Det der kaldes forhøjelsen af argumentet. Åbent bibliotek - åbent bibliotek med pædagogisk information
Lad x være et vilkårligt punkt, der ligger i et eller andet område af et fast punkt x 0 . forskellen x - x 0 kaldes normalt stigningen af den uafhængige variabel (eller stigningen af argumentet) i punktet x 0 og betegnes med Δx. På denne måde
Δx \u003d x - x 0,
hvoraf følger det
Funktionsstigning − forskel mellem to funktionsværdier.
Lad funktionen på = f(x), defineret med en argumentværdi lig med x 0 . Lad os øge D x, ᴛ.ᴇ. overvej værdien af argumentet ͵ lig med x 0+D x. Antag, at denne argumentværdi også er inkluderet i denne funktions omfang. Så er forskellen D y = f(x 0+D X) – f(x0) kaldes stigningen af en funktion. Funktionsstigning f(x) på punktet x er en funktion, der normalt betegnes Δ x f på den nye variabel Δ x defineret som
Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).
Find stigningen af argumentet og stigningen af funktionen i punktet x 0 if
Eksempel 2. Find stigningen af funktionen f (x) \u003d x 2 hvis x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1
Løsning: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2
Find tilvæksten af funktionen ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /
Erstat værdierne x=1 og ∆x= 0,1, vi får ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21
Find stigningen af argumentet og stigningen af funktionen i punkterne x 0
2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4
3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8
4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8
Definition: Afledte Det er sædvanligt at kalde en funktion ved et punkt grænsen (hvis den eksisterer og er endelig) for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af argumentet, forudsat at sidstnævnte har en tendens til nul.
Følgende notation for den afledede er mest almindeligt anvendt:
På denne måde
At finde den afledede kaldes differentiering . Introduceret definition af en differentierbar funktion: En funktion f, der har en afledet i hvert punkt i et eller andet interval, kaldes differentiabel på dette interval.
Lad en funktion defineres i et eller andet område af punktet Det er sædvanligt at kalde den afledede af en funktion et sådant tal, at funktionen i naboskabet U(x 0) kan repræsenteres som
f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)
hvis findes.
Definition af den afledede af en funktion i et punkt.
Lad funktionen f(x) defineret på intervallet (a;b), og er punkterne i dette interval.
Definition. Afledt funktion f(x) på et tidspunkt er det sædvanligt at kalde grænsen for forholdet mellem stigningen af en funktion og stigningen af argumentet ved . Udpeget.
Når den sidste grænse får en bestemt slutværdi, så taler man om eksistensen endelig afledt på et punkt. Hvis grænsen er uendelig, så siger vi det afledt er uendelig på et givet punkt. Hvis grænsen ikke eksisterer, så den afledede af funktionen eksisterer ikke på dette tidspunkt.
Fungere f(x) siges at være differentierbar på et tidspunkt, hvor den har en endelig afledt.
I tilfælde af funktionen f(x) er differentierbar på hvert punkt i et eller andet interval (a;b), så kaldes funktionen differentiabel på dette interval. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ethvert punkt x fra kløften (a;b) vi kan associere værdien af den afledede af funktionen på dette tidspunkt, det vil sige, at vi har mulighed for at definere en ny funktion, som kaldes den afledede af funktionen f(x) på intervallet (a;b).
Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering.
i medicinsk og biologisk fysik
FOREDRAG #1
DERIVAT- OG DIFFERENTIALFUNKTIONER.
PRIVATE DERIVATER.
1. Begrebet et derivat, dets mekaniske og geometriske betydning.
men ) Argument- og funktionsstigning.
Lad funktionen y=f(х) være givet, hvor х er værdien af argumentet fra funktionens domæne. Hvis vi vælger to værdier af argumentet xo og x fra et bestemt interval af funktionens domæne, så kaldes forskellen mellem argumentets to værdier argumentets stigning: x - xo =∆x .
Værdien af argumentet x kan bestemmes gennem x 0 og dets stigning: x = x o + ∆x.
Forskellen mellem to værdier af en funktion kaldes funktionens stigning: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).
Forøgelsen af argumentet og funktionen kan repræsenteres grafisk (fig. 1). Argumenttilvækst og funktionstilvækst kan være enten positivt eller negativt. Som det følger af fig. Beregningen af funktionstilvæksten skal udføres i følgende rækkefølge:
vi giver argumentet en stigning ∆x og får værdien - x + Δx;
2) find værdien af funktionen for værdien af argumentet (х+∆х) – f(х+∆х);
3) find stigningen af funktionen ∆f=f(х + ∆х) - f(х).
Eksempel: Bestem stigningen af funktionen y=x 2, hvis argumentet er ændret fra x o =1 til x=3. For et punkt x o, værdien af funktionen f (x o) \u003d x² o; for et punkt (xo + ∆x) værdien af funktionen f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, hvoraf ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x omkring ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.
b)Problemer, der fører til begrebet et derivat. Definition af afledt, dets fysiske betydning.
Konceptet med en stigning af et argument og en funktion er nødvendigt for at introducere begrebet en afledt, som historisk opstod fra behovet for at bestemme hastigheden af visse processer.
Overvej, hvordan du kan bestemme hastigheden af retlinet bevægelse. Lad kroppen bevæge sig i en ret linje efter loven: ∆S= ·∆t. For ensartet bevægelse:= ∆S/∆t.
For variabel bevægelse bestemmer værdien ∆S/∆t værdien jf. , dvs. jf. =∆S/∆t. Men gennemsnitshastigheden gør det ikke muligt at afspejle funktionerne i kroppens bevægelser og give en idé om den sande hastighed på tidspunktet t. Med et fald i tidsintervallet, dvs. ved ∆t→0 tenderer gennemsnitshastigheden til sin grænse - den øjeblikkelige hastighed:
inst. = 
jf. = 
∆S/∆t.
Den øjeblikkelige hastighed af en kemisk reaktion bestemmes på samme måde:
inst. = 
jf. = 
∆х/∆t,
hvor x er mængden af stof, der dannes under en kemisk reaktion i løbet af tiden t. Lignende opgaver til at bestemme hastigheden af forskellige processer førte til introduktionen i matematik af begrebet afledet af en funktion.
Lad en kontinuert funktion f(x) være givet, defineret på intervallet ]a,b[og dets tilvækst ∆f=f(x+∆x)–f(x) Relationen 
er en funktion af ∆x og udtrykker den gennemsnitlige ændringshastighed for funktionen.
forholdsgrænse 
, når ∆x→0, forudsat at denne grænse eksisterer, kaldes den afledede af funktionen :
y" x = 
.
Den afledte betegnes: 
- (y streg på x); f "
(x) - (ef primer på x) ;
y" - (y slagtilfælde); dy / dх –
(de y på de x);
- (y med en prik).
Baseret på definitionen af derivatet kan vi sige, at den øjeblikkelige hastighed af retlinet bevægelse er derivatet af stien med hensyn til tid:
inst. \u003d S "t \u003d f " (t).
Således kan vi konkludere, at den afledede af funktionen med hensyn til argumentet x er den øjeblikkelige ændringshastighed for funktionen f(x):
y" x \u003d f " (х)= inst.
Dette er den fysiske betydning af derivatet. Processen med at finde den afledede kaldes differentiering, så udtrykket "differentiere en funktion" svarer til udtrykket "find den afledede af en funktion".
i)Den geometriske betydning af derivatet.
P 
den afledede af funktionen y = f(x) har en simpel geometrisk betydning forbundet med begrebet en tangent til en buet linje i et eller andet punkt M. Samtidig er tangenten, dvs. en ret linje udtrykkes analytisk som y = kx = tg x, hvor
–
hældningsvinklen af tangenten (lige linje) til X-aksen. Lad os repræsentere en kontinuerlig kurve som en funktion y \u003d f (x), tage et punkt M på kurven og et punkt M 1 tæt på den og tegne en sekanter gennem dem. Dens hældning til sek = tg β = 
.Hvis vi bringer punktet M 1 tættere på M, så er tilvæksten af argumentet ∆x
vil vende mod nul, og sekanten ved β=α vil tage positionen af en tangent. Af fig. 2 følger: tgα = 
tgβ = 
\u003d y "x. Men tgα er lig med hældningen af tangenten til grafen for funktionen:
k = tgα = 
\u003d y" x \u003d f "
(X). Så hældningen af tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt er lig med værdien af dens afledte ved kontaktpunktet. Dette er den geometriske betydning af derivatet.
G)Generel regel for at finde den afledte.
Baseret på definitionen af derivatet kan processen med at differentiere en funktion repræsenteres som følger:
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
find tilvæksten af funktionen: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);
udgør forholdet mellem funktionens stigning og stigningen i argumentet:
;
Eksempel: f(x)=x2; f " (x)=?.
Men som det kan ses selv fra dette simple eksempel, er brugen af denne sekvens, når man tager derivater, en besværlig og kompleks proces. For forskellige funktioner introduceres derfor generelle differentieringsformler, som præsenteres i form af en tabel med "Grundlæggende formler til differentiering af funktioner."
Det er meget nemt at huske.
Nå, vi vil ikke gå langt, vi vil straks overveje den omvendte funktion. Hvad er det omvendte af eksponentialfunktionen? Logaritme:
I vores tilfælde er basen et tal:
En sådan logaritme (det vil sige en logaritme med en base) kaldes en "naturlig", og vi bruger en speciel notation til den: vi skriver i stedet for.
Hvad er lig med? Selvfølgelig, .
Den afledede af den naturlige logaritme er også meget enkel:
Eksempler:
- Find den afledede af funktionen.
- Hvad er den afledede af funktionen?
Svar: Eksponenten og den naturlige logaritme er funktioner, der er entydigt simple med hensyn til den afledede. Eksponentielle og logaritmiske funktioner med enhver anden base vil have en anden afledet, som vi vil analysere senere, efter at vi har gennemgået reglerne for differentiering.
Differentieringsregler
Hvilke regler? Endnu et nyt udtryk, igen?!...
Differentiering er processen med at finde derivatet.
Kun og alt. Hvad er et andet ord for denne proces? Ikke proizvodnovanie... Matematikkens differentiale kaldes selve stigningen af funktionen ved. Dette udtryk kommer fra det latinske differentia - forskel. Her.
Når vi udleder alle disse regler, vil vi bruge to funktioner, for eksempel og. Vi skal også bruge formler for deres trin:
Der er i alt 5 regler.
Konstanten tages ud af fortegn for den afledte.
Hvis - et eller andet konstant tal (konstant), så.
Denne regel virker naturligvis også for forskellen: .
Lad os bevise det. Lad, eller lettere.
Eksempler.
Find afledede funktioner:
- på punktet;
- på punktet;
- på punktet;
- på punktet.
Løsninger:
- (den afledte er den samme på alle punkter, da det er en lineær funktion, husker du?);
Afledt af et produkt
Alt er det samme her: vi introducerer en ny funktion og finder dens stigning:
Afledte:
Eksempler:
- Find afledte funktioner og;
- Find den afledede af en funktion i et punkt.
Løsninger:
Afledt af eksponentiel funktion
Nu er din viden nok til at lære at finde den afledede af enhver eksponentiel funktion, og ikke kun eksponenten (har du glemt, hvad det er endnu?).
Så hvor er et tal.
Vi kender allerede den afledede af funktionen, så lad os prøve at bringe vores funktion til en ny base:
For at gøre dette bruger vi en simpel regel: . Derefter:
Nå, det virkede. Prøv nu at finde den afledede, og glem ikke, at denne funktion er kompleks.
sket?
Tjek dig selv her:
Formlen viste sig at være meget lig eksponentens afledte: Som det var, forbliver det kun en faktor, der kun er et tal, men ikke en variabel.
Eksempler:
Find afledede funktioner:
Svar:
Dette er blot et tal, der ikke kan beregnes uden en lommeregner, det vil sige, at det ikke kan skrives i en enklere form. Derfor efterlades det i svaret i denne form.
Bemærk, at her er kvotienten af to funktioner, så vi anvender den passende differentieringsregel:
I dette eksempel er produktet af to funktioner:
Afledt af en logaritmisk funktion
Her ligner det: du kender allerede den afledede af den naturlige logaritme:
Derfor, for at finde en vilkårlig fra logaritmen med en anden base, for eksempel:
Vi er nødt til at bringe denne logaritme til basen. Hvordan ændrer man basis for en logaritme? Jeg håber du husker denne formel:
Først nu i stedet for vil vi skrive:
Nævneren viste sig kun at være en konstant (et konstant tal, uden en variabel). Afledningen er meget enkel:
Afledninger af de eksponentielle og logaritmiske funktioner findes næsten aldrig i eksamen, men det vil ikke være overflødigt at kende dem.
Afledt af en kompleks funktion.
Hvad er en "kompleks funktion"? Nej, dette er ikke en logaritme og ikke en buetangens. Disse funktioner kan være svære at forstå (selvom hvis logaritmen synes svær for dig, så læs emnet "Logarithms", og alt ordner sig), men i form af matematik betyder ordet "kompleks" ikke "svært".
Forestil dig en lille transportør: to personer sidder og laver nogle handlinger med nogle genstande. For eksempel pakker den første en chokoladebar ind i en indpakning, og den anden binder den med et bånd. Det viser sig sådan en sammensat genstand: en chokoladebar pakket ind og bundet med et bånd. For at spise en chokoladebar skal du udføre de modsatte trin i omvendt rækkefølge.
Lad os skabe en lignende matematisk pipeline: først finder vi cosinus af et tal, og derefter kvadrerer vi det resulterende tal. Så de giver os et nummer (chokolade), jeg finder dens cosinus (indpakning), og så firkanter du, hvad jeg har (bind det med et bånd). Hvad skete der? Fungere. Dette er et eksempel på en kompleks funktion: når vi for at finde dens værdi udfører den første handling direkte med variablen og derefter en anden handling med det, der skete som et resultat af den første.
Med andre ord, En kompleks funktion er en funktion, hvis argument er en anden funktion: .
For vores eksempel.
Vi kan godt gøre de samme handlinger i omvendt rækkefølge: først skal du kvadrere, og så leder jeg efter cosinus af det resulterende tal:. Det er let at gætte, at resultatet næsten altid vil være anderledes. Et vigtigt træk ved komplekse funktioner: Når rækkefølgen af handlinger ændres, ændres funktionen.
Andet eksempel: (samme). .
Den sidste handling, vi laver, bliver kaldt "ekstern" funktion, og den først udførte handling - hhv "intern" funktion(dette er uformelle navne, jeg bruger dem kun til at forklare materialet i et enkelt sprog).
Prøv selv at afgøre, hvilken funktion der er ekstern og hvilken der er intern:
Svar: Adskillelsen af indre og ydre funktioner minder meget om at ændre variable: for eksempel i funktionen
- Hvilken handling vil vi tage først? Først beregner vi sinus, og først derefter hæver vi den til en terning. Så det er en intern funktion, ikke en ekstern.
Og den oprindelige funktion er deres sammensætning: . - Internt: ; ekstern:.
Eksamen:. - Internt: ; ekstern:.
Eksamen:. - Internt: ; ekstern:.
Eksamen:. - Internt: ; ekstern:.
Eksamen:.
vi ændrer variable og får en funktion.
Nå, nu vil vi udvinde vores chokolade - se efter derivatet. Fremgangsmåden er altid omvendt: først ser vi efter den afledede af den ydre funktion, derefter gange vi resultatet med den afledede af den indre funktion. For det originale eksempel ser det sådan ud:
Et andet eksempel:
Så lad os endelig formulere den officielle regel:
Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:
Det ser ud til at være enkelt, ikke?
Lad os tjekke med eksempler:
Løsninger:
1) Internt: ;
Ekstern: ;
2) Internt: ;
(Forsøg bare ikke at reducere nu! Intet er taget ud under cosinus, husker du?)
3) Internt: ;
Ekstern: ;
Det er umiddelbart klart, at der er en kompleks funktion på tre niveauer her: Dette er trods alt allerede en kompleks funktion i sig selv, og vi trækker stadig roden ud af den, det vil sige, vi udfører den tredje handling (læg chokolade i en indpakning og med et bånd i en mappe). Men der er ingen grund til at være bange: i hvert fald vil vi "pakke ud" denne funktion i samme rækkefølge som normalt: fra slutningen.
Det vil sige, først differentierer vi roden, derefter cosinus og først derefter udtrykket i parentes. Og så formerer vi det hele.
I sådanne tilfælde er det praktisk at nummerere handlingerne. Det vil sige, lad os forestille os, hvad vi ved. I hvilken rækkefølge vil vi udføre handlinger for at beregne værdien af dette udtryk? Lad os se på et eksempel:
Jo senere handlingen udføres, jo mere "ekstern" vil den tilsvarende funktion være. Rækkefølgen af handlinger - som før:
Her er redet generelt 4-niveau. Lad os bestemme handlingsforløbet.
1. Radikale udtryk. .
2. Rod. .
3. Sinus. .
4. Firkantet. .
5. Sæt det hele sammen:
AFLEDTE. KORT OM DE VIGTIGSTE
Funktionsafledt- forholdet mellem stigningen af funktionen og stigningen af argumentet med en infinitesimal stigning af argumentet:
Grundlæggende derivater:
Differentieringsregler:
Konstanten tages ud af fortegn for den afledede:
Afledt af sum:
Afledt produkt:
Afledt af kvotienten:
Afledt af en kompleks funktion:
Algoritme til at finde den afledede af en kompleks funktion:
- Vi definerer den "interne" funktion, finder dens afledte.
- Vi definerer den "eksterne" funktion, finder dens afledede.
- Vi multiplicerer resultaterne af det første og andet punkt.
Lad ske x– argument (uafhængig variabel); y=y(x)- funktion.
Tag en fast værdi af argumentet x=x 0 og beregn værdien af funktionen y 0 =y(x 0 ) . Vi sætter nu vilkårligt stigning (ændring) af argumentet og angiv det x ( x kan være af ethvert tegn).
Inkrementel argumentation er en pointe x 0 + x. Antag, at den også indeholder en funktionsværdi y=y(x 0 + X)(se billedet).
Ved en vilkårlig ændring i argumentets værdi opnås således en ændring i funktionen, som kaldes stigning funktionsværdier:
og er ikke vilkårlig, men afhænger af typen af funktion og mængde 
.
Argument- og funktionsstigninger kan være endelig, dvs. udtrykt som konstante tal, i hvilket tilfælde de nogle gange kaldes endelige forskelle.
I økonomi betragtes endelige trin ret ofte. For eksempel viser tabellen data om længden af jernbanenettet i en bestemt stat. Det er klart, at netværkslængdetilvæksten beregnes ved at trække den foregående værdi fra den næste.
Vi vil betragte længden af jernbanenettet som en funktion, hvis argument vil være tid (år).
|
Jernbanelængde pr. 31. december tusinde km |
Forøgelse |
Gennemsnitlig årlig vækst |
|
I sig selv karakteriserer stigningen af funktionen (i dette tilfælde længden af jernbanenettet) dårligt ændringen i funktionen. I vores eksempel, fra det faktum, at 2,5>0,9 kan ikke konkluderes, at netværket voksede hurtigere i 2000-2003 år end i 2004 f.eks. fordi stigningen 2,5 henviser til en treårig periode, og 0,9 - på kun et år. Derfor er det helt naturligt, at stigningen af funktionen fører til en enhedsændring i argumentet. Argumenttilvæksten her er perioder: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
Vi får det, der hedder i den økonomiske litteratur gennemsnitlig årlig vækst.
Det er muligt at undgå operationen med at kaste stigningen til ændringsenheden for argumentet, hvis vi tager funktionsværdierne for værdierne af argumentet, der adskiller sig med én, hvilket ikke altid er muligt.
I matematisk analyse, især i differentialregning, tages der hensyn til infinitesimale (IM) stigninger af argumentet og funktionen.
Differentiering af en funktion af en variabel (afledt og differential) Afledt af en funktion
Argument og funktion øges på et punkt x 0 kan betragtes som sammenlignelige infinitesimale størrelser (se emne 4, sammenligning af BM), dvs. BM af samme orden.
Så vil deres forhold have en endelig grænse, som er defineret som den afledede af funktionen i t x 0 .
Grænse for forholdet mellem funktionstilvækst og BM-argumenttilvækst ved et punkt x=x 0 hedder afledte fungerer på dette tidspunkt.
Den symbolske betegnelse af derivatet med et streg (eller rettere, det romerske tal I) blev introduceret af Newton. Du kan også bruge et subscript, der viser, hvilken variabel den afledte er beregnet ud fra f.eks. 
. En anden notation foreslået af grundlæggeren af derivatregningen, den tyske matematiker Leibniz, er også meget brugt: 
. Du vil lære mere om oprindelsen af denne betegnelse i afsnittet Funktionsdifferential og argumentdifferentiel.
Dette tal evaluerer hastighedændring af funktionen, der passerer gennem punktet 
.
Lad os installere geometrisk sans afledet af en funktion i et punkt. Til dette formål konstruerer vi en graf over funktionen y=y(x) og marker på den de punkter, der bestemmer ændringen y(x) i mellemtiden 
Tangent til grafen for en funktion i et punkt M 0
vi vil overveje sekantens begrænsende position M 0
M på betingelse 
(prik M glider langs grafen for funktionen til et punkt M 0
).
Overveje 
. Naturligvis, 
.
Hvis pointen M skynde sig langs grafen for funktionen mod punktet M 0
, derefter værdien 
vil tendere til en vis grænse, som vi betegner 
. Hvori.
Begræns vinkel
falder sammen med hældningsvinklen for tangenten tegnet til grafen for funktionen, inkl. M 0
, altså den afledte 
er numerisk lig med tangenthældning
på det angivne punkt.
-
geometrisk betydning af den afledede af en funktion i et punkt.
Således kan man nedskrive ligningerne for tangenten og normalen ( normal er en linje vinkelret på tangenten) på grafen for funktionen på et tidspunkt x 0 :
Tangent - .
Normal - 
.
Af interesse er de tilfælde, hvor disse linjer er placeret vandret eller lodret (se emne 3, særlige tilfælde af en linjes position på et plan). Derefter,
hvis 
;
hvis 
.
Definitionen af en afledt kaldes differentiering funktioner.
Hvis funktionen på punktet x 0 har en endelig afledt, kaldes det differentierbar på dette tidspunkt. En funktion, der er differentierbar på alle punkter i et eller andet interval, kaldes differentierbar på dette interval.
Sætning . Hvis funktionen y=y(x) differentierbar i t. x 0 , så er den kontinuerlig på dette tidspunkt.
På denne måde kontinuitet er en nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at funktionen kan differentieres.