Datum: 20-11-2014

Wat is een derivaat?

Afgeleide tabel.

De afgeleide is een van de belangrijkste concepten van de hogere wiskunde. In deze les introduceren we dit concept. Laten we kennismaken, zonder strikte wiskundige formuleringen en bewijzen.

Met deze introductie kunt u:

Begrijp de essentie van eenvoudige taken met een afgeleide;

Los deze zeer eenvoudige taken met succes op;

Bereid je voor op serieuzere afgeleide lessen.

Allereerst een aangename verrassing.

De strikte definitie van de afgeleide is gebaseerd op de theorie van limieten, en het ding is nogal ingewikkeld. Het is verontrustend. Maar de praktische toepassing van de afgeleide vereist in de regel niet zo'n uitgebreide en diepe kennis!

Om de meeste taken op school en universiteit met succes te voltooien, is het voldoende om te weten slechts een paar termen- om de taak te begrijpen, en slechts een paar regels- om het op te lossen. En dat is het. Dit maakt me blij.

Zullen we elkaar leren kennen?)

Termen en benamingen.

Er zijn veel wiskundige bewerkingen in de elementaire wiskunde. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, machtsverheffen, logaritme, etc. Als er nog een bewerking aan deze bewerkingen wordt toegevoegd, wordt de elementaire wiskunde hoger. Deze nieuwe operatie heet differentiatie. De definitie en betekenis van deze operatie wordt in aparte lessen besproken.

Hier is het belangrijk om te begrijpen dat differentiatie slechts een wiskundige bewerking op een functie is. We nemen elke functie over en transformeren deze, volgens bepaalde regels. Het resultaat is een nieuwe functie. Deze nieuwe functie heet: derivaat.

Differentiatie- actie op een functie.

Derivaat is het resultaat van deze actie.

Net zoals bv. som is het resultaat van de toevoeging. Of privaat is het resultaat van de verdeling.

Als u de termen kent, kunt u de taken op zijn minst begrijpen.) De formulering is als volgt: vind de afgeleide van een functie; neem de afgeleide; de functie differentiëren; afgeleide berekenen enzovoort. Dit is alles dezelfde. Natuurlijk zijn er complexere taken, waarbij het vinden van de afgeleide (differentiatie) slechts een van de stappen is bij het oplossen van de taak.

De afgeleide wordt aangegeven met een streepje rechtsboven de functie. Soortgelijk: jij" of f"(x) of S"(t) enzovoort.

lezen y slag, ef slag van x, es slag van te, nou je snapt het...)

Een priemgetal kan ook de afgeleide van een bepaalde functie aanduiden, bijvoorbeeld: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" enzovoort. Vaak wordt de afgeleide aangeduid met differentiëlen, maar we zullen een dergelijke notatie in deze les niet beschouwen.

Stel dat we de taken hebben leren begrijpen. Er is niets meer over - om te leren hoe ze op te lossen.) Laat me je er nogmaals aan herinneren: het vinden van de afgeleide is transformatie van een functie volgens bepaalde regels. Deze regels zijn verrassend weinig.

Om de afgeleide van een functie te vinden, hoef je maar drie dingen te weten. Drie pijlers waarop alle differentiatie rust. Dit zijn de drie walvissen:

1. Tabel met derivaten (differentiatieformules).

3. Afgeleide van een complexe functie.

Laten we op volgorde beginnen. In deze les gaan we kijken naar de tabel met afgeleiden.

Afgeleide tabel.

De wereld heeft een oneindig aantal functies. Onder deze set bevinden zich functies die het belangrijkst zijn voor praktische toepassing. Deze functies zitten in alle natuurwetten. Van deze functies, zoals van stenen, kun je alle andere bouwen. Deze klasse van functies heet elementaire functies. Het zijn deze functies die op school worden bestudeerd - lineair, kwadratisch, hyperbool, enz.

Differentiatie van functies "from scratch", d.w.z. gebaseerd op de definitie van de afgeleide en de theorie van limieten - een nogal tijdrovende zaak. En wiskundigen zijn ook mensen, ja, ja!) Dus vereenvoudigden ze hun leven (en ons). Ze berekenden afgeleiden van elementaire functies voor ons. Het resultaat is een tabel met afgeleiden, waar alles klaar is.)

Hier is hij dan, dit bord voor de meest populaire functies. Links - elementaire functie, rechts - zijn afgeleide.

	Functie ja	Afgeleide van functie y jij"
1	C (constant)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n is een willekeurig getal)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	zonde x	(sinx)" = cosx
	want x	(cos x)" = - zonde x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	een x
	e x
5	log een x
	lnx ( een = e)

Ik raad aan om aandacht te besteden aan de derde groep functies in deze tabel met derivaten. De afgeleide van een machtsfunctie is een van de meest voorkomende formules, zo niet de meest voorkomende! Is de hint duidelijk?) Ja, het is wenselijk om de tabel met afgeleiden uit het hoofd te kennen. Overigens is dit niet zo moeilijk als het lijkt. Probeer meer voorbeelden op te lossen, de tabel zelf wordt onthouden!)

Het vinden van de tabelwaarde van de afgeleide, zoals u begrijpt, is niet de moeilijkste taak. Daarom zijn er bij dergelijke taken vaak extra chips. Ofwel in de formulering van de taak, ofwel in de oorspronkelijke functie, die niet in de tabel lijkt te staan ​​...

Laten we een paar voorbeelden bekijken:

1. Vind de afgeleide van de functie y = x 3

Er is geen dergelijke functie in de tabel. Maar er is een algemene afgeleide van de machtsfunctie (derde groep). In ons geval is n=3. Dus vervangen we de triple in plaats van n en noteren het resultaat zorgvuldig:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Dat is alles.

Antwoord: y" = 3x 2

2. Zoek de waarde van de afgeleide van de functie y = sinx in het punt x = 0.

Deze taak betekent dat je eerst de afgeleide van de sinus moet vinden en vervolgens de waarde moet vervangen x = 0 naar deze zelfde afgeleide. Het is in die volgorde! Anders gebeurt het dat ze onmiddellijk nul in de oorspronkelijke functie vervangen ... We worden gevraagd om niet de waarde van de oorspronkelijke functie te vinden, maar de waarde zijn afgeleide. De afgeleide, laat me je eraan herinneren, is al een nieuwe functie.

Op de plaat vinden we de sinus en de bijbehorende afgeleide:

y" = (sinx)" = cosx

Vervang nul in de afgeleide:

y"(0) = cos 0 = 1

Dit zal het antwoord zijn.

3. Onderscheid de functie:

Wat inspireert?) Er is niet eens zo'n functie in de tabel met afgeleiden.

Laat me je eraan herinneren dat het differentiëren van een functie simpelweg is om de afgeleide van deze functie te vinden. Als je elementaire trigonometrie vergeet, is het vinden van de afgeleide van onze functie behoorlijk lastig. De tafel helpt niet...

Maar als we zien dat onze functie is cosinus van een dubbele hoek, dan wordt alles meteen beter!

Ja Ja! Onthoud dat de transformatie van de oorspronkelijke functie vóór differentiatie heel acceptabel! En het maakt het leven een stuk makkelijker. Volgens de formule voor de cosinus van een dubbele hoek:

Die. onze lastige functie is niets anders dan y = cox. En dit is een tabelfunctie. We krijgen meteen:

Antwoord: y" = - zonde x.

Voorbeeld voor gevorderden en studenten:

4. Zoek de afgeleide van een functie:

Een dergelijke functie is natuurlijk niet aanwezig in de tabel met afgeleiden. Maar als je je elementaire wiskunde herinnert, acties met krachten... Dan is het heel goed mogelijk om deze functie te vereenvoudigen. Soortgelijk:

En x tot de macht van een tiende is al een tabelfunctie! De derde groep, n=1/10. Direct volgens de formule en schrijf:

Dat is alles. Dit zal het antwoord zijn.

Ik hoop dat met de eerste walvis van differentiatie - de tabel met derivaten - alles duidelijk is. Het blijft om te gaan met de twee overgebleven walvissen. In de volgende les zullen we de regels van differentiatie leren.

Het concept van een afgeleide

Laat de functie F(x) is op een bepaald interval gedefinieerd x. Laten we de waarde van het argument op het punt geven x 0 X willekeurige toename Δ x zodat het punt x0 + Δ x behoorde ook x. Dan de bijbehorende toename van functie f(x) zal zijn Bij = F(x0 + Δ x) - F(x0).

Definitie 1. De afgeleide van de functie f(x) bij het punt x0 wordt de limiet genoemd van de verhouding van de toename van de functie op dit punt tot de toename van het argument bij Δ x 0 (als deze limiet bestaat).

Om de afgeleide van een functie aan te duiden, worden de symbolen gebruikt Bij" (x0) of F"(x0):

Als op een gegeven moment x0 limiet (4.1) is oneindig:

dan zeggen ze dat op het moment x0 functie F(x) Het heeft oneindige afgeleide.

Als de functie F(x) heeft een afgeleide op elk punt van de verzameling x, dan de afgeleide f"(x) is ook een functie van het argument X, vastbesloten op x.

De geometrische betekenis van de afgeleide

Om de geometrische betekenis van de afgeleide te verduidelijken, hebben we de definitie nodig van een raaklijn aan de grafiek van een functie op een bepaald punt.

Definitie 2. Raaklijn naar de grafiek van de functie y = f(x) bij het punt m de limietpositie van de secans genoemd MN, wanneer punt? N neigt naar een punt m langs de bocht F(x).

laat het punt m op de bocht F(x) komt overeen met de waarde van het argument x0, en het punt N- argument waarde x0 + Δ x(Afb. 4.1). Uit de definitie van een raaklijn volgt dat voor zijn bestaan ​​in een punt x0 het is noodzakelijk dat er een limiet is, die gelijk is aan de hellingshoek van de raaklijn aan de as OS. Van een driehoek MNA volgt dat

Als de afgeleide van de functie F(x) bij het punt x0 bestaat, dan krijgen we volgens (4.1)

Hieruit volgt de voor de hand liggende conclusie dat: afgeleide f"(x0) gelijk aan de helling (de raaklijn van de hellingshoek aan de positieve richting van de Ox-as) raaklijn aan de grafiek van de functie y = F(x) in punt M(x0, F(x0)). In dit geval wordt de helling van de raaklijn bepaald met de formule (4.2):

De fysieke betekenis van de afgeleide

Laten we aannemen dat de functie l = f(t) beschrijft de bewegingswet van een materieel punt in een rechte lijn als een padafhankelijkheid ik van tijd t. Dan het verschil l = f(t +Δ t) - f(t) - is de afgelegde afstand in het tijdsinterval Δ t, en de verhouding Δ ik/Δ t- gemiddelde snelheid in de tijd Δ t. dan de limiet definieert punt momentane snelheid toen t als afgeleide van het pad naar de tijd.

In zekere zin is de afgeleide van de functie Bij = f(x) kan ook worden geïnterpreteerd als de veranderingssnelheid van de functie: hoe groter de waarde F"(x), hoe groter de hellingshoek van de raaklijn aan de curve, hoe steiler de grafiek F(x) en de functie groeit sneller.

Rechts en links afgeleiden

Naar analogie met de concepten van eenzijdige limieten van een functie, worden de concepten van de rechter en linker afgeleiden van een functie op een punt geïntroduceerd.

Definitie 3. Rechts links) afgeleide functie Bij = f(x) bij het punt x0 wordt de rechter (linker) limiet van de relatie (4.1) genoemd als Δ x 0 als deze limiet bestaat.

De volgende symboliek wordt gebruikt om eenzijdige afgeleiden aan te duiden:

Als de functie F(x) heeft op het punt x0 afgeleide, dan heeft het op dat punt links en rechts afgeleiden die hetzelfde zijn.

Laten we een voorbeeld geven van een functie die eenzijdige afgeleiden heeft op een punt dat niet gelijk is aan elkaar. Deze F(x) = |x|. Inderdaad, op het punt x = 0 we hebben f' +(0) = 1, F"-(0) = -1 (Fig. 4.2) en f' +(0) f'-(0), d.w.z. de functie heeft geen afgeleide at x = 0.

De bewerking van het vinden van de afgeleide van een functie heet differentiatie; een functie die een afgeleide heeft op een punt heet differentieerbaar.

Het verband tussen differentiatie en continuïteit van een functie op een punt wordt vastgesteld door de volgende stelling.

STELLING 1 . Als een functie differentieerbaar is in een punt x 0 , dan is ze ook continu op dat punt.

Het omgekeerde is niet waar: de functie F(x) die continu is op een punt, heeft op dat punt mogelijk geen afgeleide. Zo'n voorbeeld is de functie Bij = |x|; het is continu op het punt x= 0, maar heeft op dit moment geen afgeleide.

De eis van differentiatie van een functie is dus sterker dan de eis van continuïteit, aangezien de tweede automatisch uit de eerste volgt.

De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie op een bepaald punt

Zoals vermeld in paragraaf 3.9, is de vergelijking van een rechte lijn die door een punt gaat m(x0, op 0) met helling k heeft de vorm

Laat de functie Bij = F(x). Dan sinds de afgeleide op een gegeven moment m(x0, op 0) is de helling van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in het punt M, dan volgt dat de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie F(x) heeft op dit moment de vorm

Niet altijd in het leven zijn we geïnteresseerd in de exacte waarden van hoeveelheden. Soms is het interessant om de verandering in deze waarde te weten, bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid van de bus, de verhouding van de hoeveelheid beweging tot het tijdsinterval, enz. Om de waarde van een functie op een bepaald punt te vergelijken met de waarden van dezelfde functie op andere punten, is het handig om begrippen als "functieverhoging" en "argumentverhoging" te gebruiken.

De begrippen "functietoename" en "argumenttoename"

Stel dat x een willekeurig punt is dat ergens in de buurt van het punt x0 ligt. De toename van het argument op het punt x0 is het verschil x-x0. De toename wordt als volgt aangegeven: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Soms wordt deze waarde ook wel de toename van de onafhankelijke variabele op het punt x0 genoemd. Het volgt uit de formule: x = x0 + ∆x. In dergelijke gevallen wordt gezegd dat de beginwaarde van de onafhankelijke variabele x0 een verhoging ∆x heeft gekregen.

Als we het argument veranderen, verandert ook de waarde van de functie.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

De toename van de functie f in het punt x0, de corresponderende toename ∆x is het verschil f(x0 + ∆x) - f(x0). De toename van een functie wordt aangeduid als ∆f. Zo krijgen we per definitie:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Soms wordt ∆f ook wel de toename van de afhankelijke variabele genoemd en wordt ∆y gebruikt om het aan te duiden als de functie bijvoorbeeld y=f(x) was.

Geometrisch gevoel van toename

Kijk naar de volgende foto.

Zoals u kunt zien, toont de toename de verandering in de ordinaat en abscis van het punt. En de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument bepaalt de hellingshoek van de secans die door de begin- en eindposities van het punt gaat.

Overweeg voorbeelden van functie- en argumenttoename

voorbeeld 1 Vind de toename van het argument ∆x en de toename van de functie ∆f in het punt x0 if f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2.1

Laten we de bovenstaande formules gebruiken:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Voorbeeld 2 Bereken de toename ∆f voor de functie f(x) = 1/x in het punt x0 als de toename van het argument gelijk is aan ∆x.

Nogmaals, we gebruiken de hierboven verkregen formules.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

Afgeleide van een functie van één variabele.

Invoering.

Deze methodologische ontwikkelingen zijn bedoeld voor studenten van de faculteit Industrial and Civil Engineering. Ze zijn samengesteld in relatie tot het programma van de cursus wiskunde in de sectie "Differentiële berekening van functies van één variabele."

De ontwikkelingen vormen een enkele methodologische gids, die het volgende omvat: korte theoretische informatie; "typische" taken en oefeningen met gedetailleerde oplossingen en uitleg voor deze oplossingen; controle opties.

Extra oefeningen aan het einde van elke paragraaf. Een dergelijke structuur van ontwikkelingen maakt ze geschikt voor het zelfstandig beheersen van de sectie met de meest minimale hulp van de leraar.

§een. Definitie van een derivaat.

Mechanische en geometrische betekenis

derivaat.

Het begrip afgeleide is een van de belangrijkste begrippen in de wiskundige analyse en ontstond al in de 17e eeuw. De vorming van het concept van een derivaat is historisch geassocieerd met twee problemen: het probleem van de snelheid van variabele beweging en het probleem van een raaklijn aan een curve.

Deze taken leiden, ondanks hun verschillende inhoud, tot dezelfde wiskundige bewerking die op een functie moet worden uitgevoerd.Deze bewerking heeft een speciale naam gekregen in de wiskunde. Het wordt de operatie van het differentiëren van een functie genoemd. Het resultaat van een differentiatiebewerking wordt een afgeleide genoemd.

Dus de afgeleide van de functie y=f(x) op het punt x0 is de limiet (als die bestaat) van de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument
Bij
.

De afgeleide wordt meestal als volgt aangeduid:
.

Dus per definitie

De symbolen worden ook gebruikt om de afgeleide aan te duiden
.

De mechanische betekenis van de afgeleide.

Als s=s(t) de wet is van de rechtlijnige beweging van een materieel punt, dan is
is de snelheid van dit punt op tijdstip t.

De geometrische betekenis van de afgeleide.

Als de functie y=f(x) een afgeleide heeft in een punt , dan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie in het punt
gelijk aan
.

Voorbeeld.

Vind de afgeleide van een functie
bij het punt =2:

1) Laten we een punt geven =2 verhoging
. Let erop dat.

2) Zoek de toename van de functie op het punt =2:

3) Stel de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument samen:

Laten we de limiet van de relatie vinden op
:

.

Op deze manier,
.

§ 2. Derivaten van sommige

de eenvoudigste functies.

De student moet leren de afgeleiden van specifieke functies te berekenen: y=x,y= en in het algemeen y= .

Zoek de afgeleide van de functie y=x.

die. (x)′=1.

Laten we de afgeleide van de functie zoeken

Derivaat

laten zijn
dan

Het is gemakkelijk om een ​​patroon op te merken in de uitdrukkingen voor afgeleiden van een machtsfunctie
bij n=1,2,3.

Vervolgens,

. (1)

Deze formule is geldig voor elke reële n.

Met formule (1) hebben we in het bijzonder:

;

.

Voorbeeld.

Vind de afgeleide van een functie

.

.

Deze functie is een speciaal geval van een functie van de vorm

Bij
.

Met formule (1) hebben we:

.

Afgeleiden van functies y=sin x en y=cos x.

Laat y=sinx.

Delen door ∆x, we krijgen

Als we naar de limiet gaan als ∆x→0, hebben we

Laat y=cosx .

Als we naar de limiet gaan als ∆x→0, krijgen we

;
. (2)

§3. Basisregels voor differentiatie.

Denk aan de differentiatieregels.

Stelling1 . Als de functies u=u(x) en v=v(x) differentieerbaar zijn op een gegeven punt x, dan is hun som ook differentieerbaar op dit punt, en is de afgeleide van de som gelijk aan de som van de afgeleide termen: (u+v)"=u"+v".(3 )

Bewijs: beschouw de functie y=f(x)=u(x)+v(x).

De stapgrootte ∆x van het argument x komt overeen met de stappen ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) van de functies u en v. Dan wordt de functie y opgehoogd

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Vervolgens,

Dus, (u+v)"=u"+v".

Stelling2. Als de functies u=u(x) en v=v(x) differentieerbaar zijn in een bepaald punt x, dan is hun product ook differentieerbaar op hetzelfde punt.In dit geval wordt de afgeleide van het product gevonden door de volgende formule : (uv) "=u" v + uv ". (4)

Bewijs: Laat y=uv, waarbij u en v enkele differentieerbare functies van x zijn. Laat x worden verhoogd met ∆x; dan wordt u verhoogd met ∆u, v wordt verhoogd met ∆v en y wordt verhoogd met ∆y.

We hebben y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), of

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Daarom is ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Vanaf hier

Als we naar de limiet gaan als ∆x→0 en er rekening mee houden dat u en v niet afhankelijk zijn van ∆x, hebben we

Stelling 3. De afgeleide van een quotiënt van twee functies is gelijk aan een breuk, waarvan de noemer gelijk is aan het kwadraat van de deler, en de teller is het verschil tussen het product van de afgeleide van het deeltal door de deler en het product van de deler. dividend door de afgeleide van de deler, dwz

Als
dan
(5)

Stelling 4. De afgeleide van de constante is nul, d.w.z. als y=C, waarbij С=const, dan is y"=0.

Stelling 5. De constante factor kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald, d.w.z. als y=Cu(x), waarbij С=const, dan y"=Cu"(x).

voorbeeld 1

Vind de afgeleide van een functie

.

Deze functie heeft de vorm
, waarbij u=x,v=cosx. Als we de differentiatieregel (4) toepassen, vinden we:

.

Voorbeeld 2

Vind de afgeleide van een functie

.

We passen formule (5) toe.

Hier
;
.

Taken.

Vind afgeleiden van de volgende functies:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Het is absoluut onmogelijk om fysieke problemen of voorbeelden in de wiskunde op te lossen zonder kennis over de afgeleide en methoden om deze te berekenen. De afgeleide is een van de belangrijkste concepten van wiskundige analyse. We hebben besloten om het artikel van vandaag aan dit fundamentele onderwerp te wijden. Wat is een afgeleide, wat is de fysieke en geometrische betekenis ervan, hoe bereken je de afgeleide van een functie? Al deze vragen kunnen worden gecombineerd tot één: hoe de afgeleide te begrijpen?

Geometrische en fysieke betekenis van de afgeleide

Laat er een functie zijn f(x) , gegeven in een interval (a,b) . De punten x en x0 behoren tot dit interval. Als x verandert, verandert de functie zelf. Argumentwijziging - verschil van zijn waarden x-x0 . Dit verschil wordt geschreven als delta x en wordt argumentincrement genoemd. De verandering of toename van een functie is het verschil tussen de waarden van de functie op twee punten. Afgeleide definitie:

De afgeleide van een functie op een punt is de limiet van de verhouding van de toename van de functie op een bepaald punt tot de toename van het argument wanneer deze naar nul neigt.

Anders kan het als volgt worden geschreven:

Wat heeft het voor zin om zo'n limiet te vinden? Maar welke:

de afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de raaklijn van de hoek tussen de OX-as en de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt.

De fysieke betekenis van de afgeleide: de tijdsafgeleide van het pad is gelijk aan de snelheid van de rechtlijnige beweging.

Inderdaad, sinds schooltijd weet iedereen dat snelheid een privépad is. x=f(t) en tijd t . Gemiddelde snelheid over een bepaalde periode:

Om de snelheid van beweging tegelijk te achterhalen t0 je moet de limiet berekenen:

Regel één: haal de constante eruit

De constante kan uit het teken van de afgeleide worden gehaald. Bovendien moet het gebeuren. Neem bij het oplossen van voorbeelden in de wiskunde als regel - als je de uitdrukking kunt vereenvoudigen, zorg er dan voor dat je vereenvoudigt .

Voorbeeld. Laten we de afgeleide berekenen:

Regel twee: afgeleide van de som van functies

De afgeleide van de som van twee functies is gelijk aan de som van de afgeleiden van deze functies. Hetzelfde geldt voor de afgeleide van het verschil van functies.

We zullen geen bewijs van deze stelling geven, maar eerder een praktisch voorbeeld beschouwen.

Vind de afgeleide van een functie:

Regel drie: de afgeleide van het product van functies

De afgeleide van het product van twee differentieerbare functies wordt berekend met de formule:

Voorbeeld: vind de afgeleide van een functie:

Oplossing:

Hier is het belangrijk om te zeggen over de berekening van afgeleiden van complexe functies. De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie met betrekking tot het tussenargument door de afgeleide van het tussenliggende argument met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

In het bovenstaande voorbeeld komen we de uitdrukking tegen:

In dit geval is het tussenargument 8x tot de vijfde macht. Om de afgeleide van zo'n uitdrukking te berekenen, beschouwen we eerst de afgeleide van de externe functie met betrekking tot het tussenliggende argument, en vermenigvuldigen vervolgens met de afgeleide van het tussenliggende argument zelf met betrekking tot de onafhankelijke variabele.

Regel vier: De afgeleide van het quotiënt van twee functies

Formule voor het bepalen van de afgeleide van een quotiënt van twee functies:

We hebben geprobeerd om vanaf het begin over derivaten voor dummies te praten. Dit onderwerp is niet zo eenvoudig als het lijkt, dus wees gewaarschuwd: er zijn vaak valkuilen in de voorbeelden, dus wees voorzichtig bij het berekenen van afgeleiden.

Met al je vragen over dit en andere onderwerpen kun je contact opnemen met de studentenservice. In korte tijd helpen we u bij het oplossen van de moeilijkste controle en het afhandelen van taken, zelfs als u nog nooit eerder met de berekening van derivaten te maken heeft gehad.