Funktionel stigning. Foredragskursus

Lad en funktion gives. Lad os tage to værdier af argumentet: initial og modificeret, hvilket normalt betegnes
, hvor - den mængde, som argumentet ændres med, når man flytter fra den første værdi til den anden, kaldes det argumentstigning.

Værdierne af argumentet og svarer til visse funktionsværdier: initial og modificeret
, værdi , hvormed værdien af ​​funktionen ændres, når argumentet ændres med , kaldes funktionstilvækst.

2. begrebet grænsen for en funktion ved et punkt.

Nummer kaldes grænsen for funktionen
mens man stræber efter hvis for et hvilket som helst nummer
der er sådan et nummer
, det for alle
tilfredsstiller uligheden
, uligheden
.

Anden definition: Et tal kaldes grænsen for en funktion, da det har en tendens til, hvis der for et hvilket som helst tal er et sådant kvarter af det punkt, at for nogen af ​​dette kvarter . Betegnes
.

3. uendeligt store og uendeligt små funktioner i et punkt. En infinitesimal funktion i et punkt er en funktion, hvis grænse, når den nærmer sig det givne punkt, er nul. En uendelig stor funktion i et punkt er en funktion, hvis grænse, når den hælder til et givet punkt, er uendelig.

4. hovedsætninger om grænser og konsekvenser af dem (uden bevis).

følge: den konstante faktor kan tages ud af fortegnet for grænsen:

Hvis sekvenserne og konvergerer og grænsen for sekvensen er ikke nul

følge: konstantfaktoren kan tages ud af grænsens fortegn.

11. hvis der er grænser for funktioner til
Og
og grænsen for funktionen er ikke-nul,

så eksisterer der også en grænse for deres forhold, lig med forholdet mellem funktionernes grænser og:

.

12. hvis
, derefter
, og det modsatte er også sandt.

13. sætning om grænsen for en mellemsekvens. Hvis sekvenserne
konvergerende, og
Og
derefter

5. funktionsgrænse ved uendelig.

Tallet a kaldes grænsen for funktionen ved uendelig, (for x, der tenderer mod uendeligt), hvis for en hvilken som helst sekvens, der tenderer mod uendelig
svarer til en række af værdier, der har tendens til et tal men.

6. Grænser for den numeriske rækkefølge.

Nummer men kaldes grænsen for en talrække, hvis for ethvert positivt tal der er et naturligt tal N sådan, at for alle n> N uligheden
.

Symbolsk er dette defineret som følger:
fair.

Det faktum, at antallet men er grænsen for sekvensen, angivet som følger:

.

7.nummer "e". naturlige logaritmer.

Nummer "e" repræsenterer grænsen for den numeriske sekvens, n- medlem af hvilken
, dvs.

.

Naturlig logaritme - basislogaritme e. naturlige logaritmer er angivet
uden at give en grund.

Nummer
giver dig mulighed for at skifte fra en decimallogaritme til en naturlig og omvendt.

, kaldes det overgangsmodulet fra naturlige logaritmer til decimallogaritmer.

8. vidunderlige grænser
,

.

Første bemærkelsesværdige grænse:

således kl

ved den mellemliggende sekvensgrænsesætning

anden bemærkelsesværdig grænse:

.

For at bevise eksistensen af ​​grænsen
brug lemmaet: for ethvert reelt tal
Og
uligheden
(2) (hvornår
eller
ulighed bliver til lighed.)

.

Overvej nu en hjælpesekvens med en fælles term
sørg for, at den aftager og er afgrænset nedefra:
hvis
, så er rækkefølgen aftagende. Hvis
, så er sekvensen afgrænset nedefra. Lad os vise det:

på grund af ligestilling (2)

dvs.
eller
. Det vil sige, at rækkefølgen er aftagende, og siden er rækkefølgen afgrænset nedefra. Hvis en sekvens er aftagende og afgrænset nedefra, så har den en grænse. Derefter

har en grænse og rækkefølge (1), fordi

Og
.

L. Euler kaldte denne grænse .

9. envejsgrænser, pausefunktion.

tallet A er den venstre grænse, hvis følgende gælder for en sekvens: .

nummer A er den rigtige grænse, hvis følgende gælder for en sekvens: .

Hvis på punktet men der hører til funktionens definitionsdomæne eller dens grænse, overtrædes betingelsen om funktionens kontinuitet, så punktet men kaldes et brudpunkt eller et brud på en funktion.hvis, som punktet aspirerer

12. summen af ​​vilkårene for en uendelig aftagende geometrisk progression. En geometrisk progression er en sekvens, hvor forholdet mellem de næste og de foregående medlemmer forbliver uændret, dette forhold kaldes progressionens nævner. Summen af ​​den første n medlemmer af en geometrisk progression er udtrykt ved formlen
denne formel er praktisk at bruge til en faldende geometrisk progression - en progression, hvor den absolutte værdi af dens nævner er mindre end nul. - det første medlem; - nævner for progression; - nummeret på det taget medlem af sekvensen. Summen af ​​en uendelig faldende progression er det tal, hvortil summen af ​​de første medlemmer af den faldende progression nærmer sig uendeligt med en ubegrænset stigning i antallet.
derefter. Summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression er .

Lad ske x– argument (uafhængig variabel); y=y(x)- funktion.

Tag en fast værdi af argumentet x=x 0 og beregn værdien af ​​funktionen y 0 =y(x 0 ) . Vi sætter nu vilkårligt stigning (ændring) af argumentet og angiv det  x ( x kan være af ethvert tegn).

Inkrementel argumentation er en pointe x 0 +  x. Antag, at den også indeholder en funktionsværdi y=y(x 0 +  X)(se billedet).

Ved en vilkårlig ændring i argumentets værdi opnås således en ændring i funktionen, som kaldes stigning funktionsværdier:

og er ikke vilkårlig, men afhænger af typen af ​​funktion og mængde
.

Argument- og funktionsstigninger kan være endelig, dvs. udtrykt som konstante tal, i hvilket tilfælde de nogle gange kaldes endelige forskelle.

I økonomi betragtes endelige trin ret ofte. For eksempel viser tabellen data om længden af ​​jernbanenettet i en bestemt stat. Det er klart, at netværkslængdetilvæksten beregnes ved at trække den foregående værdi fra den næste.

Vi vil betragte længden af ​​jernbanenettet som en funktion, hvis argument vil være tid (år).

I sig selv karakteriserer stigningen af ​​funktionen (i dette tilfælde længden af ​​jernbanenettet) dårligt ændringen i funktionen. I vores eksempel, fra det faktum, at 2,5>0,9 kan ikke konkluderes, at netværket voksede hurtigere i 2000-2003 år end i 2004 f.eks. fordi stigningen 2,5 henviser til en treårig periode, og 0,9 - på kun et år. Derfor er det helt naturligt, at stigningen af ​​funktionen fører til en enhedsændring i argumentet. Argumenttilvæksten her er perioder: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Vi får det, der hedder i den økonomiske litteratur gennemsnitlig årlig vækst.

Det er muligt at undgå operationen med at kaste stigningen til ændringsenheden for argumentet, hvis vi tager funktionsværdierne for værdierne af argumentet, der adskiller sig med én, hvilket ikke altid er muligt.

I matematisk analyse, især i differentialregning, tages der hensyn til infinitesimale (IM) stigninger af argumentet og funktionen.

Differentiering af en funktion af en variabel (afledt og differential) Afledt af en funktion

Argument og funktion øges på punktet x 0 kan betragtes som sammenlignelige infinitesimale størrelser (se emne 4, sammenligning af BM), dvs. BM af samme orden.

Så vil deres forhold have en endelig grænse, som er defineret som den afledede af funktionen i t x 0 .

Grænse for forholdet mellem funktionstilvækst og BM-argumenttilvækst ved et punkt x=x 0 hedder afledte fungerer på dette tidspunkt.

Den symbolske betegnelse af derivatet med et streg (eller rettere, det romerske tal I) blev introduceret af Newton. Du kan også bruge et subscript, der viser, hvilken variabel den afledte er beregnet ud fra f.eks. . En anden notation foreslået af grundlæggeren af ​​derivatregningen, den tyske matematiker Leibniz, er også meget brugt:
. Du vil lære mere om oprindelsen af ​​denne betegnelse i afsnittet Funktionsdifferential og argumentdifferentiel.

Dette tal evaluerer hastighedændring af funktionen, der passerer gennem punktet
.

Lad os installere geometrisk betydning afledet af en funktion i et punkt. Til dette formål konstruerer vi en graf over funktionen y=y(x) og marker på den de punkter, der bestemmer ændringen y(x) i mellemtiden

Tangent til grafen for en funktion i et punkt M 0
vi vil overveje sekantens begrænsende position M 0 M på betingelse
(prik M glider langs grafen for funktionen til et punkt M 0 ).

Overveje
. Naturligvis,
.

Hvis pointen M skynde sig langs grafen for funktionen mod punktet M 0 , derefter værdien
vil tendere til en vis grænse, som vi betegner
. Hvori.

Begræns vinkel  falder sammen med hældningsvinklen for tangenten tegnet til grafen for funktionen, inkl. M 0 , altså den afledte
er numerisk lig med tangenthældning på det angivne punkt.

-

geometrisk betydning af den afledede af en funktion i et punkt.

Således kan man nedskrive ligningerne for tangenten og normalen ( normal er en linje vinkelret på tangenten) på grafen for funktionen på et tidspunkt x 0 :

Tangent - .

Normal -
.

Af interesse er de tilfælde, hvor disse linjer er placeret vandret eller lodret (se emne 3, særlige tilfælde af en linjes position på et plan). Derefter,

hvis
;

hvis
.

Definitionen af ​​en afledt kaldes differentiering funktioner.

 Hvis funktionen på punktet x 0 har en endelig afledt, kaldes det differentierbar på dette tidspunkt. En funktion, der er differentierbar på alle punkter i et eller andet interval, kaldes differentierbar på dette interval.

 Sætning . Hvis funktionen y=y(x) differentierbar i t. x 0 , så er den kontinuerlig på dette tidspunkt.

På denne måde kontinuitet er en nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at funktionen kan differentieres.

Lad x være et vilkårligt punkt, der ligger i et eller andet område af et fast punkt x 0 . forskellen x - x 0 kaldes normalt stigningen af ​​den uafhængige variabel (eller stigningen af ​​argumentet) i punktet x 0 og betegnes med Δx. På denne måde

Δx \u003d x - x 0,

hvoraf følger det

Funktionsstigning − forskel mellem to funktionsværdier.

Lad funktionen på = f(x), defineret med en argumentværdi lig med x 0 . Lad os øge D x, ᴛ.ᴇ. overvej værdien af ​​argumentet ͵ lig med x 0+D x. Antag, at denne argumentværdi også er inkluderet i denne funktions omfang. Så er forskellen D y = f(x 0+D X) – f(x0) kaldes stigningen af ​​en funktion. Funktionsstigning f(x) på punktet x er en funktion, der normalt betegnes Δ x f på den nye variabel Δ x defineret som

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Find stigningen af ​​argumentet og stigningen af ​​funktionen i punktet x 0 if

Eksempel 2. Find stigningen af ​​funktionen f (x) \u003d x 2 hvis x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1

Løsning: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Find tilvæksten af ​​funktionen ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Erstat værdierne x=1 og ∆x= 0,1, vi får ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Find stigningen af ​​argumentet og stigningen af ​​funktionen i punkterne x 0

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Definition: Afledte Det er sædvanligt at kalde en funktion ved et punkt grænsen (hvis den eksisterer og er endelig) for forholdet mellem funktionens stigning og stigningen af ​​argumentet, forudsat at sidstnævnte har en tendens til nul.

Følgende notation for den afledede er mest almindeligt anvendt:

På denne måde

At finde den afledede kaldes differentiering . Introduceret definition af en differentierbar funktion: En funktion f, der har en afledet i hvert punkt i et eller andet interval, kaldes differentiabel på dette interval.

Lad en funktion defineres i et eller andet område af punktet Det er sædvanligt at kalde den afledede af en funktion et sådant tal, at funktionen i naboskabet U(x 0) kan repræsenteres som

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)

hvis findes.

Definition af den afledede af en funktion i et punkt.

Lad funktionen f(x) defineret på intervallet (a;b), og er punkterne i dette interval.

Definition. Afledt funktion f(x) på et tidspunkt er det sædvanligt at kalde grænsen for forholdet mellem stigningen af ​​en funktion og stigningen af ​​argumentet ved . Udpeget.

Når den sidste grænse får en bestemt slutværdi, så taler man om eksistensen den endelige afledte på et punkt. Hvis grænsen er uendelig, så siger vi det afledt er uendelig på et givet punkt. Hvis grænsen ikke eksisterer, så den afledede af funktionen eksisterer ikke på dette tidspunkt.

Fungere f(x) siges at være differentierbar på et tidspunkt, hvor den har en endelig afledt.

I tilfælde af funktionen f(x) er differentierbar på hvert punkt i et eller andet interval (a;b), så kaldes funktionen differentiabel på dette interval. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ethvert punkt x fra kløften (a;b) vi kan associere værdien af ​​den afledede af funktionen på dette tidspunkt, det vil sige, at vi har mulighed for at definere en ny funktion, som kaldes den afledede af funktionen f(x) på intervallet (a;b).

Operationen med at finde den afledede kaldes differentiering.

Ikke altid i livet er vi interesserede i de nøjagtige værdier af nogen mængder. Nogle gange er det interessant at kende ændringen i denne værdi, for eksempel bussens gennemsnitlige hastighed, forholdet mellem mængden af ​​bevægelse og tidsintervallet osv. For at sammenligne værdien af ​​en funktion på et tidspunkt med værdierne af den samme funktion på andre punkter, er det praktisk at bruge begreber som "funktionstilvækst" og "argumenttilvækst".

Begreberne "funktionstilvækst" og "argumenttilvækst"

Antag, at x er et vilkårligt punkt, der ligger i et eller andet område af punktet x0. Forøgelsen af ​​argumentet ved punktet x0 er forskellen x-x0. Tilvæksten er angivet som følger: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Nogle gange kaldes denne værdi også for stigningen af ​​den uafhængige variabel ved punktet x0. Det følger af formlen: x = x0 + ∆x. I sådanne tilfælde siges det, at startværdien af ​​den uafhængige variabel x0 har modtaget en stigning ∆x.

Hvis vi ændrer argumentet, vil værdien af ​​funktionen også ændre sig.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

Forøgelsen af ​​funktionen f i punktet x0, den tilsvarende stigning ∆x er forskellen f(x0 + ∆x) - f(x0). Forøgelsen af ​​en funktion er angivet som ∆f. Således får vi per definition:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Nogle gange kaldes ∆f også inkrementet af den afhængige variabel, og ∆y bruges til at betegne det, hvis funktionen f.eks. var y=f(x).

Geometrisk følelse af stigning

Se på næste billede.

Som du kan se, viser stigningen ændringen i punktets ordinat og abscisse. Og forholdet mellem stigningen af ​​funktionen og stigningen af ​​argumentet bestemmer hældningsvinklen for sekanten, der passerer gennem punktets indledende og endelige positioner.

Overvej eksempler på funktion og argumenttilvækst

Eksempel 1 Find stigningen af ​​argumentet ∆x og stigningen af ​​funktionen ∆f i punktet x0 hvis f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Lad os bruge formlerne ovenfor:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Eksempel 2 Beregn stigningen ∆f for funktionen f(x) = 1/x i punktet x0, hvis stigningen af ​​argumentet er lig med ∆x.

Igen bruger vi formlerne opnået ovenfor.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

i medicinsk og biologisk fysik

FOREDRAG #1

DERIVAT- OG DIFFERENTIALFUNKTIONER.

PRIVATE DERIVATER.

1. Begrebet et derivat, dets mekaniske og geometriske betydning.

men ) Argument- og funktionsstigning.

Lad funktionen y=f(х) være givet, hvor х er værdien af ​​argumentet fra funktionens domæne. Hvis vi vælger to værdier af argumentet xo og x fra et bestemt interval af funktionens domæne, så kaldes forskellen mellem argumentets to værdier argumentets stigning: x - xo =∆x .

Værdien af ​​argumentet x kan bestemmes gennem x 0 og dets stigning: x = x o + ∆x.

Forskellen mellem to værdier af en funktion kaldes funktionens stigning: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Forøgelsen af ​​argumentet og funktionen kan repræsenteres grafisk (fig. 1). Argumenttilvækst og funktionstilvækst kan være enten positivt eller negativt. Som det følger af fig. Beregningen af ​​funktionstilvæksten skal udføres i følgende rækkefølge:

vi giver argumentet en stigning ∆x og får værdien - x + Δx;

2) find værdien af ​​funktionen for værdien af ​​argumentet (х+∆х) – f(х+∆х);

3) find stigningen af ​​funktionen ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Eksempel: Bestem stigningen af ​​funktionen y=x 2, hvis argumentet er ændret fra x o =1 til x=3. For et punkt x o, værdien af ​​funktionen f (x o) \u003d x² o; for et punkt (xo +∆x) værdien af ​​funktionen f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, hvorfra ∆f \u003d f (xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x omkring ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Problemer, der fører til begrebet et derivat. Definition af afledt, dets fysiske betydning.

Konceptet med en stigning af et argument og en funktion er nødvendigt for at introducere begrebet en afledt, som historisk opstod fra behovet for at bestemme hastigheden af ​​visse processer.

Overvej, hvordan du kan bestemme hastigheden af ​​retlinet bevægelse. Lad kroppen bevæge sig i en ret linje efter loven: ∆S= ·∆t. For ensartet bevægelse:= ∆S/∆t.

For variabel bevægelse bestemmer værdien ∆S/∆t værdien jf. , dvs. jf. =∆S/∆t. Men gennemsnitshastigheden gør det ikke muligt at afspejle funktionerne i kroppens bevægelser og give en idé om den sande hastighed på tidspunktet t. Med et fald i tidsintervallet, dvs. ved ∆t→0 tenderer gennemsnitshastigheden til sin grænse - den øjeblikkelige hastighed:

 inst. =
 jf. =
∆S/∆t.

Den øjeblikkelige hastighed af en kemisk reaktion bestemmes på samme måde:

 inst. =
 jf. =
∆х/∆t,

hvor x er mængden af ​​stof, der dannes under en kemisk reaktion i løbet af tiden t. Lignende opgaver til at bestemme hastigheden af ​​forskellige processer førte til introduktionen i matematik af begrebet afledet af en funktion.

Lad en kontinuert funktion f(x) være givet, defineret på intervallet ]a,b[og dets tilvækst ∆f=f(x+∆x)–f(x) Relationen
er en funktion af ∆x og udtrykker den gennemsnitlige ændringshastighed for funktionen.

forholdsgrænse , når ∆x→0, forudsat at denne grænse eksisterer, kaldes den afledede af funktionen :

y" x =

.

Den afledte betegnes:
- (y streg på x); f " (x) - (ef primer på x) ; y" - (y streg); dy / dx – (de y på de x); - (y med en prik).

Baseret på definitionen af ​​derivatet kan vi sige, at den øjeblikkelige hastighed af retlinet bevægelse er derivatet af stien med hensyn til tid:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Således kan vi konkludere, at den afledede af funktionen med hensyn til argumentet x er den øjeblikkelige ændringshastighed for funktionen f(x):

y" x \u003d f " (х)= inst.

Dette er den fysiske betydning af derivatet. Processen med at finde den afledede kaldes differentiering, så udtrykket "differentiere en funktion" svarer til udtrykket "find den afledede af en funktion".

i)Den geometriske betydning af derivatet.

P
den afledede af funktionen y = f(x) har en simpel geometrisk betydning forbundet med begrebet en tangent til en buet linje i et eller andet punkt M. Samtidig er tangenten, dvs. en ret linje udtrykkes analytisk som y = kx = tg x, hvor – hældningsvinklen af ​​tangenten (lige linje) til X-aksen. Lad os repræsentere en kontinuerlig kurve som en funktion y \u003d f (x), tage et punkt M på kurven og et punkt M 1 tæt på den og tegne en sekanter gennem dem. Dens hældning til sek = tg β = .Hvis vi bringer punktet M 1 tættere på M, så er tilvæksten af ​​argumentet ∆x vil vende mod nul, og sekanten ved β=α vil tage positionen af ​​en tangent. Af fig. 2 følger: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Men tgα er lig med hældningen af ​​tangenten til grafen for funktionen:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Så hældningen af ​​tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt er lig med værdien af ​​dens afledte ved kontaktpunktet. Dette er den geometriske betydning af derivatet.

G)Generel regel for at finde den afledte.

Baseret på definitionen af ​​derivatet kan processen med at differentiere en funktion repræsenteres som følger:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

find tilvæksten af ​​funktionen: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

udgør forholdet mellem funktionens stigning og stigningen i argumentet:

;

Eksempel: f(x)=x2; f " (x)=?.

Men som det kan ses selv fra dette simple eksempel, er brugen af ​​denne sekvens, når man tager derivater, en besværlig og kompleks proces. Derfor introduceres generelle differentieringsformler for forskellige funktioner, som præsenteres i form af en tabel med "Grundlæggende formler til differentiering af funktioner."