Gauss-metoden generelt. Gauss-metoden eller hvorfor børn ikke forstår matematik
I denne artikel betragtes metoden som en måde at løse systemer af lineære ligninger (SLAE). Metoden er analytisk, det vil sige, den giver dig mulighed for at skrive en løsningsalgoritme i en generel form og derefter erstatte værdier fra specifikke eksempler der. I modsætning til matrixmetoden eller Cramers formler kan man, når man løser et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, også arbejde med dem, der har uendeligt mange løsninger. Eller også har de det slet ikke.
Hvad betyder Gauss?
Først skal du skrive vores ligningssystem ned i Det ser sådan ud. Systemet er taget:
Koefficienterne er skrevet i form af en tabel, og til højre i en separat kolonne - gratis medlemmer. Kolonnen med ledige medlemmer er adskilt for nemheds skyld. Matrixen, der inkluderer denne kolonne, kaldes udvidet.
Yderligere skal hovedmatrixen med koefficienter reduceres til den øvre trekantede form. Dette er hovedpunktet i at løse systemet ved Gauss-metoden. Kort sagt, efter visse manipulationer, skal matrixen se sådan ud, så der kun er nuller i dens nederste venstre del:
Hvis du så skriver den nye matrix igen som et ligningssystem, vil du bemærke, at den sidste række allerede indeholder værdien af en af rødderne, som så substitueres i ligningen ovenfor, en anden rod findes, og så videre.
Dette er en beskrivelse af løsningen ved Gauss-metoden i de mest generelle vendinger. Og hvad sker der, hvis systemet pludselig ikke har en løsning? Eller er der et uendeligt antal af dem? For at besvare disse og mange flere spørgsmål er det nødvendigt at overveje separat alle de elementer, der anvendes i løsningen ved Gauss-metoden.
Matricer, deres egenskaber
Der er ingen skjult mening i matrixen. Det er bare en bekvem måde at registrere data til senere operationer. Selv skolebørn skal ikke være bange for dem.
Matrixen er altid rektangulær, fordi den er mere praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ud på at bygge en trekantet matrix, dukker et rektangel op i indtastningen, kun med nuller på det sted, hvor der ikke er tal. Nuller kan udelades, men de er underforståede.
Matrixen har en størrelse. Dens "bredde" er antallet af rækker (m), dens "længde" er antallet af kolonner (n). Så vil størrelsen af matricen A (store latinske bogstaver bruges normalt til deres betegnelse) betegnes som A m×n . Hvis m=n, så er denne matrix kvadratisk, og m=n er dens rækkefølge. Følgelig kan et hvilket som helst element i matricen A betegnes med nummeret på dens række og kolonne: a xy ; x-rækkenummer, ændringer, y-søjlenummer, ændringer.
B er ikke hovedpointen i løsningen. I princippet kan alle operationer udføres direkte med selve ligningerne, men notationen vil vise sig at være meget mere besværlig, og det vil være meget nemmere at blive forvirret i den.
Determinant
Matrixen har også en determinant. Dette er en meget vigtig funktion. At finde ud af dens betydning nu er ikke det værd, du kan blot vise, hvordan det beregnes, og derefter fortælle, hvilke egenskaber af matricen den bestemmer. Den nemmeste måde at finde determinanten på er gennem diagonaler. I matrixen tegnes imaginære diagonaler; elementerne placeret på hver af dem multipliceres, og derefter tilføjes de resulterende produkter: diagonaler med en hældning til højre - med et "plus"-tegn, med en hældning til venstre - med et "minus"-tegn.
Det er ekstremt vigtigt at bemærke, at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrix. For en rektangulær matrix kan du gøre følgende: Vælg den mindste af antallet af rækker og antallet af kolonner (lad det være k), og marker derefter tilfældigt k kolonner og k rækker i matricen. Elementerne placeret i skæringspunktet mellem de valgte kolonner og rækker vil danne en ny firkantet matrix. Hvis determinanten for en sådan matrix er et andet tal end nul, kaldes det basis-minor af den oprindelige rektangulære matrix.
Før man går videre med løsningen af ligningssystemet ved Gauss-metoden, skader det ikke at beregne determinanten. Hvis det viser sig at være nul, så kan vi med det samme sige, at matrixen enten har et uendeligt antal løsninger, eller der er slet ingen. I sådan et trist tilfælde skal du gå videre og finde ud af matrixens rang.
System klassificering
Der er sådan noget som rangen af en matrix. Dette er den maksimale rækkefølge af dens ikke-nul determinant (ved at huske basis-minor, kan vi sige, at rangen af en matrix er rækkefølgen af basis-minor).
Alt efter hvordan det er med rangen, kan SLAE opdeles i:
- Samling. På af fælles systemer falder rangeringen af hovedmatricen (kun bestående af koefficienter) sammen med rangeringen af den udvidede (med en kolonne med frie udtryk). Sådanne systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fælles systemer yderligere opdelt i:
- - bestemte- at have en unik løsning. I visse systemer er rangeringen af matrixen og antallet af ukendte (eller antallet af kolonner, som er det samme) lige store;
- - ubestemt - med et uendeligt antal løsninger. Rangen af matricer for sådanne systemer er mindre end antallet af ukendte.
- Uforenelig. På I sådanne systemer falder rækken af hoved- og udvidede matricer ikke sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.
Gauss-metoden er god, idet den giver mulighed for enten at opnå et entydigt bevis for systemets inkonsistens (uden at beregne determinanterne for store matricer) eller en generel løsning for et system med et uendeligt antal løsninger.
Elementære transformationer
Før du går direkte videre til systemets løsning, er det muligt at gøre det mindre besværligt og mere bekvemt til beregninger. Dette opnås gennem elementære transformationer - sådan at deres implementering ikke ændrer det endelige svar på nogen måde. Det skal bemærkes, at nogle af de ovennævnte elementære transformationer kun er gyldige for matricer, hvis kilde netop var SLAE. Her er en liste over disse transformationer:
- Streng permutation. Det er indlysende, at hvis vi ændrer rækkefølgen af ligningerne i systemposten, så vil dette ikke påvirke løsningen på nogen måde. Derfor er det også muligt at udskifte rækker i matrixen af dette system, selvfølgelig ikke at glemme kolonnen med gratis medlemmer.
- Multiplicer alle elementer i en streng med en eller anden faktor. Meget hjælpsom! Med den kan du reducere store tal i matrixen eller fjerne nuller. Sættet af løsninger vil som sædvanligt ikke ændre sig, og det bliver mere bekvemt at udføre yderligere operationer. Det vigtigste er, at koefficienten ikke er lig med nul.
- Slet rækker med proportionalkoefficienter. Dette følger til dels af det foregående afsnit. Hvis to eller flere rækker i matrixen har proportionalkoefficienter, opnås to (eller igen flere) absolut identiske rækker, når du multiplicerer / dividerer en af rækkerne med proportionalitetskoefficienten, og du kan fjerne de ekstra, så der kun er tilbage en.
- Fjernelse af nullinjen. Hvis der i løbet af transformationer opnås en streng et sted, hvor alle elementer, inklusive det frie medlem, er nul, så kan en sådan streng kaldes nul og smidt ud af matrixen.
- Tilføjelse til elementerne i en række af elementerne i en anden (i de tilsvarende kolonner), ganget med en bestemt koefficient. Den mest uklare og vigtigste transformation af alle. Det er værd at dvæle ved det mere detaljeret.
Tilføjelse af en streng ganget med en faktor
For at lette forståelsen er det værd at adskille denne proces trin for trin. To rækker er taget fra matrixen:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Antag, at du skal lægge den første til den anden, ganget med koefficienten "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Så i matrixen erstattes den anden række med en ny, og den første forbliver uændret.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Det skal bemærkes, at multiplikationsfaktoren kan vælges på en sådan måde, at et af elementerne i den nye streng, som et resultat af tilføjelsen af to strenge, er lig nul. Derfor er det muligt at få en ligning i systemet, hvor der vil være en mindre ukendt. Og hvis du får to sådanne ligninger, så kan operationen gøres igen og få en ligning, der allerede vil indeholde to mindre ukendte. Og hvis vi hver gang drejer til nul en koefficient for alle rækker, der er lavere end den oprindelige, så kan vi ligesom trin gå ned til bunden af matricen og få en ligning med en ukendt. Dette kaldes at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden.
Generelt
Lad der være et system. Det har m ligninger og n ukendte rødder. Du kan skrive det ned sådan her:
Hovedmatrixen er kompileret ud fra systemets koefficienter. En kolonne af frie medlemmer føjes til den udvidede matrix og adskilles af en bjælke for nemheds skyld.
- den første række af matrixen multipliceres med koefficienten k = (-a 21 / a 11);
- den første modificerede række og den anden række af matrixen tilføjes;
- i stedet for den anden række indsættes resultatet af tilføjelsen fra det foregående afsnit i matrixen;
- nu er den første koefficient i den nye anden række a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Nu udføres den samme serie af transformationer, kun den første og tredje række er involveret. Følgelig erstattes elementet a 21 i hvert trin af algoritmen med et 31 . Derefter gentages alt for en 41, ... a m1. Resultatet er en matrix, hvor det første element i rækkerne er lig nul. Nu skal vi glemme alt om linje nummer et og udføre den samme algoritme fra den anden linje:
- koefficient k \u003d (-a 32 / a 22);
- den anden modificerede linje tilføjes til den "aktuelle" linje;
- resultatet af tilføjelsen erstattes i den tredje, fjerde og så videre linje, mens den første og anden forbliver uændret;
- i matrixens rækker er de to første elementer allerede lig med nul.
Algoritmen skal gentages, indtil koefficienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Det betyder, at sidste gang algoritmen blev udført kun var for den nederste ligning. Nu ligner matrixen en trekant eller har en trinformet form. Den nederste linje indeholder ligheden a mn × x n = b m . Koefficienten og frileddet er kendt, og roden udtrykkes gennem dem: x n = b m /a mn. Den resulterende rod sættes ind i den øverste række for at finde x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Og så videre analogt: i hver næste linje er der en ny rod, og efter at have nået "toppen" af systemet, kan du finde mange løsninger. Det bliver den eneste.
Når der ikke er løsninger
Hvis i en af matrixrækkerne alle elementer, bortset fra det frie led, er lig med nul, så ser ligningen svarende til denne række ud som 0 = b. Det har ingen løsning. Og da en sådan ligning er inkluderet i systemet, så er løsningssættet for hele systemet tomt, det vil sige, det er degenereret.
Når der er et uendeligt antal løsninger
Det kan vise sig, at i den reducerede trekantede matrix er der ingen rækker med et element - ligningens koefficient og en - et frit medlem. Der er kun strenge, der, når de bliver omskrevet, vil ligne en ligning med to eller flere variable. Det betyder, at systemet har et uendeligt antal løsninger. I dette tilfælde kan svaret gives i form af en generel løsning. Hvordan gør man det?
Alle variable i matricen er opdelt i grundlæggende og frie. Basic - det er dem, der står "på kanten" af rækkerne i den trinvise matrix. Resten er gratis. I den generelle løsning er de grundlæggende variabler skrevet i form af de frie.
For nemheds skyld omskrives matrixen først tilbage til et ligningssystem. Så i den sidste af dem, hvor der kun var en grundlæggende variabel tilbage, forbliver den på den ene side, og alt andet overføres til den anden. Dette gøres for hver ligning med en grundvariabel. Så, i resten af ligningerne, hvor det er muligt, i stedet for grundvariablen, erstattes det opnåede udtryk for den. Hvis resultatet igen er et udtryk, der kun indeholder én grundvariabel, udtrykkes det derfra igen, og så videre, indtil hver grundvariabel er skrevet som et udtryk med frie variable. Dette er den generelle løsning af SLAE.
Du kan også finde den grundlæggende løsning af systemet - giv de frie variable alle værdier, og beregn derefter værdierne af de grundlæggende variabler for dette særlige tilfælde. Der er uendeligt mange særlige løsninger.
Løsning med konkrete eksempler
Her er ligningssystemet.
For nemheds skyld er det bedre straks at oprette sin matrix
Det er kendt, at når man løser ved Gauss-metoden, vil ligningen svarende til den første række forblive uændret ved slutningen af transformationerne. Derfor vil det være mere rentabelt, hvis det øverste venstre element i matrixen er det mindste - så vil de første elementer i de resterende rækker efter operationerne blive nul. Det betyder, at det i den kompilerede matrix vil være fordelagtigt at sætte den anden i stedet for den første række.
anden linie: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Nu, for ikke at blive forvirret, er det nødvendigt at nedskrive matrixen med de mellemliggende resultater af transformationerne.
Det er indlysende, at en sådan matrix kan gøres mere bekvem for perception ved hjælp af nogle operationer. For eksempel kan du fjerne alle "minusser" fra den anden linje ved at gange hvert element med "-1".
Det er også værd at bemærke, at i den tredje række er alle elementer multipla af tre. Derefter kan du reducere strengen med dette tal og gange hvert element med "-1/3" (minus - samtidig for at fjerne negative værdier).
Ser meget pænere ud. Nu skal vi lade den første linje være i fred og arbejde med den anden og tredje. Opgaven er at lægge den anden række til den tredje række, ganget med en sådan faktor, at elementet a 32 bliver lig med nul.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 brøker, og først derefter, når svarene modtages, beslutte, om du vil runde op og oversætte til en anden form for notation)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
Matrixen skrives igen med nye værdier.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Som du kan se, har den resulterende matrix allerede en trinform. Derfor er yderligere transformationer af systemet ved Gauss-metoden ikke nødvendige. Hvad der kan gøres her, er at fjerne den overordnede koefficient "-1/7" fra den tredje linje.
Nu er alt smukt. Pointen er lille - skriv matrixen igen i form af et ligningssystem og beregn rødderne
x + 2y + 4z = 12(1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritmen, hvormed rødderne nu vil blive fundet, kaldes det omvendte træk i Gauss-metoden. Ligning (3) indeholder værdien af z:
y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9
Og den første ligning giver dig mulighed for at finde x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Vi har ret til at kalde et sådant system fælles, og endda bestemt, det vil sige at have en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
Et eksempel på et ubestemt system
Varianten af at løse et bestemt system ved Gauss-metoden er blevet analyseret, nu er det nødvendigt at overveje sagen, hvis systemet er ubestemt, det vil sige, at der kan findes uendeligt mange løsninger til det.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Selve systemets form er allerede alarmerende, fordi antallet af ukendte er n = 5, og rangeringen af systemets matrix er allerede nøjagtigt mindre end dette tal, fordi antallet af rækker er m = 4, dvs. den største rækkefølge af kvadratdeterminanten er 4. Det betyder, at der er et uendeligt antal løsninger, og det er nødvendigt at lede efter dens generelle form. Gauss-metoden til lineære ligninger gør det muligt at gøre dette.
Først, som sædvanlig, kompileres den udvidede matrix.
Anden linje: koefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. I den tredje linje er det første element før transformationerne, så du behøver ikke røre ved noget, du skal lade det være som det er. Fjerde linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ved at multiplicere elementerne i den første række med hver af deres koefficienter på skift og tilføje dem til de ønskede rækker, får vi en matrix med følgende form:
Som du kan se, består den anden, tredje og fjerde række af elementer, der er proportionale med hinanden. Den anden og fjerde er generelt ens, så en af dem kan fjernes med det samme, og resten ganges med koefficienten "-1" og få linje nummer 3. Og igen, lad en af to identiske linjer.
Det viste sig sådan en matrix. Systemet er endnu ikke skrevet ned, det er nødvendigt her at bestemme de grundlæggende variabler - stående ved koefficienterne a 11 \u003d 1 og en 22 \u003d 1, og fri - alle resten.
Den anden ligning har kun én grundlæggende variabel - x 2 . Derfor kan det udtrykkes derfra ved at skrive gennem variablerne x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.
Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning.
Det viste sig en ligning, hvor den eneste grundvariabel er x 1. Lad os gøre det samme med det som med x 2 .
Alle grundvariable, som der er to af, er udtrykt i form af tre frie, nu kan du skrive svaret i en generel form.
Du kan også angive en af systemets særlige løsninger. I sådanne tilfælde vælges som regel nuller som værdier for frie variable. Så vil svaret være:
16, 23, 0, 0, 0.
Et eksempel på et inkompatibelt system
Løsningen af inkonsistente ligningssystemer ved Gauss-metoden er den hurtigste. Den slutter, så snart der på et af stadierne opnås en ligning, der ikke har nogen løsning. Det vil sige, at stadiet med beregningen af rødderne, som er ret langt og trist, forsvinder. Følgende system tages i betragtning:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Som sædvanlig er matrixen kompileret:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Og det er reduceret til en trinvis form:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Efter den første transformation indeholder den tredje linje en ligning af formen
har ingen løsning. Derfor er systemet inkonsekvent, og svaret er det tomme sæt.
Fordele og ulemper ved metoden
Hvis du vælger, hvilken metode til at løse SLAE på papir med en pen, så ser den metode, der blev overvejet i denne artikel, den mest attraktive ud. I elementære transformationer er det meget sværere at blive forvirret, end det sker, hvis du manuelt skal lede efter determinanten eller en eller anden vanskelig invers matrix. Men hvis du bruger programmer til at arbejde med data af denne type, for eksempel regneark, så viser det sig, at sådanne programmer allerede indeholder algoritmer til beregning af hovedparametrene for matricer - determinant, minor, invers og så videre. Og hvis du er sikker på, at maskinen selv vil beregne disse værdier og ikke begår en fejl, er det mere hensigtsmæssigt at bruge matrixmetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynder og slutter med beregningen af determinanter og inverse matricer.
Ansøgning
Da den Gaussiske løsning er en algoritme, og matrixen i virkeligheden er en todimensional matrix, kan den bruges i programmering. Men da artiklen placerer sig som en guide "for dummies", skal det siges, at det nemmeste sted at sætte metoden ind er regneark, for eksempel Excel. Igen vil enhver SLAE, der er indtastet i en tabel i form af en matrix, blive betragtet af Excel som en todimensionel matrix. Og til operationer med dem er der mange gode kommandoer: addition (du kan kun tilføje matricer af samme størrelse!), Multiplikation med et tal, matrixmultiplikation (også med visse begrænsninger), finde de inverse og transponerede matricer og vigtigst af alt , beregner determinanten. Hvis denne tidskrævende opgave erstattes af en enkelt kommando, er det meget hurtigere at bestemme rangeringen af en matrix og derfor at fastslå dens kompatibilitet eller inkonsistens.
I denne artikel betragtes metoden som en måde at løse systemer af lineære ligninger (SLAE). Metoden er analytisk, det vil sige, den giver dig mulighed for at skrive en løsningsalgoritme i en generel form og derefter erstatte værdier fra specifikke eksempler der. I modsætning til matrixmetoden eller Cramers formler kan man, når man løser et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, også arbejde med dem, der har uendeligt mange løsninger. Eller også har de det slet ikke.
Hvad betyder Gauss?
Først skal du skrive vores ligningssystem ned i Det ser sådan ud. Systemet er taget:
Koefficienterne er skrevet i form af en tabel, og til højre i en separat kolonne - gratis medlemmer. Kolonnen med ledige medlemmer er adskilt for nemheds skyld. Matrixen, der inkluderer denne kolonne, kaldes udvidet.
Yderligere skal hovedmatrixen med koefficienter reduceres til den øvre trekantede form. Dette er hovedpunktet i at løse systemet ved Gauss-metoden. Kort sagt, efter visse manipulationer, skal matrixen se sådan ud, så der kun er nuller i dens nederste venstre del:
Hvis du så skriver den nye matrix igen som et ligningssystem, vil du bemærke, at den sidste række allerede indeholder værdien af en af rødderne, som så substitueres i ligningen ovenfor, en anden rod findes, og så videre.
Dette er en beskrivelse af løsningen ved Gauss-metoden i de mest generelle vendinger. Og hvad sker der, hvis systemet pludselig ikke har en løsning? Eller er der et uendeligt antal af dem? For at besvare disse og mange flere spørgsmål er det nødvendigt at overveje separat alle de elementer, der anvendes i løsningen ved Gauss-metoden.
Matricer, deres egenskaber
Der er ingen skjult mening i matrixen. Det er bare en bekvem måde at registrere data til senere operationer. Selv skolebørn skal ikke være bange for dem.
Matrixen er altid rektangulær, fordi den er mere praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ud på at bygge en trekantet matrix, dukker et rektangel op i indtastningen, kun med nuller på det sted, hvor der ikke er tal. Nuller kan udelades, men de er underforståede.
Matrixen har en størrelse. Dens "bredde" er antallet af rækker (m), dens "længde" er antallet af kolonner (n). Så vil størrelsen af matricen A (store latinske bogstaver bruges normalt til deres betegnelse) betegnes som A m×n . Hvis m=n, så er denne matrix kvadratisk, og m=n er dens rækkefølge. Følgelig kan et hvilket som helst element i matricen A betegnes med nummeret på dens række og kolonne: a xy ; x-rækkenummer, ændringer, y-søjlenummer, ændringer.
B er ikke hovedpointen i løsningen. I princippet kan alle operationer udføres direkte med selve ligningerne, men notationen vil vise sig at være meget mere besværlig, og det vil være meget nemmere at blive forvirret i den.
Determinant
Matrixen har også en determinant. Dette er en meget vigtig funktion. At finde ud af dens betydning nu er ikke det værd, du kan blot vise, hvordan det beregnes, og derefter fortælle, hvilke egenskaber af matricen den bestemmer. Den nemmeste måde at finde determinanten på er gennem diagonaler. I matrixen tegnes imaginære diagonaler; elementerne placeret på hver af dem multipliceres, og derefter tilføjes de resulterende produkter: diagonaler med en hældning til højre - med et "plus"-tegn, med en hældning til venstre - med et "minus"-tegn.
Det er ekstremt vigtigt at bemærke, at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrix. For en rektangulær matrix kan du gøre følgende: Vælg den mindste af antallet af rækker og antallet af kolonner (lad det være k), og marker derefter tilfældigt k kolonner og k rækker i matricen. Elementerne placeret i skæringspunktet mellem de valgte kolonner og rækker vil danne en ny firkantet matrix. Hvis determinanten for en sådan matrix er et andet tal end nul, kaldes det basis-minor af den oprindelige rektangulære matrix.
Før man går videre med løsningen af ligningssystemet ved Gauss-metoden, skader det ikke at beregne determinanten. Hvis det viser sig at være nul, så kan vi med det samme sige, at matrixen enten har et uendeligt antal løsninger, eller der er slet ingen. I sådan et trist tilfælde skal du gå videre og finde ud af matrixens rang.
System klassificering
Der er sådan noget som rangen af en matrix. Dette er den maksimale rækkefølge af dens ikke-nul determinant (ved at huske basis-minor, kan vi sige, at rangen af en matrix er rækkefølgen af basis-minor).
Alt efter hvordan det er med rangen, kan SLAE opdeles i:
- Samling. På af fælles systemer falder rangeringen af hovedmatricen (kun bestående af koefficienter) sammen med rangeringen af den udvidede (med en kolonne med frie udtryk). Sådanne systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fælles systemer yderligere opdelt i:
- - bestemte- at have en unik løsning. I visse systemer er rangeringen af matrixen og antallet af ukendte (eller antallet af kolonner, som er det samme) lige store;
- - ubestemt - med et uendeligt antal løsninger. Rangen af matricer for sådanne systemer er mindre end antallet af ukendte.
- Uforenelig. På I sådanne systemer falder rækken af hoved- og udvidede matricer ikke sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.
Gauss-metoden er god, idet den giver mulighed for enten at opnå et entydigt bevis for systemets inkonsistens (uden at beregne determinanterne for store matricer) eller en generel løsning for et system med et uendeligt antal løsninger.
Elementære transformationer
Før du går direkte videre til systemets løsning, er det muligt at gøre det mindre besværligt og mere bekvemt til beregninger. Dette opnås gennem elementære transformationer - sådan at deres implementering ikke ændrer det endelige svar på nogen måde. Det skal bemærkes, at nogle af de ovennævnte elementære transformationer kun er gyldige for matricer, hvis kilde netop var SLAE. Her er en liste over disse transformationer:
- Streng permutation. Det er indlysende, at hvis vi ændrer rækkefølgen af ligningerne i systemposten, så vil dette ikke påvirke løsningen på nogen måde. Derfor er det også muligt at udskifte rækker i matrixen af dette system, selvfølgelig ikke at glemme kolonnen med gratis medlemmer.
- Multiplicer alle elementer i en streng med en eller anden faktor. Meget hjælpsom! Med den kan du reducere store tal i matrixen eller fjerne nuller. Sættet af løsninger vil som sædvanligt ikke ændre sig, og det bliver mere bekvemt at udføre yderligere operationer. Det vigtigste er, at koefficienten ikke er lig med nul.
- Slet rækker med proportionalkoefficienter. Dette følger til dels af det foregående afsnit. Hvis to eller flere rækker i matrixen har proportionalkoefficienter, opnås to (eller igen flere) absolut identiske rækker, når du multiplicerer / dividerer en af rækkerne med proportionalitetskoefficienten, og du kan fjerne de ekstra, så der kun er tilbage en.
- Fjernelse af nullinjen. Hvis der i løbet af transformationer opnås en streng et sted, hvor alle elementer, inklusive det frie medlem, er nul, så kan en sådan streng kaldes nul og smidt ud af matrixen.
- Tilføjelse til elementerne i en række af elementerne i en anden (i de tilsvarende kolonner), ganget med en bestemt koefficient. Den mest uklare og vigtigste transformation af alle. Det er værd at dvæle ved det mere detaljeret.
Tilføjelse af en streng ganget med en faktor
For at lette forståelsen er det værd at adskille denne proces trin for trin. To rækker er taget fra matrixen:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Antag, at du skal lægge den første til den anden, ganget med koefficienten "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Så i matrixen erstattes den anden række med en ny, og den første forbliver uændret.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Det skal bemærkes, at multiplikationsfaktoren kan vælges på en sådan måde, at et af elementerne i den nye streng, som et resultat af tilføjelsen af to strenge, er lig nul. Derfor er det muligt at få en ligning i systemet, hvor der vil være en mindre ukendt. Og hvis du får to sådanne ligninger, så kan operationen gøres igen og få en ligning, der allerede vil indeholde to mindre ukendte. Og hvis vi hver gang drejer til nul en koefficient for alle rækker, der er lavere end den oprindelige, så kan vi ligesom trin gå ned til bunden af matricen og få en ligning med en ukendt. Dette kaldes at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden.
Generelt
Lad der være et system. Det har m ligninger og n ukendte rødder. Du kan skrive det ned sådan her:
Hovedmatrixen er kompileret ud fra systemets koefficienter. En kolonne af frie medlemmer føjes til den udvidede matrix og adskilles af en bjælke for nemheds skyld.
- den første række af matrixen multipliceres med koefficienten k = (-a 21 / a 11);
- den første modificerede række og den anden række af matrixen tilføjes;
- i stedet for den anden række indsættes resultatet af tilføjelsen fra det foregående afsnit i matrixen;
- nu er den første koefficient i den nye anden række a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Nu udføres den samme serie af transformationer, kun den første og tredje række er involveret. Følgelig erstattes elementet a 21 i hvert trin af algoritmen med et 31 . Derefter gentages alt for en 41, ... a m1. Resultatet er en matrix, hvor det første element i rækkerne er lig nul. Nu skal vi glemme alt om linje nummer et og udføre den samme algoritme fra den anden linje:
- koefficient k \u003d (-a 32 / a 22);
- den anden modificerede linje tilføjes til den "aktuelle" linje;
- resultatet af tilføjelsen erstattes i den tredje, fjerde og så videre linje, mens den første og anden forbliver uændret;
- i matrixens rækker er de to første elementer allerede lig med nul.
Algoritmen skal gentages, indtil koefficienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Det betyder, at sidste gang algoritmen blev udført kun var for den nederste ligning. Nu ligner matrixen en trekant eller har en trinformet form. Den nederste linje indeholder ligheden a mn × x n = b m . Koefficienten og frileddet er kendt, og roden udtrykkes gennem dem: x n = b m /a mn. Den resulterende rod sættes ind i den øverste række for at finde x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Og så videre analogt: i hver næste linje er der en ny rod, og efter at have nået "toppen" af systemet, kan du finde mange løsninger. Det bliver den eneste.
Når der ikke er løsninger
Hvis i en af matrixrækkerne alle elementer, bortset fra det frie led, er lig med nul, så ser ligningen svarende til denne række ud som 0 = b. Det har ingen løsning. Og da en sådan ligning er inkluderet i systemet, så er løsningssættet for hele systemet tomt, det vil sige, det er degenereret.
Når der er et uendeligt antal løsninger
Det kan vise sig, at i den reducerede trekantede matrix er der ingen rækker med et element - ligningens koefficient og en - et frit medlem. Der er kun strenge, der, når de bliver omskrevet, vil ligne en ligning med to eller flere variable. Det betyder, at systemet har et uendeligt antal løsninger. I dette tilfælde kan svaret gives i form af en generel løsning. Hvordan gør man det?
Alle variable i matricen er opdelt i grundlæggende og frie. Basic - det er dem, der står "på kanten" af rækkerne i den trinvise matrix. Resten er gratis. I den generelle løsning er de grundlæggende variabler skrevet i form af de frie.
For nemheds skyld omskrives matrixen først tilbage til et ligningssystem. Så i den sidste af dem, hvor der kun var en grundlæggende variabel tilbage, forbliver den på den ene side, og alt andet overføres til den anden. Dette gøres for hver ligning med en grundvariabel. Så, i resten af ligningerne, hvor det er muligt, i stedet for grundvariablen, erstattes det opnåede udtryk for den. Hvis resultatet igen er et udtryk, der kun indeholder én grundvariabel, udtrykkes det derfra igen, og så videre, indtil hver grundvariabel er skrevet som et udtryk med frie variable. Dette er den generelle løsning af SLAE.
Du kan også finde den grundlæggende løsning af systemet - giv de frie variable alle værdier, og beregn derefter værdierne af de grundlæggende variabler for dette særlige tilfælde. Der er uendeligt mange særlige løsninger.
Løsning med konkrete eksempler
Her er ligningssystemet.
For nemheds skyld er det bedre straks at oprette sin matrix
Det er kendt, at når man løser ved Gauss-metoden, vil ligningen svarende til den første række forblive uændret ved slutningen af transformationerne. Derfor vil det være mere rentabelt, hvis det øverste venstre element i matrixen er det mindste - så vil de første elementer i de resterende rækker efter operationerne blive nul. Det betyder, at det i den kompilerede matrix vil være fordelagtigt at sætte den anden i stedet for den første række.
anden linie: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Nu, for ikke at blive forvirret, er det nødvendigt at nedskrive matrixen med de mellemliggende resultater af transformationerne.
Det er indlysende, at en sådan matrix kan gøres mere bekvem for perception ved hjælp af nogle operationer. For eksempel kan du fjerne alle "minusser" fra den anden linje ved at gange hvert element med "-1".
Det er også værd at bemærke, at i den tredje række er alle elementer multipla af tre. Derefter kan du reducere strengen med dette tal og gange hvert element med "-1/3" (minus - samtidig for at fjerne negative værdier).
Ser meget pænere ud. Nu skal vi lade den første linje være i fred og arbejde med den anden og tredje. Opgaven er at lægge den anden række til den tredje række, ganget med en sådan faktor, at elementet a 32 bliver lig med nul.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 brøker, og først derefter, når svarene modtages, beslutte, om du vil runde op og oversætte til en anden form for notation)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
Matrixen skrives igen med nye værdier.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Som du kan se, har den resulterende matrix allerede en trinform. Derfor er yderligere transformationer af systemet ved Gauss-metoden ikke nødvendige. Hvad der kan gøres her, er at fjerne den overordnede koefficient "-1/7" fra den tredje linje.
Nu er alt smukt. Pointen er lille - skriv matrixen igen i form af et ligningssystem og beregn rødderne
x + 2y + 4z = 12(1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritmen, hvormed rødderne nu vil blive fundet, kaldes det omvendte træk i Gauss-metoden. Ligning (3) indeholder værdien af z:
y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9
Og den første ligning giver dig mulighed for at finde x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Vi har ret til at kalde et sådant system fælles, og endda bestemt, det vil sige at have en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
Et eksempel på et ubestemt system
Varianten af at løse et bestemt system ved Gauss-metoden er blevet analyseret, nu er det nødvendigt at overveje sagen, hvis systemet er ubestemt, det vil sige, at der kan findes uendeligt mange løsninger til det.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Selve systemets form er allerede alarmerende, fordi antallet af ukendte er n = 5, og rangeringen af systemets matrix er allerede nøjagtigt mindre end dette tal, fordi antallet af rækker er m = 4, dvs. den største rækkefølge af kvadratdeterminanten er 4. Det betyder, at der er et uendeligt antal løsninger, og det er nødvendigt at lede efter dens generelle form. Gauss-metoden til lineære ligninger gør det muligt at gøre dette.
Først, som sædvanlig, kompileres den udvidede matrix.
Anden linje: koefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. I den tredje linje er det første element før transformationerne, så du behøver ikke røre ved noget, du skal lade det være som det er. Fjerde linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ved at multiplicere elementerne i den første række med hver af deres koefficienter på skift og tilføje dem til de ønskede rækker, får vi en matrix med følgende form:
Som du kan se, består den anden, tredje og fjerde række af elementer, der er proportionale med hinanden. Den anden og fjerde er generelt ens, så en af dem kan fjernes med det samme, og resten ganges med koefficienten "-1" og få linje nummer 3. Og igen, lad en af to identiske linjer.
Det viste sig sådan en matrix. Systemet er endnu ikke skrevet ned, det er nødvendigt her at bestemme de grundlæggende variabler - stående ved koefficienterne a 11 \u003d 1 og en 22 \u003d 1, og fri - alle resten.
Den anden ligning har kun én grundlæggende variabel - x 2 . Derfor kan det udtrykkes derfra ved at skrive gennem variablerne x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.
Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning.
Det viste sig en ligning, hvor den eneste grundvariabel er x 1. Lad os gøre det samme med det som med x 2 .
Alle grundvariable, som der er to af, er udtrykt i form af tre frie, nu kan du skrive svaret i en generel form.
Du kan også angive en af systemets særlige løsninger. I sådanne tilfælde vælges som regel nuller som værdier for frie variable. Så vil svaret være:
16, 23, 0, 0, 0.
Et eksempel på et inkompatibelt system
Løsningen af inkonsistente ligningssystemer ved Gauss-metoden er den hurtigste. Den slutter, så snart der på et af stadierne opnås en ligning, der ikke har nogen løsning. Det vil sige, at stadiet med beregningen af rødderne, som er ret langt og trist, forsvinder. Følgende system tages i betragtning:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Som sædvanlig er matrixen kompileret:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Og det er reduceret til en trinvis form:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Efter den første transformation indeholder den tredje linje en ligning af formen
har ingen løsning. Derfor er systemet inkonsekvent, og svaret er det tomme sæt.
Fordele og ulemper ved metoden
Hvis du vælger, hvilken metode til at løse SLAE på papir med en pen, så ser den metode, der blev overvejet i denne artikel, den mest attraktive ud. I elementære transformationer er det meget sværere at blive forvirret, end det sker, hvis du manuelt skal lede efter determinanten eller en eller anden vanskelig invers matrix. Men hvis du bruger programmer til at arbejde med data af denne type, for eksempel regneark, så viser det sig, at sådanne programmer allerede indeholder algoritmer til beregning af hovedparametrene for matricer - determinant, minor, invers og så videre. Og hvis du er sikker på, at maskinen selv vil beregne disse værdier og ikke begår en fejl, er det mere hensigtsmæssigt at bruge matrixmetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynder og slutter med beregningen af determinanter og inverse matricer.
Ansøgning
Da den Gaussiske løsning er en algoritme, og matrixen i virkeligheden er en todimensional matrix, kan den bruges i programmering. Men da artiklen placerer sig som en guide "for dummies", skal det siges, at det nemmeste sted at sætte metoden ind er regneark, for eksempel Excel. Igen vil enhver SLAE, der er indtastet i en tabel i form af en matrix, blive betragtet af Excel som en todimensionel matrix. Og til operationer med dem er der mange gode kommandoer: addition (du kan kun tilføje matricer af samme størrelse!), Multiplikation med et tal, matrixmultiplikation (også med visse begrænsninger), finde de inverse og transponerede matricer og vigtigst af alt , beregner determinanten. Hvis denne tidskrævende opgave erstattes af en enkelt kommando, er det meget hurtigere at bestemme rangeringen af en matrix og derfor at fastslå dens kompatibilitet eller inkonsistens.
1. System af lineære algebraiske ligninger
1.1 Begrebet et system af lineære algebraiske ligninger
Et ligningssystem er en betingelse, der består i den samtidige udførelse af flere ligninger med hensyn til flere variable. Et system af lineære algebraiske ligninger (herefter benævnt SLAE) indeholdende m-ligninger og n ukendte er et system af formen:
hvor tallene a ij kaldes systemets koefficienter, tallene b i er frie medlemmer, aij og b i(i=1,…, m; b=1,…, n) er nogle kendte tal, og x 1,..., x n- ukendt. I notationen af koefficienterne aij det første indeks i betegner ligningens nummer, og det andet indeks j er tallet på den ukendte, hvor denne koefficient står. Med forbehold for at finde tallet x n . Det er praktisk at skrive et sådant system i en kompakt matrixform: AX=B. Her er A matrixen af koefficienter for systemet, kaldet hovedmatrixen;
er en kolonnevektor med ukendt xj. er en kolonnevektor af frie medlemmer bi.
Produktet af matricerne A * X er defineret, da der er lige så mange kolonner i matrix A, som der er rækker i matrix X (n stykker).
Systemets udvidede matrix er systemets matrix A, suppleret med en kolonne med frie udtryk
1.2 Løsning af et system af lineære algebraiske ligninger
Løsningen af et ligningssystem er et ordnet sæt tal (værdier af variable), når de erstattes i stedet for variabler, bliver hver af systemets ligninger til en sand lighed.
Systemets løsning er n værdier af de ukendte x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, der erstatter hvilke alle systemets ligninger bliver til sande ligheder. Enhver løsning af systemet kan skrives som en matrix-kolonne
Et ligningssystem kaldes konsistent, hvis det har mindst én løsning, og inkonsistent, hvis det ikke har nogen løsninger.
Et fælles system kaldes bestemt, hvis det har en unik løsning, og ubestemt, hvis det har mere end én løsning. I sidstnævnte tilfælde kaldes hver af dens løsninger for en bestemt løsning af systemet. Sættet af alle særlige løsninger kaldes den generelle løsning.
At løse et system betyder at finde ud af, om det er konsistent eller inkonsekvent. Hvis systemet er kompatibelt, så find dets generelle løsning.
To systemer kaldes ækvivalente (ækvivalente), hvis de har den samme generelle løsning. Med andre ord, systemer er ækvivalente, hvis hver løsning til en af dem er en løsning til den anden, og omvendt.
En transformation, hvis anvendelse gør et system til et nyt system svarende til det oprindelige, kaldes en tilsvarende eller tilsvarende transformation. Følgende transformationer kan tjene som eksempler på ækvivalente transformationer: at bytte to ligninger i systemet, at bytte to ukendte sammen med koefficienterne for alle ligninger, at gange begge dele af en hvilken som helst ligning af systemet med et tal, der ikke er nul.
Et system af lineære ligninger kaldes homogent, hvis alle frie led er lig med nul:
Et homogent system er altid konsistent, da x1=x2=x3=…=xn=0 er en løsning på systemet. Denne løsning kaldes null eller triviel.
2. Gaussisk eliminationsmetode
2.1 Essensen af den Gaussiske eliminationsmetode
Den klassiske metode til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger er metoden til successiv eliminering af ukendte - Gauss metode(Det kaldes også den Gaussiske eliminationsmetode). Dette er en metode til successiv eliminering af variable, når et ligningssystem ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trinformet (eller trekantet) form, hvorfra alle andre variable findes sekventielt, startende fra sidste (efter antal) variabler.
Den Gaussiske løsningsproces består af to faser: fremadgående og bagudgående bevægelser.
1. Direkte flytning.
I det første trin udføres den såkaldte direkte bevægelse, når systemet ved hjælp af elementære transformationer over rækker bringes til en trinformet eller trekantet form, eller det konstateres, at systemet er inkonsistent. Nemlig blandt elementerne i den første kolonne i matricen vælges en ikke-nul, den flyttes til den øverste position ved at permutere rækkerne, og den første række, der opnås efter permutationen, trækkes fra de resterende rækker, multiplicerer den med en værdi lig med forholdet mellem det første element i hver af disse rækker og det første element i den første række, og nulstilles således kolonnen under det.
Efter at de angivne transformationer er blevet foretaget, er den første række og den første kolonne mentalt overstreget og fortsætter, indtil der er en nul-størrelse matrix tilbage. Hvis der ved nogle af iterationerne blandt elementerne i den første kolonne ikke blev fundet en ikke-nul, så gå til den næste kolonne og udfør en lignende operation.
I det første trin (fremadgående kørsel) reduceres systemet til en trinvis (især trekantet) form.
Systemet nedenfor er trinvist:
,
Koefficienterne aii kaldes de vigtigste (ledende) elementer i systemet.
(hvis a11=0, omarranger rækkerne i matrixen, så -en 11 var ikke lig med 0. Dette er altid muligt, for ellers indeholder matricen en nulsøjle, dens determinant er lig med nul, og systemet er inkonsekvent).Vi transformerer systemet ved at eliminere den ukendte x1 i alle ligninger undtagen den første (ved hjælp af elementære transformationer af systemet). For at gøre dette skal du gange begge sider af den første ligning med
og tilføje led for led med systemets anden ligning (eller fra den anden ligning trækker vi led for led den første ganget med ). Derefter multiplicerer vi begge dele af den første ligning med og lægger den til den tredje ligning i systemet (eller subtraherer den første ganget med det tredje led med led). Således multiplicerer vi successivt den første række med et tal og lægger til jeg-th linje, for i= 2, 3, …,n.Fortsætter denne proces får vi det tilsvarende system:
– nye værdier af koefficienterne for ukendte og frie led i de sidste m-1-ligninger af systemet, som er bestemt af formlerne: Ved det første trin bliver alle koefficienter under det første førende element a 11 således ødelagt
0, ødelægger det andet trin elementerne under det andet førende element a 22 (1) (hvis en 22 (1) 0), og så videre. Hvis vi fortsætter denne proces yderligere, vil vi endelig reducere det originale system til et trekantet system på (m-1) trin.Hvis der i processen med at reducere systemet til en trinvis form opstår nulligninger, dvs. ligheder på formen 0=0, de kasseres. Hvis der er en ligning af formen
Dette indikerer systemets inkompatibilitet. Dette fuldender det direkte forløb af Gauss-metoden.
2. Omvendt bevægelse.
På det andet trin udføres det såkaldte omvendte træk, hvis essens er at udtrykke alle de resulterende grundvariabler i form af ikke-grundlæggende og konstruere et grundlæggende system af løsninger, eller, hvis alle variabler er grundlæggende, så udtryk numerisk den eneste løsning til systemet af lineære ligninger.
Denne procedure begynder med den sidste ligning, hvorfra den tilsvarende grundvariabel udtrykkes (der er kun én i den) og substitueres i de foregående ligninger, og så videre, og går op ad "trinene".
Hver linje svarer til nøjagtig én grundlæggende variabel, så ved hvert trin, bortset fra det sidste (øverst), gentager situationen nøjagtigt tilfældet med den sidste linje.
Bemærk: i praksis er det mere bekvemt ikke at arbejde med systemet, men med dets udvidede matrix, der udfører alle elementære transformationer på dets rækker. Det er praktisk, at koefficienten a11 er lig med 1 (omarranger ligningerne, eller divider begge sider af ligningen med a11).
2.2 Eksempler på løsning af SLAE ved Gauss-metoden
I dette afsnit vil vi ved hjælp af tre forskellige eksempler vise, hvordan den Gaussiske metode kan bruges til at løse SLAE.
Eksempel 1. Løs SLAE af 3. orden.
Indstil koefficienterne til nul ved
i anden og tredje linje. For at gøre dette skal du gange dem med henholdsvis 2/3 og 1 og tilføje dem til den første linje:
Gauss-metoden er nem! Hvorfor? Den berømte tyske matematiker Johann Carl Friedrich Gauss modtog i sin levetid anerkendelse som den største matematiker gennem tiderne, et geni og endda kaldenavnet "Kongen af matematik". Og alt genialt, som du ved, er enkelt! I øvrigt kommer ikke kun tøser, men også genier ind i pengene - portrættet af Gauss pralede på en seddel på 10 tyske mark (før euroens indførelse), og Gauss smiler stadig mystisk til tyskerne fra almindelige frimærker.
Gauss-metoden er enkel ved, at det ER EN FEMTE-KLASSES ELEVENS VIDEN til at mestre den. Skal kunne addere og gange! Det er ikke tilfældigt, at metoden til successiv eliminering af ukendte ofte overvejes af lærere på skolens matematiske valgfag. Det er et paradoks, men Gauss-metoden volder de største vanskeligheder for eleverne. Ikke noget overraskende - det handler om metodikken, og jeg vil forsøge at fortælle i en tilgængelig form om metodens algoritme.
Først systematiserer vi viden om lineære ligningssystemer lidt. Et system af lineære ligninger kan:
1) Få en unik løsning.
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Har ingen løsninger (vær uforenelig).
Gauss-metoden er det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde en løsning nogen systemer af lineære ligninger. Som vi husker Cramers regel og matrixmetode er uegnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. En metode til successiv eliminering af ukendte alligevel led os til svaret! I denne lektion vil vi igen overveje Gauss-metoden for case nr. 1 (den eneste løsning på systemet), artiklen er forbeholdt situationerne i punkt nr. 2-3. Jeg bemærker, at selve metodealgoritmen fungerer på samme måde i alle tre tilfælde.
Lad os vende tilbage til det enkleste system fra lektionen Hvordan løser man et system af lineære ligninger?
og løse det ved hjælp af Gauss-metoden.
Det første skridt er at skrive udvidet matrixsystem:
. Efter hvilket princip koefficienterne registreres, tror jeg alle kan se. Den lodrette linje inde i matrixen har ingen matematisk betydning - det er blot en gennemstregning for at lette designet.
reference :Jeg anbefaler at huske vilkår lineær algebra. System Matrix er en matrix kun sammensat af koefficienter for ukendte, i dette eksempel systemets matrix: . Udvidet systemmatrix er den samme matrix af systemet plus en kolonne med frie termer, i dette tilfælde: . Enhver af matricerne kan blot kaldes en matrix for kortheds skyld.
Efter at systemets udvidede matrix er skrevet, er det nødvendigt at udføre nogle handlinger med det, som også kaldes elementære transformationer.
Der er følgende elementære transformationer:
1) Strenge matricer kan omarrangere steder. For eksempel, i den pågældende matrix, kan du sikkert omarrangere den første og anden række: 
2) Hvis der er (eller dukkede op) proportionale (som et specialtilfælde - identiske) rækker i matrixen, så følger det slette fra matrixen, alle disse rækker undtagen én. Overvej for eksempel matrixen 
. I denne matrix er de sidste tre rækker proportionale, så det er nok kun at forlade en af dem: 
.
3) Hvis der dukkede en nulrække op i matricen under transformationerne, så følger den også slette. Jeg vil ikke tegne, selvfølgelig, nullinjen er den linje, hvori kun nuller.
4) Rækken af matrixen kan være gange (dividere) for ethvert nummer ikke-nul. Overvej for eksempel matrixen. Her er det tilrådeligt at dividere den første linje med -3 og gange den anden linje med 2: 
. Denne handling er meget nyttig, da den forenkler yderligere transformationer af matrixen.
5) Denne transformation volder de fleste vanskeligheder, men faktisk er der heller ikke noget kompliceret. Til rækken af matrixen kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul. Overvej vores matrix ud fra et praktisk eksempel: . Først vil jeg beskrive transformationen meget detaljeret. Multiplicer den første række med -2: 
, og til den anden linje lægger vi den første linje ganget med -2: 
. Nu kan den første linje deles "tilbage" med -2: . Som du kan se, er den linje, der tilføjes LI – har ikke ændret sig. Er altid linjen ændres, SOM TILFØJES UT.
I praksis maler de selvfølgelig ikke så detaljeret, men skriver kortere: 
Endnu en gang: til anden linje tilføjet den første række ganget med -2. Linjen ganges normalt mundtligt eller på et udkast, mens det mentale forløb af beregninger er noget som dette:
"Jeg omskriver matrixen og omskriver den første række: 
»
Første kolonne først. Nedenfor skal jeg have nul. Derfor multiplicerer jeg enheden ovenfor med -2:, og lægger den første til den anden linje: 2 + (-2) = 0. Jeg skriver resultatet i den anden linje: 
»
"Nu den anden kolonne. Over -1 gange -2:. Jeg tilføjer den første til den anden linje: 1 + 2 = 3. Jeg skriver resultatet til den anden linje: 
»
"Og den tredje kolonne. Over -5 gange -2:. Jeg tilføjer den første linje til den anden linje: -7 + 10 = 3. Jeg skriver resultatet i den anden linje: 
»
Tænk omhyggeligt over dette eksempel og forstå den sekventielle beregningsalgoritme, hvis du forstår dette, så er Gauss-metoden praktisk talt "i din lomme". Men vi arbejder selvfølgelig stadig på denne transformation.
Elementære transformationer ændrer ikke løsningen af ligningssystemet
! OPMÆRKSOMHED: betragtes som manipulationer ikke kan bruge, hvis du får tilbudt en opgave, hvor matricerne er givet "af sig selv". For eksempel med "klassisk" matricer under ingen omstændigheder bør du omarrangere noget inde i matricerne!
Lad os vende tilbage til vores system. Hun er praktisk talt brækket i stykker.
Lad os skrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer reducere den til trinvis udsigt:
(1) Den første række blev tilføjet til den anden række, ganget med -2. Og igen: hvorfor gange vi den første række med -2? For at få nul i bunden, hvilket betyder at slippe af med en variabel i den anden linje.
(2) Divider den anden række med 3.
Formålet med elementære transformationer –
konverter matricen til trinform: 
. I designet af opgaven trækker de direkte "stigen" ud med en simpel blyant og cirkler også tallene, der er placeret på "trinene". Selve begrebet "stepped view" er ikke helt teoretisk; i den videnskabelige og pædagogiske litteratur kaldes det ofte trapezudsigt eller trekantet udsigt.
Som et resultat af elementære transformationer har vi opnået tilsvarende oprindelige ligningssystem:
Nu skal systemet "udvindes" i den modsatte retning - nedefra og op kaldes denne proces omvendt Gauss-metode.
I den nederste ligning har vi allerede det færdige resultat: .
Overvej systemets første ligning og indsæt den allerede kendte værdi af "y" i den:
Lad os overveje den mest almindelige situation, når Gauss-metoden er påkrævet for at løse et system af tre lineære ligninger med tre ubekendte.
Eksempel 1
Løs ligningssystemet ved hjælp af Gauss-metoden: 
Lad os skrive systemets udvidede matrix: 
Nu vil jeg straks tegne det resultat, som vi kommer frem til i løbet af løsningen: 
Og jeg gentager, vores mål er at bringe matrixen til en trinvis form ved hjælp af elementære transformationer. Hvor skal man begynde at handle?
Se først nummeret øverst til venstre: 
Burde næsten altid være her enhed. Generelt vil -1 (og nogle gange andre tal) også passe, men på en eller anden måde er det traditionelt sket, at en enhed normalt placeres der. Hvordan organiserer man en enhed? Vi ser på den første kolonne - vi har en færdig enhed! Transformation en: skift første og tredje linje: 
Nu vil den første linje forblive uændret indtil slutningen af løsningen. Nu fint.
Enheden øverst til venstre er organiseret. Nu skal du have nuller på disse steder: 
Nuller opnås blot ved hjælp af en "svær" transformation. Først beskæftiger vi os med den anden linje (2, -1, 3, 13). Hvad skal der gøres for at få nul i den første position? Behøver til den anden linje lægges den første linje ganget med -2. Mentalt eller på et udkast gange vi den første linje med -2: (-2, -4, 2, -18). Og vi udfører konsekvent (igen mentalt eller på et udkast) tilføjelse, til den anden linje tilføjer vi den første linje, allerede ganget med -2:
Resultatet er skrevet i anden linje: 
På samme måde beskæftiger vi os med den tredje linje (3, 2, -5, -1). For at få nul i den første position, skal du til den tredje linje lægges den første linje ganget med -3. Mentalt eller på et udkast gange vi den første linje med -3: (-3, -6, 3, -27). OG til den tredje linje lægger vi den første linje ganget med -3:
Resultatet er skrevet i tredje linje:
I praksis udføres disse handlinger normalt mundtligt og nedskrives i ét trin: 
Det er ikke nødvendigt at tælle alt på én gang og på samme tid. Rækkefølgen af beregninger og "indsættelse" af resultater konsekvent og normalt sådan: først omskriver vi den første linje og puster os stille og roligt - KONSISTENT og FORSIGTIG:
Og jeg har allerede overvejet det mentale forløb af selve beregningerne ovenfor.
I dette eksempel er dette nemt at gøre, vi dividerer den anden linje med -5 (da alle tal der er delelige med 5 uden en rest). Samtidig dividerer vi den tredje linje med -2, fordi jo mindre tal, jo enklere er løsningen:
På slutstadiet af elementære transformationer skal der opnås et nul mere her: 
For det til den tredje linje lægger vi den anden linje ganget med -2:
Prøv selv at analysere denne handling - gange mentalt den anden linje med -2 og udfør tilføjelsen.
Den sidste handling, der udføres, er resultatets frisure, divider den tredje linje med 3.
Som et resultat af elementære transformationer blev et ækvivalent indledende system af lineære ligninger opnået: 
Fedt nok.
Nu kommer det omvendte forløb af den Gaussiske metode ind. Ligningerne "vinder af" fra bunden og op.
I den tredje ligning har vi allerede det færdige resultat:
Lad os se på den anden ligning: . Betydningen af "z" er allerede kendt, således:
Og endelig den første ligning:. "Y" og "Z" er kendt, sagen er lille:
Svar: 
Som det gentagne gange er blevet bemærket, for ethvert ligningssystem er det muligt og nødvendigt at kontrollere den fundne løsning, heldigvis er dette ikke svært og hurtigt.
Eksempel 2
Dette er et eksempel på selvløsning, et eksempel på efterbehandling og et svar i slutningen af lektionen.
Det skal bemærkes, at din fremgangsmåde falder måske ikke sammen med min handlemåde, og dette er et træk ved Gauss-metoden. Men svarene skal være de samme!
Eksempel 3
Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden 
Vi skriver den udvidede matrix af systemet og, ved hjælp af elementære transformationer, bringer det til en trinform:
Vi ser på det øverste venstre "trin". Der burde vi have en enhed. Problemet er, at der slet ikke er nogen i den første kolonne, så intet kan løses ved at omarrangere rækkerne. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Jeg gjorde dette:
(1) Til den første linje lægger vi den anden linje, ganget med -1. Det vil sige, at vi mentalt gangede den anden linje med -1 og udførte tilføjelsen af den første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.
Nu øverst til venstre "minus en", hvilket passer os perfekt. Hvem ønsker at få +1 kan udføre en ekstra gestus: gange den første linje med -1 (skift fortegn).
(2) Den første række ganget med 5 blev tilføjet til den anden række. Den første række ganget med 3 blev tilføjet til den tredje række.
(3) Den første linje blev ganget med -1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret og flyttet til andenpladsen, så på det andet "trin havde vi den ønskede enhed.
(4) Den anden linje ganget med 2 blev tilføjet til den tredje linje.
(5) Den tredje række blev divideret med 3.
Et dårligt tegn, der indikerer en regnefejl (mindre ofte en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget som nedenfor, og i overensstemmelse hermed, 
, så kan det med en høj grad af sandsynlighed hævdes, at der er begået en fejl i løbet af elementære transformationer.
Vi opkræver det omvendte træk, i design af eksempler bliver selve systemet ofte ikke omskrevet, og ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix". Det omvendte træk, minder jeg dig om, virker nedefra og op. Ja, her er en gave:
Svar: 
.
Eksempel 4
Løs et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden 
Dette er et eksempel på en uafhængig løsning, den er noget mere kompliceret. Det er okay, hvis nogen bliver forvirrede. Fuld løsning og designprøve i slutningen af lektionen. Din løsning kan afvige fra min.
I den sidste del overvejer vi nogle funktioner i Gauss-algoritmen.
Den første funktion er, at nogle gange mangler nogle variabler i systemets ligninger, for eksempel: 
Hvordan man korrekt skriver den udvidede matrix af systemet? Jeg talte allerede om dette øjeblik i lektionen. Cramers regel. Matrix metode. I systemets udvidede matrix sætter vi nuller i stedet for de manglende variable: 
Forresten er dette et ret nemt eksempel, da der allerede er et nul i den første kolonne, og der er færre elementære transformationer at udføre.
Den anden funktion er denne. I alle de betragtede eksempler placerede vi enten -1 eller +1 på "trinene". Kan der være andre tal? I nogle tilfælde kan de. Overvej systemet: 
.
Her på det øverste venstre "trin" har vi en toer. Men vi bemærker det faktum, at alle tallene i den første kolonne er delelige med 2 uden en rest - og yderligere to og seks. Og toeren øverst til venstre vil passe til os! I det første trin skal du udføre følgende transformationer: tilføje den første linje ganget med -1 til den anden linje; til den tredje linje lægges den første linje ganget med -3. Således vil vi få de ønskede nuller i den første kolonne.
Eller et andet hypotetisk eksempel: 
. Her passer tredobbelt på det andet "trin" også os, da 12 (stedet hvor vi skal have nul) er deleligt med 3 uden en rest. Det er nødvendigt at udføre følgende transformation: til den tredje linje skal du tilføje den anden linje ganget med -4, som et resultat af hvilket nul, vi har brug for, vil blive opnået.
Gauss-metoden er universel, men der er en særegenhed. Du kan trygt lære at løse systemer med andre metoder (Cramers metode, matrixmetode) bogstaveligt talt fra første gang - der er en meget rigid algoritme. Men for at føle dig sikker på Gauss-metoden, bør du "fylde din hånd" og løse mindst 5-10 systemer. Derfor kan der i starten være forvirring, fejl i beregninger, og der er ikke noget usædvanligt eller tragisk i dette.
Regnfuldt efterårsvejr uden for vinduet .... Derfor, for alle, et mere komplekst eksempel på en uafhængig løsning:
Eksempel 5
Løs et system af fire lineære ligninger med fire ukendte ved hjælp af Gauss-metoden. 
Sådan en opgave er i praksis ikke så sjælden. Jeg tror, at selv en tekande, der har studeret denne side i detaljer, forstår algoritmen til at løse et sådant system intuitivt. Grundlæggende det samme - bare mere action.
Tilfælde, hvor systemet ikke har nogen løsninger (inkonsekvente) eller har uendeligt mange løsninger, overvejes i lektionen Inkompatible systemer og systemer med en generel løsning. Der kan du rette den overvejede algoritme for Gauss-metoden.
Ønsker dig succes!
Løsninger og svar:
Eksempel 2: Opløsning
:
Lad os nedskrive systemets udvidede matrix og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form.
Udførte elementære transformationer:
(1) Den første række blev tilføjet til den anden række, ganget med -2. Den første linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med -1. Opmærksomhed! Her kan det være fristende at trække den første fra den tredje linje, jeg anbefaler på det kraftigste ikke at trække fra - risikoen for fejl stiger meget. Vi folder bare!
(2) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med -1). Anden og tredje linje er blevet byttet om. Bemærk at vi på "trinene" ikke kun er tilfredse med en, men også med -1, hvilket er endnu mere bekvemt.
(3) Tilføj den anden linje til den tredje linje ganget med 5.
(4) Tegnet på den anden linje blev ændret (multipliceret med -1). Den tredje linje blev divideret med 14.
Omvendt bevægelse:
Svar: 
.
Eksempel 4: Opløsning
:
Vi skriver den udvidede matrix af systemet og, ved hjælp af elementære transformationer, bringer det til en trinform:
Udførte konverteringer:
(1) Den anden linje blev tilføjet til den første linje. Således er den ønskede enhed organiseret i øverste venstre "trin".
(2) Den første række ganget med 7 blev tilføjet til den anden række. Den første række ganget med 6 blev tilføjet til den tredje række.
Med det andet "trin" er alt værre , "kandidaterne" til det er tallene 17 og 23, og vi skal bruge enten en eller -1. Transformationer (3) og (4) vil være rettet mod at opnå den ønskede enhed
(3) Den anden linje blev tilføjet til den tredje linje, ganget med -1.
(4) Den tredje linje, ganget med -3, blev tilføjet til den anden linje.
(3) Den anden linje ganget med 4 blev tilføjet til den tredje linje. Den anden linje ganget med -1 blev tilføjet til den fjerde linje.
(4) Tegnet på den anden linje er blevet ændret. Den fjerde linje blev divideret med 3 og placeret i stedet for den tredje linje.
(5) Den tredje linje blev tilføjet til den fjerde linje, ganget med -5.
Omvendt bevægelse:
Lige siden begyndelsen af det 16.-18. århundrede begyndte matematikere intensivt at studere funktionerne, takket være hvilke så meget har ændret sig i vores liv. Computerteknologi uden denne viden ville simpelthen ikke eksistere. For at løse komplekse problemer, lineære ligninger og funktioner er der lavet forskellige begreber, sætninger og løsningsteknikker. En af sådanne universelle og rationelle metoder og teknikker til løsning af lineære ligninger og deres systemer var Gauss-metoden. Matricer, deres rang, determinant - alt kan beregnes uden at bruge komplekse operationer.
Hvad er SLAU
I matematik er der begrebet SLAE - et system af lineære algebraiske ligninger. Hvad repræsenterer hun? Dette er et sæt af m ligninger med de nødvendige n ukendte, normalt betegnet som x, y, z eller x 1, x 2 ... x n eller andre symboler. At løse dette system ved den Gaussiske metode betyder at finde alle ukendte ukendte. Hvis et system har det samme antal ubekendte og ligninger, så kaldes det et n-te ordenssystem.
De mest populære metoder til at løse SLAE
I uddannelsesinstitutioner for sekundær uddannelse studeres forskellige metoder til at løse sådanne systemer. Oftest er der tale om simple ligninger, der består af to ubekendte, så enhver eksisterende metode til at finde svaret på dem vil ikke tage meget tid. Det kan være som en substitutionsmetode, når en anden ligning er afledt af en ligning og erstattet med den oprindelige. Eller led for led subtraktion og addition. Men Gauss-metoden betragtes som den nemmeste og mest universelle. Det gør det muligt at løse ligninger med et vilkårligt antal ubekendte. Hvorfor anses denne teknik for rationel? Alt er enkelt. Matrixmetoden er god, fordi den ikke kræver flere gange at omskrive unødvendige tegn i form af ukendte, det er nok at lave regneoperationer på koefficienterne - og du får et pålideligt resultat.
Hvor bruges SLAE'er i praksis?
Løsningen af SLAE er skæringspunkterne for linjer på graferne for funktioner. I vores højteknologiske computeralder skal folk, der er tæt involveret i udviklingen af spil og andre programmer, vide, hvordan man løser sådanne systemer, hvad de repræsenterer, og hvordan man kontrollerer rigtigheden af det resulterende resultat. Oftest udvikler programmører specielle lineære algebra-beregnere, dette inkluderer et system af lineære ligninger. Gauss-metoden giver dig mulighed for at beregne alle eksisterende løsninger. Andre forenklede formler og teknikker bruges også.
SLAE-kompatibilitetskriterium
Et sådant system kan kun løses, hvis det er kompatibelt. For klarhedens skyld præsenterer vi SLAE i formen Ax=b. Det har en løsning, hvis rang(A) er lig med rang(A,b). I dette tilfælde er (A,b) en udvidet formmatrix, der kan fås fra matrix A ved at omskrive den med frie termer. Det viser sig, at det er ret nemt at løse lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden.
Måske er en eller anden notation ikke helt klar, så det er nødvendigt at overveje alt med et eksempel. Lad os sige, at der er et system: x+y=1; 2x-3y=6. Den består kun af to ligninger, hvori der er 2 ubekendte. Systemet vil kun have en løsning, hvis rangeringen af dets matrix er lig med rangeringen af den udvidede matrix. Hvad er en rang? Dette er antallet af uafhængige linjer i systemet. I vores tilfælde er rangeringen af matricen 2. Matrix A vil bestå af koefficienterne placeret i nærheden af de ukendte, og koefficienterne bag "=" tegnet vil også passe ind i den udvidede matrix.
Hvorfor SLAE kan repræsenteres i matrixform
Baseret på kompatibilitetskriteriet ifølge den gennemprøvede Kronecker-Capelli-sætning kan systemet af lineære algebraiske ligninger repræsenteres i matrixform. Ved at bruge den Gaussiske kaskademetode kan du løse matrixen og få det eneste pålidelige svar for hele systemet. Hvis rangeringen af en almindelig matrix er lig med rangeringen af dens udvidede matrix, men mindre end antallet af ukendte, så har systemet et uendeligt antal svar.
Matrix transformationer
Før du går videre til at løse matricer, er det nødvendigt at vide, hvilke handlinger der kan udføres på deres elementer. Der er flere elementære transformationer:
- Ved at omskrive systemet til en matrixform og udføre dets løsning, er det muligt at gange alle elementerne i rækken med den samme koefficient.
- For at konvertere en matrix til kanonisk form, kan to parallelle rækker byttes om. Den kanoniske form indebærer, at alle elementer i matrixen, der er placeret langs hoveddiagonalen, bliver til en, og de resterende bliver nuller.
- De tilsvarende elementer i matrixens parallelle rækker kan tilføjes til hinanden.
Jordan-Gauss metode
Essensen af at løse systemer af lineære homogene og inhomogene ligninger ved Gauss-metoden er gradvist at eliminere de ukendte. Lad os sige, at vi har et system af to ligninger, hvor der er to ubekendte. For at finde dem skal du tjekke systemet for kompatibilitet. Gaussligningen er løst meget enkelt. Det er nødvendigt at skrive koefficienterne ud i nærheden af hver ukendt i en matrixform. For at løse systemet skal du skrive den udvidede matrix ud. Hvis en af ligningerne indeholder et mindre antal ubekendte, skal "0" sættes i stedet for det manglende element. Alle kendte transformationsmetoder anvendes på matrixen: multiplikation, division med et tal, tilføjelse af de tilsvarende elementer i rækkerne til hinanden og andre. Det viser sig, at det i hver række er nødvendigt at forlade en variabel med værdien "1", resten skal reduceres til nul. For en mere præcis forståelse er det nødvendigt at overveje Gauss-metoden med eksempler.
Et simpelt eksempel på løsning af et 2x2 system
Til at begynde med, lad os tage et simpelt system af algebraiske ligninger, hvor der vil være 2 ubekendte.
Lad os omskrive det i en udvidet matrix.
For at løse dette system af lineære ligninger kræves der kun to operationer. Vi skal bringe matricen til den kanoniske form, så der er enheder langs hoveddiagonalen. Så hvis vi oversætter fra matrixformen tilbage til systemet, får vi ligningerne: 1x+0y=b1 og 0x+1y=b2, hvor b1 og b2 er svarene opnået i processen med at løse.
- Det første trin i løsningen af den udvidede matrix vil være som følger: den første række skal ganges med -7 og de tilsvarende elementer lægges til henholdsvis den anden række for at slippe af med en ukendt i den anden ligning.
- Da løsningen af ligninger ved Gauss-metoden indebærer at bringe matrixen til den kanoniske form, er det nødvendigt at udføre de samme operationer med den første ligning og fjerne den anden variabel. For at gøre dette trækker vi den anden linje fra den første og får det nødvendige svar - løsningen af SLAE. Eller, som vist på figuren, multiplicerer vi den anden række med en faktor på -1 og tilføjer elementerne i den anden række til den første række. Dette er det samme.
Som du kan se, er vores system løst ved Jordan-Gauss-metoden. Vi omskriver det i den påkrævede form: x=-5, y=7.
Et eksempel på løsning af SLAE 3x3
Antag, at vi har et mere komplekst system af lineære ligninger. Gauss-metoden gør det muligt at beregne svaret selv for det mest tilsyneladende forvirrende system. For at dykke dybere ned i beregningsmetodikken kan vi derfor gå videre til et mere komplekst eksempel med tre ubekendte.
Som i det foregående eksempel omskriver vi systemet i form af en udvidet matrix og begynder at bringe det til den kanoniske form.
For at løse dette system skal du udføre meget flere handlinger end i det foregående eksempel.
- Først skal du lave et enkelt element i den første kolonne og resten nuller. For at gøre dette skal du gange den første ligning med -1 og lægge den anden ligning til den. Det er vigtigt at huske, at vi omskriver den første linje i sin oprindelige form, og den anden - allerede i en ændret form.
- Dernæst fjerner vi den samme første ukendte fra den tredje ligning. For at gøre dette multiplicerer vi elementerne i den første række med -2 og tilføjer dem til den tredje række. Nu er den første og anden linje omskrevet i deres oprindelige form, og den tredje - allerede med ændringer. Som du kan se fra resultatet, fik vi den første i begyndelsen af matrixens hoveddiagonal, og resten er nuller. Et par handlinger mere, og ligningssystemet ved Gauss-metoden vil blive løst pålideligt.
- Nu skal du udføre operationer på andre elementer i rækkerne. Tredje og fjerde trin kan kombineres til ét. Vi skal dividere anden og tredje linje med -1 for at slippe af med de negative på diagonalen. Vi har allerede bragt den tredje linje til den påkrævede form.
- Dernæst kanoniserer vi den anden linje. For at gøre dette multiplicerer vi elementerne i den tredje række med -3 og tilføjer dem til den anden linje i matrixen. Det kan ses af resultatet, at den anden linje også er reduceret til den form, vi har brug for. Det er tilbage at udføre et par flere operationer og fjerne koefficienterne for de ukendte fra den første række.
- For at lave 0 fra det andet element i rækken, skal du gange den tredje række med -3 og tilføje det til den første række.
- Det næste afgørende trin er at tilføje de nødvendige elementer i den anden række til den første række. Så vi får den kanoniske form af matricen, og dermed svaret.
Som du kan se, er løsningen af ligninger ved Gauss-metoden ret enkel.
Et eksempel på løsning af et 4x4 ligningssystem
Nogle mere komplekse ligningssystemer kan løses ved den Gaussiske metode ved hjælp af computerprogrammer. Det er nødvendigt at køre koefficienter for ukendte ind i eksisterende tomme celler, og programmet vil beregne det nødvendige resultat trin for trin og beskrive hver handling i detaljer.
Trin-for-trin instruktionerne til løsning af et sådant eksempel er beskrevet nedenfor.
I det første trin indtastes frie koefficienter og tal for ukendte i tomme celler. Dermed får vi den samme udvidede matrix, som vi skriver i hånden.
Og alle de nødvendige aritmetiske operationer udføres for at bringe den udvidede matrix til den kanoniske form. Det skal forstås, at svaret på et ligningssystem ikke altid er heltal. Nogle gange kan løsningen være fra brøktal.
Kontrol af rigtigheden af løsningen
Jordan-Gauss-metoden giver mulighed for at kontrollere rigtigheden af resultatet. For at finde ud af, om koefficienterne er beregnet korrekt, skal du blot erstatte resultatet med det oprindelige ligningssystem. Venstre side af ligningen skal matche højre side, som er bag lighedstegnet. Hvis svarene ikke stemmer overens, skal du genberegne systemet eller prøve at anvende en anden metode til at løse SLAE, du kender, såsom substitution eller subtraktion og addition. Matematik er trods alt en videnskab, der har et stort antal forskellige metoder til at løse. Men husk: resultatet skal altid være det samme, uanset hvilken løsningsmetode du har brugt.
Gauss-metoden: de mest almindelige fejl ved løsning af SLAE
Under løsningen af lineære ligningssystemer opstår der oftest fejl, såsom forkert overførsel af koefficienter til en matrixform. Der er systemer, hvor nogle ukendte mangler i en af ligningerne, så kan de gå tabt ved at overføre dataene til den udvidede matrix. Som et resultat, når du løser dette system, svarer resultatet muligvis ikke til det rigtige.
En anden af hovedfejlene kan være forkert udskrivning af det endelige resultat. Det skal klart forstås, at den første koefficient svarer til den første ukendte fra systemet, den anden - til den anden og så videre.
Gauss-metoden beskriver i detaljer løsningen af lineære ligninger. Takket være ham er det nemt at udføre de nødvendige operationer og finde det rigtige resultat. Derudover er dette et universelt værktøj til at finde et pålideligt svar på ligninger af enhver kompleksitet. Måske er det derfor, det så ofte bruges til at løse SLAE.