Wat wordt de increment van het argument genoemd. Open Bibliotheek - open bibliotheek met educatieve informatie

Laat x een willekeurig punt zijn dat in de buurt van een vast punt x 0 ligt. het verschil x - x 0 wordt gewoonlijk de toename van de onafhankelijke variabele (of de toename van het argument) op het punt x 0 genoemd en wordt aangegeven met Δx. Op deze manier,

Δx \u003d x - x 0,

waaruit volgt dat

Functieverhoging − verschil tussen twee functiewaarden.

Laat de functie Bij = f(x), gedefinieerd met een argumentwaarde gelijk aan x 0 . Laten we D . verhogen x, .ᴇ. beschouw de waarde van het argument ͵ gelijk aan x 0+D x. Stel dat deze argumentwaarde ook is opgenomen in het bereik van deze functie. Dan het verschil D ja = f(x 0+D X) – f(x0) wordt de toename van een functie genoemd. Functieverhoging F(x) bij het punt x is een functie die gewoonlijk wordt aangeduid met Δ x f op de nieuwe variabele Δ x gedefinieerd als

Δ x f(Δ x) = F(x + Δ x) − F(x).

Vind de toename van het argument en de toename van de functie op het punt x 0 als

Voorbeeld 2. Zoek de toename van de functie f (x) \u003d x 2 if x \u003d 1, ∆x \u003d 0.1

Oplossing: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Bereken de toename van de functie ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + x 2 /

Vervang de waarden x=1 en ∆x= 0.1, we krijgen ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21

Zoek de toename van het argument en de toename van de functie op punten x 0

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8

Definitie: afgeleide Het is gebruikelijk om een ​​functie aan te roepen op een punt de limiet (als deze bestaat en eindig is) van de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument, op voorwaarde dat deze laatste neigt naar nul.

De volgende notatie voor de afgeleide wordt het meest gebruikt:

Op deze manier,

Het vinden van de afgeleide heet differentiatie . geïntroduceerd definitie van een differentieerbare functie: Een functie f die op elk punt van een bepaald interval een afgeleide heeft, wordt differentieerbaar genoemd op dit interval.

Laat een functie gedefinieerd worden in een bepaalde buurt van het punt Het is gebruikelijk om de afgeleide van een functie zo'n getal te noemen dat de functie in de buurt jij(x 0) kan worden weergegeven als

F(x 0 + H) = F(x 0) + Ah + O(H)

als bestaat.

Definitie van de afgeleide van een functie in een punt.

Laat de functie f(x) gedefinieerd op het interval (a;b), en zijn de punten van dit interval.

Definitie. Afgeleide functie: f(x) op een bepaald punt is het gebruikelijk om de limiet van de verhouding van de toename van een functie tot de toename van het argument op te roepen. Toegewezen .

Wanneer de laatste grens een bepaalde eindwaarde aanneemt, dan spreekt men van het bestaan uiteindelijke afgeleide op een punt. Als de limiet oneindig is, dan zeggen we dat afgeleide is oneindig op een bepaald punt. Als de limiet niet bestaat, dan de afgeleide van de functie bestaat op dit moment niet.

Functie f(x) zou differentieerbaar zijn op een punt waarop het een eindige afgeleide heeft.

In het geval dat de functie f(x) differentieerbaar is op elk punt van een bepaald interval (a;b), dan wordt de functie differentieerbaar genoemd op dit interval. ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, elk punt x uit de kloof (a;b) we kunnen de waarde van de afgeleide van de functie op dit punt associëren, dat wil zeggen, we hebben de mogelijkheid om een ​​nieuwe functie te definiëren, die de afgeleide van de functie wordt genoemd f(x) op de pauze (a;b).

De bewerking van het vinden van de afgeleide wordt differentiatie genoemd.

in de medische en biologische fysica

LEZING #1

AFGELEIDE EN DIFFERENTILE FUNCTIES.

PRIVÉ DERIVATEN.

1. Het concept van een derivaat, de mechanische en geometrische betekenis ervan.

maar ) Argument- en functietoename.

Laat de functie y=f(х) gegeven worden, waarbij х de waarde is van het argument uit het domein van de functie. Als we twee waarden van het argument xo en x kiezen uit een bepaald interval van het domein van de functie, dan wordt het verschil tussen de twee waarden van het argument de toename van het argument genoemd: x - xo =∆x .

De waarde van het argument x kan worden bepaald door x 0 en zijn toename: x = x o + ∆x.

Het verschil tussen twee waarden van een functie wordt de toename van de functie genoemd: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

De toename van het argument en de functie kan grafisch worden weergegeven (Fig. 1). Argumentverhoging en functieverhoging kunnen zowel positief als negatief zijn. Zoals uit figuur 1 volgt, wordt geometrisch de toename van het argument weergegeven door de toename van de abscis, en wordt de toename van de functie ∆у weergegeven door de toename van de ordinaat. De berekening van de functieverhoging moet in de volgende volgorde worden uitgevoerd:

we geven het argument een toename ∆x en krijgen de waarde - x + Δx;

2) zoek de waarde van de functie voor de waarde van het argument (х+∆х) – f(х+∆х);

3) zoek de toename van de functie ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Voorbeeld: Bepaal de toename van de functie y=x 2 als het argument is veranderd van x o =1 in x=3. Voor een punt x o, de waarde van de functie f (x o) \u003d x² o; voor een punt (xo +∆x) de waarde van de functie f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, vanwaar ∆f \u003d f (xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x over ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; f =2 1 2+4 = 8.

B)Problemen die leiden tot het concept van een derivaat. Definitie van afgeleide, de fysieke betekenis ervan.

Het concept van een increment van een argument en een functie is nodig om het concept van een derivaat te introduceren, dat historisch is ontstaan ​​uit de behoefte om de snelheid van bepaalde processen te bepalen.

Overweeg hoe u de snelheid van rechtlijnige beweging kunt bepalen. Laat het lichaam in een rechte lijn bewegen volgens de wet: ∆S= ·∆t. Voor eenparige beweging:= ∆S/∆t.

Voor variabele beweging bepaalt de waarde ∆S/∆t de waarde cf. , d.w.z. vgl. =∆S/∆t Maar de gemiddelde snelheid maakt het niet mogelijk om de kenmerken van de beweging van het lichaam weer te geven en een idee te geven van de werkelijke snelheid op tijdstip t. Met een afname van het tijdsinterval, d.w.z. bij ∆t→0 neigt de gemiddelde snelheid naar zijn limiet - de momentane snelheid:

inst. =
vgl. =
S/∆t.

De momentane snelheid van een chemische reactie wordt op dezelfde manier bepaald:

inst. =
vgl. =
/∆t,

waarbij x de hoeveelheid stof is die tijdens een chemische reactie in tijd t wordt gevormd. Vergelijkbare taken om de snelheid van verschillende processen te bepalen, leidden tot de introductie in de wiskunde van het concept van de afgeleide van een functie.

Laat een continue functie f(x) gegeven worden, gedefinieerd op het interval ]a,b[en zijn toename ∆f=f(x+∆x)–f(x).
is een functie van ∆x en drukt de gemiddelde veranderingssnelheid van de functie uit.

verhoudingslimiet , wanneer ∆x→0, op voorwaarde dat deze limiet bestaat, de afgeleide van de functie wordt genoemd :

y" x =

.

De afgeleide wordt aangegeven:
- (y streepje op x); f " (x) - (ef prime op x) ; y" - (y slag); dy / dx – (de y op de x); - (y met een punt).

Op basis van de definitie van de afgeleide kunnen we zeggen dat de momentane snelheid van rechtlijnige beweging de afgeleide is van het pad ten opzichte van de tijd:

inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

We kunnen dus concluderen dat de afgeleide van de functie met betrekking tot het argument x de momentane veranderingssnelheid van de functie f(x) is:

y" x \u003d f " (х)= inst.

Dit is de fysieke betekenis van de afgeleide. Het proces van het vinden van de afgeleide wordt differentiatie genoemd, dus de uitdrukking "een functie differentiëren" is gelijk aan de uitdrukking "de afgeleide van een functie vinden".

in)De geometrische betekenis van de afgeleide.

P
de afgeleide van de functie y = f(x) heeft een eenvoudige geometrische betekenis die hoort bij het concept van een raaklijn aan een gebogen lijn op een punt M. Tegelijkertijd is de raaklijn, d.w.z. een rechte lijn wordt analytisch uitgedrukt als y = kx = tg x, waarbij – de hellingshoek van de raaklijn (rechte lijn) aan de X-as Laten we een continue curve voorstellen als een functie y \u003d f (x), een punt M op de curve nemen en een punt M 1 er dichtbij en tekenen een door hen heen snijden. De helling naar sec = tg β = .Als we het punt M 1 dichter bij M brengen, dan zal de toename van het argument ∆x zal neigen naar nul, en de secans op β=α zal de positie van een raaklijn innemen. Uit Fig. 2 volgt: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Maar tgα is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Dus de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt is gelijk aan de waarde van zijn afgeleide op het contactpunt. Dit is de geometrische betekenis van de afgeleide.

G)Algemene regel voor het vinden van de afgeleide.

Op basis van de definitie van de afgeleide kan het proces van het differentiëren van een functie als volgt worden weergegeven:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

zoek de toename van de functie: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

verzin de verhouding tussen de toename van de functie en de toename van het argument:

;

Voorbeeld: f(x)=x2 ; F " (x)=?.

Zoals echter zelfs uit dit eenvoudige voorbeeld blijkt, is het gebruik van deze reeks bij het nemen van derivaten een moeizaam en complex proces. Daarom worden voor verschillende functies algemene differentiatieformules geïntroduceerd, die worden gepresenteerd in de vorm van een tabel met "Basisformules voor differentiërende functies".

Het is heel gemakkelijk te onthouden.

Welnu, we zullen niet ver gaan, we zullen onmiddellijk de inverse functie beschouwen. Wat is de inverse van de exponentiële functie? Logaritme:

In ons geval is de basis een getal:

Zo'n logaritme (dat wil zeggen, een logaritme met een grondtal) wordt een "natuurlijke" genoemd, en we gebruiken er een speciale notatie voor: we schrijven in plaats daarvan.

Wat is gelijk aan? Natuurlijk, .

De afgeleide van de natuurlijke logaritme is ook heel eenvoudig:

Voorbeelden:

1. Zoek de afgeleide van de functie.
2. Wat is de afgeleide van de functie?

antwoorden: De exponent en de natuurlijke logaritme zijn functies die uniek eenvoudig zijn in termen van de afgeleide. Exponentiële en logaritmische functies met een andere basis hebben een andere afgeleide, die we later zullen analyseren, nadat we de differentiatieregels hebben doorlopen.

differentiatie regels

Welke regels? Alweer een nieuwe term?!...

Differentiatie is het proces van het vinden van de afgeleide.

Alleen en alles. Wat is een ander woord voor dit proces? Niet proizvodnovanie... Het differentieel van de wiskunde wordt de increment van de functie bij genoemd. Deze term komt van het Latijnse differentia - verschil. Hier.

Bij het afleiden van al deze regels zullen we twee functies gebruiken, bijvoorbeeld en. We hebben ook formules nodig voor hun stappen:

Er zijn in totaal 5 regels.

De constante wordt uit het teken van de afgeleide genomen.

Als - een constant getal (constant), dan.

Uiteraard werkt deze regel ook voor het verschil: .

Laten we het bewijzen. Laat, of makkelijker.

Voorbeelden.

Vind afgeleiden van functies:

1. bij het punt;
2. bij het punt;
3. bij het punt;
4. bij het punt.

Oplossingen:

1. (de afgeleide is op alle punten hetzelfde, aangezien het een lineaire functie is, weet je nog?);

Afgeleide van een product

Alles is hier vergelijkbaar: we introduceren een nieuwe functie en vinden de toename ervan:

Derivaat:

Voorbeelden:

1. Vind afgeleiden van functies en;
2. Zoek de afgeleide van een functie in een punt.

Oplossingen:

Afgeleide van exponentiële functie

Nu is je kennis voldoende om te leren hoe je de afgeleide van een exponentiële functie kunt vinden, en niet alleen de exponent (ben je al vergeten wat het is?).

Dus waar is een nummer.

We kennen de afgeleide van de functie al, dus laten we proberen onze functie naar een nieuwe basis te brengen:

Hiervoor gebruiken we een simpele regel: . Dan:

Nou, het werkte. Probeer nu de afgeleide te vinden, en vergeet niet dat deze functie complex is.

Gebeurd?

Hier, controleer jezelf:

De formule bleek erg op de afgeleide van de exponent te lijken: zoals het was, blijft het, er verscheen alleen een factor, die slechts een getal is, maar geen variabele.

Voorbeelden:
Vind afgeleiden van functies:

antwoorden:

Dit is slechts een getal dat niet kan worden berekend zonder een rekenmachine, dat wil zeggen, het kan niet in een eenvoudigere vorm worden geschreven. Daarom wordt het in het antwoord in deze vorm achtergelaten.

Merk op dat hier het quotiënt is van twee functies, dus passen we de juiste differentiatieregel toe:

In dit voorbeeld het product van twee functies:

Afgeleide van een logaritmische functie

Hier is het vergelijkbaar: je kent de afgeleide van de natuurlijke logaritme al:

Daarom, om een ​​willekeurig getal uit de logaritme met een ander grondtal te vinden, bijvoorbeeld:

We moeten deze logaritme naar de basis brengen. Hoe verander je het grondtal van een logaritme? Ik hoop dat je je deze formule herinnert:

Alleen nu zullen we in plaats van dat we schrijven:

De noemer bleek slechts een constante te zijn (een constant getal, zonder variabele). De afgeleide is heel eenvoudig:

Afleidingen van de exponentiële en logaritmische functies komen bijna nooit voor in het examen, maar het is niet overbodig om ze te kennen.

Afgeleide van een complexe functie.

Wat is een "complexe functie"? Nee, dit is geen logaritme en geen boogtangens. Deze functies kunnen moeilijk te begrijpen zijn (hoewel als de logaritme u moeilijk lijkt, lees dan het onderwerp "Logaritmen" en alles zal werken), maar in termen van wiskunde betekent het woord "complex" niet "moeilijk".

Stel je een kleine transportband voor: twee mensen zitten en doen wat handelingen met sommige voorwerpen. De eerste wikkelt bijvoorbeeld een chocoladereep in een wikkel en de tweede knoopt deze vast met een lint. Het blijkt zo'n samengesteld object: een chocoladereep omwikkeld en vastgebonden met een lint. Om een ​​chocoladereep te eten, moet je de tegenovergestelde stappen in omgekeerde volgorde uitvoeren.

Laten we een vergelijkbare wiskundige pijplijn maken: eerst zullen we de cosinus van een getal vinden, en dan zullen we het resulterende getal kwadrateren. Dus ze geven ons een nummer (chocolade), ik vind de cosinus (wikkel), en dan reken je af wat ik heb (bind het met een lint). Wat is er gebeurd? Functie. Dit is een voorbeeld van een complexe functie: wanneer we, om de waarde ervan te vinden, de eerste actie rechtstreeks met de variabele doen, en dan nog een tweede actie met wat er gebeurde als resultaat van de eerste.

Met andere woorden, Een complexe functie is een functie waarvan het argument een andere functie is: .

Voor ons voorbeeld, .

Het is goed mogelijk dat we dezelfde stappen in omgekeerde volgorde uitvoeren: eerst kwadraat je, en dan zoek ik de cosinus van het resulterende getal:. Het is gemakkelijk te raden dat het resultaat bijna altijd anders zal zijn. Een belangrijk kenmerk van complexe functies: wanneer de volgorde van acties verandert, verandert de functie.

Tweede voorbeeld: (zelfde). .

De laatste actie die we doen wordt genoemd "externe" functie en de eerst uitgevoerde actie - respectievelijk "interne" functie(dit zijn informele namen, ik gebruik ze alleen om de stof in eenvoudige taal uit te leggen).

Probeer zelf te bepalen welke functie extern is en welke intern:

antwoorden: De scheiding van innerlijke en uiterlijke functies lijkt erg op het veranderen van variabelen: bijvoorbeeld in de functie

1. Welke actie gaan we als eerste ondernemen? Eerst berekenen we de sinus, en pas daarna verheffen we deze tot een kubus. Het is dus een interne functie, geen externe.
   En de oorspronkelijke functie is hun samenstelling: .
2. Intern: ; extern: .
   Inspectie: .
3. Intern: ; extern: .
   Inspectie: .
4. Intern: ; extern: .
   Inspectie: .
5. Intern: ; extern: .
   Inspectie: .

we veranderen variabelen en krijgen een functie.

Welnu, nu gaan we onze chocolade extraheren - zoek naar de afgeleide. De procedure is altijd omgekeerd: eerst zoeken we de afgeleide van de uiterlijke functie, dan vermenigvuldigen we het resultaat met de afgeleide van de binnenfunctie. Voor het originele voorbeeld ziet het er als volgt uit:

Een ander voorbeeld:

Laten we dus eindelijk de officiële regel formuleren:

Algoritme voor het vinden van de afgeleide van een complexe functie:

Het lijkt simpel, toch?

Laten we eens kijken met voorbeelden:

Oplossingen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(probeer nu alleen niet te verminderen! Er wordt niets uit de cosinus gehaald, weet je nog?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Het is meteen duidelijk dat hier een complexe functie op drie niveaus is: dit is tenslotte al een complexe functie op zich, en we halen er nog steeds de wortel uit, dat wil zeggen, we voeren de derde actie uit (chocolade in een wikkel doen en met een lint in een aktetas). Maar er is geen reden om bang te zijn: hoe dan ook, we zullen deze functie in dezelfde volgorde als gewoonlijk "uitpakken": vanaf het einde.

Dat wil zeggen, we differentiëren eerst de wortel, dan de cosinus en pas daarna de uitdrukking tussen haakjes. En dan vermenigvuldigen we het allemaal.

In dergelijke gevallen is het handig om de acties te nummeren. Dat wil zeggen, laten we ons voorstellen wat we weten. In welke volgorde zullen we acties uitvoeren om de waarde van deze uitdrukking te berekenen? Laten we een voorbeeld bekijken:

Hoe later de actie wordt uitgevoerd, hoe meer "extern" de bijbehorende functie zal zijn. De volgorde van acties - zoals eerder:

Hier is het nesten over het algemeen 4-niveau. Laten we de handelwijze bepalen.

1. Radicale expressie. .

2. Wortel. .

3. sinus. .

4. Vierkant. .

5. Alles bij elkaar:

DERIVAAT. KORT OVER DE HOOFDSTUK

Functie afgeleide- de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument met een oneindig kleine toename van het argument:

Basis derivaten:

Differentiatie regels:

De constante wordt uit het teken van de afgeleide genomen:

Afgeleide van som:

Afgeleide product:

Afgeleide van het quotiënt:

Afgeleide van een complexe functie:

Algoritme voor het vinden van de afgeleide van een complexe functie:

1. We definiëren de "interne" functie, vinden de afgeleide ervan.
2. We definiëren de "externe" functie, vinden de afgeleide ervan.
3. We vermenigvuldigen de resultaten van het eerste en tweede punt.

laten zijn x– argument (onafhankelijke variabele); y=y(x)- functie.

Neem een ​​vaste waarde van het argument x=x 0 en bereken de waarde van de functie ja 0 =y(x 0 ) . We stellen nu willekeurig increment (verandering) van het argument en geef het aan  x ( x kan van elk teken zijn).

Incrementeel argument is een punt x 0 +  x. Stel dat het ook een functiewaarde bevat y=y(x 0 +  X)(zie foto).

Dus, met een willekeurige verandering in de waarde van het argument, wordt een verandering in de functie verkregen, die wordt genoemd increment functie waarden:

en is niet willekeurig, maar hangt af van het type functie en hoeveelheid
.

Argument- en functie-incrementen kunnen zijn: laatste, d.w.z. uitgedrukt als constante getallen, in welk geval ze soms eindige verschillen worden genoemd.

In de economie worden vaak eindige stappen overwogen. De tabel toont bijvoorbeeld gegevens over de lengte van het spoorwegnet van een bepaalde staat. Het is duidelijk dat de toename van de netwerklengte wordt berekend door de vorige waarde van de volgende af te trekken.

We zullen de lengte van het spoorwegnet als een functie beschouwen, met als argument tijd (jaren).

Op zich karakteriseert de toename van de functie (in dit geval de lengte van het spoorwegnet) de functieverandering slecht. In ons voorbeeld, uit het feit dat: 2,5>0,9 kan niet worden geconcludeerd dat het netwerk sneller groeide in 2000-2003 jaar dan in 2004 g., omdat de toename 2,5 verwijst naar een periode van drie jaar, en 0,9 - in slechts één jaar. Daarom is het heel natuurlijk dat de toename van de functie leidt tot een eenheidsverandering in het argument. De argumenttoename hier is punten: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

We krijgen wat in de economische literatuur wordt genoemd gemiddelde jaarlijkse groei.

Het is mogelijk om de bewerking van het casten van de verhoging naar de veranderingseenheid van het argument te vermijden, als we de functiewaarden nemen voor de waarden van het argument die met één verschillen, wat niet altijd mogelijk is.

In wiskundige analyse, in het bijzonder in differentiaalrekening, worden oneindig kleine (IM) stappen van het argument en de functie beschouwd.

Differentiatie van een functie van één variabele (afgeleide en differentiële) Afgeleide van een functie

Argument- en functiestappen op punt x 0 kunnen worden beschouwd als vergelijkbare oneindig kleine hoeveelheden (zie onderwerp 4, vergelijking van BM), d.w.z. BM van dezelfde orde.

Dan zal hun verhouding een eindige limiet hebben, die wordt gedefinieerd als de afgeleide van de functie in t x 0 .

Limiet van de verhouding van functietoename tot BM-argumenttoename op een punt x=x 0 genaamd derivaat functioneert op dit punt.

De symbolische aanduiding van het derivaat met een streep (of liever, het Romeinse cijfer I) werd geïntroduceerd door Newton. U kunt ook een subscript gebruiken dat laat zien van welke variabele de afgeleide wordt berekend, bijvoorbeeld . Een andere notatie voorgesteld door de grondlegger van de calculus van afgeleiden, de Duitse wiskundige Leibniz, wordt ook veel gebruikt:
. U leert meer over de oorsprong van deze aanduiding in de sectie Functie differentieel en argument differentieel.

Dit nummer evalueert snelheid het veranderen van de functie die door het punt gaat
.

Laten we installeren geometrische betekenis afgeleide van een functie in een punt. Hiertoe construeren we een grafiek van de functie y=y(x) en markeer daarop de punten die de verandering bepalen y(x) in de tussentijd

Raaklijn aan de grafiek van een functie in een punt m 0
we zullen de limietpositie van de secans beschouwen m 0 m op voorwaarde
(punt m schuift langs de grafiek van de functie naar een punt m 0 ).

Beschouwen
. Duidelijk,
.

Als het punt m haast je langs de grafiek van de functie naar het punt m 0 , dan de waarde
zal neigen naar een bepaalde limiet, die we aanduiden
. Waarin.

limiet hoek:  samenvalt met de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de functie, incl. m 0 , dus de afgeleide
is numeriek gelijk aan raaklijn op het aangegeven punt.

-

geometrische betekenis van de afgeleide van een functie in een punt.

Zo kan men de vergelijkingen van de tangens en normaal opschrijven ( normaal is een lijn loodrecht op de raaklijn) op de grafiek van de functie op een bepaald punt x 0 :

Tangent - .

Normaal -
.

Van belang zijn de gevallen waarin deze lijnen horizontaal of verticaal liggen (zie onderwerp 3, speciale gevallen van de positie van een lijn op een vlak). Dan,

als
;

als
.

De definitie van een derivaat heet differentiatie functies.

 Als de functie op het punt x 0 heeft een eindige afgeleide, het heet differentieerbaar op dit punt. Een functie die op alle punten van een bepaald interval differentieerbaar is, wordt op dit interval differentieerbaar genoemd.

 Stelling . Als de functie y=y(x) differentieerbaar in t. x 0 , dan is het op dit punt continu.

Op deze manier, continuïteit is een noodzakelijke (maar niet voldoende) voorwaarde om de functie differentieerbaar te maken.