Sequentiedefinitie en belangrijkste kenmerken. Hoe sequentielimieten berekenen? Rekenkundige bewerkingen met reeksen

laten zijn X (\displaystyle X) is ofwel de verzameling reële getallen R (\ Displaystyle \ mathbb (R) ), of de verzameling complexe getallen C (\displaystyle \mathbb (C) ). Dan de volgorde ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty)) elementen instellen X (\displaystyle X) genaamd numerieke volgorde.

Voorbeelden

Bewerkingen op sequenties

opvolgers

vervolg sequenties (x n) (\displaystyle (x_(n))) is de volgorde (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), waar (n k) (\ Displaystyle (n_ (k))) is een toenemende reeks elementen van de verzameling natuurlijke getallen.

Met andere woorden, een deelreeks wordt verkregen uit een reeks door een eindig of aftelbaar aantal elementen te verwijderen.

Voorbeelden

• De reeks priemgetallen is een subreeks van de reeks natuurlijke getallen.
• De reeks van natuurlijke getallen die veelvouden zijn van is een subreeks van de reeks van even natuurlijke getallen.

Eigenschappen

Sequentielimietpunt is een punt in elke buurt waarvan er oneindig veel elementen van deze reeks zijn. Voor convergente numerieke reeksen valt het limietpunt samen met de limiet.

Sequentielimiet

Sequentielimiet is het object dat de leden van de reeks naderen naarmate het aantal toeneemt. Dus in een willekeurige topologische ruimte is de limiet van een reeks een element in elke buurt waarvan alle leden van de reeks liggen, beginnend bij iemand. In het bijzonder voor numerieke reeksen is de limiet een getal in elke buurt waarvan alle leden van de reeks liggen, beginnend bij iemand.

Fundamentele reeksen

Fundamentele volgorde (zelf-convergente reeks , Cauchy-reeks ) is een reeks elementen van een metrische ruimte , waarin, voor elke vooraf bepaalde afstand, een dergelijk element is, waarvan de afstand tot een van de volgende elementen niet groter is dan de gegeven. Voor numerieke rijen zijn de concepten van fundamentele en convergente rijen equivalent, maar in het algemeen is dit niet het geval.

vervolg

vervolg- deze kit elementen van een set:

• voor elk natuurlijk getal kun je een element van deze set specificeren;
• dit nummer is het elementnummer en geeft de positie van dit element in de reeks aan;
• voor elk element (lid) van de reeks, kunt u het element van de reeks die erop volgt specificeren.

Dus de volgorde is het resultaat consistent selectie van elementen van een bepaalde set. En als een verzameling elementen eindig is, en men spreekt van een monster met een eindig volume, dan blijkt de reeks een monster van een oneindig volume te zijn.

Een reeks is van nature een afbeelding, dus het moet niet worden verward met een verzameling die een reeks "doorloopt".

In de wiskunde worden veel verschillende reeksen beschouwd:

• tijdreeksen van zowel numerieke als niet-numerieke aard;
• reeksen van elementen van een metrische ruimte
• reeksen functieruimte-elementen
• opeenvolgingen van toestanden van besturingssystemen en automaten.

Het doel van het bestuderen van alle mogelijke reeksen is om naar patronen te zoeken, toekomstige toestanden te voorspellen en reeksen te genereren.

Definitie

Laat een aantal elementen van willekeurige aard worden gegeven. | Elke afbeelding van de verzameling natuurlijke getallen in een bepaalde verzameling heet reeks(elementen van de set).

Het beeld van een natuurlijk getal, namelijk het element, wordt genoemd - e lid of sequentie-element, en het volgnummer van het sequentielid is de index.

Verwante definities

• Als we een toenemende reeks natuurlijke getallen nemen, dan kan het worden beschouwd als een reeks indices van een bepaalde reeks: als we de elementen van de oorspronkelijke reeks met de bijbehorende indices nemen (afkomstig van de toenemende reeks natuurlijke getallen), dan kunnen we kan opnieuw een reeks krijgen genaamd vervolg volgorde gegeven.

Opmerkingen

• In wiskundige analyse is een belangrijk concept de limiet van een numerieke reeks.

notatie

Opeenvolgingen van het formulier

Het is gebruikelijk om compact te schrijven met haakjes:

accolades worden soms gebruikt:

Met enige vrijheid van meningsuiting kunnen we ook rekening houden met eindige reeksen van de vorm

die het beeld vertegenwoordigen van het eerste segment van de reeks natuurlijke getallen.

zie ook

Wikimedia Stichting. 2010 .

Kijk wat "Volgorde" is in andere woordenboeken:

VOLGORDE. IV Kireevsky in het artikel "The Nineteenth Century" (1830) luidt: "Vanaf de val van het Romeinse Rijk tot aan onze tijd verschijnt de verlichting van Europa ons in een geleidelijke ontwikkeling en in continue opeenvolging" (vol. 1, p. ... ... ... De geschiedenis van woorden

SEQUENTIE, sequenties, pl. nee, vrouw (boek). afleiding zelfstandig naamwoord naar serieel. Een opeenvolging van gebeurtenissen. Volgorde in de verandering van eb en vloed. Consistentie in redenering. Verklarend woordenboek van Oesjakov. ... ... Verklarend woordenboek van Ushakov

Constantheid, continuïteit, consistentie; rij, voortgang, conclusie, reeks, reeks, opeenvolging, ketting, ketting, cascade, estafetteloop; doorzettingsvermogen, geldigheid, rekrutering, methodischheid, ordening, harmonie, doorzettingsvermogen, vervolg, verbinding, wachtrij, ... ... Synoniem woordenboek

SEQUENTIE, nummers of elementen die op een georganiseerde manier zijn gerangschikt. Reeksen kunnen eindig zijn (met een beperkt aantal elementen) of oneindig, zoals de volledige reeks natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4 ....… ... Wetenschappelijk en technisch encyclopedisch woordenboek

SEQUENTIE, een reeks getallen (wiskundige uitdrukkingen, enz.; ze zeggen: elementen van welke aard dan ook), opgesomd door natuurlijke getallen. De reeks wordt geschreven als x1, x2,..., xn,... of kortweg (xi) … Moderne Encyclopedie

Een van de basisbegrippen van de wiskunde. De reeks wordt gevormd door elementen van welke aard dan ook, genummerd door natuurlijke getallen 1, 2, ..., n, ..., en wordt geschreven als x1, x2, ..., xn, ... of kortweg (xn) ... Groot encyclopedisch woordenboek

vervolg- SEQUENTIE, een reeks getallen (wiskundige uitdrukkingen, enz.; ze zeggen: elementen van welke aard dan ook), opgesomd door natuurlijke getallen. De reeks wordt geschreven als x1, x2, ..., xn, ... of kortweg (xi). … Geïllustreerd encyclopedisch woordenboek

SEQUENTIE, en, fem. 1. zie serienummer. 2. In de wiskunde: een oneindig geordende reeks getallen. Verklarend woordenboek van Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Sjvedova. 1949 1992 ... Verklarend woordenboek van Ozhegov

Engels opeenvolging/volgorde; Duits Konsequenz. 1. De volgorde van achter elkaar volgen. 2. Een van de basisconcepten van de wiskunde. 3. De kwaliteit van correct logisch denken, bovendien is redeneren vrij van interne tegenstrijdigheden in één en hetzelfde ... ... Encyclopedie van de sociologie

vervolg- "een functie gedefinieerd op de verzameling natuurlijke getallen, waarvan de verzameling waarden kan bestaan ​​uit elementen van welke aard dan ook: getallen, punten, functies, vectoren, verzamelingen, willekeurige variabelen, enz., genummerd door natuurlijke getallen .. . Economisch en wiskundig woordenboek

Boeken

• We bouwen een reeks. Katjes. 2-3 jaar, . Spel "Katjes". We bouwen een reeks. 1 niveau. Serie "Voorschoolse Educatie". Grappige kittens besloten om te zonnebaden op het strand! Maar ze kunnen geen plaatsen delen. Help ze erachter te komen!…

College 8. Numerieke reeksen.

Definitie8.1. Als elke waarde volgens een bepaalde wet is gekoppeld aan een bepaald reëel getalx N , dan de reeks genummerde reële getallen

– verkorte notatie
, (8.1)

we zullen bellennumerieke volgorde of gewoon een reeks.

Aparte nummers x N  elementen of leden van een reeks (8.1).

De volgorde kan worden gespecificeerd door een algemene termformule, zoals:
of
. De reeks kan dubbelzinnig worden gespecificeerd, bijvoorbeeld de reeks -1, 1, -1, 1, ... kan worden gespecificeerd door de formule
of
. Soms wordt een terugkerende manier gebruikt om een ​​reeks te specificeren: de eerste paar leden van de reeks en een formule voor het berekenen van de volgende elementen worden gegeven. Bijvoorbeeld de reeks gedefinieerd door het eerste element en de herhalingsrelatie
(rekenkundige progressie). Beschouw een reeks genaamd in de buurt van Fibonacci: stel de eerste twee elementen in x 1 =1, x 2 =1 en de herhalingsrelatie
voor enige
. We krijgen een reeks getallen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Voor zo'n reeks is het nogal moeilijk om een ​​formule voor een gemeenschappelijke term te vinden.

8.1. Rekenkundige bewerkingen met reeksen.

Overweeg twee reeksen:

(8.1)

Definitie 8.2. Laten we bellenhet product van de reeks
per nummer mvervolg
. Laten we het zo schrijven:
.

Laten we de reeks noemen som van reeksen (8.1) en (8.2), schrijven we als volgt: ; insgelijks
laten we bellen volgorde verschil (8.1) en (8.2);
 product van reeksen (8.1) en (8.2);  privé sequenties (8.1) en (8.2) (alle elementen
).

8.2. Begrensde en onbegrensde reeksen.

De verzameling van alle elementen van een willekeurige reeks
vormt een bepaalde numerieke verzameling, die van bovenaf (van onderaf) kan worden begrensd en waarvoor soortgelijke definities gelden als die voor reële getallen zijn ingevoerd.

Definitie 8.3. vervolg
genaamdvan bovenaf begrensd , als ; m  bovenrand.

Definitie 8.4. vervolg
genaamdvan beneden begrensd , als ;m  onderrand.

Definitie 8.5.vervolg
genaamdbeperkt , als het zowel boven als onder begrensd is, dat wil zeggen, als er twee reële getallen M en zijnm zodat elk element van de reeks
voldoet aan de ongelijkheden:

, (8.3)

mEnm- boven- en onderranden
.

Ongelijkheden (8.3) heten volgorde begrensdheid voorwaarde
.

Bijvoorbeeld, de reeks
beperkt en
onbeperkt.

♦ Verklaring 8.1.
is gelimiteerd .

Bewijs. Laten we kiezen
. Volgens definitie 8.5 is de reeks
beperkt zal zijn. ■

Definitie 8.6. vervolg
genaamdonbeperkt , als er voor een positief (willekeurig groot) reëel getal A ten minste één element van de rij isx N , voldoen aan de ongelijkheid:
.

Bijvoorbeeld de reeks 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 N, … onbeperkt, omdat alleen van onderaf beperkt.

8.3. Oneindig grote en oneindig kleine reeksen.

Definitie 8.7. vervolg
genaamdoneindig groot , als er voor een (willekeurig groot) reëel getal A een getal is
zodat voor iedereen
elementenx N
.

☼ Opmerking 8.1. Als een rij oneindig groot is, is hij onbegrensd. Maar men moet niet denken dat een onbegrensde rij oneindig groot is. Bijvoorbeeld, de reeks
is niet beperkt, maar is niet oneindig groot, omdat voorwaarde
is niet voor iedereen tevreden zelfs N. ☼

 Voorbeeld 8.1.
oneindig groot is. Neem een ​​willekeurig nummer MAAR>0. van ongelijkheid
we krijgen N>EEN. Als je pakt
, dan voor iedereen N>N ongelijkheid blijft bestaan
, dat wil zeggen, volgens definitie 8.7, de reeks
oneindig groot. 

Definitie 8.8. vervolg
genaamdoneindig klein , als voor
(hoe klein ook) ) er is een nummer
zodat voor iedereen
elementen deze reeks voldoet aan de ongelijkheid
.

 Voorbeeld 8.2. Laten we bewijzen dat de reeks oneindig klein.

Neem een ​​willekeurig nummer
. van ongelijkheid
we krijgen . Als je pakt
, dan voor iedereen N>N ongelijkheid blijft bestaan
. 

♦ Verklaring 8.2. vervolg
is oneindig groot bij
en oneindig klein bij
.

Bewijs.

1) Laten we eerst
:
, waar
. Volgens de Bernoulli-formule (voorbeeld 6.3, paragraaf 6.1.)
. We stellen een willekeurig positief getal vast MAAR en kies een nummer N zodat de ongelijkheid waar is:

,
,
,
.

Omdat
, dan door de eigenschap van het product van reële getallen voor alle

.

Dus voor
er is een nummer
, dat voor iedereen


- oneindig groot
.

2) Beschouw het geval
,
(Bij Q=0 we hebben een triviaal geval).

laten zijn
, waar
, volgens de Bernoulli-formule
of
.

repareren
,
en kies
zoals dat

,
,
.

Voor

. Geef dit nummer op N, dat voor iedereen

, dat is wanneer
vervolg
oneindig klein. ■

8.4. Basiseigenschappen van oneindig kleine reeksen.

♦ Stelling 8.1.Som

En

Bewijs. repareren ;
- oneindig klein

,

- oneindig klein

. Laten we kiezen
. dan bij

,
,
. ■

♦ Stelling 8.2. Verschil
twee oneindig kleine reeksen
En
is een oneindig kleine reeks.

Voor bewijs stelling, volstaat het om de ongelijkheid te gebruiken. ■

Gevolg.De algebraïsche som van een eindig aantal oneindig kleine rijen is een oneindig kleine rij.

♦ Stelling 8.3.Het product van een begrensde rij en een oneindig kleine rij is een oneindig kleine rij.

Bewijs.
- beperkt
is een oneindig kleine reeks. repareren ;
,
;
: Bij
kermis
. Dan
. ■

♦ Stelling 8.4.Elke oneindig kleine reeks is begrensd.

Bewijs. repareren Laat een aantal. Dan
voor alle kamers N, wat betekent dat de rij begrensd is. ■

Gevolg. Het product van twee (en elk eindig getal) oneindig kleine reeksen is een oneindig kleine reeks.

♦ Stelling 8.5.

Als alle elementen van een oneindig kleine reeks
gelijk zijn aan hetzelfde getalC, dan c= 0.

Bewijs stelling wordt uitgevoerd door tegenspraak, als we aanduiden
. ■

♦ Stelling 8.6. 1) Als
is een oneindig grote rij, dan beginnend met een getalN, het quotiënt is gedefinieerd twee reeksen
En
, wat een oneindig kleine reeks is.

2) Als alle elementen van een oneindig kleine reeks
verschillend zijn van nul, dan is het quotiënt twee reeksen
En
is een oneindige reeks.

Bewijs.

1) Laten we
is een oneindig grote reeks. repareren ;
of
Bij
. Dus, per definitie 8.8, de reeks - oneindig klein.

2) Laten we
is een oneindig kleine reeks. Laten we aannemen dat alle elementen
zijn verschillend van nul. repareren MAAR;
of
Bij
. Per definitie 8.7 de reeks oneindig groot. ■

Wiskunde is de wetenschap die de wereld bouwt. Zowel de wetenschapper als de gewone man - niemand kan zonder. Eerst leren jonge kinderen tellen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, door de middelbare school komen letteraanduidingen in het spel, en bij de oudere kunnen ze niet langer ontbreken.

Maar vandaag zullen we het hebben over waar alle bekende wiskunde op is gebaseerd. Over de gemeenschap van nummers die "reekslimieten" worden genoemd.

Wat zijn reeksen en waar is hun limiet?

De betekenis van het woord "volgorde" is niet moeilijk te interpreteren. Dit is zo'n constructie van dingen, waarbij iets of iemand zich in een bepaalde volgorde of wachtrij bevindt. De wachtrij voor kaartjes voor de dierentuin is bijvoorbeeld een reeks. En dat kan er maar één zijn! Als je bijvoorbeeld naar de wachtrij naar de winkel kijkt, is dit één reeks. En als één persoon plotseling deze wachtrij verlaat, dan is dit een andere wachtrij, een andere volgorde.

Het woord "limiet" is ook gemakkelijk te interpreteren - dit is het einde van iets. In de wiskunde zijn de limieten van reeksen echter die waarden op de getallenlijn waar een reeks getallen naar neigt. Waarom streeft en eindigt niet? Het is eenvoudig, de getallenlijn heeft geen einde en de meeste reeksen, zoals stralen, hebben slechts een begin en zien er als volgt uit:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Vandaar dat de definitie van een rij een functie is van het natuurlijke argument. In eenvoudiger woorden, het is een reeks leden van een set.

Hoe wordt een getallenreeks opgebouwd?

Het eenvoudigste voorbeeld van een getallenreeks kan er als volgt uitzien: 1, 2, 3, 4, …n…

In de meeste gevallen, voor praktische doeleinden, worden reeksen opgebouwd uit getallen, en elk volgend lid van de reeks, laten we het aanduiden met X, heeft zijn eigen naam. Bijvoorbeeld:

x 1 - het eerste lid van de reeks;

x 2 - het tweede lid van de reeks;

x 3 - het derde lid;

x n is het nde lid.

In praktische methoden wordt de volgorde gegeven door een algemene formule waarin er een variabele is. Bijvoorbeeld:

X n \u003d 3n, dan ziet de reeks getallen er zelf als volgt uit:

Het is de moeite waard eraan te denken dat u in de algemene notatie van reeksen alle Latijnse letters kunt gebruiken, en niet alleen X. Bijvoorbeeld: y, z, k, enz.

Rekenkundige progressie als onderdeel van reeksen

Alvorens op zoek te gaan naar de grenzen van reeksen, is het raadzaam om dieper in te gaan op het concept van zo'n nummerreeks, die iedereen tegenkwam toen ze in de middenklasse zaten. Een rekenkundige reeks is een reeks getallen waarin het verschil tussen aangrenzende termen constant is.

Taak: "Laat een 1 \u003d 15, en de stap van de progressie van de nummerreeks d \u003d 4. Bouw de eerste 4 leden van deze rij"

Oplossing: een 1 = 15 (volgens voorwaarde) is het eerste lid van de progressie (nummerreeks).

en 2 = 15+4=19 is het tweede lid van de progressie.

en 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 is de derde term.

en 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 is de vierde term.

Met deze methode is het echter moeilijk om grote waarden te bereiken, bijvoorbeeld tot 125. . Speciaal voor dergelijke gevallen is een formule afgeleid die handig is voor de praktijk: a n \u003d a 1 + d (n-1). In dit geval een 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Reekstypes

De meeste sequenties zijn eindeloos, het is de moeite waard om ze een leven lang te onthouden. Er zijn twee interessante soorten getallenreeksen. De eerste wordt gegeven door de formule a n =(-1) n . Wiskundigen verwijzen vaak naar deze flasher-reeksen. Waarom? Laten we de cijfers controleren.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, etc. Met dit voorbeeld wordt het duidelijk dat getallen in reeksen gemakkelijk kunnen worden herhaald.

factoriële volgorde. Het is gemakkelijk te raden dat er een faculteit is in de formule die de reeks definieert. Bijvoorbeeld: en n = (n+1)!

De volgorde ziet er dan als volgt uit:

en 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

en 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, enz.

Een rij gegeven door een rekenkundige reeks wordt oneindig afnemend genoemd als de ongelijkheid -1 wordt waargenomen voor al zijn leden

en 3 \u003d - 1/8, enz.

Er is zelfs een reeks die uit hetzelfde nummer bestaat. Dus, en n \u003d 6 bestaat uit een oneindig aantal zessen.

De limiet van een reeks bepalen

Reekslimieten bestaan ​​al lang in de wiskunde. Natuurlijk verdienen ze hun eigen competente ontwerp. Tijd dus om de definitie van reekslimieten te leren. Overweeg eerst de limiet voor een lineaire functie in detail:

1. Alle limieten worden afgekort als lim.
2. De limietinvoer bestaat uit de afkorting lim, een variabele die neigt naar een bepaald getal, nul of oneindig, evenals de functie zelf.

Het is gemakkelijk te begrijpen dat de definitie van de limiet van een rij als volgt kan worden geformuleerd: het is een bepaald getal, waartoe alle leden van de rij oneindig naderen. Eenvoudig voorbeeld: en x = 4x+1. De reeks zelf ziet er dan als volgt uit.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Deze reeks zal dus oneindig toenemen, wat betekent dat de limiet gelijk is aan oneindig als x→∞, en dit moet als volgt worden geschreven:

Als we een vergelijkbare reeks nemen, maar x neigt naar 1, krijgen we:

En de reeks getallen zal als volgt zijn: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, enz. Elke keer moet je het getal steeds dichter bij één (0,1, 0,2, 0,9, 0,986) vervangen. Uit deze reeks blijkt dat de limiet van de functie vijf is.

Uit dit deel is het de moeite waard om te onthouden wat de limiet van een numerieke reeks is, de definitie en methode voor het oplossen van eenvoudige taken.

Algemene notatie voor de limiet van reeksen

Nadat we de limiet van de numerieke reeks, de definitie en voorbeelden ervan hebben geanalyseerd, kunnen we overgaan tot een complexer onderwerp. Absoluut alle limieten van sequenties kunnen worden geformuleerd door één formule, die meestal in het eerste semester wordt geanalyseerd.

Dus, wat betekent deze reeks letters, modules en ongelijkheidstekens?

∀ is een universele kwantor en vervangt de uitdrukkingen "voor iedereen", "voor alles", enz.

∃ is een bestaanskwantificator, in dit geval betekent het dat er een waarde N is die behoort tot de verzameling natuurlijke getallen.

Een lange verticale stok die N volgt, betekent dat de gegeven verzameling N "zodanig is dat". In de praktijk kan het betekenen "zodat", "zodat", enz.

Lees de formule hardop voor om het materiaal te consolideren.

Onzekerheid en zekerheid van de limiet

De hierboven besproken methode om de limiet van sequenties te vinden, is weliswaar eenvoudig te gebruiken, maar in de praktijk niet zo rationeel. Probeer de limiet voor deze functie te vinden:

Als we verschillende x-waarden vervangen (elke keer oplopend: 10, 100, 1000, etc.), dan krijgen we ∞ in de teller, maar ook ∞ in de noemer. Het blijkt een nogal vreemde fractie:

Maar is het echt zo? Het berekenen van de limiet van de numerieke reeks lijkt in dit geval eenvoudig genoeg. Het zou mogelijk zijn om alles te laten zoals het is, omdat het antwoord klaar is en het tegen redelijke voorwaarden is ontvangen, maar er is een andere manier speciaal voor dergelijke gevallen.

Laten we eerst de hoogste graad in de teller van de breuk zoeken - dit is 1, aangezien x kan worden weergegeven als x 1.

Laten we nu de hoogste graad in de noemer zoeken. Ook 1.

Deel zowel de teller als de noemer door de variabele in de hoogste graad. In dit geval delen we de breuk door x 1.

Laten we vervolgens kijken naar welke waarde elke term met de variabele neigt. In dit geval worden breuken beschouwd. Als x→∞ neigt de waarde van elk van de breuken naar nul. Bij het schrijven van een paper is het de moeite waard om de volgende voetnoten te maken:

De volgende uitdrukking wordt verkregen:

Natuurlijk werden de breuken met x geen nullen! Maar hun waarde is zo klein dat het heel toelaatbaar is om er geen rekening mee te houden in de berekeningen. In feite zal x in dit geval nooit gelijk zijn aan 0, omdat je niet door nul kunt delen.

Wat is een buurt?

Laten we aannemen dat de professor een complexe reeks tot zijn beschikking heeft, uiteraard gegeven door een niet minder complexe formule. De professor vond het antwoord, maar past het? Alle mensen maken tenslotte fouten.

Auguste Cauchy bedacht een geweldige manier om de grenzen van sequenties te bewijzen. Zijn methode heette buurtoperatie.

Stel dat er een punt a is, dan is de buurt ervan in beide richtingen op de reële lijn gelijk aan ε ("epsilon"). Aangezien de laatste variabele afstand is, is de waarde ervan altijd positief.

Laten we nu een rij x n instellen en aannemen dat het tiende lid van de rij (x 10) in de buurt van a ligt. Hoe schrijf je dit feit in wiskundige taal?

Stel dat x 10 rechts van punt a ligt, dan is de afstand x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Nu is het tijd om bovenstaande formule in de praktijk uit te leggen. Het is redelijk om een ​​getal a het eindpunt van een rij te noemen als de ongelijkheid ε>0 geldt voor een van zijn limieten, en de hele buurt zijn eigen natuurlijk getal N heeft, zodat alle leden van de rij met hogere getallen binnen de reeks |xn - a|< ε.

Met dergelijke kennis is het gemakkelijk om de limieten van een reeks op te lossen, een kant-en-klaar antwoord te bewijzen of te weerleggen.

stellingen

Stellingen over de limieten van reeksen zijn een belangrijk onderdeel van de theorie, zonder welke de praktijk onmogelijk is. Er zijn slechts vier hoofdstellingen, waarvan u onthoudt welke u het proces van oplossen of bewijzen aanzienlijk kunt vergemakkelijken:

1. Uniciteit van de limiet van een reeks. Elke reeks kan slechts één limiet hebben of helemaal niet. Hetzelfde voorbeeld met een wachtrij die maar één uiteinde kan hebben.
2. Als een reeks getallen een limiet heeft, is de volgorde van deze getallen beperkt.
3. De limiet van de som (verschil, product) van reeksen is gelijk aan de som (verschil, product) van hun limieten.
4. De quotiëntlimiet van twee rijen is gelijk aan het quotiënt van de limieten als en slechts als de noemer niet verdwijnt.

Volgorde bewijs

Soms is het nodig om een ​​invers probleem op te lossen, om een ​​gegeven limiet van een numerieke reeks te bewijzen. Laten we een voorbeeld bekijken.

Bewijs dat de limiet van de rij gegeven door de formule gelijk is aan nul.

Volgens de bovenstaande regel geldt voor elke rij de ongelijkheid |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Laten we n uitdrukken in termen van "epsilon" om het bestaan ​​van een bepaald getal aan te tonen en het bestaan ​​van een reekslimiet te bewijzen.

In dit stadium is het belangrijk om te onthouden dat "epsilon" en "en" positieve getallen zijn en niet gelijk aan nul. Nu kun je doorgaan met verdere transformaties met behulp van de kennis over ongelijkheden die je op de middelbare school hebt opgedaan.

Waaruit blijkt dat n > -3 + 1/ε. Aangezien het de moeite waard is om te onthouden dat we het over natuurlijke getallen hebben, kan het resultaat worden afgerond door het tussen vierkante haken te plaatsen. Er werd dus bewezen dat voor elke waarde van de "epsilon"-nabijheid van het punt a = 0, een waarde werd gevonden zodat aan de initiële ongelijkheid wordt voldaan. Hieruit kunnen we veilig stellen dat het getal a de limiet is van de gegeven rij. QED

Met zo'n handige methode kun je de limiet van een numerieke reeks bewijzen, hoe ingewikkeld deze op het eerste gezicht ook lijkt. Het belangrijkste is om niet in paniek te raken bij het zien van de taak.

Of bestaat hij misschien niet?

Het bestaan ​​van een volgordelimiet is in de praktijk niet nodig. Het is gemakkelijk om zulke reeksen getallen te vinden die echt geen einde hebben. Bijvoorbeeld, dezelfde flitser x n = (-1) n . het is duidelijk dat een reeks die uit slechts twee cyclisch herhalende cijfers bestaat, geen limiet kan hebben.

Hetzelfde verhaal wordt herhaald met reeksen die bestaan ​​uit een enkel getal, fractioneel, met tijdens berekeningen een onzekerheid van elke orde (0/0, ∞/∞, ∞/0, enz.). Houd er echter rekening mee dat er ook een onjuiste berekening plaatsvindt. Soms kan het opnieuw controleren van uw eigen oplossing u helpen de limiet van opvolgingen te vinden.

monotone reeks

Hierboven hebben we verschillende voorbeelden van reeksen overwogen, methoden om ze op te lossen, en laten we nu proberen een meer specifiek geval te nemen en het een "monotone reeks" te noemen.

Definitie: het is redelijk om elke rij monotoon toenemend te noemen als deze voldoet aan de strikte ongelijkheid x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn +1.

Naast deze twee voorwaarden zijn er ook gelijkaardige niet-strikte ongelijkheden. Dienovereenkomstig, x n ≤ x n +1 (niet-afnemende reeks) en x n ≥ x n +1 (niet-stijgende reeks).

Maar het is gemakkelijker om dit te begrijpen met voorbeelden.

De reeks gegeven door de formule x n \u003d 2 + n vormt de volgende reeks getallen: 4, 5, 6, enz. Dit is een monotoon toenemende reeks.

En als we x n \u003d 1 / n nemen, dan krijgen we een reeks: 1/3, ¼, 1/5, etc. Dit is een monotoon afnemende reeks.

Limiet van convergente en begrensde rij

Een begrensde rij is een rij met een limiet. Een convergente reeks is een reeks getallen met een oneindig kleine limiet.

De limiet van een begrensde reeks is dus elk reëel of complex getal. Onthoud dat er maar één limiet kan zijn.

De limiet van een convergente rij is een oneindig kleine hoeveelheid (reëel of complex). Als je een reeksdiagram tekent, dan zal het op een gegeven moment als het ware convergeren, de neiging hebben om in een bepaalde waarde te veranderen. Vandaar de naam - convergente rij.

Monotone reekslimiet

Een dergelijke reeks kan al dan niet een limiet hebben. Ten eerste is het handig om te begrijpen wanneer dit het geval is, vanaf hier kunt u beginnen met het bewijzen van het ontbreken van een limiet.

Onder monotone reeksen worden convergent en divergent onderscheiden. Convergent - dit is een reeks die wordt gevormd door de verzameling x en heeft een reële of complexe limiet in deze verzameling. Uiteenlopend - een reeks die geen limiet heeft in zijn set (noch echt, noch complex).

Bovendien convergeert de rij als zijn boven- en ondergrenzen samenkomen in een geometrische voorstelling.

De limiet van een convergente rij kan in veel gevallen gelijk zijn aan nul, aangezien elke oneindig kleine rij een bekende limiet (nul) heeft.

Welke convergente rij je ook neemt, ze zijn allemaal begrensd, maar lang niet alle begrensde rijen convergeren.

De som, het verschil, het product van twee convergente rijen is ook een convergente rij. Het quotiënt kan echter ook convergeren als het is gedefinieerd!

Verschillende acties met limieten

Reekslimieten zijn (in de meeste gevallen) net zo belangrijk als getallen en getallen: 1, 2, 15, 24, 362, enz. Het blijkt dat sommige bewerkingen met limieten kunnen worden uitgevoerd.

Ten eerste kunnen, net als cijfers en getallen, de limieten van elke reeks worden opgeteld en afgetrokken. Op basis van de derde stelling over de limieten van rijen is de volgende gelijkheid waar: de limiet van de som van rijen is gelijk aan de som van hun limieten.

Ten tweede is op basis van de vierde stelling over de limieten van rijen de volgende gelijkheid waar: de limiet van het product van het n-de aantal rijen is gelijk aan het product van hun limieten. Hetzelfde geldt voor deling: de limiet van het quotiënt van twee rijen is gelijk aan het quotiënt van hun limieten, op voorwaarde dat de limiet niet gelijk is aan nul. Immers, als de limiet van reeksen gelijk is aan nul, zal deling door nul blijken, wat onmogelijk is.

Sequentiewaarde-eigenschappen

Het lijkt erop dat de limiet van de numerieke reeks al in enig detail is geanalyseerd, maar uitdrukkingen als "oneindig kleine" en "oneindig grote" getallen worden meer dan eens genoemd. Het is duidelijk dat als er een rij 1/x is, waarbij x→∞, zo'n breuk oneindig klein is, en als dezelfde rij, maar de limiet neigt naar nul (x→0), dan wordt de breuk een oneindig grote waarde . En dergelijke waarden hebben hun eigen kenmerken. De eigenschappen van de limiet van een reeks met willekeurige kleine of grote waarden zijn als volgt:

1. De som van een willekeurig aantal willekeurig kleine hoeveelheden zal ook een kleine hoeveelheid zijn.
2. De som van een willekeurig aantal grote waarden is een oneindig grote waarde.
3. Het product van willekeurig kleine hoeveelheden is oneindig klein.
4. Het product van willekeurig grote getallen is een oneindig grote hoeveelheid.
5. Als de oorspronkelijke reeks neigt naar een oneindig aantal, dan zal de reciproke oneindig klein zijn en neigen naar nul.

In feite is het berekenen van de limiet van een reeks niet zo'n moeilijke taak als je een eenvoudig algoritme kent. Maar de grenzen van sequenties zijn een onderwerp dat maximale aandacht en doorzettingsvermogen vereist. Natuurlijk is het voldoende om eenvoudig de essentie van de oplossing van dergelijke uitdrukkingen te begrijpen. Door klein te beginnen, kun je na verloop van tijd grote hoogten bereiken.

Als een functie is gedefinieerd op de verzameling natuurlijke getallen N, dan wordt zo'n functie een oneindige getallenreeks genoemd. Gewoonlijk wordt een numerieke reeks aangeduid als (Xn), waarbij n behoort tot de verzameling natuurlijke getallen N.

De numerieke volgorde kan worden gegeven door een formule. Bijvoorbeeld Xn=1/(2*n). We kennen dus aan elk natuurlijk getal n een bepaald element van de rij (Xn) toe.

Als we nu achtereenvolgens n gelijk aan 1,2,3, …. nemen, krijgen we de rij (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Reekstypes

De volgorde kan beperkt of onbeperkt zijn, toenemend of afnemend.

De reeks (Xn) roept beperkt als er twee getallen m en M zijn zodat voor elke n die tot de verzameling natuurlijke getallen behoort, de gelijkheid m<=Xn

Volgorde (Xn), niet gelimiteerd, wordt een onbegrensde rij genoemd.

toenemend als voor alle positieve gehele getallen n de volgende gelijkheid geldt: X(n+1) > Xn. Met andere woorden, elk lid van de reeks, te beginnen met het tweede, moet groter zijn dan het vorige lid.

De rij (Xn) heet afnemend, als voor alle positieve gehele getallen n de volgende gelijkheid geldt X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Sequentie voorbeeld

Laten we eens kijken of de rijen 1/n en (n-1)/n afnemend zijn.

Als de rij afnemend is, dan is X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Dus de rij (n-1)/n is toenemend.