A vektor vektor vetítése a tengelyre. Vektoros vetítés
Fizika a 9. osztálynak (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
feladat №5
fejezethez " FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS FORGALMI INFORMÁCIÓK».
1. Mit nevezünk vektor vetületének egy koordinátatengelyre?
1. Az a vektor vetülete a koordináta tengelyére az a vektor eleje és vége (az ezekből a pontokból a tengelyre ejtett merőlegesek) vetületei közötti szakasz hossza erre a koordináta tengelyre.
2. Hogyan kapcsolódik a test elmozdulási vektora a koordinátáihoz?
2. Az s eltolási vektor vetületei a koordinátatengelyekre megegyeznek a test megfelelő koordinátáinak változásával.
3. Ha egy pont koordinátája növekszik az idő múlásával, milyen előjele van az eltolási vektor vetületének a koordináta tengelyére? És ha csökken?
3. Ha egy pont koordinátája idővel növekszik, akkor az eltolási vektor vetülete a koordináta tengelyére pozitív lesz, mivel ebben az esetben a vektor kezdetének vetületétől a végének vetületéig fogunk haladni magának a tengelynek az irányában.
Ha egy pont koordinátája idővel csökken, akkor az eltolási vektor vetülete a koordináta tengelyére negatív lesz, mivel ebben az esetben a vektor kezdetének vetületétől a végének vetületéig megyünk a tengely irányával szemben.
4. Ha az eltolási vektor párhuzamos az X tengellyel, akkor mekkora a vektor vetületének modulusa erre a tengelyre? És mi a helyzet ugyanazon vektor y tengelyre vetítésének moduljával?
4. Ha az eltolási vektor párhuzamos az X tengellyel, akkor a vektor vetületének modulusa ezen a tengelyen megegyezik magának a vektornak a modulusával, az Y tengelyre vetített vetülete pedig nulla.
5. Határozza meg a 22. ábrán látható elmozdulásvektorok X tengelyére eső vetületek előjeleit. Hogyan változnak a test koordinátái ezen elmozdulások során?
5. Az alábbi esetekben a test Y koordinátája nem változik, de a test X koordinátája az alábbiak szerint változik:
a) s 1;
az s 1 vektor vetülete az X tengelyre negatív és abszolút értékben egyenlő az s 1 vektor hosszával. Ilyen elmozdulás esetén a test X koordinátája az s 1 vektor hosszával csökken.
b) s 2;
az s 2 vektor vetülete az X tengelyre pozitív és abszolút értékben egyenlő az s 1 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X koordinátája az s 2 vektor hosszával nő.
c) s 3;
az s 3 vektor vetülete az X tengelyre negatív és abszolút értékben egyenlő az s 3 vektor hosszával. Ilyen elmozdulás esetén a test X koordinátája az s 3 vektor hosszával csökken.
d) s=4;
az s 4 vektor vetülete az X tengelyre pozitív és abszolút értékben egyenlő az s 4 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X-koordinátája az s 4 vektor hosszával nő.
e) s 5;
az s 5 vektor vetülete az X tengelyre negatív és abszolút értékben egyenlő az s 5 vektor hosszával. Ilyen elmozdulás esetén a test X koordinátája az s 5 vektor hosszával csökken.
6. Ha a megtett út nagy, lehet kicsi az elmozdulási modulus?
6. Talán. Ez annak köszönhető, hogy az elmozdulás (elmozdulásvektor) egy vektormennyiség, azaz. egy irányított vonalszakasz, amely összeköti a test kezdeti helyzetét az azt követő helyzetekkel. A test végső helyzete pedig (függetlenül a megtett távolságtól) olyan közel lehet a test kiindulási helyzetéhez, amennyire csak akarja. Ha a test végső és kezdeti helyzete egybeesik, az elmozdulási modulus nulla lesz.
7. Miért fontosabb a testmozgás vektora a mechanikában, mint az általa bejárt út?
7. A mechanika fő feladata a test helyzetének bármikori meghatározása. A test elmozdulási vektorának ismeretében meghatározhatjuk a test koordinátáit, i.e. a test helyzete bármely pillanatban, és csak a megtett távolság ismeretében nem tudjuk meghatározni a test koordinátáit, mivel a mozgás irányáról nincs információnk, de csak a bejárt út hosszát tudjuk egy adott időpillanatban megítélni.
Először is emlékezzünk rá, mi az koordináta tengely, pont-tengely vetítésés egy pont koordinátái egy tengelyen.
Koordináta tengely- ez egy egyenes, amely bizonyos irányt kapott. Felfoghatod úgy, mint egy végtelenül nagy modulusú vektort.
Koordináta tengely tetszőleges betűvel jelöljük: X, Y, Z, s, t ... Általában a tengelyen egy pontot választanak (tetszőlegesen), amelyet origónak nevezünk, és általában O betűvel jelöljük. pont, a többi számunkra érdekes pont távolságát számolja.
Pont-tengely vetítés- ez az ebből a pontból leejtett merőleges alapja az adott tengelyen (8. ábra). Vagyis egy pont tengelyre vetítése pont.
Pont koordináta tengelyenként egy olyan szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben), amely a tengely origója és egy pont e tengelyen lévő vetülete közé van zárva. Ezt a számot plusz előjellel vesszük, ha egy pont vetülete az origójától a tengely irányában van, és mínuszjellel, ha az ellenkező irányban.
Vektor skaláris vetülete egy tengelyre- azt szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a vektor kezdőpontjának és végpontjának vetületei közé zárt tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben). Fontos! Általában kifejezés helyett vektor skaláris vetülete egy tengelyre csak azt mondják - vektor vetítés egy tengelyre, ez a szó skalár kimaradt. Vektoros vetítés ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a vetített vektort (normál, nem félkövér jelöléssel), annak a tengelynek a nevének alsó indexével (általában), amelyre ez a vektor ki van vetítve. Például, ha a vektort az X-tengelyre vetítjük a, akkor a vetületét x-szel jelöljük. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyre, mondjuk az Y tengelyre vetítjük, a vetületét y-val jelöljük (9. ábra).
Számolni vektor vetítés a tengelyen(például az X tengely) ki kell vonni a kezdőpont koordinátáját a végpontjának koordinátájából, azaz
a x = x k - x n.
Emlékeznünk kell: a vektor skaláris vetülete tengelyre (vagy egyszerűen vektor vetülete tengelyre) egy szám (nem vektor)! Ezenkívül a vetítés lehet pozitív, ha az x k érték nagyobb, mint az x n, negatív, ha az x k érték kisebb, mint az x n, és egyenlő nullával, ha x k egyenlő x n értékkel (10. ábra).
Egy vektor tengelyre vetítése úgy is megtalálható, ha ismerjük a vektor modulusát és a tengellyel bezárt szöget.
A 11. ábra azt mutatja, hogy a x = a Cos α
Ez azt jelenti, hogy a vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vektor modulusának a szög koszinuszával való szorzatával. a tengely iránya és a vektor iránya között... Ha a szög hegyes, akkor Cos α> 0 és a x> 0, ha pedig tompaszög, akkor a tompaszög koszinusza negatív, és a vektor tengelyre vetítése is negatív lesz.
A tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányba számolt szögeket pozitívnak, az út mentén negatívnak tekintik. Mivel azonban a koszinusz páros függvény, vagyis Cos α = Cos (- α), így a vetületek számításakor a szögek az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes irányban is számolhatók.
A feladatok megoldása során gyakran a vetületek alábbi tulajdonságait használják fel: ha
a = b + c +…+ d, akkor a x = b x + c x +… + d x (hasonlóan más tengelyeknél),
a= m b, akkor a x = mb x (hasonlóan más tengelyeknél).
Az a x = a Cos α képlet lesz Gyakran találkozni a problémák megoldása során, ezért feltétlenül tudnod kell. A vetület meghatározásának szabályát, amelyet ismernie kell kívülről!
Emlékezik!
Egy vektor tengelyre vetített vetületének meghatározásához ennek a vektornak a modulusát meg kell szorozni a tengely iránya és a vektor iránya közötti szög koszinuszával.
Még egyszer - VONALON!
A konvergáló erők egyensúlyi problémáinak megoldása zárt hatványpoligonok felépítésével nehézkes konstrukciókkal jár. Az ilyen problémák megoldásának univerzális módszere az átmenet adott erők vetületeinek koordinátatengelyekre történő meghatározására és ezekkel a vetületekkel való működésre. A tengelyt egyenesnek nevezzük, amelyhez egy bizonyos irány tartozik.
A vektor vetülete egy tengelyre egy skaláris érték, amelyet a tengely szakasza határoz meg, amelyet a vektor elejétől és végétől ráesett merőlegesek vágnak le.
Egy vektorvetítés akkor tekinthető pozitívnak, ha a vetítés kezdetétől a végéig tartó irány egybeesik a tengely pozitív irányával. Egy vektorvetítés akkor tekinthető negatívnak, ha a vetítés kezdetétől a végéig tartó irány ellentétes a tengely pozitív irányával.
Így az erő vetülete a koordináta tengelyére egyenlő az erő modulusának az erővektor és a tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával.
Tekintsünk néhány olyan esetet, amikor az erők egy tengelyre vetítődnek:
Erővektor F(15. ábra) hegyesszöget zár be az x tengely pozitív irányával.
A vetület megtalálásához az erővektor elejétől és végétől leengedjük a merőlegeseket a tengelyre ó; kapunk
1. F x = F cos α
A vektorvetítés ebben az esetben pozitív
Erő F(16. ábra) a tengely pozitív irányával van x tompaszög α.
Azután F x = F cos α, de mivel α = 180 0 - φ,
F x = F cos α = F cos180 0 - φ = - F cos φ.
Erővetítés F tengelyenként ó ebben az esetben negatív.
Erő F(17. ábra) a tengelyre merőlegesen ó.
Az F erő vetülete a tengelyre x nulla
F x = F cos 90° = 0.
Síkon található erő hou(18. ábra), két koordinátatengelyre vetíthető Óés OU.
Erő F részekre bontható: F x és F y. Vektor modulus F x egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként ökör, és a vektor modulusa F y egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként jaj.
Δ-től OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.
Δ-től SLA: F x = F cos φ, F x = F sin φ.
Az erő modulusát a Pitagorasz-tétel határozza meg:
A vektorösszeg vagy az eredő vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok elemeinek vetületeinek algebrai összegével.
Vegye figyelembe a konvergáló erőket F 1 , F 2 , F 3, és F 4, (19. ábra, a). Ezen erők geometriai összege vagy eredője F az erőpoligon záró oldala határozza meg
A hatványsokszög csúcsairól ugorjunk a tengelyre x merőlegesek.
Figyelembe véve a közvetlenül az elvégzett konstrukcióból kapott erőkivetítéseket, megvan
F= F 1x + F 2x + F 3x + F 4x
ahol n a vektorok tagjainak száma. A vetületeik a fenti egyenletet tartalmazzák a megfelelő előjellel.
A síkban az erők geometriai összege két koordinátatengelyre, térben pedig háromra vetíthető.
Definíció 1. A síkon az A pont párhuzamos vetülete az l tengelyre egy pont - az l tengely metszéspontja egy, az A ponton keresztül húzott egyenessel párhuzamosan a vetítés irányát beállító vektorral.
2. definíció. Egy vektor párhuzamos vetítése az l tengelyre (vektorra) a vektor koordinátája a bázishoz viszonyítva az l tengely, ahol a és pontok az A és B pont párhuzamos vetületei az l tengelyre (1. ábra).
Értelemszerűen megvan
Definíció 3.ha és az l-tengely alapja Descartes, azaz a vektor vetülete az l tengelyre ortogonálisnak nevezzük (2. ábra).
A térben a vektor tengelyre vetítésének 2. definíciója érvényben marad, csak a vetítés irányát szabja meg két nem kollineáris vektor (3. ábra).
Egy vektor tengelyre vetítésének definíciójából az következik, hogy egy vektor minden koordinátája ennek a vektornak a vetülete egy tengelyre, amelyet a megfelelő bázisvektor határoz meg. Ebben az esetben a tervezés irányát két másik bázisvektor határozza meg, ha a tervezést térben hajtjuk végre (megfontoljuk), vagy egy másik bázisvektor, ha a tervezést síkon tekintjük (4. ábra).
1. Tétel. Egy vektor l tengelyre merőleges vetülete egyenlő a vektor modulusának az l tengely pozitív iránya és az l tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával, azaz
A másik oldalon
Attól, hogy találunk
Ha az AC-t behelyettesítjük a (2) egyenlőségbe, azt kapjuk
A számok óta xés mindkét vizsgált esetben azonos előjelű ((5. ábra, a); (5. ábra, b), akkor a (4) egyenlőség azt jelenti, hogy
Megjegyzés. A következőkben csak a vektor tengelyre merőleges vetületét vesszük figyelembe, ezért az "ortogonális" szót kihagyjuk a jelölésből.
Íme néhány képlet, amelyeket a következőkben a problémák megoldására használunk.
a) A vektor vetítése a tengelyre.
Ha, akkor az (5) képlet szerinti ortogonális vetület a vektorra alakja
c) Pont és sík távolsága.
Legyen b egy adott sík normálvektorral, M - egy adott pont,
d - távolság az M ponttól a b síkig (6. ábra).
Ha N a b sík tetszőleges pontja, és és az M és N pontok vetületei a tengelyre, akkor
- G) A keresztezett vonalak közötti távolság.
Legyen a és b az adott metsző egyenesek, a rájuk merőleges vektor, A és B az a és b egyenes tetszőleges pontjai (7. ábra), és az A és B pontok vetületei , azután
e) Pont és egyenes távolsága.
Hadd l- egy adott egyenes irányvektorral, M - egy adott pont,
N - a vetülete egy egyenesre l, majd - a szükséges távolság (8. ábra).
Ha A egy egyenes tetszőleges pontja l, akkor egy MNA derékszögű háromszögben az MA hipotenusz és lábak találhatók. Eszközök,
f) Az egyenes és a sík szöge.
Legyen ennek az egyenesnek az irányvektora l, az adott b sík normálvektora, az egyenes vetülete l a b síkon (9. ábra).
Mint tudod, az egyenes közötti q szög l a b síkra való vetületét pedig az egyenes és a sík közötti szögnek nevezzük. Nekünk van
Mondjunk példákat a metrikus feladatok vektor-koordináta módszerrel történő megoldására.
Kivetítés A vektor tengelyenként egy olyan vektor, amelyet úgy kapunk, hogy megszorozzuk a vektor skaláris vetületét ezen a tengelyen és a tengely egységvektorát. Például ha egy x - skaláris vetület vektor a az X tengelyen, majd egy x én a vektor vetülete erre a tengelyre.
jelöljük vektor vetítés valamint magát a vektort, de annak a tengelynek az indexével, amelyre a vektort vetítjük. Tehát a vektor vektor vetülete a az X tengelyen jelöljük a x ( olajos betű, amely egy vektort és a tengely nevének alsó indexét jelöli) vagy (vektort jelölő nem félkövér betű, de a tetején nyíllal (!) és a tengely nevének alsó indexével).
Skaláris vetítés tengelyenkénti vektort nevezzük szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a vektor kezdőpontjának és végpontjának vetületei közé zárt tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben). Általában kifejezés helyett skaláris vetület csak azt mondják - kivetítés... A vetületet ugyanaz a betű jelöli, mint a kivetített vektort (normál, nem félkövér jelöléssel), annak a tengelynek a nevének alsó indexével (általában), amelyre ez a vektor ki van vetítve. Például, ha a vektort az X-tengelyre vetítjük a, akkor a vetületét x-szel jelöljük. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyre vetítjük, ha az Y tengely, akkor annak vetületét y jelöli.
A vetület kiszámításához vektor a tengelyen (például az X tengelyen) vonja ki a kezdőpont koordinátáját a végpontjának koordinátájából, azaz
a x = x k - x n.
Egy vektor vetülete egy tengelyre egy szám. Ezenkívül a vetítés lehet pozitív, ha az x k érték nagyobb, mint az x n,
negatív, ha az x k érték kisebb, mint az x n
és egyenlő nullával, ha x k egyenlő x n-nel.
Egy vektor tengelyre vetítése úgy is megtalálható, ha ismerjük a vektor modulusát és a tengellyel bezárt szöget.
Az ábrán látható, hogy a x = a Cos α
azaz a vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vektor modulusának a tengely iránya és a tengely iránya közötti szög koszinuszának szorzatával. vektor iránya... Ha éles a szög, akkor
Cos α> 0 és a x> 0, és ha tompaszögű, akkor a tompaszög koszinusza negatív, és a vektor tengelyre vetítése is negatív lesz.
A tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányba számolt szögeket pozitívnak, az út mentén negatívnak tekintik. Mivel azonban a koszinusz páros függvény, vagyis Cos α = Cos (- α), így a vetületek számításakor a szögek az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes irányban is számolhatók.
Egy vektor tengelyre vetített vetületének meghatározásához ennek a vektornak a modulusát meg kell szorozni a tengely iránya és a vektor iránya közötti szög koszinuszával.
Vektor koordináták- a kiválasztott koordináta-rendszerben a bázisvektorok egyetlen lehetséges lineáris kombinációjának együtthatói, amelyek megegyeznek ezzel a vektorral.
hol vannak a vektor koordinátái.
Vektorok pontszorzata
VEKTOROK SKALÁR TERMÉKE[- véges dimenzióban vektor tér ugyanazon összetevők szorzatának összegeként definiálható vektorok.
Például a C. p.c. a = (a 1 , ..., a n) és b = (b 1 , ..., b n):
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n