Dato: 20.11.2014

Hvad er et derivat?

Afledt tabel.

Den afledte er et af hovedbegreberne i højere matematik. I denne lektion vil vi introducere dette koncept. Lad os blive bekendt, uden strenge matematiske formuleringer og beviser.

Denne introduktion giver dig mulighed for at:

Forstå essensen af ​​simple opgaver med en afledt;

Løs disse meget simple opgaver med succes;

Forbered dig på mere seriøse afledte lektioner.

Først en behagelig overraskelse.

Den strenge definition af derivatet er baseret på teorien om grænser, og sagen er ret kompliceret. Det er foruroligende. Men den praktiske anvendelse af derivatet kræver som regel ikke så omfattende og dyb viden!

For at gennemføre de fleste opgaver på skole og universitet med succes er det nok at vide blot et par termer- at forstå opgaven, og bare et par regler- at løse det. Og det er det. Dette gør mig glad.

Skal vi lære hinanden at kende?)

Vilkår og betegnelser.

Der er mange matematiske operationer i elementær matematik. Addition, subtraktion, multiplikation, eksponentiering, logaritme osv. Hvis der tilføjes en operation mere til disse operationer, bliver elementær matematik højere. Denne nye operation kaldes differentiering. Definitionen og betydningen af ​​denne operation vil blive diskuteret i separate lektioner.

Her er det vigtigt at forstå, at differentiering blot er en matematisk operation på en funktion. Vi tager enhver funktion og transformerer den ifølge visse regler. Resultatet er en ny funktion. Denne nye funktion hedder: afledte.

Differentiering- handling på en funktion.

Afledte er resultatet af denne handling.

Ligesom f.eks. sum er resultatet af tilføjelsen. Eller privat er resultatet af opdelingen.

Når du kender vilkårene, kan du i det mindste forstå opgaverne.) Ordlyden er som følger: find den afledede af en funktion; tage den afledte; differentiere funktionen; beregne afledte etc. Dette er alt samme. Selvfølgelig er der mere komplekse opgaver, hvor det at finde den afledede (differentiering) blot vil være et af trinene i løsningen af ​​opgaven.

Den afledte er angivet med en bindestreg øverst til højre over funktionen. Sådan her: y" eller f"(x) eller S"(t) etc.

Læs y slag, ef slag fra x, es slag fra te, godt du forstår...)

Et primtal kan også betegne den afledte af en bestemt funktion, for eksempel: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Ofte er den afledte betegnelse ved hjælp af differentialer, men vi vil ikke overveje en sådan notation i denne lektion.

Antag, at vi har lært at forstå opgaverne. Der er intet tilbage - at lære at løse dem.) Lad mig minde dig om igen: at finde den afledte er transformation af en funktion efter bestemte regler. Disse regler er overraskende få.

For at finde den afledede af en funktion behøver du kun at vide tre ting. Tre søjler, som al differentiering hviler på. Her er de tre hvaler:

1. Tabel over derivater (differentieringsformler).

3. Afledt af en kompleks funktion.

Lad os starte i rækkefølge. I denne lektion vil vi overveje tabellen over derivater.

Afledt tabel.

Verden har et uendeligt antal funktioner. Blandt dette sæt er der funktioner, som er vigtigst for praktisk anvendelse. Disse funktioner sidder i alle naturens love. Ud fra disse funktioner, som fra mursten, kan du konstruere alle de andre. Denne klasse af funktioner kaldes elementære funktioner. Det er disse funktioner, der studeres i skolen - lineære, kvadratiske, hyperbel osv.

Differentiering af funktioner "fra bunden", dvs. baseret på definitionen af ​​derivatet og teorien om grænser - en ret tidskrævende ting. Og matematikere er også mennesker, ja, ja!) Så de forenklede deres liv (og os). De beregnede afledte af elementære funktioner før os. Resultatet er en tabel med derivater, hvor alt er klar.)

Her er den, denne plade til de mest populære funktioner. Venstre - elementær funktion, højre - dens afledte.

	Fungere y	Afledt af funktion y y"
1	C (konstant)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n er et hvilket som helst tal)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synd x	(sinx)" = cosx
	fordi x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	-en x
	e x
5	log -en x
	ln x ( a = e)

Jeg anbefaler at være opmærksom på den tredje gruppe af funktioner i denne tabel over afledte. Afledten af ​​en potensfunktion er en af ​​de mest almindelige formler, hvis ikke den mest almindelige! Er hintet klart?) Ja, det er ønskeligt at kende tabellen over afledte værdier udenad. Det er i øvrigt ikke så svært, som det måske ser ud til. Prøv at løse flere eksempler, selve tabellen vil blive husket!)

At finde tabelværdien af ​​den afledte, som du forstår, er ikke den sværeste opgave. Derfor er der meget ofte i sådanne opgaver yderligere chips. Enten i formuleringen af ​​opgaven eller i den oprindelige funktion, som ikke ser ud til at være i tabellen ...

Lad os se på et par eksempler:

1. Find den afledede af funktionen y = x 3

Der er ingen sådan funktion i tabellen. Men der er en generel afledning af potensfunktionen (tredje gruppe). I vores tilfælde er n=3. Så vi erstatter tredobbelt i stedet for n og skriver omhyggeligt resultatet ned:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Det er alt, hvad der skal til.

Svar: y" = 3x 2

2. Find værdien af ​​den afledede af funktionen y = sinx i punktet x = 0.

Denne opgave betyder, at du først skal finde den afledede af sinus, og derefter erstatte værdien x = 0 til denne samme afledning. Det er i den rækkefølge! Ellers sker det, at de straks erstatter nul i den oprindelige funktion ... Vi bliver bedt om ikke at finde værdien af ​​den oprindelige funktion, men værdien dets afledte. Den afledte, lad mig minde dig om, er allerede en ny funktion.

På pladen finder vi sinus og den tilsvarende afledede:

y" = (sinx)" = cosx

Erstat nul i den afledede:

y"(0) = cos 0 = 1

Dette vil være svaret.

3. Differentier funktionen:

Hvad inspirerer?) Der er ikke engang tæt på en sådan funktion i tabellen over afledte.

Lad mig minde dig om, at at differentiere en funktion er simpelthen at finde den afledede af denne funktion. Hvis du glemmer elementær trigonometri, er det ret besværligt at finde den afledede af vores funktion. Bordet hjælper ikke...

Men hvis vi ser, at vores funktion er cosinus af en dobbelt vinkel, så bliver alt straks bedre!

Ja Ja! Husk, at transformationen af ​​den oprindelige funktion før differentiering ganske acceptabelt! Og det sker for at gøre livet meget lettere. Ifølge formlen for cosinus af en dobbelt vinkel:

De der. vores vanskelige funktion er intet andet end y = cox. Og dette er en tabelfunktion. Vi får straks:

Svar: y" = - sin x.

Eksempel for avancerede kandidater og studerende:

4. Find den afledede af en funktion:

Der er selvfølgelig ingen sådan funktion i derivattabellen. Men hvis du husker elementær matematik, handlinger med magter... Så er det sagtens muligt at forenkle denne funktion. Sådan her:

Og x i en tiendedel potens er allerede en tabelfunktion! Den tredje gruppe, n=1/10. Direkte efter formlen og skriv:

Det er alt. Dette vil være svaret.

Jeg håber, at med den første differentieringshval - tabellen over derivater - er alt klart. Det er tilbage at tage sig af de to resterende hvaler. I den næste lektion lærer vi reglerne for differentiering.

Begrebet et derivat

Lad funktionen f(x) er defineret på et eller andet interval x. Lad os give værdien af ​​argumentet på punktet x 0 X tilfældig stigning Δ x så pointen x0 + Δ x hørte også til x. Derefter den tilsvarende stigning af funktion f(x) vil være Δ på = f(x0 + Δ x) - f(x0).

Definition 1. Den afledede af funktionen f(x) på punktet x0 kaldes grænsen for forholdet mellem funktionens stigning på dette tidspunkt og stigningen i argumentet ved Δ x 0 (hvis denne grænse eksisterer).

For at angive den afledede af en funktion, bruges symbolerne på" (x0) eller f"(x0):

Hvis på et tidspunkt x0 grænse (4.1) er uendelig:

så siger de det på det tidspunkt x0 fungere f(x) Det har uendelig afledt.

Hvis funktionen f(x) har en afledt ved hvert punkt i sættet x, derefter den afledte f"(x) er også en funktion af argumentet X, fastlagt på x.

Den geometriske betydning af derivatet

For at tydeliggøre den aflededes geometriske betydning har vi brug for definitionen af ​​en tangent til grafen for en funktion i et givet punkt.

Definition 2. Tangent til grafen for funktionen y = f(x) på punktet M kaldet sekantens grænseposition MN, når prik N tenderer til et punkt M langs kurven f(x).

Lad pointen M på kurven f(x) matcher værdien af ​​argumentet x0, og pointen N- argument værdi x0 + Δ x(Fig. 4.1). Det følger af definitionen af ​​en tangent, der for dens eksistens i et punkt x0 det er nødvendigt, at der er en grænse, som er lig med hældningsvinklen for tangenten til aksen Okse. Fra en trekant MNA følger det

Hvis den afledede af funktionen f(x) på punktet x0 eksisterer, så opnår vi ifølge (4.1).

Heraf følger den åbenlyse konklusion, at afledt f"(x0) lig med hældningen (tangensen af ​​hældningsvinklen til den positive retning af Ox-aksen) tangent til grafen for funktionen y = f(x) i punkt M(x0, f(x0)). I dette tilfælde bestemmes hældningen af ​​tangenten ud fra formlen (4.2):

Den fysiske betydning af derivatet

Lad os antage, at funktionen l = f(t) beskriver bevægelsesloven for et materielt punkt i en ret linje som en vejafhængighed l fra tiden t. Så forskellen Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - er den tilbagelagte afstand i tidsintervallet Δ t og forholdet Δ l/Δ t- gennemsnitshastighed over tid Δ t. Så grænsen definerer punkt øjeblikkelig hastighed dengang t som afledt af stien med hensyn til tid.

I en vis forstand afledet af funktionen på = f(x) kan også fortolkes som funktionens ændringshastighed: jo større værdi f"(x), jo større hældningsvinklen for tangenten til kurven er, jo stejlere er grafen f(x), og funktionen vokser hurtigere.

Højre og venstre derivater

I analogi med begreberne om ensidige grænser for en funktion, introduceres begreberne for højre og venstre afledte af en funktion i et punkt.

Definition 3. Højre venstre) afledt funktion på = f(x) på punktet x0 kaldes den højre (venstre) grænse for relationen (4.1) som Δ x 0, hvis denne grænse eksisterer.

Følgende symbolik bruges til at betegne ensidede derivater:

Hvis funktionen f(x) har på punktet x0 afledt, så har den venstre og højre afledte på det tidspunkt, der er ens.

Lad os give et eksempel på en funktion, der har ensidige afledte i et punkt, der ikke er lig med hinanden. Dette f(x) = |x|. Faktisk på punktet x = 0 vi har f' +(0) = 1, f"-(0) = -1 (fig. 4.2) og f' +(0) ≠f'-(0), dvs. funktionen har ingen afledt ved x = 0.

Operationen med at finde den afledede af en funktion kaldes differentiering; kaldes en funktion, der har en afledet i et punkt differentierbar.

Forbindelsen mellem differentiabilitet og kontinuitet af en funktion i et punkt etableres af følgende sætning.

SÆTNING 1 . Hvis en funktion er differentierbar i et punkt x 0, så er den også kontinuert på det punkt.

Det modsatte er ikke sandt: funktionen f(x), der er kontinuert på et punkt, har muligvis ikke en afledt værdi på det tidspunkt. Et sådant eksempel er funktionen på = |x|; den er kontinuerlig på punktet x= 0, men har ingen afledt på dette tidspunkt.

Kravet om differentiabilitet af en funktion er således stærkere end kravet om kontinuitet, da det andet automatisk følger af det første.

Ligningen for tangenten til grafen for en funktion i et givet punkt

Som nævnt i afsnit 3.9 er ligningen for en ret linje, der går gennem et punkt M(x0, på 0) med hældning k har formen

Lad funktionen på = f(x). Så siden dens afledte på et tidspunkt M(x0, på 0) er hældningen af ​​tangenten til grafen for denne funktion i punktet M, så følger det, at ligningen af ​​tangenten til grafen for funktionen f(x) på dette tidspunkt har formen

Ikke altid i livet er vi interesserede i de nøjagtige værdier af nogen mængder. Nogle gange er det interessant at kende ændringen i denne værdi, for eksempel bussens gennemsnitlige hastighed, forholdet mellem mængden af ​​bevægelse og tidsintervallet osv. For at sammenligne værdien af ​​en funktion på et tidspunkt med værdierne af den samme funktion på andre punkter, er det praktisk at bruge begreber som "funktionstilvækst" og "argumenttilvækst".

Begreberne "funktionstilvækst" og "argumenttilvækst"

Antag, at x er et vilkårligt punkt, der ligger i et eller andet område af punktet x0. Forøgelsen af ​​argumentet ved punktet x0 er forskellen x-x0. Tilvæksten er angivet som følger: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Nogle gange kaldes denne værdi også for stigningen af ​​den uafhængige variabel ved punktet x0. Det følger af formlen: x = x0 + ∆x. I sådanne tilfælde siges det, at startværdien af ​​den uafhængige variabel x0 har modtaget en stigning ∆x.

Hvis vi ændrer argumentet, vil værdien af ​​funktionen også ændre sig.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Forøgelsen af ​​funktionen f i punktet x0, den tilsvarende stigning ∆x er forskellen f(x0 + ∆x) - f(x0). Forøgelsen af ​​en funktion er angivet som ∆f. Således får vi per definition:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Nogle gange kaldes ∆f også inkrementet af den afhængige variabel, og ∆y bruges til at betegne det, hvis funktionen f.eks. var y=f(x).

Geometrisk følelse af stigning

Se på næste billede.

Som du kan se, viser stigningen ændringen i punktets ordinat og abscisse. Og forholdet mellem stigningen af ​​funktionen og stigningen af ​​argumentet bestemmer hældningsvinklen for sekanten, der passerer gennem punktets indledende og endelige positioner.

Overvej eksempler på funktion og argumenttilvækst

Eksempel 1 Find stigningen af ​​argumentet ∆x og stigningen af ​​funktionen ∆f i punktet x0 hvis f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Lad os bruge formlerne ovenfor:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Eksempel 2 Beregn stigningen ∆f for funktionen f(x) = 1/x i punktet x0, hvis stigningen af ​​argumentet er lig med ∆x.

Igen bruger vi formlerne opnået ovenfor.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Afledt af en funktion af en variabel.

Introduktion.

Disse metodiske udviklinger er beregnet til studerende fra Fakultetet for Industriel og Anlæg. De er samlet i forhold til programmet for matematikforløbet i afsnittet "Differentialregning af funktioner af en variabel."

Udviklingen repræsenterer en enkelt metodisk vejledning, som omfatter: kort teoretisk information; "typiske" opgaver og øvelser med detaljerede løsninger og forklaringer til disse løsninger; kontrolmuligheder.

Yderligere øvelser i slutningen af ​​hvert afsnit. En sådan udviklingsstruktur gør dem egnede til selvstændig beherskelse af afsnittet med den mest minimale hjælp fra læreren.

§en. Definition af et derivat.

Mekanisk og geometrisk betydning

afledte.

Begrebet afledet er et af de vigtigste begreber inden for matematisk analyse.Det opstod allerede i det 17. århundrede. Dannelsen af ​​begrebet en afledt er historisk forbundet med to problemer: problemet med hastigheden af ​​variabel bevægelse og problemet med en tangent til en kurve.

Disse opgaver fører på trods af deres forskellige indhold til den samme matematiske operation, som skal udføres på en funktion Denne operation har fået et særligt navn i matematik. Det kaldes operationen med at differentiere en funktion. Resultatet af en differentieringsoperation kaldes en afledt.

Så den afledede af funktionen y=f(x) i punktet x0 er grænsen (hvis den findes) for forholdet mellem funktionens stigning og argumentets stigning
på
.

Den afledte betegnes normalt som følger:
.

Så per definition

Symbolerne bruges også til at betegne den afledte
.

Den mekaniske betydning af derivatet.

Hvis s=s(t) er loven for retlinet bevægelse af et materielt punkt, så
er hastigheden af ​​dette punkt på tidspunktet t.

Den geometriske betydning af derivatet.

Hvis funktionen y=f(x) har en afledt i et punkt , derefter hældningen af ​​tangenten til grafen for funktionen i punktet
lige med
.

Eksempel.

Find den afledede af en funktion
på punktet =2:

1) Lad os give et punkt = 2 stigninger
. Læg mærke til det.

2) Find tilvæksten af ​​funktionen ved punktet =2:

3) Sammensæt forholdet mellem funktionens stigning og stigningen i argumentet:

Lad os finde grænsen for forholdet ved
:

.

På denne måde
.

§ 2. Afledte af nogle

de enkleste funktioner.

Eleven skal lære at beregne afledte af specifikke funktioner: y=x,y= og generelt y= .

Find den afledede af funktionen y=x.

de der. (x)′=1.

Lad os finde den afledede af funktionen

Afledte

Lad ske
derefter

Det er let at bemærke et mønster i udtrykkene for afledte af en potensfunktion
ved n=1,2,3.

Følgelig,

. (1)

Denne formel er gyldig for enhver reel n.

Ved at bruge formel (1) har vi især:

;

.

Eksempel.

Find den afledede af en funktion

.

.

Denne funktion er et specialtilfælde af en funktion af formen

på
.

Ved at bruge formel (1) har vi

.

Afledte funktioner y=sin x og y=cos x.

Lad y=sinx.

Divider med ∆x, får vi

Vi har passeret til grænsen som ∆x→0

Lad y=cosx .

Går vi til grænsen som ∆x→0, får vi

;
. (2)

§3. Grundlæggende regler for differentiering.

Overvej reglerne for differentiering.

Sætning1 . Hvis funktionerne u=u(x) og v=v(x) er differentiable i et givet punkt x, så er deres sum også differentierbar på dette punkt, og den afledte af summen er lig med summen af ​​de afledte led: (u+v)"=u"+v".(3 )

Bevis: overvej funktionen y=f(x)=u(x)+v(x).

Tilvæksten ∆x af argumentet x svarer til stigningerne ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) af funktionerne u og v. Derefter vil funktionen y blive forøget

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Følgelig,

Altså (u+v)"=u"+v".

Sætning2. Hvis funktionerne u=u(x) og v=v(x) er differentiable i et givet punkt x, så er deres produkt også differentierbart i samme punkt. I dette tilfælde findes produktets afledte ved følgende formel : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Bevis: Lad y=uv, hvor u og v er nogle differentiable funktioner af x. Lad x blive forøget med ∆x; så vil u blive forøget med ∆u, v vil blive forøget med ∆v, og y vil blive forøget med ∆y.

Vi har y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), eller

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Derfor er ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Herfra

Går vi til grænsen som ∆x→0 og tager højde for, at u og v ikke afhænger af ∆x, har vi

Sætning 3. Den afledte kvotient af to funktioner er lig med en brøk, hvis nævner er lig med kvadratet af divisoren, og tælleren er forskellen mellem produktet af den afledte af divisoren og produktet af divisoren. udbytte af divisorens derivat, dvs

Hvis
derefter
(5)

Sætning 4. Den afledede af konstanten er nul, dvs. hvis y=C, hvor С=const, så er y"=0.

Sætning 5. Konstantfaktoren kan tages ud af den afledte fortegn, dvs. hvis y=Cu(x), hvor С=const, så y"=Cu"(x).

Eksempel 1

Find den afledede af en funktion

.

Denne funktion har formen
, hvor u=x,v=cosx. Ved at anvende differentieringsreglen (4), finder vi

.

Eksempel 2

Find den afledede af en funktion

.

Vi anvender formel (5).

Her
;
.

Opgaver.

Find afledte funktioner af følgende funktioner:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Det er absolut umuligt at løse fysiske problemer eller eksempler i matematik uden viden om den afledede og metoder til at beregne den. Den afledte er et af de vigtigste begreber inden for matematisk analyse. Vi besluttede at afsætte dagens artikel til dette grundlæggende emne. Hvad er en afledt, hvad er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den afledede af en funktion? Alle disse spørgsmål kan kombineres til ét: hvordan forstår man derivatet?

Geometrisk og fysisk betydning af derivatet

Lad der være en funktion f(x) , givet i et eller andet interval (a,b) . Punkterne x og x0 hører til dette interval. Når x ændres, ændres selve funktionen. Argumentændring - forskel på dets værdier x-x0 . Denne forskel er skrevet som delta x og kaldes argumenttilvækst. Ændringen eller stigningen af ​​en funktion er forskellen mellem funktionens værdier på to punkter. Afledt definition:

Den afledede af en funktion i et punkt er grænsen for forholdet mellem funktionens stigning i et givet punkt og stigningen af ​​argumentet, når sidstnævnte har en tendens til nul.

Ellers kan det skrives sådan her:

Hvad er meningen med at finde en sådan grænse? Men hvilken:

den afledede af en funktion i et punkt er lig med tangenten af ​​vinklen mellem OX-aksen og tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt.

Den fysiske betydning af derivatet: den tidsafledede af stien er lig med hastigheden af ​​den retlinede bevægelse.

Faktisk, siden skoletiden ved alle, at hastighed er en privat vej. x=f(t) og tid t . Gennemsnitshastighed over en vis periode:

For at finde ud af bevægelseshastigheden ad gangen t0 du skal beregne grænsen:

Regel 1: Tag konstanten ud

Konstanten kan tages ud af den afledte fortegn. Desuden skal det gøres. Når du løser eksempler i matematik, tag som regel - hvis du kan forenkle udtrykket, skal du sørge for at forenkle .

Eksempel. Lad os beregne den afledede:

Regel to: afledet af summen af ​​funktioner

Den afledte af summen af ​​to funktioner er lig med summen af ​​disse funktioners afledte. Det samme gælder for den afledede af forskellen mellem funktioner.

Vi vil ikke give et bevis for denne sætning, men snarere overveje et praktisk eksempel.

Find den afledede af en funktion:

Regel tre: den afledte af produktet af funktioner

Den afledte af produktet af to differentiable funktioner beregnes ved formlen:

Eksempel: find den afledede af en funktion:

Opløsning:

Her er det vigtigt at sige om beregningen af ​​afledte af komplekse funktioner. Den afledte af en kompleks funktion er lig med produktet af den afledede af denne funktion med hensyn til det mellemliggende argument med den afledte af det mellemliggende argument med hensyn til den uafhængige variabel.

I ovenstående eksempel støder vi på udtrykket:

I dette tilfælde er mellemargumentet 8x i femte potens. For at beregne den afledede af et sådant udtryk, betragter vi først den afledede af den eksterne funktion i forhold til mellemargumentet og multiplicerer derefter med den afledede af selve mellemargumentet med hensyn til den uafhængige variabel.

Regel fire: Den afledte af kvotienten af ​​to funktioner

Formel til bestemmelse af den afledede af en kvotient af to funktioner:

Vi forsøgte at tale om derivater til dummies fra bunden. Dette emne er ikke så simpelt, som det ser ud til, så vær advaret: Der er ofte faldgruber i eksemplerne, så vær forsigtig, når du beregner derivater.

Ved spørgsmål om dette og andre emner kan du kontakte elevservicen. På kort tid hjælper vi dig med at løse den sværeste kontrol og håndtere opgaver, også selvom du aldrig har beskæftiget dig med beregning af derivater før.