Tervezési sémák gerendákhoz. Tiszta kanyar
Kezdjük a legegyszerűbb esettel, az ún tiszta kanyar.
A tiszta hajlítás a hajlítás egy speciális esete, amelyben a nyíróerő a gerendaszakaszokban nullával egyenlő. Tiszta hajlítás csak akkor valósulhat meg, ha a gerenda önsúlya olyan kicsi, hogy a befolyása elhanyagolható. Két támaszon lévő gerendákhoz, példák a tisztaságot okozó terhelésekre
ábrán látható a hajlítás. 88. Ezen gerendák azon szakaszain, ahol Q = 0 és ezért M = const; tiszta kanyar van.
A gerenda bármely szakaszában tiszta hajlítással fellépő erők egy olyan erőpárra redukálódnak, amelyek hatássíkja átmegy a gerenda tengelyén, és a nyomaték állandó.
A feszültségek a következő szempontok alapján határozhatók meg.
1. A gerenda keresztmetszetében az elemi területekre irányuló erőfeszítések érintőleges összetevői nem redukálhatók olyan erőpárra, amelynek hatássíkja merőleges a szelvény síkjára. Ebből következik, hogy a szakaszon a hajlítóerő az elemi területekre gyakorolt hatás eredménye
csak normál erőfeszítések, és ezért a tiszta hajlítás és a feszültségek csak a normálra csökkennek.
2. Ahhoz, hogy az elemi helyeken végzett erőfeszítések csak néhány erőre csökkenjenek, pozitív és negatív erőknek is kell lenniük közöttük. Ezért mind a nyújtott, mind az összenyomott gerendaszálaknak létezniük kell.
3. Tekintettel arra, hogy a különböző szakaszokon az erők azonosak, akkor a szakaszok megfelelő pontjain a feszültségek azonosak.
Tekintsünk minden, a felülethez közeli elemet (89. ábra, a). Mivel az alsó széle mentén, amely egybeesik a gerenda felületével, semmilyen erő nem hat, nincs rajta feszültség. Ezért az elem felső élén nincsenek feszültségek, mert különben az elem nem lenne egyensúlyban A vele szomszédos elemet magasságban figyelembe véve (89. ábra, b) jutunk
Ugyanez a következtetés stb. Ebből az következik, hogy egyetlen elem vízszintes élei mentén sincsenek feszültségek. Figyelembe véve a vízszintes réteget alkotó elemeket, kezdve a gerenda felületén lévő elemmel (90. ábra), arra a következtetésre jutunk, hogy egyetlen elemnek sincsenek feszültségei az oldalirányú függőleges felületek mentén. Így bármely elem feszültségi állapotát (91. ábra, a), valamint a határértékben és a szálban az ábra szerint kell ábrázolni. 91, b, azaz lehet axiális feszültség vagy axiális összenyomás.
4. A külső erőhatások szimmetriája miatt a gerenda hosszának közepén lévő szakasznak a deformáció után síknak és a gerenda tengelyére merőlegesnek kell maradnia (92. ábra, a). Ugyanebből az okból kifolyólag a gerenda hosszának negyedében lévő szakaszok is sík és a gerenda tengelyére merőlegesek maradnak (92. ábra, b), ha csak a gerenda szélső szakaszai maradnak sík és merőleges az alakváltozás során. a gerenda tengelye. Hasonló következtetés érvényes a gerenda hosszának nyolcadában lévő szakaszokra is (92. ábra, c) stb. Ezért, ha hajlítás közben a gerenda szélső szakaszai sík maradnak, akkor bármelyik szakaszra megmarad. 
érvényes állítás, hogy deformáció után lapos és merőleges marad az ívelt gerenda tengelyére. De ebben az esetben nyilvánvaló, hogy a gerenda szálainak megnyúlásának a magassága mentén nem csak folyamatosan, hanem monoton módon kell bekövetkeznie. Ha rétegnek nevezzük az azonos nyúlású szálak halmazát, akkor az elmondottakból az következik, hogy a gerenda nyújtott és összenyomott szálai annak a rétegnek az ellenkező oldalán helyezkedjenek el, amelyben a szálak nyúlása egyenlő nulla. Semlegesnek nevezzük azokat a szálakat, amelyek nyúlása nulla; semleges szálakból álló réteg - semleges réteg; a semleges réteg metszésvonala a gerenda keresztmetszetének síkjával - ennek a szakasznak a semleges vonala. Ezután az előző érvelés alapján vitatható, hogy a gerenda tiszta hajlításával minden szakaszában van egy semleges vonal, amely ezt a szakaszt két részre (zónára) osztja: a feszített szálak zónájára (nyújtott zóna) és az összenyomott szálak zónája (összenyomott zóna). Ennek megfelelően a szakasz kiterjesztett zónájának pontjain normál húzófeszültségek, az összenyomott zóna pontjain - nyomófeszültségek, a semleges vonal pontjain pedig a feszültségek nullával egyenlőek.
Így egy állandó keresztmetszetű gerenda tiszta hajlításával:
1) csak normál feszültségek hatnak a szakaszokon;
2) a teljes szakasz két részre (zónára) osztható - nyújtva és összenyomva; a zónák határa a semleges metszetvonal, amelynek pontjain a normálfeszültségek nullával egyenlőek;
3) a gerenda bármely hosszirányú eleme (a határban bármely szál) axiális feszültségnek vagy összenyomásnak van kitéve, hogy a szomszédos szálak ne lépjenek kölcsönhatásba egymással;
4) ha a gerenda szélső szakaszai az alakváltozás során laposak és a tengelyre merőlegesek maradnak, akkor az összes keresztmetszetek laposak és merőlegesek az ívelt nyaláb tengelyére.
Egy gerenda feszültségi állapota tiszta hajlításban
Tekintsük a gerenda egy olyan elemét, amely tiszta hajlításnak van kitéve, 
m - m és n - n szakaszok között, amelyek egymástól végtelenül kis dx távolságra helyezkednek el (93. ábra). Az előző bekezdés (4) helyzetéből adódóan a deformáció előtt párhuzamos mm és nn szakaszok, hajlítás után, síkban maradva dQ szöget zárnak be és metszik egymást a C ponton átmenő egyenesben, amely a középpont. görbületű semleges szál NN. Ekkor az AB szál közéjük zárt része, amely a semleges száltól z távolságra helyezkedik el (hajlításkor a z tengely pozitív irányát a gerenda domborulata felé vesszük), deformáció után A "B" ívre változik. ". Az O1O2 semleges szál O1O2 ívvé alakuló szegmense nem változtatja meg a hosszát, míg az AB szál megnyúlást kap:
deformáció előtt
deformáció után
ahol p a semleges szál görbületi sugara.
Ezért az AB szakasz abszolút nyúlása egyenlő
és megnyúlás
Mivel a (3) helyzet szerint az AB szál tengelyirányú feszültségnek van kitéve, így rugalmas deformáció
Ebből látható, hogy a normálfeszültségek a gerenda magassága mentén egy lineáris törvény szerint oszlanak meg (94. ábra). Mivel a szakasz összes elemi szakaszán az összes erőfeszítés egyenlő hatásának nullának kell lennie, akkor
ahol az (5.8) értékét behelyettesítve azt találjuk
De az utolsó integrál egy statikus nyomaték az Oy tengely körül, amely merőleges a hajlítóerők hatássíkjára.
A nullával való egyenlősége miatt ennek a tengelynek át kell haladnia a metszet O tömegközéppontján. Így a gerendaszakasz semleges vonala egy yy egyenes, amely merőleges a hajlítóerők hatássíkjára. Ezt a nyalábszakasz semleges tengelyének nevezik. Ekkor az (5.8)-ból következik, hogy a semleges tengelytől azonos távolságra lévő pontokban a feszültségek azonosak.
A tiszta hajlítás esete, amikor a hajlító erők csak egy síkban hatnak, és csak abban a síkban okoznak hajlítást, síktiszta hajlítás. Ha a megnevezett sík átmegy az Óz tengelyen, akkor az elemi erők ehhez a tengelyhez viszonyított nyomatékának nullával kell egyenlőnek lennie, azaz.
Ha itt helyettesítjük az (5.8) σ értékét, azt találjuk
Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán lévő integrál, mint ismeretes, a metszet centrifugális tehetetlenségi nyomatéka az y és a z tengelyekhez képest, így
Azokat a tengelyeket, amelyekhez képest a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka nulla, a szakasz fő tehetetlenségi tengelyeinek nevezzük. Ha ráadásul áthaladnak a szelvény súlypontján, akkor a szakasz fő központi tehetetlenségi tengelyének nevezhetők. Így síkbeli tiszta hajlításnál a hajlítóerők hatássíkjának iránya és a szelvény semleges tengelye az utóbbi fő központi tehetetlenségi tengelye. Más szóval, a gerenda síkbeli tiszta hajlításának eléréséhez a terhelést nem lehet rá tetszőlegesen kifejteni: azt a gerendaszakaszok egyik fő központi tehetetlenségi tengelyén áthaladó síkban ható erőkre kell csökkenteni; ebben az esetben a másik fő központi tehetetlenségi tengely a szakasz semleges tengelye lesz.
Tudniillik egy tetszőleges tengelyre szimmetrikus szakasz esetén a szimmetriatengely a tehetetlenségének egyik fő központi tengelye. Ebből következően ebben a konkrét esetben a gerenda hossztengelyén és metszetének szimmetriatengelyén átmenő síkban a megfelelő terhelések alkalmazásával minden bizonnyal tiszta hajlítást kapunk. A szimmetriatengelyre merőleges és a szakasz súlypontján átmenő egyenes a szakasz semleges tengelye.
A semleges tengely helyzetének megállapítása után könnyen megállapítható a feszültség nagysága a szakasz bármely pontján. Valóban, mivel az elemi erők nyomatékainak összege az yy semleges tengelyhez viszonyítva egyenlő kell legyen a hajlítónyomatékkal, akkor
ahonnan σ értékét (5.8) helyettesítve azt találjuk
Mivel az integrál 
egy. a szakasz tehetetlenségi nyomatéka az yy tengelyhez képest, akkor
és az (5.8) kifejezésből kapjuk
Az EI Y szorzatot a gerenda hajlítási merevségének nevezzük.
A legnagyobb húzó és abszolút értékű nyomófeszültségek a metszet azon pontjain hatnak, amelyekre abszolút érték z a legnagyobb, vagyis a semleges tengelytől legtávolabbi pontokban. A jelöléssel az ábra. 95 van nálunk
A Jy / h1 értéket a szakasz feszültséggel szembeni ellenállásának pillanatának nevezzük, és Wyр-vel jelöljük; hasonlóképpen a Jy / h2-t a szakasz kompressziós ellenállásának pillanatának nevezzük
és jelölje Wyc-et, tehát
és ezért
Ha a semleges tengely a szakasz szimmetriatengelye, akkor h1 = h2 = h / 2 és ezért Wyp = Wyc, így nem kell megkülönböztetni őket, és egy jelölést használjunk:
W y-t egyszerűen a szakasz ellenállási nyomatékának nevezzük, ezért a semleges tengelyre szimmetrikus szakasz esetén
A fenti következtetések mindegyike azon a feltételezésen alapult, hogy a gerenda keresztmetszete hajlításkor lapos és a tengelyére merőleges marad (hipotézis lapos szakaszok). Mint látható, ez a feltételezés csak akkor érvényes, ha a gerenda szélső (vég) szakaszai a hajlítás során laposak maradnak. Másrészt a síkszelvények hipotéziséből az következik, hogy az ilyen szakaszokon az elemi erőket egy lineáris törvény szerint kell elosztani. Ezért a kapott síkhajlítási elmélet érvényességéhez szükséges, hogy a gerenda végein a hajlítónyomatékokat a metszet magassága mentén elosztott elemi erők formájában egy lineáris törvény szerint alkalmazzuk (ábra 1). 96), amely egybeesik a feszültségeloszlás törvényével a keresztmetszeti gerendák magassága mentén. A Saint-Venant-elv alapján azonban vitatható, hogy a gerenda végein a hajlítónyomatékok alkalmazási módjának megváltoztatása csak helyi deformációkat okoz, amelyek hatása ezektől csak egy bizonyos távolságot érint. végei (körülbelül megegyezik a szakasz magasságával). Azok a szakaszok, amelyek a gerenda hosszának többi részében vannak, laposak maradnak. Következésképpen a tiszta síkhajlítás elmélete bármely hajlítónyomaték alkalmazási módszerre csak a gerenda hosszának középső részén belül érvényes, amely a végeitől megközelítőleg a szelvénymagassággal egyenlő távolságra helyezkedik el. Ezért nyilvánvaló, hogy ez az elmélet nyilvánvalóan nem alkalmazható, ha a szelvény magassága meghaladja a gerenda hosszának vagy fesztávjának felét.
A gerenda "kézi" hajlításhoz való kiszámítása régimódi módon lehetővé teszi az anyagok ellenállásának tudományának egyik legfontosabb, legszebb, egyértelműen matematikailag ellenőrzött algoritmusának megismerését. Számos program használata, mint például a "kiindulási adatok megadása ...
... - kap egy választ ” lehetővé teszi a modern mérnök számára, hogy ma sokkal gyorsabban dolgozzon, mint elődei száz, ötven, sőt húsz évvel ezelőtt. Ezzel azonban modern megközelítés a mérnök kénytelen teljesen megbízni a program szerzőiben, és végül megszűnik „érezni fizikai jelentése»Számítások. De a program szerzői emberek, és az emberek hajlamosak hibázni. Ha nem így lenne, akkor szinte egyikhez sem lenne számtalan javítás, kiadás, "patch". szoftver... Ezért számomra úgy tűnik, hogy minden mérnöknek képesnek kell lennie arra, hogy néha „manuálisan” ellenőrizze a számítási eredményeket.
Segítség (csalólap, feljegyzés) a gerendák hajlítási kiszámításához az alábbi ábrán látható.
Próbáljuk meg használni egy egyszerű hétköznapi példa segítségével. Tegyük fel, hogy úgy döntöttem, hogy vízszintes sávot készítek a lakásomban. A helyet meghatározták – egy méter és húsz centiméter széles folyosó. Tovább szemközti falak a kívánt magasságban, egymással szemben, biztonságosan rögzítem a tartókat, amelyekhez a gerenda keresztrudat rögzítik - egy St3 acélból készült rudat, amelynek külső átmérője harminckét milliméter. Elbírja-e ez a gerenda a súlyomat, valamint az edzés során fellépő további dinamikus terheléseket?
Rajzolunk egy diagramot a hajlítási gerenda kiszámításához. Nyilvánvalóan a legveszélyesebb a külső terhelés alkalmazása lesz, amikor elkezdek felhúzni, és elkapom az egyik kezemet a rúd közepén.
Kiinduló adatok:
F1 = 900 N - a gerendára ható erő (az én súlyom) a dinamika figyelembevétele nélkül
d = 32 mm - a rúd külső átmérője, amelyből a gerenda készül
E = 206000 N / mm ^ 2 - St3 acélgerenda anyagának rugalmassági modulusa
[σi] = 250 n / mm ^ 2 - megengedett hajlítási feszültségek (folyószilárdság) az St3 acélgerenda anyagára
Határfeltételek:
Мx (0) = 0 n * m - nyomaték a pontban z = 0 m (első támasz)
Мx (1,2) = 0 n * m - nyomaték a z pontban = 1,2 m (második támasz)
V (0) = 0 mm - elhajlás a z pontban = 0 m (első támasz)
V (1,2) = 0 mm - elhajlás a z pontban = 1,2 m (második támasz)
Fizetés:
1. Először is számítsuk ki a gerendaszakasz Ix tehetetlenségi nyomatékát és Wx ellenállási nyomatékát. Hasznosak lesznek a további számítások során. Egy kör alakú szakaszhoz (ami a sáv szakasza):
Ix = (π * d ^ 4) / 64 = (3,14 * (32/10) ^ 4) / 64 = 5,147 cm ^ 4
Wx = (π * d ^ 3) / 32 = ((3,14 * (32/10) ^ 3) / 32) = 3,217 cm ^ 3
2. Összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket az R1 és R2 hordozók reakcióinak kiszámításához:
Qy = -R1 + F1-R2 = 0
Мx (0) = F1 * (0-b2) -R2 * (0-b3) = 0
A második egyenletből: R2 = F1 * b2 / b3 = 900 * 0,6 / 1,2 = 450 n
Az első egyenletből: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n
3. Határozza meg a gerenda elfordulási szögét az első támaszban z = 0-nál a második szakasz elhajlási egyenletéből:
V (1,2) = V (0) + U (0) * 1,2 + (- R1 * ((1,2-b1) ^ 3) / 6 + F1 * ((1,2-b2) ^ 3) / 6) /
U (0) = (R1 * ((1,2-b1) ^ 3) / 6 -F1 * ((1,2-b2) ^ 3) / 6) / (E * Ix) / 1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/ (206000 * 5,147 / 100) / 1,2 = 0,00764 rad = 0,44˚
4.
Egyenleteket állítunk össze az első szakasz diagramjainak ábrázolásához (0 Nyíróerő: Qy (z) = -R1 Hajlítónyomaték: Мx (z) = -R1 * (z-b1) Elforgatási szög: Ux (z) = U (0) + (- R1 * ((z-b1) ^ 2) / 2) / (E * Ix) Elhajlás: Vy (z) = V (0) + U (0) * z + (- R1 * ((z-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) z = 0 m: Qy (0) = -R1 = -450 n Ux (0) = U (0) = 0,00764 rad Vy (0) = V (0) = 0 mm z = 0,6 m: Qy (0,6) = -R1 = -450 n Mx (0,6) = -R1 * (0,6-b1) = -450 * (0,6-0) = -270 n * m Ux (0,6) = U (0) + (- R1 * ((0,6-b1) ^ 2) / 2) / (E * Ix) = 0,00764 + (-450 * ((0,6-0) ^ 2) / 2) / (206000 * 5,147 / 100) = 0 rad Vy (0,6) = V (0) + U (0) * 0,6 + (- R1 * ((0,6-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) = 0 + 0,00764 * 0,6 + (-450 * ((0,6-0) ^ 3) / 6) / (206000 * 5,147 / 100) = 0,003 m A gerenda középen 3 mm-rel meghajlik a testem súlya alatt. Szerintem ez elfogadható eltérés. 5.
Felírjuk a diagramok egyenleteit a második szakaszhoz (b2 Nyíróerő: Qy (z) = -R1 + F1 Hajlítónyomaték: Мx (z) = -R1 * (z-b1) + F1 * (z-b2) Elforgatási szög: Ux (z) = U (0) + (- R1 * ((z-b1) ^ 2) / 2 + F1 * ((z-b2) ^ 2) / 2) / (E * Ix) Elhajlás: Vy (z) = V (0) + U (0) * z + (- R1 * ((z-b1) ^ 3) / 6 + F1 * ((z-b2) ^ 3) / 6) / (E * Ix) z = 1,2 m: Qy (1,2) = -R1 + F1 = -450 + 900 = 450 n Mx (1,2) = 0 n * m Ux (1,2) = U (0) + (- R1 * ((1,2-b1) ^ 2) / 2 + F1 * ((1,2-b2) ^ 2) / 2) / (E * ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ / (206000 * 5,147 / 100) = -0,00764 rad Vy (1,2) = V (1,2) = 0 m 6.
A fenti adatok felhasználásával diagramokat készítünk. 7.
Kiszámoljuk a hajlítási feszültségeket a leginkább terhelt szakaszban - a gerenda közepén, és összehasonlítjuk a megengedett feszültségekkel: σi = Mx max / Wx = (270 * 1000) / (3,217 * 1000) = 84 n / mm ^ 2 σi = 84 n / mm ^ 2< [σи] = 250 н/мм^2 A hajlítószilárdság tekintetében a számítás háromszoros biztonsági határt mutatott - egy meglévő, harminckét milliméter átmérőjű és ezerkétszáz milliméter hosszúságú rúdból biztonságosan készíthető vízszintes rúd. Így most könnyedén elvégezheti a gerenda manuális hajlítási számítását, és összehasonlíthatja azt a számítás során kapott eredményekkel a weben található számos program bármelyikével. Kérem a szerző ILLETÉKES munkáját, ELŐFIZETÉS a cikkek hirdetményeire.
86 hozzászólás a "Fényhajlítás számítás -" manuálisan "!" Egyenes tiszta hajlításnál a rúd keresztmetszetében csak egy erőtényező jelenik meg - a hajlítónyomaték M x(1. ábra). Mivel Q y = dM x / dz = 0, azután M x= const és tiszta egyenes hajlítás valósítható meg, ha a rudat a rúd végszakaszaiban kifejtett erőpárok terhelik. A hajlítási nyomaték óta M x definíció szerint egyenlő a tengely körüli belső erők nyomatékainak összegével Ó a normálfeszültségekkel a statika egyenlete köti össze, ami ebből a definícióból adódik Fogalmazzuk meg a prizmatikus rúd tiszta közvetlen hajlításának elméletének premisszáit. Ehhez elemezzük egy kis modulusú anyagból készült rúd modelljének deformációit, melynek oldalfelületén hossz- és keresztirányú karcolások rácsát alkalmazzuk (2. ábra). Mivel a keresztirányú kockázatok a rúdnak a végszakaszokra kifejtett erőpárok általi meghajlásakor egyenesek és merőlegesek maradnak az ívelt hosszirányú kockázatokra, ez arra enged következtetni, hogy lapos metszet hipotézisek, amely, mint ennek a problémának a rugalmasságelméleti módszerekkel való megoldása mutatja, megszűnik hipotézisnek lenni, egzakt ténnyé válik - a lapos szakaszok törvénye. A longitudinális kockázatok közötti távolságok változását mérve arra a következtetésre jutunk, hogy a longitudinális szálak nyomásmentességének hipotézise érvényes. A hossz- és keresztirányú hornyok alakváltozás előtti és utáni ortogonalitása (a síkmetszetek törvényének hatásának visszatükröződéseként) is jelzi a nyírások, nyírófeszültségek hiányát a rúd kereszt- és hosszmetszetében. 1. ábra. A belső erőfeszítés és a feszültség kapcsolata 2. ábra. Tiszta hajlított modell Így a prizmatikus rúd tiszta egyenes hajlítása egytengelyű feszültségre vagy a hosszanti szálak feszültségek általi összenyomására redukálódik (index G a következőkben kimarad). Ebben az esetben a szálak egy része a feszítőzónában van (a 2. ábrán ezek az alsó szálak), a másik része a kompressziós zónában (felső szálak). Ezeket a zónákat semleges réteg választja el. (n-n), amely nem változtatja meg a hosszát, amelyben a feszültségek nullával egyenlőek. Figyelembe véve a fent megfogalmazott előfeltételeket, és feltételezve, hogy a rúd anyaga lineárisan rugalmas, azaz a Hooke-törvény ebben az esetben a következőképpen alakul: ,
képleteket vezetünk le a semleges réteg görbületére (—görbületi sugár) és a normálfeszültségekre. Előzetesen megjegyezzük, hogy a prizmás rúd keresztmetszete és a hajlítónyomaték állandósága (M х = сconst), biztosítja a semleges réteg görbületi sugarának állandóságát a rúd hosszában (3. ábra, a), semleges réteg (n-n) körív írja le. Tekintsünk egy prizmás rudat egyenes egyenes hajlítási körülmények között (3. ábra, a), amelynek keresztmetszete a függőleges tengelyre szimmetrikus OU. Ez a feltétel nem befolyásolja a végeredményt (az egyenes hajláshoz szükséges, hogy a tengely Ó vele a keresztmetszet fő tehetetlenségi tengelye, amely a szimmetriatengely). Tengely Ökör semleges rétegre helyezzük, helyezzük el kit előre ismeretlen. a) számítási séma, b) feszültségek és feszültségek Tekintsünk egy hosszúságú rúdból kivágott elemet dzábrán, amely az áttekinthetőség érdekében torz arányokkal van ábrázolva. 3, b... Mivel az elem deformációi, amelyeket pontjainak relatív elmozdulása határoz meg, érdekesek, ezért az elem egyik végszakaszát állónak tekinthetjük. Kicsiségükre tekintettel feltételezzük, hogy a keresztmetszet pontjai ezen a szögön átforgatva nem ívek, hanem a megfelelő érintők mentén mozognak. Számítsuk ki a hosszanti szál relatív alakváltozását! AB, távolságra a semleges rétegtől nál nél: A háromszögek hasonlatosságából C00 1és 0 1 BB 1 ezt követi A hosszirányú deformáció a semleges rétegtől való távolság lineáris függvénye, ami egyenes következménye a síkszelvények törvényének Ez a képlet gyakorlati használatra nem alkalmas, mivel két ismeretlent tartalmaz: a semleges réteg görbületét és a semleges tengely helyzetét Ó amelyből a koordinátát mérik nál nél. Ezen ismeretlenek meghatározásához a statika egyensúlyi egyenleteit használjuk. Az első azt a követelményt fejezi ki, hogy a hosszirányú erő nullával egyenlő Ebbe az egyenletbe behelyettesítve a (2) kifejezést és ezt figyelembe véve azt kapjuk Az egyenlet bal oldalán lévő integrál a rúd keresztmetszetének a semleges tengelyhez viszonyított statikus nyomatéka Ó, amely csak a központi tengely körül lehet egyenlő nullával. Ezért a semleges tengely Óáthalad a keresztmetszet súlypontján. A statika egyensúlyának második egyenlete az, amely a normál feszültségeket köti össze egy hajlítónyomatékkal (ami könnyen kifejezhető külső erővel, ezért adott értéknek tekinthető). A kifejezést helyettesítve. feszültséget kapunk: és ezt figyelembe véve 4. ábra. Normál feszültségeloszlás amelyet először C. Coulomb kapott 1773-ban. A hajlítási nyomaték jeleihez igazodva M xés normál feszültségek az (5) képlet jobb oldalán mínuszjelet teszünk, mivel at M x> 0 normál stresszek at y> 0 összehúzódónak bizonyul. A gyakorlati számításoknál azonban kényelmesebb az előjelek formai szabályának betartása nélkül a feszültségeket modulussal meghatározni, az előjelet pedig jelentés szerint tenni. A prizmatikus rúd tiszta hajlítása során fellépő normál feszültségek a koordináta lineáris függvényei nál nélés a semleges tengelytől legtávolabbi szálakban éri el a legmagasabb értéket (4. ábra), pl. Itt mutatjuk be a geometriai jellemzőt Egyenes kanyar. Sík keresztirányú hajlítás Gerendák belső erőtényezőinek ábrázolása Q és M diagramok ábrázolása egyenletek segítségével Q és M diagramok ábrázolása jellemző metszetekből (pontokból) Szilárdsági számítások gerendák közvetlen hajlítására Fő hajlítófeszültségek. A gerendák szilárdságának teljes ellenőrzése A hajlítási középpont fogalma A gerendák elmozdulásának meghatározása hajlítás közben. A gerendák alakváltozásának fogalmai és merevségük feltételei Nyaláb görbe tengelyének differenciálegyenlete Közvetlen integrációs módszer Példák a gerendák elmozdulásának meghatározására direkt integráció módszerével Integrációs állandók fizikai jelentése Kezdeti paraméterek módszere (görbe tengely univerzális egyenlete) egy gerenda). Példák nyalábbeli elmozdulások meghatározására a kezdeti paraméterek módszerével Az elmozdulások meghatározása Mohr-módszerrel. Szabály A.K. Verescsagin. A Mohr integrál számítása A.K. szerint. Vereshchagin Példák az elmozdulások meghatározására a Mohr-féle integrál Bibliográfia Direct bend segítségével. Lapos oldalsó hajlítás. 1.1. A gerendák belső erőtényezőinek ábrázolása A közvetlen hajlítás az alakváltozás egyik fajtája, amelyben a rúd keresztmetszetein két belső erőtényező lép fel: a hajlítónyomaték és a nyíróerő. Egy adott esetben a nyíróerő nulla is lehet, ekkor a hajlítást tisztának nevezzük. A síkirányú keresztirányú hajlításnál minden erő a rúd egyik fő tehetetlenségi síkjában helyezkedik el, és merőleges a hossztengelyére, a nyomatékok ugyanabban a síkban (1.1. ábra, a, b). Rizs. 1.1 A gerenda tetszőleges keresztmetszetében fellépő keresztirányú erő numerikusan egyenlő a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő nyaláb tengelyére vonatkozó vetületeinek algebrai összegével. A keresztirányú erőt az mn gerenda szakaszában (1.2. ábra, a) pozitívnak tekintjük, ha a külső erők eredője a szelvény bal oldalán felfelé irányul, a jobb oldalon pedig lefelé, és negatívnak az ellenkező esetben. (1.2. ábra, b). Rizs. 1.2 Egy adott szakaszon a nyíróerő kiszámításakor a szakasztól balra eső külső erőket plusz előjellel vesszük, ha felfelé irányulnak, és mínusz előjellel, ha lefelé irányulnak. Ennek az ellenkezője igaz a gerenda jobb oldalára. 5 A hajlítónyomaték a gerenda tetszőleges keresztmetszetében számszerűen egyenlő a vizsgált szakasz egyik oldalán ható összes külső erő metszetének középső z tengelye körüli nyomatékok algebrai összegével. A hajlítónyomaték az mn gerenda szakaszában (1.3. ábra, a) akkor tekinthető pozitívnak, ha a külső erők eredő nyomatéka a szelvény bal oldalán az óramutató járásával megegyező, a jobb oldalon pedig az óramutató járásával ellentétes, a negatív pedig az ellenkező irányba irányul. tok (ábra. 1.3, b). Rizs. 1.3 Egy adott szakaszon a hajlítónyomaték kiszámításakor a szakasz bal oldalán fellépő külső erők nyomatékait akkor tekintjük pozitívnak, ha azok az óramutató járásával megegyező irányba irányulnak. Ennek az ellenkezője igaz a gerenda jobb oldalára. A hajlítónyomaték előjelét célszerű a gerenda deformációjának jellege alapján meghatározni. A hajlítónyomaték akkor tekinthető pozitívnak, ha a vizsgált szakaszon a gerenda levágott része lefelé van hajlítva, azaz az alsó szálak megfeszülnek. Ellenkező esetben a szelvény hajlítónyomatéka negatív. Differenciális összefüggések állnak fenn az M hajlítónyomaték, a Q nyíróerő és a q terhelési intenzitás között. 1. A nyíróerő első deriváltja a szelvény abszcissza mentén egyenlő az elosztott terhelés intenzitásával, azaz. ... (1.1) 2. A hajlítónyomaték első deriváltja a szelvény abszcissza mentén egyenlő a keresztirányú erővel, azaz. (1.2) 3. A második derivált a metszet abszcisszájára vonatkoztatva egyenlő az elosztott terhelés intenzitásával, azaz. (1.3) A felfelé irányuló megosztott terhelést pozitívnak tekintjük. Az M, Q, q közötti különbségi függőségekből számos fontos következtetés következik: 1. Ha a gerenda egy szakaszán: a) a keresztirányú erő pozitív, akkor a hajlítónyomaték nő; b) a keresztirányú erő negatív, ekkor a hajlítónyomaték csökken; c) a nyíróerő nulla, ekkor a hajlítónyomaték állandó értékű (tiszta hajlítás); 6 d) a keresztirányú erő nullán halad át, az előjelet pluszról mínuszra változtatja, max M M, ellenkező esetben M Mmin. 2. Ha nincs megosztott terhelés a gerenda szakaszán, akkor a nyíróerő állandó, a hajlítónyomaték lineárisan változik. 3. Ha a gerenda egy szakaszán egyenletes eloszlású terhelés van, akkor a nyíróerő lineáris törvény szerint változik, a hajlítónyomaték pedig a négyzetes parabola törvénye szerint, konvex a terhelés felé (az esetben egy M diagram ábrázolása a nyújtott szálak oldaláról). 4. A koncentrált erő alatti szakaszban a Q diagramon van egy ugrás (az erő értékével), az M diagramon az erő irányában van törés. 5. Abban a szakaszban, ahol a koncentrált nyomatékot alkalmazzuk, az M diagramnak ennek a nyomatéknak az értékével megegyező ugrása van. Ez nem tükröződik a Q diagramon. A gerenda összetett terhelésénél a Q nyíróerők és az M hajlítónyomatékok diagramjait ábrázoljuk A Q (M) diagram egy grafikon, amely a nyíróerő (hajlítónyomaték) változásának törvényét mutatja a gerenda hossza mentén. Az M és Q diagramok elemzése alapján megállapítják a gerenda veszélyes szakaszait. A Q diagram pozitív ordinátáit felfelé, a negatív ordinátákat pedig lefelé ábrázolja a nyaláb hossztengelyével párhuzamosan húzott alapvonaltól. Az M telek pozitív ordinátáit lefektetjük, a negatív ordinátákat pedig felfelé, vagyis az M diagramot a megfeszített szálak oldaláról építjük fel. A gerendák Q és M parcelláinak megépítését a támaszreakciók meghatározásával kell kezdeni. Az egyik visszafogott és a másik szabad végű gerendánál a Q és M diagramok felépítése a szabad végről kezdhető el anélkül, hogy a beágyazásban lévő reakciókat meghatároznánk. 1.2. Q és M diagramok ábrázolása az egyenletek szerint A gerenda szakaszokra oszlik, amelyeken belül a hajlítónyomatékra és a nyíróerőre vonatkozó függvények állandóak maradnak (nincs megszakadása). A szakaszok határai a koncentrált erők alkalmazási pontjai, az erőpárok és az elosztott terhelés intenzitásának változási helyei. Minden szakaszon egy tetszőleges szakaszt veszünk a koordináták origójától x távolságra, és ehhez a szakaszhoz összeállítjuk a Q és M egyenleteket, amelyekből a Q és M diagramok készíthetők. Q és M hajlítónyomatékok adott gerendára (1.4. ábra, a). Megoldás: 1. Támogatási reakciók meghatározása. Összeállítjuk az egyensúlyi egyenleteket: amiből megkapjuk A hordozók reakciói helyesen vannak definiálva. A gerenda négy részből áll Fig. 1.4 terhelés: CA, AD, DB, BE. 2. Ploting Q. Plot CA. A CA 1 szakaszon a gerenda bal végétől x1 távolságra tetszőleges 1-1 szakaszt rajzolunk. Q-t az 1-1 szakasztól balra ható külső erők algebrai összegeként határozzuk meg: A mínusz előjelet azért vesszük, mert a szakasz bal oldalán ható erő lefelé irányul. A Q kifejezés független az x1 változótól. A Q diagram ezen a területen az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenes vonalként jelenik meg. Kr. u. A helyszínen egy tetszőleges 2-2 szakaszt rajzolunk a gerenda bal végétől x2 távolságra. Q2-t a 2-2 szakasztól balra ható külső erők algebrai összegeként definiáljuk: 8. Q értéke állandó a szakaszban (nem függ az x2 változótól). A Q diagram a helyszínen az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenes. DB telek. A helyszínen tetszőleges 3-3 szakaszt készítünk a gerenda jobb végétől x3 távolságra. A Q3-at a 3-3 szakasztól jobbra ható külső erők algebrai összegeként definiáljuk: Az eredményül kapott kifejezés egy ferde egyenes egyenlete. BE telek. A helyszínen a gerenda jobb végétől x4 távolságra 4-4 szakaszt készítünk. Q-t a 4-4 szakasztól jobbra ható összes külső erő algebrai összegeként határozzuk meg: 4 Itt a pluszjelet veszik, mert a 4-4 szakasztól jobbra eredő terhelés lefelé irányul. A kapott értékek alapján ábrázoljuk a Q diagramokat (1.4. ábra, b). 3. M ábrázolása. Telek m1. Az 1-1 szakaszban a hajlítónyomatékot az 1-1 szakasztól balra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként határozzuk meg. - egyenes egyenlete. A szakasz 3 Határozza meg a 2-2 szakaszban a hajlítónyomatékot a 2-2 szakasztól balra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként. - egyenes egyenlete. DB 4 szakasz Határozza meg a 3-3 szakaszban a hajlítónyomatékot a 3-3 szakasztól jobbra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként. - négyzetes parabola egyenlete. 9 Keressen három értéket a szakasz végén és egy xk koordinátájú ponton, ahol BE szakasz 1 Határozza meg a 4-4 szakaszban a hajlítónyomatékot a 4- szakasztól jobbra ható erők nyomatékainak algebrai összegeként. 4. - négyzetes parabola egyenlete, az M4 három értékét találjuk: A kapott értékek felhasználásával megszerkesztjük M diagramját (1.4. ábra, c). A CA és AD szakaszokon a Q diagramot az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenesek, a DB és BE szakaszokban pedig ferde egyenesek korlátozzák. A Q diagram C, A és B szakaszaiban a megfelelő erők értékével ugrások találhatók, amelyek a Q diagram ábrázolásának helyességének ellenőrzésére szolgálnak. Azokon a szakaszokon, ahol Q 0, a nyomatékok balról nőnek. jobbra. Azokon a szakaszokon, ahol Q 0, a nyomatékok csökkennek. A koncentrált erők alatt az erők működése felé törések vannak. A koncentrált pillanat alatt ugrás történik a pillanat nagyságával. Ez jelzi az M ábrázolás helyességét. 1.2. példa Szerkessze meg a Q és M diagramokat két támaszon lévő, elosztott teherrel terhelt gerendára, amelynek intenzitása lineárisan változik (1.5. ábra, a). Megoldás Támogatási reakciók meghatározása. Az elosztott terhelés eredője megegyezik a háromszög területével, amely a terhelés diagramja, és ennek a háromszögnek a súlypontjára vonatkozik. Összeállítjuk az A és B pontokhoz viszonyított összes erő nyomatékának összegét: Q diagram felrajzolása. Rajzoljunk egy tetszőleges szakaszt a bal oldali támasztól x távolságra. A metszetnek megfelelő terhelési diagram ordinátáját a háromszögek hasonlóságából határozzuk meg A terhelés azon részének eredője, amely a szelvénytől balra helyezkedik el A keresztirányú erő a metszetben egyenlő A keresztirányú erő a szerint változik négyzetes parabola törvénye Ha a keresztirányú erő egyenletét nullával egyenlővé tesszük, megtaláljuk annak a szakasznak az abszcisszáját, amelyen a Q diagram nullán halad át: A Q diagramot az ábra mutatja. 1,5, b. A hajlítónyomaték egy tetszőleges szakaszon egyenlő: A hajlítónyomaték a köbös parabola törvénye szerint változik: A hajlítónyomaték maximális értéke abban a szakaszban van, ahol 0, azaz az M diagramnál a 1. ábra mutatja. 1,5, c. 1.3. Q és M diagramok ábrázolása jellemző metszetekkel (pontokkal) Az M, Q, q közötti differenciálfüggések és az azokból adódó következtetések felhasználásával célszerű a Q és M diagramokat jellemző metszetenként ábrázolni (egyenletek készítése nélkül). Ezzel a módszerrel a Q és M értékeket jellemző szakaszokban számítják ki. Jellemző szakaszok a szelvények határoló szakaszai, valamint azok a szakaszok, ahol az adott belső erőtényező szélső értékű. A karakterisztikus szakaszok közötti határokon belül az M, Q, q közötti differenciális függőségek és az ezekből adódó következtetések alapján a diagram 12. vázlata kerül kialakításra. 1.3. példa Szerkessze meg a Q és M diagramokat az ábrán látható gerendához. 1.6, a. Rizs. 1.6. Megoldás: A Q és M diagramok ábrázolását a nyaláb szabad végétől kezdjük, míg a beágyazás reakciói elhagyhatók. A gerendának három terhelési területe van: AB, BC, CD. Az AB és BC szakaszokon nincs megosztott terhelés. Az oldalirányú erők állandóak. A Q diagramot az abszcissza tengellyel párhuzamos egyenesek határolják. A hajlítási nyomatékok lineárisan változnak. Az M diagramot az abszcissza tengelyéhez képest ferde egyenesek határolják. A CD-részen egyenletesen elosztott terhelés van. A keresztirányú erők lineárisan változnak, a hajlítási nyomatékok pedig a négyzet alakú parabola törvénye szerint, amelynek kidudorodása az elosztott terhelés irányában van. Az AB és BC szakaszok határán az oldalirányú erő hirtelen megváltozik. A BC és CD szakaszok határán a hajlítónyomaték hirtelen megváltozik. 1. Q ábrázolás. Kiszámoljuk a Q nyíróerők értékeit a szelvények határoló szakaszaiban: A számítások eredményei alapján ábrázoljuk a gerenda Q görbéjét (1. ábra, b). A Q diagramból az következik, hogy a CD szakaszra ható keresztirányú erő nulla a szakasz elejétől qa a q távolságra lévő szakaszban. Ebben a szakaszban a hajlítónyomaték maximális értéke van. 2. M diagram felépítése A szelvények határoló szakaszaiban kiszámoljuk a hajlítónyomatékok értékeit: A maximális nyomatéknál a szelvényben A számítások eredményei alapján elkészítjük az M diagramot (5.6. ábra). , c). 1.4. példa Egy adott gerenda hajlítónyomaték-diagramját (1.7. ábra, a) felhasználva határozzuk meg a ható terheléseket, és készítsünk egy Q diagramot. A kör egy négyzet alakú parabola csúcsát jelöli. Megoldás: Határozza meg a gerendára ható terheléseket. Az AC szakasz egyenletes eloszlású terheléssel van terhelve, mivel az M diagram ebben a szakaszban négyzetes parabola. A B referenciaszelvényben az óramutató járásával megegyezően ható, koncentrált nyomatékot alkalmazunk a sugárnyalábra, mivel az M diagramon a nyomaték nagyságával felfelé ugrunk. Az ÉK-i szakaszon a gerenda nincs terhelve, mivel ezen a szakaszon az M diagramot egy ferde egyenes határolja. A B támasz reakcióját abból a feltételből határozzuk meg, hogy a C szakaszban a hajlítónyomaték nulla, azaz az elosztott terhelés intenzitásának meghatározásához az A szakaszban lévő hajlítónyomatékot az erőnyomatékok összegeként állítjuk össze. a jobb oldalon, és egyenlő nullával. Most definiáljuk az A támasz reakcióját. Ehhez a metszet hajlítónyomatékaira egy kifejezést készítünk a bal oldali erőnyomatékok összegeként. Egy teherrel rendelkező gerenda tervezési diagramja a 2. ábrán látható. 1.7, c. A gerenda bal végétől kiindulva kiszámítjuk a nyíróerők értékeit a szelvények határoló szakaszaiban: A Q diagram az 1. ábrán látható. 1.7, d) A vizsgált probléma megoldható úgy, hogy az egyes helyeken M, Q funkcionális függőségeket állítunk fel. Válassza ki az origót a sugár bal végén. Az AC szakaszon az M diagramot egy négyzetes parabola fejezi ki, melynek egyenlete a, b, c konstansok abból a feltételből származnak, hogy a parabola három ismert koordinátájú ponton halad át: A pontok koordinátáinak behelyettesítése a parabola egyenletébe a következőt kapjuk: A hajlítónyomaték kifejezése a következő lesz. Differenciálva az M1 függvényt, megkapjuk a keresztirányú erő függőségét A Q függvény differenciálása után megkapjuk az elosztott terhelés intenzitásának kifejezését A CB szakasz, a hajlítónyomaték kifejezését lineáris függvényként ábrázoljuk Az a és b állandók meghatározásához azt a feltételeket használjuk, hogy ez az egyenes áthalad két olyan ponton, amelyek koordinátái ismertek Két egyenletet kapunk:, b van egy 20. A CB szakaszon a hajlítónyomaték egyenlete a következő lesz. M2 kétszeres differenciálása után megtaláljuk az M és Q talált értékei alapján a gerenda hajlítónyomatékainak és nyíróerőinek diagramjait. Az elosztott terhelés mellett három szakaszban koncentrált erők fejtik ki a gerendát, ahol a Q diagramon vannak ugrások, és koncentrált nyomatékok abban a szakaszban, ahol van ugrás az M diagramon. 1.5. példa Egy gerendához (1.8. ábra, a) határozzuk meg a C csukló racionális helyzetét, amelynél a fesztávban a legnagyobb hajlítónyomaték egyenlő a beágyazás hajlítónyomatékával (abszolút értékben). Q és M diagramok felépítése Megoldás Támogatási reakciók meghatározása. Bár a támasztókötelek száma összesen négy, a gerenda statikailag meghatározható. A C csuklóban a hajlítónyomaték nulla, ami lehetővé teszi egy további egyenlet felállítását: a csukló egyik oldalán ható összes külső erő csuklójához viszonyított nyomatékok összege nulla. Állítsuk össze az összes erő nyomatékának összegét a C csuklótól jobbra. A gerenda Q diagramját egy ferde egyenes határolja, mivel q = const. Meghatározzuk a nyíróerők értékeit a gerenda határoló szakaszaiban: A szakasz xK abszcisszáját, ahol Q = 0, abból az egyenletből határozzuk meg, amelyből a gerenda M diagramját négyzetes parabola határolja. A metszetekben, ahol Q = 0, és a beágyazásban a hajlítónyomatékok kifejezéseit ennek megfelelően a következőképpen írjuk: A nyomatékegyenlőség feltételéből a keresett x paraméterre másodfokú egyenletet kapunk: Valós érték x2x 1, 029 m. Határozza meg a nyíróerők és a hajlítónyomatékok számszerű értékeit a gerenda jellemző metszeteiben Az 1.8. ábra, a b a Q diagramot mutatja, az 1. 1.8, c - M diagram. A vizsgált probléma megoldható úgy, hogy a csuklós gerendát az 1. ábrán látható módon felosztjuk alkotóelemeire. 1.8, d. Kezdetben meghatározzuk a VC és VB hordozók reakcióit. A Q és M diagramok a CB függesztett gerendára vonatkoznak a rá kifejtett terhelés hatására. Ezután az AC fő gerendájához mennek, megterhelve azt egy VC kiegészítő erővel, ami a CB gerenda AC gerendára ható nyomásereje. Ezután a Q és M diagramokat ábrázoljuk az AC nyalábra. 1.4. Szilárdsági számítások gerendák közvetlen hajlítására Szilárdsági számítások normál és nyírófeszültségekre. A gerenda direkt meghajlítása esetén a keresztmetszetein normál és tangenciális feszültségek keletkeznek (1.9. ábra). 18. ábra 1.9 A normál feszültségek hajlítónyomatékkal, a nyírófeszültségek nyíróerővel járnak. Egyenes tiszta hajlításnál a nyírófeszültségek nullák. A normál feszültségeket a gerenda keresztmetszetének tetszőleges pontjában az (1.4) képlet határozza meg, ahol M a hajlítónyomaték az adott szakaszon; Iz a szakasz tehetetlenségi nyomatéka a z semleges tengelyhez képest; y a távolság a normál feszültség meghatározásának pontjától a semleges z tengelyig. A normál feszültségek a szelvény magassága mentén lineárisan változnak, és a legnagyobb értéket a semleges tengelytől legtávolabbi pontokban érik el Ha a metszet a semleges tengelyre szimmetrikus (1.11. ábra), akkor a 1.1. 1.11 a legnagyobb húzó- és nyomófeszültségek azonosak, és a következő képlettel határozzák meg: a szakasz tengelyirányú ellenállási nyomatéka hajlításkor. B szélességű és h magasságú téglalap alakú metszetnél: (1.7) d átmérőjű körszelvénynél: (1.8) gyűrű alakú metszetnél - a gyűrű belső, illetve külső átmérője. A műanyagból készült gerendáknál a legracionálisabbak a szimmetrikus 20 metszetformák (I-gerendák, doboz alakúak, gyűrű alakúak). A feszültségnek és nyomásnak nem egyformán ellenálló, rideg anyagból készült gerendáknál a semleges z tengelyhez képest aszimmetrikus szakaszok (T, U alakú, aszimmetrikus I-gerenda) racionálisak. Szimmetrikus keresztmetszetű műanyagból készült állandó keresztmetszetű gerendákra a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.10) ahol Mmax a modulo legnagyobb hajlítónyomaték; - az anyag megengedett feszültsége. Aszimmetrikus keresztmetszetű műanyagból készült állandó keresztmetszetű gerendáknál a szilárdsági feltételt a következő formában írjuk fel: (1. 11) A semleges tengelyre aszimmetrikus metszetű, rideg anyagokból készült gerendák esetében, ha az M diagram egyértelmű (1.12. ábra), két szilárdsági feltételt kell felírnia - a semleges tengely és a legtávolabbi pontok távolságát. a veszélyes szakasz feszített, illetve összenyomott zónáiról; P - megengedett feszültségek húzásban és összenyomódásban, ill. 1.12. ábra. 21 Ha a hajlítási nyomatékok diagramja különböző előjelű metszeteket tartalmaz (1.13. ábra), akkor az 1-1 szakasz ellenőrzése mellett, ahol Mmax hat, ki kell számítani a legnagyobb húzófeszültségeket a 2-2 szakaszra (a legnagyobbakkal). ellenkező előjel pillanata). Rizs. 1.13 A normál feszültségekre vonatkozó alapszámítás mellett bizonyos esetekben ellenőrizni kell a gerenda szilárdságát a nyírófeszültségek tekintetében. A nyírófeszültségek a gerendákban a DI Zhuravsky (1.13) képlettel számíthatók ki, ahol Q a nyíróerő a gerenda figyelembe vett keresztmetszetében; Szotc - egy adott ponton keresztül húzott és a z tengellyel párhuzamos egyenes egyik oldalán elhelyezkedő szakasz egy részének a semleges tengelyéhez viszonyított statikus nyomaték; b a szakasz szélessége a kérdéses pont szintjén; Iz a teljes szakasz tehetetlenségi nyomatéka a semleges z-tengelyhez képest. A maximális nyírófeszültségek sok esetben a gerenda semleges rétegének (téglalap, I-gerenda, kör) szintjén jelentkeznek. Ilyen esetekben a nyírófeszültségi szilárdsági feltételt az (1.14) alakban írjuk fel, ahol Qmax a legnagyobb modulusú nyíróerő; Az anyag megengedett nyírófeszültsége. Egy gerenda téglalap alakú metszeténél a szilárdsági feltétel az (1.15) A alakú - a gerenda keresztmetszete. Körmetszet esetén a szilárdsági feltételt az (1.16) alakban ábrázoljuk. I-szelvénynél a szilárdsági feltételt a következőképpen írjuk fel: (1.17) ahol Szо, тmсax a statikus félmetszet nyomatéka a semleges tengelyhez képest; d - az I-gerenda falvastagsága. Általában a gerenda keresztmetszetének méreteit a szilárdság normál feszültségekhez viszonyított állapotából határozzák meg. A gerendák nyírófeszültségek szilárdságának ellenőrzése kötelező rövid és tetszőleges hosszúságú gerendák esetén, ha a támasztékok közelében nagy koncentrált erők vannak, valamint fa, szegecselt és hegesztett gerendáknál. 1.6. Példa Ellenőrizze egy doboz profilú gerenda szilárdságát (1.14. ábra) normál és nyírófeszültségekre, ha MPa. Ábrázolja a gerenda veszélyes szakaszát. Rizs. 1.14 23. megoldás 1. Q és M diagramok felépítése jellemző metszetekre. Figyelembe véve a gerenda bal oldalát, megkapjuk a keresztirányú erők diagramját, amely az ábrán látható. 1,14, c. A hajlítónyomatékok diagramja az ábrán látható. 5.14, g 2. A keresztmetszet geometriai jellemzői 3. A legnagyobb normálfeszültségek a C szakaszban, ahol Mmax hat (modulo): MPa. A gerendában a maximális normálfeszültségek gyakorlatilag megegyeznek a megengedett feszültségekkel. 4. A legnagyobb nyírófeszültségek a C (vagy A) szakaszban, ahol max Q hat (modulo): Itt van a félmetszet területének statikus nyomatéka a semleges tengelyhez képest; b2 cm - szelvényszélesség a semleges tengely szintjén. 5. Nyírófeszültségek egy pontban (a falban) a C szakaszban: Fig. 1,15 Itt Szomc 834,5 108 cm3 a K1 ponton átmenő egyenes feletti szelvényrész területének statikus nyomatéka; b2 cm - falvastagság a K1 pont szintjén. A gerenda C szakaszának és diagramja az ábrán látható. 1.15. 1.7. példa Az ábrán látható gerendához. 1.16, a, szükséges: 1. Készítsen nyíróerők és hajlítónyomatékok diagramjait jellemző metszeteken (pontokon)! 2. Határozza meg a keresztmetszet méreteit kör, téglalap és I-gerenda alakban a szilárdsági feltételből a normál feszültségekre vonatkoztatva, hasonlítsa össze a keresztmetszeti területeket! 3. Ellenőrizze a gerendák keresztmetszete kiválasztott méreteit nyírófeszültség szempontjából. Adott: Megoldás: 1. Határozza meg a gerendatartók reakcióit Ellenőrzés: 2. Ábrázolja a Q és M diagramokat. A nyíróerők értékei a gerenda jellemző metszeteiben 25. ábra. 1.16 A CA és AD szakaszokban a terhelés intenzitása q = állandó. Következésképpen ezeken a területeken a Q diagramot a tengelyhez képest ferde egyenesek korlátozzák. A DB szakaszban az elosztott terhelés intenzitása q = 0, ezért a diagram ezen szakaszában a Q egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes által határolt. A gerenda Q diagramja az ábrán látható. 1,16, b. A hajlítónyomatékok értékei a gerenda jellemző szakaszaiban: A második szakaszban meghatározzuk a szelvény x2 abszcisszáját, amelyben Q = 0: Maximális nyomaték a második szakaszban A gerenda M diagramja: ábrán látható. 1,16, c. 2. Megfogalmazzuk a normál feszültségekre a szilárdsági feltételt, amelyből meghatározzuk a metszet szükséges axiális ellenállási nyomatékát a körmetszet szükséges d átmérőjének kifejezéséből A körmetszet területe A négyszögmetszethez A szükséges szakasz magasság A téglalap alakú szakasz területe Határozza meg az I-gerenda kívánt számát. A GOST 8239-89 táblázatai szerint az axiális ellenállási nyomaték legközelebbi magasabb értékét 597 cm3 találjuk, amely megfelel a 33. számú I-gerenda a következő jellemzőkkel: A z 9840 cm4. Ellenőrizzük a tűréshatárt: (alulterhelés a megengedett 5%-hoz képest 1%-kal) a legközelebbi 30-as I-gerenda (Sz 2 cm3) jelentős túlterheléshez vezet (több mint 5%). Végül elfogadjuk a 33. számú I-gerenda. A kör- és téglalap alakú szakaszok területét összehasonlítjuk az I-gerenda legkisebb A területével: A három figyelembe vett szakasz közül az I-szelvény a leggazdaságosabb. 3. Kiszámoljuk a legnagyobb normálfeszültségeket a 27 I-gerenda veszélyes szakaszán (1.17. ábra, a): Normálfeszültségek a falban a gerenda I-szelvényének karimájához közel A normálfeszültségek diagramja a veszélyesben. ábra mutatja a gerenda metszetét. 1,17, b. 5. Határozza meg a legnagyobb nyírófeszültséget a gerenda kiválasztott szakaszaihoz! a) a gerenda négyszögletes metszete: b) a gerenda körmetszete: c) a gerenda I-szelvénye: Nyírófeszültségek a falban az I-gerenda pereménél az A veszélyes szakaszban (jobbra) (2. pontban) ): Az I-gerenda veszélyes szakaszaiban jelentkező nyírófeszültségek diagramja az ábrán látható. 1,17, c. A tartóban a maximális nyírófeszültségek nem haladják meg a megengedett feszültségeket 1.8. példa Határozza meg a gerendára ható megengedett terhelést (1.18. ábra, a), ha 60 MPa, akkor a keresztmetszeti méretek adottak (1.19. ábra, a). Készítsen diagramot a normál feszültségekről a gerenda veszélyes szakaszában a megengedett terhelés mellett! 1.18 ábra 1. A gerendatartók reakcióinak meghatározása. A rendszer szimmetriája miatt 2. Q és M diagramok felépítése jellemző metszetekre. Nyíróerők a gerenda jellemző metszeteiben: A gerenda Q diagramja az ábrán látható. 5.18, b. Hajlítónyomatékok a gerenda jellemző szakaszaiban A gerenda második felében az M ordináták a szimmetriatengelyek mentén vannak. ábrán látható egy gerenda M diagramja. 1,18, b. 3. A szelvény geometriai jellemzői (1.19. ábra). Az ábrát két legegyszerűbb elemre bontjuk: egy I-gerenda - 1 és egy téglalap - 2. ábra. 1.19 A 20-as számú I-gerenda választéka szerint egy téglalaphoz: A szelvény területének statikus nyomatéka a z1 tengelyhez viszonyítva Távolság a z1 tengelytől a szelvény súlypontjáig. veszélyes pont "a" ( 1.19. ábra) az I. veszélyes szakaszban (1.18. ábra): Az 5. számadatok pótlása után. A veszélyes szakaszban megengedett terhelés mellett az "a" és "b" pontokban a normál feszültségek egyenlőek lesznek: ábrán láthatók az 1-1 veszélyes szakasz normálfeszültségei. 1,19, b. Hajlítás deformációnak nevezzük, amelyben a rúd tengelye és annak összes szála, vagyis a rúd tengelyével párhuzamos hosszanti vonalak külső erők hatására meghajlanak. A hajlítás legegyszerűbb esete akkor érhető el, ha a külső erők a rúd középső tengelyén átmenő síkban fekszenek, és nem adnak vetületeket erre a tengelyre. Ezt a hajlítási esetet keresztirányú hajlításnak nevezzük. Különbséget kell tenni a lapos hajlítás és a ferde között. Lapos kanyar- olyan eset, amikor a rúd ívelt tengelye ugyanabban a síkban van, amelyben külső erők hatnak. Ferde (összetett) hajlítás- olyan hajlítási eset, amikor a rúd ívelt tengelye nem esik a külső erők hatássíkjába. A hajlítórudat általában ún gerenda. A gerendák síkirányú keresztirányú hajlításával egy y0x koordinátarendszerű szakaszon két belső erő keletkezhet - egy Q y keresztirányú erő és egy M x hajlítónyomaték; a következőkben a jelölést mutatjuk be számukra Kés M. Ha a gerenda szakaszán vagy szakaszán nincs keresztirányú erő (Q = 0), és a hajlítónyomaték nem nulla vagy M - const, akkor az ilyen hajlítást általában ún. tiszta. Keresztirányú erő a gerenda bármely szakaszában numerikusan egyenlő a megrajzolt szakasz egyik oldalán (bármelyik) elhelyezkedő összes erő (beleértve az alátámasztási reakciókat is) y tengelyre történő vetületeinek algebrai összegével. Hajlító nyomaték a gerenda metszetében számszerűen egyenlő a húzott szakasz egyik oldalán (bármelyik) elhelyezkedő erők (beleértve az alátámasztási reakciókat is) nyomatékainak algebrai összegével ennek a szakasznak a súlypontjához viszonyítva, pontosabban: a rajz síkjára merőlegesen átmenő tengely a megrajzolt metszet súlypontján keresztül. Kényszer Q bemutatja eredő elosztva a belső szakaszon nyírófeszültségek, a pillanat M– pillanatok összege X belső szakasz középtengelye körül normál feszültségek. Különböző kapcsolat van a belső erőfeszítések között amelyet a Q és M parcellák készítésekor és ellenőrzésekor használnak. Mivel a gerendaszálak egy része meg van feszítve, más része összenyomódik, és a feszítésből az összenyomódásba való átmenet simán, ugrások nélkül megy végbe, a gerenda középső részében van egy réteg, aminek a szálai csak meg vannak hajlítva, de nem. feszültséget vagy kompressziót tapasztal. Ezt a réteget ún semleges réteg... Azt az egyenest, amely mentén a semleges réteg metszi a gerenda keresztmetszetét, ún semleges vonal th or semleges tengely szakasz. Semleges vonalak vannak felfűzve a nyaláb tengelyére. A gerenda tengelyre merőleges oldalán húzott vonalak hajlításkor laposak maradnak. Ezek a kísérleti adatok lehetővé teszik, hogy a képletek következtetéseinek alapjául a síkszelvények hipotézisét tegyük. E hipotézis szerint a gerenda szakaszai laposak és merőlegesek a tengelyére hajlítás előtt, laposak maradnak, és a hajlítás során merőlegesek a gerenda íves tengelyére. A gerenda keresztmetszete hajlításkor eltorzul. A keresztirányú deformáció következtében a gerenda összenyomott zónájában megnőnek a keresztmetszet méretei, a feszített zónában pedig összenyomódnak. Feltételezések a képletek levezetéséhez. Normál feszültségek 1) A síkszelvények hipotézise teljesül. 2) A hosszirányú szálak nem nyomódnak egymáshoz, ezért normál feszültségek, lineáris feszültség vagy nyomómunka hatására. 3) A szálak alakváltozásai nem függnek a metszet szélességében elfoglalt helyzetüktől. Következésképpen a normál feszültségek, amelyek a szelvény magassága mentén változnak, a szélesség mentén változatlanok maradnak. 4) A sugárnak legalább egy szimmetriasíkja van, és minden külső erő ezen a síkon fekszik. 5) A gerenda anyaga engedelmeskedik a Hooke-törvénynek, és a húzó- és nyomórugalmassági modulusa azonos. 6) A gerenda méretei közötti összefüggés olyan, hogy síkhajlítási körülmények között is működik vetemedés vagy csavarodás nélkül. Tiszta hajlítással a szakaszában lévő emelvények gerendái csak hatnak normál feszültségek képlet határozza meg: ahol y a szakasz tetszőleges pontjának koordinátája, a semleges vonaltól mérve - az x fő központi tengely. A normál hajlítófeszültségek a szelvénymagasság mentén megoszlanak lineáris törvény... A legkülső szálakon a normál feszültségek elérik maximális értéküket, a súlypontban pedig a szakaszok nullával egyenlőek. A semleges vonalhoz viszonyított szimmetrikus szakaszok normálfeszültségeinek diagramjainak jellege A normál feszültségek diagramjainak jellege olyan szakaszok esetében, amelyeknek nincs szimmetriája a semleges egyenesre A semleges vonaltól legtávolabbi pontok veszélyesek. Válasszunk egy szakaszt A szakasz bármely pontját nevezzük pontnak NAK NEK, a gerenda szilárdságának feltétele normál feszültségek mellett a következő: ez a szakasz tengelyirányú ellenállási nyomatéka a semleges tengelyhez képest. Mérete cm 3, m 3. Az ellenállási nyomaték a keresztmetszet alakjának és méreteinek a feszültségek nagyságára gyakorolt hatását jellemzi. Erősségi feltétel normál igénybevételekhez: Ha az anyag nem egyformán ellenáll a nyújtásnak és a nyomásnak, akkor két szilárdsági feltételt kell alkalmazni: a megengedett húzófeszültséggel rendelkező húzózónához; megengedhető nyomófeszültségű kompressziós zónához. Keresztirányú hajlítás esetén a peronok gerendái a szakaszában úgy működnek, mint Normálés érintők feszültség.Kapcsolódó témájú cikkek
Vélemények
ahol J x- a fő központi tehetetlenségi nyomaték a tengely körül Ó, a semleges réteg görbületére a képletet kapjuk
, amelynek mérete m 3 és hívott ellenállási nyomaték hajlításkor. Mivel adottnak M x hangsúlyozza max? minél kevesebb, annál több Sz x, az ellenállás pillanata a keresztmetszeti hajlítószilárdság geometriai jellemzője. Adjunk példákat a legegyszerűbb keresztmetszeti alakzatok ellenállási nyomatékának kiszámítására. Téglalap keresztmetszethez (5. ábra, a) nekünk van J х = bh 3/12, y max = h/2és W x = J x / y max = bh 2/6. Hasonlóan a körhöz (5. ábra). , a J x =d 4 /64, y max = d / 2) kapunk W x =d 3/ 32, kör alakú körmetszethez (5. ábra, v), melyik
, ahol n.o. - ez semleges tengely
A normál feszültség egyenlő a maximális hajlítónyomaték és a szakasz semleges tengelyhez viszonyított tengelyirányú ellenállási nyomatékának arányával.