Mitä kutsutaan argumentin lisäykseksi. Avoin kirjasto - avoin koulutustiedon kirjasto
Olkoon x mielivaltainen piste, joka sijaitsee jossain kiinteän pisteen x 0 ympäristössä. eroa x - x 0 kutsutaan yleensä riippumattoman muuttujan inkrementiksi (tai argumentin inkrementiksi) pisteessä x 0 ja sitä merkitään Δx:llä. Tällä tavoin,
Δx \u003d x - x 0,
mistä se seuraa
Toiminnon lisäys − ero kahden funktioarvon välillä.
Anna toiminnon klo = f(x), määritelty argumentin arvolla, joka on yhtä suuri kuin X 0 . Kasvataan D X, ᴛ.ᴇ. katso argumentin ͵ arvoksi yhtä suureksi x 0+D X. Oletetaan, että tämä argumenttiarvo sisältyy myös tämän funktion piiriin. Sitten ero D y = f(x 0+D X) – f(x0) kutsutaan funktion inkrementiksi. Toiminnan lisäys f(x) pisteessä x on funktio, jota yleensä merkitään Δ x f uudella muuttujalla Δ x määritelty
Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).
Etsi argumentin lisäys ja funktion inkrementti pisteessä x 0, jos
Esimerkki 2. Etsi funktion f (x) \u003d x 2 inkrementti, jos x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1
Ratkaisu: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2
Etsi funktion inkrementti ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /
Korvaa arvot x=1 ja ∆x= 0.1, saadaan ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21
Etsi argumentin lisäys ja funktion inkrementti pisteissä x 0
2.f(x) \u003d 2x 3, x 0 \u003d 3 x \u003d 2,4
3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8
4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8
Määritelmä: Johdannainen On tapana kutsua funktiota jossakin pisteessä funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen rajaksi (jos se on olemassa ja se on äärellinen), jos jälkimmäinen pyrkii nollaan.
Seuraavaa johdannaisen merkintää käytetään yleisimmin:
Tällä tavoin,
Derivaatan löytämistä kutsutaan erilaistuminen . Otettu käyttöön differentioituvan funktion määritelmä: Funktiota f, jolla on derivaatta jonkin intervallin jokaisessa pisteessä, kutsutaan tällä välillä differentioituvaksi.
Olkoon funktio määritelty jossain pisteen ympäristössä.Funktion derivaatta on tapana kutsua sellaiseksi luvuksi, että naapurissa oleva funktio U(x 0) voidaan esittää muodossa
f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)
jos on olemassa.
Funktion derivaatan määritelmä pisteessä.
Anna toiminnon f(x) määritelty aikavälillä (a;b), ja ovat tämän intervallin pisteet.
Määritelmä. Johdannainen funktio f(x) jossain pisteessä on tapana kutsua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi . Nimetty .
Kun viimeinen raja saa tietyn lopullisen arvon, puhutaan olemassaolosta lopullinen derivaatta pisteessä. Jos raja on ääretön, niin sanomme niin derivaatta on ääretön tietyssä pisteessä. Jos rajaa ei ole olemassa, niin funktion derivaatta ei ole olemassa tässä vaiheessa.
Toiminto f(x) sanotaan olevan differentioituva pisteessä, kun sillä on äärellinen derivaatta.
Jos toiminto f(x) on erotettavissa jonkin intervallin jokaisessa pisteessä (a;b), niin funktiota kutsutaan differentioituvaksi tällä aikavälillä. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, mikä tahansa piste x aukosta (a;b) voimme liittää funktion derivaatan arvon tässä vaiheessa, eli meillä on mahdollisuus määritellä uusi funktio, jota kutsutaan funktion derivaatiksi f(x) välissä (a;b).
Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.
lääketieteellisessä ja biologisessa fysiikassa
LUENTO #1
JOHDANNAISET JA DIFFERENTIAALITOIMINNOT.
YKSITYISET JOHDANNAISET.
1. Johdannan käsite, sen mekaaninen ja geometrinen merkitys.
mutta ) Argumentin ja funktion lisäys.
Olkoon funktio y=f(х) annettu, missä х on argumentin arvo funktion alueelta. Jos valitsemme argumentin xo ja x kaksi arvoa funktion verkkoalueen tietystä intervallista, niin argumentin kahden arvon välistä eroa kutsutaan argumentin inkrementiksi: x - xo =∆x .
Argumentin x arvo voidaan määrittää x 0:n ja sen inkrementin kautta: x = x o + ∆x.
Funktion kahden arvon eroa kutsutaan funktion inkrementiksi: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).
Argumentin ja funktion lisäys voidaan esittää graafisesti (kuva 1). Argumentin lisäys ja funktion lisäys voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia. Kuten kuviosta 1 seuraa, geometrisesti argumentin ∆х inkrementtiä edustaa abskissan lisäys ja funktion ∆у inkrementtiä ordinaatan inkrementtinä. Toiminnon lisäyksen laskeminen tulee suorittaa seuraavassa järjestyksessä:
annamme argumentille inkrementin ∆x ja saamme arvon - x + Δx;
2) etsi funktion arvo argumentin arvolle (х+∆х) – f(х+∆х);
3) selvitä funktion ∆f=f(х + ∆х) - f(х) inkrementti.
Esimerkki: Määritä funktion y=x 2 inkrementti, jos argumentti on muuttunut arvosta x o =1 arvoon x=3. Pisteelle x o funktion arvo f (x o) \u003d x² o; pisteelle (xo + ∆x) funktion f (xo + ∆x) arvo \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, mistä ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x + 2; ∆f \u003d 2x noin ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2+4 = 8.
b)Ongelmia, jotka johtavat johdannaisen käsitteeseen. Johdannan määritelmä, sen fyysinen merkitys.
Argumentin ja funktion lisäyksen käsite on välttämätön derivaatan käsitteen käyttöön ottamiseksi, joka historiallisesti syntyi tarpeesta määrittää tiettyjen prosessien nopeus.
Harkitse, kuinka voit määrittää suoraviivaisen liikkeen nopeuden. Liikkukoon kappale suoraan lain mukaan: ∆S= ·∆t. Tasainen liike:= ∆S/∆t.
Muuttuvan liikkeen osalta arvo ∆S/∆t määrittää arvon vrt. , eli vrt. =∆S/∆t. Mutta keskinopeus ei anna mahdollisuutta heijastaa kehon liikkeen piirteitä ja antaa käsitystä todellisesta nopeudesta hetkellä t. Aikavälin pienentyessä, ts. arvolla ∆t→0 keskinopeus pyrkii rajansa - hetkellisen nopeuden:
inst. = 
vrt. = 
∆S/∆t.
Kemiallisen reaktion hetkellinen nopeus määritetään samalla tavalla:
inst. = 
vrt. = 
∆х/∆t,
missä x on kemiallisen reaktion aikana ajan t aikana muodostuneen aineen määrä. Samanlaiset tehtävät eri prosessien nopeuden määrittämiseksi johtivat funktion derivaatan käsitteen käyttöönottoon matematiikassa.
Olkoon jatkuva funktio f(x), joka on määritetty välille ]a,b[ja sen inkrementti ∆f=f(x+∆x)–f(x). 
on ∆x:n funktio ja ilmaisee funktion keskimääräisen muutosnopeuden.
suhteen raja 
, kun ∆x→0, mikäli tämä raja on olemassa, kutsutaan funktion derivaatiksi :
y" x = 
.
Johdannainen merkitään seuraavasti: 
- (y-viiva x:ssä); f "
(x) - (ef alkuluku x:llä) ;
y" - (y-viiva); dy / dх –
(de y on de x);
- (y pisteellä).
Derivaatan määritelmän perusteella voidaan sanoa, että suoraviivaisen liikkeen hetkellinen nopeus on reitin derivaatta ajan suhteen:
inst. \u003d S "t \u003d f " (t).
Siten voimme päätellä, että funktion derivaatta argumentin x suhteen on funktion f(x) hetkellinen muutosnopeus:
y" x \u003d f " (х)= inst.
Tämä on johdannaisen fyysinen merkitys. Derivaatan löytämisprosessia kutsutaan differentiaatioksi, joten lauseke "differoi funktio" vastaa lauseketta "etsi funktion derivaatta".
sisään)Johdannan geometrinen merkitys.
P 
funktion y = f(x) derivaatalla on yksinkertainen geometrinen merkitys, joka liittyy käsitteeseen kaarevan suoran tangentti jossain kohdassa M. Samalla tangentti, ts. suora ilmaistaan analyyttisesti muodossa y = kx = tg x, missä
–
tangentin (suoran) kaltevuuskulma X-akseliin nähden. Esitetään jatkuva käyrä funktiona y \u003d f (x), otetaan käyrältä piste M ja sen läheltä piste M 1 ja piirretään kulkevat niiden läpi. Sen kaltevuus sekuntiin = tg β = 
.Jos tuomme pisteen M 1 lähemmäksi M:tä, niin argumentin inkrementti ∆x
pyrkii nollaan, ja sekantti kohdassa β=α ottaa tangentin aseman. Kuvasta 2 seuraa: tgα = 
tgβ = 
\u003d y "x. Mutta tgα on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kaltevuus:
k = tgα = 
\u003d y" x \u003d f "
(X). Joten funktion kaavion tangentin kulmakerroin tietyssä pisteessä on yhtä suuri kuin sen derivaatan arvo kosketuspisteessä. Tämä on derivaatan geometrinen merkitys.
G)Yleinen sääntö johdannaisen löytämiseksi.
Derivaatan määritelmän perusteella funktion eriyttämisprosessi voidaan esittää seuraavasti:
f(x+∆x) = f(x)+∆f;
etsi funktion inkrementti: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);
laske funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:
;
Esimerkki: f(x) = x2; f " (x)=?.
Kuitenkin, kuten tästäkin yksinkertaisesta esimerkistä voidaan nähdä, tämän sekvenssin käyttö johdannaisia otettaessa on työläs ja monimutkainen prosessi. Siksi eri funktioille otetaan käyttöön yleiset differentiointikaavat, jotka esitetään taulukon muodossa "Peruskaavat funktioiden erottamiseen".
Se on erittäin helppo muistaa.
No, emme mene pitkälle, harkitsemme heti käänteisfunktiota. Mikä on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo? Logaritmi:
Meidän tapauksessamme kanta on numero:
Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi", ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.
Mikä on yhtä suuri? Tietysti, .
Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:
Esimerkkejä:
- Etsi funktion derivaatta.
- Mikä on funktion derivaatta?
Vastaukset: Eksponentti ja luonnollinen logaritmi ovat funktioita, jotka ovat derivaatan suhteen ainutlaatuisen yksinkertaisia. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on erilainen derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.
Erottamisen säännöt
mitkä säännöt? Taas uusi termi?!...
Erilaistuminen on johdannaisen löytämisprosessi.
Vain ja kaikki. Mikä toinen sana on tälle prosessille? Ei proizvodnovanie... Matematiikan differentiaalia kutsutaan funktion erittäin lisäykseksi. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.
Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:
Sääntöjä on yhteensä 5.
Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä.
Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.
Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .
Todistetaan se. Anna, tai helpompaa.
Esimerkkejä.
Etsi funktioiden johdannaiset:
- pisteessä;
- pisteessä;
- pisteessä;
- pisteessä.
Ratkaisut:
- (derivaata on sama kaikissa pisteissä, koska se on lineaarinen funktio, muistatko?);
Tuotteen johdannainen
Kaikki on samanlaista täällä: esittelemme uuden toiminnon ja löydämme sen lisäyksen:
Johdannainen:
Esimerkkejä:
- Etsi derivaatat funktioista ja;
- Etsi funktion derivaatta pisteessä.
Ratkaisut:
Eksponentiaalifunktion johdannainen
Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponenttia (oletko unohtanut, mikä se on?).
Joten missä on joku numero.
Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:
Tätä varten käytämme yksinkertaista sääntöä: . Sitten:
No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.
Tapahtui?
Tässä, tarkista itse:
Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.
Esimerkkejä:
Etsi funktioiden johdannaiset:
Vastaukset:
Tämä on vain luku, jota ei voida laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Siksi vastauksessa se jätetään tähän muotoon.
Huomaa, että tässä on kahden funktion osamäärä, joten käytämme asianmukaista differentiointisääntöä:
Tässä esimerkissä kahden funktion tulo:
Logaritmisen funktion derivaatta
Tässä se on samanlainen: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:
Siksi, jos haluat löytää logaritmista mielivaltaisen, jolla on eri kanta, esimerkiksi:
Meidän on saatettava tämä logaritmi perustalle. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:
Vasta nyt sen sijaan kirjoitamme:
Nimittäjä osoittautui vain vakioksi (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen on hyvin yksinkertainen:
Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ei kokeesta löydy juuri koskaan, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.
Monimutkaisen funktion johdannainen.
Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arkitangentti. Näitä toimintoja voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi tuntuu vaikealta, lue aihe "Logaritmit" ja kaikki selviää), mutta matematiikan kannalta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".
Kuvittele pieni kuljetin: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Sellainen yhdistelmäesine osoittautuu: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukkaa, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet käänteisessä järjestyksessä.
Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: ensin etsitään luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten, he antavat meille numeron (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliötät sen, minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi suoritamme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujan kanssa ja sitten toisen toisen toiminnon ensimmäisen tuloksella.
Toisin sanoen, Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .
Esimerkkimme .
Voimme hyvinkin tehdä samat vaiheet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliö, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinia:. On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.
Toinen esimerkki: (sama). .
Viimeinen toimintamme on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).
Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:
Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottelu on hyvin samanlainen kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa
- Mihin toimiin ryhdymme ensin? Ensin laskemme sinin ja vasta sitten nostamme sen kuutioksi. Se on siis sisäinen toiminto, ei ulkoinen.
Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: . - Sisäinen: ; ulkoinen: .
Tutkimus: . - Sisäinen: ; ulkoinen: .
Tutkimus: . - Sisäinen: ; ulkoinen: .
Tutkimus: . - Sisäinen: ; ulkoinen: .
Tutkimus: .
muutamme muuttujia ja saamme funktion.
No, nyt puramme suklaamme - etsi johdannainen. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäisessä esimerkissä se näyttää tältä:
Toinen esimerkki:
Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:
Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:
Se näyttää olevan yksinkertainen, eikö?
Tarkastetaan esimerkeillä:
Ratkaisut:
1) Sisäinen: ;
Ulkoinen: ;
2) Sisäinen: ;
(älä vain yritä vähentää tähän mennessä! Kosinin alta ei oteta mitään, muistatko?)
3) Sisäinen: ;
Ulkoinen: ;
On heti selvää, että tässä on kolmitasoinen monimutkainen toiminto: tämä on jo itsessään monimutkainen toiminto, ja silti poimimme siitä juuren, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laita suklaa kääreeseen ja salkussa oleva nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: joka tapauksessa "purkamme" tämän toiminnon samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.
Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.
Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:
Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys - kuten aiemmin:
Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.
1. Radikaali ilmaisu. .
2. Juuri. .
3. Sinus. .
4. Neliö. .
5. Laita kaikki yhteen:
JOHDANNAIS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ
Funktiojohdannainen- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen äärettömän pienellä argumentin lisäyksellä:
Perusjohdannaiset:
Erottamisen säännöt:
Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä:
Summan johdannainen:
Johdannainen tuote:
Osamäärän johdannainen:
Monimutkaisen funktion johdannainen:
Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:
- Määrittelemme "sisäisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
- Määrittelemme "ulkoisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
- Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.
Anna olla X– argumentti (riippumaton muuttuja); y=y(x)-toiminto.
Ota argumentin kiinteä arvo x=x 0 ja laske funktion arvo y 0 =y(x 0 ) . Asetamme nyt mielivaltaisesti lisäys argumentin (muutos) ja merkitse se X ( X voi olla minkä merkkinen tahansa).
Inkrementaalinen argumentti on asia X 0 + X. Oletetaan, että se sisältää myös funktion arvon y=y(x 0 + X)(katso kuva).
Näin ollen argumentin arvon mielivaltaisella muutoksella saadaan funktion muutos, jota kutsutaan lisäys funktion arvot:
ja se ei ole mielivaltainen, vaan riippuu funktion tyypistä ja määrästä 
.
Argumenttien ja funktioiden lisäykset voivat olla lopullinen, eli ilmaistaan vakiolukuina, jolloin niitä kutsutaan joskus äärellisiksi eroiksi.
Taloustieteessä äärellisiä lisäyksiä tarkastellaan melko usein. Esimerkiksi taulukossa on tietoja tietyn valtion rataverkon pituudesta. Ilmeisesti verkon pituuden lisäys lasketaan vähentämällä edellinen arvo seuraavasta.
Tarkastellaan rataverkon pituutta funktiona, jonka argumentti on aika (vuodet).
|
Rautatien pituus 31. joulukuuta tuhat km |
Lisäys |
Keskimääräinen vuosikasvu |
|
Itse funktion lisäys (tässä tapauksessa rataverkon pituus) kuvaa huonosti funktion muutosta. Esimerkissämme siitä tosiasiasta, että 2,5>0,9 ei voida päätellä, että verkko kasvoi nopeammin 2000-2003 vuotta kuin vuonna 2004 esimerkiksi, koska lisäys 2,5 viittaa kolmen vuoden ajanjaksoon, ja 0,9 - vain yhdessä vuodessa. Siksi on aivan luonnollista, että funktion lisäys johtaa argumentin yksikkömuutokseen. Argumentin lisäys tässä on pistettä: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
Saamme sen, mitä talouskirjallisuudessa kutsutaan keskimääräinen vuotuinen kasvu.
On mahdollista välttää inkrementin heittäminen argumentin muutosyksikköön, jos otamme funktioarvot argumentin arvoille, jotka eroavat yhdellä, mikä ei aina ole mahdollista.
Matemaattisessa analyysissä, erityisesti differentiaalilaskennassa, otetaan huomioon argumentin ja funktion infinitesimaaliset (IM) lisäykset.
Yhden muuttujan funktion differentiointi (derivaata ja differentiaali) Funktion derivaatta
Argumentti ja funktio kasvavat pisteessä X 0 voidaan pitää vertailukelpoisina äärettömän pieninä suureina (ks. aihe 4, BM:n vertailu), ts. Saman luokan BM.
Silloin niiden suhteella on äärellinen raja, joka määritellään funktion derivaatana t:ssä X 0 .
Funktion lisäyksen ja BM-argumentin lisäyksen suhteen raja pisteessä x=x 0 olla nimeltään johdannainen toimii tässä vaiheessa.
Newton otti käyttöön johdannaisen symbolisen merkinnän viivalla (tai pikemminkin roomalaisella numerolla I). Voit myös käyttää alaindeksiä, joka näyttää, mistä muuttujasta derivaatta lasketaan, esim. 
. Toista derivaatan laskennan perustajan, saksalaisen matemaatikon Leibnizin ehdottamaa merkintää käytetään myös laajalti: 
. Saat lisätietoja tämän nimityksen alkuperästä osiosta Funktio- ja argumenttidifferentiaali.
Tämä luku arvioi nopeus muuttaa pisteen läpi kulkevaa funktiota 
.
Asennamme geometrinen tunne funktion derivaatta pisteessä. Tätä varten rakennamme funktiosta kaavion y=y(x) ja merkitse siihen muutoksen määräävät kohdat y(x) välissä 
Tangentti funktion kuvaajalle pisteessä M 0
otamme huomioon sekantin rajoittavan aseman M 0
M kunnossa 
(piste M liukuu funktion kuvaajaa pitkin pisteeseen M 0
).
Harkitse 
. Ilmeisesti 
.
Jos kohta M ryntää pitkin funktion kuvaajaa kohti pistettä M 0
, sitten arvo 
on taipumus tiettyyn rajaan, jota me tarkoitamme 
. Jossa.
Rajoita kulmaa
osuu yhteen funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kaltevuuskulman kanssa, mukaan lukien. M 0
, joten johdannainen 
on numeerisesti yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus
määrätyssä kohdassa.
-
funktion derivaatan geometrinen merkitys pisteessä.
Siten voidaan kirjoittaa tangentin ja normaalin yhtälöt ( normaali on suora, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan) funktion kuvaajaan jossakin pisteessä X 0 :
Tangentti - .
Normaali - 
.
Mielenkiintoisia ovat tapaukset, joissa nämä viivat sijaitsevat vaaka- tai pystysuunnassa (katso aihe 3, erikoistapaukset viivan sijainnista tasossa). Sitten,
jos 
;
jos 
.
Johdannan määritelmää kutsutaan erilaistuminen toimintoja.
Jos funktio pisteessä X 0 sillä on äärellinen derivaatta, sitä kutsutaan erottuva tässä tilanteessa. Funktiota, joka on differentioituva jonkin intervallin kaikissa kohdissa, kutsutaan tällä välillä differentioituvaksi.
Lause . Jos toiminto y=y(x) erotettavissa t. X 0 , niin se on jatkuva tässä vaiheessa.
Tällä tavoin, jatkuvuus on välttämätön (mutta ei riittävä) ehto, jotta funktio olisi differentioituva.