Sekvenssimäärittely ja tärkeimmät ominaisuudet. Kuinka laskea sekvenssirajat? Aritmeettiset operaatiot sarjoilla
Anna olla X (\displaystyle X) on joko reaalilukujen joukko R (\displaystyle \mathbb (R) ), tai kompleksilukujen joukko C (\displaystyle \mathbb (C) ). Sitten sarja ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) asettaa elementtejä X (\displaystyle X) olla nimeltään numeerinen sekvenssi.
Esimerkkejä
Toimenpiteet jaksoissa
Jaksot
Jakso sekvenssejä (x n) (\displaystyle (x_(n))) on sekvenssi (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), missä (n k) (\displaystyle (n_(k))) on kasvava luonnollisten lukujen joukon elementtien sarja.
Toisin sanoen osasekvenssi saadaan sekvenssistä poistamalla äärellinen tai laskettava määrä elementtejä.
Esimerkkejä
- Alkulukujen sarja on luonnollisten lukujen sarjan osajono.
- Luonnollisten lukujen sarja, jotka ovat kerrannaisia, on parillisten luonnollisten lukujen sarjan osasekvenssi.
Ominaisuudet
Jakson rajapiste on piste missä tahansa ympäristössä, jonka tämän sekvenssin elementtejä on äärettömästi. Suppenevien numeeristen sarjojen rajapiste on sama kuin raja.
Sekvenssirajoitus
Sekvenssirajoitus on objekti, jota sekvenssin jäsenet lähestyvät luvun kasvaessa. Näin ollen mielivaltaisessa topologisessa avaruudessa sekvenssin raja on elementti, jonka missä tahansa naapurustossa ovat kaikki sekvenssin jäsenet, alkaen jostakin. Erityisesti numeerisissa sarjoissa raja on luku missä tahansa naapurustossa, jonka kaikki sekvenssin jäsenet sijaitsevat jostakin yhdestä alkaen.
Perusteelliset sekvenssit
Perusjärjestys (itsekonvergentti sarja , Cauchy-sekvenssi ) on metrisen avaruuden elementtien sarja, jossa millä tahansa ennalta määrätyllä etäisyydellä on sellainen elementti, josta etäisyys mihinkään sitä seuraavaan elementtiin ei ylitä annettua. Numeerisissa sarjoissa perus- ja konvergenttien sekvenssien käsitteet ovat samanarvoisia, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole.
Jakso
Jakso- Tämä pakki jonkin joukon elementtejä:
- jokaiselle luonnolliselle luvulle voit määrittää tämän joukon elementin;
- tämä numero on elementin numero ja osoittaa tämän elementin sijainnin sarjassa;
- mille tahansa sekvenssin elementille (jäsenelle) voit määrittää sekvenssin seuraavan elementin.
Joten sarja on tulos johdonmukainen tietyn joukon elementtien valinta. Ja jos mikä tahansa elementtijoukko on äärellinen ja puhutaan äärellisen tilavuuden näytteestä, sekvenssi osoittautuu äärettömän tilavuuden näytteeksi.
Sekvenssi on luonteeltaan kartoitus, joten sitä ei pidä sekoittaa joukkoon, joka "juoksee" sekvenssin läpi.
Matematiikassa tarkastellaan monia erilaisia sekvenssejä:
- sekä numeeriset että ei-numeeriset aikasarjat;
- metrisen avaruuden elementtisekvenssit
- toimintoavaruuden elementtien sekvenssit
- ohjausjärjestelmien ja automaattien tilasarjat.
Kaikkien mahdollisten sekvenssien tutkimisen tarkoituksena on etsiä kuvioita, ennustaa tulevia tiloja ja generoida sekvenssejä.
Määritelmä
Olkoon jokin joukko mielivaltaisia elementtejä. | Mitä tahansa luonnollisten lukujen joukon kuvaamista tiettyyn joukkoon kutsutaan järjestys(sarjan osat).
Luonnollisen luvun kuvaa, nimittäin elementtiä kutsutaan - th jäsen tai sekvenssielementti, ja sekvenssin jäsenen järjestysnumero on sen indeksi.
Aiheeseen liittyvät määritelmät
- Jos otamme kasvavan luonnollisten lukujen sarjan, niin sitä voidaan pitää jonkin sekvenssin indeksien sarjana: jos otamme alkuperäisen sekvenssin alkiot vastaavien indeksien kanssa (otettu luonnonlukujen kasvavasta sarjasta), niin voi taas saada sekvenssin nimeltä jatkojakso annettu järjestys.
Kommentit
- Matemaattisessa analyysissä tärkeä käsite on numeerisen sekvenssin raja.
Merkintä
Lomakkeen sekvenssit
On tapana kirjoittaa tiiviisti sulkuilla:
taikihara housunkannattimet käytetään joskus:
Tietyn sananvapauden salliessa voimme harkita myös muodon äärellisiä sekvenssejä
,jotka edustavat luonnollisten lukujen sarjan alkusegmentin kuvaa.
Katso myös
Wikimedia Foundation. 2010 .
Synonyymit:Katso, mitä "sekvenssi" on muissa sanakirjoissa:
SEURANTA. IV Kirejevski artikkelissa "Yhdeksästoista vuosisata" (1830) sanoo: "Rooman valtakunnan kukistumisesta meidän päiviimme asti Euroopan valaistuminen ilmestyy meille asteittaisena kehityksenä ja jatkuvassa järjestyksessä" (vol. 1, s. ... ... Sanojen historia
SEQUENCE, sekvenssit, pl. ei, nainen (kirja). häiriötekijä substantiivi sarjaan. Tapahtumasarja. Jakso vuoroveden ja virtauksen muutoksissa. Johdonmukaisuus päättelyssä. Ushakovin selittävä sanakirja ... ... Ushakovin selittävä sanakirja
Jatkuvuus, jatkuvuus, johdonmukaisuus; rivi, eteneminen, johtopäätös, sarja, merkkijono, peräkkäisyys, ketju, ketju, kaskadi, viestikilpailu; sinnikkyys, pätevyys, rekrytointi, systemaattisuus, järjestely, harmonia, sinnikkyys, osajakso, yhteys, jono, ... ... Synonyymien sanakirja
SEKVENSSI, numerot tai elementit järjestettynä järjestykseen. Sekvenssit voivat olla äärellisiä (joissa on rajoitettu määrä elementtejä) tai äärettömiä, kuten luonnollisten lukujen 1, 2, 3, 4 täydellinen sarja ....… ... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja
SEQUENCE, joukko numeroita (matemaattisia lausekkeita jne.; sanotaan: minkä tahansa luonteisia elementtejä), jotka on lueteltu luonnollisilla luvuilla. Sarja kirjoitetaan muodossa x1, x2,..., xn,... tai lyhyesti (xi) … Nykyaikainen tietosanakirja
Yksi matematiikan peruskäsitteistä. Sarja muodostuu minkä tahansa luonteisista elementeistä, jotka on numeroitu luonnollisilla luvuilla 1, 2, ..., n, ... ja kirjoitetaan muodossa x1, x2, ..., xn, ... tai lyhyesti (xn) ... Suuri tietosanakirja
Jakso- SEQUENCE, joukko numeroita (matemaattisia lausekkeita jne.; sanotaan: minkä tahansa luonteisia elementtejä), jotka on lueteltu luonnollisilla luvuilla. Sarja kirjoitetaan muodossa x1, x2, ..., xn, ... tai lyhyesti (xi). … Kuvitettu tietosanakirja
SEQUENCE ja, fem. 1. katso sarja. 2. Matematiikassa: ääretön järjestyslukujoukko. Ožegovin selittävä sanakirja. SI. Ožegov, N. Yu. Shvedova. 1949 1992... Ožegovin selittävä sanakirja
Englanti peräkkäisyys/sekvenssi; Saksan kieli Konsequenz. 1. Järjestys peräkkäin. 2. Yksi matematiikan peruskäsitteistä. 3. Oikean loogisen ajattelun laatu, lisäksi päättely on vapaa sisäisistä ristiriidoista yhdessä ja samassa ... ... Sosiologian tietosanakirja
Jakso- "funktio, joka on määritetty luonnollisten lukujen joukkoon, jonka arvojoukko voi koostua minkä tahansa luonteisista elementeistä: numeroista, pisteistä, funktioista, vektoreista, joukoista, satunnaismuuttujista jne., jotka on numeroitu luonnollisilla luvuilla .. . Talous- ja matemaattinen sanakirja
Kirjat
- Rakennamme sarjan. Pennut. 2-3 vuotta,. Peli "Kissanpennut". Rakennamme sarjan. 1 taso. Sarja "Esiopetus". Hauskat kissanpennut päättivät ottaa aurinkoa rannalla! Mutta he eivät voi jakaa paikkoja. Auta heitä ymmärtämään se!…
Luento 8. Numeeriset sekvenssit.
Määritelmä8.1. Jos jokainen arvo liittyy tietyn lain mukaan tiettyyn reaalilukuanx n , sitten joukko numeroituja reaalilukuja
–
lyhennetty merkintä 
,
(8.1)
soitammenumeerinen sekvenssi tai vain sarja.
Erilliset numerot x n sekvenssin elementtejä tai jäseniä (8.1).
Sarja voidaan määrittää yleisellä termikaavalla, kuten näin: 
tai 
. Sarja voidaan määrittää moniselitteisesti, esimerkiksi sekvenssi -1, 1, -1, 1, ... voidaan määrittää kaavalla 
tai 
. Joskus sekvenssin määrittämiseen käytetään toistuvaa tapaa: annetaan sekvenssin muutama ensimmäinen jäsen ja kaava seuraavien alkioiden laskemiseksi. Esimerkiksi ensimmäisen elementin määrittelemä sekvenssi ja toistuvuusrelaatio 
(aritmeettinen progressio). Harkitse sekvenssiä nimeltä lähellä Fibonaccia: aseta kaksi ensimmäistä elementtiä x 1 =1,
x 2 =1 ja toistuvuussuhde 
mille tahansa 
. Saamme numerosarjan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Tällaiselle sarjalle on melko vaikea löytää kaavaa yhteiselle termille.
8.1. Aritmeettiset operaatiot sarjoilla.
Harkitse kahta sekvenssiä:
(8.1)
Määritelmä 8.2.
Soitetaansekvenssin tulo
numeroa kohti
mjatkojakso 
. Kirjoitetaan se näin: 
.
Kutsutaan sekvenssi sekvenssien summa
(8.1) ja (8.2), kirjoitamme seuraavasti: ; samoin 
soitetaan sekvenssin ero
(8.1) ja (8.2); 
sekvenssien tuote
(8.1) ja (8.2); 
yksityisiä jaksoja
(8.1) ja (8.2) (kaikki elementit 
).
8.2. Rajoitetut ja rajoittamattomat sekvenssit.
Satunnaisen sekvenssin kaikkien elementtien joukko 
muodostaa tietyn numeerisen joukon, jota voidaan rajoittaa ylhäältä (alhaalta) ja joille pätevät samanlaiset määritelmät kuin reaaliluvuille esitettiin.
Määritelmä 8.3.
Jakso 
olla nimeltäänrajattu ylhäältä
, jos ; M
yläreuna.
Määritelmä 8.4.
Jakso 
olla nimeltäänrajattu alhaalta
, jos ;m
alareuna.
Määritelmä 8.5.Jakso 
olla nimeltäänrajoitettu
, jos se on rajoitettu sekä ylä- että alapuolelta, eli jos on kaksi reaalilukua M jam
siten, että sekvenssin jokainen elementti 
tyydyttää eriarvoisuudet:
,
(8.3)
mJaM- ylä- ja alareunat 
.
Epäyhtälöitä (8.3) kutsutaan sekvenssin rajoitusehto
.
Esimerkiksi sarja 
rajoitettu ja 
rajoittamaton.
♦ Lausunto 8.1.
on rajoitettu
.
Todiste. Valitaan 
. Määritelmän 8.5 mukaan sekvenssi 
tulee olemaan rajoitettu. ■
Määritelmä 8.6.
Jakso 
olla nimeltäänrajoittamaton
, jos jollakin positiivisella (mielisen suurella) reaaliluvulla A on vähintään yksi sekvenssin elementtix n , joka tyydyttää epätasa-arvon: 
.
Esimerkiksi sekvenssi 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n, … rajoittamaton, koska rajoitettu vain alhaalta.
8.3 Äärettömän suuria ja äärettömän pieniä sarjoja.
Määritelmä 8.7.
Jakso 
olla nimeltäänäärettömän suuri
, jos jollakin (mielisesti suurella) reaaliluvulla A on luku
sellaista kaikille 
elementtejäx n 
.
☼ Huomautus 8.1. Jos sekvenssi on äärettömän suuri, se on rajaton. Mutta ei pidä ajatella, että mikä tahansa rajoittamaton sekvenssi on äärettömän suuri. Esimerkiksi sarja 
ei ole rajoitettu, mutta ei äärettömän suuri, koska kunto 
ei ole tyytyväinen edes kaikkiin n.
☼
Esimerkki 8.1.
on äärettömän suuri. Ota mikä tahansa numero MUTTA>0. Epätasa-arvosta 
saamme n>A. Jos otat 
, sitten kaikille n>N eriarvoisuus säilyy 
, eli määritelmän 8.7 mukaan sekvenssi 
äärettömän suuri.
Määritelmä 8.8.
Jakso 
olla nimeltäänäärettömän pieni
, jos varten 
(vaikka pieni 
) siellä on numero
sellaista kaikille 
elementtejä 
tämä sekvenssi tyydyttää epätasa-arvon 
.
Esimerkki 8.2. Todistakaamme, että sarja 
äärettömän pieni.
Ota mikä tahansa numero 
. Epätasa-arvosta 
saamme 
. Jos otat 
, sitten kaikille n>N eriarvoisuus säilyy
.
♦ Lausunto 8.2.
Jakso 
on äärettömän suuri 
ja äärettömän pieni
.
Todiste.
1) Anna ensin 
:
, missä 
. Bernoullin kaavan mukaan (esimerkki 6.3, kohta 6.1.) 
. Korjaamme mielivaltaisen positiivisen luvun MUTTA ja valitse numero N niin, että epätasa-arvo on totta:
,
,
,
.
Koska 
, sitten reaalilukujen tuotteen ominaisuudella kaikille 
.
Joten varten 
on numero 
, se kaikille 
- äärettömän suuri 
.
2) Harkitse tapausta 
,
(at q=0 meillä on triviaali tapaus).
Anna olla 
, missä 
, Bernoullin kaavan mukaan 
tai 
.
Korjaus 
,
ja valita 
sellasta
,
,
.
varten 
. Määritä tämä numero N, se kaikille 
, eli milloin 
jatkojakso 
äärettömän pieni. ■
8.4 Infinitesimaalien sekvenssien perusominaisuudet.
♦ Lause 8.1.Summa 
Ja 
Todiste. Korjaus 
;
- äärettömän pieni 
,
- äärettömän pieni 
. Valitaan 
. Sitten klo 
,
,
.
■
♦ Lause 8.2.
Ero 
kaksi äärettömän pientä sekvenssiä 
Ja 
on äärettömän pieni sekvenssi.
varten todisteita lause, riittää käyttää epäyhtälöä . ■
Seuraus.Minkä tahansa äärellisen määrän äärettömän pienten sekvenssien algebrallinen summa on äärettömän pieni jono.
♦ Lause 8.3.Rajoitetun sekvenssin ja äärettömän pienen sekvenssin tulo on äärettömän pieni sekvenssi.
Todiste.
- rajoitettu 
on äärettömän pieni sekvenssi. Korjaus 
;
,
;
: klo 
reilua 
. Sitten 
.
■
♦ Lause 8.4.Jokainen äärettömän pieni sekvenssi on rajoitettu.
Todiste. Korjaus 
Anna joku numero. Sitten 
kaikkiin huoneisiin n, mikä tarkoittaa, että sarja on rajoitettu. ■
Seuraus. Kahden (ja minkä tahansa äärellisen luvun) äärettömän pienen sekvenssin tulo on äärettömän pieni sekvenssi.
♦ Lause 8.5.
Jos kaikki äärettömän pienen sekvenssin elementit 
ovat yhtä suuria kuin sama lukuc, sitten c= 0.
Todiste lause suoritetaan ristiriidalla, jos merkitsemme 
.
■
♦ Lause 8.6. 1) Jos 
on siis äärettömän suuri jono, joka alkaa jostain numerostan, osamäärä on määritelty 
kaksi jaksoa 
Ja 
, joka on äärettömän pieni sarja.
2)
Jos kaikki äärettömän pienen sekvenssin elementit 
eroavat nollasta, sitten osamäärä 
kaksi jaksoa 
Ja 
on ääretön sarja.
Todiste.
1) Anna 
on äärettömän suuri sarja. Korjaus 
;
tai 
klo 
. Siten määritelmän 8.8 mukaan sekvenssi 
- äärettömän pieni.
2) Anna 
on äärettömän pieni sekvenssi. Oletetaan, että kaikki elementit 
eroavat nollasta. Korjaus MUTTA;
tai 
klo 
. Määritelmän 8.7 mukaan järjestys 
äärettömän suuri. ■
Matematiikka on tiede, joka rakentaa maailmaa. Sekä tiedemies että tavallinen ihminen - kukaan ei tule toimeen ilman sitä. Pienet lapset opetetaan ensin laskemaan, sitten lisäämään, vähentämään, kertomaan ja jakamaan, yläkoulussa kirjainmerkit tulevat esille, ja vanhemmassa niistä ei voi enää luopua.
Mutta tänään puhumme siitä, mihin kaikki tunnettu matematiikka perustuu. Tietoja lukujen yhteisöstä, jota kutsutaan "sekvenssirajoituksiksi".
Mitä ovat sekvenssit ja missä on niiden raja?
Sanan "sekvenssi" merkitystä ei ole vaikea tulkita. Tämä on sellaista asioiden rakentamista, jossa joku tai jokin sijaitsee tietyssä järjestyksessä tai jonossa. Esimerkiksi jono eläintarhan lippuja varten on sarja. Ja niitä voi olla vain yksi! Jos esimerkiksi katsot jonoa kauppaan, tämä on yksi sarja. Ja jos yksi henkilö yhtäkkiä poistuu tästä jonosta, tämä on eri jono, eri järjestys.
Sana "raja" on myös helppo tulkita - tämä on jonkin loppu. Matematiikassa sekvenssien rajat ovat kuitenkin ne numeroviivan arvot, joihin numerosarja pyrkii. Miksi yrittää eikä pääty? Se on yksinkertaista, numerorivillä ei ole loppua, ja useimmilla sarjoilla, kuten säteillä, on vain alku ja ne näyttävät tältä:
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
Siksi sekvenssin määritelmä on luonnollisen argumentin funktio. Yksinkertaisemmin sanottuna se on sarja jonkin joukon jäseniä.
Miten numerosarja rakennetaan?
Yksinkertaisin esimerkki numerosarjasta voi näyttää tältä: 1, 2, 3, 4, …n…
Useimmissa tapauksissa sekvenssit rakennetaan käytännön syistä numeroista, ja jokaisella sarjan seuraavalla jäsenellä, merkitään X:llä, on oma nimi. Esimerkiksi:
x 1 - sekvenssin ensimmäinen jäsen;
x 2 - sekvenssin toinen jäsen;
x 3 - kolmas jäsen;
x n on n:s jäsen.
Käytännön menetelmissä sekvenssi annetaan yleisellä kaavalla, jossa on jokin muuttuja. Esimerkiksi:
X n \u003d 3n, itse numerosarja näyttää tältä:
On syytä muistaa, että sekvenssien yleisessä merkinnässä voit käyttää mitä tahansa latinalaisia kirjaimia, ei vain X:ää. Esimerkiksi: y, z, k jne.
Aritmeettinen eteneminen osana sekvenssejä
Ennen kuin etsitään sekvenssien rajoja, on suositeltavaa syventää sellaisen numerosarjan käsitettä, johon jokainen törmäsi ollessaan keskiluokissa. Aritmeettinen progressio on lukusarja, jossa vierekkäisten termien välinen ero on vakio.
Tehtävä: "Olkoon 1 \u003d 15 ja numerosarjan etenemisen vaihe d \u003d 4. Rakenna tämän rivin 4 ensimmäistä jäsentä"
Ratkaisu: a 1 = 15 (ehdon mukaan) on progression (lukusarjan) ensimmäinen jäsen.
ja 2 = 15+4=19 on etenemisen toinen jäsen.
ja 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 on kolmas termi.
ja 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 on neljäs termi.
Tällä menetelmällä on kuitenkin vaikea saavuttaa suuria arvoja, esimerkiksi 125. . Erityisesti tällaisia tapauksia varten johdettiin käytännössä sopiva kaava: a n \u003d a 1 + d (n-1). Tässä tapauksessa 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.
Sekvenssityypit
Suurin osa jaksoista on loputtomia, kannattaa muistaa loppuelämän. Numerosarjoja on kaksi mielenkiintoista tyyppiä. Ensimmäinen saadaan kaavalla a n =(-1) n . Matemaatikot viittaavat usein tähän vilkkusekvenssiin. Miksi? Tarkastellaanpa sen numeroita.
1, 1, -1, 1, -1, 1 jne. Tämän esimerkin avulla käy selväksi, että sarjoissa olevat numerot voidaan helposti toistaa.
tekijäjärjestys. On helppo arvata, että kaavassa on tekijä, joka määrittää sekvenssin. Esimerkiksi: ja n = (n+1)!
Sitten sarja näyttää tältä:
ja 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;
ja 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 jne.
Aritmeettisella progressiolla annettua jonoa kutsutaan äärettömäksi pieneneväksi, jos epäyhtälö -1 havaitaan kaikille sen jäsenille ja 3 \u003d - 1/8 jne. On jopa sarja, joka koostuu samasta numerosta. Joten ja n \u003d 6 koostuu äärettömästä määrästä kuusia. Sekvenssirajat ovat olleet matematiikassa jo pitkään. Tietenkin he ansaitsevat oman pätevän suunnittelunsa. Joten on aika oppia sekvenssirajojen määritelmä. Harkitse ensin lineaarifunktion rajaa yksityiskohtaisesti: On helppo ymmärtää, että sekvenssin rajan määritelmä voidaan muotoilla seuraavasti: se on tietty luku, jota kaikki sekvenssin jäsenet lähestyvät äärettömästi. Yksinkertainen esimerkki: ja x = 4x+1. Sitten itse sarja näyttää tältä. 5, 9, 13, 17, 21…x… Siten tämä jono kasvaa loputtomasti, mikä tarkoittaa, että sen raja on yhtä suuri kuin ääretön muodossa x→∞, ja tämä tulee kirjoittaa seuraavasti: Jos otamme samanlaisen sekvenssin, mutta x pyrkii olemaan 1, saamme: Ja numerosarja tulee olemaan tällainen: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 jne. Joka kerta, kun sinun on korvattava numero yhä lähempänä yhtä (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Tästä sarjasta voidaan nähdä, että funktion raja on viisi. Tästä osasta kannattaa muistaa mikä on numeerisen sekvenssin raja, määritelmä ja menetelmä yksinkertaisten tehtävien ratkaisemiseksi. Analysoituamme numeerisen sekvenssin rajan, sen määritelmän ja esimerkit, voimme siirtyä monimutkaisempaan aiheeseen. Ehdottomasti kaikki sekvenssien rajat voidaan muotoilla yhdellä kaavalla, joka yleensä analysoidaan ensimmäisellä lukukaudella. Joten mitä tämä kirjainten, moduulien ja epätasa-arvomerkkien joukko tarkoittaa? ∀ on universaali kvantori, joka korvaa lauseet "kaikki", "kaikille" jne. ∃ on olemassaolon kvantori, tässä tapauksessa se tarkoittaa, että luonnollisten lukujen joukkoon kuuluu jokin arvo N. Pitkä pystysauva N:n jälkeen tarkoittaa, että annettu joukko N on "sellainen". Käytännössä se voi tarkoittaa "sellaista", "sellaista" jne. Lukemalla kaava ääneen materiaalin yhdistämiseksi. Edellä käsitelty menetelmä sekvenssien rajan löytämiseksi, vaikka se on yksinkertainen käyttää, ei ole käytännössä niin järkevä. Yritä löytää tämän toiminnon raja: Jos korvaamme eri x-arvot (kasvataan joka kerta: 10, 100, 1000 jne.), niin osoittajaan saadaan ∞, mutta myös nimittäjään ∞. Siitä tulee melko outo murto-osa: Mutta onko se todella niin? Numeerisen sekvenssin rajan laskeminen näyttää tässä tapauksessa riittävän helpolta. Kaikki olisi mahdollista jättää ennalleen, koska vastaus on valmis ja se saatiin kohtuullisin ehdoin, mutta on olemassa toinenkin tapa nimenomaan tällaisiin tapauksiin. Etsitään ensin murtoluvun osoittajasta suurin aste - tämä on 1, koska x voidaan esittää muodossa x 1. Etsitään nyt nimittäjän korkein aste. Myös 1. Jaa sekä osoittaja että nimittäjä muuttujalla korkeimmalla mahdollisella tavalla. Tässä tapauksessa jaamme murto-osan x 1:llä. Seuraavaksi selvitetään, mihin arvoon kukin muuttujan sisältävä termi pyrkii. Tässä tapauksessa murtoluvut otetaan huomioon. Kuten x→∞, jokaisen murtoluvun arvo pyrkii nollaan. Kun teet paperia kirjallisesti, kannattaa tehdä seuraavat alaviitteet: Saadaan seuraava lauseke: Tietenkään x:n sisältävistä murtoluvuista ei tullut nollia! Mutta niiden arvo on niin pieni, että on täysin sallittua olla ottamatta sitä huomioon laskelmissa. Itse asiassa x ei koskaan ole yhtä suuri kuin 0 tässä tapauksessa, koska et voi jakaa nollalla. Oletetaan, että professorilla on käytössään monimutkainen sekvenssi, joka on ilmeisesti annettu yhtä monimutkaisella kaavalla. Professori löysi vastauksen, mutta sopiiko se? Loppujen lopuksi kaikki ihmiset tekevät virheitä. Auguste Cauchy keksi loistavan tavan todistaa sekvenssien rajat. Hänen menetelmäänsä kutsuttiin naapurioperaatioksi. Oletetaan, että on jokin piste a, jonka naapuruus reaaliviivalla on molempiin suuntiin ε ("epsilon"). Koska viimeinen muuttuja on etäisyys, sen arvo on aina positiivinen. Asetetaan nyt jokin jono x n ja oletetaan, että jonon kymmenes jäsen (x 10) sisältyy a:n läheisyyteen. Kuinka kirjoittaa tämä tosiasia matemaattisella kielellä? Oletetaan, että x 10 on pisteen a oikealla puolella, sitten etäisyys x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Nyt on aika selittää käytännössä edellä mainittu kaava. On reilua kutsua tiettyä lukua a sekvenssin loppupisteeksi, jos epäyhtälö ε>0 pätee johonkin sen rajoista ja koko naapurustossa on oma luonnollinen lukunsa N, jolloin kaikki jonon jäsenet, joilla on suurempi luku, olla sekvenssin |xn - a| sisällä< ε. Tällaisella tiedolla on helppo ratkaista sarjan rajat, todistaa tai kumota valmis vastaus. Sekvenssien rajoja koskevat lauseet ovat tärkeä osa teoriaa, jota ilman käytäntö on mahdotonta. On vain neljä päälausetta, jotka muistamalla voit merkittävästi helpottaa ratkaisu- tai todistamisprosessia: Joskus on ratkaistava käänteinen ongelma, todistettava numeerisen sekvenssin tietty raja. Katsotaanpa esimerkkiä. Osoita, että kaavan antaman sarjan raja on nolla. Yllä olevan säännön mukaan mille tahansa sekvenssille epäyhtälö |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Esitetään n "epsilonilla" osoittamaan tietyn luvun olemassaolo ja todistamaan sekvenssirajan olemassaolo. Tässä vaiheessa on tärkeää muistaa, että "epsilon" ja "en" ovat positiivisia lukuja eivätkä nollaa. Nyt voit jatkaa lisämuutoksia käyttämällä lukiossa hankittua tietoa eriarvoisuudesta. Mistä käy ilmi, että n > -3 + 1/ε. Koska kannattaa muistaa, että puhumme luonnollisista luvuista, tulos voidaan pyöristää laittamalla se hakasulkeisiin. Siten todistettiin, että mille tahansa pisteen a = 0 "epsilon"-naapuruston arvolle löydettiin sellainen arvo, että alkuepäyhtälö täyttyy. Tästä voimme turvallisesti väittää, että luku a on annetun sekvenssin raja. Q.E.D. Tällaisella kätevällä menetelmällä voit todistaa numeerisen sekvenssin rajan, riippumatta siitä, kuinka monimutkaiselta se ensi silmäyksellä näyttää. Tärkeintä ei ole paniikkiin tehtävää nähdessään. Järjestysrajan olemassaolo ei ole käytännössä välttämätöntä. On helppo löytää sellaisia numerosarjoja, joilla ei todellakaan ole loppua. Esimerkiksi sama vilkku x n = (-1) n . on selvää, että vain kahdesta syklisesti toistuvasta numerosta koostuvalla sekvenssillä ei voi olla rajaa. Sama tarina toistuu sarjoilla, jotka koostuvat yhdestä luvusta, murto-osasta, joilla on laskelmien aikana minkä tahansa suuruinen epävarmuus (0/0, ∞/∞, ∞/0 jne.). On kuitenkin muistettava, että myös virheellisiä laskelmia tapahtuu. Joskus oman ratkaisusi tarkistaminen auttaa sinua löytämään peräkkäisyyden rajan. Yllä tarkastelimme useita esimerkkejä sekvensseistä, menetelmiä niiden ratkaisemiseksi, ja nyt yritetään ottaa tarkempi tapaus ja kutsua sitä "monotoniseksi sekvenssiksi". Määritelmä: on reilua kutsua mitä tahansa monotonisesti kasvavaa sekvenssiä, jos se täyttää tiukan epäyhtälön x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Näiden kahden ehdon ohella on myös samanlaisia ei-tiukkoja epätasa-arvoja. Vastaavasti x n ≤ x n +1 (ei-laskeva sekvenssi) ja x n ≥ x n +1 (ei-kasvava sekvenssi). Mutta tämä on helpompi ymmärtää esimerkkien avulla. Kaavan x n \u003d 2 + n antama sarja muodostaa seuraavan numerosarjan: 4, 5, 6 jne. Tämä on monotonisesti kasvava sekvenssi. Ja jos otamme x n \u003d 1 / n, niin saadaan sarja: 1/3, ¼, 1/5 jne. Tämä on monotonisesti laskeva sekvenssi. Rajoitettu sarja on sekvenssi, jolla on raja. Konvergenttisekvenssi on lukusarja, jolla on äärettömän pieni raja. Siten rajatun sekvenssin raja on mikä tahansa reaali- tai kompleksiluku. Muista, että raja voi olla vain yksi. Konvergentin sekvenssin raja on äärettömän pieni määrä (reaali tai kompleksi). Jos piirrät sekvenssikaavion, se jossain vaiheessa ikään kuin suppenee, muuttuu tietyksi arvoksi. Siitä nimi - konvergenttisekvenssi. Tällaisella sekvenssillä voi olla tai ei ole rajaa. Ensinnäkin on hyödyllistä ymmärtää, milloin se on, tästä voit aloittaa rajan puuttumisen todistamisen. Monotonisten sekvenssien joukossa erotetaan konvergentti ja divergentti. Konvergentti - tämä on sarja, jonka muodostaa joukko x ja jolla on todellinen tai kompleksinen raja tässä joukossa. Divergentti - sekvenssi, jonka joukossa ei ole rajaa (ei todellista eikä kompleksista). Lisäksi sekvenssi konvergoi, jos sen ylä- ja alarajat konvergoivat geometrisessa esityksessä. Konvergentin sekvenssin raja voi monissa tapauksissa olla nolla, koska jokaisella äärettömän pienellä sekvenssillä on tiedossa oleva raja (nolla). Riippumatta siitä, minkä konvergentin sekvenssin otat, ne ovat kaikki rajoitettuja, mutta kaukana kaikki rajatut sekvenssit konvergoivat. Kahden konvergentin sekvenssin summa, erotus, tulo on myös konvergenttisekvenssi. Osamäärä voi kuitenkin myös konvergoida, jos se on määritelty! Sekvenssirajat ovat yhtä merkittäviä (useimmissa tapauksissa) kuin numerot ja numerot: 1, 2, 15, 24, 362 jne. Osoittautuu, että joitain toimintoja voidaan suorittaa rajoilla. Ensinnäkin, aivan kuten numerot ja numerot, minkä tahansa sekvenssin rajat voidaan lisätä ja vähentää. Kolmannen sekvenssien rajojen lauseen perusteella on totta seuraava yhtälö: sekvenssien summan raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen summa. Toiseksi, neljännen sekvenssien rajojen lauseen perusteella seuraava yhtälö on totta: n:nnen sekvenssien määrän tulon raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen tulo. Sama pätee jakamiseen: kahden sekvenssin osamäärän raja on yhtä suuri kuin niiden rajojen osamäärä, edellyttäen, että raja ei ole nolla. Loppujen lopuksi, jos sekvenssien raja on nolla, jako nollalla osoittautuu, mikä on mahdotonta. Vaikuttaa siltä, että numeerisen sekvenssin raja on jo analysoitu melko yksityiskohtaisesti, mutta sellaiset lauseet kuin "äärettömän pienet" ja "äärittömän suuret" luvut mainitaan useammin kuin kerran. Ilmeisesti jos on jono 1/x, jossa x→∞, niin tällainen murto-osa on äärettömän pieni, ja jos sama jono, mutta raja pyrkii nollaan (x→0), murtoluvusta tulee äärettömän suuri arvo. . Ja sellaisilla arvoilla on omat ominaisuutensa. Jakson, jolla on mielivaltaiset pienet tai suuret arvot, rajan ominaisuudet ovat seuraavat: Itse asiassa sekvenssin rajan laskeminen ei ole niin vaikea tehtävä, jos tunnet yksinkertaisen algoritmin. Mutta sekvenssien rajat ovat aihe, joka vaatii maksimaalista huomiota ja sinnikkyyttä. Tietenkin riittää, että yksinkertaisesti ymmärtää tällaisten ilmaisujen ratkaisun ydin. Pienestä alkaen voit saavuttaa ajan mittaan suuria korkeuksia. Jos funktio on määritelty luonnollisten lukujen joukolle N, niin sellaista funktiota kutsutaan äärettömäksi lukujonoksi. Yleensä numeerista sarjaa merkitään (Xn), jossa n kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon N. Numeerinen sekvenssi voidaan antaa kaavalla. Esimerkiksi Xn=1/(2*n). Siten annamme jokaiselle luonnolliselle luvulle n jonkin jonon (Xn) tietyn alkion. Jos otamme nyt peräkkäin n:n yhtä suureksi kuin 1,2,3, …., saadaan sekvenssi (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), … Sarja voi olla rajoitettu tai rajoittamaton, kasvava tai laskeva. Sarja (Xn) kutsuu rajoitettu jos on kaksi lukua m ja M siten, että mille tahansa n:lle, joka kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, yhtälö m<=Xn sekvenssi (Xn), ei rajoitettu, kutsutaan rajoittamattomaksi sekvenssiksi. lisääntyy jos kaikille positiivisille kokonaisluvuille n pätee seuraava yhtälö: X(n+1) > Xn. Toisin sanoen sekvenssin jokaisen jäsenen, alkaen toisesta, on oltava suurempi kuin edellinen jäsen. Sarjaa (Xn) kutsutaan hiipumassa, jos seuraava yhtälö pätee kaikille luonnollisille n X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена. Tarkastetaan, ovatko sekvenssit 1/n ja (n-1)/n pienenemässä. Jos sarja on pienenevä, niin X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0. X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая. (n-1)/n: X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Joten sarja (n-1)/n on lisääntyy.Jakson rajan määrittäminen
Yleinen merkintä sekvenssien rajalle
Epävarmuus ja rajan varmuus
Mikä on naapurusto?
Lauseet
Sekvenssitodistus
Tai ehkä häntä ei ole olemassa?
monotoninen sekvenssi
Konvergentin ja rajoitetun sekvenssin raja
Monotonisen sekvenssin raja
Erilaisia toimia rajoituksin
Sekvenssiarvon ominaisuudet
Sekvenssityypit
Esimerkki jaksosta