Sekvensdefinition og hovedkarakteristika. Hvordan beregner man sekvensgrænser? Aritmetiske operationer med sekvenser

Lad ske X (\displaystyle X) er enten mængden af ​​reelle tal R (\displaystyle \mathbb (R) ), eller mængden af ​​komplekse tal C (\displaystyle \mathbb (C) ). Derefter rækkefølgen ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) sæt elementer X (\displaystyle X) hedder numerisk rækkefølge.

Eksempler

Operationer på sekvenser

Efterfølger

Efterfølgende sekvenser (x n) (\displaystyle (x_(n))) er rækkefølgen (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), hvor (n k) (\displaystyle (n_(k))) er en stigende sekvens af elementer i mængden af ​​naturlige tal.

Med andre ord opnås en undersekvens fra en sekvens ved at fjerne et begrænset eller tælleligt antal elementer.

Eksempler

• Rækkefølgen af ​​primtal er en undersekvens af sekvensen af ​​naturlige tal.
• Rækkefølgen af ​​naturlige tal, som er multipla af, er en undersekvens af sekvensen af ​​lige naturlige tal.

Ejendomme

Sekvensgrænsepunkt er et punkt i ethvert nabolag, hvor der er uendeligt mange elementer i denne sekvens. For konvergerende numeriske sekvenser falder grænsepunktet sammen med grænsen.

Sekvensgrænse

Sekvensgrænse er det objekt, som medlemmerne af sekvensen nærmer sig, når antallet stiger. I et vilkårligt topologisk rum er grænsen for en sekvens således et element i et hvilket som helst nabolag, hvoraf alle medlemmer af sekvensen ligger, startende fra et eller andet. Især for numeriske sekvenser er grænsen et tal i ethvert nabolag, hvoraf alle medlemmer af sekvensen ligger, startende fra et eller andet.

Grundlæggende sekvenser

Grundlæggende rækkefølge (selvkonvergerende sekvens , Cauchy sekvens ) er en sekvens af elementer i et metrisk rum, hvori der for enhver forudbestemt afstand er et sådant element, hvorfra afstanden til et af de elementer, der følger efter det, ikke overstiger den givne. For numeriske sekvenser er begreberne fundamentale og konvergente sekvenser ækvivalente, men i det generelle tilfælde er dette ikke tilfældet.

Efterfølgende

Efterfølgende- dette sæt elementer i et sæt:

• for hvert naturligt tal kan du angive et element i dette sæt;
• dette tal er elementnummeret og angiver dette elements position i sekvensen;
• for ethvert element (medlem) af sekvensen kan du angive elementet i sekvensen efter den.

Så rækkefølgen er resultatet konsekvent udvælgelse af elementer i et givet sæt. Og hvis et sæt af elementer er endeligt, og man taler om en prøve af et endeligt volumen, så viser sekvensen sig at være en prøve af et uendeligt volumen.

En sekvens er i sagens natur en mapping, så den skal ikke forveksles med et sæt, der "løber igennem" en sekvens.

I matematik betragtes mange forskellige sekvenser:

• tidsserier af både numerisk og ikke-numerisk karakter;
• sekvenser af elementer i et metrisk rum
• sekvenser af funktionsrumselementer
• sekvenser af tilstande af kontrolsystemer og automater.

Formålet med at studere alle mulige sekvenser er at søge efter mønstre, forudsige fremtidige tilstande og generere sekvenser.

Definition

Lad et sæt af elementer af vilkårlig natur blive givet. | Enhver afbildning af sættet af naturlige tal til et givet sæt kaldes rækkefølge(elementer i sættet).

Billedet af et naturligt tal, nemlig elementet, kaldes - th medlem eller sekvenselement, og ordensnummeret for sekvensmedlemmet er dets indeks.

Relaterede definitioner

• Hvis vi tager en stigende sekvens af naturlige tal, så kan den betragtes som en sekvens af indekser af en sekvens: hvis vi tager elementerne i den oprindelige sekvens med de tilsvarende indekser (taget fra den stigende sekvens af naturlige tal), så kan igen få en sekvens kaldt efterfølgen givet rækkefølge.

Kommentarer

• I matematisk analyse er et vigtigt begreb grænsen for en numerisk sekvens.

Notation

Formens sekvenser

Det er sædvanligt at skrive kompakt ved hjælp af parenteser:

krøllede seler bruges nogle gange:

Ved at tillade en vis talefrihed kan vi også overveje endelige sekvenser af formen

som repræsenterer billedet af det indledende segment af sekvensen af ​​naturlige tal.

se også

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se, hvad "Sequence" er i andre ordbøger:

EFTERFØLGNING. IV Kireevsky i artiklen "The Nineteenth Century" (1830) lyder: "Fra Romerrigets fald til vor tid viser Europas oplysning sig for os i en gradvis udvikling og i kontinuerlig rækkefølge" (bd. 1, s. ... ... Ordens historie

SEKVENS, sekvenser, pl. nej kvinde (Bestil). distraktion navneord til seriel. Et forløb af begivenheder. Sekvens i ændringen af ​​ebbe og flod. Konsistens i ræsonnementet. Ushakovs forklarende ordbog. ... ... Ushakovs forklarende ordbog

Konstans, kontinuitet, konsekvens; række, progression, konklusion, serie, streng, succession, kæde, kæde, kaskade, stafetløb; vedholdenhed, validitet, rekruttering, metodik, arrangement, harmoni, vedholdenhed, efterfølge, forbindelse, kø, ... ... Synonym ordbog

SEKVENS, tal eller elementer arrangeret på en organiseret måde. Sekvenser kan være endelige (med et begrænset antal elementer) eller uendelige, ligesom den komplette rækkefølge af naturlige tal 1, 2, 3, 4 ....… ... Videnskabelig og teknisk encyklopædisk ordbog

SEQUENCE, et sæt tal (matematiske udtryk osv.; de siger: elementer af enhver art), opregnet ved naturlige tal. Sekvensen skrives som x1, x2,..., xn,... eller kort (xi) … Moderne Encyklopædi

Et af matematikkens grundbegreber. Rækkefølgen er dannet af elementer af enhver art, nummereret med naturlige tal 1, 2, ..., n, ..., og skrives som x1, x2, ..., xn, ... eller kort (xn) ... Stor encyklopædisk ordbog

Efterfølgende- SEQUENCE, et sæt tal (matematiske udtryk osv.; de siger: elementer af enhver art), opregnet ved naturlige tal. Sekvensen skrives som x1, x2, ..., xn, ... eller kort (xi). … Illustreret encyklopædisk ordbog

SEKVENS, og fem. 1. se føljeton. 2. I matematik: et uendeligt ordnet sæt tal. Forklarende ordbog af Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Forklarende ordbog af Ozhegov

engelsk succession/sekvens; tysk Konsequenz. 1. Rækkefølgen efter hinanden. 2. Et af matematikkens grundbegreber. 3. Kvaliteten af ​​korrekt logisk tænkning, derudover er ræsonnement fri for indre modsigelser i en og samme ... ... Encyclopedia of Sociology

Efterfølgende- "en funktion defineret på sættet af naturlige tal, hvis værdisæt kan bestå af elementer af enhver art: tal, punkter, funktioner, vektorer, mængder, tilfældige variable osv., nummereret med naturlige tal .. . Økonomisk og matematisk ordbog

Bøger

• Vi bygger en sekvens. Killinger. 2-3 år,. Spil "killinger". Vi bygger en sekvens. 1 niveau. Serien "Førskoleuddannelse". Sjove killinger besluttede sig for at solbade på stranden! Men de kan ikke dele steder. Hjælp dem med at finde ud af det!...

Forelæsning 8. Numeriske sekvenser.

Definition8.1. Hvis hver værdi ifølge en bestemt lov er forbundet med et bestemt reelt talx n , derefter sættet af nummererede reelle tal

– forkortet notation
, (8.1)

vi ringernumerisk rækkefølge eller bare en sekvens.

Adskil numre x n  elementer eller medlemmer af en sekvens (8.1).

Sekvensen kan specificeres med en generel termformel, som sådan:
eller
. Rækkefølgen kan angives tvetydigt, for eksempel kan sekvensen -1, 1, -1, 1, ... angives med formlen
eller
. Nogle gange bruges en tilbagevendende måde at specificere en sekvens på: De første par medlemmer af sekvensen og en formel til beregning af de næste elementer er givet. For eksempel sekvensen defineret af det første element og gentagelsesrelationen
(aritmetisk progression). Overvej en sekvens kaldet nær Fibonacci: Indstil de to første elementer x 1 =1, x 2 =1 og gentagelsesrelationen
for enhver
. Vi får en rækkefølge af tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... For sådan en serie er det temmelig svært at finde en formel for et fælles udtryk.

8.1. Aritmetiske operationer med sekvenser.

Overvej to sekvenser:

(8.1)

Definition 8.2. Lad os ringeproduktet af sekvensen
pr nummer mefterfølgen
. Lad os skrive det sådan her:
.

Lad os kalde sekvensen summen af ​​sekvenser (8.1) og (8.2), skriver vi som følger: ; ligeledes
lad os ringe rækkefølge forskel (8.1) og (8.2);
 produkt af sekvenser (8.1) og (8.2);  private sekvenser (8.1) og (8.2) (alle elementer
).

8.2. Afgrænsede og ubundne sekvenser.

Sættet af alle elementer i en vilkårlig sekvens
danner en vis numerisk mængde, som kan afgrænses oppefra (nedefra), og for hvilke definitioner svarende til dem, der er indført for reelle tal, er gyldige.

Definition 8.3. Efterfølgende
hedderafgrænset fra oven , hvis ; M  øverste kant.

Definition 8.4. Efterfølgende
hedderafgrænset nedefra , hvis ;m  nederste kant.

Definition 8.5.Efterfølgende
hedderbegrænset , hvis det er afgrænset både over og under, det vil sige, hvis der er to reelle tal M ogm sådan, at hvert element i sekvensen
tilfredsstiller ulighederne:

, (8.3)

mOgM- øverste og nederste kanter
.

Uligheder (8.3) kaldes sekvens afgrænset tilstand
.

For eksempel rækkefølgen
begrænset og
ubegrænset.

♦ Udtalelse 8.1.
er begrænset .

Bevis. Lad os vælge
. I henhold til definition 8.5, rækkefølgen
vil være begrænset. ■

Definition 8.6. Efterfølgende
hedderubegrænset , hvis der for ethvert positivt (vilkårligt stort) reelt tal A er mindst ét ​​element i sekvensenx n , der opfylder uligheden:
.

For eksempel rækkefølgen 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n, … ubegrænset, fordi kun begrænset nedefra.

8.3. Uendeligt store og uendeligt små sekvenser.

Definition 8.7. Efterfølgende
hedderuendelig stor , hvis der for et hvilket som helst (vilkårligt stort) reelt tal A er et tal
sådan for alle
elementerx n
.

☼ Bemærkning 8.1. Hvis en sekvens er uendelig stor, så er den ubegrænset. Men man skal ikke tro, at enhver ubegrænset sekvens er uendelig stor. For eksempel rækkefølgen
er ikke begrænset, men er ikke uendeligt stor, fordi tilstand
er ikke tilfreds for alle selv n. ☼

 Eksempel 8.1.
er uendelig stor. Tag et hvilket som helst nummer MEN>0. Fra ulighed
vi får n>EN. Hvis du tager
, så for alle n>N ulighed vil holde
, altså sekvensen ifølge definition 8.7
uendelig stor. 

Definition 8.8. Efterfølgende
hedderuendelig lille , hvis for
(hvor lille ) der er et nummer
sådan for alle
elementer denne sekvens tilfredsstiller uligheden
.

 Eksempel 8.2. Lad os bevise, at rækkefølgen uendelig lille.

Tag et hvilket som helst nummer
. Fra ulighed
vi får . Hvis du tager
, så for alle n>N ulighed vil holde
. 

♦ Udtalelse 8.2. Efterfølgende
er uendelig stor kl
og uendelig lille kl
.

Bevis.

1) Lad først
:
, hvor
. Ifølge Bernoulli-formlen (eksempel 6.3, afsnit 6.1.)
. Vi fastsætter et vilkårligt positivt tal MEN og vælg et tal N sådan at uligheden er sand:

,
,
,
.

Fordi
, derefter ved egenskaben af ​​produktet af reelle tal for alle

.

Så for
der er et nummer
, det for alle


- uendelig stor
.

2) Overvej sagen
,
(på q=0 vi har et trivielt tilfælde).

Lad ske
, hvor
, ifølge Bernoulli-formlen
eller
.

Lave
,
og vælg
sådan at

,
,
.

Til

. Angiv dette nummer N, det for alle

, altså hvornår
efterfølgen
uendelig lille. ■

8.4. Grundlæggende egenskaber ved infinitesimale sekvenser.

♦ Sætning 8.1.Sum

Og

Bevis. Lave ;
- uendeligt lille

,

- uendeligt lille

. Lad os vælge
. Så kl

,
,
. ■

♦ Sætning 8.2. Forskel
to infinitesimale sekvenser
Og
er en uendelig sekvens.

Til beviser sætning, er det tilstrækkeligt at bruge uligheden . ■

Følge.Den algebraiske sum af ethvert endeligt antal af infinitesimale sekvenser er en infinitesimal sekvens.

♦ Sætning 8.3.Produktet af en afgrænset sekvens og en infinitesimal sekvens er en infinitesimal sekvens.

Bevis.
- begrænset
er en uendelig sekvens. Lave ;
,
;
: kl
retfærdig
. Derefter
. ■

♦ Sætning 8.4.Hver infinitesimal sekvens er afgrænset.

Bevis. Lave Lad noget nummer. Derefter
til alle rum n, hvilket betyder, at sekvensen er afgrænset. ■

Følge. Produktet af to (og ethvert endeligt antal) infinitesimale sekvenser er en infinitesimal sekvens.

♦ Sætning 8.5.

Hvis alle elementer i en infinitesimal sekvens
er lig med det samme talc, derefter c= 0.

Bevis sætning udføres ved modsigelse, hvis vi betegner
. ■

♦ Sætning 8.6. 1) Hvis
er en uendelig stor sekvens, der starter med et taln, er kvotienten defineret to sekvenser
Og
, som er en infinitesimal sekvens.

2) Hvis alle elementer i en infinitesimal sekvens
er forskellige fra nul, derefter kvotienten to sekvenser
Og
er en uendelig rækkefølge.

Bevis.

1) Lad
er en uendelig stor sekvens. Lave ;
eller
på
. Således er rækkefølgen pr. definition 8.8 - uendeligt lille.

2) Lad
er en uendelig sekvens. Lad os antage, at alle elementer
er forskellige fra nul. Lave MEN;
eller
på
. Per definition 8.7 rækkefølgen uendelig stor. ■

Matematik er den videnskab, der bygger verden. Både videnskabsmanden og den almindelige mand - ingen kan undvære det. Først lærer man små børn at tælle, derefter addere, trække fra, gange og dividere, med mellemskolen kommer bogstavbetegnelser i spil, og i den ældre kan de ikke længere undværes.

Men i dag vil vi tale om, hvad al kendt matematik er baseret på. Om fællesskabet af tal kaldet "sekvensgrænser".

Hvad er sekvenser, og hvor er deres grænse?

Betydningen af ​​ordet "sekvens" er ikke svær at fortolke. Dette er sådan en konstruktion af ting, hvor nogen eller noget er placeret i en bestemt rækkefølge eller kø. For eksempel er køen til billetter til zoologisk have en sekvens. Og der kan kun være én! Ser man for eksempel på køen til butikken, er dette én sekvens. Og hvis én person pludselig forlader denne kø, så er dette en anden kø, en anden rækkefølge.

Ordet "grænse" er også let at tolke - dette er enden på noget. Men i matematik er grænserne for sekvenser de værdier på tallinjen, som en sekvens af tal har tendens til. Hvorfor stræber og slutter ikke? Det er enkelt, tallinjen har ingen ende, og de fleste sekvenser, som stråler, har kun en begyndelse og ser sådan ud:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Derfor er definitionen af ​​en sekvens en funktion af det naturlige argument. I enklere ord er det en række medlemmer af et sæt.

Hvordan er en talrække opbygget?

Det enkleste eksempel på en talrække kunne se sådan ud: 1, 2, 3, 4, …n...

I de fleste tilfælde, til praktiske formål, er sekvenser bygget af tal, og hvert næste medlem af serien, lad os betegne det med X, har sit eget navn. For eksempel:

x 1 - det første medlem af sekvensen;

x 2 - det andet medlem af sekvensen;

x 3 - det tredje medlem;

x n er det n'te medlem.

I praktiske metoder er rækkefølgen givet af en generel formel, hvor der er en eller anden variabel. For eksempel:

X n \u003d 3n, så vil selve talrækken se sådan ud:

Det er værd at huske, at i den generelle notation af sekvenser kan du bruge alle latinske bogstaver og ikke kun X. For eksempel: y, z, k osv.

Aritmetisk progression som en del af sekvenser

Før man leder efter sekvensernes grænser, er det tilrådeligt at dykke dybere ned i selve konceptet med sådan en nummerserie, som alle stødte på, da de var i middelklassen. En aritmetisk progression er en række tal, hvor forskellen mellem tilstødende led er konstant.

Opgave: "Lad en 1 \u003d 15, og trinnet i progressionen af ​​nummerserien d \u003d 4. Byg de første 4 medlemmer af denne række"

Løsning: a 1 = 15 (efter betingelse) er det første medlem af progressionen (talrækken).

og 2 = 15+4=19 er det andet medlem af progressionen.

og 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 er det tredje udtryk.

og 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 er det fjerde udtryk.

Men med denne metode er det svært at nå store værdier, for eksempel op til en 125. . Især for sådanne tilfælde blev en formel, der var praktisk til praksis, udledt: a n \u003d a 1 + d (n-1). I dette tilfælde en 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Sekvenstyper

De fleste af sekvenserne er uendelige, det er værd at huske hele livet. Der er to interessante typer af talserier. Den første er givet ved formlen a n =(-1) n . Matematikere henviser ofte til disse blinksekvenser. Hvorfor? Lad os tjekke dens tal.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 osv. Med dette eksempel bliver det tydeligt, at tal i sekvenser nemt kan gentages.

faktoriel sekvens. Det er let at gætte, at der er en faktor i formlen, der definerer rækkefølgen. For eksempel: og n = (n+1)!

Så ser sekvensen således ud:

og 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

og 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 osv.

En sekvens givet af en aritmetisk progression kaldes uendeligt aftagende, hvis uligheden -1 observeres for alle dens medlemmer

og 3 \u003d - 1/8 osv.

Der er endda en sekvens bestående af det samme tal. Så, og n \u003d 6 består af et uendeligt antal seksere.

Bestemmelse af grænsen for en sekvens

Sekvensgrænser har længe eksisteret i matematik. Selvfølgelig fortjener de deres eget kompetente design. Så, tid til at lære definitionen af ​​sekvensgrænser. Overvej først grænsen for en lineær funktion i detaljer:

1. Alle grænser er forkortet til lim.
2. Grænseindgangen består af forkortelsen lim, en variabel, der tenderer til et bestemt tal, nul eller uendelig, samt selve funktionen.

Det er let at forstå, at definitionen af ​​grænsen for en sekvens kan formuleres som følger: det er et vist antal, som alle medlemmer af sekvensen nærmer sig uendeligt. Simpelt eksempel: og x = 4x+1. Så vil selve sekvensen se sådan ud.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Således vil denne sekvens stige uendeligt, hvilket betyder, at dens grænse er lig med uendelig som x→∞, og dette skal skrives som følger:

Hvis vi tager en lignende sekvens, men x har en tendens til 1, får vi:

Og rækken af ​​tal vil være sådan her: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 osv. Hver gang skal du erstatte tallet mere og mere tæt på én (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Det kan ses fra denne serie, at grænsen for funktionen er fem.

Fra denne del er det værd at huske, hvad grænsen for en numerisk sekvens er, definitionen og metoden til at løse simple opgaver.

Generel notation for grænsen af ​​sekvenser

Efter at have analyseret grænsen for den numeriske sekvens, dens definition og eksempler, kan vi gå videre til et mere komplekst emne. Absolut alle grænser for sekvenser kan formuleres med én formel, som normalt analyseres i det første semester.

Så hvad betyder dette sæt bogstaver, moduler og ulighedstegn?

∀ er en universel kvantifier, der erstatter sætningerne "for alle", "for alt" osv.

∃ er en eksistenskvantator, i dette tilfælde betyder det, at der er en eller anden værdi N, der hører til mængden af ​​naturlige tal.

En lang lodret pind efter N betyder, at det givne sæt N er "sådan". I praksis kan det betyde "sådan", "sådan den" osv.

For at konsolidere materialet skal du læse formlen højt.

Usikkerhed og sikkerhed for grænsen

Metoden til at finde grænsen for sekvenser, som blev diskuteret ovenfor, selvom den er enkel at bruge, er ikke så rationel i praksis. Prøv at finde grænsen for denne funktion:

Hvis vi erstatter forskellige x-værdier (stiger hver gang: 10, 100, 1000 osv.), så får vi ∞ i tælleren, men også ∞ i nævneren. Det viser sig en ret mærkelig brøkdel:

Men er det virkelig sådan? At beregne grænsen for den numeriske sekvens i dette tilfælde synes let nok. Det ville være muligt at lade alt være som det er, fordi svaret er klar, og det er modtaget på rimelige vilkår, men der er en anden måde specifikt for sådanne sager.

Lad os først finde den højeste grad i brøkens tæller - dette er 1, da x kan repræsenteres som x 1.

Lad os nu finde den højeste grad i nævneren. Også 1.

Divider både tælleren og nævneren med variablen i højeste grad. I dette tilfælde dividerer vi brøken med x 1.

Lad os derefter finde ud af, hvilken værdi hvert led, der indeholder variablen, har en tendens til. I dette tilfælde overvejes fraktioner. Som x→∞ har værdien af ​​hver af brøkerne en tendens til nul. Når du laver et skriftligt papir, er det værd at lave følgende fodnoter:

Følgende udtryk opnås:

De brøker, der indeholder x, blev naturligvis ikke til nul! Men deres værdi er så lille, at det er helt tilladt ikke at tage hensyn til det i beregningerne. Faktisk vil x aldrig være lig med 0 i dette tilfælde, fordi du ikke kan dividere med nul.

Hvad er et kvarter?

Lad os antage, at professoren har til sin rådighed en kompleks sekvens, givet af en ikke mindre kompleks formel. Professoren fandt svaret, men passer det? Når alt kommer til alt, begår alle mennesker fejl.

Auguste Cauchy fandt på en fantastisk måde at bevise grænserne for sekvenser. Hans metode blev kaldt nabodrift.

Antag, at der er et punkt a, dets naboskab i begge retninger på den reelle linje er lig med ε ("epsilon"). Da den sidste variabel er afstand, er dens værdi altid positiv.

Lad os nu sætte en sekvens x n og antage, at det tiende medlem af sekvensen (x 10) er inkluderet i nærheden af ​​a. Hvordan skriver man dette faktum i matematisk sprog?

Antag at x 10 er til højre for punkt a, så er afstanden x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Nu er det tid til i praksis at forklare den ovenfor nævnte formel. Det er rimeligt at kalde et tal for endepunktet af en sekvens, hvis uligheden ε>0 gælder for nogen af ​​dens grænser, og hele nabolaget har sit eget naturlige tal N, således at alle medlemmer af sekvensen med højere tal vil være inde i rækkefølgen |xn - a|< ε.

Med sådan viden er det let at løse grænserne for en sekvens, at bevise eller modbevise et klar svar.

Sætninger

Sætninger om sekvensernes grænser er en vigtig komponent i teorien, uden hvilken praksis er umulig. Der er kun fire hovedsætninger, huske hvilke, du kan lette processen med at løse eller bevise betydeligt:

1. Det unikke ved grænsen for en sekvens. Enhver sekvens kan kun have én grænse eller slet ikke. Samme eksempel med en kø, der kun kan have den ene ende.
2. Hvis en række tal har en grænse, er rækkefølgen af ​​disse tal begrænset.
3. Grænsen for summen (forskel, produkt) af sekvenser er lig med summen (forskel, produkt) af deres grænser.
4. Kvotientgrænsen for to sekvenser er lig med kvotienten af ​​grænserne, hvis og kun hvis nævneren ikke forsvinder.

Sekvensbevis

Nogle gange er det nødvendigt at løse et omvendt problem, for at bevise en given grænse for en numerisk rækkefølge. Lad os se på et eksempel.

Bevis, at grænsen for rækkefølgen givet af formlen er lig med nul.

Ifølge ovenstående regel er uligheden |x n - a| for enhver sekvens<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Lad os udtrykke n i form af "epsilon" for at vise eksistensen af ​​et bestemt tal og bevise eksistensen af ​​en rækkefølgegrænse.

På dette stadium er det vigtigt at huske, at "epsilon" og "en" er positive tal og ikke lig med nul. Nu kan du fortsætte yderligere transformationer ved at bruge viden om uligheder opnået i gymnasiet.

Hvorfra viser det sig, at n > -3 + 1/ε. Da det er værd at huske på, at vi taler om naturlige tal, kan resultatet afrundes ved at sætte det i firkantede parenteser. Det blev således bevist, at for enhver værdi af "epsilon"-kvarteret af punktet a = 0, blev der fundet en værdi, således at den oprindelige ulighed er opfyldt. Ud fra dette kan vi med sikkerhed hævde, at tallet a er grænsen for den givne sekvens. Q.E.D.

Med sådan en bekvem metode kan du bevise grænsen for en numerisk sekvens, uanset hvor kompliceret det kan virke ved første øjekast. Det vigtigste er ikke at gå i panik ved synet af opgaven.

Eller eksisterer han måske ikke?

Eksistensen af ​​en rækkefølgegrænse er ikke nødvendig i praksis. Det er nemt at finde sådanne rækker af tal, der virkelig ingen ende har. For eksempel den samme blinker x n = (-1) n . det er indlysende, at en sekvens bestående af kun to cifre, der gentages cyklisk, ikke kan have en grænse.

Den samme historie gentages med sekvenser, der består af et enkelt tal, brøker, der i løbet af beregningerne har en usikkerhed af enhver størrelsesorden (0/0, ∞/∞, ∞/0 osv.). Det skal dog huskes, at der også sker forkert beregning. Nogle gange vil en gentjek af din egen løsning hjælpe dig med at finde grænsen for successioner.

monoton sekvens

Ovenfor har vi overvejet flere eksempler på sekvenser, metoder til at løse dem, og lad os nu prøve at tage et mere specifikt tilfælde og kalde det en "monotone sekvens".

Definition: det er rimeligt at kalde enhver sekvens monotont stigende, hvis den opfylder den strenge ulighed x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Sammen med disse to forhold er der også lignende ikke-strenge uligheder. Følgelig xn ≤ xn+1 (ikke-faldende sekvens) og xn ≥ xn+1 (ikke-stigende sekvens).

Men det er nemmere at forstå dette med eksempler.

Rækkefølgen givet af formlen x n \u003d 2 + n danner følgende række af tal: 4, 5, 6 osv. Dette er en monotont stigende sekvens.

Og hvis vi tager x n \u003d 1 / n, får vi en serie: 1/3, ¼, 1/5 osv. Dette er en monotont aftagende sekvens.

Grænse for konvergent og afgrænset sekvens

En afgrænset sekvens er en sekvens, der har en grænse. En konvergent sekvens er en række tal, der har en uendelig grænse.

Grænsen for en afgrænset sekvens er således et hvilket som helst reelt eller komplekst tal. Husk at der kun kan være én grænse.

Grænsen for en konvergent sekvens er en uendelig lille størrelse (reel eller kompleks). Hvis du tegner et sekvensdiagram, så vil det på et bestemt tidspunkt så at sige konvergere, have tendens til at blive til en bestemt værdi. Deraf navnet - konvergent sekvens.

Monoton sekvensgrænse

En sådan sekvens kan have en grænse eller ikke. For det første er det nyttigt at forstå, hvornår det er, herfra kan du starte med at bevise fraværet af en grænse.

Blandt monotone sekvenser skelnes konvergent og divergent. Konvergent - dette er en sekvens, der er dannet af mængden x og har en reel eller kompleks grænse i dette sæt. Divergent - en sekvens, der ikke har nogen grænse i sit sæt (hverken reel eller kompleks).

Desuden konvergerer sekvensen, hvis dens øvre og nedre grænser konvergerer i en geometrisk repræsentation.

Grænsen for en konvergent sekvens kan i mange tilfælde være lig nul, da enhver infinitesimal sekvens har en kendt grænse (nul).

Uanset hvilken konvergent sekvens du tager, er de alle afgrænsede, men langt fra alle afgrænsede sekvenser konvergerer.

Summen, forskellen, produktet af to konvergerende sekvenser er også en konvergent sekvens. Dog kan kvotienten også konvergere, hvis den er defineret!

Forskellige handlinger med grænser

Sekvensgrænser er lige så signifikante (i de fleste tilfælde) som tal og tal: 1, 2, 15, 24, 362 osv. Det viser sig, at nogle operationer kan udføres med grænser.

For det første, ligesom cifre og tal, kan grænserne for enhver sekvens tilføjes og trækkes fra. Baseret på den tredje sætning om sekvensernes grænser er følgende lighed sand: grænsen for summen af ​​sekvenser er lig med summen af ​​deres grænser.

For det andet, baseret på den fjerde sætning om grænserne for sekvenser, er følgende lighed sand: grænsen for produktet af det n'te antal sekvenser er lig med produktet af deres grænser. Det samme gælder for division: grænsen for kvotienten af ​​to sekvenser er lig med kvotienten af ​​deres grænser, forudsat at grænsen ikke er lig med nul. Når alt kommer til alt, hvis grænsen for sekvenser er lig med nul, vil division med nul vise sig, hvilket er umuligt.

Sekvensværdiegenskaber

Det ser ud til, at grænsen for den numeriske sekvens allerede er blevet analyseret i nogen detaljer, men sådanne sætninger som "uendeligt små" og "uendeligt store" tal er nævnt mere end én gang. Det er klart, hvis der er en sekvens 1/x, hvor x→∞, så er en sådan brøk uendeligt lille, og hvis den samme sekvens, men grænsen har en tendens til nul (x→0), så bliver brøken en uendelig stor værdi . Og sådanne værdier har deres egne karakteristika. Egenskaberne for grænsen for en sekvens med vilkårlige små eller store værdier er som følger:

1. Summen af ​​et hvilket som helst antal vilkårligt små mængder vil også være en lille mængde.
2. Summen af ​​et vilkårligt antal store værdier vil være en uendelig stor værdi.
3. Produktet af vilkårligt små mængder er uendeligt lille.
4. Produktet af vilkårligt store tal er en uendelig stor mængde.
5. Hvis den oprindelige sekvens har en tendens til et uendeligt tal, vil dens gensidige være uendelig lille og have en tendens til nul.

Faktisk er det ikke så vanskelig en opgave at beregne grænsen for en sekvens, hvis du kender en simpel algoritme. Men sekvensernes grænser er et emne, der kræver maksimal opmærksomhed og vedholdenhed. Selvfølgelig er det nok blot at forstå essensen af ​​løsningen af ​​sådanne udtryk. Starter du i det små, kan du med tiden nå store højder.

Hvis en funktion er defineret på mængden af ​​naturlige tal N, så kaldes en sådan funktion en uendelig talrække. Normalt er en numerisk sekvens betegnet som (Xn), hvor n tilhører mængden af ​​naturlige tal N.

Den numeriske rækkefølge kan gives ved en formel. For eksempel Xn=1/(2*n). Således tildeler vi hvert naturligt tal n et bestemt element i rækkefølgen (Xn).

Hvis vi nu successivt tager n lig med 1,2,3, …., får vi sekvensen (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Sekvenstyper

Sekvensen kan være begrænset eller ubegrænset, stigende eller faldende.

Sekvensen (Xn) kalder begrænset hvis der er to tal m og M, således at for enhver n, der tilhører mængden af ​​naturlige tal, er ligheden m<=Xn

Sekvens (Xn), ikke begrænset, kaldes en ubundet sekvens.

stigende hvis for alle positive heltal n gælder følgende lighed: X(n+1) > Xn. Med andre ord skal hvert medlem af sekvensen, startende fra det andet, være større end det forrige medlem.

Sekvensen (Xn) kaldes aftagende, hvis for alle positive heltal n den følgende lighed gælder X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Eksempel på sekvens

Lad os tjekke, om sekvenserne 1/n og (n-1)/n er faldende.

Hvis rækkefølgen er aftagende, så X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Så sekvensen (n-1)/n er stigende.