Les "Functie y = sinx, zijn eigenschappen en grafiek". Plotfunctie y = sin x Plotfunctie y sinx

In deze les gaan we dieper in op de functie y = sin x, zijn basiseigenschappen en de grafiek. Aan het begin van de les geven we de definitie van een goniometrische functie y = sin t op de coördinatencirkel en bekijken we de grafiek van de functie op een cirkel en een rechte lijn. Laten we de periodiciteit van deze functie in de grafiek laten zien en de belangrijkste eigenschappen van de functie bekijken. Aan het einde van de les zullen we verschillende eenvoudige taken oplossen met behulp van de grafiek van een functie en zijn eigenschappen.

Onderwerp: Goniometrische functies

Les: Functie y = sinx, zijn basiseigenschappen en grafiek

Bij het overwegen van een functie is het belangrijk om elke argumentwaarde toe te wijzen aan een enkele functiewaarde. Deze conformiteitswet en wordt een functie genoemd.

Laten we de correspondentiewet definiëren voor.

Elk reëel getal komt overeen met een enkel punt op de eenheidscirkel.Het punt heeft een enkele ordinaat, die de sinus van het getal wordt genoemd (Fig. 1).

Elke argumentwaarde is gekoppeld aan een enkele functiewaarde.

Voor de hand liggende eigenschappen volgen uit de definitie van sinus.

De figuur laat zien dat sinds dit is de ordinaat van een punt op de eenheidscirkel.

Beschouw de grafiek van een functie. Laten we ons de geometrische interpretatie van het argument herinneren. Het argument is de middelpuntshoek, gemeten in radialen. Op de as zullen we reële getallen of hoeken in radialen plotten, op de as de overeenkomstige waarden van de functie.

De hoek op de eenheidscirkel komt bijvoorbeeld overeen met een punt op de grafiek (Fig. 2)

We hebben de grafiek van de functie op de site. Maar als we de periode van de sinus kennen, kunnen we de grafiek van de functie over het hele definitiedomein weergeven (Fig. 3).

De hoofdperiode van de functie is. Dit betekent dat de grafiek kan worden verkregen op een segment en vervolgens doorgaat naar het hele definitiegebied.

Overweeg de eigenschappen van de functie:

1) Toepassingsgebied:

2) Bereik van waarden:

3) De functie is oneven:

4) De kleinste positieve periode:

5) Coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de abscis:

6) Coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de y-as:

7) De intervallen waarmee de functie positieve waarden aanneemt:

8) De intervallen waarmee de functie negatieve waarden aanneemt:

9) Oplopende intervallen:

10) Aflopende intervallen:

11) Minimale punten:

12) Minimale functie:

13) Maximum aantal punten:

14) Maximale functie:

We onderzochten de eigenschappen van de functie en zijn grafiek. Eigenschappen zullen herhaaldelijk worden gebruikt bij het oplossen van problemen.

Bibliografie

1. Algebra en het begin van de analyse, graad 10 (in twee delen). Leerboek voor onderwijsinstellingen (profielniveau), ed. A.G. Mordkovitsj. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra en het begin van de analyse, graad 10 (in twee delen). Problemenboek voor onderwijsinstellingen (profielniveau), ed. A.G. Mordkovitsj. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd S.I. Algebra en wiskundige analyse voor klas 10 (leerboek voor studenten in scholen en klassen met geavanceerde studie van wiskunde) .- M.: Onderwijs, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Diepgaande studie van algebra en wiskundige analyse.-M.: Onderwijs, 1997.

5. Verzameling van problemen in wiskunde voor aanvragers van instellingen voor hoger onderwijs (onder redactie van MI Skanavi) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebraïsche simulator.-K .: ASK, 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Taken in algebra en de principes van analyse (handleiding voor studenten in de klassen 10-11 van instellingen voor algemeen onderwijs) .- M.: Onderwijs, 2003.

8. Karp AP Verzameling van problemen in de algebra en de principes van analyse: leerboek. toelage voor 10-11 rangen met verdieping studie wiskunde.-M.: Onderwijs, 2006.

Huiswerk

Algebra en het begin van de analyse, graad 10 (in twee delen). Problemenboek voor onderwijsinstellingen (profielniveau), ed.

A.G. Mordkovitsj. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Aanvullende webbronnen

3. Educatief portaal voor examenvoorbereiding ().

Hoe teken je de functie y = sin x? Laten we eerst eens kijken naar de sinusgrafiek in het interval.

We nemen een enkel segment met een lengte van 2 cellen van een notebook. Markeer er een op de Oy-as.

Voor het gemak ronden we het getal π / 2 af op 1,5 (en niet op 1,6, zoals vereist door de afrondingsregels). In dit geval komt een segment met lengte π / 2 overeen met 3 cellen.

Op de Ox-as markeren we geen eenheidssegmenten, maar segmenten met lengte π / 2 (elke 3 cellen). Dienovereenkomstig komt een segment met lengte π overeen met 6 cellen, een segment met lengte π / 6 - 1 cel.

Bij deze keuze van een eenheidssegment komt de grafiek op een vel van een notitieboekje in een doos zoveel mogelijk overeen met de grafiek van de functie y = sin x.

Laten we een tabel met sinuswaarden in het interval samenstellen:

We markeren de verkregen punten op het coördinatenvlak:

Aangezien y = sin x een oneven functie is, is de sinusgrafiek symmetrisch om de oorsprong - punt O (0; 0). Rekening houdend met dit feit, gaan we verder met plotten naar links, dan de punten -π:

De functie y = sin x is periodiek met een periode T = 2π. Daarom wordt de grafiek van de functie, genomen op het interval [-π; π], een oneindig aantal keren naar rechts en naar links herhaald.

In deze les gaan we dieper in op de functie y = sin x, zijn basiseigenschappen en de grafiek. Aan het begin van de les geven we de definitie van een goniometrische functie y = sin t op de coördinatencirkel en bekijken we de grafiek van de functie op een cirkel en een rechte lijn. Laten we de periodiciteit van deze functie in de grafiek laten zien en de belangrijkste eigenschappen van de functie bekijken. Aan het einde van de les zullen we verschillende eenvoudige taken oplossen met behulp van de grafiek van een functie en zijn eigenschappen.

Onderwerp: Goniometrische functies

Les: Functie y = sinx, zijn basiseigenschappen en grafiek

Bij het overwegen van een functie is het belangrijk om elke argumentwaarde toe te wijzen aan een enkele functiewaarde. Deze conformiteitswet en wordt een functie genoemd.

Laten we de correspondentiewet definiëren voor.

Elk reëel getal komt overeen met een enkel punt op de eenheidscirkel.Het punt heeft een enkele ordinaat, die de sinus van het getal wordt genoemd (Fig. 1).

Elke argumentwaarde is gekoppeld aan een enkele functiewaarde.

Voor de hand liggende eigenschappen volgen uit de definitie van sinus.

De figuur laat zien dat sinds dit is de ordinaat van een punt op de eenheidscirkel.

Beschouw de grafiek van een functie. Laten we ons de geometrische interpretatie van het argument herinneren. Het argument is de middelpuntshoek, gemeten in radialen. Op de as zullen we reële getallen of hoeken in radialen plotten, op de as de overeenkomstige waarden van de functie.

De hoek op de eenheidscirkel komt bijvoorbeeld overeen met een punt op de grafiek (Fig. 2)

We hebben de grafiek van de functie op de site. Maar als we de periode van de sinus kennen, kunnen we de grafiek van de functie over het hele definitiedomein weergeven (Fig. 3).

De hoofdperiode van de functie is. Dit betekent dat de grafiek kan worden verkregen op een segment en vervolgens doorgaat naar het hele definitiegebied.

Overweeg de eigenschappen van de functie:

1) Toepassingsgebied:

2) Bereik van waarden:

3) De functie is oneven:

4) De kleinste positieve periode:

5) Coördinaten van de snijpunten van de grafiek met de abscis:

6) Coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de y-as:

7) De intervallen waarmee de functie positieve waarden aanneemt:

8) De intervallen waarmee de functie negatieve waarden aanneemt:

9) Oplopende intervallen:

10) Aflopende intervallen:

11) Minimale punten:

12) Minimale functie:

13) Maximum aantal punten:

14) Maximale functie:

We onderzochten de eigenschappen van de functie en zijn grafiek. Eigenschappen zullen herhaaldelijk worden gebruikt bij het oplossen van problemen.

Bibliografie

1. Algebra en het begin van de analyse, graad 10 (in twee delen). Leerboek voor onderwijsinstellingen (profielniveau), ed. A.G. Mordkovitsj. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra en het begin van de analyse, graad 10 (in twee delen). Problemenboek voor onderwijsinstellingen (profielniveau), ed. A.G. Mordkovitsj. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov OS, Schwarzburd S.I. Algebra en wiskundige analyse voor klas 10 (leerboek voor studenten in scholen en klassen met geavanceerde studie van wiskunde) .- M.: Onderwijs, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Diepgaande studie van algebra en wiskundige analyse.-M.: Onderwijs, 1997.

5. Verzameling van problemen in wiskunde voor aanvragers van instellingen voor hoger onderwijs (onder redactie van MI Skanavi) .- M.: Higher school, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebraïsche simulator.-K .: ASK, 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Taken in algebra en de principes van analyse (handleiding voor studenten in de klassen 10-11 van instellingen voor algemeen onderwijs) .- M.: Onderwijs, 2003.

8. Karp AP Verzameling van problemen in de algebra en de principes van analyse: leerboek. toelage voor 10-11 rangen met verdieping studie wiskunde.-M.: Onderwijs, 2006.

Huiswerk

Algebra en het begin van de analyse, graad 10 (in twee delen). Problemenboek voor onderwijsinstellingen (profielniveau), ed.

A.G. Mordkovitsj. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Aanvullende webbronnen

3. Educatief portaal voor examenvoorbereiding ().

Functieja = zondex

De functiegrafiek is een sinusoïde.

Het volledige niet-repeterende deel van een sinusoïde wordt een sinusoïdale golf genoemd.

Een halve golf van een sinusgolf wordt een halve golf van een sinusgolf (of een boog) genoemd.

Functie-eigenschappenja = zondex:

De functie plotten: ja= zonde x het is handig om de volgende schalen te gebruiken:

Op een vel in een kooi nemen we de lengte van twee cellen als segmenteenheid.

Op as x meet de lengte π. In dit geval stellen we voor het gemak 3,14 voor als 3 - dat wil zeggen, zonder een breuk. Dan, op een blad in een cel, zal π 6 cellen zijn (drie keer 2 cellen). En elke cel krijgt zijn eigen logische naam (van de eerste tot de zesde): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. Dit zijn de waarden x.

Markeer op de y-as 1, die twee cellen bevat.

Laten we een tabel met functiewaarden maken met behulp van onze waarden x:

Laten we vervolgens een grafiek opstellen. Je krijgt een halve golf waarvan het hoogste punt (π / 2; 1) is. Dit is de grafiek van de functie ja= zonde x op het segment. Laten we een symmetrische halve golf toevoegen aan de geplotte grafiek (symmetrisch rond de oorsprong, dat wil zeggen op het -π-segment). De top van deze halve golf ligt onder de x-as met coördinaten (-1; -1). Het resultaat is een golf. Dit is de grafiek van de functie ja= zonde x op het segment [-π; ].

U kunt de golf voortzetten door deze op het segment [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], enz. Op al deze segmenten zal de grafiek van de functie er hetzelfde uitzien als op het segment [-π; ]. Je krijgt een ononderbroken golvende lijn met dezelfde golven.

Functieja = omdatx.

De grafiek van een functie is een sinusoïde (ook wel cosinus genoemd).

Functie-eigenschappenja = omdatx:

Functieja = mf(x).

Laten we de vorige functie nemen ja= cos x... Zoals je al weet, is de grafiek ervan een sinusgolf. Als we de cosinus van deze functie vermenigvuldigen met een bepaald getal m, dan strekt de golf zich uit vanaf de as x(of zal krimpen, afhankelijk van de waarde van m).
Deze nieuwe golf wordt de grafiek van de functie y = mf (x), waarbij m een ​​willekeurig reëel getal is.

Dus de functie y = mf (x) is de gebruikelijke functie y = f (x) vermenigvuldigd met m.

Alsm< 1, то синусоида сжимается к оси x per factorm. Alsm> 1, dan wordt de sinusoïde uitgerekt vanaf de asx per factorm.

Wanneer u zich uitrekt of samendrukt, kunt u eerst slechts één halve golf van een sinusoïde bouwen en vervolgens de hele grafiek voltooien.

Functiey = F(kx).

Als de functie y =mf(x) leidt tot een uitrekking van de sinusoïde vanaf de as x of compressie naar de as x, dan leidt de functie y = f (kx) tot rekken vanaf de as ja of compressie naar de as ja.

Bovendien is k een willekeurig reëel getal.

bij 0< k< 1 синусоида растягивается от оси ja per factork. Alsk> 1, dan wordt de sinusoïde naar de as gecomprimeerdja per factork.

Bij het plotten van deze functie kun je eerst een halve golf van een sinusoïde plotten en deze vervolgens gebruiken om de hele plot te voltooien.

Functieja = tgx.

Functie grafiek ja= tg x is een tangentoïde.

Het is voldoende om een ​​deel van de grafiek in het interval van 0 tot π / 2 te plotten, en dan kunt u het symmetrisch voortzetten in het interval van 0 tot 3π / 2.

Functie-eigenschappenja = tgx:

Functieja = ctgx

Functie grafiek ja= ctg x is ook een tangentoïde (soms een cotangentoïde genoemd).

Functie-eigenschappenja = ctgx:

De videoles "Functie y = sinx, ee eigenschappen en grafiek" presenteert visueel materiaal over dit onderwerp, evenals commentaar erop. Tijdens de demonstratie worden het type functie, de eigenschappen ervan overwogen, het gedrag op verschillende segmenten van het coördinatenvlak, de kenmerken van de grafiek in detail beschreven, een voorbeeld van de grafische oplossing van trigonometrische vergelijkingen die een sinus bevatten. Met behulp van een videoles is het voor een leraar gemakkelijker om een ​​student een concept van deze functie te vormen, om te leren hoe problemen op een grafische manier kunnen worden opgelost.

De videoles maakt gebruik van hulpmiddelen die het gemakkelijker maken om educatieve informatie te onthouden en te begrijpen. Bij de presentatie van grafieken en bij het beschrijven van de oplossing van problemen worden animatie-effecten gebruikt die helpen om het gedrag van een functie te begrijpen, om het verloop van de oplossing in volgorde weer te geven. Ook vult de score van het materiaal het aan met belangrijke opmerkingen die de uitleg van de leraar vervangen. Dit materiaal kan dus als visueel hulpmiddel worden gebruikt. En als zelfstandig onderdeel van de les in plaats van de docent uitleg te geven over een nieuw onderwerp.

De demonstratie begint met de introductie van het onderwerp van de les. De sinusfunctie wordt gepresenteerd, waarvan de beschrijving is gemarkeerd in het geheugenvak - s = sint, waarin het argument t elk reëel getal kan zijn. De beschrijving van de eigenschappen van deze functie begint met het bereik. Opgemerkt wordt dat het domein van de functie de gehele numerieke as van reële getallen is, dat wil zeggen, D (f) = (- ∞; + ∞). De eigenaardigheid van de sinusfunctie wordt gemarkeerd als de tweede eigenschap. De leerlingen worden eraan herinnerd dat deze eigenschap werd bestudeerd in klas 9, toen werd opgemerkt dat voor een oneven functie de gelijkheid f (-x) = - f (x) geldt. Voor sinus wordt de oneven functiebevestiging gedemonstreerd op de eenheidscirkel verdeeld in kwarten. Als we weten welk teken de functie in verschillende kwartalen van het coördinatenvlak aanneemt, wordt opgemerkt dat voor argumenten met tegengestelde tekens, met behulp van het voorbeeld van de punten L (t) en N (-t) voor de sinus, aan de oneven voorwaarde is voldaan. Daarom is s = sint een oneven functie. Dit betekent dat de functiegrafiek symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong.

De derde eigenschap van de sinus toont de intervallen van toenemen en afnemen van de functie. Het merkt op dat deze functie toeneemt op het segment en afneemt op het segment [π / 2; π]. De eigenschap wordt gedemonstreerd in de figuur, die de eenheidscirkel laat zien en bij beweging van punt A tegen de klok in, neemt de ordinaat toe, dat wil zeggen, de waarde van de functie neemt toe tot π / 2. Bij het verplaatsen van punt B naar C, dat wil zeggen, wanneer de hoek verandert van π / 2 naar π, neemt de waarde van de ordinaat af. In het derde kwart van de cirkel, bij het verplaatsen van punt C naar punt D, neemt de coördinaat af van 0 naar -1, dat wil zeggen dat de sinuswaarde afneemt. In het laatste kwartaal, wanneer we van punt D naar punt A gaan, neemt de waarde van de ordinaat toe van -1 naar 0. We kunnen dus een algemene conclusie trekken over het gedrag van de functie. Het scherm geeft de conclusie weer dat sint toeneemt op het segment [- (π / 2) + 2πk; (π / 2) + 2πk], afnames op het segment [(π / 2) + 2πk; (3π / 2) + 2πk] voor elk geheel getal k.

De vierde eigenschap van sinus beschouwt de begrensdheid van functie. Opgemerkt wordt dat de sint-functie zowel boven als onder begrensd is. Studenten worden herinnerd aan de informatie uit de algebra van de 9e klas toen ze kennis maakten met het concept van begrensde functie. Het scherm toont de voorwaarde van een functie die hierboven is begrensd, waarvoor er een bepaald getal is waarvoor op elk punt van de functie aan de ongelijkheid f (x)> = M wordt voldaan. Ook wordt de voorwaarde van een van onderaf begrensde functie herinnerd waarvoor er een getal m kleiner is dan elk punt van de functie. Voor sint is de voorwaarde -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

De vijfde eigenschap houdt rekening met de kleinste en grootste waarden van de functie. Het bereiken van de kleinste waarde -1 op elk punt t = - (π / 2) + 2πk wordt genoteerd, en de grootste - op de punten t = (π / 2) + 2πk.

Op basis van de beschouwde eigenschappen wordt de grafiek van de sint-functie op het segment uitgezet. Om de functie te construeren, worden de sinuswaarden in tabelvorm van de overeenkomstige punten gebruikt. De coördinaten van de punten π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π zijn gemarkeerd op het coördinatenvlak. Nadat we de tabelwaarden van de functie op deze punten hebben gemarkeerd en deze met een vloeiende lijn hebben verbonden, bouwen we een grafiek.

Om de grafiek van de functie sint op het interval [-π; π] te plotten, wordt de eigenschap van symmetrie van de functie ten opzichte van de oorsprong gebruikt. De figuur laat zien hoe de resulterende lijn vloeiend symmetrisch rond de oorsprong wordt overgebracht naar het segment [-π; 0].

Gebruikmakend van de eigenschap van de sint-functie, uitgedrukt in de reductieformule sin (x + 2π) = sin x, wordt opgemerkt dat elke 2π de sinusgrafiek wordt herhaald. Dus op het segment [π; 3π] zal de grafiek hetzelfde zijn als voor [-π; π]. De grafiek van deze functie vertegenwoordigt dus herhalende fragmenten [-π; π] over het hele domein. Los daarvan wordt opgemerkt dat zo'n grafiek van een functie een sinusoïde wordt genoemd. Het concept van een sinusoïde golf wordt ook geïntroduceerd - een fragment van een grafiek uitgezet op een segment [-π; π], en een boog van een sinusoïde uitgezet op een segment. Deze fragmenten worden nogmaals gedemonstreerd om te onthouden.

Opgemerkt wordt dat de functie sint een continue functie is over het hele definitiedomein, en ook dat het waardenbereik van de functie is opgenomen in de reeks waarden van het interval [-1; 1].

Aan het einde van de videoles wordt een grafische oplossing van de vergelijking sin x = x + π overwogen. Het is duidelijk dat de grafische oplossing van de vergelijking het snijpunt is van de grafiek van de functie die wordt gegeven door de uitdrukking aan de linkerkant en de functie die wordt gegeven door de uitdrukking aan de rechterkant. Om het probleem op te lossen, wordt een coördinatenvlak gebouwd waarop de overeenkomstige sinusoïde y = sin x is omlijnd, en wordt ook een rechte lijn geconstrueerd die overeenkomt met de grafiek van de functie y = x + π. De uitgezette grafieken snijden elkaar in een enkel punt B (-π; 0). Daarom is x = -π en zal een oplossing van de vergelijking zijn.

De videoles "Functie y = sinx, ee eigenschappen en grafiek" zal helpen om de effectiviteit van een les in een traditionele wiskundeles op school te vergroten. Ook bij afstandsonderwijs kun je beeldmateriaal gebruiken. De handleiding kan helpen het onderwerp onder de knie te krijgen voor studenten die extra lessen nodig hebben om de stof beter te begrijpen.

TEKSTCODE:

Het onderwerp van onze les is "Functie y = sin x, zijn eigenschappen en grafiek."

Eerder maakten we al kennis met de functie s = sin t, waarbij tϵR (es is gelijk aan sinus te, waarbij te bij de verzameling reële getallen hoort). Laten we eens kijken naar de eigenschappen van deze functie:

EIGENSCHAP 1. Het definitiedomein is de verzameling reële getallen R (er), dat wil zeggen, D (f) = (-; +) (de van eff staat voor het interval van min oneindig tot plus oneindig).

EIGENSCHAP 2. De functie s = sin t is oneven.

In de 9e klas leerden we dat de functie y = f (x), x ϵX (het spel is gelijk aan eff van x, waarbij x behoort tot de verzameling x is groot) oneven wordt genoemd als voor elke waarde van x uit de stel X de gelijkheid in

f (- x) = - f (x) (eff van minus x is gelijk aan minus eff van x).

En aangezien de ordinaat van de punten L en N symmetrisch om de as van de abscis tegengesteld zijn, is sin (- t) = -sint.

Dat wil zeggen, s = sin t is een oneven functie en de grafiek van de functie s = sin t is symmetrisch om de oorsprong in een rechthoekig coördinatenstelsel tOs(te over es).

Overweeg EIGENDOM 3. Op het segment [0; ] (van nul tot pi met twee) de functie s = sin t neemt toe en af ​​op het segment [; ] (van pi tot twee tot pi).

Dit is duidelijk te zien in de figuren: wanneer een punt langs een numerieke cirkel van nul naar pi met twee beweegt (van punt A naar B), neemt de ordinaat geleidelijk toe van 0 naar 1, en als het van pi met twee naar pi gaat (van punt B naar C), neemt de ordinaat geleidelijk af van 1 naar 0.

Wanneer een punt langs het derde kwartaal beweegt (van punt C naar punt D), neemt de ordinaat van het bewegende punt af van nul naar min één, en bij verplaatsing langs het vierde kwartaal neemt de ordinaat toe van min één naar nul. Daarom kunnen we een algemene conclusie trekken: de functie s = sin t neemt toe met het interval

(van minus pi met twee plus twee pieken tot pi met twee plus twee pieken), en neemt af op het segment [; (van pi bij twee plus twee pieken tot drie pi bij twee plus twee pieken), waarbij

(ka behoort tot de verzameling gehele getallen).

EIGENSCHAP 4. De functie s = sin t is boven en onder begrensd.

Van de cursus van de 9e klas, herinner je de definitie van begrensdheid: een functie y = f (x) wordt van onder begrensd genoemd als alle waarden van de functie niet kleiner zijn dan een getal m m zodanig dat voor elke waarde van x uit het domein van de functie, de ongelijkheid f (x) ≥ m(ff van x is groter dan of gelijk aan em). De functie y = f (x) wordt van boven begrensd genoemd als alle waarden van de functie niet meer dan een getal zijn m, dit betekent dat er een nummer is m zodanig dat voor elke waarde van x uit het domein van de functie, de ongelijkheid f (x) ≤ m(ff van x is kleiner dan of gelijk aan em) Een functie wordt beperkt genoemd als deze zowel van onder als van boven begrensd is.

Laten we terugkeren naar onze functie: begrenzing volgt uit het feit dat voor elke te de ongelijkheid - 1 ≤ sint≤ 1. waar is (de sinus is groter dan of gelijk aan min één, maar kleiner dan of gelijk aan één).

EIGENSCHAP 5. De kleinste waarde van de functie is gelijk aan min één en de functie bereikt deze waarde op elk punt van de vorm t = (te is gelijk aan min pi met twee plus twee pieken, en de grootste waarde van de functie is gelijk aan tot één en wordt bereikt door de functie op elk punt van de vorm t = (te is pi met twee plus twee pi ka).

De grootste en kleinste waarde van de functie s = sin t duiden s naim aan. en s naib. ...

Met behulp van de verkregen eigenschappen construeren we een grafiek van de functie y = sin x (y is gelijk aan sinus x), omdat we meer gewend zijn om y = f (x) te schrijven, en niet s = f (t).

Laten we om te beginnen een schaal kiezen: op de ordinaat nemen we een eenheidssegment bij twee cellen, en op de abscis zijn twee cellen pi bij drie (sinds ≈ 1). Laten we eerst een grafiek maken van de functie y = sin x op het segment. We hebben een tabel met waarden nodig van de functie op dit segment; om het te construeren, zullen we de tabel met waarden gebruiken voor de overeenkomstige hoeken van cosinus en sinus:

Dus om een ​​tabel met waarden van een argument en een functie te bouwen, moet je onthouden dat: x(x) dit getal is respectievelijk gelijk aan de hoek in het interval van nul tot pi, en Bij(spel) de sinuswaarde van deze hoek.

Laten we deze punten op het coördinatenvlak markeren. Volgens PROPERTY 3 op het segment

[0; ] (van nul tot pi met twee) de functie y = sin x neemt toe en af ​​op het segment [; ] (van pi bij twee naar pi) en als we de verkregen punten verbinden met een vloeiende lijn, krijgen we een deel van de grafiek (Fig. 1)

Gebruikmakend van de symmetrie van de grafiek van de oneven functie ten opzichte van de oorsprong, verkrijgen we de grafiek van de functie y = sin x al op het segment

[-π; π] (van min pi tot pi) (Fig. 2)

Bedenk dat sin (x + 2π) = sinx

(de sinus van x plus twee pi is gelijk aan de sinus van x). Dit betekent dat op het punt x + 2π de functie y = sin x dezelfde waarde aanneemt als op het punt x. En aangezien (x + 2π) ϵ [π; 3π] (x plus twee pi behoort tot het segment van pi tot drie pi), als xϵ [-π; π], dan op het segment [π; 3π] de grafiek van de functie ziet er precies hetzelfde uit als op het segment [-π; ]. Evenzo, op de segmenten, [-3π; -π] enzovoort, de grafiek van de functie y = sin x ziet er hetzelfde uit als op het segment

[-π; ] (afb. 3)

De lijn, die de grafiek is van de functie y = sin x, wordt een sinusoïde genoemd. Het deel van de sinusoïde dat in figuur 2 wordt getoond, wordt een sinusoïdale golf genoemd en in figuur 1 wordt het een sinusoïdale boog of halve golf genoemd.

Laten we met behulp van de geconstrueerde grafiek nog een paar eigenschappen van deze functie opschrijven.

EIGENSCHAP 6. De functie y = sin x is een continue functie. Dit betekent dat de grafiek van de functie solide is, dat wil zeggen dat deze geen sprongen en lekke banden heeft.

EIGENSCHAP 7. Het waardenbereik van de functie y = sin x is het segment [-1; 1] (van min één tot één) of het kan als volgt worden geschreven: (e van eff is gelijk aan het segment van min één tot één).

Laten we een VOORBEELD bekijken. Los grafisch de vergelijking sin x = x + π op (sinus x is gelijk aan x plus pi).

Oplossing. Laten we grafieken van functies maken y = zonde x en y = x +.

De grafiek van de functie y = sin x is een sinusoïde.

y = x + π is een lineaire functie waarvan de grafiek een rechte lijn is die door punten met coördinaten (0; π) en (- π; 0) gaat.

De uitgezette grafieken hebben één snijpunt - punt B (- π; 0) (zijn met coördinaten minus pi, nul). Dit betekent dat deze vergelijking maar één wortel heeft - de abscis van punt B - -π. Antwoord: x = - π.