Päivämäärä: 20.11.2014

Mikä on johdannainen?

Johdannaistaulukko.

Derivaata on yksi korkeamman matematiikan pääkäsitteistä. Tällä oppitunnilla esittelemme tämän käsitteen. Tutustutaanpa ilman tiukkoja matemaattisia formulaatioita ja todisteita.

Tämän johdannon avulla voit:

Ymmärtää yksinkertaisten tehtävien olemuksen johdannaisen avulla;

Ratkaise nämä hyvin yksinkertaiset tehtävät onnistuneesti;

Valmistaudu vakavampiin johdannaistunteihin.

Ensinnäkin miellyttävä yllätys.

Derivaatan tiukka määritelmä perustuu rajojen teoriaan, ja asia on melko monimutkainen. Se on järkyttävää. Mutta johdannaisen käytännön soveltaminen ei yleensä vaadi niin laajaa ja syvää tietoa!

Useimpien tehtävien onnistuneeseen suorittamiseen koulussa ja yliopistossa riittää tieto vain muutama termi- ymmärtää tehtävän ja vain muutama sääntö- ratkaista se. Ja siinä se. Tämä tekee minut onnelliseksi.

Tutustutaanko toisiimme?)

Termit ja nimitykset.

Perusmatematiikassa on monia matemaattisia operaatioita. Yhteen-, vähennys-, kerto-, eksponentio-, logaritmi- jne. Jos näihin operaatioihin lisätään vielä yksi operaatio, alkeismatematiikka nousee korkeammaksi. Tämä uusi operaatio on ns erilaistuminen. Tämän toiminnon määritelmää ja merkitystä käsitellään erillisillä oppitunneilla.

Tässä on tärkeää ymmärtää, että differentiaatio on vain funktion matemaattinen operaatio. Otamme minkä tahansa funktion ja muutamme sen tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Tuloksena on uusi toiminto. Tämä uusi toiminto on nimeltään: johdannainen.

Erilaistuminen- toiminta funktioon.

Johdannainen on tämän toiminnan tulos.

Aivan kuten esim. summa on lisäyksen tulos. Tai yksityinen on jakautumisen tulos.

Termit tuntemalla voit ainakin ymmärtää tehtävät.) Sanamuoto on seuraava: löytää funktion derivaatta; ota johdannainen; erottaa toiminnon; laske johdannainen jne. Tässä kaikki sama. Tietenkin on monimutkaisempia tehtäviä, joissa derivaatan löytäminen (differentiointi) on vain yksi vaihe tehtävän ratkaisemisessa.

Johdannainen on merkitty viivalla funktion yläpuolella oikeassa yläkulmassa. Kuten tämä: y" tai f"(x) tai S"(t) jne.

lukea y veto, ef veto x:stä, es veto te:stä, no ymmärrät sen...)

Alkuluku voi myös merkitä tietyn funktion derivaatta, esimerkiksi: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" jne. Usein derivaatta merkitään differentiaaleilla, mutta emme käsittele tällaista merkintää tällä oppitunnilla.

Oletetaan, että olemme oppineet ymmärtämään tehtävät. Ei ole enää mitään jäljellä - opetella ratkaisemaan ne.) Muistutan vielä kerran: derivaatan löytäminen on funktion muunnos tiettyjen sääntöjen mukaan. Näitä sääntöjä on yllättävän vähän.

Löytääksesi funktion derivaatan sinun tarvitsee tietää vain kolme asiaa. Kolme pilaria, joilla kaikki erilaistuminen lepää. Tässä on kolme valasta:

1. Johdannaisten taulukko (differentiointikaavat).

3. Monimutkaisen funktion derivaatta.

Aloitetaan järjestyksessä. Tässä oppitunnissa tarkastelemme johdannaistaulukkoa.

Johdannaistaulukko.

Maailmalla on ääretön määrä toimintoja. Tämän sarjan joukossa on toimintoja, jotka ovat tärkeimpiä käytännön sovelluksen kannalta. Nämä toiminnot ovat kaikkien luonnonlakien mukaisia. Näistä toiminnoista, kuten tiilistä, voit rakentaa kaikki muut. Tätä funktioluokkaa kutsutaan perustoiminnot. Juuri näitä toimintoja tutkitaan koulussa - lineaarinen, neliö, hyperbola jne.

Toimintojen eriyttäminen "tyhjästä", ts. derivaatan määritelmän ja rajojen teorian perusteella - melko aikaa vievä asia. Ja matemaatikotkin ovat ihmisiä, kyllä, kyllä!) Joten he yksinkertaistivat elämäänsä (ja meitä). He laskivat ennen meitä alkeisfunktioiden derivaattoja. Tuloksena on johdannaistaulukko, jossa kaikki on valmiina.)

Tässä se on, tämä levy suosituimpiin toimintoihin. Vasen - perusfunktio, oikea - sen johdannainen.

	Toiminto y	Toiminnon y johdannainen y"
1	C (vakio)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n on mikä tahansa luku)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	synti x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	Hirsi a x
	ln x ( a = e)

Suosittelen kiinnittämään huomiota tämän johdannaistaulukon kolmanteen funktioryhmään. Potenssifunktion derivaatta on yksi yleisimmistä kaavoista, ellei yleisin! Onko vihje selkeä?) Kyllä, on toivottavaa tietää johdannaistaulukko ulkoa. Muuten, tämä ei ole niin vaikeaa kuin miltä se saattaa näyttää. Yritä ratkaista lisää esimerkkejä, itse taulukko muistetaan!)

Kuten ymmärrät, derivaatan taulukkoarvon löytäminen ei ole vaikein tehtävä. Siksi tällaisissa tehtävissä on usein lisäsiruja. Joko tehtävän muotoilussa tai alkuperäisessä funktiossa, jota ei näytä olevan taulukossa ...

Katsotaanpa muutama esimerkki:

1. Etsi funktion y = x derivaatta 3

Taulukossa ei ole tällaista toimintoa. Mutta tehofunktiosta on yleinen johdannainen (kolmas ryhmä). Meidän tapauksessamme n=3. Joten korvaamme kolminkertaisen n:n sijaan ja kirjoitamme tuloksen huolellisesti:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Siinä kaikki.

Vastaus: y" = 3x 2

2. Etsi funktion y = sinx derivaatan arvo pisteestä x = 0.

Tämä tehtävä tarkoittaa, että sinun on ensin löydettävä sinin derivaatta ja korvattava sitten arvo x = 0 tähän samaan johdannaiseen. Se on siinä järjestyksessä! Muuten tapahtuu, että ne korvaavat välittömästi nollan alkuperäiseen funktioon ... Meitä pyydetään etsimään ei alkuperäisen funktion arvoa, vaan arvoa sen johdannainen. Muistutan teitä, derivaatta on jo uusi funktio.

Levyltä löydämme sinin ja sitä vastaavan derivaatan:

y" = (sinx)" = cosx

Korvaa derivaatan nolla:

y"(0) = cos 0 = 1

Tämä on vastaus.

3. Erottele toiminto:

Mikä inspiroi?) Johdannaisten taulukossa ei ole edes läheistä tällaista funktiota.

Haluan muistuttaa, että funktion erottaminen on yksinkertaisesti tämän funktion derivaatan löytämistä. Jos unohdat alkeellisen trigonometrian, funktiomme derivaatan löytäminen on melko hankalaa. Taulukko ei auta...

Mutta jos näemme, että tehtävämme on kaksoiskulman kosini, sitten kaikki paranee heti!

Kyllä kyllä! Muista, että muunnos alkuperäisen toiminnon ennen eroamista ihan hyväksyttävää! Ja se sattuu helpottamaan elämää paljon. Kaksoiskulman kosinin kaavan mukaan:

Nuo. hankala tehtävämme on vain y = cox. Ja tämä on taulukkotoiminto. Saamme heti:

Vastaus: y" = - sin x.

Esimerkki edistyneille valmistuneille ja opiskelijoille:

4. Etsi funktion derivaatta:

Johdannaisessa taulukossa ei tietenkään ole tällaista funktiota. Mutta jos muistat alkeellisen matematiikan, toimintoja voimavaroilla... Silloin on täysin mahdollista yksinkertaistaa tätä funktiota. Kuten tämä:

Ja x kymmenesosan potenssilla on jo taulukkofunktio! Kolmas ryhmä, n = 1/10. Suoraan kaavan mukaan ja kirjoita:

Siinä kaikki. Tämä on vastaus.

Toivon, että ensimmäisen erotteluvalaan - johdannaistaulukon - kanssa kaikki on selvää. Jäljelle jää kahden jäljellä olevan valaan käsittely. Seuraavalla oppitunnilla opimme erottelun säännöt.

Johdannaisen käsite

Anna toiminnon f(x) määritellään tietyllä aikavälillä x. Annetaan argumentin arvo pisteessä x 0 X satunnainen lisäys Δ x niin että pointti x0 + Δ x kuului myös x. Sitten vastaava funktion f(x) lisäys tulee olemaan Δ klo = f(x0 + Δ x) - f(x0).

Määritelmä 1. F(x) funktion derivaatta pisteessä x0 kutsutaan rajaksi funktion lisäyksen suhteen tässä kohdassa argumentin lisäykseen kohdassa Δ x 0 (jos tämä raja on olemassa).

Funktion derivaatan osoittamiseen käytetään symboleja klo" (x0) tai f"(x0):

Jos jossain vaiheessa x0 raja (4.1) on ääretön:

sitten he sanovat sen pisteessä x0 toiminto f(x) Sillä on ääretön derivaatta.

Jos toiminto f(x) sisältää derivaatan jokaisessa joukon pisteessä x, sitten johdannainen f"(x) on myös argumentin funktio X, päätetty x.

Johdannan geometrinen merkitys

Derivaatan geometrisen merkityksen selventämiseksi tarvitsemme funktion kaavion tangentin määritelmän tietyssä pisteessä.

Määritelmä 2. Tangentti funktion kuvaajaan y = f(x) pisteessä M kutsutaan sekantin raja-asemaksi MN, kun piste N pyrkii johonkin pisteeseen M käyrää pitkin f(x).

Anna pointin M käyrällä f(x) vastaa argumentin arvoa x0, ja pointti N- argumentin arvo x0 + Δ x(Kuva 4.1). Tangentin määritelmästä seuraa, että sen olemassaolo pisteessä x0 on välttämätöntä, että on olemassa raja, joka on yhtä suuri kuin akselin tangentin kaltevuuskulma Härkä. Kolmiosta MNA seuraa sitä

Jos funktion derivaatta f(x) pisteessä x0 on olemassa, niin saamme (4.1) mukaan

Tästä seuraa selvä johtopäätös, että johdannainen f"(x0) yhtä suuri kuin kaltevuus (kaltevuuskulman tangentti Ox-akselin positiiviseen suuntaan) tangentti funktion y kuvaajalle = f(x) sisään kohta M(x0, f(x0)). Tässä tapauksessa tangentin kaltevuus määritetään kaavasta (4.2):

Johdannan fyysinen merkitys

Oletetaan, että funktio l = f(t) kuvaa materiaalin pisteen liikkeen lakia suorassa reittiriippuvuutena l ajasta t. Sitten ero Δ l = f(t +Δ t) - f(t) - on aikavälillä Δ kuljettu matka t ja suhde Δ l/Δ t- keskinopeus ajan myötä Δ t. Sitten raja määrittelee pisteen hetkellinen nopeus tällä hetkellä t polun johdannaisena ajan suhteen.

Tietyssä mielessä funktion johdannainen klo = f(x) voidaan tulkita myös funktion muutosnopeudeksi: mitä suurempi arvo f"(x), mitä suurempi on käyrän tangentin kaltevuuskulma, sitä jyrkempi kuvaaja on f(x) ja toiminto kasvaa nopeammin.

Oikea ja vasen johdannaiset

Analogisesti funktion yksipuolisten rajojen käsitteiden kanssa esitellään funktion oikean ja vasemman derivaatan käsitteet pisteessä.

Määritelmä 3. Oikea vasen) johdannainen funktio klo = f(x) pisteessä x0 kutsutaan suhteen (4.1) oikeaksi (vasemmaksi) rajaksi Δ x 0, jos tämä raja on olemassa.

Seuraavaa symboliikkaa käytetään merkitsemään yksipuolisia johdannaisia:

Jos toiminto f(x) on pisteessä x0 derivaatta, siinä on vasen ja oikea derivaatta, jotka ovat samat.

Otetaan esimerkki funktiosta, jolla on yksipuolisia derivaattoja pisteessä, jotka eivät ole keskenään samanarvoisia. Tämä f(x) = |x|. Todellakin, pisteessä x = 0 meillä on f'+(0) = 1, f"-(0) = -1 (kuva 4.2) ja f'+(0) ≠f'-(0), ts. funktiolla ei ole derivaattia at X = 0.

Toimintoa funktion derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen; kutsutaan funktiota, jolla on derivaatta pisteessä erottuva.

Yhteys funktion differentiaalisuuden ja jatkuvuuden välillä pisteessä saadaan aikaan seuraavalla lauseella.

LAUSE 1 . Jos funktio on differentioituva pisteessä x 0, niin se on myös jatkuva siinä pisteessä.

Päinvastoin ei pidä paikkaansa: funktio f(x), joka on jatkuva jossakin pisteessä, ei välttämättä ole derivaatta kyseisessä pisteessä. Tällainen esimerkki on funktio klo = |x|; se on jatkuva pisteessä x= 0, mutta sillä ei ole derivaattia tässä vaiheessa.

Siten funktion differentioituvuuden vaatimus on vahvempi kuin jatkuvuuden vaatimus, koska toinen seuraa automaattisesti ensimmäisestä.

Funktion kaavion tangentin yhtälö tietyssä pisteessä

Kuten kohdassa 3.9 mainittiin, pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö M(x0, klo 0) kaltevuudella k on muotoa

Anna toiminnon klo = f(x). Sitten koska sen johdannainen jossain vaiheessa M(x0, klo 0) on tämän funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä M, sitten seuraa, että funktion kaavion tangentin yhtälö f(x) on tässä vaiheessa muodossa

Emme aina elämässämme ole kiinnostuneita minkä tahansa määrien tarkasta arvosta. Joskus on mielenkiintoista tietää tämän arvon muutos, esimerkiksi väylän keskinopeus, liikkeen määrän suhde aikaväliin jne. Vertaaksesi funktion arvoa jossain vaiheessa saman funktion arvoihin muissa kohdissa, on kätevää käyttää käsitteitä, kuten "funktion lisäys" ja "argumenttilisäys".

Käsitteet "funktion lisäys" ja "argumenttilisäys"

Oletetaan, että x on jokin mielivaltainen piste, joka sijaitsee jossain pisteen x0 ympäristössä. Argumentin lisäys pisteessä x0 on ero x-x0. Lisäys merkitään seuraavasti: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Joskus tätä arvoa kutsutaan myös itsenäisen muuttujan inkrementiksi pisteessä x0. Se seuraa kaavasta: x = x0 + ∆x. Tällaisissa tapauksissa sanotaan, että riippumattoman muuttujan x0 alkuarvo on saanut lisäyksen ∆x.

Jos muutamme argumenttia, myös funktion arvo muuttuu.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

funktion f inkrementti pisteessä x0, vastaava inkrementti ∆x on ero f(x0 + ∆x) - f(x0). Funktion inkrementtiä merkitään ∆f. Siten saamme määritelmän mukaan:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Joskus ∆f:tä kutsutaan myös riippuvan muuttujan inkrementiksi ja ∆y:llä sitä merkitään, jos funktio oli esimerkiksi y=f(x).

Geometrinen lisäyksen tunne

Katso seuraavaa kuvaa.

Kuten näette, inkrementti näyttää muutoksen pisteen ordinaatassa ja abskissassa. Ja funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen määrittää pisteen alku- ja loppuaseman läpi kulkevan sekantin kaltevuuskulman.

Harkitse esimerkkejä funktioiden ja argumenttien lisäyksestä

Esimerkki 1 Etsi argumentin ∆x ja funktion ∆f inkrementti pisteessä x0, jos f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1.9 b) x =2.1

Käytetään yllä olevia kaavoja:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f(1,9) - f(2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x=x-x0=2,1-2=0,1;

• ∆f=f(2,1) - f(2) = 2,1 2 - 2 2 = 0,41.

Esimerkki 2 Laske funktion f(x) = 1/x inkrementti ∆f pisteessä x0, jos argumentin inkrementti on yhtä suuri kuin ∆x.

Jälleen käytämme yllä saatuja kaavoja.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Yhden muuttujan funktion derivaatta.

Johdanto.

Nämä metodologiset kehitystyöt on tarkoitettu Teollisuus- ja rakennustekniikan tiedekunnan opiskelijoille. Ne on koottu matematiikan kurssin ohjelmaan liittyen kohtaan "Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta".

Kehitykset edustavat yhtä metodologista opasta, joka sisältää: lyhyet teoreettiset tiedot; "tyypilliset" tehtävät ja harjoitukset yksityiskohtaisine ratkaisuineen ja selityksineen; ohjausvaihtoehdot.

Lisäharjoitukset jokaisen kappaleen lopussa. Tällainen kehitysrakenne tekee niistä sopivia osion itsenäiseen hallitsemiseen mahdollisimman vähäisellä opettajan avusta.

§yksi. Johdannan määritelmä.

Mekaaninen ja geometrinen merkitys

johdannainen.

Derivaatan käsite on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä, ja se syntyi jo 1600-luvulla. Derivaatan käsitteen muodostumiseen liittyy historiallisesti kaksi ongelmaa: muuttuvan liikkeen nopeuden ongelma ja käyrän tangentin ongelma.

Nämä tehtävät johtavat erilaisesta sisällöstään huolimatta samaan matemaattiseen operaatioon, joka on suoritettava funktiolle, joka on saanut matematiikassa erityisen nimen. Sitä kutsutaan funktion erottamisoperaatioksi. Differentiointioperaation tulosta kutsutaan derivaatiksi.

Eli funktion y=f(x) derivaatta pisteessä x0 on raja (jos se on olemassa) funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen
klo
.

Johdannainen merkitään yleensä seuraavasti:
.

Siis määritelmän mukaan

Symboleja käytetään myös merkitsemään johdannaista
.

Johdannan mekaaninen merkitys.

Jos s=s(t) on aineellisen pisteen suoraviivaisen liikkeen laki, niin
on tämän pisteen nopeus hetkellä t.

Johdannan geometrinen merkitys.

Jos funktiolla y=f(x) on derivaatta pisteessä , sitten funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä
on yhtä suuri
.

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta
pisteessä =2:

1) Annetaan piste = 2 lisäys
. Huomaa, että.

2) Etsi funktion inkrementti pisteessä =2:

3) Laadi funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen:

Etsitään suhteen raja at
:

.

Tällä tavoin,
.

§ 2. Joidenkin johdannaiset

yksinkertaisimmat toiminnot.

Opiskelijan tulee oppia laskemaan tiettyjen funktioiden derivaatat: y=x,y= ja yleensä y= .

Etsi funktion y=x derivaatta.

nuo. (x)′=1.

Etsitään funktion derivaatta

Johdannainen

Anna olla
sitten

Potenssifunktion derivaattojen lausekkeissa on helppo havaita kuvio
kohdassa n = 1,2,3.

Näin ollen

. (1)

Tämä kaava pätee mille tahansa todelliselle n:lle.

Erityisesti kaavaa (1) käyttämällä meillä on:

;

.

Esimerkki.

Etsi funktion derivaatta

.

.

Tämä funktio on muodon funktion erikoistapaus

klo
.

Kaavaa (1) käyttämällä meillä on

.

Funktioiden y=sin x ja y=cos x derivaatat.

Olkoon y=sinx.

Jakamalla ∆x, saamme

Ylitämme rajan muodossa ∆x→0, meillä on

Olkoon y=cosx .

Siirtymällä rajalle muodossa ∆x→0, saamme

;
. (2)

§3. Erottamisen perussäännöt.

Harkitse erottelusääntöjä.

Lause1 . Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, niin niiden summa on myös tässä pisteessä differentioituva, ja summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdettujen termien summa: (u+v)"=u"+v".(3 )

Todistus: harkitse funktiota y=f(x)=u(x)+v(x).

Argumentin x inkrementti ∆x vastaa funktioiden u ja v inkrementtejä ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x). Sitten funktiota y kasvatetaan

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Näin ollen

Joten (u+v)"=u"+v.

Lause2. Jos funktiot u=u(x) ja v=v(x) ovat differentioituvia tietyssä pisteessä x, on myös niiden tulo samassa pisteessä, jolloin tuotteen derivaatta saadaan seuraavalla kaavalla : (uv) "=u" v + uv ". ( 4)

Todistus: Olkoon y=uv, missä u ja v ovat joitain x:n differentioituvia funktioita. Olkoon x:n lisäys ∆x:llä, silloin u kasvaa ∆u:lla, v:ää ∆v ja y:tä ∆y.

Meillä on y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), tai

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Siksi ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Täältä

Siirtymällä rajalle muodossa ∆x→0 ja ottaen huomioon, että u ja v eivät ole riippuvaisia ​​∆x:stä, meillä on

Lause 3. Kahden funktion osamäärän derivaatta on yhtä suuri kuin murto-osa, jonka nimittäjä on jakajan neliö, ja osoittaja on erotus jakajan derivaatan tulon ja jakajan tulon välillä. osinko jakajan johdannaisella, ts

Jos
sitten
(5)

Lause 4. Vakion derivaatta on nolla, ts. jos y=C, missä С=const, niin y"=0.

Lause 5. Vakiotekijä voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä, ts. jos y=Cu(x), missä С=const, niin y"=Cu"(x).

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

.

Tällä toiminnolla on muoto
, jossa u=x,v=cosx. Differentiointisääntöä (4) soveltamalla löydämme

.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

.

Käytämme kaavaa (5).

Tässä
;
.

Tehtävät.

Etsi johdannaiset seuraavista funktioista:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

On täysin mahdotonta ratkaista matematiikan fyysisiä ongelmia tai esimerkkejä ilman tietoa derivaatista ja sen laskentamenetelmistä. Derivaata on yksi matemaattisen analyysin tärkeimmistä käsitteistä. Päätimme omistaa tämän päivän artikkelin tälle perustavanlaatuiselle aiheelle. Mikä on derivaatta, mikä on sen fysikaalinen ja geometrinen merkitys, miten lasketaan funktion derivaatta? Kaikki nämä kysymykset voidaan yhdistää yhdeksi: kuinka ymmärtää johdannainen?

Johdannan geometrinen ja fyysinen merkitys

Olkoon toiminto f(x) , annetaan tietyllä aikavälillä (a, b) . Pisteet x ja x0 kuuluvat tähän väliin. Kun x muuttuu, itse funktio muuttuu. Argumentin muutos - sen arvojen ero x-x0 . Tämä ero on kirjoitettu muodossa delta x ja sitä kutsutaan argumenttilisäykseksi. Funktion muutos tai lisäys on funktion arvojen välinen ero kahdessa pisteessä. Johdannainen määritelmä:

Funktion derivaatta pisteessä on raja funktion inkrementin tietyssä pisteessä suhteessa argumentin lisäykseen, kun jälkimmäinen pyrkii nollaan.

Muuten se voidaan kirjoittaa näin:

Mitä järkeä on löytää tällainen raja? Mutta kumpi:

funktion derivaatta pisteessä on yhtä suuri kuin OX-akselin välisen kulman tangentti ja funktion kaavion tangentti tietyssä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys: reitin aikaderivaata on yhtä suuri kuin suoraviivaisen liikkeen nopeus.

Todellakin, kouluajoista lähtien kaikki ovat ymmärtäneet, että nopeus on yksityinen tie. x=f(t) ja aikaa t . Keskinopeus tietyn ajanjakson aikana:

Selvittääksesi liikkeen nopeuden kerrallaan t0 sinun on laskettava raja:

Sääntö yksi: ota vakio pois

Vakio voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Lisäksi se on tehtävä. Kun ratkaiset matematiikan esimerkkejä, ota sääntönä - Jos voit yksinkertaistaa ilmaisua, muista yksinkertaistaa .

Esimerkki. Lasketaan derivaatta:

Sääntö kaksi: funktioiden summan derivaatta

Kahden funktion summan derivaatta on yhtä suuri kuin näiden funktioiden derivaattojen summa. Sama pätee funktioiden eron johdannaiseen.

Emme todista tätä lausetta, vaan harkitsemme käytännön esimerkkiä.

Etsi funktion derivaatta:

Kolmas sääntö: funktioiden tulon derivaatta

Kahden differentioituvan funktion tulon derivaatta lasketaan kaavalla:

Esimerkki: etsi funktion derivaatta:

Ratkaisu:

Tässä on tärkeää sanoa monimutkaisten funktioiden derivaattojen laskemisesta. Kompleksisen funktion derivaatta on yhtä suuri kuin tämän funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Yllä olevassa esimerkissä kohtaamme lausekkeen:

Tässä tapauksessa väliargumentti on 8x viidenteen potenssiin nähden. Tällaisen lausekkeen derivaatan laskemiseksi tarkastellaan ensin ulkoisen funktion derivaatta väliargumentin suhteen ja kerrotaan sitten itse väliargumentin derivaatalla riippumattoman muuttujan suhteen.

Neljäs sääntö: Kahden funktion osamäärän johdannainen

Kaava kahden funktion osamäärän derivaatan määrittämiseksi:

Yritimme puhua nukkejen johdannaisista tyhjästä. Tämä aihe ei ole niin yksinkertainen kuin miltä näyttää, joten varoita: esimerkeissä on usein sudenkuoppia, joten ole varovainen laskeessasi johdannaisia.

Jos sinulla on kysyttävää tästä ja muista aiheista, voit ottaa yhteyttä opiskelijapalveluun. Lyhyessä ajassa autamme sinua ratkaisemaan vaikeimman ohjauksen ja selviytymään tehtävistä, vaikka et olisi koskaan aiemmin käsitellyt johdannaisten laskemista.