Toiminnallinen lisäys. Luentokurssi

Olkoon funktio annettu. Otetaan kaksi argumentin arvoa: alku ja muokattu, mitä yleensä merkitään
, missä - määrä, jolla argumentti muuttuu siirryttäessä ensimmäisestä arvosta toiseen, sitä kutsutaan argumentin lisäys.

Argumentin arvot ja vastaavat tiettyjä funktioarvoja: alkuperäinen ja muokattu
, arvo , jolla funktion arvo muuttuu, kun argumentti muuttuu , kutsutaan funktion lisäys.

2. funktion rajan käsite pisteessä.

Määrä kutsutaan funktion rajaksi
pyrkiessään jos jollekin numerolle
on sellainen numero
, se kaikille
tyydyttää eriarvoisuutta
, eriarvoisuutta
.

Toinen määritelmä: Numeroa kutsutaan funktion rajaksi, koska sillä on tapana, jos jollakin numerolla on sellainen pisteen naapuruus, että jollekin tästä naapurustosta . Merkitty
.

3. äärettömän suuret ja äärettömän pienet funktiot pisteessä. Pisteessä oleva ääretön funktio on funktio, jonka raja lähestyttäessä annettua pistettä on nolla. Äärettömän suuri funktio pisteessä on funktio, jonka raja, kun se pyrkii tiettyyn pisteeseen, on yhtä suuri kuin ääretön.

4. päälauseet rajoista ja niiden seurauksista (ilman todisteita).

seuraus: vakiotekijä voidaan ottaa pois rajan merkistä:

Jos sekvenssit ja suppenevat ja sekvenssin raja on nollasta poikkeava

seuraus: vakiotekijä voidaan ottaa pois rajan merkistä.

11. jos funktioille on rajat
Ja
ja funktion raja on nollasta poikkeava,

silloin on olemassa myös niiden suhteelle raja, joka on yhtä suuri kuin funktioiden ja :

.

12. jos
, sitten
, ja päinvastoin on myös totta.

13. lause välisekvenssin rajasta. Jos sekvenssit
lähentyvä ja
Ja
sitten

5. toimintoraja äärettömässä.

Lukua a kutsutaan funktion rajaksi äärettömyydessä, (jos x on taipuvainen äärettömyyteen), jos mikä tahansa sekvenssi, joka pyrkii äärettömyyteen
vastaa numeroon suuntautuvaa arvosarjaa mutta.

6. Numeerisen sekvenssin rajat.

Määrä mutta kutsutaan lukusarjan rajaksi, jos jollakin positiivisella luvulla on luonnollinen luku N sellainen, että kaikille n> N epätasa-arvoa
.

Symbolisesti tämä määritellään seuraavasti:
reilua.

Se, että numero mutta on sekvenssin raja, joka merkitään seuraavasti:

.

7.numero "e". luonnolliset logaritmit.

Määrä "e" edustaa numeerisen sekvenssin rajaa, n- jonka jäsen
, eli

.

Luonnollinen logaritmi - peruslogaritmi e. luonnolliset logaritmit on merkitty
syytä ilmoittamatta.

Määrä
voit vaihtaa desimaalilogaritmista luonnolliseen logaritmiin ja päinvastoin.

, sitä kutsutaan siirtymämoduuliksi luonnollisista logaritmeista desimaalilogaritmeihin.

8. ihanat rajat
,

.

Ensimmäinen merkittävä raja:

siis klo

välisekvenssin rajalauseen mukaan

toinen merkittävä raja:

.

Todistaakseen rajan olemassaolon
käytä lemma: mitä tahansa reaalilukua
Ja
epätasa-arvoa
(2) (milloin
tai
eriarvoisuudesta tulee tasa-arvo.)

.

Harkitse nyt apusekvenssiä, jolla on yhteinen termi
varmista, että se pienenee ja rajoittuu alhaalta:
jos
, silloin järjestys pienenee. Jos
, niin sarja on rajoitettu alhaalta. Näytetään se:

tasa-arvon takia (2)

eli
tai
. Toisin sanoen sekvenssi pienenee, ja siitä lähtien sekvenssi on rajoitettu alhaalta. Jos jono on pienenevä ja rajattu alhaalta, niin sillä on raja. Sitten

on raja ja sekvenssi (1), koska

Ja
.

L. Euler kutsui tätä rajaa .

9. yksisuuntaiset rajat, taukotoiminto.

numero A on vasen raja, jos seuraava pätee mille tahansa sekvenssille: .

numero A on oikea raja, jos seuraava pätee mille tahansa sekvenssille: .

Jos pisteessä mutta joka kuuluu funktion tai sen rajan määrittelyalueeseen, funktion jatkuvuuden ehtoa rikotaan, niin piste mutta kutsutaan taitepisteeksi tai funktion katkaisuksi.if, kuten piste pyrkii

12. äärettömän pienenevän geometrisen progression ehtojen summa. Geometrinen progressio on sarja, jossa seuraavan ja edellisen jäsenen välinen suhde pysyy muuttumattomana, tätä suhdetta kutsutaan etenemisen nimittäjäksi. Ensimmäisen summa n geometrisen progression jäsenet ilmaistaan ​​kaavalla
tätä kaavaa on kätevä käyttää pienentyvälle geometriselle etenemiselle - progressiolle, jossa sen nimittäjän itseisarvo on pienempi kuin nolla. - ensimmäinen jäsen; - etenemisen nimittäjä; - sekvenssin valitun jäsenen numero. Äärettömän pienenevän etenemisen summa on luku, johon laskevan etenemisen ensimmäisten jäsenten summa lähestyy määräämättömästi luvun rajoittamattomalla lisäyksellä.
sitten. Äärettömästi pienenevän geometrisen progression ehtojen summa on .

Anna olla X– argumentti (riippumaton muuttuja); y=y(x)-toiminto.

Ota argumentin kiinteä arvo x=x 0 ja laske funktion arvo y 0 =y(x 0 ) . Asetamme nyt mielivaltaisesti lisäys argumentin (muutos) ja merkitse se  X ( X voi olla minkä merkkinen tahansa).

Inkrementaalinen argumentti on asia X 0 +  X. Oletetaan, että se sisältää myös funktion arvon y=y(x 0 +  X)(katso kuva).

Näin ollen argumentin arvon mielivaltaisella muutoksella saadaan funktion muutos, jota kutsutaan lisäys funktion arvot:

ja se ei ole mielivaltainen, vaan riippuu funktion tyypistä ja määrästä
.

Argumenttien ja funktioiden lisäykset voivat olla lopullinen, eli ilmaistaan ​​vakiolukuina, jolloin niitä kutsutaan joskus äärellisiksi eroiksi.

Taloustieteessä äärellisiä lisäyksiä tarkastellaan melko usein. Esimerkiksi taulukossa on tietoja tietyn valtion rataverkon pituudesta. Ilmeisesti verkon pituuden lisäys lasketaan vähentämällä edellinen arvo seuraavasta.

Tarkastellaan rataverkon pituutta funktiona, jonka argumentti on aika (vuodet).

Itse funktion lisäys (tässä tapauksessa rataverkon pituus) kuvaa huonosti funktion muutosta. Esimerkissämme siitä tosiasiasta, että 2,5>0,9 ei voida päätellä, että verkko kasvoi nopeammin 2000-2003 vuotta kuin vuonna 2004 esimerkiksi, koska lisäys 2,5 viittaa kolmen vuoden ajanjaksoon, ja 0,9 - vain yhdessä vuodessa. Siksi on aivan luonnollista, että funktion lisäys johtaa argumentin yksikkömuutokseen. Argumentin lisäys tässä on pistettä: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Saamme sen, mitä talouskirjallisuudessa kutsutaan keskimääräinen vuotuinen kasvu.

On mahdollista välttää inkrementin heittäminen argumentin muutosyksikköön, jos otamme funktioarvot argumentin arvoille, jotka eroavat yhdellä, mikä ei aina ole mahdollista.

Matemaattisessa analyysissä, erityisesti differentiaalilaskennassa, otetaan huomioon argumentin ja funktion infinitesimaaliset (IM) lisäykset.

Yhden muuttujan funktion differentiointi (derivaata ja differentiaali) Funktion derivaatta

Argumentti ja funktio kasvavat pisteessä X 0 voidaan pitää vertailukelpoisina äärettömän pieninä suureina (ks. aihe 4, BM:n vertailu), ts. Saman luokan BM.

Silloin niiden suhteella on äärellinen raja, joka määritellään funktion derivaatana t:ssä X 0 .

Funktion lisäyksen ja BM-argumentin lisäyksen suhteen raja pisteessä x=x 0 olla nimeltään johdannainen toimii tässä vaiheessa.

Newton otti käyttöön johdannaisen symbolisen merkinnän viivalla (tai pikemminkin roomalaisella numerolla I). Voit myös käyttää alaindeksiä, joka näyttää, mistä muuttujasta derivaatta lasketaan, esim. . Toista derivaatan laskennan perustajan, saksalaisen matemaatikon Leibnizin ehdottamaa merkintää käytetään myös laajalti:
. Saat lisätietoja tämän nimityksen alkuperästä osiosta Funktio- ja argumenttidifferentiaali.

Tämä luku arvioi nopeus muuttaa pisteen läpi kulkevaa funktiota
.

Asennamme geometrinen tunne funktion derivaatta pisteessä. Tätä varten rakennamme funktiosta kaavion y=y(x) ja merkitse siihen muutoksen määräävät kohdat y(x) välissä

Tangentti funktion kuvaajalle pisteessä M 0
otamme huomioon sekantin rajoittavan aseman M 0 M kunnossa
(piste M liukuu funktion kuvaajaa pitkin pisteeseen M 0 ).

Harkitse
. Ilmeisesti
.

Jos kohta M ryntää pitkin funktion kuvaajaa kohti pistettä M 0 , sitten arvo
on taipumus tiettyyn rajaan, jota me tarkoitamme
. Jossa.

Rajoita kulmaa  osuu yhteen funktion kuvaajaan piirretyn tangentin kaltevuuskulman kanssa, mukaan lukien. M 0 , joten johdannainen
on numeerisesti yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus määrätyssä kohdassa.

-

funktion derivaatan geometrinen merkitys pisteessä.

Siten voidaan kirjoittaa tangentin ja normaalin yhtälöt ( normaali on suora, joka on kohtisuorassa tangenttia vastaan) funktion kuvaajaan jossakin pisteessä X 0 :

Tangentti - .

Normaali -
.

Mielenkiintoisia ovat tapaukset, joissa nämä viivat sijaitsevat vaaka- tai pystysuunnassa (katso aihe 3, erikoistapaukset viivan sijainnista tasossa). Sitten,

jos
;

jos
.

Johdannan määritelmää kutsutaan erilaistuminen toimintoja.

 Jos funktio pisteessä X 0 sillä on äärellinen derivaatta, sitä kutsutaan erottuva tässä tilanteessa. Funktiota, joka on differentioituva jonkin intervallin kaikissa kohdissa, kutsutaan tällä välillä differentioituvaksi.

 Lause . Jos toiminto y=y(x) erotettavissa t. X 0 , niin se on jatkuva tässä vaiheessa.

Tällä tavoin, jatkuvuus on välttämätön (mutta ei riittävä) ehto, jotta funktio olisi differentioituva.

Olkoon x mielivaltainen piste, joka sijaitsee jossain kiinteän pisteen x 0 ympäristössä. eroa x - x 0 kutsutaan yleensä riippumattoman muuttujan inkrementiksi (tai argumentin inkrementiksi) pisteessä x 0 ja sitä merkitään Δx:llä. Tällä tavoin,

Δx \u003d x - x 0,

mistä se seuraa

Toiminnon lisäys − ero kahden funktioarvon välillä.

Anna toiminnon klo = f(x), määritelty argumentin arvolla, joka on yhtä suuri kuin X 0 . Kasvataan D X, ᴛ.ᴇ. katso argumentin ͵ arvoksi yhtä suureksi x 0+D X. Oletetaan, että tämä argumenttiarvo sisältyy myös tämän funktion piiriin. Sitten ero D y = f(x 0+D X) – f(x0) kutsutaan funktion inkrementiksi. Toiminnan lisäys f(x) pisteessä x on funktio, jota yleensä merkitään Δ x f uudella muuttujalla Δ x määritelty

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Etsi argumentin lisäys ja funktion inkrementti pisteessä x 0, jos

Esimerkki 2. Etsi funktion f (x) \u003d x 2 inkrementti, jos x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1

Ratkaisu: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Etsi funktion inkrementti ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Korvaa arvot x=1 ja ∆x= 0.1, saadaan ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21

Etsi argumentin lisäys ja funktion inkrementti pisteissä x 0

2.f(x) \u003d 2x 3, x 0 \u003d 3 x \u003d 2,4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Määritelmä: Johdannainen On tapana kutsua funktiota jossakin pisteessä funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen rajaksi (jos se on olemassa ja se on äärellinen), jos jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Seuraavaa johdannaisen merkintää käytetään yleisimmin:

Tällä tavoin,

Derivaatan löytämistä kutsutaan erilaistuminen . Otettu käyttöön differentioituvan funktion määritelmä: Funktiota f, jolla on derivaatta jonkin intervallin jokaisessa pisteessä, kutsutaan tällä välillä differentioituvaksi.

Olkoon funktio määritelty jossain pisteen ympäristössä.Funktion derivaatta on tapana kutsua sellaiseksi luvuksi, että naapurissa oleva funktio U(x 0) voidaan esittää muodossa

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)

jos on olemassa.

Funktion derivaatan määritelmä pisteessä.

Anna toiminnon f(x) määritelty aikavälillä (a;b), ja ovat tämän intervallin pisteet.

Määritelmä. Johdannainen funktio f(x) jossain pisteessä on tapana kutsua funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi . Nimetty .

Kun viimeinen raja saa tietyn lopullisen arvon, puhutaan olemassaolosta lopullinen derivaatta pisteessä. Jos raja on ääretön, niin sanomme niin derivaatta on ääretön tietyssä pisteessä. Jos rajaa ei ole olemassa, niin funktion derivaatta ei ole olemassa tässä vaiheessa.

Toiminto f(x) sanotaan olevan differentioituva pisteessä, kun sillä on äärellinen derivaatta.

Jos toiminto f(x) on erotettavissa jonkin intervallin jokaisessa pisteessä (a;b), niin funktiota kutsutaan differentioituvaksi tällä aikavälillä. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, mikä tahansa piste x aukosta (a;b) voimme liittää funktion derivaatan arvon tässä vaiheessa, eli meillä on mahdollisuus määritellä uusi funktio, jota kutsutaan funktion derivaatiksi f(x) välissä (a;b).

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan differentiaatioksi.

Emme aina elämässämme ole kiinnostuneita minkä tahansa määrien tarkasta arvosta. Joskus on mielenkiintoista tietää tämän arvon muutos, esimerkiksi väylän keskinopeus, liikkeen määrän suhde aikaväliin jne. Vertaaksesi funktion arvoa jossain vaiheessa saman funktion arvoihin muissa kohdissa, on kätevää käyttää käsitteitä, kuten "funktion lisäys" ja "argumenttilisäys".

Käsitteet "funktion lisäys" ja "argumenttilisäys"

Oletetaan, että x on jokin mielivaltainen piste, joka sijaitsee jossain pisteen x0 ympäristössä. Argumentin lisäys pisteessä x0 on ero x-x0. Lisäys merkitään seuraavasti: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Joskus tätä arvoa kutsutaan myös itsenäisen muuttujan inkrementiksi pisteessä x0. Se seuraa kaavasta: x = x0 + ∆x. Tällaisissa tapauksissa sanotaan, että riippumattoman muuttujan x0 alkuarvo on saanut lisäyksen ∆x.

Jos muutamme argumenttia, myös funktion arvo muuttuu.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

funktion f inkrementti pisteessä x0, vastaava inkrementti ∆x on ero f(x0 + ∆x) - f(x0). Funktion inkrementtiä merkitään ∆f. Siten saamme määritelmän mukaan:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Joskus ∆f:tä kutsutaan myös riippuvan muuttujan inkrementiksi ja ∆y:llä sitä merkitään, jos funktio oli esimerkiksi y=f(x).

Geometrinen lisäyksen tunne

Katso seuraavaa kuvaa.

Kuten näette, inkrementti näyttää muutoksen pisteen ordinaatassa ja abskissassa. Ja funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen määrittää pisteen alku- ja loppuaseman läpi kulkevan sekantin kaltevuuskulman.

Harkitse esimerkkejä funktioiden ja argumenttien lisäyksestä

Esimerkki 1 Etsi argumentin ∆x ja funktion ∆f inkrementti pisteessä x0, jos f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Käytetään yllä olevia kaavoja:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Esimerkki 2 Laske funktion f(x) = 1/x inkrementti ∆f pisteessä x0, jos argumentin inkrementti on yhtä suuri kuin ∆x.

Jälleen käytämme yllä saatuja kaavoja.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

lääketieteellisessä ja biologisessa fysiikassa

LUENTO #1

JOHDANNAISET JA DIFFERENTIAALITOIMINNOT.

YKSITYISET JOHDANNAISET.

1. Johdannan käsite, sen mekaaninen ja geometrinen merkitys.

mutta ) Argumentin ja funktion lisäys.

Olkoon funktio y=f(х) annettu, missä х on argumentin arvo funktion alueelta. Jos valitsemme argumentin xo ja x kaksi arvoa funktion verkkoalueen tietystä intervallista, niin argumentin kahden arvon välistä eroa kutsutaan argumentin inkrementiksi: x - xo =∆x .

Argumentin x arvo voidaan määrittää x 0:n ja sen inkrementin kautta: x = x o + ∆x.

Funktion kahden arvon eroa kutsutaan funktion inkrementiksi: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Argumentin ja funktion lisäys voidaan esittää graafisesti (kuva 1). Argumentin lisäys ja funktion lisäys voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia. Kuten kuviosta 1 seuraa, geometrisesti argumentin ∆х inkrementtiä edustaa abskissan lisäys ja funktion ∆у inkrementtiä ordinaatan inkrementtinä. Toiminnon lisäyksen laskeminen tulee suorittaa seuraavassa järjestyksessä:

annamme argumentille inkrementin ∆x ja saamme arvon - x + Δx;

2) etsi funktion arvo argumentin arvolle (х+∆х) – f(х+∆х);

3) selvitä funktion ∆f=f(х + ∆х) - f(х) inkrementti.

Esimerkki: Määritä funktion y=x 2 inkrementti, jos argumentti on muuttunut arvosta x o =1 arvoon x=3. Pisteelle x o funktion arvo f (x o) \u003d x² o; pisteelle (xo + ∆x) funktion f (xo + ∆x) arvo \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, mistä ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x + 2; ∆f \u003d 2x noin ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f = 2 1 2+4 = 8.

b)Ongelmia, jotka johtavat johdannaisen käsitteeseen. Johdannan määritelmä, sen fyysinen merkitys.

Argumentin ja funktion lisäyksen käsite on välttämätön derivaatan käsitteen käyttöön ottamiseksi, joka historiallisesti syntyi tarpeesta määrittää tiettyjen prosessien nopeus.

Harkitse, kuinka voit määrittää suoraviivaisen liikkeen nopeuden. Liikkukoon kappale suoraan lain mukaan: ∆S= ·∆t. Tasainen liike:= ∆S/∆t.

Muuttuvan liikkeen osalta arvo ∆S/∆t määrittää arvon vrt. , eli vrt. =∆S/∆t. Mutta keskinopeus ei anna mahdollisuutta heijastaa kehon liikkeen piirteitä ja antaa käsitystä todellisesta nopeudesta hetkellä t. Aikavälin pienentyessä, ts. arvolla ∆t→0 keskinopeus pyrkii rajansa - hetkellisen nopeuden:

 inst. =
 vrt. =
∆S/∆t.

Kemiallisen reaktion hetkellinen nopeus määritetään samalla tavalla:

 inst. =
 vrt. =
∆х/∆t,

missä x on kemiallisen reaktion aikana ajan t aikana muodostuneen aineen määrä. Samanlaiset tehtävät eri prosessien nopeuden määrittämiseksi johtivat funktion derivaatan käsitteen käyttöönottoon matematiikassa.

Olkoon jatkuva funktio f(x), joka on määritetty välille ]a,b[ja sen inkrementti ∆f=f(x+∆x)–f(x).
on ∆x:n funktio ja ilmaisee funktion keskimääräisen muutosnopeuden.

suhteen raja , kun ∆x→0, mikäli tämä raja on olemassa, kutsutaan funktion derivaatiksi :

y" x =

.

Johdannainen merkitään seuraavasti:
- (y-viiva x:ssä); f " (x) - (ef alkuluku x:llä) ; y" - (y-viiva); dy / dх – (de y on de x); - (y pisteellä).

Derivaatan määritelmän perusteella voidaan sanoa, että suoraviivaisen liikkeen hetkellinen nopeus on reitin derivaatta ajan suhteen:

 inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

Siten voimme päätellä, että funktion derivaatta argumentin x suhteen on funktion f(x) hetkellinen muutosnopeus:

y" x \u003d f " (х)= inst.

Tämä on johdannaisen fyysinen merkitys. Derivaatan löytämisprosessia kutsutaan differentiaatioksi, joten lauseke "differoi funktio" vastaa lauseketta "etsi funktion derivaatta".

sisään)Johdannan geometrinen merkitys.

P
funktion y = f(x) derivaatalla on yksinkertainen geometrinen merkitys, joka liittyy käsitteeseen kaarevan suoran tangentti jossain kohdassa M. Samalla tangentti, ts. suora ilmaistaan ​​analyyttisesti muodossa y = kx = tg x, missä – tangentin (suoran) kaltevuuskulma X-akseliin nähden. Esitetään jatkuva käyrä funktiona y \u003d f (x), otetaan käyrältä piste M ja sen läheltä piste M 1 ja piirretään kulkevat niiden läpi. Sen kaltevuus sekuntiin = tg β = .Jos tuomme pisteen M 1 lähemmäksi M:tä, niin argumentin inkrementti ∆x pyrkii nollaan, ja sekantti kohdassa β=α ottaa tangentin aseman. Kuvasta 2 seuraa: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Mutta tgα on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kaltevuus:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Joten funktion kaavion tangentin kulmakerroin tietyssä pisteessä on yhtä suuri kuin sen derivaatan arvo kosketuspisteessä. Tämä on derivaatan geometrinen merkitys.

G)Yleinen sääntö johdannaisen löytämiseksi.

Derivaatan määritelmän perusteella funktion eriyttämisprosessi voidaan esittää seuraavasti:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

etsi funktion inkrementti: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

laske funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:

;

Esimerkki: f(x) = x2; f " (x)=?.

Kuitenkin, kuten tästäkin yksinkertaisesta esimerkistä voidaan nähdä, tämän sekvenssin käyttö johdannaisia ​​otettaessa on työläs ja monimutkainen prosessi. Siksi eri funktioille otetaan käyttöön yleiset differentiointikaavat, jotka esitetään taulukon muodossa "Peruskaavat funktioiden erottamiseen".