Functionele verhoging. College cursus

Laat een functie gegeven worden. Laten we twee waarden van het argument nemen: initial en gewijzigd, wat meestal wordt aangeduid met
, waar - de hoeveelheid waarmee het argument verandert wanneer het van de eerste waarde naar de tweede gaat, het wordt genoemd argument verhogen.

De waarden van het argument en komen overeen met bepaalde functiewaarden: initial en gewijzigd
, waarde , waarmee de waarde van de functie verandert wanneer het argument verandert met , wordt aangeroepen functie verhogen.

2. het concept van de limiet van een functie op een punt.

Nummer heet de limiet van de functie
terwijl je streeft naar als voor een nummer
er is zo'n nummer
, dat voor iedereen
de ongelijkheid bevredigen
, de ongelijkheid
.

Tweede definitie: een getal wordt de limiet van een functie genoemd, zoals meestal het geval is als er voor een willekeurig getal zo'n buurt van het punt is dat voor een van deze buurten . aangegeven
.

3. oneindig grote en oneindig kleine functies op een punt. Een oneindig kleine functie op een punt is een functie waarvan de limiet bij het naderen van het gegeven punt nul is. Een oneindig grote functie op een punt is een functie waarvan de limiet wanneer deze naar een bepaald punt neigt gelijk is aan oneindig.

4. belangrijkste stellingen over limieten en consequenties daarvan (zonder bewijs).

uitvloeisel: de constante factor kan uit het teken van de limiet worden gehaald:

Als de sequenties en convergeren en de limiet van de rij is niet nul, dan

uitvloeisel: de constante factor kan uit het teken van de limiet worden gehaald.

11. als er beperkingen zijn aan functies voor
En
en de limiet van de functie is niet nul,

dan bestaat er ook een grens van hun verhouding, gelijk aan de verhouding van de grenzen van de functies en:

.

12. als
, dan
, en het omgekeerde is ook waar.

13. Stelling over de limiet van een tussenreeks. Als de sequenties
convergeren, en
En
dan

5. functielimiet op oneindig.

Het getal a wordt de limiet van de functie op oneindig genoemd, (voor x neigt naar oneindig) als voor een reeks die neigt naar oneindig
komt overeen met een reeks waarden die naar een getal neigen maar.

6. Grenzen van de numerieke reeks.

Nummer maar wordt de limiet van een getallenreeks genoemd als voor een willekeurig positief getal er is een natuurlijk getal N zodat voor alle N> N de ongelijkheid
.

Symbolisch wordt dit als volgt gedefinieerd:
kermis .

Het feit dat het nummer maar is de limiet van de reeks , als volgt aangeduid:

.

7.nummer "e". natuurlijke logaritmen.

Nummer "e" vertegenwoordigt de limiet van de numerieke reeks, N- het lid waarvan
, d.w.z.

.

Natuurlijke logaritme - basislogaritme e. natuurlijke logaritmen worden aangegeven
zonder opgaaf van reden.

Nummer
kunt u overschakelen van een decimale logaritme naar een natuurlijke logaritme en vice versa.

, het wordt de overgangsmodulus van natuurlijke logaritmen naar decimale logaritmen genoemd.

8. prachtige grenzen
,

.

Eerste opmerkelijke limiet:

dus bij

door de tussenliggende reekslimietstelling

tweede opmerkelijke limiet:

.

Om het bestaan ​​van de limiet te bewijzen
gebruik het lemma: voor elk reëel getal
En
de ongelijkheid
(2) (wanneer)
of
ongelijkheid wordt gelijkheid.)

.

Beschouw nu een hulpreeks met een gemeenschappelijke term
zorg ervoor dat het afneemt en van onderaf wordt begrensd:
als
, dan wordt de volgorde kleiner. Als
, dan wordt de rij van onderaf begrensd. Laten we het laten zien:

vanwege gelijkheid (2)

d.w.z.
of
. Dat wil zeggen, de reeks neemt af en sindsdien wordt de reeks van onderaf begrensd. Als een rij afnemend en van onderaf begrensd is, heeft deze een limiet. Dan

heeft een limiet en volgorde (1), omdat

En
.

L. Euler noemde deze limiet .

9. unidirectionele grenzen, onderbrekingsfunctie.

het getal A is de linkerlimiet als het volgende geldt voor een reeks: .

getal A is de juiste limiet als het volgende geldt voor een reeks: .

Als op het punt maar behorend tot het domein van definitie van de functie of zijn grens, de voorwaarde van continuïteit van de functie wordt geschonden, dan is het punt maar wordt een breekpunt of een onderbreking van een functie genoemd. als, zoals het punt streeft

12. de som van de termen van een oneindig afnemende geometrische progressie. Een meetkundig verloop is een reeks waarin de verhouding tussen de volgende en de vorige leden ongewijzigd blijft, deze verhouding wordt de noemer van het verloop genoemd. De som van de eerste N leden van een geometrische progressie wordt uitgedrukt door de formule
deze formule is handig om te gebruiken voor een afnemende geometrische progressie - een progressie waarbij de absolute waarde van de noemer kleiner is dan nul. - het eerste lid; - noemer van progressie; - het nummer van het genomen lid van de reeks. De som van een oneindig afnemende progressie is het getal waartoe de som van de eerste leden van de afnemende progressie oneindig nadert met een onbeperkte toename van het aantal.
dan. De som van de termen van een oneindig afnemende meetkundige reeks is .

laten zijn x– argument (onafhankelijke variabele); y=y(x)- functie.

Neem een ​​vaste waarde van het argument x=x 0 en bereken de waarde van de functie ja 0 =y(x 0 ) . We stellen nu willekeurig increment (verandering) van het argument en geef het aan  x ( x kan van elk teken zijn).

Incrementeel argument is een punt x 0 +  x. Stel dat het ook een functiewaarde bevat y=y(x 0 +  X)(zie foto).

Dus, met een willekeurige verandering in de waarde van het argument, wordt een verandering in de functie verkregen, die wordt genoemd increment functie waarden:

en is niet willekeurig, maar hangt af van het type functie en hoeveelheid
.

Argument- en functie-incrementen kunnen zijn: laatste, d.w.z. uitgedrukt als constante getallen, in welk geval ze soms eindige verschillen worden genoemd.

In de economie worden vaak eindige stappen overwogen. De tabel toont bijvoorbeeld gegevens over de lengte van het spoorwegnet van een bepaalde staat. Het is duidelijk dat de toename van de netwerklengte wordt berekend door de vorige waarde van de volgende af te trekken.

We zullen de lengte van het spoorwegnet als een functie beschouwen, met als argument tijd (jaren).

Op zich karakteriseert de toename van de functie (in dit geval de lengte van het spoorwegnet) de functieverandering slecht. In ons voorbeeld, uit het feit dat: 2,5>0,9 kan niet worden geconcludeerd dat het netwerk sneller groeide in 2000-2003 jaar dan in 2004 g., omdat de toename 2,5 verwijst naar een periode van drie jaar, en 0,9 - in slechts één jaar. Daarom is het heel natuurlijk dat de toename van de functie leidt tot een eenheidsverandering in het argument. De argumenttoename hier is punten: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

We krijgen wat in de economische literatuur wordt genoemd gemiddelde jaarlijkse groei.

Het is mogelijk om de bewerking van het casten van de verhoging naar de veranderingseenheid van het argument te vermijden, als we de functiewaarden nemen voor de waarden van het argument die met één verschillen, wat niet altijd mogelijk is.

In wiskundige analyse, in het bijzonder in differentiaalrekening, worden oneindig kleine (IM) stappen van het argument en de functie beschouwd.

Differentiatie van een functie van één variabele (afgeleide en differentiële) Afgeleide van een functie

Argument- en functiestappen op punt x 0 kunnen worden beschouwd als vergelijkbare oneindig kleine hoeveelheden (zie onderwerp 4, vergelijking van BM), d.w.z. BM van dezelfde orde.

Dan zal hun verhouding een eindige limiet hebben, die wordt gedefinieerd als de afgeleide van de functie in t x 0 .

Limiet van de verhouding van functietoename tot BM-argumenttoename op een punt x=x 0 genaamd derivaat functioneert op dit punt.

De symbolische aanduiding van het derivaat met een streep (of liever, het Romeinse cijfer I) werd geïntroduceerd door Newton. U kunt ook een subscript gebruiken dat laat zien van welke variabele de afgeleide wordt berekend, bijvoorbeeld . Een andere notatie voorgesteld door de grondlegger van de calculus van afgeleiden, de Duitse wiskundige Leibniz, wordt ook veel gebruikt:
. U leert meer over de oorsprong van deze aanduiding in de sectie Functie differentieel en argument differentieel.

Dit nummer evalueert snelheid het veranderen van de functie die door het punt gaat
.

Laten we installeren meetkundig gevoel afgeleide van een functie in een punt. Hiertoe construeren we een grafiek van de functie y=y(x) en markeer daarop de punten die de verandering bepalen y(x) in de tussentijd

Raaklijn aan de grafiek van een functie in een punt m 0
we zullen de limietpositie van de secans beschouwen m 0 m op voorwaarde
(punt m schuift langs de grafiek van de functie naar een punt m 0 ).

Beschouwen
. Duidelijk,
.

Als het punt m haast je langs de grafiek van de functie naar het punt m 0 , dan de waarde
zal neigen naar een bepaalde limiet, die we aanduiden
. Waarin.

limiet hoek:  samenvalt met de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van de functie, incl. m 0 , dus de afgeleide
is numeriek gelijk aan raaklijn op het aangegeven punt.

-

geometrische betekenis van de afgeleide van een functie in een punt.

Zo kan men de vergelijkingen van de tangens en normaal opschrijven ( normaal is een lijn loodrecht op de raaklijn) op de grafiek van de functie op een bepaald punt x 0 :

Tangent - .

Normaal -
.

Van belang zijn de gevallen waarin deze lijnen horizontaal of verticaal liggen (zie onderwerp 3, speciale gevallen van de positie van een lijn op een vlak). Dan,

als
;

als
.

De definitie van een derivaat heet differentiatie functies.

 Als de functie op het punt x 0 heeft een eindige afgeleide, het heet differentieerbaar op dit punt. Een functie die op alle punten van een bepaald interval differentieerbaar is, wordt op dit interval differentieerbaar genoemd.

 Stelling . Als de functie y=y(x) differentieerbaar in t. x 0 , dan is het op dit punt continu.

Op deze manier, continuïteit is een noodzakelijke (maar niet voldoende) voorwaarde om de functie differentieerbaar te maken.

Laat x een willekeurig punt zijn dat in de buurt van een vast punt x 0 ligt. het verschil x - x 0 wordt gewoonlijk de toename van de onafhankelijke variabele (of de toename van het argument) op het punt x 0 genoemd en wordt aangegeven met Δx. Op deze manier,

Δx \u003d x - x 0,

waaruit volgt dat

Functieverhoging − verschil tussen twee functiewaarden.

Laat de functie Bij = f(x), gedefinieerd met een argumentwaarde gelijk aan x 0 . Laten we D . verhogen x, .ᴇ. beschouw de waarde van het argument ͵ gelijk aan x 0+D x. Stel dat deze argumentwaarde ook is opgenomen in het bereik van deze functie. Dan het verschil D ja = f(x 0+D X) – f(x0) wordt de toename van een functie genoemd. Functieverhoging F(x) bij het punt x is een functie die gewoonlijk wordt aangeduid met Δ x f op de nieuwe variabele Δ x gedefinieerd als

Δ x f(Δ x) = F(x + Δ x) − F(x).

Vind de toename van het argument en de toename van de functie op het punt x 0 als

Voorbeeld 2. Zoek de toename van de functie f (x) \u003d x 2 if x \u003d 1, ∆x \u003d 0.1

Oplossing: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Bereken de toename van de functie ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + x 2 /

Vervang de waarden x=1 en ∆x= 0.1, we krijgen ∆f = 2*1*0.1 + (0.1) 2 = 0.2+0.01 = 0.21

Zoek de toename van het argument en de toename van de functie op punten x 0

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2.4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3.8

Definitie: afgeleide Het is gebruikelijk om een ​​functie aan te roepen op een punt de limiet (als deze bestaat en eindig is) van de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument, op voorwaarde dat deze laatste neigt naar nul.

De volgende notatie voor de afgeleide wordt het meest gebruikt:

Op deze manier,

Het vinden van de afgeleide heet differentiatie . geïntroduceerd definitie van een differentieerbare functie: Een functie f die op elk punt van een bepaald interval een afgeleide heeft, wordt differentieerbaar genoemd op dit interval.

Laat een functie gedefinieerd worden in een bepaalde buurt van het punt Het is gebruikelijk om de afgeleide van een functie zo'n getal te noemen dat de functie in de buurt u(x 0) kan worden weergegeven als

F(x 0 + H) = F(x 0) + Ah + O(H)

als bestaat.

Definitie van de afgeleide van een functie in een punt.

Laat de functie f(x) gedefinieerd op het interval (a;b), en zijn de punten van dit interval.

Definitie. Afgeleide functie: f(x) op een gegeven moment is het gebruikelijk om de limiet van de verhouding van de toename van een functie tot de toename van het argument op te roepen. Toegewezen .

Wanneer de laatste grens een bepaalde eindwaarde aanneemt, dan spreekt men van het bestaan uiteindelijke afgeleide op een punt. Als de limiet oneindig is, dan zeggen we dat afgeleide is oneindig op een bepaald punt. Als de limiet niet bestaat, dan de afgeleide van de functie bestaat op dit punt niet.

Functie f(x) zou differentieerbaar zijn op een punt waarop het een eindige afgeleide heeft.

In het geval dat de functie f(x) differentieerbaar is op elk punt van een bepaald interval (a;b), dan wordt de functie differentieerbaar genoemd op dit interval. ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, elk punt x uit de kloof (a;b) we kunnen de waarde van de afgeleide van de functie op dit punt associëren, dat wil zeggen, we hebben de mogelijkheid om een ​​nieuwe functie te definiëren, die de afgeleide van de functie wordt genoemd f(x) op de pauze (a;b).

De bewerking van het vinden van de afgeleide wordt differentiatie genoemd.

Niet altijd in het leven zijn we geïnteresseerd in de exacte waarden van hoeveelheden. Soms is het interessant om de verandering in deze waarde te weten, bijvoorbeeld de gemiddelde snelheid van de bus, de verhouding van de hoeveelheid beweging tot het tijdsinterval, enz. Om de waarde van een functie op een bepaald punt te vergelijken met de waarden van dezelfde functie op andere punten, is het handig om begrippen als "functieverhoging" en "argumentverhoging" te gebruiken.

De begrippen "functietoename" en "argumenttoename"

Stel dat x een willekeurig punt is dat ergens in de buurt van het punt x0 ligt. De toename van het argument op het punt x0 is het verschil x-x0. De toename wordt als volgt aangegeven: ∆x.

• ∆x=x-x0.

Soms wordt deze waarde ook wel de toename van de onafhankelijke variabele op het punt x0 genoemd. Het volgt uit de formule: x = x0 + ∆x. In dergelijke gevallen wordt gezegd dat de beginwaarde van de onafhankelijke variabele x0 een verhoging ∆x heeft gekregen.

Als we het argument veranderen, verandert ook de waarde van de functie.

• f(x) - f(x0) = f(x0 + ∆х) - f(x0).

De toename van de functie f in het punt x0, de corresponderende toename ∆x is het verschil f(x0 + ∆x) - f(x0). De toename van een functie wordt aangeduid als ∆f. Zo krijgen we per definitie:

• ∆f= f(x0 + ∆x) - f(x0).

Soms wordt ∆f ook wel de toename van de afhankelijke variabele genoemd en wordt ∆y gebruikt om het aan te duiden als de functie bijvoorbeeld y=f(x) was.

Geometrisch gevoel van toename

Kijk naar de volgende foto.

Zoals u kunt zien, toont de toename de verandering in de ordinaat en abscis van het punt. En de verhouding van de toename van de functie tot de toename van het argument bepaalt de hellingshoek van de secans die door de begin- en eindposities van het punt gaat.

Overweeg voorbeelden van functie- en argumenttoename

voorbeeld 1 Vind de toename van het argument ∆x en de toename van de functie ∆f in het punt x0 if f(x) = x 2 , x0=2 a) x=1,9 b) x =2.1

Laten we de bovenstaande formules gebruiken:

a) ∆х=х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f=f(1.9) - f(2) = 1.9 2 - 2 2 = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) - f(2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Voorbeeld 2 Bereken de toename ∆f voor de functie f(x) = 1/x in het punt x0 als de toename van het argument gelijk is aan ∆x.

Nogmaals, we gebruiken de hierboven verkregen formules.

• ∆f = f(x0 + ∆x) - f(x0) =1/(x0-∆x) - 1/x0 = (x0 - (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = - ∆x/((x0*(x0+∆x)).

in de medische en biologische fysica

LEZING #1

AFGELEIDE EN DIFFERENTILE FUNCTIES.

PRIVÉ DERIVATEN.

1. Het concept van een derivaat, de mechanische en geometrische betekenis ervan.

maar ) Argument- en functietoename.

Laat de functie y=f(х) gegeven worden, waarbij х de waarde is van het argument uit het domein van de functie. Als we twee waarden van het argument xo en x kiezen uit een bepaald interval van het domein van de functie, dan wordt het verschil tussen de twee waarden van het argument de toename van het argument genoemd: x - xo =∆x .

De waarde van het argument x kan worden bepaald door x 0 en zijn toename: x = x o + ∆x.

Het verschil tussen twee waarden van een functie wordt de toename van de functie genoemd: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

De toename van het argument en de functie kan grafisch worden weergegeven (Fig. 1). Argumentverhoging en functieverhoging kunnen zowel positief als negatief zijn. Zoals uit figuur 1 volgt, wordt geometrisch de toename van het argument weergegeven door de toename van de abscis, en wordt de toename van de functie ∆у weergegeven door de toename van de ordinaat. De berekening van de functieverhoging moet in de volgende volgorde worden uitgevoerd:

we geven het argument een toename ∆x en krijgen de waarde - x + Δx;

2) zoek de waarde van de functie voor de waarde van het argument (х+∆х) – f(х+∆х);

3) zoek de toename van de functie ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Voorbeeld: Bepaal de toename van de functie y=x 2 als het argument is veranderd van x o =1 in x=3. Voor een punt x o, de waarde van de functie f (x o) \u003d x² o; voor een punt (xo + ∆x) de waarde van de functie f (xo + ∆x) \u003d (xo + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, vandaar ∆f = f ( xo + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x over ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; f =2 1 2+4 = 8.

B)Problemen die leiden tot het concept van een derivaat. Definitie van afgeleide, de fysieke betekenis ervan.

Het concept van een increment van een argument en een functie is nodig om het concept van een derivaat te introduceren, dat historisch is ontstaan ​​uit de behoefte om de snelheid van bepaalde processen te bepalen.

Overweeg hoe u de snelheid van rechtlijnige beweging kunt bepalen. Laat het lichaam in een rechte lijn bewegen volgens de wet: ∆S= ·∆t. Voor eenparige beweging:= ∆S/∆t.

Voor variabele beweging bepaalt de waarde ∆S/∆t de waarde cf. , d.w.z. vgl. =∆S/∆t Maar de gemiddelde snelheid maakt het niet mogelijk om de kenmerken van de beweging van het lichaam weer te geven en een idee te geven van de werkelijke snelheid op tijdstip t. Met een afname van het tijdsinterval, d.w.z. bij ∆t→0 neigt de gemiddelde snelheid naar zijn limiet - de momentane snelheid:

inst. =
vgl. =
S/∆t.

De momentane snelheid van een chemische reactie wordt op dezelfde manier bepaald:

inst. =
vgl. =
/∆t,

waarbij x de hoeveelheid stof is die tijdens een chemische reactie in tijd t wordt gevormd. Vergelijkbare taken om de snelheid van verschillende processen te bepalen, leidden tot de introductie in de wiskunde van het concept van de afgeleide van een functie.

Laat een continue functie f(x) gegeven worden, gedefinieerd op het interval ]a,b[en zijn toename ∆f=f(x+∆x)–f(x).
is een functie van ∆x en drukt de gemiddelde veranderingssnelheid van de functie uit.

verhoudingslimiet , wanneer ∆x→0, op voorwaarde dat deze limiet bestaat, de afgeleide van de functie wordt genoemd :

y" x =

.

De afgeleide wordt aangegeven:
- (y streepje op x); f " (x) - (ef prime op x) ; y" - (y slag); dy / dх – (de y op de x); - (y met een punt).

Op basis van de definitie van de afgeleide kunnen we zeggen dat de momentane snelheid van rechtlijnige beweging de afgeleide is van het pad ten opzichte van de tijd:

inst. \u003d S "t \u003d f " (t).

We kunnen dus concluderen dat de afgeleide van de functie met betrekking tot het argument x de momentane veranderingssnelheid van de functie f(x) is:

y" x \u003d f " (х)= inst.

Dit is de fysieke betekenis van de afgeleide. Het proces van het vinden van de afgeleide wordt differentiatie genoemd, dus de uitdrukking "een functie differentiëren" is gelijk aan de uitdrukking "de afgeleide van een functie vinden".

in)De geometrische betekenis van de afgeleide.

P
de afgeleide van de functie y = f(x) heeft een eenvoudige geometrische betekenis die hoort bij het concept van een raaklijn aan een gebogen lijn op een punt M. Tegelijkertijd is de raaklijn, d.w.z. een rechte lijn wordt analytisch uitgedrukt als y = kx = tg x, waarbij – de hellingshoek van de raaklijn (rechte lijn) aan de X-as Laten we een continue curve voorstellen als een functie y \u003d f (x), een punt M op de curve nemen en een punt M 1 er dichtbij en tekenen een door hen heen snijden. De helling naar sec = tg β = .Als we het punt M 1 dichter bij M brengen, dan zal de toename van het argument ∆x zal neigen naar nul, en de secans op β=α zal de positie van een raaklijn innemen. Uit Fig. 2 volgt: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Maar tgα is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Dus de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt is gelijk aan de waarde van zijn afgeleide op het contactpunt. Dit is de geometrische betekenis van de afgeleide.

G)Algemene regel voor het vinden van de afgeleide.

Op basis van de definitie van de afgeleide kan het proces van het differentiëren van een functie als volgt worden weergegeven:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

zoek de toename van de functie: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

verzin de verhouding tussen de toename van de functie en de toename van het argument:

;

Voorbeeld: f(x)=x2 ; F " (x)=?.

Zoals echter zelfs uit dit eenvoudige voorbeeld blijkt, is het gebruik van deze reeks bij het nemen van derivaten een moeizaam en complex proces. Daarom worden voor verschillende functies algemene differentiatieformules geïntroduceerd, die worden gepresenteerd in de vorm van een tabel met "Basisformules voor differentiërende functies".