Cr 4 toepassen van de eigenschappen van de vierkantswortel. Rekenkundige vierkantswortel (graad 8)
In dit artikel behandelen we de belangrijkste root eigenschappen... Laten we beginnen met de eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel, hun formuleringen geven en bewijzen geven. Daarna zullen we de eigenschappen van de n-de wortel van de rekenkunde behandelen.
Paginanavigatie.
Eigenschappen van vierkantswortel
Op dit punt zullen we de volgende hoofdlijnen behandelen: eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel:
In elk van de geschreven gelijkheden kunnen de linker- en rechterkant worden verwisseld, de gelijkheid kan bijvoorbeeld worden herschreven als 
... In deze "inverse" vorm worden de eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel toegepast wanneer vereenvoudiging van uitdrukkingen zo vaak als in de "directe" vorm.
Het bewijs van de eerste twee eigenschappen is gebaseerd op de definitie van de rekenkundige vierkantswortel en op. En om de laatste eigenschap van de rekenkundige vierkantswortel te onderbouwen zal men moeten onthouden.
Dus laten we beginnen met bewijs van de eigenschap van de rekenkundige vierkantswortel van het product van twee niet-negatieve getallen:. Hiervoor is het volgens de definitie van de rekenkundige vierkantswortel voldoende om aan te tonen dat dit een niet-negatief getal is waarvan het kwadraat gelijk is aan a · b. Laten we het doen. De waarde van een uitdrukking is niet-negatief als het product van niet-negatieve getallen. Met de eigenschap van de graad van het product van twee getallen kun je de gelijkheid schrijven 
, en aangezien door de definitie van de rekenkundige vierkantswortel en, dan.
Evenzo is bewezen dat de rekenkundige vierkantswortel van het product van k niet-negatieve factoren a 1, a 2, ..., a k gelijk is aan het product van de rekenkundige vierkantswortels van deze factoren. Werkelijk, . Deze gelijkheid houdt dat in.
Hier zijn enkele voorbeelden: en.
Laten we nu bewijzen eigenschap van de rekenkundige vierkantswortel van het quotiënt:. De quotiënteigenschap in natuurlijke graad stelt ons in staat om de gelijkheid te schrijven 
, een 
, en er is een niet-negatief getal. Dit is het bewijs.
Bijvoorbeeld, en 
.
Het is tijd om uit elkaar te gaan eigenschap van de rekenkundige vierkantswortel van het kwadraat van een getal, in de vorm van gelijkheid, wordt het geschreven als. Om het te bewijzen, overweeg twee gevallen: voor a≥0 en voor a<0 .
Het is duidelijk dat gelijkheid geldt voor a≥0. Het is ook gemakkelijk om te zien dat voor een<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 en (−a) 2 = een 2. Op deze manier, 
, zoals vereist om te bewijzen.
Hier zijn enkele voorbeelden: 
en 
.
De eigenschap van de zojuist bewezen vierkantswortel stelt ons in staat om het volgende resultaat te staven, waarbij a een willekeurig reëel getal is en m elke. Inderdaad, de eigenschap van het verheffen van een macht tot een macht stelt ons in staat om de macht a 2 m te vervangen door de uitdrukking (a m) 2, dan 
.
Bijvoorbeeld, 
en 
.
Eigenschappen van de n-de wortel
Laten we eerst de belangrijkste opsommen eigenschappen van n-de wortels:
Alle geschreven gelijkheden blijven geldig als de linker- en rechterkant daarin worden verwisseld. In deze vorm worden ze ook vaak gebruikt, vooral bij het vereenvoudigen en transformeren van uitdrukkingen.
Het bewijs van alle stemhebbende eigenschappen van de wortel is gebaseerd op de definitie van de rekenkundige wortel van de n-de graad, op de eigenschappen van de graad en op de definitie van de modulus van het getal. Laten we ze bewijzen in volgorde van prioriteit.
Laten we beginnen met bewijs eigenschappen van de n-de wortel van het product ... Voor niet-negatieve a en b is de waarde van de uitdrukking ook niet-negatief, zoals het product van niet-negatieve getallen. De eigenschap van het product in natuurlijke mate stelt ons in staat om de gelijkheid te schrijven 
... Door de definitie van een rekenkundige wortel van de n-de graad en daarom 
... Dit bewijst de eigenschap van de wortel in kwestie.
Deze eigenschap wordt op dezelfde manier bewezen voor het product van k factoren: voor niet-negatieve getallen a 1, a 2, ..., a n, 
en .
Hier zijn voorbeelden van het gebruik van de eigenschap van de n-de wortel van het product: 
en .
Laten we bewijzen eigenschap van de wortel van het quotiënt... Voor a≥0 en b> 0 is aan de voorwaarde voldaan, en 
.
Laten we voorbeelden tonen: 
en 
.
Verder gaan. Laten we bewijzen eigenschap van de n-de wortel van een getal tot de n-de macht... Dat wil zeggen, we zullen bewijzen dat 
voor elke echte a en natuurlijke m. Voor a≥0 hebben we en, wat de gelijkheid bewijst, en de gelijkheid klaarblijkelijk. Voor een<0
имеем и 
(de laatste passage is geldig vanwege de eigenschap van de graad met een even exponent), die de gelijkheid bewijst, en is waar vanwege het feit dat we, toen we het hadden over de wortel van een oneven graad, 
voor elk niet-negatief getal c.
Hier zijn voorbeelden van het gebruik van de geparseerde root-eigenschap: and 
.
We gaan naar het bewijs van de eigenschap van een wortel van een wortel. We zullen de plaatsen van de rechter- en linkerkant verwisselen, dat wil zeggen, we zullen de geldigheid van de gelijkheid bewijzen, wat de geldigheid van de oorspronkelijke gelijkheid zal betekenen. Voor een niet-negatief getal a is de wortel van een wortel van de vorm een niet-negatief getal. Als we de eigenschap onthouden van het verheffen van een graad tot een macht, en de definitie van een wortel gebruiken, kunnen we een reeks gelijkheden van de vorm opschrijven 
... Dit bewijst de eigenschap van de wortel van de wortel in kwestie.
De eigenschap van een wortel van een wortel van een wortel, enz. wordt op een vergelijkbare manier bewezen. Werkelijk, 
.
Bijvoorbeeld, 
en .
Laten we het volgende bewijzen. wortel exponent verkortingseigenschap... Hiervoor is het op grond van de definitie van de wortel voldoende om aan te tonen dat er een niet-negatief getal is, dat, verheven tot de macht n · m, gelijk is aan a m. Laten we het doen. Het is duidelijk dat als het getal a niet-negatief is, de n-de wortel van het getal a een niet-negatief getal is. Waarin 
, wat het bewijs compleet maakt.
Laten we een voorbeeld geven van het gebruik van de geparseerde root-eigenschap:.
Laten we de volgende eigenschap bewijzen - de eigenschap van een wortel van een graad van de vorm 
... Het is duidelijk dat voor a≥0 de graad een niet-negatief getal is. Bovendien is zijn n-de graad inderdaad gelijk aan een m. Dit bewijst de eigenschap van de betreffende graad.
Bijvoorbeeld, 
.
Laten we verder gaan. Laten we bewijzen dat voor alle positieve getallen a en b voor welke voorwaarde a , dat wil zeggen, a≥b. En dit is in tegenspraak met de voorwaarde a
Als voorbeeld presenteren we de juiste ongelijkheid 
.
Ten slotte moet nog de laatste eigenschap van de n-de wortel worden bewezen. Laten we eerst het eerste deel van deze eigenschap bewijzen, dat wil zeggen, we zullen bewijzen dat voor m> n en 0 Evenzo wordt door tegenspraak bewezen dat voor m> n en a> 1 aan de voorwaarde is voldaan. Laten we voorbeelden geven van de toepassing van de bewezen eigenschap van de wortel in concrete getallen. Zo zijn de ongelijkheden en waar.
, dat wil zeggen, een n a m. En de resulterende ongelijkheid voor m> n en 0
Bibliografie.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: leerboek voor groep 8 onderwijsinstellingen.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e.a. Algebra en het begin van analyse: leerboek voor 10 - 11 klassen van onderwijsinstellingen.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een gids voor kandidaten voor technische scholen).
\ (\ sqrt (a) = b \) if \ (b ^ 2 = a \), waarbij \ (a≥0, b≥0 \)
Voorbeelden:
\ (\ sqrt (49) = 7 \) sinds \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) sinds \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)
Hoe extraheer je de vierkantswortel van een getal?
Om de vierkantswortel van een getal te extraheren, moet je jezelf de vraag stellen: welk getal in het vierkant geeft de uitdrukking onder de wortel?
bijvoorbeeld... Pak de root uit: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)
a) Welk getal in het kwadraat geeft \ (2500 \)?
\ (\ sqrt (2500) = 50 \)
b) Welk kwadraatgetal geeft \ (\ frac (4) (9) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Welk getal in het kwadraat geeft \ (0.0001 \)?
\ (\ sqrt (0.0001) = 0.01 \)
d) Welk kwadraatgetal geeft \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Om de vraag te beantwoorden, moet je de vraag in de verkeerde vertalen.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
Commentaar: Hoewel \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), ook de vragen beantwoorden , maar ze worden niet in aanmerking genomen, omdat de vierkantswortel altijd positief is.
De belangrijkste eigenschap van de wortel
Zoals je weet, heeft elke actie in de wiskunde het tegenovergestelde. Optellen heeft aftrekken en vermenigvuldigen heeft delen. Het omgekeerde van kwadrateren is vierkantswortel. Daarom heffen deze acties elkaar op:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = een \)
Dit is de belangrijkste eigenschap van de wortel, die het meest wordt gebruikt (ook in de OGE)
Voorbeeld ... (opdracht van de OGE). Zoek de waarde van de uitdrukking \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)
Oplossing :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)
Voorbeeld ... (opdracht van de OGE). Zoek de waarde van de uitdrukking \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Oplossing:
Antwoord: \ (86-2 \ sqrt (85) \)Als je met een vierkantswortel werkt, moet je natuurlijk ook andere gebruiken.
Voorbeeld
... (opdracht van de OGE). Zoek de waarde van de uitdrukking \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Oplossing:
Antwoord: \(220\)
4 regels die altijd worden vergeten
De root wordt niet altijd opgehaald
Voorbeeld: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) enz. - het is niet altijd mogelijk om de wortel uit een getal te halen en dit is normaal!
Wortel van een getal, ook een getal
Het is niet nodig om op de een of andere manier naar \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \) te verwijzen. Dit zijn getallen, maar geen hele getallen, ja, maar niet alles in onze wereld wordt gemeten in hele getallen.
De wortel wordt alleen geëxtraheerd uit niet-negatieve getallen
Daarom zul je in de studieboeken dergelijke vermeldingen \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \), etc. niet zien.
Titel: Zelfstandig en testwerk in algebra en meetkunde voor graad 8.
De handleiding bevat onafhankelijke en controlewerken over alle belangrijke onderwerpen van de cursus algebra en meetkunde in groep 8.
De werken bestaan uit 6 varianten van drie moeilijkheidsgraden. Didactisch materiaal is bedoeld voor de organisatie van gedifferentieerd zelfstandig werk van studenten.
INHOUD
ALGEBRA 4
P-1 Rationele uitdrukking. Breuken verkleinen 4
C-2 Breuken optellen en aftrekken 5
K-1 Rationele breuken. Breuken optellen en aftrekken 7
C-3 Vermenigvuldigen en delen van breuken. Een breuk verheffen tot de macht 10
C-4 Rationele expressietransformatie 12
С-5 Inverse evenredigheid en zijn grafiek 14
К-2 Rationele breuken 16
C-6 Rekenkundige vierkantswortel van 18
C-7 Vergelijking x2 = a. Functie y = y [x 20
С-8 Vierkantswortel van een product, breuk, macht 22
K-3 Rekenkundige vierkantswortel en zijn eigenschappen 24
C-9 Invoering en verwijdering van een vermenigvuldiger in vierkantswortels 27
C-10 Uitdrukkingen met vierkantswortels converteren 28
K-4 Toepassen van de eigenschappen van de rekenkundige vierkantswortel 30
P-11 Onvolledige kwadratische vergelijkingen 32
С-12 De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking 33
С-13 Problemen oplossen met behulp van kwadratische vergelijkingen. Stelling van Vieta 34
K-5 kwadratische vergelijkingen 36
P-14 Fractionele rationele vergelijkingen 38
С-15 Toepassing van fractionele rationale vergelijkingen. Problemen oplossen 39
K-6 Fractionele Rationele Vergelijkingen 40
C-16 Eigenschappen van numerieke ongelijkheden 43
K-7 Numerieke ongelijkheden en hun eigenschappen 44
С-17 Lineaire ongelijkheden met één variabele 47
С-18 Systemen van lineaire ongelijkheden 48
K-8 Lineaire ongelijkheden en systemen van ongelijkheden met één variabele 50
С-19 Graad met negatieve indicator 52
K-9 Graad met geheel getal 54
К-10 Jaarlijkse test 56
GEOMETRIE (volgens Pogorelov) 58
С-1 Eigenschappen en tekens van een parallellogram. "58
C-2 Rechthoek. Ruit. Vierkant 60
K-1 Parallellogram 62
С-3 Stelling van Thales. Middellijn van driehoek 63
C-4 trapezium. Middelste lijn van trapezium 66
K-2 trapezium. Middellijnen van een driehoek en een trapezium ... 68
C-5 Stelling van Pythagoras 70
С-6 De tegenovergestelde stelling van de stelling van Pythagoras. Loodrecht en schuin 71
C-7 Driehoeksongelijkheid 73
K-3 Stelling van Pythagoras 74
C-8 Rechterdriehoeksoplossing 76
C-9 Eigenschappen van goniometrische functies 78
К-4 Rechthoekige driehoek (generaliserende test) 80
С-10 Coördinaten van het middelpunt van het segment. Afstand tussen punten. Vergelijking van de cirkel 82
C-11 Vergelijking van een rechte lijn 84
K-5 Cartesiaanse coördinaten 86
С-12 Beweging en zijn eigenschappen. Centrale en axiale symmetrie. Draai 88
S-13. Parallelle overdracht 90
С-14 Vectorconcept. Gelijkheid van vectoren 92
С-15 Acties met vectoren in coördinatenvorm. Collineaire vectoren 94
С-16 Acties met vectoren in geometrische vorm 95
C-17 Puntproduct 98
K-6 vectoren 99
К-7 Jaarlijks examen 102
GEOMETRIE (volgens Atanasyan) 104
С-1 Eigenschappen en tekens van een parallellogram 104
C-2 Rechthoek. Ruit. Vierkant 106
К-1 Vierhoeken 108
С-3 Oppervlakte van een rechthoek, vierkant 109
С-4 Oppervlakte van een parallellogram, ruit, driehoek 111
С-5 Trapeziumgebied 113
C-6 Stelling van Pythagoras 114
K-2 vierkanten. Stelling van Pythagoras 116
C-7 Definitie van gelijkaardige driehoeken. Hoek bissectrice eigenschap van een driehoek 118
С-8 Tekenen van overeenkomst van driehoeken 120
K-3 Gelijkenis van driehoeken 122
С-9 Gelijkenis toepassen bij het oplossen van problemen 124
C-10 Relatie tussen de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek 126
К-4 Toepassing van gelijkenis bij het oplossen van problemen. Verhoudingen tussen de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek 128
С-11 Raaklijn aan cirkel 130
С-12 Midden en ingeschreven hoeken 132
С-13 Stelling over het product van segmenten van snijdende akkoorden. Prachtige punten van driehoek 134
С-14 Ingeschreven en omgeschreven cirkels 136
K-5 Omtrek 137
C-15 Vector optellen en aftrekken 139
С-16 Vermenigvuldiging van een vector met het getal 141
С-17 Middelste lijn van trapezium 142
K-6 vectoren. Vectoren toepassen op probleemoplossing 144
К-7 Jaarlijks examen 146
ANTWOORDEN 148
REFERENTIES 157
VOORWOORD
.
1. Een relatief klein boekje bevat een volledige set toetsen (inclusief eindtoetsen) voor de hele cursus algebra en meetkunde van groep 8, dus het is voldoende om één set boeken per klas aan te schaffen.
Testpapers zijn ontworpen voor een les, zelfstandig werk - gedurende 20-35 minuten, afhankelijk van het onderwerp. Voor het gemak van het gebruik van het boek geeft de titel van elk onafhankelijk en testwerk het onderwerp weer.
2. De verzameling zorgt voor een gedifferentieerde beheersing van kennis, aangezien de taken zijn verdeeld over drie niveaus van complexiteit A, B en C. Niveau A komt overeen met de verplichte programma-eisen, B - met het gemiddelde niveau van complexiteit, taken van niveau C zijn bedoeld voor studenten met een verhoogde interesse in wiskunde, en ook voor gebruik in klaslokalen, scholen, middelbare scholen en middelbare scholen met geavanceerde studie van wiskunde. Voor elk niveau zijn er 2 aangrenzende equivalente opties (zoals ze meestal op het bord worden geschreven), dus één boek op het bureau is voldoende voor de les.
Download gratis een e-book in een handig formaat, bekijk en lees:
Download het boek Zelfstandig werk en toetsen in algebra en meetkunde voor graad 8. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, snel en gratis te downloaden.
- Onafhankelijk en controlewerk in geometrie voor rang 11. Goloborodko VV, Ershova AP, 2004
- Zelfstandig en testwerk in algebra en meetkunde voor het 9e leerjaar. Ershova AP, Goloborodko VV, 2004
- Onafhankelijke en controlewerken op algebra en geometrie, graad 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013