, [−5π / 2; −3π / 2] ,. ... ... - sa isang salita, sa lahat ng mga segment [−π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], kung saan ang k Z, at bumababa sa lahat ng mga segment

[π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn], kung saan ang n Z.

Gawain 11.6. Sa anong mga pagitan ang pagtaas ng function na y = cos x at sa anong mga pagitan?

Gawain 11.8. Ayusin sa pataas na pagkakasunud-sunod: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Mga graph ng tangent at cotangent

Bumuo tayo ng graph ng function na y = tg x. Una, buuin natin ito para sa mga numerong x na kabilang sa pagitan (−π / 2; π / 2).

Kung x = 0, tg x = 0; kapag ang x ay tumaas mula 0 hanggang π / 2, ang tan x ay tumataas din - ito ay makikita kung titingnan mo ang tangent axis (Larawan 12.1 a). Kapag ang x ay lumalapit sa π / 2, nananatiling mas kaunti

kanin. 12.2. y = tg x.

π / 2, ang halaga ng tan x ay tumataas (point M sa Fig. 12.1 a ay tumataas at mas mataas) at maaari, malinaw naman, maging isang arbitraryong malaking positibong numero. Katulad nito, kapag ang x ay bumaba mula 0 hanggang −π / 2, ang tan x ay nagiging negatibong numero, ang ganap na halaga nito ay tumataas habang ang x ay lumalapit sa −π / 2. Para sa x = π / 2 o −π / 2, ang function na tan x ay hindi natukoy. Samakatuwid, ang graph na y = tan x sa x (−π / 2; π / 2) ay halos katulad ng sa Fig. 12.1 b.

Malapit sa pinanggalingan ng mga coordinate, ang aming curve ay malapit sa tuwid na linya y = x x: pagkatapos ng lahat, para sa maliliit na acute angle, ang tinatayang pagkakapantay-pantay tg x ≈ x ay totoo. Masasabi nating ang tuwid na linyang y = x ay humahawak sa graph ng function na y = tg x sa pinanggalingan. Bilang karagdagan, ang curve sa Figure 12.1b ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang function na y = tg x ay kakaiba, iyon ay, ang pagkakakilanlan tg (−x) = - tg x ay natupad.

Upang i-plot ang function na y = tg x para sa lahat ng x, tandaan na ang tg x ay isang periodic function na may period na π. Samakatuwid, upang makakuha ng kumpletong graph ng function na y = tg x, kinakailangan na ulitin nang walang katapusan nang maraming beses ang curve sa Fig. 12.1 b, inililipat ito kasama ang abscissa sa layo na πn, kung saan ang n ay isang integer. Ang huling anyo ng graph ng function na y = tg x ay ipinapakita sa Fig. 12.2.

Ayon sa graph, makikita nating muli na ang function na y = tg x

kanin. 12.3. y = ctg x.

hindi tinukoy para sa x = π / 2 + πn, n Z, iyon ay, para sa mga x kung saan cos x = 0. Mga linyang patayo na may mga equation na x = π / 2, 3π / 2 ,. ... ... ang mga sangay ng graph na papalapit ay tinatawag na graph asymptotes.

Ang parehong fig. 12.2 nailarawan namin ang mga solusyon ng equation tg x = a.

Bumuo tayo ng graph ng function na y = ctg x. Ang pinakamadaling paraan ay, gamit ang reduction formula ctg x = tg (π / 2 - x), upang makuha ang graph na ito mula sa graph ng function na y = tg x gamit ang mga pagbabagong tulad ng inilarawan namin sa nakaraang talata. Ang resulta ay ipinapakita sa Fig. 12.3

Gawain 12.1. Ang graph ng function na y = ctg x ay nakuha mula sa graph ng function na y = tg x gamit ang symmetry tungkol sa ilang tuwid na linya. Alin? Mayroon bang iba pang mga tuwid na linya na may tinukoy na pag-aari?

Gawain 12.2. Ano ang hitsura ng equation ng isang tuwid na linya na humahawak sa graph ng function na y = ctg x sa isang punto na may mga coordinate (π / 2; 0)?

Gawain 12.3. Ihambing ang mga numero: a) tg (13π / 11) at tg 3.3π; b) tan 9.6π at ctg (−11.3π).

Gawain 12.4. Ayusin ang mga numero sa pataas na pagkakasunud-sunod: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Gawain 12.5. I-plot ang mga function graph:

Gawain 12.7. I-plot ang function na y = arctan x + arctan (1 / x).

§ 13. Ano ang sin x + cos x?

Sa seksyong ito susubukan naming lutasin ang sumusunod na problema: ano ang pinakamalaking halaga na maaaring kunin ng expression na sin x + cos x?

Kung tama ang iyong naisip, dapat ay nakuha mo na sa lahat ng x sa talahanayang ito, ang pinakamalaking halaga ay sin x + cos x

ay nakuha para sa x malapit sa 45◦, o, sa radian measure, sa π / 4.

Kung x = π / 4, ang eksaktong halaga ng sin x + cos x ay 2. Lumalabas na ang resulta ng aming nakuhang eksperimental ay

ay talagang totoo: para sa lahat ng x, ang hindi pagkakapantay-pantay na sin x + cos x 6

2, kaya 2 ang pinakamalaking value na tinatanggap ng expression na ito.

Kulang pa rin tayo sa paraan upang patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito sa pinaka natural na paraan. Sa ngayon, ipapakita namin sa iyo kung paano bawasan ito sa isang problema sa planimetry.

Kung 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Samakatuwid, ang aming gawain ay reformulated bilang mga sumusunod: upang patunayan na ang kabuuan ng mga haba ng mga binti ng isang right-angled triangle na may hypotenuse 1 ay magiging maximum kung ang tatsulok na ito ay isosceles.

Gawain 13.1. Patunayan ang pahayag na ito.

Dahil ang isosceles right-angled triangle na may hy-

Potensyal 1, ang kabuuan ng mga haba ng mga binti ay katumbas ng 2√, ang resulta ng problemang ito ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakapantay-pantay na sin x + cos x 6 2 para sa lahat ng x na nakahiga sa pagitan (0; π / 2). Mula dito ay madali nang maghinuha na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak sa lahat ng x sa pangkalahatan.

Ang resulta ng Problema 13.1 ay totoo hindi lamang para sa right-angled triangles.

Gawain 13.2. Patunayan na sa lahat ng tatsulok na may ibinigay na panig AC at anggulo B ang pinakamalaking kabuuan ng AB + BC ay para sa isang isosceles triangle na may base AC.

Balik tayo sa trigonometry.

Gawain 13.3. Gamit ang talahanayan ng sine mula sa § 3, i-plot ang function na y = sin x + cos x point by point.

Indikasyon. Tandaan na ang x ay dapat ipahayag sa radians; para sa mga x value sa labas ng range, gamitin ang mga cast formula.

Kung ginawa mo nang tama ang lahat, dapat ay mayroon kang parang sine na kurba. Makikita natin sa ibang pagkakataon na ang kurba na ito ay hindi lamang katulad, ngunit isang sinusoid. Malalaman din natin kung paano hanapin ang pinakamalaking halaga ng mga expression tulad ng 3 sin x + 4 cos x (nga pala, ang graph ng function na y = 3 sin x + 4 cos x ay sinusoid din!).

Ang video tutorial na ito ay sumasaklaw sa mga katangian ng mga function y =tgx, y = ctgx, nagpapakita kung paano bumuo ng kanilang mga graph.

Nagsisimula ang video tutorial sa pamamagitan ng pagtingin sa function y =tgx.

Ang mga katangian ng function ay naka-highlight.

1) Ang saklaw ng pag-andar y =tgx lahat ng tunay na numero ay pinangalanan, maliban x =π / 2 + 2 πk. Yung. walang mga punto sa graph na kabilang sa isang tuwid na linya x =π / 2 at x = -π / 2, at din x = 3π / 2 at iba pa (na may parehong dalas). Samakatuwid, ang graph ng function y =tgx ay bubuo ng walang katapusang bilang ng mga sangay na nasa pagitan ng mga tuwid na linya x = - 3π / 2 at x = -π / 2, x = -π / 2 at x = π / 2 at iba pa.

2) Pag-andar y =tgx ay panaka-nakang, kung saan ang pangunahing panahon ay π. Kinukumpirma nito ang pagkakapantay-pantay tg (x - π ) = tg x =tg (x +π ) . Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay pinag-aralan nang mas maaga, inaanyayahan ng may-akda ang mga mag-aaral na alalahanin ang mga ito, na nagpapahiwatig na para sa anumang katanggap-tanggap na halaga t ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

tg (t + π ) = tg t, at c tg (t +π ) = ctg t... Ang kahihinatnan ng mga pagkakapantay-pantay na ito ay kung ang isang sangay ng graph ng function na y = tg x sa pagitan ng mga tuwid na linya X = - π / 2 at X= π / 2, kung gayon ang natitirang mga sanga ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paglilipat ng sangay na ito kasama ang x axis sa pamamagitan ng π, 2π at iba pa.

3) Pag-andar y =tgx ay kakaiba dahil . tg (- x) =- tg x.

Susunod, magpatuloy tayo sa pag-plot ng function y =tgx. Tulad ng sumusunod mula sa mga katangian ng function na inilarawan sa itaas, ang function y =tgx panaka-nakang at kakaiba. Samakatuwid, ito ay sapat na upang bumuo ng bahagi ng graph - isang sangay sa isang pagitan, at pagkatapos ay gamitin ang simetrya para sa paglipat. Nagbibigay ang may-akda ng isang talahanayan kung saan kinakalkula ang mga halaga tgx sa ilang mga halaga x para sa mas tumpak na pag-plot. Ang mga puntong ito ay minarkahan sa coordinate axis at konektado ng isang makinis na linya. kasi ang graph ay simetriko tungkol sa pinagmulan, pagkatapos ay ang parehong sangay ay binuo, simetriko sa pinanggalingan. Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang sangay ng graph y =tgx. Dagdag pa, gamit ang isang shift kasama ang x-axis sa pamamagitan ng π, 2 π, at iba pa, isang graph ang nakuha y =tgx.

Function graph y =tgx ay tinatawag na tangentoid, at ang tatlong sangay ng graph na ipinapakita sa figure ay ang mga pangunahing sangay ng tangentoid.

4) Pag-andar y =tgx sa bawat isa sa mga pagitan (- +; +) ay tumataas.

5) Function graph y =tgx walang pang-itaas o mas mababang mga paghihigpit.

6) Pag-andar y =tgx ay walang pinakamalaki at hindi gaanong kahalagahan.

7) Pag-andar y =tgx tuloy-tuloy sa anumang pagitan (- - π / 2 + π; π / 2 + π). Ang tuwid na linya π / 2 + π ay tinatawag na asymptote ng graph ng function. y =tgx mula noon sa mga puntong ito ang graph ng function ay naaantala.

8) Isang hanay ng mga halaga ng function y =tgx lahat ng tunay na numero ay pinangalanan.

Ang sumusunod na video tutorial ay nagbibigay ng isang halimbawa: Lutasin ang isang equation sa tgx... Upang malutas, nag-plot kami ng 2 graph ng function sa at hanapin ang mga punto ng intersection ng mga graph na ito: ito ay isang walang katapusang hanay ng mga puntos, ang mga abscissas na naiiba sa pamamagitan ng πk. Ang magiging ugat ng equation na ito X= π / 6 + πk.

Isaalang-alang ang graph ng function y =ctgx. Ang function graph ay maaaring i-plot sa dalawang paraan.

Ang unang paraan ay nagsasangkot ng pag-plot ng isang graph sa parehong paraan tulad ng pag-plot ng isang graph. function y =tgx. Bumuo tayo ng isang sangay ng graph ng function y = ctgx sa pagitan ng mga tuwid na linya X= 0 at X= π. Pagkatapos, gamit ang symmetry at periodicity, bubuo tayo ng iba pang sangay ng graph.

Ang pangalawang paraan ay mas simple. Function graph y = ctgx ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagbabago ng tangentoid gamit ang reduction formula Satgx = - tg (x +π / 2). Upang gawin ito, ililipat namin ang isang sangay ng graph ng function y = tgx kasama ang abscissa axis sa pamamagitan ng π / 2 sa kanan. Ang natitirang mga sanga ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng sangay na ito kasama ang x-axis ng π, 2π, at iba pa. Function graph y = ctg x ay tinatawag ding tangentoid, at ang sangay ng graph sa pagitan (0; π) ay ang pangunahing sangay ng tangentoid.

TEXT CODE:

Isasaalang-alang namin ang mga katangian ng function na y = tg x (y = tangent x), y = ctg x (y = cotangent x), bumuo ng kanilang mga graph. Isaalang-alang ang function na y = tgx

Bago i-plot ang function y = tg x, isusulat namin ang mga katangian ng function na ito.

PROPERTY 1. Ang domain ng function na y = tan x ay lahat ng tunay na numero, maliban sa mga numero ng anyong x = + πk (x ay katumbas ng kabuuan ng pi ng dalawa at pi ka).

Nangangahulugan ito na sa graph ng function na ito ay walang mga puntos na nabibilang sa tuwid na linya x = (nakukuha namin kung k = 0 ka ay katumbas ng zero) at ang tuwid na linya x = (x ay katumbas ng minus pi ng dalawa) (nakukuha natin kung k = - 1 ka ay katumbas ng minus one), at ang tuwid na linya x = (x ay katumbas ng tatlong pi ng dalawa) (nakukuha natin kung ang k = 1 ka ay katumbas ng isa), atbp. Kaya ang graph ng function na y = tg x ay bubuo ng isang walang katapusang hanay ng mga sanga na nasa pagitan ng mga tuwid na linya. Namely, sa strip sa pagitan ng x = at x = -; sa strip x = - at x =; sa strip x = at x = at iba pa ad infinitum.

PROPERTY 2. Ang function na y = tan x ay periodic na may pangunahing period π. (Dahil totoo ang dobleng pagkakapantay-pantay

tan (x- π) = tanx = tan (x + π) tangent ng x minus pi ay katumbas ng tangent ng x at katumbas ng tangent ng x plus pi). Isinaalang-alang namin ang pagkakapantay-pantay na ito kapag nag-aaral ng tangent at cotangent. Paalalahanan natin siya:

Para sa anumang tinatanggap na halaga ng t, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

tg (t + π) = tgt

ctg (t + π) = ctgt

Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ito na, sa pamamagitan ng pagbuo ng isang sangay ng graph ng function na y = tg x sa pagitan mula sa x = - at x =, nakukuha natin ang natitirang mga sanga sa pamamagitan ng paglilipat ng itinayong sangay sa kahabaan ng X axis ng π, 2π , at iba pa.

PROPERTY 3. Ang function na y = tg x ay isang kakaibang function, dahil ang equality tg (- x) = - tg x ay totoo.

Bumuo tayo ng graph ng function na y = tg x

Dahil ang function na ito ay pana-panahon, ay binubuo ng isang walang katapusang hanay ng mga sanga (sa strip sa pagitan ng x = at x =, pati na rin sa strip sa pagitan ng x = at x =, atbp.) at kakaiba, pagkatapos ay gagawa kami ng isang bahagi ng graph sa pamamagitan ng mga puntos sa pagitan mula sa zero hanggang pi ng dalawa (), pagkatapos ay gamitin ang simetrya ng pinagmulan at periodicity.

Bumuo tayo ng isang talahanayan ng mga tangent na halaga para sa pag-plot.

Nahanap namin ang unang punto: alam na sa x = 0 tg x = 0 (x katumbas ng zero ang tangent x ay katumbas din ng zero); ang susunod na punto: sa x = tg x = (x ay katumbas ng pi sa pamamagitan ng anim na tangent x ay katumbas ng ugat ng tatlo hanggang tatlo); tandaan ang mga sumusunod na puntos: sa x = tg x = 1 (x ay katumbas ng pi ng apat na tangent x ay katumbas ng isa), at sa x = tan x = (x katumbas ng pi ng tatlong tangent x ay katumbas ng square root ng tatlo). Ang pagmamarka ng nakuha na mga punto sa coordinate plane at ikonekta ang mga ito sa isang makinis na linya (Larawan 2).

Dahil ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinanggalingan, gagawa tayo ng parehong sangay na simetriko sa pinanggalingan. (fig. 3).

At, sa wakas, ang paglalapat ng periodicity, nakakakuha tayo ng graph ng function na y = tg x.

Nagtayo kami ng sangay ng graph ng function na y = tg x sa strip mula sa x = - at x =. Binubuo namin ang natitirang mga sanga sa pamamagitan ng paglilipat ng itinayong sangay sa kahabaan ng X axis ng π, 2π, at iba pa.

Ang naka-plot na graph ay tinatawag na tangentoid.

Ang bahagi ng tangentoid na ipinapakita sa Figure 3 ay tinatawag na pangunahing sangay ng tangentoid.

Batay sa graph, isusulat din namin ang mga katangian ng function na ito.

PROPERTY 4. Ang function na y = tan x ay tumataas sa bawat isa sa mga pagitan (mula sa minus pi ng dalawang plus pi hanggang pi ng dalawang plus pi).

PROPERTY 5. Ang function na y = tg x ay hindi nakatali sa itaas o sa ibaba.

PROPERTY 6. Ang function na y = tan x ay walang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga.

PROPERTY 7. Ang function na y = tan x ay tuloy-tuloy sa anumang pagitan ng form (mula sa minus pi ng dalawang plus pi hanggang pi ng dalawang plus pi ka).

Ang tuwid na linya ng anyong x = + πk (x ay katumbas ng kabuuan ng pi ng dalawa at p ka) ay ang patayong asymptote ng graph ng function, dahil sa mga punto ng anyong x = + πk ang function ay mayroong isang discontinuity.

PROPERTY 8. Ang hanay ng mga halaga ng function na y = tg x ay lahat ng tunay na numero, iyon ay (e mula sa eff ay katumbas ng pagitan mula minus infinity hanggang plus infinity).

HALIMBAWA 1. Solve the equation tg x = (tangent x is equal to the root of three by three).

Solusyon. Buuin natin sa isang coordinate system ang mga graph ng mga function y = tg x

(ang laro ay katumbas ng tangent ng x) at y = (ang laro ay katumbas ng ugat ng tatlo na hinati ng tatlo).

Nakakuha kami ng walang hanggan na maraming intersection point, ang mga abscissas na naiiba sa isa't isa sa pamamagitan ng πk (pi ka). Dahil tg x = sa x =, ang abscissa ng intersection point sa pangunahing sangay ay (pi by six).

Isinulat namin ang lahat ng mga solusyon ng equation na ito sa pamamagitan ng formula x = + πk (x ay katumbas ng pi sa pamamagitan ng anim na plus pi ka).

Sagot: x = + πk.

Bumuo tayo ng graph ng function na y = ctg x.

Isaalang-alang natin ang dalawang paraan ng pagtatayo.

Ang unang paraan ay katulad ng pag-plot ng function na y = tg x.

Dahil ang function na ito ay panaka-nakang, binubuo ng isang walang katapusang hanay ng mga sanga (sa strip sa pagitan ng x = 0 at x = π, pati na rin sa strip sa pagitan ng x = π at x = 2π, atbp.) at kakaiba, kung gayon tayo ay bubuo ng isang bahagi ng graph sa pamamagitan ng mga puntos sa pagitan mula sa zero hanggang pi ng dalawa (), pagkatapos ay gumagamit kami ng symmetry at periodicity.

Gamitin natin ang talahanayan ng mga halaga ng cotangent upang i-plot ang graph.

Ang pagmamarka ng mga nakuha na puntos sa coordinate plane at ikonekta ang mga ito sa isang makinis na linya.

Dahil ang graph ng function ay simetriko na may kinalaman sa, gagawa kami ng parehong sangay nang simetriko.

Inilapat namin ang periodicity, nakakakuha kami ng isang graph ng function na y = ctg x.

Nakagawa kami ng sangay ng graph ng function na y = ctg x sa strip mula sa x = 0 at x = π. Binubuo namin ang natitirang mga sanga sa pamamagitan ng paglilipat ng itinayong sangay sa kahabaan ng x-axis ng π, - π, 2π, - 2π, at iba pa.

Pangalawang paraan pag-plot ng function y = ctg x.

Ang pinakamadaling paraan upang makuha ang graph ng function na y = ctg x ay sa pamamagitan ng pagbabago ng tangentoid gamit ang reduction formula (ang cotangent x ay katumbas ng minus ang tangent ng kabuuan ng x at pi ng dalawa).

Sa kasong ito, una, inilipat namin ang sangay ng graph ng function na y = tg x kasama ang abscissa axis sa kanan, nakukuha namin

y = tg (x +), at pagkatapos ay ginagawa namin ang simetrya ng nagresultang graph tungkol sa abscissa axis. Ang resulta ay isang sangay ng graph ng function na y = ctg x (Fig. 4). Ang pag-alam sa isang sangay, maaari nating buuin ang buong graph gamit ang dalas ng function. Binubuo namin ang natitirang mga sanga sa pamamagitan ng paglilipat ng itinayong sangay sa kahabaan ng x-axis ng π, 2π, at iba pa.

Ang graph ng function na y \ u003d ctg x ay tinatawag ding tangentoid, tulad ng graph ng function na y \ u003d tg x. Ang sangay, na nakapaloob sa pagitan mula sa zero hanggang pi, ay tinatawag na pangunahing sangay ng graph ng function na y = ctg x.

Nakasentro sa punto A.
Ang α ay ang anggulo na ipinahayag sa radians.

Tangent ( tg α) ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng isang right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng tapat na binti | sa haba ng katabing binti | AB | ...

Cotangent ( ctg α) ay isang trigonometric function na depende sa anggulo α sa pagitan ng hypotenuse at ng binti ng right triangle, katumbas ng ratio ng haba ng katabing binti | sa haba ng tapat na binti | BC | ...

Padaplis

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang tangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
;
;
.

Plot ng tangent function, y = tg x

Cotangent

saan n- buo.

Sa panitikan sa Kanluran, ang cotangent ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Ang mga sumusunod na pagtatalaga ay pinagtibay din:
;
;
.

Cotangent function graph, y = ctg x

Tangent at Cotangent Properties

Periodicity

Mga function y = tg x at y = ctg x periodic na may period na π.

Pagkakapantay-pantay

Ang padaplis at cotangent function ay kakaiba.

Mga domain at halaga, tumataas, bumababa

Ang tangent at cotangent function ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng tangent at cotangent ay ipinakita sa talahanayan ( n- buo).

Mga pormula

Mga expression sa mga tuntunin ng sine at cosine

; ;
; ;
;

Mga formula para sa tangent at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba

Ang natitirang mga formula ay madaling makuha, halimbawa

Produkto ng tangents

Formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga tangent

Ipinapakita ng talahanayang ito ang mga halaga ng tangent at cotangent para sa ilang halaga ng argumento.

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Mga expression sa mga tuntunin ng hyperbolic function

;
;

Derivatives

; .

.
Derivative ng n-th order na may kinalaman sa variable x ng function:
.
Derivation ng mga formula para sa tangent>>>; para sa cotangent>>>

Mga integral

Mga pagpapalawak ng serye

Upang makakuha ng pagpapalawak ng tangent sa mga kapangyarihan ng x, kailangan mong kumuha ng ilang termino ng pagpapalawak sa isang serye ng kapangyarihan para sa mga function. kasalanan x at kasi x at hatiin ang mga polynomial na ito sa bawat isa,. Nagbubunga ito ng mga sumusunod na formula.

Sa .

sa .
saan B n- Mga numero ng Bernoulli. Ang mga ito ay tinutukoy alinman mula sa pag-uulit na kaugnayan:
;
;
saan .
O ayon sa formula ng Laplace:

Inverse function

Ang mga inverse function ng tangent at cotangent ay arc tangent at arc cotangent, ayon sa pagkakabanggit.

Arctangent, arctg

, saan n- buo.

Arccotangent, arcctg

, saan n- buo.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng mga Teknikal na Institusyon, "Lan", 2009.
G. Korn, A Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.