Säännöt rakentamiseen kompassin ja viivaimen avulla. Piirustus kompassilla ja viivaimella

Jos on aivan luonnollista, että olettamalla suuremman valikoiman työkaluja osoittautuu mahdolliseksi ratkaista laajempi joukko rakennusongelmia, voidaan ennakoida, että päinvastoin työkaluille asetettujen rajoitusten puitteissa ratkaistavien ongelmien luokka kapenee. Sitäkin merkittävämpänä on pidettävä italialaisen tekemää löytöä Mascheroni (1750-1800):kaikki kompassilla ja viivaimella tehdyt geometriset rakenteet voidaan suorittaa vain yhdellä kompassilla. Tietenkin on määrättävä, että suoraa viivaa on mahdotonta vetää kahden tietyn pisteen läpi ilman viivainta, joten Mascheronin teoria ei kata tätä perusrakennetta. Sen sijaan on oletettava, että suora on annettu, jos sen kaksi pistettä on annettu. Mutta vain yhden kompassin avulla on mahdollista löytää kahden tällä tavalla määritellyn suoran leikkauspiste tai suoran ja ympyrän leikkauspiste.

Todennäköisesti yksinkertaisin esimerkki Mascheronin rakenteesta on tietyn segmentin AB kaksinkertaistaminen. Ratkaisu on jo annettu sivuilla 174-175. Lisäksi sivuilla 175-176 opimme jakamaan tämän segmentin kahtia. Katsotaan nyt, kuinka jaetaan puoleen ympyrän AB kaaresta, jonka keskipiste on O. Tässä on tämän rakenteen kuvaus (kuva 47). Säteellä AO piirretään kaksi kaarta, joiden keskipisteet A ja B. Pisteestä O lasketaan näille kaarille kaksi sellaista kaaria OP ja OQ siten, että OP = OQ = AB... Sitten löydämme kaaren leikkauspisteen R keskipisteen P ja säteen PB kanssa sekä kaaren keskipisteen Q ja säteen QA kanssa. Lopuksi ottamalla janan TAI säteeksi kuvataan kaari, jonka keskipiste on P tai Q kaaren AB leikkauspisteeseen saakka - leikkauspiste ja se on kaaren AB haluttu keskipiste. Todistus jätetään lukijalle harjoitukseksi.

Mascheronin perusväitteen todistaminen olisi mahdotonta osoittamalla jokaiselle kompassilla ja viivaimella tehdylle konstruktiolle, kuinka se voidaan suorittaa yhdellä kompassilla: mahdollisia rakenteita on loppujen lopuksi lukemattomia. Mutta saavutamme saman tavoitteen, jos toteamme, että jokainen seuraavista perusrakenteista on toteutettavissa yhdellä kompassilla:

1. Piirrä ympyrä, jos sen keskipiste ja säde on määritetty.
2. Etsi kahden ympyrän leikkauspisteet.
3. Etsi suoran ja ympyrän leikkauspisteet.
4. Etsi kahden suoran leikkauspiste.

Mikä tahansa geometrinen rakenne (tavallisessa merkityksessä oletuksena kompassista ja viivaimesta) koostuu näiden alkeisrakenteiden äärellisen sarjan suorittamisesta. On selvää, että kaksi ensimmäistä niistä ovat toteutettavissa yhdellä kompassilla. Vaikeammat rakenteet 3 ja 4 suoritetaan käyttämällä edellisessä kappaleessa käsiteltyjä inversioominaisuuksia.

Siirrytään konstruktioon 3: löydämme tämän ympyrän C leikkauspisteet suoralla, joka kulkee näiden pisteiden A ja B kautta. Piirrämme kaaria, joiden keskipisteet A ja B ja säteet ovat vastaavasti yhtä suuria kuin AO ja BO, lukuun ottamatta pistettä O. , ne leikkaavat pisteessä P. Muodostetaan sitten piste Q vastapäätä pistettä P suhteessa ympyrään C (katso sivulla 174 kuvattu konstruktio). Piirrä lopuksi ympyrä, jonka keskipiste on Q ja säde QO (se leikkaa varmasti C:n): sen leikkauspisteet X ja X "ympyrän C kanssa ovat haluttuja. Sen todistamiseksi riittää todeta, että jokainen piste X ja X" ovat samalla etäisyydellä O:sta ja P:stä (kuten pisteille A ja B, niiden analoginen ominaisuus seuraa välittömästi konstruktiosta). Todellakin riittää, kun viitataan siihen, että pistettä Q vastapäätä oleva piste on pisteistä X ja X "etäisyyden päässä, joka on yhtä suuri kuin ympyrän C säde (katso sivu 173). On syytä huomata, että ympyrä, joka kulkee pisteiden X, X" ja O kautta, on käänteinen suora AB käänteisesti ympyrän C suhteen, koska tämä ympyrä ja suora AB leikkaavat C:n samoissa pisteissä. (Inversion aikana kantaympyrän pisteet pysyvät liikkumattomina.) Esitetty rakenne on mahdoton toteuttaa vain, jos suora AB kulkee keskipisteen C kautta. Mutta silloin leikkauspisteet voidaan löytää sivulla 178 kuvatun rakenteen avulla, koska kaarien C keskipisteet, jotka saadaan, kun piirretään mielivaltainen ympyrä, jonka keskipiste on B ja joka leikkaa C:n pisteissä B 1 ja B 2.

Ympyrän piirtämismenetelmä, "kaksi annettua pistettä yhdistävän suoran käänteisviiva antaa välittömästi konstruktion, joka ratkaisee tehtävän 4. Olkoon suorat pisteillä A, B ja A", B "(Kuva 50) Piirrä mielivaltainen ympyrä C ja yllä olevalla menetelmällä rakennamme ympyröitä, jotka ovat käänteisiä suorille AB ja A "B". Nämä ympyrät leikkaavat pisteessä O ja vielä yhdessä pisteessä Y, piste X, vastapäätä pistettä Y, on haluttu leikkauspiste piste: kuinka se rakennetaan, on jo selitetty yllä. Mikä X on haluttu piste, tämä on selvää siitä tosiasiasta, että Y on ainoa piste, joka on vastakkainen pisteen kanssa, joka kuuluu samanaikaisesti molempiin suoriin AB ja A "B", joten pisteen X, vastapäätä Y:tä, on oltava samanaikaisesti kohdassa AB ja A "B" ...

Nämä kaksi rakennetta lopettavat Mascheronin rakenteiden, joissa on sallittua käyttää vain kompasseja, ja tavallisten geometristen rakenteiden, joissa on kompassi ja suoraviiva, välisen vastaavuuden todistamisen.

Emme välittäneet yksittäisten ongelmien ratkaisun suloisuudesta, jota tarkastelimme täällä, koska tavoitteemme oli selvittää Mascheronin rakennusten sisäinen merkitys. Mutta esimerkkinä osoitamme myös säännöllisen viisikulmion rakentamisen; Tarkemmin sanottuna puhumme noin viiden pisteen löytämisestä ympyrästä, jotka voivat toimia säännöllisen viisikulmion kärkeinä.

Olkoon A mielivaltainen piste ympyrässä K. Koska säännöllisen sisäänkirjoitetun kuusikulmion sivu on yhtä suuri kuin ympyrän säde, ei ole vaikeaa siirtää K:n pisteitä B, C, D siten, että AB = BC = CD = 60 ° (kuvio 51). Piirrä kaaria, joiden keskipisteet A ja D säde on yhtä suuri kuin AC; anna niiden leikkaamisen pisteessä X. Sitten, jos O on K:n keskipiste, kaari, jonka keskipiste on A ja säde OX, leikkaa K:n pisteessä F, joka on kaaren BC keskipiste (katso sivu 178). Sitten kuvataan säteen K suuruisella säteellä kaaria, joiden keskipiste on F ja jotka leikkaavat K:n pisteissä G ja H. Olkoon Y piste, jonka etäisyydet pisteistä G ja H ovat yhtä suuret kuin OX ja joka on erotettu X:stä keskipiste O. Tässä tapauksessa jana AY kertaa on vaaditun viisikulmion sivu. Todistus esitetään lukijalle harjoituksena. On mielenkiintoista huomata, että rakentamisen aikana käytetään vain kolmea eri sädettä.

Vuonna 1928 tanskalainen matemaatikko Elmslev löysi Kööpenhaminan kirjakaupasta kopion kirjasta ns. Euclides Danicus julkaisi vuonna 1672 tuntematon kirjailija G. Morom. Otsikkosivulta oli mahdollista päätellä, että tämä oli vain yksi euklidisten "elementtien" versioista, joka oli varustettu ehkä toimituksellisella kommentilla. Mutta lähemmin tarkasteltuna kävi ilmi, että se sisältää täydellisen ratkaisun Mascheronin ongelmaan, joka löydettiin kauan ennen Mascheronia.

Harjoitukset. Seuraavassa on kuvaus Mohrin rakenteista. Tarkista, ovatko ne oikein. Miksi voidaan väittää, että ne ratkaisevat Mascheronin ongelman?

Inspiraationa Mascheronin tuloksista, Jacob Steiner (1796-1863) yritti tutkia rakenteita, jotka voidaan suorittaa vain yhdellä viivoittimella. Viivain ei tietenkään yksin vie sinua tietyn numeerisen kentän rajojen yli, ja siksi ei riitä kaikkien geometristen rakenteiden suorittaminen niiden klassisessa merkityksessä. Mutta sitäkin merkittävämpiä ovat Steinerin saavuttamat tulokset hänen esittämällään rajoituksella - käyttää kompassia vain kerran. Hän osoitti, että kaikki tason rakenteet, jotka voidaan suorittaa kompassin ja viivaimen avulla, voidaan suorittaa myös yhdellä viivaimella, jos on yksi kiinteä ympyrä, jonka keskipiste on. Nämä rakenteet edellyttävät projektiivisten menetelmien käyttöä, ja niitä kuvataan myöhemmin (katso s. 228).

* Et voi pärjätä ilman ympyrää ja lisäksi keskustaa. Esimerkiksi, jos ympyrä on annettu, mutta sen keskustaa ei ole määritetty, keskipistettä on mahdotonta löytää yhdellä viivaimella. Todistamme tämän nyt, viitaten kuitenkin myöhemmin todettuun tosiasiaan (ks. s. 252): tason muunnos itsessään on sellainen, että a) annettu ympyrä pysyy liikkumattomana, b) jokainen suora kulkee suoraksi, jossa ) kiinteän ympyrän keskipiste ei pysy paikallaan, vaan siirtyy. Jo tällaisen muunnoksen olemassaolo todistaa mahdottomaksi rakentaa tietyn ympyrän keskustaa käyttämällä yhtä viivainta. Itse asiassa, rakennusprosessista riippumatta, se koostuu useista eri vaiheista, jotka koostuvat suorien viivojen piirtämisestä ja niiden leikkauspisteiden löytämisestä keskenään tai tietyn ympyrän kanssa. Kuvitellaan nyt, että koko kuvio kokonaisuutena on ympyrä ja kaikki viivainta pitkin piirretyt viivat keskustaa rakennettaessa altistetaan muunnokselle, jonka olemassaolon olemme tässä olettaneet. Silloin on selvää, että muunnoksen jälkeen saatu luku täyttäisi myös kaikki rakentamisen vaatimukset; mutta tämän kuvion osoittama konstruktio johtaisi muuhun pisteeseen kuin annetun ympyrän keskipisteeseen. Tämä tarkoittaa, että kyseinen rakentaminen on mahdotonta.

Kolleginen YouTube

1 / 5

✪ Luokka 7, Oppitunti 22, Rakennukset kompassilla ja viivaimella

✪ Geometry 7 Circle Draw kompassilla ja viivaimella

✪ Piirrä kolmio kahdelle sivulle ja kulma niiden välille

✪ Geometria 7 Esimerkkejä rakennusongelmista

✪ Luokka 7, oppitunti 23, Esimerkkejä rakennustehtävistä

Tekstitykset

Esimerkkejä

Bisection ongelma... Jaa tämä segmentti kompassin ja viivaimen avulla AB kahteen yhtä suureen osaan. Yksi ratkaisuista näkyy kuvassa:

• Piirrä kompassilla ympyröitä, joiden keskipiste on pisteissä A ja B säde AB.
• Risteyspisteiden löytäminen P ja K kaksi rakennettua ympyrää (kaari).
• Piirrä jana tai viiva viivainta pitkin pisteiden läpi P ja K.
• Etsi janan haluttu keskipiste AB- risteyspiste AB ja PQ.

Muodollinen määritelmä

Rakennustehtävissä otetaan huomioon joukko seuraavia kohteita: tason kaikki pisteet, kaikki tason suorat ja tason kaikki ympyrät. Ongelman olosuhteissa määrätään aluksi joukko objekteja (jota pidetään konstruoituna). Rakennettujen objektien joukkoon saa lisätä (koonti):

1. mielivaltainen piste;
2. mielivaltainen piste annetulla suoralla;
3. mielivaltainen piste annetulla ympyrällä;
4. kahden annetun suoran leikkauspiste;
5. tietyn suoran ja tietyn ympyrän leikkauspisteet / tangentti;
6. kahden määritellyn ympyrän leikkauspisteet / tangentti;
7. mielivaltainen suora, joka kulkee tietyn pisteen kautta;
8. kahden tietyn pisteen kautta kulkeva suora viiva;
9. mielivaltainen ympyrä, joka on keskitetty tiettyyn pisteeseen;
10. mielivaltainen ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin kahden määritellyn pisteen välinen etäisyys;
11. ympyrä, jonka keskipiste on määritettyyn pisteeseen ja jonka säde on yhtä suuri kuin kahden määritetyn pisteen välinen etäisyys.

On käytettävä äärellistä määrää näitä operaatioita toisen objektijoukon rakentamiseksi, jotka ovat tietyssä suhteessa alkuperäisen joukon kanssa.

Rakennusongelman ratkaisu sisältää kolme olennaista osaa:

1. Kuvaus menetelmästä tietyn joukon muodostamiseksi.
2. Todiste siitä, että kuvatulla tavalla rakennettu joukko on todellakin tietyssä suhteessa alkuperäiseen joukkoon. Yleensä konstruktion todistus suoritetaan tavallisena lauseen todistuksena aksioomien ja muiden todistettujen lauseiden perusteella.
3. Kuvatun rakennusmenetelmän analyysi sen soveltuvuuden suhteen eri alkuolosuhteiden muunnelmiin sekä kuvatulla menetelmällä saadun ratkaisun ainutlaatuisuudesta tai epäainutlaatuisuudesta.

Tunnetut tehtävät

Toinen tunnettu ja ratkaisematon ongelma kompassin ja viivaimen avulla on kolmion rakentaminen kolmesta annetusta puolittajien pituudesta. Tätä tehtävää ei voi ratkaista jopa työkalulla, joka suorittaa kulman kolmiot, kuten tomahawk.

Sallitut viivasegmentit kompassin ja viivaimen avulla rakennettavaksi

Näiden työkalujen avulla on mahdollista luoda jana, jonka pituus on:

Jos haluat rakentaa segmentin, jonka pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin määritettyjen segmenttien pituuksien tulo, osamäärä ja neliöjuuri, on määritettävä yksikkösegmentti rakennetasolla (eli segmentti, jonka pituus on 1). Juurien erottaminen segmenteistä, joilla on muita luonnollisia asteita, jotka eivät ole 2:n potenssia, on mahdotonta kompassin ja viivaimen avulla. Joten esimerkiksi pituussegmentin rakentaminen kompassin ja viivaimen avulla yksikkösegmentistä on mahdotonta. Tämä tosiasia viittaa erityisesti siihen, että kuution kaksinkertaistamisen ongelma on ratkaisematon.

Mahdollisia ja mahdottomia rakenteita

Formaalisesta näkökulmasta minkä tahansa rakennustehtävän ratkaisu pelkistetään jonkin algebrallisen yhtälön graafiseksi ratkaisuksi, ja tämän yhtälön kertoimet liittyvät annettujen segmenttien pituuksiin. Siksi voidaan sanoa, että rakentamisongelma on pelkistetty jonkin algebrallisen yhtälön todellisten juurien löytämiseen.

Siksi on kätevää puhua luvun rakentamisesta - graafisesta ratkaisusta tietyn tyyppiseen yhtälöön.

Segmenttien mahdollisten rakenteiden perusteella seuraavat rakenteet ovat mahdollisia:

• Lineaaristen yhtälöiden ratkaisujen rakentaminen.
• Sellaisten yhtälöiden ratkaisujen rakentaminen, jotka pelkistyvät toisen asteen yhtälöiden ratkaisuiksi.

Toisin sanoen, on mahdollista rakentaa vain aritmeettisia lausekkeita vastaavia segmenttejä käyttämällä alkuperäisten lukujen neliöjuuria (annetut segmentin pituudet).

On tärkeää huomata, että on olennaista, että ratkaisu ilmaistaan ​​käyttämällä neliö- juuret, eivät mielivaltaisen asteen radikaalit. Vaikka algebrallisella yhtälöllä on ratkaisu radikaaleissa, tämä ei tarkoita mahdollisuutta rakentaa sen ratkaisua vastaava segmentti kompassin ja viivaimen avulla. Yksinkertaisin yhtälö on: x 3 - 2 = 0, (\ näyttötyyli x ^ (3) -2 = 0,) liittyy kuuluisaan kuution tuplaamisen ongelmaan, joka pelkistyy tähän kuutioyhtälöön. Kuten edellä mainittiin, ratkaisu tähän yhtälöön ( 2 3 (\ displaystyle (\ sqrt [(3)] (2)))) ei voida rakentaa kompassilla ja viivaimella.

Mahdollisuus rakentaa säännöllinen 17-kulmainen seuraa sen sivun keskikulman kosinin lausekkeesta:

cos ⁡ (2 π 17) = - 1 16 + 1 16 17 + 1 16 34 - 2 17 + (\ displaystyle \ cos (\ vasen ((\ frac (2 \ pi) (17)) \ oikea)) = - (\ frac (1) (16)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (17)) \; + \; (\ frac (1) (16)) (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) \; + \;) + 1 8 17 + 3 17 - 34 - 2 17 - 2 34 + 2 17, (\ displaystyle + (\ frac (1) (8)) (\ sqrt (17 + 3 (\ sqrt (17))) - (\ sqrt (34-2 (\ sqrt (17)))) - 2 (\ sqrt (34 + 2 (\ sqrt (17))))))) mikä puolestaan ​​​​seuraa mahdollisuudesta pelkistää muotoyhtälö x F n - 1 = 0, (\ näyttötyyli x ^ (F_ (n)) - 1 = 0,) missä F n (\ näyttötyyli F_ (n))- mikä tahansa Fermat-alkuluku muuttamalla muuttuja toisen asteen yhtälöksi.

Muunnelmia ja yleistyksiä

• Rakenteet yhdellä kompassilla. Mohr - Mascheroni -lauseen mukaan yhdellä kompassilla voit rakentaa minkä tahansa hahmon, joka voidaan rakentaa kompassilla ja viivaimella. Tässä tapauksessa suoraa pidetään rakennettuna, jos sille on määritetty kaksi pistettä.
• Piirrä yhdellä viivaimella. On selvää, että vain projektiivisesti invariantteja konstruktioita voidaan tehdä yhden viivaimen avulla. Erityisesti,
  • on mahdotonta edes jakaa segmentti kahteen yhtä suureen osaan,
  • on myös mahdotonta löytää tietyn ympyrän keskipistettä.

Mutta,

• jos tasossa on aiemmin piirretty ympyrä, jonka keskipiste on merkitty yhdellä viivaimella, voit suorittaa samat rakenteet kuin kompassilla ja viivaimella (

Tämän kappaleen materiaalia voidaan käyttää koulun ulkopuolisessa toiminnassa. Se voidaan esittää opiskelijoille sekä luennon muodossa että opiskelijaraporttien muodossa.

Monien vuosisatojen ajan on kiinnitetty paljon huomiota ongelmiin, jotka on pitkään tunnettu "antiikin kuuluisina ongelmina". Kolme kuuluisaa ongelmaa esiintyi yleensä tällä nimellä:

1) ympyrän neliöinti,

2) kulman kolmioleikkaus,

3) kuution tuplaaminen.

Kaikki nämä tehtävät syntyivät muinaisina aikoina ihmisten käytännön tarpeista. Niiden olemassaolon ensimmäisessä vaiheessa ne toimivat laskennallisina ongelmina: joidenkin "reseptien" mukaan laskettiin tarvittavien määrien likimääräiset arvot (ympyrän pinta-ala, ympärysmitta jne.). Näiden ongelmien historian toisessa vaiheessa niiden luonteessa tapahtuu merkittäviä muutoksia: niistä tulee geometrisia (konstruktioita) ongelmia.

Muinaisessa Kreikassa tänä aikana heille annettiin klassiset muotoilut:

1) rakentaa neliö, joka on yhtä suuri kuin annettu ympyrä;

2) jaa annettu kulma kolmeen yhtä suureen osaan;

3) rakentaa uuden kuution reuna, jonka tilavuus olisi kaksi kertaa annettu kuutio.

Kaikki nämä geometriset rakenteet ehdotettiin suoritettavaksi kompassin ja viivaimen avulla.

Näiden tehtävien muotoilun yksinkertaisuus ja "ylipääsemättömät vaikeudet", joita kohdattiin matkalla niiden ratkaisemiseen, vaikuttivat osaltaan niiden suosion kasvuun. Pyrkiessään antamaan tiukkoja ratkaisuja näihin ongelmiin antiikin kreikkalaiset tiedemiehet "matkan varrella" saivat monia tärkeitä tuloksia matematiikassa, mikä vaikutti hajallaan olevan matemaattisen tiedon muuttamiseen itsenäiseksi deduktiiviseksi tieteeksi (pythagoralaiset, Hippokrates Khios ja Arkhimedes lähtivät erityisen havaittava jälki tuolloin).

Kuution tuplaamisen ongelma.

Kuution kaksinkertaistamisen ongelma on seuraava: kun tiedät tietyn kuution reunan, konstruoi sellaisen kuution reuna, jonka tilavuus olisi kaksi kertaa tämän kuution tilavuus.

Olkoon a annetun kuution reunan pituus, x - vaaditun kuution reunan pituus. Olkoon on annetun kuution tilavuus ja on halutun kuution tilavuus, niin kuution tilavuuden laskentakaavan mukaan meillä on, että =, ja koska tehtävän ehdon mukaan tulemme yhtälöön.

Algebrasta tiedetään, että kokonaislukukertoimilla pelkistetyn yhtälön rationaaliset juuret voivat olla vain kokonaislukuja ja sisältyä yhtälön vapaan termin jakajien joukkoon. Mutta luvun 2 jakajat ovat vain luvut +1, - 1, +2, - 2, eikä mikään niistä täytä alkuperäistä yhtälöä. Näin ollen yhtälöllä ei ole rationaalisia juuria, mikä tarkoittaa, että kuution kaksinkertaistamisongelmaa ei voida ratkaista kompassin ja viivaimen avulla.

Kuution tuplaamisen ongelma kompassin ja viivaimen avulla voidaan ratkaista vain likimääräisesti. Tässä on yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista tämä ongelma.

Olkoon AB = BC = a ja ABBC. Rakennamme AD = AC, sitten CD 1% tarkkuudella. Todellakin, CD 1.2586…. Samaan aikaan = 1,2599….

Ympyrän neliöimisen ongelma.

Ongelman ratkaisemattomuuden perustelu kompassin ja viivaimen avulla.

Ympyrän neliöimisen ongelma on seuraava: rakenna neliö, joka on yhtä suuri kuin ympyrän koko.

Antaa olla annetun ympyrän säde, olla vaaditun neliön sivun pituus. Sitten pois täältä.

Näin ollen ympyrän neliöintiongelma ratkeaa, jos rakennamme pituussegmentin. Jos tietyn ympyrän säde otetaan yksikkösegmentiksi (= 1), niin asia pelkistetään pituisen segmentin rakentamiseksi yksikkösegmenttiä pitkin.

Kuten tiedät, tietäen yksikkösegmentin, voimme rakentaa kompassilla ja viivaimella vain ne segmentit, joiden pituudet ilmaistaan ​​rationaalilukuina käyttämällä äärellistä rationaalioperaatioiden joukkoa ja neliöjuurten poimimista ja ovat siksi algebrallisia lukuja. Tässä tapauksessa kaikkia algebrallisia lukuja ei käytetä. Et voi esimerkiksi piirtää viivaa pituudella jne.

Vuonna 1882 Lindemann osoitti sen olevan transsendenttinen. Tästä seuraa, että on mahdotonta rakentaa pituussegmenttiä kompassilla ja viivaimella, ja siksi näillä keinoilla ympyrän neliöimisen ongelma on ratkaisematon.

Likimääräinen ongelman ratkaisu kompassin ja viivaimen avulla.

Tarkastellaan yhtä menetelmistä likimääräisen viivaosien rakentamiseen. Tämä tekniikka on seuraava. Jaa neljäsosa ympyrästä AB, jonka keskipiste on pisteessä O ja jonka säde on puolet pisteellä C. Halkaisijan CD jatketaan sivuun jana DE, joka on yhtä suuri kuin säde. Pisteestä E vedetään säteet EA ja EB, kunnes ne leikkaavat tangentin pisteessä C. Leikkaussegmentti AB on suunnilleen yhtä suuri kuin kaaren AB pituus ja kaksinkertainen segmentti on yhtä suuri kuin puoliympyrä.

Tämän likiarvon suhteellinen virhe ei ylitä 0,227 %.

Kulman kolmiosainen ongelma.

Ongelman ratkaisemattomuuden perustelu kompassin ja viivaimen avulla.

Kulman kolmiulotteisen leikkauksen ongelma on seuraava: jaa annettu kulma kolmeen yhtä suureen osaan.

Rajataan ongelman ratkaisu kulmille, jotka eivät ylitä 90. Jos on tylppä kulma, niin = 180-, missä<90, так что, и поэтому задача о трисекции тупого угла сводится к задаче о трисекции острого угла.

Huomaa, että (yksikkösegmentin läsnä ollessa) kulman (90) muodostamisongelma vastaa segmentin x = cos muodostamisongelmaa. Todellakin, jos kulma on rakennettu, niin janan x = cos konstruktio pelkistetään suorakulmaisen kolmion rakentamiseen hypotenuusan ja terävän kulman perusteella.

Takaisin. Jos jana x muodostetaan, niin kulman rakentaminen siten, että x = cos pelkistetään suorakulmaisen kolmion rakentamiseen hypotenuusaa ja jalkaa pitkin.

Olkoon - annettu kulma, - vaadittu kulma, niin että =. Silloin cos = cos 3. Tiedetään, että cos 3 = 4cos-3cos. Siksi asettamalla cos = ja cos =, pääsemme yhtälöön:

cos = 4cos-3cos,

Jana ja siten kulma voidaan muodostaa vain, jos tällä yhtälöllä on vähintään yksi rationaalinen juuri. Mutta näin ei ole kaikkien kohdalla, ja siksi kulman kolmiosainen ongelma ei yleisesti ottaen ole ratkaistavissa kompassin ja suoran reunan avulla. Esimerkiksi. Kohdassa = 60 saamme = 1 ja saatu yhtälö on muodossa:. On helppo varmistaa, että tällä yhtälöllä ei ole rationaalista juuria, mikä tarkoittaa, että 60 asteen kulmaa ei voida jakaa kolmeen yhtä suureen osaan kompassin ja viivaimen avulla. Siten kulman kolmiosainen ongelma ei ole ratkaistavissa kompassilla ja viivaimella yleensä.

Likimääräinen ongelman ratkaisu kompassin ja viivaimen avulla.

Tarkastellaanpa Albert Durerin (1471-1528) ehdottamaa menetelmää ongelman likimääräiseksi ratkaisemiseksi kompassin ja viivaimen avulla.

Olkoon kulma ASB annettu. Kuvaamme mielivaltaisella säteellä olevasta kärjestä S ympyrän ja yhdistämme kulman sivujen leikkauspisteet ympyrään jänteen AB avulla. Jaamme tämän sointeen kolmeen yhtä suureen osaan pisteissä R ja R (A R = R R = RB). pisteistä A ja B, kuten keskuksista, säteillä A R = RB kuvataan kaaria, jotka leikkaavat ympyrän pisteissä T ja T. Suoritetaan RSAB. Säteillä A S = BS piirrä kaaria, jotka leikkaavat AB pisteissä U ja U. Kaaret AT, SS ja TB ovat keskenään yhtä suuret, koska ne vedetään yhteen yhtäläisillä jänteillä.

Löytääkseen kulman X ja X kolmiopisteet Dürer jakaa segmentit RU ja RU kolmeen yhtä suureen osaan pisteillä PV ja PV. Piirrä sitten säteillä AV ja BV kaaria, jotka leikkaavat ympyrän pisteissä X ja X. Yhdistämällä nämä pisteet S:ään, saadaan tämä kulman jako kolmeen yhtä suureen osaan hyvällä approksimaatiolla todellisiin arvoihin.

Tunnettu muinaisista ajoista lähtien.

Rakennustehtävissä seuraavat toiminnot ovat mahdollisia:

• Merkitse mielivaltaiseksi kohta tasossa, yhden rakennetun suoran piste tai kahden rakennetun suoran leikkauspiste.
• Käyttämällä kompassit piirrä ympyrä, jonka keskipiste on rakennetussa pisteessä ja jonka säde on yhtä suuri kuin kahden jo muodostetun pisteen välinen etäisyys.
• Käyttämällä hallitsijat piirrä suora viiva, joka kulkee kahden rakennetun pisteen läpi.

Tässä tapauksessa kompassia ja viivainta pidetään ihanteellisina työkaluina, erityisesti:

1. Yksinkertainen esimerkki

Segmentin jakaminen puoliksi

Tehtävä. Käytä kompassia ja viivainta tämän segmentin jakamiseen AB kahteen yhtä suureen osaan. Yksi ratkaisuista näkyy kuvassa:

• Rakennamme kompassin avulla ympyrän, jonka keskipiste on piste A säde AB.
• Rakenna ympyrä, jonka keskipiste on piste B säde AB.
• Risteyspisteiden löytäminen P ja K kaksi rakennettua ympyrää.
• Piirrä viivaimella jana, joka yhdistää pisteitä P ja K.
• Etsi leikkauspiste AB ja PQ. Tämä on segmentin haluttu keskipiste AB.

2. Säännölliset polygonit

Rakennusmenetelmät oikeat n-gonit varten ja .

4. Mahdolliset ja mahdottomat rakenteet

Kaikki rakenteet ovat vain ratkaisuja johonkin yhtälöön, ja tämän yhtälön kertoimet liittyvät annettujen segmenttien pituuksiin. Siksi on kätevää puhua luvun rakentamisesta - graafisesta ratkaisusta tietyn tyyppiseen yhtälöön.

Ruoansulatuskanavan vaatimusten puitteissa seuraavat rakenteet ovat mahdollisia:

Toisin sanoen voit rakentaa vain aritmeettisia lausekkeita vastaavia lukuja käyttämällä alkuperäisten lukujen (osien pituuksien) neliöjuuria. Esimerkiksi,

5. Variaatiot ja yleistykset

6. Hauskoja faktoja

• GeoGebra, Kig, KSEG - ohjelmat, joiden avulla voit rakentaa kompassin ja viivaimen avulla.

Kirjallisuus

• A. Adler. Geometristen rakenteiden teoria, Saksasta kääntänyt G. M. Fikhtengolts. Kolmas painos. L., Navchpedvid, 1940-232 s.
• I. Aleksandrov, Geometristen rakennusongelmien kokoelma, Kahdeksastoista painos, M., Navchpedvid, 1950-176 s.
• B.I. Argunov, MB Balk.

Geometriset rakennustehtävät

Kompassin ja viivaimen käyttäminen

8-A luokan opiskelija

Valvoja: Moskaeva V.N.,

matematiikan opettaja

Nižni Novgorod

Johdanto

Visualisointi, mielikuvitus kuuluvat enemmän taiteeseen, tiukka logiikka on tieteen etuoikeus. Tarkan päätelmän kuivuus ja visuaalisen kuvan eloisuus - "jää ja tuli eivät eroa niin paljon toisistaan". Geometria yhdistää nämä kaksi vastakohtaa.

A. D. Aleksandrov

Kun lähdemme kouluun, emme unohda laittaa portfolioomme kompassia, viivainta ja astemittaria. Nämä työkalut auttavat sinua piirtämään oikein ja piirtämään kauniisti. Näitä työkaluja käyttävät insinöörit, arkkitehdit, työntekijät, vaate- ja jalkinesuunnittelijat, rakentajat ja maisemasuunnittelijat. Vaikka tietokoneita on, mutta rakennustyömaalla, puutarhassa ei niitä vielä käytetä.

Kone piirtää hetkessä muutamassa sekunnissa. Matemaatikko joutuu viettämään melko paljon aikaa selittääkseen hänelle koneelle ymmärrettävällä kielellä, mitä hänen pitää tehdä - kirjoittaa ohjelma ja syöttää se koneeseen, siksi suunnittelijat haluavat usein työskennellä yksinkertaisimpien ja vanhimpien kanssa. työkalut - kompassit ja viivain.

Mikä voisi olla helpompaa? Sileä lauta, jossa suora reuna - viivain, kaksi terävää tikkua sidottu toiseen päähän - kompassi. Piirrä viivaimella suora viiva kahden annetun pisteen läpi. Kompassin avulla piirretään ympyröitä tietyllä keskipisteellä ja tietyllä säteellä, lykätään tätä vastaavaa segmenttiä.

Kompassi ja viivain ovat olleet tiedossa yli 3 tuhatta vuotta, ne tunnettiin jo, 200-300 vuotta sitten ne oli koristeltu koristeilla ja kuvioilla. Mutta tästä huolimatta he palvelevat meitä edelleen säännöllisesti. Yksinkertaisimmat työkalut riittävät valtavaan määrään rakenteita. Muinaiset kreikkalaiset luulivat, että näillä työkaluilla oli mahdollista tehdä mikä tahansa järkevä rakentaminen, kunnes he löysivät kolme merkittävää antiikin tehtävää: "ympyrän neliöinti", "kulman kolminleikkaus", "kuution kaksinkertaistaminen".

Siksi pidän työni aihetta ajankohtaisena ja tärkeänä ihmisen toiminnalle monilla ihmisen toiminnan osa-alueilla.

Kaikki tietävät varsin hyvin, että matematiikkaa käytetään monenlaisissa ammateissa ja elämäntilanteissa. Matematiikka ei ole helppo aine. Ja useimmat opiskelijat kutsuvat geometriaa "vaikeaksi". Rakennusongelmat ovat erilaisia ​​kuin perinteiset geometriaongelmat.

Rakennusongelmien ratkaiseminen kehittää geometrista ajattelua paljon täydellisemmin ja terävämmin kuin laskennallisten ongelmien ratkaiseminen ja voi aiheuttaa intohimoa työhön, mikä lisää uteliaisuutta ja halua laajentaa ja syventää geometrian opiskelua.

Rikkaasta historiallisesta menneisyydestä huolimatta rakennusongelmien ratkaisemisen ongelma on edelleen ajankohtainen 2000-luvulla. Meidän aikanamme tietokoneteknologiat kehittyvät nopeasti käyttämällä graafisia muokkausohjelmia geometristen objektien piirtämiseen. Geometristen objektien luomiskeinot ovat muuttuneet uusien tietokonetekniikoiden ilmaantumisen vuoksi. Kuitenkin, kuten muinaisina aikoina, geometristen esineiden rakentamisen pääelementit ovat ympyrä ja suora viiva, toisin sanoen kompassi ja viivain. Uusien tietoteknologioiden myötä syntyi uusia rakennusongelmia käyttämällä samoja esineitä - viiva ja ympyrä. Siksi rakennusongelmien ratkaisemisen ongelma tulee entistä kiireellisemmäksi.

Geometriaohjelmassa opitaan vain yksinkertaisimpia tekniikoita ja rakennusmenetelmiä. Mutta näiden tekniikoiden käyttö on usein vaikeaa. Siksi tutkimukseni kohteena ovat kompassin ja viivaimen avulla rakennetut geometriset hahmot.

Työni tarkoitus: pohtia erilaisia ​​tapoja muodostaa geometrisia muotoja kompassin ja viivaimen avulla.

Tutkimusmenetelmät:

ü Jo olemassa olevien rakennusmenetelmien analyysi

ü Etsi uusia menetelmiä, helppokäyttöisiä (GMT- ja Steiner-rakenne)

Tehtävät:

ü saada parempi käsitys erilaisista rakennustavoista

ü seurata tämän geometrian palan kehitystä matematiikan historiassa

ü jatkaa tutkimustaitojen kehittämistä.

Geometrisen rakentamisen historiasta kompassilla ja viivaimella.

Geometristen rakenteiden työkalujen perinteinen rajoitus juontaa juurensa muinaisista ajoista. Kirjassaan "Alku" Euclid (3. vuosisata eKr.) noudattaa tiukasti kompassin ja viivaimen suorittamia geometrisia rakenteita, vaikka hän ei mainitse instrumenttien nimiä missään. Rajoitukset näyttävät liittyneen siihen, että nämä työkalut korvasivat köyden, joka alun perin toimi sekä viivojen piirtämiseen että ympyröiden kuvaamiseen. Mutta monet historioitsijat-matemaatikot selittävät Eukleideen tekemän materiaalin valinnan sillä, että Platonin ja pythagoralaisten jälkeen hän piti vain suoraa ja ympyrää "täydellisinä" viivoina.

Geometristen muotojen rakentamisen taito oli pitkälle kehittynyt antiikin Kreikassa. Muinaiset kreikkalaiset matemaatikot 3000 vuotta sitten suorittivat rakentamisensa kahden laitteen avulla: tasaisella reunalla varustettu tasainen lauta - viivain ja kaksi terävää tikkua, jotka oli sidottu toiseen päähän - kompassi. Nämä yksinkertaiset työkalut kuitenkin riittivät suorittamaan valtavasti erilaisia ​​rakenteita. Muinaisista kreikkalaisista jopa tuntui, että näillä työkaluilla voitiin tehdä mikä tahansa älykäs rakentaminen, kunnes he kohtasivat kolme myöhemmin kuuluisaa tehtävää.

He ovat pitkään muuttaneet minkä tahansa suoraviivaisen hahmon kompassin ja viivaimen avulla sitä vastaavaksi mielivaltaiseksi suoraviivaiseksi hahmoksi. Erityisesti mikä tahansa suoraviivainen hahmo muutettiin samankokoiseksi neliöksi. Siksi on selvää, että ajatus näytti yleistävän tätä ongelmaa: rakentaa kompassin ja viivaimen avulla sellainen neliö, jonka pinta-ala olisi yhtä suuri kuin annetun ympyrän pinta-ala. Tätä ongelmaa kutsutaan ympyrän neliöimiseksi. Jäljet ​​tästä tehtävästä ovat nähtävissä jo toisella vuosituhannella eKr. muinaisissa kreikkalaisissa ja babylonialaisissa monumenteissa. Sen suora sijainti löytyy kuitenkin kreikkalaisista teoksista 5. vuosisadalla eaa.

Kaksi muuta antiikin ongelmaa ovat herättäneet merkittävien tiedemiesten huomion vuosisatojen ajan. Tämä on kuution kaksinkertaistamisen ongelma. Se koostuu kuution rakentamisesta kompassilla ja viivaimella, jonka tilavuus on kaksi kertaa suurempi kuin tämän kuution tilavuus. Sen esiintyminen liittyy legendaan, jonka mukaan Egeanmeren Deloksen saarella oraakkeli käski kaksinkertaistaa alttarin kuution muotoon pelastaakseen asukkaat ruttoepidemialta. Ja kolmas kulman kolmiosainen ongelma on kulman jakaminen kolmeen yhtä suureen osaan käyttämällä kompassia ja viivainta.

Nämä kolme ongelmaa, niin sanotut 3 kuuluisaa antiikin klassista ongelmaa, ovat herättäneet merkittävien matemaatikoiden huomion kahden vuosituhannen ajan. Ja vasta 1800-luvun puolivälissä todistettiin niiden päättämättömyys, eli näiden rakenteiden mahdottomuus vain kompassin ja viivaimen avulla. Matematiikassa nämä olivat ensimmäiset tulokset ongelmien ratkaisemattomuudesta, kun ratkaisukeinot osoitettiin. Niitä ei saatu geometrian, vaan algebran avulla (kääntämällä nämä ongelmat yhtälöiden kielelle), mikä jälleen kerran korosti matematiikan yhtenäisyyttä. Ratkaisulle alistumatta nämä ongelmat ovat rikastaneet matematiikkaa merkittävillä tuloksilla, johtaneet uusien matemaattisen ajattelun suuntien luomiseen.

Toinen mielenkiintoinen tehtävä kompassin ja viivaimen avulla rakentamisessa on säännöllisen monikulmion muodostaminen tietyllä määrällä sivuja. Muinaiset kreikkalaiset tiesivät kuinka rakentaa säännöllinen kolmio, neliö, säännöllinen viisikulmio ja 15 kulmio, sekä kaikki monikulmiot, jotka saatiin niistä kaksinkertaistamalla sivut, ja vain ne. Vasta vuonna 1796 suuri saksalainen matemaatikko CF Gauss keksi tavan rakentaa säännöllinen 17 kulmio kompassin ja viivaimen avulla ja osoitti kaikki N:n arvot, joilla on mahdollista rakentaa säännöllinen N-kulmio ilmoitetuin keinoin. . Carl Gauss, Göttingenin yliopiston fuksi, ratkaisi ongelman, jonka matematiikka oli epäonnistunut yli 2000 vuotta. Siten todistettiin mahdottomuus rakentaa kompassin ja viivaimen avulla oikeat 7, 9, 11, 13, 18, 21, 22, 23 jne. neliöitä.

Kompassin ja viivaimen rakentamisen teoriaa kehitettiin edelleen. Vastaus saatiin kysymykseen: onko mahdollista ratkaista ongelma käyttämällä vain toista kahdesta harkitusta työkalusta, ja melko odottamatonta. Riippumatta toisistaan ​​tanskalainen G. More vuonna 1672 ja italialainen L. Maskeroni vuonna 1797 osoittivat, että mikä tahansa kompassilla ja viivaimella ratkaistava rakennusongelma voidaan ratkaista tarkasti käyttämällä vain yhtä kompassia. Kuulostaa uskomattomalta, mutta sitä se on. Ja 1800-luvulla todistettiin, että mikä tahansa kompassilla ja viivaimella suoritettu rakentaminen voidaan suorittaa vain yhdellä viivaimella, jos tietty ympyrä on määritelty rakennustasossa ja sen keskipiste on merkitty.

3. Yksinkertaisimmat tehtävät geometristen kuvioiden rakentamiseen kompassin ja viivaimen avulla

Harkitse perus (alkeis) rakenteita, joita kohdataan useimmiten rakennusongelmien ratkaisukäytännössä. Tällaisia ​​ongelmia käsitellään jo koulukurssin ensimmäisissä luvuissa.

Rakentaminen 1. Tietyn janan muodostaminen.

Annettu: pituus a.

Rakentaa: segmentti AB, jonka pituus on a.

Rakentaa:

Rakentaminen 2. Muodostaa kulman, joka on yhtä suuri kuin annettu.

Annettu:∟AOB.

Rakentaa:∟ KMN yhtä suuri kuin ∟ AOB.

Rakentaa:

Rakentaminen 3. Jakson jakaminen kahtia (segmentin keskiosan rakentaminen).

Annettu: segmentti AB.

Rakentaa: piste O on AB:n keskipiste.

Rakentaa:

Rakentaminen 4. Kulman jakaminen kahtia (kulman puolittajan piirtäminen).

Annettu:∟ ABC.

Rakentaa:ВD on ∟АВС:n puolittaja.

Rakentaa:

Rakentaminen 5. Piirtää kohtisuoran tiettyyn pisteen kautta kulkevaan suoraan.

a) Annettu: viiva a, piste A a.

Rakentaa:

suora a.

Rakennus:

b) Annettu: suora a, piste A a.

Rakentaa: pisteen A kautta kulkeva suora viiva, joka on kohtisuorassa

suora a.

Rakentaa:

Rakennus 6... Muodostaa suoran, joka on yhdensuuntainen tietyn suoran kanssa ja kulkee tietyn pisteen kautta.

Annettu: suora a, piste A a.

Rakentaa: pisteen A kautta kulkeva suora, yhdensuuntainen suoran a kanssa.

Menetelmä I (kahden kohtisuoran läpi).

Rakentaa:

Menetelmä II (suunnikalan kautta).

Rakentaa:

Rakentaminen 7. Luo kolmion kolmelle sivulle.

Annettu: segmentit, joiden pituus on a, b, c.

Rakentaa:Δ ABC.

Rakentaa:

Rakentaminen 8. Luo kolmion kahdelle sivulle ja kulman niiden välille.

Annettu: segmentit, joiden pituus on b, c, kulma α.

Rakentaa: kolmio ABC.

Rakentaa:

Rakentaminen 9. Luo kolmion sivua ja kahta vierekkäistä kulmaa pitkin.

Annettu: segmentti, jonka pituus on c, kulmat α ja β.

Rakentaa:ΔABC.

Rakentaa:

Rakentaminen 10. Luo tangentin tietylle ympyrälle, joka kulkee tietyn pisteen kautta.

Annettu: ympyrä (O), piste A sen ulkopuolella.

Rakentaa: pisteen A kautta kulkevan ympyrän ω (O) tangentti.

Rakentaa:

Tarkasteltavat tehtävät sisällytetään komponentteina monimutkaisempien ongelmien ratkaisuun, joten jatkossa päärakennusten vaiheita ei kuvata.

Rakennusongelmien ratkaiseminen koostuu neljästä osasta:

1. Olettaen, että ongelma on ratkaistu, piirrämme käsin likimääräisen piirustuksen halutusta kuviosta ja tarkastelemme sitten piirrettyä kuviota huolellisesti yrittäen löytää ongelman datan ja haluttujen välillä sellaiset suhteet, joiden avulla voisimme vähentää ongelma muille aiemmin tiedossa. Tätä ongelmanratkaisun tärkeintä osaa, jonka tarkoituksena on laatia ratkaisusuunnitelma, kutsutaan nimellä analyysi.

2. Kun ratkaisusuunnitelma löytyy tällä tavalla, he toimivat sen mukaisesti. rakentaminen.

3. Todiste - suunnitelman oikeellisuuden tarkistamiseksi, he osoittavat tunnettujen lauseiden perusteella, että tuloksena oleva luku täyttää kaikki tehtävän vaatimukset.

4. Opiskelu - kysytään kahdella kysymyksellä:

1) Onko ratkaisu mahdollista millä tahansa tiedolla?

2) Kuinka monta ratkaisua on olemassa?

Tarkastellaan näiden vaiheiden soveltamista seuraavan ongelman ratkaisun esimerkillä.

Tehtävä: Muodosta kolmio tietäen sen kanta b, kantaa viereinen kulma A ja molempien sivujen summa s.

Analyysi: Oletetaan, että ongelma on ratkaistu, ts. löytyi sellainen ΔABS, jolle perusta AC = b, ∟BAC = A ja AB + BC = s... Harkitse nyt saatua piirustusta. Sivu KUTEN, yhtä suuri b, ∟BAC = A, osaamme rakentaa. Toiselta puolelta on siis vielä löydettävä ∟A sellainen kohta V niin että summa AB + BC tasa-arvoinen s... Jatkuu AB, aseta segmentti sivuun ILMOITUS yhtä kuin s... Nyt kysymys viedään siihen pisteeseen, että suoralla linjalla ILMOITUS löytää sellainen kohta V joka olisi yhtä kaukana KANSSA ja D... Tällaisen pisteen, kuten tiedämme, tulisi sijaita kohtisuorassa, joka on piirretty segmenttiin CD sen keskeltä läpi. Kohta V löytyy tämän kohtisuoran leikkauspisteestä kanssa ILMOITUS.

Rakentaa:

1. Rakennamme ∟A yhtä suuri kuin annettu kulma

2. Sen sivuilla me lykätä AC = b ja AD = s

3. Janan keskeltä CD piirrä kohtisuora OLLA

4. OLLA ylittää ILMOITUS pisteessä V

5. Yhdistä pisteet V ja KANSSA

6. ΔABC on haluttu.

Todiste:

Tarkastellaan saatua ΔABC, jossa ∟A on yhtä suuri kuin annettu kulma (konstruktion pisteen # 1 mukaan). Sivu AC = b(kohta 2) ja puolueet AB ja Aurinko lisää s:iin (kohdat 2, 3, 4). Siksi 1. kolmioiden yhtäläisyyden kriteerin mukaan ΔABS on haluttu.

Tutkimus:

1.Onko ratkaisu kaikkien tietojen kanssa mahdollinen?

Rakennetta huomioiden huomaamme, että tehtävä ei ole mahdollista millään tiedolla. Todellakin, jos summa s on asetettu liian pieneksi verrattuna b:hen, niin kohtisuora OLLA ei saa ylittää segmenttiä ILMOITUS(tai leikkaa sen jatkon pisteen D jälkeen), tässä tapauksessa tehtävä on mahdoton.

Ja rakenteesta riippumatta voidaan nähdä, että tehtävä on mahdoton, jos s< b tai s = b, koska ei voi olla sellaista kolmiota, jossa molempien sivujen summa olisi pienempi tai yhtä suuri kuin kolmas sivu.

2. Kuinka monta ratkaisua on olemassa?

Siinä tapauksessa, että ongelma on mahdollinen, sillä on vain yksi ratkaisu, ts. on vain yksi kolmio, joka täyttää tehtävän vaatimukset, koska kohtisuoran leikkauspiste OLLA suoralla viivalla ILMOITUS voi olla vain yhdessä kohdassa.