Gauss -metoden er et konkret eksempel. Gauss metode ifølge Vilenkin

En af de enkleste måder at løse et system af lineære ligninger på er en teknik baseret på beregning af determinanter ( Cramers regel). Dens fordel er, at det giver dig mulighed for straks at registrere løsningen, det er især praktisk i tilfælde, hvor systemets koefficienter ikke er tal, men en slags parametre. Dens ulempe er besværligheden af ​​beregninger i tilfælde af et stort antal ligninger; desuden er Cramers regel ikke direkte gældende for systemer, hvor antallet af ligninger ikke falder sammen med antallet af ukendte. I sådanne tilfælde gælder det normalt Gauss metode.

Systemer med lineære ligninger, der har det samme sæt løsninger, kaldes tilsvarende... Det er klart, at sættet af løsninger til et lineært system ikke ændres, hvis nogle ligninger udveksles, eller en af ​​ligningerne ganges med et ikke -nulstal, eller hvis en ligning tilføjes til en anden.

Gauss metode (metode til successiv eliminering af ukendte) ligger i, at systemet ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trinetype. Først ved hjælp af den første ligning, den x 1 af alle efterfølgende ligninger af systemet. Derefter ved hjælp af 2. ligning x 2 i 3. og alle efterfølgende ligninger. Denne proces, kaldet ved direkte forløb af Gauss -metoden, fortsætter, indtil der kun er én ukendt tilbage på venstre side af den sidste ligning x n... Herefter produceres det tilbagestående gaussisk metode- at løse den sidste ligning, finder vi x n; derefter, ved hjælp af denne værdi, fra den næstsidste ligning, vi beregner x n–1 osv. Vi finder det sidste x 1 fra den første ligning.

Det er praktisk at udføre gaussiske transformationer ved at udføre transformationer ikke med ligningerne selv, men med matricerne for deres koefficienter. Overvej matrixen:

hedder udvidet systemmatrix, fordi i den ud over systemets hovedmatrix er der inkluderet en kolonne med frie termer. Gauss metode er baseret på at reducere systemets hovedmatrix til en trekantet form (eller trapezformet form for ikke-firkantede systemer) ved hjælp af elementære transformationer af rækkerne (!) Af systemets udvidede matrix.

Eksempel 5.1. Løs systemet ved hjælp af den gaussiske metode:

Løsning... Lad os skrive systemets udvidede matrix, og ved hjælp af den første række vil vi derefter nulstille resten af ​​elementerne:

vi får nuller i 2., 3. og 4. række i den første kolonne:

Nu skal du bruge alle elementerne i den anden kolonne under 2. række til at være lig med nul. For at gøre dette kan du gange den anden række med –4/7 og tilføje den til den tredje række. For ikke at håndtere brøker opretter vi imidlertid en enhed i 2. række i den anden kolonne og kun

Nu, for at få en trekantet matrix, skal du nulstille elementet i den fjerde række i 3. kolonne, for dette kan du gange den tredje række med 8/54 og tilføje den til den fjerde. For ikke at håndtere brøker vil vi imidlertid skifte positionerne for 3. og 4. række og 3. og 4. kolonne, og først derefter nulstiller vi det angivne element. Bemærk, at når kolonnerne omarrangeres, skiftes de tilsvarende variabler, og du skal huske dette; andre elementære transformationer med kolonner (addition og multiplikation med et tal) kan ikke udføres!

Den sidste forenklede matrix svarer til et ligningssystem svarende til den oprindelige:

Derfor finder vi ved hjælp af det omvendte forløb af Gauss -metoden fra den fjerde ligning x 3 = -1; fra den tredje x 4 = –2, fra den anden x 2 = 2 og fra den første ligning x 1 = 1. I matrixform skrives svaret som

Vi har overvejet sagen, når systemet er bestemt, dvs. når der kun er en løsning. Lad os se, hvad der sker, hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.

Eksempel 5.2. Undersøg systemet ved hjælp af den gaussiske metode:

Løsning... Skriv ud og transformer systemets udvidede matrix

Vi nedskriver et forenklet ligningssystem:

Her i den sidste ligning viste det sig, at 0 = 4, dvs. modsigelse. Følgelig har systemet ingen løsning, dvs. hun inkonsekvent. à

Eksempel 5.3. Undersøg og løs systemet ved hjælp af den gaussiske metode:

Løsning... Vi skriver og transformerer systemets udvidede matrix:

Som et resultat af transformationerne indeholder den sidste linje kun nuller. Det betyder, at antallet af ligninger er faldet med en:

Efter forenklinger er der således to ligninger, og der er fire ukendte, dvs. to ukendte "ekstra". Lad det være "overflødigt", eller som man siger, gratis variabler vil være x 3 og x 4. Derefter

Forudsat x 3 = 2-en og x 4 = b, vi får x 2 = 1–-en og x 1 = 2b–-en; eller i matrixform

En løsning skrevet på denne måde kaldes almindelige, siden ved at angive parametrene -en og b forskellige værdier, kan alle mulige løsninger af systemet beskrives. -en

Lad et system med lineære algebraiske ligninger blive givet, som skal løses (find sådanne værdier for de ukendte xi, der gør hver ligning af systemet til en ligestilling).

Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (være inkonsekvent).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Hav en unik løsning.

Som vi husker, er Cramers regel og matrixmetoden ikke anvendelig i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsekvent. Gauss metode – det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde løsninger på ethvert system af lineære ligninger, som i alle tilfælde vil føre os til svaret! Algoritmen til selve metoden fungerer ens i alle tre tilfælde. Hvis viden om determinanter er påkrævet i Cramer- og matrixmetoderne, er det for anvendelsen af ​​Gauss -metoden nødvendigt at kende kun aritmetiske operationer, hvilket gør den tilgængelig selv for folkeskoleelever.

Udvidede matrixtransformationer ( dette er systemets matrix - en matrix, der kun består af koefficienterne for de ukendte, plus en kolonne med frie termer) systemer af lineære algebraiske ligninger i Gauss -metoden:

1) med strenge matricer kan omarrangere steder.

2) hvis proportionelle (som et specielt tilfælde - identiske) rækker dukkede op (eller er) i matricen, følger det slette fra matricen alle disse rækker undtagen en.

3) hvis en nul række dukkede op i matricen under transformationerne, så følger den også slette.

4) rækken af ​​matricen kan være multiplicere (dividere) til et andet tal end nul.

5) rækken af ​​matricen kan være tilføj endnu en streng ganget med et tal nul.

I Gauss -metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ​​ligningssystemet.

Gaussisk metode består af to faser:

1. "Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer reduceres den udvidede matrix af systemet med lineære algebraiske ligninger til en "trekantet" trinvis form: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalet er lig med nul ("top- ned ”flytte). For eksempel til denne formular:

For at gøre dette udfører vi følgende handlinger:

1) Antag, at vi overvejer den første ligning af et system af lineære algebraiske ligninger og koefficienten ved x 1 er K. Den anden, tredje osv. ligningerne transformeres som følger: hver ligning (koefficienter for ukendte, inklusive frie termer) divideres med koefficienten for det ukendte x 1, stående i hver ligning og ganget med K. Derefter trækker vi den første fra den anden ligning (koefficienter for ukendte og gratis vilkår). Vi får koefficienten 0 for x 1 i den anden ligning. Træk den første ligning fra den tredje transformerede ligning, indtil alle ligninger, bortset fra den første, med et ukendt x 1 har en koefficient på 0.

2) Gå til den næste ligning. Lad det være den anden ligning, og koefficienten ved x 2 er lig med M. Med alle de "lavere" ligninger fortsætter vi som beskrevet ovenfor. Således vil "under" det ukendte x 2 i alle ligninger være nuller.

3) Gå til den næste ligning og så videre, indtil der er en sidste ukendt og den transformerede frie term.

1. "Omvendt" af Gauss -metoden - opnåelse af en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom -up" -træk). Fra den sidste "lavere" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi elementærligningen A * x n = B. I eksemplet ovenfor, x 3 = 4. Erstat den fundne værdi i den "øvre" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. For eksempel x 2 - 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre, indtil vi finder alle de ukendte.

Eksempel.

Lad os løse systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss -metoden, som nogle forfattere rådgiver:

Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en enhed der. Problemet er, at der slet ikke er nogen i den første kolonne, så omlægning af rækkerne vil ikke løse noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Lad os gøre det:
Trin 1 ... Til den første linje tilføjes den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede den anden linje med –1 og tilføjede den første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er "minus en", hvilket er fint for os. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en yderligere handling: gang den første linje med –1 (skift dens tegn).

Trin 2 ... Den første linje ganget med 5 blev føjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

Trin 3 ... Den første linje blev ganget med -1, i princippet er dette for skønhed. Vi ændrede også tegnet på den tredje linje og flyttede det til andenpladsen, og på det andet trin har vi den nødvendige enhed.

Trin 4 ... Den anden række blev føjet til den tredje linje, ganget med 2.

Trin 5 ... Den tredje linje blev delt med 3.

Et tegn, der angiver en fejl i beregninger (sjældnere - en stavefejl) er den "dårlige" bundlinje. Det vil sige, hvis vi i bunden fik noget i retning af (0 0 11 | 23), og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan det med en høj grad af sandsynlighed hævdes, at der var en fejl lavet under elementære transformationer.

Vi udfører det omvendte træk, ved design af eksempler omskriver de ofte ikke selve systemet, men ligningerne "er taget direkte fra den givne matrix." Det modsatte træk, jeg minder dig om, fungerer "nedefra og op". I dette eksempel fik vi en gave:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 = 1, derfor x 1 + 3 - 1 = 1, x 1 = –1

Svar: x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lad os løse det samme system i henhold til den foreslåede algoritme. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divider den anden ligning med 5, og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Når vi multiplicerer den anden og tredje ligning med 4, får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ved at trække den første ligning fra den anden og tredje ligning har vi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divider den tredje ligning med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Gang den tredje ligning med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Ved at trække det andet fra den tredje ligning får vi en "trinvis" udvidet matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da fejlen akkumuleres under beregningerne, får vi således x 3 = 0,96 eller cirka 1.

x 2 = 3 og x 1 = –1.

Når du løser på denne måde, bliver du aldrig forvirret i beregningerne, og på trods af beregningsfejlene får du resultatet.

Denne metode til løsning af et system med lineære algebraiske ligninger er let programmerbar og tager ikke højde for koefficienternes specifikke egenskaber for ukendte, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) skal håndtere ikke-heltalskoefficienter.

Ønsker dig succes! Vi ses i klassen! Underviser Dmitry Aistrakhanov.

websted, med hel eller delvis kopiering af materialet, er et link til kilden påkrævet.

I dag har vi at gøre med Gauss -metoden til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger. Du kan læse om, hvilke slags systemer dette er i den tidligere artikel, der er dedikeret til at løse de samme SLAE'er efter Cramers metode. Gauss -metoden kræver ikke nogen specifik viden, kun opmærksomhed og konsistens er nødvendig. På trods af det faktum, at fra matematikens synspunkt er skoleforberedelse nok til dens anvendelse, for elever, der mestrer denne metode, forårsager ofte vanskeligheder. I denne artikel vil vi prøve at ophæve dem!

Gauss metode

M Gauss metode- den mest alsidige metode til løsning af SLAE'er (undtagen meget store systemer). I modsætning til den tidligere diskuterede, er den ikke kun velegnet til systemer, der har en enkelt løsning, men også til systemer, der har et uendeligt antal løsninger. Der er tre muligheder her.

1. Systemet har en unik løsning (determinanten for systemets hovedmatrix er ikke lig med nul);
2. Systemet har et uendeligt antal løsninger;
3. Der er ingen løsninger, systemet er inkompatibelt.

Så vi har et system (lad det have en løsning), og vi kommer til at løse det ved hjælp af den gaussiske metode. Hvordan det virker?

Gauss metode består af to faser - frem og tilbage.

Fremadgående tværgang af den gaussiske metode

Først skriver vi systemets udvidede matrix ned. For at gøre dette skal du tilføje en kolonne med gratis medlemmer til hovedmatricen.

Hele essensen af ​​Gauss -metoden er at bringe en given matrix til en trinvis (eller, som man siger, trekantet) form ved hjælp af elementære transformationer. I denne form bør der kun være en nul under (eller over) matrixens hoveddiagonal.

Hvad du kan gøre:

1. Du kan omarrangere matrixens rækker på steder;
2. Hvis matrixen indeholder de samme (eller proportionelle) rækker, kan du slette dem alle på nær én;
3. Du kan gange eller dividere en streng med et vilkårligt tal (undtagen nul);
4. Nul linjer fjernes;
5. Du kan føje en streng til en streng ganget med et nummer uden nul.

Omvend den gaussiske metode

Efter vi har transformeret systemet på denne måde, en ukendt Xn bliver kendt, og du kan finde alle de resterende ukendte i omvendt rækkefølge og erstatte de allerede kendte x'er i systemets ligninger op til den første.

Når Internettet altid er ved hånden, kan du løse ligningssystemet ved hjælp af den gaussiske metode online. Du skal bare køre koefficienterne ind i onlineregnemaskinen. Men du må indrømme, at det er meget mere behageligt at indse, at eksemplet ikke blev løst af et computerprogram, men af ​​din egen hjerne.

Et eksempel på løsning af et ligningssystem med Gauss -metoden

Og nu - et eksempel, så alt bliver klart og forståeligt. Lad et system med lineære ligninger blive givet, og du skal løse det ved den gaussiske metode:

Lad os først skrive den udvidede matrix:

Lad os nu foretage transformationerne. Husk, at vi skal opnå et trekantet udseende for matrixen. Gang 1. række med (3). Multiplicer 2. række med (-1). Tilføj 2. linje til 1. og få:

Gang derefter den tredje række med (-1). Lad os tilføje den tredje linje til den anden:

Gang 1. række med (6). Multiplicer 2. række med (13). Lad os tilføje 2. linje til 1.:

Voila - systemet er bragt til den relevante form. Det er stadig at finde ubekendte:

Systemet i dette eksempel har en enkelt løsning. Vi vil overveje løsningen af ​​systemer med et uendeligt antal løsninger i en separat artikel. Måske ved du først ikke, hvor du skal begynde at transformere matrixen, men efter den passende praksis får du fingre i og klikker på SLAE ved hjælp af den gaussiske metode som nødder. Og hvis du pludselig støder på en SLAE, som viser sig at være for hård, skal du kontakte vores forfattere! du kan ved at efterlade en ansøgning i korrespondenskurset. Sammen løser vi ethvert problem!

Karl Friedrich Gauss, den største matematiker, tøvede længe og valgte mellem filosofi og matematik. Måske var det denne slags tankegang, der tillod ham at så mærkbart "arve" i verdensvidenskaben. Især ved at oprette den "gaussiske metode" ...

I næsten 4 år omhandlede artiklerne på dette websted skoleundervisning, hovedsageligt fra filosofiens side, principperne om (mis) forståelse, introduceret i børns sind. Tiden kommer til flere detaljer, eksempler og metoder ... Jeg tror, ​​at dette er tilgangen til velkendte, forvirrende og vigtig områder af livet giver de bedste resultater.

Vi mennesker er så indrettet, at uanset hvor meget man taler om abstrakt tænkning, men forståelse altid gennemgå eksempler... Hvis der ikke er eksempler, så er det umuligt at forstå principperne ... Ligesom det er umuligt at være på toppen af ​​et bjerg på anden måde end at have passeret hele skråningen fra foden.

Også med skolen: farvel levende historier ikke nok fortsætter vi instinktivt med at tænke på det som et sted, hvor børn læres at forstå.

For eksempel underviser Gauss -metoden ...

Gauss metode i skole klasse 5

Jeg tager en reservation med det samme: Gauss -metoden har en meget bredere anvendelse, f.eks. Når den løses systemer af lineære ligninger... Det, vi skal tale om, finder sted i 5. klasse. det Start efter at have forstået hvilket, er det meget lettere at forstå de mere "avancerede muligheder". I denne artikel taler vi om metode (metode) for Gauss, når man finder summen af ​​serien

Her er et eksempel bragt fra skolen af ​​min yngste søn, som går i 5. klasse i et gymnasium i Moskva.

Skoledemonstration af Gauss -metoden

Matematiklæreren, ved hjælp af en interaktiv tavle (moderne undervisningsmetoder), viste børnene en præsentation af historien om "at skabe en metode" af lille Gauss.

Skolelæreren piskede lille Karl (en forældet metode, der i dag ikke bruges på skoler), fordi han

i stedet for sekventielt at tilføje tallene fra 1 til 100 for at finde deres sum bemærket at par af tal, der er lige adskilt fra kanterne af den aritmetiske progression, lægger op til det samme tal. for eksempel 100 og 1, 99 og 2. Efter at have talt antallet af sådanne par, løste lille Gauss næsten øjeblikkeligt det problem, læreren foreslog. For hvilket han blev udsat for henrettelse foran det forbløffede publikum. Så at resten blev modløse til at tænke.

Hvad lille Gauss gjorde udviklede sig sans for antal? Bemærket nogle funktioner en talrække med et konstant trin (aritmetisk progression). OG præcis dette senere gjorde ham til en stor videnskabsmand, kunne lægge mærke til besidder følelse, forståelsesinstinkt.

Dette er værdien af ​​matematik, som udvikler sig evnen til at se generelt i særdeleshed - abstrakt tænkning... Derfor de fleste forældre og arbejdsgivere instinktivt betragter matematik som en vigtig disciplin ...

"Matematik læres først derefter, at det sætter sindet i orden.
MV Lomonosov ".

Men tilhængerne af dem, der piskede fremtidige genier med stænger, gjorde Metoden til noget modsat. Som min videnskabelige rådgiver sagde for 35 år siden: "Vi har lært spørgsmålet." Eller som min yngste søn sagde i går om Gauss -metoden: "Måske er det ikke værd at lave en stor videnskab ud af dette, ikk?"

Konsekvenserne af "forskernes" kreativitet er synlige i niveauet for den nuværende skolematematik, niveauet for dens undervisning og forståelse for "Videnskabens dronning" af flertallet.

Lad os dog fortsætte ...

Metoder til at forklare Gauss -metoden i klasse 5 -skolen

Matematiklæreren i Moskva gymnasium, der forklarede Gauss -metoden ifølge Vilenkin, komplicerede opgaven.

Hvad hvis forskellen (trin) i den aritmetiske progression ikke er et, men et andet tal? For eksempel 20.

Den opgave han gav til femteklasserne:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Inden vi stifter bekendtskab med gymnasiemetoden, lad os tage et kig på Internettet: hvordan gør skolelærere - matematiklærere det? ..

Gauss -metode: Forklaring # 1

En kendt underviser på sin YOUTUBE-kanal giver følgende begrundelse:

"skriv tallene fra 1 til 100 som følger:

først en række tal fra 1 til 50 og strengt under den en anden række med tal fra 50 til 100, men i omvendt rækkefølge "

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Bemærk: summen af ​​hvert par numre fra de øverste og nederste rækker er den samme og er lig med 101! Lad os tælle antallet af par, det er 50 og gange summen af ​​et par med antallet af par! Voila: The svaret er klar! "

"Hvis du ikke kunne forstå - vær ikke ked af det!" - gentog læreren tre gange i forklaringsprocessen. "Du vil bestå denne metode i 9. klasse!"

Gaussisk metode: Forklaring # 2

En anden underviser, mindre kendt (at dømme efter antallet af visninger), har en mere videnskabelig tilgang og tilbyder en 5-punkts løsningsalgoritme, der skal udfyldes i rækkefølge.

For de uindviede: 5 er et af de Fibonacci -tal, der traditionelt betragtes som magiske. 5-trinsmetoden er altid mere videnskabelig end f.eks. 6-trinsmetoden. ... Og dette er næppe en ulykke, sandsynligvis er forfatteren en skjult tilhænger af Fibonacci -teorien

Der gives en aritmetisk progression: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritme til at finde summen af ​​tallene i en serie ved hjælp af Gauss -metoden:

Trin 1: Omskriv den givne sekvens af tal omvendt, Nemlig under den første.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Trin 2: Beregn summen af ​​par af tal placeret i lodrette rækker: 260.

Trin 3: tæl hvor mange sådanne par der er i nummerserien. For at gøre dette skal du trække minimum fra det maksimale antal i de numeriske serier og dividere med trinstørrelsen: (256 - 4) / 6 = 42.

I dette tilfælde skal du huske ca. plus en regel : det er nødvendigt at tilføje en til den opnåede kvotient: ellers får vi et resultat, der er mindre med ét end det sande antal par: 42 + 1 = 43.

Trin 4: gang summen af ​​et par tal med antallet af par: 260 x 43 = 11 180

Trin 5: da vi har beregnet beløbet par af tal, så skal det modtagne beløb divideres med to: 11 180/2 = 5590.

Dette er den nødvendige sum af den aritmetiske progression fra 4 til 256 med en forskel på 6!

Gauss metode: forklaring i 5. klasse i et Moskva gymnasium

Og her er hvordan det var nødvendigt at løse problemet med at finde summen af ​​en serie:

20+40+60+ ... +460+480+500

i 5. klasse i Moskva gymnasium, Vilenkins lærebog (fra min søns ord).

Efter at have vist præsentationen viste matematiklæreren et par eksempler ved hjælp af Gauss -metoden og gav klassen et problem med at finde summen af ​​tallene i en serie med et trin på 20.

Dette krævede følgende:

Trin 1: Sørg for at skrive alle numrene i serien ned i en notesbog fra 20 til 500 (i trin på 20).

Trin 2: nedskrive på hinanden følgende termer - par af tal: den første med den sidste, den anden med den næstsidste osv. og beregne deres beløb.

Trin 3: Beregn "summen af ​​summer" og find summen af ​​hele serien.

Som du kan se, er dette en mere kompakt og effektiv teknik: tallet 3 er også medlem af Fibonacci -sekvensen

Mine kommentarer til skoleversionen af ​​Gauss -metoden

Den store matematiker ville helt sikkert have valgt filosofi, hvis han havde forudset, hvad hans "metode" tilhængere ville blive til. tysk lærer der piskede Karl med stænger. Han ville have set både symbolik og den dialektiske spiral og "lærernes" udødelige dumhed, forsøger at måle med algebra misforståelse af harmonien i levende matematisk tanke ....

I øvrigt: vidste du det. at vores uddannelsessystem er forankret i den tyske skole i det 18. og 19. århundrede?

Men Gauss valgte matematik.

Hvad er essensen af ​​hans metode?

V forenkling... V observere og gribe simple talmønstre. V gør tørskolearitmetik til interessant og spændende aktivitet , som aktiverer ønsket om at fortsætte i hjernen, frem for at blokere for dyr mental aktivitet.

Er det muligt ved en af ​​de ovennævnte "ændringer af Gauss -metoden" at beregne summen af ​​tallene for en aritmetisk progression næsten med det samme? Ifølge "algoritmerne" ville lille Karl med garanti undgå piskning, fremme en modvilje mod matematik og undertrykke hans kreative impulser ved roden.

Hvorfor rådgav læreren så insisterende femteklasserne "ikke til at være bange for at misforstå" metoden og overbeviste dem om, at de ville løse "sådanne" problemer allerede i 9. klasse? Psykologisk analfabeter. Det var en god modtagelse at markere: "Vi ses allerede i klasse 5 kan du løse problemer, som du først vil gå igennem efter 4 år! Sikke gode kammerater I er! "

For at bruge den gaussiske metode er en niveau 3 -klasse tilstrækkelig, når normale børn allerede ved, hvordan man tilføjer, multiplicerer og deler 2-3 cifrede tal. Problemer opstår på grund af manglende evne hos voksne lærere, der "ikke går ind", hvordan man forklarer de enkleste ting på normalt menneskeligt sprog, ikke kun i matematisk sprog ... Dem, der ikke er i stand til at interessere matematik og fuldstændigt afskrække selv dem, der er "dygtige".

Eller, som min søn kommenterede, "gør stor videnskab ud af det."

Hvordan (i det generelle tilfælde) finde ud af, hvilket tal der skal bruges til at "udvide" registreringen af ​​tal i metode nr. 1?

Hvad skal man gøre, hvis antallet af medlemmer i serien viser sig at være ulige?

Hvorfor blive til en "regel plus 1", hvad et barn simpelthen kunne assimilere stadig i første klasse, hvis jeg havde udviklet en "sans for tal", og huskede ikke"ti tæller"?

Og endelig: hvor forsvandt NUL, en genial opfindelse, der er mere end 2000 år gammel, og som moderne matematiklærere undgår at bruge?!.

Gauss metode, mine forklaringer

Min kone og jeg forklarede denne "metode" til vores barn, det ser ud til, selv før skolen ...

Enkelhed i stedet for komplikation eller et spil spørgsmål - svar

"Se, her er tallene fra 1 til 100. Hvad ser du?"

Det handler ikke om, hvad barnet vil se. Tricket er, at han skal kigge.

"Hvordan kan du folde dem?" Sønnen indså, at sådanne spørgsmål ikke bliver stillet "bare sådan", og at du skal se på spørgsmålet "på en eller anden måde anderledes, end han normalt gør"

Det er ligegyldigt, om barnet ser løsningen med det samme, det er usandsynligt. Det er vigtigt, at han holdt op med at være bange for at se, eller som jeg siger: "flyttede opgaven"... Dette er begyndelsen på vejen til forståelse

"Hvad er lettere: at tilføje f.eks. 5 og 6 eller 5 og 95?" Et ledende spørgsmål ... Men trods alt kommer enhver træning til at "guide" en person til "svaret" - på enhver måde acceptabel for ham.

På dette stadium kan der allerede opstå gæt om, hvordan man "sparer" på beregninger.

Alt, hvad vi gjorde, var antydning: "head-on, lineær" tællingsmetode er ikke den eneste mulige. Hvis barnet afkortede dette, vil han senere opfinde mange flere sådanne metoder, Det er interessant !!! Og han vil helt sikkert undgå en "misforståelse" af matematik, han vil ikke blive væmmet over det. Han fik en sejr!

Hvis barn opdaget at tilføjelsen af ​​par af tal, der giver i alt hundrede, er en bagatel øvelse, så "aritmetisk progression med en forskel på 1"- en ret kedelig og uinteressant ting for et barn - pludselig fundet liv for ham . Orden er opstået ud af kaos, og det inspirerer altid til entusiasme: sådan er vi!

Et vanskeligt spørgsmål: hvorfor, efter at barnet fik et indblik, igen kørte ham ind i rammerne af tørre algoritmer, desuden funktionelt ubrugelig i dette tilfælde?!

Hvorfor lave dum omskrivning sekvensnumre i en notesbog: så selv de dygtige ikke har en eneste chance for at forstå? Statistisk set selvfølgelig, men masseuddannelse er rettet mod "statistik" ...

Hvor blev nul af?

Og alligevel er tilføjelse af tal, der tilføjer op til 100, meget mere acceptabelt for sindet end at give 101 ...

"School Gauss -metoden" kræver præcis dette: tankeløst fold talpar, der er lige langt fra midten af ​​progressionen, uanset hvad.

Og hvis du kigger?

Nul er trods alt menneskehedens største opfindelse, som er mere end 2.000 år gammel. Og matematiklærerne ignorerer ham fortsat.

Det er meget lettere at konvertere en række tal, der starter med 1 til en serie, der starter med 0. Summen ændres ikke, vel? Du skal stoppe med at "tænke med lærebøger" og begynde at kigge ... Og for at se, at par med summen af ​​101 kan erstattes af par med summen af ​​100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Hvordan fjerner jeg plus 1 -reglen?

For at være ærlig, hørte jeg først om en sådan regel fra den YouTube -underviser ...

Hvad gør jeg stadig, når det er nødvendigt at bestemme antallet af medlemmer i en række?

Jeg ser på rækkefølgen:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

og når du er helt træt, så til en enklere række:

1, 2, 3, 4, 5

og jeg anslår: hvis du trækker en fra 5, får du 4, men jeg er ganske klar se 5 tal! Derfor skal du tilføje en! Talsfølelsen, der er udviklet i folkeskolen, antyder: selvom antallet af medlemmer i rækken er et helt Google (10 til den hundrede magt), vil mønsteret forblive det samme.

Hvad med reglerne? ..

At fylde hele mellemrummet mellem panden og baghovedet om et par eller tre år og stoppe med at tænke? Og hvordan tjener man brød og smør? Vi bevæger os trods alt i lige rækker ind i den digitale økonomis æra!

Mere om Gauss skolemetode: "hvorfor gøre videnskab ud af dette? .."

Det var ikke for ingenting, at jeg postede et skærmbillede fra min søns notesbog ...

"Hvad var der i lektionen?"

"Nå, jeg tællede med det samme, løftede hånden, men hun spurgte ikke. Derfor, mens de andre tællede, begyndte jeg at lave DZ på russisk for ikke at spilde tid. Derefter, da de andre var færdige med at skrive (? ??), kaldte hun mig til tavlen. Jeg sagde svaret. "

”Det er rigtigt, vis mig hvordan du løste det,” sagde læreren. Jeg viste. Hun sagde: "Forkert, du skal tælle, som jeg viste!"

"Det er godt, at jeg ikke satte to. Og jeg fik mig til at skrive" løsningens forløb "på deres sprog i notesbogen. Hvorfor gøre en stor videnskab ud af det her? .."

Matematiklærerens hovedforbrydelse

Næppe efter den sag Karl Gauss havde en stor respekt for sin matematiklærer i skolen. Men hvis han vidste hvordan tilhængere af den lærer forvrænge selve essensen af ​​metoden... han ville have brølet med forargelse og gennem Verdens Intellektuelle Ejendomsorganisation sikrede WIPO et forbud mod brugen af ​​hans gode navn i skolebøger! ..

I hvad skolens tilgangs største fejl? Eller, som jeg udtrykker det, skolematematiklærernes forbrydelse mod børn?

Algoritme for misforståelser

Hvad gør skolemetodologer, hvor langt de fleste ikke ved, hvordan de skal tænke?

Metoder og algoritmer oprettes (se). det en defensiv reaktion, der beskytter lærere mod kritik ("Alt foregår efter ..."), og børn mod forståelse. Og dermed - fra ønsket om at kritisere lærere!(Andet afledt af bureaukratisk "visdom", en videnskabelig tilgang til problemet). En person, der ikke fatter betydningen, vil snarere bebrejde sin egen misforståelse, og ikke skolesystemets dumhed.

Det er præcis det, der sker: Forældre bebrejder deres børn og lærere ... det samme med børn, der “ikke forstår matematik! ..

Tør du?

Hvad lavede lille Karl?

Absolut ukonventionel nærmede sig en skabelonopgave... Dette er essensen af ​​hans tilgang. det det vigtigste, der skal undervises i skolen: tænk ikke med lærebøger, men med dit hoved... Selvfølgelig er der også en instrumentel komponent, der kan bruges ganske godt ... på jagt efter enklere og mere effektive tællemetoder.

Gauss metode ifølge Vilenkin

Skolen lærer, at Gauss -metoden er at

i par find summen af ​​tal, der er lige langt fra kanterne på en talserie, helt sikkert ud fra kanterne!

find antallet af sådanne par osv.

hvad, hvis antallet af elementer i serien viser sig at være ulige, som i problemet blev du spurgt til din søn? ..

"Fangsten" er det i dette tilfælde du skal finde rækkens "ekstra" nummer og tilføj det til summen af ​​parrene. I vores eksempel er dette tal 260.

Hvordan opdager man? Omskriver alle par numre i en notesbog!(Det er derfor, læreren tvang børnene til at udføre dette dumme job og forsøgte at lære "kreativitet" ved hjælp af Gauss -metoden ... Og derfor er en sådan "metode" praktisk talt ikke anvendelig for store dataserier, og derfor er det er ikke en gaussisk metode).

Lidt kreativitet i skolens rutine ...

Sønnen handlede anderledes.

Først bemærkede han, at det er lettere at gange tallet 500, ikke 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Så fandt han ud af: antallet af trin viste sig at være ulige: 500/20 = 25.

Derefter tilføjede han ZERO til begyndelsen af ​​serien (selvom det var muligt at kassere den sidste periode i serien, hvilket også ville sikre paritet) og tilføjede tallene til i alt 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 trin er 13 par "fem hundrede": 13 x 500 = 6500 ..

Hvis vi har kasseret det sidste udtryk i serien, så vil der være 12 par, men vi skal ikke glemme at tilføje de "kasserede" femhundrede til resultatet af beregningerne. Derefter: (12 x 500) + 500 = 6500!

Ikke svært, ikke?

Og i praksis er det endnu lettere, hvilket giver dig mulighed for at udskære 2-3 minutter på DZ på russisk, mens resten "tæller". Derudover bevarer den antallet af trin i metodologien: 5, hvilket ikke tillader kritik af tilgangen for at være uvidenskabelig.

Denne fremgangsmåde er naturligvis enklere, hurtigere og mere universel i metoden. Men ... læreren roste ikke bare, men fik mig til at omskrive på den "rigtige måde" (se skærmbillede). Det vil sige, at hun gjorde et desperat forsøg på at kvæle den kreative impuls og evnen til at forstå matematik ved roden! Tilsyneladende, så for at ansætte en vejleder ... angreb jeg den forkerte ...

Alt, hvad jeg har beskrevet så længe og kedeligt, kan forklares for et normalt barn på maks. En halv time. Sammen med eksempler.

Og så han aldrig vil glemme det.

Og det vil det skridt til forståelse... ikke bare matematik.

Indrøm det: hvor mange gange i dit liv har du tilføjet den gaussiske metode? Og jeg aldrig!

Men forståelsesinstinkt, som udvikler (eller slukker) i processen med at studere matematiske metoder i skolen ... Åh! .. Dette er virkelig en uerstattelig ting!

Især i den universelle digitaliserings tidsalder, som vi umærkeligt gik ind i under streng ledelse af partiet og regeringen.

Et par ord til forsvar for lærerne ...

Det er uretfærdigt og forkert at bebrejde skolelærere udelukkende for denne læringsstil. Systemet fungerer.

Nogle lærere forstår det absurde i det, der sker, men hvad skal de gøre? Loven om uddannelse, forbundsstatens uddannelsesstandarder, metoder, teknologiske kort over lektioner ... Alt skal gøres "i overensstemmelse og på grundlag" og alt skal dokumenteres. Et skridt til siden - kom i kø for at blive fyret. Lad os ikke være hyklere: Moskvas læreres løn er meget god ... De vil fyre - hvor skal de hen? ..

Derfor er dette websted ikke om uddannelse... Han om individuel uddannelse, den eneste mulige måde at komme ud af mængden generation Z ...

Vi fortsætter med at overveje systemer med lineære ligninger. Denne lektion er den tredje om emnet. Hvis du har en vag idé om, hvad et system af lineære ligninger generelt er, har du lyst til en tekande, så anbefaler jeg at starte med det grundlæggende på siden Yderligere er det nyttigt at studere lektionen.

Gauss metode er let! Hvorfor? Den berømte tyske matematiker Johann Karl Friedrich Gauss blev i sin levetid anerkendt som den største matematiker nogensinde, et geni og endda kaldenavnet "matematikens konge". Og alt genialt, som du ved, er enkelt! I øvrigt får ikke kun sutter, men også genier betalt for penge - Gauss portræt stod på 10 Deutschmark -sedlen (før indførelsen af ​​euroen), og Gauss smiler stadig mystisk til tyskerne fra almindelige frimærker.

Gauss-metoden er enkel ved, at kendskabet til en 5-klasses elev er NØGT til at mestre den. Du skal kunne tilføje og formere! Det er ikke tilfældigt, at lærerne ofte overvejer metoden til successiv eliminering af ukendte på skolematiske valgfag. Paradoksalt nok er Gauss -metoden den sværeste for eleverne. Ikke underligt - hele pointen er i metodikken, og jeg vil forsøge at fortælle dig om metodens algoritme i en tilgængelig form.

Lad os først systematisere viden om systemer med lineære ligninger lidt. Et system af lineære ligninger kan:

1) Hav en unik løsning. 2) Har uendeligt mange løsninger. 3) Har ingen løsninger (være inkonsekvent).

Gaussisk metode er det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde en løsning nogen systemer af lineære ligninger. Som vi husker Cramers regel og matrixmetode uegnet i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkompatibelt. Og metoden til successiv eliminering af ukendte alligevel vil føre os til svaret! I denne lektion vil vi igen overveje Gauss-metoden for sag nr. 1 (den eneste løsning på systemet), en artikel er forbeholdt situationen i punkt nr. 2-3. Bemærk, at algoritmen til selve metoden fungerer ens i alle tre tilfælde.

Lad os gå tilbage til det enkleste system fra lektionen Hvordan løses et system af lineære ligninger? og løse det med Gauss -metoden.

I den første fase skal du skrive udvidet systemmatrix:. På hvilket princip koefficienterne er skrevet, tror jeg, at alle kan se. Den lodrette bjælke inde i matrixen har ingen matematisk betydning - det er blot en understregning for at lette designet.

reference : Jeg anbefaler at huske vilkår lineær algebra. Systemmatrix Er en matrix kun sammensat af koefficienterne med ukendte, i dette eksempel systemets matrix: . Udvidet systemmatrix - dette er den samme matrix for systemet plus en kolonne med gratis medlemmer, i dette tilfælde: ... Enhver af matricerne kan ganske enkelt kaldes en matrix.

Efter at systemets udvidede matrix er nedskrevet, er det nødvendigt at udføre nogle handlinger med det, som også kaldes elementære transformationer.

Der er følgende elementære transformationer:

1) Strenge matricer kan omarrangere steder. For eksempel i den overvejede matrix kan du smertefrit omarrangere den første og anden række:

2) Hvis matrixen indeholder (eller vises) proportionale (som et specielt tilfælde - de samme) rækker, følger den slette fra matricen alle disse rækker undtagen en. Overvej f.eks. Matrixen ... I denne matrix er de sidste tre rækker proportionale, så det er nok kun at efterlade en af ​​dem: .

3) Hvis en nul række dukkede op i matrixen under transformationerne, følger den også slette... Jeg vil naturligvis ikke tegne, nullinjen er den linje, hvori et nuller.

4) Matrixens række kan være multiplicere (dividere) med et hvilket som helst nummer, nul... Overvej f.eks. En matrix. Her er det tilrådeligt at dividere den første linje med –3, og den anden linje til at gange med 2: ... Denne handling er meget nyttig, da den forenkler yderligere matricetransformationer.

5) Denne transformation er den sværeste, men faktisk er der heller ikke noget kompliceret. Til en række af en matrix kan du tilføj endnu en streng ganget med et tal nul. Overvej vores matrix fra et praktisk eksempel :. Først vil jeg beskrive konverteringen i detaljer. Gang den første linje med –2: , og til den anden linje tilføjes den første linje ganget med –2: ... Nu kan den første linje deles "tilbage" med –2 :. Som du kan se, den linje, der tilføjer LEE – ikke har ændret sig. Er altidændrer linjen TIL SOM TILFØJELSEN UT.

I praksis beskriver de naturligvis ikke så detaljeret, men skriver kortere: Endnu en gang: til den anden linje tilføjede den første linje ganget med –2... Strengen multipliceres normalt oralt eller på et udkast, mens beregningernes mentale forløb er sådan noget:

“Jeg omskriver matricen og omskriver den første linje: »

“Første kolonne først. I bunden skal jeg få nul. Derfor multiplicerer jeg enheden øverst med –2 :, og tilføjer den første til den anden linje: 2 + (–2) = 0. Jeg skriver resultatet ind i den anden linje: »

“Nu til den anden kolonne. Over –1 ganget med –2 :. Jeg tilføjer den første til den anden linje: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet ind i den anden linje: »

“Og den tredje kolonne. Over –5 ganget med –2 :. Jeg tilføjer den første til den anden linje: –7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet ind i den anden linje: »

Vær venlig at forstå dette eksempel omhyggeligt og forstå den sekventielle beregningsalgoritme, hvis du forstår dette, så er Gauss -metoden praktisk talt "i din lomme". Men selvfølgelig vil vi arbejde på denne transformation.

Elementære transformationer ændrer ikke løsningen af ​​ligningssystemet

! OPMÆRKSOMHED: betragtes som manipulationer ikke kan bruge, hvis du får tilbudt en opgave, hvor matricerne er givet "af sig selv". For eksempel med "klassisk" handlinger med matricer Du må under ingen omstændigheder omarrangere noget inde i matricerne! Lad os gå tilbage til vores system. Det skilles praktisk talt i stykker.

Vi nedskriver systemets udvidede matrix og reducerer det ved hjælp af elementære transformationer til trinvis udsigt:

(1) Den første linje ganget med –2 blev føjet til den anden linje. Og igen: hvorfor den første linje ganges nøjagtigt med –2? For at få nul i bunden, hvilket betyder at slippe af med en variabel i den anden linje.

(2) Divider den anden række med 3.

Målet med elementære transformationer – bringe matrixen til en trinvis form: ... I opgavens design er "stigen" markeret med en enkel blyant, og de numre, der er placeret på "trinene", er cirkelformede. Selve udtrykket "trintype" er ikke helt teoretisk, i videnskabelig og uddannelseslitteratur kaldes det ofte trapezformet udsigt eller trekantet udsigt.

Som et resultat af elementære transformationer opnåede vi tilsvarende det originale ligningssystem:

Nu skal systemet "vrides" i den modsatte retning - fra bund til top kaldes denne proces tilbagestående gaussisk metode.

I den lavere ligning har vi et færdigt resultat :.

Overvej den første ligning af systemet og erstat den allerede kendte værdi "spil" med det:

Lad os overveje den mest almindelige situation, når Gauss -metoden er nødvendig for at løse et system med tre lineære ligninger med tre ukendte.

Eksempel 1

Løs ligningssystemet efter Gauss -metoden:

Lad os nedskrive systemets udvidede matrix:

Nu vil jeg straks tegne det resultat, som vi vil komme frem til i løbet af løsningen: Og igen, vores mål er at bringe matrixen til en trinvis form ved hjælp af elementære transformationer. Hvor skal handlingen startes?

Først ser vi på nummeret øverst til venstre: Det burde næsten altid være her enhed... Generelt vil -1 være fint (og nogle gange andre tal), men på en eller anden måde skete det så traditionelt, at enheden normalt er placeret der. Hvordan organiserer man en enhed? Vi ser på den første kolonne - vi har en færdiglavet enhed! Første transformation: skift den første og tredje linje:

Nu forbliver den første linje uændret indtil slutningen af ​​løsningen.... Nu fint.

Enheden øverst til venstre er organiseret. Nu skal du få nuller på disse steder:

Vi får nullerne bare ved hjælp af den "svære" transformation. Først behandler vi den anden linje (2, –1, 3, 13). Hvad skal der gøres for at få nul i den første position? Nødvendig til den anden linje tilføjes den første linje ganget med –2... Mentalt eller på et kladde ganges den første linje med –2: (–2, –4, 2, –18). Og vi foretager konsekvent (igen mentalt eller på udkast) tilføjelse, til den anden linje tilføjes den første linje, der allerede er ganget med –2:

Vi skriver resultatet i den anden linje:

Vi behandler den tredje linje på samme måde (3, 2, –5, –1). For at få nul i den første position, har du brug for til den tredje linje tilføjes den første linje ganget med –3... Mentalt eller på et kladde ganges den første linje med –3: (–3, –6, 3, –27). OG til den tredje linje tilføjes den første linje ganget med –3:

Vi skriver resultatet i den tredje linje:

I praksis udføres disse handlinger normalt oralt og registreres i et trin:

Du behøver ikke tælle alt på én gang og på samme tid... Beregningsrækkefølgen og "skrive" resultaterne konsekvent og normalt som dette: først omskriver vi den første linje, og vi puster os selv i lum - SEQUENTIAL og OPMÆRKSOMT:
Og jeg har allerede diskuteret det mentale forløb i selve beregningerne ovenfor.

I dette eksempel er det let at gøre, vi deler den anden linje med –5 (da alle tal er delelige med 5 uden rest). Samtidig deler vi den tredje linje med –2, fordi jo mindre tallene er, jo lettere er løsningen:

I sidste fase af elementære transformationer skal du få et andet nul her:

For det til den tredje linje tilføjes den anden linje ganget med –2:
Prøv selv at analysere denne handling - gang den anden linje mentalt med –2 og tilføj.

Den sidste handling er resultatens frisure, divider den tredje række med 3.

Som et resultat af elementære transformationer blev et ækvivalent indledende system af lineære ligninger opnået: Fedt nok.

Nu spiller omvendt den gaussiske metode ind. Ligningerne "slapper af" fra bund til top.

I den tredje ligning har vi allerede et færdigt resultat:

Vi ser på den anden ligning :. Betydningen af ​​"z" er allerede kendt, således:

Og endelig den første ligning :. "Ygrek" og "z" er kendt, sagen er lille:

Svar:

Som det allerede er blevet bemærket mange gange, er det for ethvert ligningssystem muligt og nødvendigt at kontrollere den fundne løsning, heldigvis er det let og hurtigt.

Eksempel 2

Dette er en gør-det-selv-prøve, en efterbehandlingsprøve og svaret i slutningen af ​​selvstudiet.

Det skal bemærkes, at din beslutningskursus må ikke falde sammen med mit beslutningsforløb, og dette er et træk ved Gauss -metoden... Men svarene skal være de samme!

Eksempel 3

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af den gaussiske metode

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en enhed der. Problemet er, at der slet ikke er nogen i den første kolonne, så omlægning af rækkerne vil ikke løse noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Jeg gjorde dette: (1) Til den første linje tilføjes den anden linje ganget med -1... Det vil sige, at vi mentalt gangede den anden linje med –1 og tilføjede den første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er "minus en", hvilket er fint for os. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra kropsbevægelse: gang den første linje med –1 (skift dens tegn).

(2) Den første linje ganget med 5 blev føjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

(3) Den første linje blev ganget med -1, i princippet er dette for skønhed. Vi ændrede også tegnet på den tredje linje og flyttede det til andenpladsen, og på det andet trin har vi den nødvendige enhed.

(4) Den anden række, ganget med 2, blev føjet til den tredje række.

(5) Den tredje linje blev delt med 3.

Et dårligt tegn, der angiver en fejl i beregninger (sjældnere - en stavefejl) er den "dårlige" bundlinje. Det vil sige, hvis vi i bunden fik noget i stil med, og følgelig , så kan det med en høj grad af sandsynlighed hævdes, at der er begået en fejl i løbet af elementære transformationer.

Vi opkræver det omvendte slag, ved udformningen af ​​eksempler bliver selve systemet ofte ikke omskrevet, og ligningerne "er taget direkte fra den givne matrix." Det modsatte træk, jeg minder dig om, fungerer nedefra og op. Ja, her viste gaven sig:

Svar: .

Eksempel 4

Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af den gaussiske metode

Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, den er noget mere kompliceret. Det er okay, hvis nogen bliver forvirret. Komplet løsning og prøvedesign i slutningen af ​​selvstudiet. Din løsning kan afvige fra min løsning.

I den sidste del vil vi overveje nogle af funktionerne i Gauss -algoritmen. Den første funktion er, at nogle gange mangler nogle variabler i systemets ligninger, for eksempel: Hvordan skriver man den udvidede systemmatrix korrekt? Jeg har allerede talt om dette øjeblik i lektionen. Cramers regel. Matrix metode... I systemets udvidede matrix satte vi nuller i stedet for de manglende variabler: I øvrigt er dette et ret let eksempel, da der allerede er et nul i den første kolonne, og der er færre elementære transformationer, der skal udføres.

Den anden funktion er som følger. I alle de betragtede eksempler placerede vi enten –1 eller +1 på “trin”. Kan andre tal være der? I nogle tilfælde kan de. Overvej systemet: .

Her i øverste venstre "trin" har vi en to. Men vi bemærker det faktum, at alle tallene i den første kolonne er delelige med 2 uden en rest - og de to andre og seks. Og deucen øverst til venstre passer til os! I det første trin skal du udføre følgende transformationer: tilføj den første linje ganget med –1 til den anden linje; til den tredje linje tilføjes den første linje ganget med –3. Dette vil give os de ønskede nuller i den første kolonne.

Eller et andet betinget eksempel: ... Her passer de tre på det andet "trin" os også, da 12 (det sted, hvor vi skal få nul) er delelig med 3 uden en rest. Det er nødvendigt at udføre følgende transformation: til den tredje række tilføjes den anden række ganget med –4, hvorved det nul, vi har brug for, vil blive opnået.

Gauss -metoden er universel, men der er en særegenhed. Du kan med sikkerhed lære at løse systemer ved andre metoder (Cramers metode, matrixmetode) bogstaveligt talt første gang - der er en meget stiv algoritme. Men for at føle sig tryg ved Gauss-metoden bør du "fylde din hånd" og løse mindst 5-10 ti systemer. Derfor er forvirring, fejl i beregninger i første omgang mulig, og der er ikke noget usædvanligt eller tragisk i dette.

Regnfuldt efterårsvejr uden for vinduet .... Derfor, for alle, et mere komplekst eksempel på en uafhængig løsning:

Eksempel 5

Løs systemet med 4 lineære ligninger med fire ukendte ved hjælp af Gauss -metoden.

En sådan opgave i praksis er ikke så sjælden. Jeg tror, ​​at selv en tekande, der grundigt har studeret denne side, er algoritmen til løsning af et sådant system intuitivt klar. Grundlæggende er alt det samme - der er bare flere handlinger.

Tilfælde, hvor systemet ikke har nogen løsninger (inkonsekvent) eller har uendeligt mange løsninger, overvejes i lektionen Uforenelige systemer og systemer med en fælles løsning... Den betragtede algoritme til Gauss -metoden kan også rettes der.

Ønsker dig succes!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning : Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form.
Elementære transformationer udført: (1) Den første linje ganget med –2 blev føjet til den anden linje. Den første linje ganget med -1 blev føjet til den tredje linje. Opmærksomhed! Det kan være fristende at trække den første fra den tredje linje, jeg fraråder stærkt at trække fra - risikoen for en fejl øges kraftigt. Bare tilføj! (2) Tegnet på den anden linje blev ændret (ganget med –1). Den anden og tredje linje blev byttet. Bemærk at vi på "trinene" er tilfredse med ikke kun et, men også –1, hvilket er endnu mere bekvemt. (3) Den anden række blev føjet til den tredje række, ganget med 5. (4) Tegnet på den anden linje blev ændret (ganget med –1). Den tredje linje blev delt med 14.

Baglæns:

Svar : .

Eksempel 4: Løsning : Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Konverteringer udført: (1) Den anden blev tilføjet til den første linje. Således er den ønskede enhed organiseret i øverste venstre "trin". (2) Den første linje ganget med 7 blev føjet til den anden linje. Den første linje ganget med 6 blev tilføjet til den tredje linje.

Det andet trin bliver værre , "Kandidater" for det er tallene 17 og 23, og vi har brug for enten en eller -1. Transformationer (3) og (4) vil være rettet mod at opnå den ønskede enhed (3) Den anden linje blev føjet til den tredje linje, ganget med –1. (4) Den tredje linje blev føjet til den anden linje, ganget med –3. Det nødvendige på det andet trin modtages . (5) Den anden linje blev føjet til den tredje linje, ganget med 6. (6) Den anden linje blev ganget med -1, den tredje linje blev divideret med -83.

Baglæns:

Svar :

Eksempel 5: Løsning : Lad os nedskrive systemets matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Konverteringer udført: (1) Den første og anden linje er omvendt. (2) Den første linje ganget med –2 blev føjet til den anden linje. Den første linje ganget med –2 blev føjet til den tredje linje. Den første linje ganget med –3 blev føjet til den fjerde linje. (3) Den anden linje blev føjet til den tredje linje, ganget med 4. Den anden linje blev tilføjet til den fjerde linje, ganget med –1. (4) Tegnet på den anden linje blev ændret. Den fjerde linje blev delt med 3 og placeret i stedet for den tredje linje. (5) Den tredje linje ganget med –5 blev føjet til den fjerde linje.

Baglæns:

Svar :