta'riflangan qurilish usulini boshlang'ich sharoitlarning turli xil variantlariga qo'llanilishi, shuningdek, tavsiflangan usul bilan olingan yechimning o'ziga xosligi yoki o'ziga xos emasligi uchun tahlil qilish.

Ma'lum vazifalar

Sirkul va chizg‘ich yordamida boshqa taniqli va yechilmaydigan masala bu bissektrisalarning berilgan uchta uzunligidan uchburchak yasashdir. Bu vazifa tomahawk kabi burchak trisektsiyasini amalga oshiradigan asbob bilan ham hal etilmaydi.

Kompas va o'lchagich yordamida qurilish uchun ruxsat etilgan chiziq segmentlari

Ushbu vositalar yordamida siz uzunlikdagi chiziq segmentini yaratishingiz mumkin:

Uzunligi ko'rsatilgan segmentlar uzunliklarining ko'paytmasiga, bo'linmasiga va kvadrat ildiziga son jihatdan teng bo'lgan segmentni qurish uchun qurilish tekisligida birlik segmentini (ya'ni 1 uzunlikdagi segmentni) ko'rsatish kerak. Kompas va o'lchagich yordamida 2 ga teng bo'lmagan boshqa tabiiy darajali segmentlardan ildizlarni ajratib bo'lmaydi. Shunday qilib, masalan, birlik segmentidan sirkul va chizg'ich yordamida uzunlik segmentini qurish mumkin emas. Bu fakt, xususan, kubni ikki barobarga oshirish muammosini hal qilib bo'lmaydiganligini anglatadi.

Mumkin va mumkin bo'lmagan konstruktsiyalar

Formal nuqtai nazardan, har qanday qurilish masalasining yechimi qandaydir algebraik tenglamaning grafik yechimiga keltiriladi va bu tenglamaning koeffitsientlari berilgan segmentlarning uzunliklari bilan bog'liq. Demak, qurish masalasi qandaydir algebraik tenglamaning haqiqiy ildizlarini topishga keltiriladi, deyishimiz mumkin.

Shuning uchun, raqamni qurish haqida gapirish qulay - ma'lum bir turdagi tenglamaning grafik echimi.

Segmentlarning mumkin bo'lgan konstruktsiyalariga asoslanib, quyidagi konstruktsiyalar mumkin:

• Chiziqli tenglamalar yechimlarini qurish.
• Kvadrat tenglamalar yechimiga keltiruvchi tenglamalar yechimlarini qurish.

Boshqacha qilib aytganda, asl sonlarning kvadrat ildizidan foydalangan holda faqat arifmetik ifodalarga teng segmentlarni qurish mumkin (segment uzunliklari berilgan).

Shuni ta'kidlash kerakki, yechim yordamida ifodalangan bo'lishi kerak kvadrat ixtiyoriy darajadagi radikallar emas, balki ildizlar. Agar algebraik tenglama radikallarda yechimga ega bo'lsa ham, bu uning yechimiga teng segmentni kompas va chizg'ich yordamida qurish imkoniyatini bildirmaydi. Eng oddiy tenglama: x 3 - 2 = 0, (\ displaystyle x ^ (3) -2 = 0,) kubni ikki barobarga oshirishning mashhur muammosi bilan bog'liq bo'lib, bu kub tenglamani kamaytiradi. Yuqorida aytib o'tilganidek, bu tenglamaning yechimi ( 2 3 (\ displey uslubi (\ sqrt [(3)] (2)))) sirkul va chizg‘ich yordamida yasab bo‘lmaydi.

Muntazam 17 burchakli burchakni qurish qobiliyati uning tomonining markaziy burchagi kosinusining ifodasidan kelib chiqadi:

cos ⁡ (2 p 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ chap ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ o'ng)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17)) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17))))))),) bu esa, o'z navbatida, shaklning tenglamasini kamaytirish imkoniyatidan kelib chiqadi x F n - 1 = 0, (\ displaystyle x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) qayerda F n (\ displey uslubi F_ (n))- o'zgaruvchini kvadrat tenglamaga o'zgartirish orqali istalgan Ferma tubi.

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

• Bitta kompas bilan konstruktsiyalar. Mohr - Mascheroni teoremasiga ko'ra, bitta kompasdan foydalanib, siz kompas va chizg'ich yordamida yasash mumkin bo'lgan har qanday figurani qurishingiz mumkin. Bunday holda, to'g'ri chiziq, agar unda ikkita nuqta ko'rsatilgan bo'lsa, tuzilgan hisoblanadi.
• Bitta o'lchagich bilan chizish. Ko'rinib turibdiki, faqat bitta chizg'ich yordamida proyektiv o'zgarmas konstruktsiyalarni bajarish mumkin. Jumladan,
  • segmentni ikkita teng qismga bo'lish ham mumkin emas,
  • berilgan aylana markazini topish ham mumkin emas.

Lekin,

• agar tekislikda bitta o'lchagich bilan belgilangan markazga ega ilgari chizilgan doira bo'lsa, siz kompas va o'lchagich bilan bir xil konstruktsiyalarni bajarishingiz mumkin (

Ushbu banddagi material darsdan tashqari mashg'ulotlarda qo'llanilishi mumkin. U talabalarga ma'ruza shaklida ham, talabalar hisoboti shaklida ham taqdim etilishi mumkin.

Ko'p asrlar davomida "antik davrning mashhur muammolari" sifatida mashhur bo'lgan muammolarga katta e'tibor qaratildi. Odatda bu nom ostida uchta mashhur muammo topiladi:

1) aylanani kvadratga solish,

2) burchakning trisektsiyasi,

3) kubni ikki barobarga oshirish.

Bu vazifalarning barchasi qadimgi davrlarda odamlarning amaliy ehtiyojlaridan kelib chiqqan. Ularning mavjudligining birinchi bosqichida ular hisoblash muammolari sifatida harakat qildilar: ba'zi "retseptlar" ga ko'ra, kerakli miqdorlarning taxminiy qiymatlari (doira maydoni, aylana va boshqalar) hisoblab chiqilgan. Bu muammolar tarixining ikkinchi bosqichida ularning xarakterida sezilarli o'zgarishlar ro'y beradi: ular geometrik (konstruktiv) masalalarga aylanadi.

Qadimgi Yunonistonda, bu davrda ularga klassik formulalar berilgan:

1) berilgan doiraga kattaligi teng kvadrat qurish;

2) berilgan burchakni uchta teng qismga bo'ling;

3) hajmi berilgan kubdan ikki baravar ko'p bo'lgan yangi kubning chetini qurish.

Bu barcha geometrik konstruktsiyalarni kompas va chizg'ich yordamida bajarish taklif qilingan.

Ushbu vazifalarni shakllantirishning soddaligi va ularni hal qilish yo'lida duch kelgan "yengib bo'lmaydigan qiyinchiliklar" ularning mashhurligining o'sishiga yordam berdi. Qadimgi yunon olimlari ushbu muammolarga qat'iy yechim topishga intilib, "yo'lda" matematika uchun juda ko'p muhim natijalarga erishdilar, bu esa tarqoq matematik bilimlarni mustaqil deduktiv fanga aylantirishga hissa qo'shdi (Pifagorchilar, Xios Gippokratlari va Arximedlar). o'sha paytda ayniqsa sezilarli iz).

Kubni ikki barobarga oshirish muammosi.

Kubni ikki barobarga oshirish masalasi quyidagicha: berilgan kubning chetini bilib, shunday kubning chetini tuzing, uning hajmi bu kubning hajmidan ikki barobar katta bo'ladi.

Berilgan kubning chetining uzunligi a, x - kerakli kubning chetining uzunligi bo'lsin. Berilgan kubning hajmi va kerakli kubning hajmi bo'lsin, u holda kub hajmini hisoblash formulasiga ko'ra, bizda quyidagilar mavjud: =, va chunki, masalaning shartiga ko'ra, biz tenglamaga keling.

Algebradan ma'lumki, butun sonli koeffitsientli qisqartirilgan tenglamaning ratsional ildizlari faqat butun son bo'lishi mumkin va tenglamaning erkin hadining bo'luvchilari orasida bo'lishi mumkin. Ammo 2 sonining bo'luvchilari faqat +1, - 1, +2, - 2 raqamlari bo'lib, ularning hech biri dastlabki tenglamani qondirmaydi. Binobarin, tenglamaning ratsional ildizlari yo'q, ya'ni kubni ikki barobarga oshirish masalasini sirkul va chizg'ich yordamida hal qilib bo'lmaydi.

Kompas va o'lchagich yordamida kubni ikki barobarga oshirish masalasi faqat taxminan echilishi mumkin. Bu muammoni taxminan hal qilishning eng oddiy usullaridan biri.

AB = BC = a, va ABBC bo'lsin. Biz AD = AC, keyin 1% aniqlik bilan CD quramiz. Haqiqatan ham, CD 1.2586…. Shu bilan birga = 1,2599….

Doirani kvadratga solish muammosi.

Masalaning sirkul va chizg‘ich yordamida yechilmasligini asoslash.

Doirani kvadratga solish muammosi quyidagicha: o'lchami aylanaga teng kvadrat qurish.

Berilgan doiraning radiusi, kerakli kvadratning yon uzunligi bo'lsin. Keyin, bu yerdan.

Binobarin, uzunlikdagi segmentni tuzadigan bo'lsak, doirani kvadratga solish masalasi hal qilinadi. Agar berilgan aylananing radiusi birlik segmenti sifatida qabul qilinsa (= 1), u holda masala birlik segmenti bo'ylab uzunlikdagi segmentni qurishga qisqartiriladi.

Ma'lumki, birlik segmentini bilgan holda, biz sirkul va o'lchagich yordamida faqat uzunliklari ratsional sonlar bilan ifodalangan, cheklangan ratsional amallar to'plami va kvadrat ildizlarni ajratib olish va shuning uchun algebraik sonlar bo'lgan segmentlarni qurishimiz mumkin. Bunday holda, barcha algebraik raqamlar ishlatilmaydi. Masalan, siz uzunlikdagi chiziq chiza olmaysiz va hokazo.

1882 yilda Lindemann uning transsendental ekanligini isbotladi. Bundan kelib chiqadiki, sirkul va o'lchagich yordamida uzunlik segmentini qurish mumkin emas va shuning uchun bu vositalar yordamida aylanani kvadratga solish muammosi hal etilmaydi.

Masalani sirkul va chizg‘ich yordamida taxminiy yechish.

Chiziq segmentlarini taxminiy qurish usullaridan birini ko'rib chiqaylik. Ushbu texnika quyidagicha. Markazi O nuqtada va radiusning yarmidan biriga teng bo'lgan AB doirasining chorak qismini C nuqtasiga bo'ling. CD diametrining davomida radiusga teng bo'lgan DE segmentini chetga surib qo'ying. E nuqtadan EA va EB nurlarini ular C nuqtadagi tangens bilan kesishguncha chizamiz. AB kesma segmenti taxminan AB yoyi uzunligiga, ikkilangan segment esa yarim doiraga teng.

Ushbu yaqinlashishning nisbiy xatosi 0,227% dan oshmaydi.

Burchak trisektsiyasi muammosi.

Masalaning sirkul va chizg‘ich yordamida yechilmasligini asoslash.

Burchakning trisektsiyasi masalasi quyidagicha: berilgan burchakni uchta teng qismga bo'ling.

Biz 90 dan oshmaydigan burchaklar uchun masalani yechish bilan cheklanamiz. Agar o'tmas burchak bo'lsa, u holda = 180-, bu erda<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

E'tibor bering (birlik segmenti mavjud bo'lganda) burchakni (90) qurish masalasi x = cos segmentini qurish masalasiga ekvivalentdir. Haqiqatan ham, agar burchak qurilgan bo'lsa, u holda x = cos segmentining qurilishi gipotenuza va o'tkir burchakdan to'g'ri burchakli uchburchakning qurilishiga qisqartiriladi.

Orqaga. Agar x segmenti qurilsa, u holda x = cos bo'lgan burchakning qurilishi gipotenuza va oyoq bo'ylab to'g'ri burchakli uchburchak qurishga keltiriladi.

- berilgan burchak, - kerakli burchak bo'lsin, shuning uchun =. U holda cos = cos 3. Ma'lumki, cos 3 = 4cos-3cos. Shunday qilib, cos = va cos = o'rnatilsa, biz tenglamaga erishamiz:

cos = 4cos-3cos,

Segment va demak, burchak, agar bu tenglama kamida bitta ratsional ildizga ega bo'lsa, tuzilishi mumkin. Ammo bu hamma uchun ham shunday emas, shuning uchun burchakning trisektsiyasi muammosini, umuman olganda, kompas va to'g'ri qirra yordamida hal qilib bo'lmaydi. Masalan. = 60 da = 1 ni olamiz va olingan tenglama quyidagi shaklni oladi. Ushbu tenglamaning ratsional ildizi yo'qligini tekshirish oson, bu 60 burchakni kompas va o'lchagich yordamida uchta teng qismga bo'lish mumkin emasligini anglatadi. Shunday qilib, burchakning trisektsiyasi masalasini sirkul va umuman o'lchagich bilan hal qilib bo'lmaydi.

Masalani sirkul va chizg‘ich yordamida taxminiy yechish.

Keling, Albert Dyurer (1471-1528) tomonidan taklif qilingan kompas va chizg'ich yordamida masalani taxminiy hal qilish usullaridan birini ko'rib chiqaylik.

ASB burchagi berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy radiusli S cho’qqidan aylana tasvirlaymiz va burchak tomonlarining aylana bilan kesishish nuqtalarini AB xordasi orqali bog’laymiz. Ushbu akkordni R va R nuqtalarida uchta teng qismga ajratamiz (A R = R R = RB). A va B nuqtalardan, markazlardan bo'lgani kabi, A R = RB radiuslari bilan aylanani T va T nuqtalarda kesib o'tuvchi yoylarni tasvirlaymiz. RSAB ni bajaramiz. A S = BS radiuslari bilan AB ni U va U nuqtalarda kesishgan yoylarni torting. AT, SS va TB yoylari bir-biriga teng, chunki ular teng akkordlar bilan tortiladi.

X va X burchakning trisektsiya nuqtalarini topish uchun Dyurer RU va RU segmentlarini PV va PV nuqtalari orqali teng uchta qismga ajratadi. Keyin, AV va BV radiuslari bilan, aylanani X va X nuqtalarda kesib o'tadigan yoylarni chizamiz. Bu nuqtalarni S bilan bog'lab, biz bu burchakning haqiqiy qiymatlarga yaxshi yaqinlashishi bilan uchta teng qismga bo'linishini olamiz.

Qadim zamonlardan beri ma'lum.

Qurilish vazifalarida quyidagi operatsiyalar mumkin:

• O'zboshimchalik bilan belgilang nuqta tekislikda, qurilgan chiziqlardan biridagi nuqta yoki ikkita qurilgan chiziqning kesishish nuqtasi.
• Yordamida kompaslar qurilgan nuqtada markaz va allaqachon qurilgan ikkita nuqta orasidagi masofaga teng radiusli doira chizish.
• Yordamida hukmdorlar ikkita qurilgan nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqni chizing.

Bunday holda, kompas va o'lchagich ideal vosita hisoblanadi, xususan:

1. Oddiy misol

Segmentni yarmiga bo'lish

Vazifa. Ushbu segmentni bo'lish uchun kompas va o'lchagichdan foydalaning AB ikkita teng qismga bo'ling. Yechimlardan biri rasmda ko'rsatilgan:

• Kompas yordamida biz bir nuqtada markazlashtirilgan doira quramiz A radius AB.
• Bir nuqtada markazlashtirilgan doira quring B radius AB.
• Kesishish nuqtalarini topish P va Q ikkita qurilgan doira.
• O'lchagich bilan nuqtalarni bog'laydigan segmentni chizing P va Q.
• Kesishish nuqtasini toping AB va PQ. Bu segmentning istalgan o'rta nuqtasi AB.

2. Muntazam ko‘pburchaklar

To'g'ri qurish usullari n-gonlar va uchun.

4. Mumkin va imkonsiz konstruksiyalar

Barcha konstruktsiyalar qandaydir tenglamaning yechimidan boshqa narsa emas va bu tenglamaning koeffitsientlari berilgan segmentlarning uzunliklari bilan bog'liq. Shuning uchun, raqamni qurish haqida gapirish qulay - ma'lum bir turdagi tenglamaning grafik echimi.

Oshqozon-ichak tizimiga bo'lgan talablar doirasida quyidagi konstruktsiyalar mumkin:

Boshqacha qilib aytganda, siz asl sonlarning kvadrat ildizidan (segment uzunliklari) foydalanib, faqat arifmetik ifodalarga teng sonlarni qurishingiz mumkin. Masalan,

5. Variatsiyalar va umumlashtirishlar

6. Qiziqarli faktlar

• GeoGebra, Kig, KSEG - kompas va chizg'ich yordamida qurish imkonini beruvchi dasturlar.

Adabiyot

• A. Adler. Geometrik konstruktsiyalar nazariyasi, G. M. Fixtengolts tomonidan nemis tilidan tarjima qilingan. Uchinchi nashr. L., Navchpedvid, 1940-232 b.
• I. Aleksandrov, Geometrik qurilish masalalari to'plami, O'n sakkizinchi nashr, M., Navchpedvid, 1950-176 b.
• B.I.Argunov, MB Balk.

Geometrik qurilish vazifalari

Sirkul va o'lchagichdan foydalanish

8-sinf o‘quvchisi A

Nazoratchi: Moskaeva V.N.,

matematika o'qituvchisi

Nijniy Novgorod

Kirish

Vizualizatsiya, tasavvur ko'proq san'atga tegishli, qat'iy mantiq ilm-fanning imtiyozidir. Aniq xulosaning quruqligi va vizual rasmning jonliligi - "muz va olov bir-biridan unchalik farq qilmaydi". Geometriya bu ikki qarama-qarshilikni birlashtiradi.

A. D. Aleksandrov

Maktabga ketayotganda portfelimizga kompas, chizg'ich va transporter qo'yishni unutmaymiz. Ushbu vositalar to'g'ri chizish va chiroyli chizishga yordam beradi. Ushbu vositalar muhandislar, me'morlar, ishchilar, kiyim-kechak va poyabzal dizaynerlari, quruvchilar va landshaft dizaynerlari tomonidan qo'llaniladi. Kompyuterlar mavjud bo'lsa-da, lekin qurilish maydonchasida, bog'da siz ularni hali ishlatmaysiz.

Mashina bir necha soniya ichida bir zumda chizadi. Matematik unga nima qilish kerakligini mashinaga tushunarli tilda tushuntirish uchun juda ko'p vaqt sarflashi kerak - dastur yozish va uni mashinaga kiritish, shuning uchun dizaynerlar ko'pincha eng oddiy va eng qadimiy tilda ishlashni afzal ko'radilar. asboblar - sirkul va o'lchagich.

Nima osonroq bo'lishi mumkin? To'g'ri qirrali silliq taxta - o'lchagich, bir uchi bog'langan ikkita uchli tayoq - kompas. Chizgich yordamida berilgan ikkita nuqta orqali to'g'ri chiziq o'tkazing. Kompas yordamida ma'lum bir markaz va ma'lum radius bilan doiralar chiziladi, unga teng segmentni kechiktiring.

Kompas va hukmdor 3 ming yildan ortiq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan, ular allaqachon ma'lum bo'lgan, 200-300 yil oldin ular bezak va naqshlar bilan bezatilgan. Ammo, shunga qaramay, ular bizga muntazam ravishda xizmat qilishadi. Eng oddiy asboblar juda ko'p miqdordagi qurilish uchun etarli. Qadimgi yunonlar antik davrning uchta muhim vazifasini aniqlamagunlaricha, bu asboblar yordamida har qanday oqilona qurilishni amalga oshirish mumkin deb o'ylashgan: "aylana kvadrati", "burchakning uchga bo'linishi", "kubni ikkiga ko'paytirish".

Shuning uchun men o'z ishim mavzusini zamonaviy va inson faoliyatining ko'plab sohalarida inson faoliyati uchun muhim deb bilaman.

Matematikaning turli kasblarda va hayotiy vaziyatlarda qo'llanilishini hamma yaxshi biladi. Matematika oson fan emas. Talabalarning ko'pchiligi geometriyani "qiyin" deb atashadi. Qurilish masalalari an'anaviy geometriya muammolaridan farq qiladi.

Qurilish masalalarini hal qilish, hisoblash masalalarini yechishdan ko'ra, geometrik tafakkurni ancha to'liq va keskin rivojlantiradi va ishlashga bo'lgan ishtiyoqni keltirib chiqarishi mumkin, bu esa qiziqishning ortishi va geometriyani o'rganishni kengaytirish va chuqurlashtirish istagini keltirib chiqaradi.

Boy tarixiy o'tmishga qaramay, qurilish muammolarini hal qilish muammosi 21-asrda ham dolzarb bo'lib qolmoqda. Bizning davrimizda geometrik ob'ektlarni chizish uchun grafik muharrirlardan foydalangan holda kompyuter texnologiyalari jadal rivojlanmoqda. Yangi kompyuter texnologiyalarining paydo bo'lishi tufayli geometrik ob'ektlarni yaratish vositalari o'zgardi. Biroq, qadimgi davrlarda bo'lgani kabi, geometrik jismlarni qurishda asosiy elementlar aylana va to'g'ri chiziq, boshqacha aytganda, sirkul va chizg'ich hisoblanadi. Yangi kompyuter texnologiyalarining paydo bo'lishi bilan bir xil ob'ektlar - chiziq va aylana yordamida yangi qurilish muammolari paydo bo'ldi. Shuning uchun qurilish muammolarini hal qilish muammosi yanada dolzarb bo'lib bormoqda.

Geometriya dasturi faqat eng oddiy texnika va qurilish usullarini o'rganishni o'z ichiga oladi. Ammo bu usullardan foydalanish ko'pincha qiyin. Shuning uchun mening tadqiqotim ob'ekti - sirkul va chizg'ich yordamida qurilgan geometrik figuralar.

Mening ishimning maqsadi: sirkul va chizg'ich yordamida geometrik shakllarni yasashning turli usullarini ko'rib chiqing.

Tadqiqot usullari:

ü Mavjud qurilish usullarini tahlil qilish

ü Yangi usullarni qidiring, ulardan foydalanish oson (GMT va Shtayner konstruktsiyasi)

Vazifalar:

ü turli xil qurilish usullarini yaxshiroq tushunish

ü matematika tarixida ushbu geometriya qismining rivojlanishini kuzatib boring

ü tadqiqot qobiliyatlarini rivojlantirishda davom eting.

Sirkul va o'lchagich yordamida geometrik qurilish tarixidan.

Geometrik konstruktsiyalar vositalarining an'anaviy cheklanishi qadimgi davrlarga borib taqaladi. Evklid (miloddan avvalgi III asr) o'zining "Boshlanishlar" kitobida sirkul va o'lchagich yordamida bajariladigan geometrik konstruktsiyalarga qat'iy rioya qiladi, garchi u asboblar nomini hech qaerda eslatib o'tmagan. Cheklovlar bu asboblar arqonni almashtirganligi bilan bog'liq bo'lib, dastlab chiziqlar chizish uchun ham, doiralarni tasvirlash uchun ham xizmat qilgan. Ammo ko'pgina tarixchi-matematiklar Evklid tomonidan yaratilgan materialning tanlanishini Platon va Pifagorchilarga ergashib, faqat to'g'ri chiziq va aylanani "mukammal" chiziqlar deb hisoblaganligi bilan izohlaydilar.

Qadimgi Yunonistonda geometrik shakllarni yasash san'ati yuksak darajada rivojlangan. Qadimgi yunon matematiklari bundan 3000 yil muqaddam o‘z konstruksiyalarini ikkita qurilma: tekis qirrali silliq taxta - o‘lchagich va bir uchi bog‘langan ikkita uchli tayoq - kompas yordamida amalga oshirgan. Biroq, bu oddiy asboblar juda ko'p turli xil qurilishlarni amalga oshirish uchun etarli edi. Hatto qadimgi yunonlarga bu asboblar yordamida har qanday aqlli qurilishni amalga oshirish mumkin bo'lib tuyuldi, keyin ular uchta mashhur vazifaga duch kelmaguncha.

Ular uzoq vaqtdan beri har qanday to'g'ri chiziqli figurani sirkul va o'lchagich yordamida unga teng keladigan ixtiyoriy to'g'ri chiziqli figuraga aylantirdilar. Xususan, har qanday to'g'ri chiziqli shakl bir xil o'lchamdagi kvadratga aylantirildi. Shu sababli, ushbu muammoni umumlashtirish g'oyasi paydo bo'lganligi aniq: kompas va o'lchagich yordamida maydoni berilgan doiraning maydoniga teng bo'lgan kvadratni qurish. Bu masala aylana kvadrati deb ataladi. Bu vazifaning izlarini miloddan avvalgi II ming yillikdagi qadimgi yunon va Bobil yodgorliklarida ham ko'rish mumkin. Biroq, uning to'g'ridan-to'g'ri o'rnatilishi miloddan avvalgi V asrdagi yunon asarlarida uchraydi.

Antik davrning yana ikkita muammosi ko'p asrlar davomida taniqli olimlarning e'tiborini tortdi. Bu kubni ikki barobarga oshirish muammosi. Bu kompas va o'lchagich bilan kubni qurishdan iborat bo'lib, hajmi ushbu kubning hajmidan ikki baravar katta. Uning paydo bo'lishi afsonaga ko'ra, Egey dengizidagi Delos orolida oracle aholini vabo epidemiyasidan qutqarish uchun kub shaklida qurbongohni ikki baravar oshirishni buyurgan. Burchakning trisektsiyasining uchinchi masalasi esa, burchakni sirkul va chizg'ich yordamida uchta teng qismga bo'lishdir.

Antik davrning 3 mashhur klassik muammosi deb ataladigan bu uchta muammo ikki ming yil davomida taniqli matematiklarning e'tiborini tortdi. Va faqat 19-asrning o'rtalarida ularning noaniqligi, ya'ni faqat kompas va o'lchagich yordamida bu konstruktsiyalarni amalga oshirish mumkin emasligi isbotlangan. Matematikada bu yechish vositalari ko'rsatilganda muammolarning yechilmasligi haqidagi birinchi natijalar edi. Ular geometriya emas, balki algebra yordamida (bu masalalarni tenglamalar tiliga tarjima qilish orqali) olingan bo'lib, bu matematikaning birligini yana bir bor ta'kidladi. Bu muammolar yechimga bo'ysunmay, matematikani sezilarli natijalar bilan boyitdi, matematik fikrning yangi yo'nalishlarini yaratishga olib keldi.

Sirkul va o'lchagich yordamida qurish uchun yana bir qiziqarli vazifa - bu ma'lum miqdordagi tomonlari bo'lgan muntazam ko'pburchakni qurish vazifasi. Qadimgi yunonlar muntazam uchburchak, kvadrat, muntazam beshburchak va 15 burchakli, shuningdek, tomonlarni ikki barobarga oshirish orqali ulardan olinadigan barcha ko'pburchaklarni va faqat ularni qurishni bilishgan. Faqat 1796-yilda buyuk nemis matematigi K.F.Gauss sirkul va o‘lchagich yordamida muntazam 17-burchak yasash yo‘lini topdi va N ning barcha qiymatlarini ko‘rsatdi, bunda ko‘rsatilgan vositalar yordamida muntazam N-burchak yasash mumkin. . Gettingen universitetining birinchi kurs talabasi Karl Gauss matematika 2000 yildan ortiq vaqtdan beri muvaffaqiyatsizlikka uchragan muammoni hal qildi. Shunday qilib, sirkul va chizg'ich yordamida to'g'ri 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 va hokazolarni yasashning mumkin emasligi isbotlandi. kvadratlar.

Sirkul va chizg‘ich yordamida qurish nazariyasi yanada rivojlantirildi. Savolga javob olindi: ko'rib chiqilgan ikkita vositadan faqat bittasi yordamida muammoni hal qilish mumkinmi va bu juda kutilmagan. Bir-biridan mustaqil ravishda 1672 yilda daniyalik G. More va 1797 yilda italiyalik L. Maskeroni kompas va chizg‘ich yordamida yechiladigan har qanday qurilish masalasini faqat bitta sirkul yordamida aniq yechish mumkinligini isbotladilar. Bu aql bovar qilmaydigan tuyuladi, lekin shunday. 19-asrda esa kompas va oʻlchagich yordamida bajariladigan har qanday qurilishni faqat bitta oʻlchagich yordamida bajarish mumkinligi, qurilish tekisligida maʼlum doira koʻrsatilgan va uning markazi koʻrsatilgan boʻlsa, isbotlangan.

3. Sirkul va chizg‘ich yordamida geometrik figuralarni yasash bo‘yicha eng oddiy topshiriqlar

Qurilish muammolarini hal qilish amaliyotida eng ko'p uchraydigan asosiy (elementar) inshootlarni ko'rib chiqing. Ushbu turdagi muammolar maktab kursining birinchi boblarida ko'rib chiqiladi.

Qurilish 1. Berilganiga teng chiziqli segmentni qurish.

Berilgan: uzunlikdagi segment a.

Qurmoq: a uzunlikdagi AB segmenti.

Qurmoq:

Qurilish 2. Berilganiga teng burchak yasaydi.

Berilgan:∟AOB.

Qurmoq:∟ KMN ∟ AOB ga teng.

Qurmoq:

Qurilish 3. Segmentni yarmiga bo'lish (segmentning o'rtasini qurish).

Berilgan: AB segmenti.

Qurmoq: O nuqta AB ning o'rtasidir.

Qurmoq:

Qurilish 4. Burchakni yarmiga bo'lish (burchakning bissektrisasini chizish).

Berilgan:∟ ABC.

Qurmoq: VD - ∟AVS ning bissektrisasi.

Qurmoq:

Qurilish 5. Berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar chiziladi.

a) Berilgan: a chiziq, A nuqta.

Qurmoq:

to'g'ridan-to'g'ri a.

Bino:

b) Berilgan: a to'g'ri chiziq, A nuqta.

Qurmoq: ga perpendikulyar bo'lgan A nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq

to'g'ridan-to'g'ri a.

Qurmoq:

Bino 6... Berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel va berilgan nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni quradi.

Berilgan: a to'g'ri chiziq, A nuqta.

Qurmoq: A nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqqa parallel.

I usul (ikkita perpendikulyar orqali).

Qurmoq:

II usul (parallelogramma orqali).

Qurmoq:

Qurilish 7. Uch tomondan uchburchak hosil qiladi.

Berilgan: a, b, c uzunlikdagi segmentlar.

Qurmoq: D ABC.

Qurmoq:

Qurilish 8. Ikki tomon bo'ylab uchburchak va ular orasidagi burchak hosil qiladi.

Berilgan: uzunlikdagi segmentlar b, c, burchak a.

Qurmoq: ABC uchburchagi.

Qurmoq:

Qurilish 9. Yon va ikkita qo'shni burchak bo'ylab uchburchak hosil qiladi.

Berilgan: c uzunlikdagi segment, a va b burchaklar.

Qurmoq: DABC.

Qurmoq:

Qurilish 10. Berilgan nuqtadan o‘tgan aylanaga teginish chizig‘ini hosil qiladi.

Berilgan: aylana (O), uning tashqarisida A nuqta.

Qurmoq: A nuqtadan o'tuvchi ō (O) aylanaga teginish.

Qurmoq:

Ko'rib chiqilgan vazifalar murakkabroq muammolarni hal qilishda tarkibiy qismlar sifatida kiritilgan, shuning uchun kelajakda asosiy qurilish bosqichlari tasvirlanmagan.

Qurilish muammolarini hal qilish to'rt qismdan iborat:

1. Muammo yechilgan deb hisoblasak, kerakli figuraning taxminiy chizmasini qo’lda chizamiz, so’ngra chizilgan figurani sinchkovlik bilan tekshiramiz, masalaning ma’lumotlari bilan kerakli bo’lganlar o’rtasidagi bunday munosabatlarni topishga harakat qilamiz, bu esa kamaytirish imkonini beradi. ilgari ma'lum bo'lgan boshqalarga muammo. Yechim rejasini tuzishga qaratilgan muammoni hal qilishning eng muhim qismi deyiladi tahlil.

2. Shu tarzda yechim rejasi topilsa, ular unga muvofiq amalga oshiradilar. qurilish.

3. Isbot - rejaning to'g'riligini tekshirish uchun, ma'lum teoremalar asosida, ular olingan raqam masalaning barcha talablariga javob berishini isbotlaydilar.

4. O'qish - ikkita savol beriladi:

1) Har qanday ma'lumotlar bilan yechim topish mumkinmi?

2) Necha yechim bor?

Ushbu bosqichlarni qo'llashni quyidagi masalani yechish misolida ko'rib chiqamiz.

Vazifa: Uning asosi b, asosga tutashgan A burchagi va ikki yon tomonining yig‘indisi s ni bilgan holda uchburchak tuzing.

Tahlil: Aytaylik, muammo hal qilindi, ya'ni. asosi bo'lgan bunday DABS ni topdi AC = b, ∟BAC = A va AB + BC = s... Endi olingan rasmni ko'rib chiqing. Yon AS, teng b, ∟BAC = A, biz qanday qurishni bilamiz. Shunday qilib, boshqa tomondan topish qoladi ∟A shunday nuqta V shunday qilib, summa AB + BC tenglashdi s... Davom etilmoqda AB, segmentni chetga surib qo'ying AD ga teng s... Endi savol shu nuqtaga keltiriladiki, to'g'ri chiziqda AD shunday nuqtani toping V qaysi bir xil masofada bo'lar edi BILAN va D... Bunday nuqta, biz bilganimizdek, segmentga chizilgan perpendikulyarda yotishi kerak CD uning o'rtasi orqali. Nuqta V bilan bu perpendikulyarning kesishmasida joylashgan AD.

Qurmoq:

1. Biz quramiz ∟A berilgan burchakka teng

2. Uning yon tomonlarida biz qoldiramiz AC = b va AD = s

3. Chiziq segmentining o'rtasidan CD perpendikulyar chizamiz BO'LING

4. BO'LING kesib o'tadi AD nuqtada V

5. Nuqtalarni ulang V va BILAN

6. DABS - kerakli.

Isbot:

Olingan DABC ni ko'rib chiqaylik, unda ∟A berilgan burchakka teng (qurilishning №1 bandiga muvofiq). Yon AC = b(2-band) va partiyalar AB va Quyosh s gacha qo'shing (2, 3, 4-bandlar). Shuning uchun, uchburchaklar tengligining 1-mezoniga ko'ra, DABS kerakli hisoblanadi.

O'rganish:

1.Barcha ma'lumotlar bilan yechim mumkinmi?

Qurilishni hisobga olsak, biz biron bir ma'lumot bilan vazifani bajarish mumkin emasligini sezamiz. Haqiqatan ham, agar s yig'indisi b ga nisbatan juda kichik bo'lsa, u holda perpendikulyar BO'LING segmentni kesib o'tmasligi mumkin AD(yoki uning davomini D nuqtadan tashqarida kesib o'tadi), bu holda vazifa imkonsiz bo'ladi.

Va, nima bo'lishidan qat'iy nazar, qurilish, agar vazifa mumkin emasligini ko'rish mumkin s< b yoki s = b, chunki ikki tomonning yig'indisi uchinchi tomondan kichik yoki unga teng bo'ladigan bunday uchburchak bo'lishi mumkin emas.

2. Qancha yechim bor?

Muammo mumkin bo'lgan taqdirda, u faqat bitta yechimga ega, ya'ni. perpendikulyarning kesishmasidan beri muammoning talablariga javob beradigan faqat bitta uchburchak mavjud BO'LING to'g'ri chiziq bilan AD faqat bir nuqtada bo'lishi mumkin.