A cikk az egész számok maradékkal való osztásának fogalmát tárgyalja. Bizonyítsuk be az egész számok maradékkal való oszthatóságáról szóló tételt, és vizsgáljuk meg az osztók és osztók, a hiányos hányadosok és a maradékok közötti összefüggéseket. Tekintsük az egész számok maradékokkal való felosztásának szabályait, miután részletesen megvizsgáltuk példákkal. A megoldás végén ellenőrzést végzünk.

Egész számok maradékokkal való felosztásának megértése

Az egész számok maradékkal való osztását általánosított osztásnak tekintjük a természetes számok maradékával. Ez azért van így, mert a természetes számok az egész számok alkotórészei.

Egy tetszőleges szám maradékával való osztás azt jelenti, hogy az a egész szám osztható egy nullától eltérő b számmal. Ha b = 0, akkor a maradék osztás nem történik meg.

Csakúgy, mint a természetes számok maradékkal való osztását, az a és b egész számok osztását, ha b különbözik nullától, c és d végzi el. Ebben az esetben a-t és b-t osztónak és osztónak nevezzük, d pedig az osztás maradéka, c egy egész vagy egy nem teljes hányados.

Ha feltételezzük, hogy a maradék nemnegatív egész szám, akkor értéke nem nagyobb, mint a b szám modulusa. Írjuk fel így: 0 ≤ d ≤ b. Ezt az egyenlőtlenségi láncot 3 vagy több szám összehasonlításakor használjuk.

Ha c egy nem teljes hányados, akkor d egy a egész szám b-vel való osztásának maradéka, akkor röviden rögzíthetjük: a: b = c (d maradék).

Az a szám b-vel való osztásakor a maradék nulla lehet, akkor azt mondják, hogy a teljesen osztható b-vel, azaz maradék nélkül. A maradék nélküli osztás az osztás speciális esetének számít.

Ha a nullát elosztjuk valamilyen számmal, akkor nullát kapunk. Az osztás fennmaradó része is nulla lesz. Ez a nulla egész számmal való osztásának elméletére vezethető vissza.

Most nézzük meg az egész számok maradékkal való osztásának jelentését.

Ismeretes, hogy a pozitív egész számok természetesek, akkor maradékkal osztva ugyanazt a jelentést kapjuk, mint a természetes számok maradékkal való osztásakor.

Ha egy negatív egész számot osztunk egy b pozitív egész számmal, akkor van értelme. Nézzünk egy példát. Képzeljünk el egy olyan helyzetet, amikor a tételes tartozásunk van a összegben, amit b embernek kell visszafizetnie. Ehhez mindenki azonos hozzájárulása szükséges. Az egyes tartozás összegének meghatározásához figyelni kell a magán s összegére. A maradék d azt mondja, hogy a tartozások törlesztése utáni tételek száma ismert.

Vegyünk egy példát az almával. Ha 2 embernek 7 alma kell. Ha azt számoljuk, hogy mindenkinek 4 almát kell visszaadnia, a teljes számítás után 1 almát kap. Írjuk fel ezt egyenlőség formájában: (- 7): 2 = - 4 (o az 1-es ponttal).

Tetszőleges a szám egész számmal való osztásának nincs értelme, de lehetőség van rá.

Oszthatósági tétel maradékkal rendelkező egész számokra

Megállapítottuk, hogy a osztó, majd b osztó, c hiányos hányados, d pedig maradék. Rokonságban állnak egymással. Ezt az összefüggést az a = b c + d egyenlőséggel fogjuk bemutatni. A köztük lévő kapcsolatot a maradék oszthatósági tétel jellemzi.

Tétel

Bármely egész szám csak egész számon és nullától eltérő b számon keresztül ábrázolható a következő módon: a = b q + r, ahol q és r néhány egész szám. Itt 0 ≤ r ≤ b.

Bizonyítsuk be a = b q + r létezésének lehetőségét.

Bizonyíték

Ha két a és b szám van, és a osztható b-vel maradék nélkül, akkor a definícióból következik, hogy van egy q szám, ami igaz lesz az a = b q egyenlőség. Ekkor az egyenlőség igaznak tekinthető: a = b q + r r = 0 esetén.

Ekkor olyan q-t kell venni, hogy a b q egyenlőtlenség adja meg< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

Megvan, hogy az a - b q kifejezés értéke nagyobb nullánál és nem nagyobb a b szám értékénél, ebből következik, hogy r = a - b q. Azt kapjuk, hogy az a szám a = b q + r alakban ábrázolható.

Most meg kell fontolni annak lehetőségét, hogy a = b q + r ábrázolását b negatív értékei esetén.

A szám modulusa pozitívnak bizonyul, ekkor kapjuk a = b q 1 + r, ahol a q 1 érték valamilyen egész szám, r olyan egész szám, amely megfelel a 0 ≤ r feltételnek.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

Az egyediség bizonyítéka

Tegyük fel, hogy a = bq + r, q és r egész számok, amelyek valódi feltétele 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1és r 1 van néhány szám, hol q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .

Ha az egyenlőtlenséget kivonjuk a bal és a jobb oldalról, akkor 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 -t kapunk, ami r - r 1 = b · q 1 - q. Mivel a modulust használjuk, az r - r 1 = b q 1 - q egyenlőséget kapjuk.

Az adott feltétel azt mondja, hogy 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qés q 1- egész számok, ráadásul q ≠ q 1, akkor q 1 - q ≥ 1. Ebből adódik, hogy b q 1 - q ≥ b. Az eredményül kapott r - r 1 egyenlőtlenségek< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

Ebből következik, hogy az a szám nem ábrázolható más módon, csak az a = b q + r jelöléssel.

Az osztalék, az osztó, a hiányos hányados és a maradék közötti kapcsolat

Az a = b c + d egyenlőség segítségével megtalálhatja az ismeretlen a osztót, ha ismeri a b osztót hiányos c hányadossal és d maradékkal.

1. példa

Határozzuk meg az osztalékot, ha az osztásban - 21-et kapunk, a hiányos hányados 5 és a maradék 12.

Megoldás

Ki kell számítani az a osztót ismert b = - 21 osztóval, c = 5 hiányos hányadossal és d = 12 maradékkal. Rá kell térnünk az a = b c + d egyenlőségre, amelyből a = (- 21) 5 + 12-t kapjuk. A műveletek végrehajtásának sorrendjétől függően a - 21-et megszorozzuk 5-tel, ami után (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93-at kapunk.

Válasz: - 93 .

Az osztó és a hiányos hányados, valamint a maradék közötti összefüggés a b = (a - d): c, c = (a - d): b és d = a - b c egyenlőségekkel fejezhető ki. Segítségükkel kiszámolhatjuk az osztót, a parciális hányadost és a maradékot. Ennek lényege, hogy állandóan megtaláljuk a maradékot, miután egy a egész számot elosztunk b-vel, ismert osztóval, osztóval és hiányos hányadossal. A képlet d = a - b c. Nézzük meg részletesen a megoldást.

2. példa

Határozzuk meg egy -19 egész szám 3-mal való osztásának maradékát, amelynek ismert hiányos hányadosa egyenlő -7.

Megoldás

Az osztás maradékának kiszámításához alkalmazzuk a d = a - b · c képletet. Feltétel szerint minden adat elérhető a = - 19, b = 3, c = - 7. Ebből azt kapjuk, hogy d = a - bc = - 19 - 3 (- 7) = - 19 - (- 21) = - 19 + 21 = 2 (különbség - 19 - (- 21) Ezt a példát a következőképpen számítjuk ki: szabály egy negatív egész számot.

Válasz: 2 .

Minden pozitív egész szám természetes. Ebből következik, hogy az osztás az összes osztási szabály szerint történik a természetes számok maradékával. A természetes számok maradékával való osztás sebessége fontos, hiszen nem csak a pozitívak osztása, hanem a tetszőleges egészek osztásának szabályai is ezen alapulnak.

Az osztás legkényelmesebb módja az oszlop, mivel könnyebben és gyorsabban lehet hiányos vagy csak hányadost kapni a maradékkal. Tekintsük a megoldást részletesebben.

3. példa

Ossza el az 14671-et 54-gyel.

Megoldás

Ezt a felosztást egy oszlopban kell végrehajtani:

Vagyis a hiányos hányados 271, a maradék pedig 37.

Válasz: 14 671: 54 = 271. (37-es megálló)

Pozitív egész szám maradékával negatív egész számmal való osztás szabálya, példák

Egy pozitív szám maradékával egy negatív egész számmal való osztás végrehajtásához meg kell fogalmazni egy szabályt.

1. definíció

Hiányos hányados, ha egy pozitív egész számot osztunk egy negatív egész számmal b, az a számok abszolút értékét b-vel elosztva ellentétes számot kapunk a hiányos hányadossal. Ekkor a maradék egyenlő a maradékkal, ha a-t osztjuk b-vel.

Ebből az következik, hogy egy pozitív egész számot egy negatív egész számmal osztva nem teljes hányadost nem pozitív egész számnak tekintjük.

Megkapjuk az algoritmust:

• osztjuk az osztható modulusát az osztó modulusával, akkor hiányos hányadost kapunk és
• maradék;
• felírjuk a kapott számmal ellentétes számot.

Tekintsünk egy példát a pozitív egész szám negatív egész számmal való osztására szolgáló algoritmusra.

4. példa

A maradék 17-tel oszd el -5-tel.

Megoldás

Alkalmazzuk az osztás algoritmusát a pozitív egész szám maradékával egy negatív egész számmal. A 17-et el kell osztani - 5-tel modulo. Innen azt kapjuk, hogy a hiányos hányados egyenlő 3-mal, a maradék pedig 2-vel.

Azt kapjuk, hogy a szükséges számot elosztjuk 17-tel - 5 = - 3-mal, 2 maradékával.

Válasz: 17: (- 5) = - 3 (többi 2).

5. példa

Ossza el a 45-öt -15-tel.

Megoldás

A számokat modulo kell osztani. A 45-ös számot elosztjuk 15-tel, maradék nélkül megkapjuk a 3-as hányadost. Ez azt jelenti, hogy a 45-ös szám maradék nélkül osztható 15-tel. A válaszban - 3-at kapunk, mivel a felosztás modulo volt.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

Válasz: 45: (− 15) = − 3 .

A maradékkal való osztási szabály megfogalmazása a következő.

2. definíció

Ahhoz, hogy hiányos c hányadost kapjunk, amikor egy negatív egész számot osztunk egy pozitív b-vel, alkalmazni kell az adott szám ellentétét, és ki kell vonni belőle 1-et, majd a d maradékot a következő képlettel számítjuk ki: d = a - időszámításunk előtt.

A szabály alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy osztáskor nemnegatív egész számot kapunk. A megoldás pontossága érdekében azt az algoritmust használjuk, amely az a-t b-vel osztja maradékkal:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• oszt modulo;
• írja fel az ellenkező számot, és vonjon ki 1-et;
• használja a képletet a maradékhoz d = a - b · c.

Tekintsünk egy példát egy olyan megoldásra, ahol ezt az algoritmust alkalmazzák.

6. példa

Keresse meg a hiányos hányadost és az osztás maradékát - 17 5-tel.

Megoldás

Oszd el a megadott számokat modulo. Azt kapjuk, hogy elosztva a hányados 3, a maradék pedig 2. Mivel 3-at kaptunk, az ellenkezője a 3. 1-et ki kell vonni.

− 3 − 1 = − 4 .

A kívánt értéket kapjuk - 4.

A maradék kiszámításához a = - 17, b = 5, c = - 4, majd d = a - b c = - 17 - 5 (- 4) = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = szükséges. 3.

Ez azt jelenti, hogy az osztás hiányos hányadosa a - 4, a maradék pedig 3.

Válasz:(- 17): 5 = - 4 (többi 3).

7. példa

Ossza el az 1404 negatív egész számot pozitív 26-tal.

Megoldás

Oszloppal és öszvérrel kell osztani.

Megkaptuk a számok abszolút értékeinek osztását maradék nélkül. Ez azt jelenti, hogy az osztás maradék nélkül történik, és a kívánt hányados = -54.

Válasz: (− 1 404) : 26 = − 54 .

Osztási szabály negatív egész számok maradékával, példák

Meg kell fogalmazni egy osztási szabályt negatív egész számok maradékával.

3. definíció

Ahhoz, hogy egy a negatív egész számot egy b negatív egész számmal elosztva hiányos c hányadost kapjunk, modulo számításokat kell végezni, majd össze kell adni 1-et, majd a d = a - b · c képlet alapján végezhetünk számításokat.

Ebből következik, hogy a negatív egész számok osztásából származó hiányos hányados pozitív szám lesz.

Fogalmazzuk meg ezt a szabályt algoritmus formájában:

• keresse meg az osztó és az osztó moduljait;
• osztjuk az osztható modulusát az osztó modulusával, hogy hiányos hányadost kapjunk
• a maradék;
• 1 hozzáadása a hiányos hányadoshoz;
• a maradék kiszámítása a d = a - b · c képlet alapján.

Tekintsük ezt az algoritmust egy példa segítségével.

8. példa

Határozza meg a hiányos hányadost és a maradékot, amikor a - 17-et elosztja - 5-tel.

Megoldás

A megoldás helyessége érdekében a maradékkal való osztás algoritmusát alkalmazzuk. Először oszd el a számokat modulo. Ebből azt kapjuk, hogy a hiányos hányados = 3, a maradék pedig 2. A szabály szerint össze kell adni a hiányos hányadost és az 1-et. Azt kapjuk, hogy 3 + 1 = 4. Ebből azt kapjuk, hogy az adott számok osztásának hiányos hányadosa 4.

A maradék kiszámításához a képletet használjuk. Hipotézissel azt kapjuk, hogy a = - 17, b = - 5, c = 4, akkor a képlet felhasználásával d = a - b c = - 17 - (- 5) 4 = - 17 - (- 20) = - 17 + 20 = 3. A kívánt válasz, vagyis a maradék 3, a hiányos hányados pedig 4.

Válasz:(- 17): (- 5) = 4 (többi 3).

Egész számok maradékkal való elosztásának eredményének ellenőrzése

A számok maradékkal való osztása után ellenőrizni kell. Ez az ellenőrzés 2 szakaszból áll. Először a d maradékot ellenőrizzük nemnegativitás szempontjából, a feltétel 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Nézzünk néhány példát.

9. példa

A felosztás megtörtént - 521 a - 12. A hányados 44, a maradék 7. Nézd meg.

Megoldás

Mivel a maradék egy pozitív szám, értéke kisebb, mint az osztó modulusa. Az osztó - 12, ami azt jelenti, hogy a modulusa 12. Továbbléphet a következő ellenőrző ponthoz.

A hipotézis szerint a = - 521, b = - 12, c = 44, d = 7. Innen számítjuk ki a b c + d értéket, ahol b c + d = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521. Ebből következik, hogy az egyenlőség igaz. Az ellenőrzés sikeres.

10. példa

Ellenőrző osztás (- 17): 5 = - 3 (többi - 2). Igaz az egyenlőség?

Megoldás

Az első szakasz lényege, hogy ellenőrizni kell az egész számok maradékkal való osztását. Ebből világosan látszik, hogy a műveletet helytelenül hajtották végre, mivel a maradék - 2-vel egyenlő. A maradék nem negatív.

Megállapítottuk, hogy a második feltétel teljesül, de erre az esetre nem elegendő.

Válasz: nem.

11. példa

Szám - 19 osztva - 3-mal. A hiányos hányados 7, a maradék pedig 1. Ellenőrizze, hogy a számítás helyes-e.

Megoldás

1 maradékot adunk. Pozitív. Az érték kisebb, mint az osztómodulé, ami azt jelenti, hogy az első szakasz végrehajtásra kerül. Térjünk át a második szakaszra.

Számítsuk ki a b c + d kifejezés értékét. Hipotézis szerint b = - 3, c = 7, d = 1, így a számértékeket behelyettesítve b c + d = - 3 7 + 1 = - 21 + 1 = - 20-at kapunk. Ebből következik, hogy a = b c + d az egyenlőség nem teljesül, mivel a feltétel a = - 19-et adja.

Ebből az következik, hogy a felosztás hibával történt.

Válasz: nem.

Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

Oszthatósági tesztek számokra- ezek azok a szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy osztás nélkül viszonylag gyorsan kiderüljön, hogy ez a szám osztható-e egy adott eggyel maradék nélkül.
Néhány oszthatósági kritériumok elég egyszerű, néhány nehezebb. Ezen az oldalon megtalálja a prímszámok oszthatósági feltételeit, például 2, 3, 5, 7, 11, és az összetett számok oszthatósági feltételeit, mint például a 6 vagy 12.
Remélem, ez az információ hasznos lesz az Ön számára.
Boldog tanulást!

Oszthatóság 2-vel

Ez az egyik legegyszerűbb oszthatósági teszt. Ez így hangzik: ha egy természetes szám rögzítése páros számjegyre végződik, akkor az páros (osztható 2-vel maradék nélkül), ha pedig egy szám rögzítése páratlan számjegyre végződik, akkor ez a szám páratlan.
Más szóval, ha a szám utolsó számjegye az 2 , 4 , 6 , 8 vagy 0 - a szám osztható 2-vel, ha nem, akkor nem osztható
Például számok: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 oszthatók 2-vel, mert párosak.
És a számok: 23 5 , 137 , 2303
nem oszthatók 2-vel, mert páratlanok.

3-mal való oszthatóság

Ennek az oszthatósági kritériumnak egészen más szabályai vannak: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal; ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor a szám sem osztható 3-mal.
Tehát annak megértéséhez, hogy egy szám osztható-e 3-mal, csak össze kell adnia azokat a számokat, amelyekből áll.
Így néz ki: 3987 és 141 osztható 3-mal, mert az első esetben 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 3 = 9 - osztható 3-mal ostak nélkül), a másodikban pedig 1 + 4 + 1 = 6 (6: 3 = 2 - osztható 3-mal ostak nélkül is).
De a számok: 235 és 566 nem oszthatók 3-mal, mert 2 + 3 + 5 = 10 és 5 + 6 + 6 = 17 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 17 nem osztható 3-mal maradék nélkül).

4-gyel osztható

Ez az oszthatósági kritérium bonyolultabb lesz. Ha a szám utolsó 2 jegye 4-gyel osztható számot alkot, vagy 00, akkor a szám osztható 4-gyel, ellenkező esetben ez a szám nem osztható 4-gyel maradék nélkül.
Például: 1 00 és 3 64 osztva 4-gyel, mert az első esetben a szám végeredménye 00 , a másodikban pedig tovább 64 , ami viszont maradék nélkül osztható 4-gyel (64: 4 = 16)
Számok 3 57 és 8 86 nem oszthatók 4-gyel, mert egyik sem 57 sem 86 nem oszthatók 4-gyel, ami azt jelenti, hogy nem felelnek meg az adott oszthatósági kritériumnak.

5-tel osztható

És megint van egy meglehetősen egyszerű oszthatósági jelünk: ha egy természetes szám rekordja 0 vagy 5 számjegyre végződik, akkor ez a szám maradék nélkül osztható 5-tel. Ha egy szám rekordja egy másik számjegyre végződik, akkor a szám maradék nélkül nem osztható 5-tel.
Ez azt jelenti, hogy minden számjegyre végződő szám 0 és 5 például 1235 5 és 43 0 , a szabály hatálya alá tartoznak, és oszthatók 5-tel.
És például 1549 3 és 56 4 ne végződjenek 5-re vagy 0-ra, ami azt jelenti, hogy nem oszthatók 5-tel maradék nélkül.

6-tal osztható

Előttünk áll egy összetett 6-os szám, amely a 2 és 3 szorzata. Ezért a 6-tal való oszthatóság is összetett: ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal, meg kell felelnie két oszthatósági jellemzőnek a 6-tal. ugyanakkor: az oszthatósági jellemző 2-vel és az oszthatósági jellemző 3-mal. Ugyanakkor figyeljük meg, hogy egy olyan összetett számnak, mint a 4, van egyéni oszthatósági előjele, mert önmagában a 2-es szorzata. De térjünk vissza a 6-tal oszthatóság kritériumához.
A 138 és 474 számok párosak, és megfelelnek a 3-mal oszthatóság jeleinek (1 + 3 + 8 = 12, 12: 3 = 4 és 4 + 7 + 4 = 15, 15: 3 = 5), ami azt jelenti, hogy osztható 6-tal. De 123 és 447, bár oszthatók 3-mal (1 + 2 + 3 = 6, 6: 3 = 2 és 4 + 4 + 7 = 15, 15: 3 = 5), de páratlanok, ami azt jelenti, hogy nem felelnek meg a 2-vel oszthatósági kritériumnak, ezért nem felelnek meg a 6-tal oszthatósági kritériumnak.

Oszthatóság 7-tel

Ez az oszthatósági feltétel összetettebb: egy szám osztható 7-tel, ha az utolsó dupla számjegy tízesből való kivonása osztható 7-tel vagy egyenlő 0-val.
Elég zavaróan hangzik, de a gyakorlatban egyszerű. Nézd meg magad: a szám 95 A 9 osztható 7-tel, mert 95 -2 * 9 = 95-18 = 77, 77: 7 = 11 (a 77 maradék nélkül osztható 7-tel). Sőt, ha nehézségek adódtak az átalakítások során kapott számmal (a mérete miatt nehéz megérteni, hogy osztható-e 7-tel vagy sem, akkor ezt az eljárást annyiszor folytathatjuk, ahányszor szükségesnek látjuk).
Például, 45 5 és 4580 1-nek vannak 7-tel osztható jelei. Az első esetben minden nagyon egyszerű: 45 -2 * 5 = 45-10 = 35, 35: 7 = 5. A második esetben ezt tesszük: 4580 -2 * 1 = 4580-2 = 4578. Nehéz megértenünk, ha 457 8:7, tehát ismételjük meg a folyamatot: 457 -2 * 8 = 457-16 = 441. És ismét az oszthatósági kritériumot fogjuk használni, mivel még mindig van háromjegyű számunk 44 1. Szóval, 44 -2 * 1 = 44-2 = 42, 42: 7 = 6, azaz. A 42 osztható 7-tel maradék nélkül, ami azt jelenti, hogy a 45801 osztható 7-tel.
De a számok 11 1 és 34 Az 5 nem osztható 7-tel, mert 11 -2 * 1 = 11 - 2 = 9 (a 9 nem osztható egyenletesen 7-tel) és 34 -2 * 5 = 34-10 = 24 (a 24 nem osztható egyenletesen 7-tel).

8-cal való oszthatóság

A 8-cal való oszthatóság a következő: ha az utolsó 3 számjegy 8-cal vagy 000-mal osztható számot alkot, akkor az adott szám osztható 8-cal.
Számok 1 000 vagy 1 088 osztható 8-cal: az első végződik 000 , a második 88 : 8 = 11 (osztható 8-cal maradék nélkül).
És itt vannak az 1-es számok 100 vagy 4 757 nem oszthatók 8-cal, mivel a számok 100 és 757 nem osztható egyenletesen 8-cal.

Oszthatóság 9-cel

Ez az oszthatóság jele hasonló a 3-mal való oszthatóság jeléhez: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel is; ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 9-cel, akkor a szám sem osztható 9-cel.
Például: 3987 és 144 osztható 9-cel, mert az első esetben 3 + 9 + 8 + 7 = 27 (27: 9 = 3 - osztható 9-cel ostak nélkül), a másodikban pedig 1 + 4 + 4 = 9 (9: 9 = 1 - osztható 9-cel is ostak nélkül).
De a 235 és 141 számok nem oszthatók 9-cel, mert 2 + 3 + 5 = 10 és 1 + 4 + 1 = 6 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 6 nem osztható 9-cel maradék nélkül).

Oszthatóság 10, 100, 1000 és egyéb bitegységekkel

Ezeket az oszthatósági jeleket azért kombináltam, mert ugyanúgy leírhatók: egy számot akkor osztunk el egy bitegységgel, ha a szám végén lévő nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint egy adott bitegységben lévő nullák száma .
Más szavakkal, például ilyen számaink vannak: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 ... amelyek mindegyike osztható 1-gyel 0 ; 46400 és 867 000 is osztva 1-gyel 00 ; és csak egy közülük - 867 000 osztható 1-gyel 000 .
Bármely szám, amelynek a végén kevesebb nulla van, mint egy bitegység, nem osztható ezzel a bitegységgel, például 600 30 és 7 93 nem osztható 1 00 .

11-gyel osztható

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 11-gyel, meg kell kapnia a különbséget a szám páros és páratlan számjegyeinek összege között. Ha ez a különbség egyenlő 0-val, vagy maradék nélkül osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel maradék nélkül.
Az érthetőség kedvéért példákat javaslok: 2 35 A 4 osztható 11-gyel, mert ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 A 4 is osztható 11-gyel, mivel ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
De 1 1 1 ill 4 35 A 4 nem osztható 11-gyel, mivel az első esetben (1 + 1) - 1 = 1, és a másodikban ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Oszthatóság 12-vel

A 12-es szám összetett. Oszthatósági kritériuma az oszthatósági kritériumoknak való megfelelés egyszerre 3-mal és 4-gyel.
Például a 300 és a 636 megfelel mind a 4-gyel való oszthatóság előjelének (az utolsó 2 számjegy nulla vagy osztható 4-gyel), mind a 3-mal osztható előjeleknek (a számjegyek, valamint a szám első és háromszorosának összege osztható 3-mal), és ha igen, akkor maradék nélkül oszthatók 12-vel.
De 200 vagy 630 nem osztható 12-vel, mert az első esetben a szám csak a 4-gyel osztható, a második esetben pedig csak a 3-mal való oszthatóság kritériumának felel meg, de nem mindkét jelnek egyszerre. .

Oszthatóság 13-mal

A 13-mal való oszthatóság jele az, hogy ha egy szám tízeseinek száma, e szám egységeivel 4-gyel szorozva, 13 többszöröse vagy egyenlő 0-val, akkor maga a szám osztható 13-mal.
Vegyük például 70 2. Szóval, 70 + 4 * 2 = 78, 78: 13 = 6 (a 78 maradék nélkül osztható 13-mal), ami azt jelenti, hogy 70 2 osztható 13-mal maradék nélkül. Egy másik példa egy szám 114 4. 114 + 4 * 4 = 130, 130: 13 = 10. A 130-as szám maradék nélkül osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy az adott szám megfelel a 13-mal való oszthatósági kritériumnak.
Ha a számokat vesszük 12 5 vagy 21 2, akkor megkapjuk 12 + 4 * 5 = 32 és 21 + 4 * 2 = 29, illetve 32 és 29 sem osztható 13-mal maradék nélkül, ami azt jelenti, hogy a megadott számok nem oszthatók egyenletesen 13-mal.

Számok oszthatósága

Amint az a fentiekből látható, feltételezhető, hogy bármelyik természetes számhoz kiválaszthatja saját egyéni oszthatósági jellemzőjét, vagy "összetett" jellemzőt, ha a szám több különböző szám többszöröse. De a gyakorlat azt mutatja, hogy általában minél nagyobb a szám, annál összetettebb a jele. Talán kiderülhet, hogy az oszthatósági kritérium ellenőrzésére fordított idő egyenlő vagy több, mint maga az osztás. Ezért általában a legegyszerűbb oszthatósági kritériumot használjuk.

Nézzünk egy egyszerű példát:
15:5=3
Ebben a példában elosztottuk a természetes számot 15-tel teljesen 3-ra, nincs maradék.

Néha egy természetes szám nem osztható teljesen. Vegyünk például egy feladatot:
16 játék volt a szekrényben. Öt gyerek volt a csoportban. Minden gyerek ugyanannyi játékot vett el. Hány játéka van minden gyereknek?

Megoldás:
Osszuk el a 16-ot 5-tel egy oszloppal, és kapjuk:

Tudjuk, hogy 16 5-tel nem osztható. A legközelebbi kisebb szám, amely osztható 5-tel, a 15, a maradék pedig 1. A 15-öt felírhatjuk 5⋅3-nak. Ennek eredményeként (16 - osztalék, 5 - osztó, 3 - hiányos hányados, 1 - maradék). Megkapta képlet osztás maradékkal, amellyel elkészítheti a döntés ellenőrzése.

a= b⋅ c+ d
a - osztalék,
b - elválasztó,
c - nem teljes hányados,
d - maradék.

Válasz: minden gyerek 3 játékot visz el, és egy játék marad.

A hadosztály maradéka

A maradéknak mindig kisebbnek kell lennie, mint az osztó.

Ha osztásakor a maradék nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az osztalékot fel kell osztani teljesen vagy osztónként nincs maradék.

Ha osztáskor a maradék nagyobb, mint az osztó, ez azt jelenti, hogy a talált szám nem a legnagyobb. Van egy nagyobb szám, amely elosztja az osztalékot, és a maradék kisebb lesz, mint az osztó.

Kérdések a "Megosztás a maradékkal" témában:
Lehet-e a maradék nagyobb, mint az osztó?
A válasz nem.

A maradék egyenlő lehet az osztóval?
A válasz nem.

Hogyan találjuk meg az osztalékot hiányos hányadossal, osztóval és maradékkal?
Válasz: a hiányos hányados, osztó és maradék értékeit behelyettesítjük a képletbe, és megtaláljuk az osztalékot. Képlet:
a = b⋅c + d

1. példa:
Oszd el a maradékkal, és ellenőrizd: a) 258: 7 b) 1873: 8

Megoldás:
a) Oszd el egy oszloppal:

258 - osztalék,
7 - osztó,
36 - nem teljes hányados,
6 a maradék. A maradék kisebb, mint a 6. osztó<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) Osztjuk egy oszloppal:

1873 - osztalék,
8 - osztó,
234 - nem teljes hányados,
1 a maradék. A maradék kisebb, mint az 1. osztó<8.

Helyettesítsük be a képletet, és ellenőrizzük, hogy jól oldottuk-e meg a példát:
8⋅234+1=1872+1=1873

2. példa:
Melyek a természetes számok elosztásával kapott maradékok: a) 3 b) 8?

Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 3. Esetünkben a maradék lehet 0, 1 vagy 2.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 8. Esetünkben a maradék lehet 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vagy 7.

3. példa:
Mekkora a legnagyobb maradék, amelyet természetes számok osztásakor kaphatunk: a) 9 b) 15?

Válasz:
a) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 9. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebb eső szám. Ez a szám a 8.
b) A maradék kisebb, mint az osztó, ezért kisebb, mint 15. De meg kell jelölnünk a legnagyobb maradékot. Vagyis az osztóhoz legközelebb eső szám. Ez a szám 14.

4. példa:
Keresse meg az osztalékot: a) a: 6 = 3 (többi 4) b) c: 24 = 4 (többi 11)

Megoldás:
a) Oldjuk meg a következő képlettel:
a = b⋅c + d
(a - osztalék, b - osztó, c - hiányos hányados, d - maradék.)
a: 6 = 3 (többi 4)
(a - osztalék, 6 - osztó, 3 - hiányos hányados, 4 - maradék.) Helyettesítse be a képletben szereplő számokat:
a = 6⋅3 + 4 = 22
Válasz: a = 22

b) Oldjuk meg a következő képlettel:
a = b⋅c + d
(a - osztalék, b - osztó, c - hiányos hányados, d - maradék.)
innen: 24 = 4 (többi 11)
(c - osztalék, 24 - osztó, 4 - hiányos hányados, 11 - maradék.) Helyettesítsd be a képletben szereplő számokat:
c = 24⋅4 + 11 = 107
Válasz: c = 107

Feladat:

Vezeték 4 m. 13 cm-es darabokra kell vágni. Hány darabot kapsz ebből?

Megoldás:
Először is át kell konvertálnia a métereket centiméterekre.
4 m = 400 cm.
Eloszthatja egy oszloptal, vagy gondolatban a következőket kapjuk:
400: 13 = 30 (többi 10)
Ellenőrizzük:
13⋅30+10=390+10=400

Válasz: 30 darab lesz belőle és 10 cm drót marad.