Skriv dette komplekse tal på trigonometrisk form. Trigonometrisk form af komplekse tal

Foredrag

Trigonometrisk form af et komplekst tal

Plan

1.Geometrisk repræsentation af komplekse tal.

2. Trigonometrisk notation af komplekse tal.

3. Handlinger på komplekse tal i trigonometrisk form.

Geometrisk repræsentation af komplekse tal.

a) Komplekse tal er repræsenteret ved punkter i planet i henhold til følgende regel: -en + bi = M ( -en ; b ) (fig. 1).

Billede 1

b) Et komplekst tal kan repræsenteres af en vektor, der starter ved punktetO og enden på dette punkt (fig. 2).

Billede 2

Eksempel 7. Plot punkter, der repræsenterer komplekse tal:1; - jeg ; - 1 + jeg ; 2 – 3 jeg (fig. 3).

Figur 3

Trigonometrisk notation af komplekse tal.

Kompleks talz = -en + bi kan indstilles ved hjælp af radius vektor med koordinater( -en ; b ) (fig. 4).

Figur 4

Definition . Vektor længde repræsenterer et komplekst talz , kaldes modulet af dette tal og betegnes ellerr .

For ethvert komplekst talz sit modulr = | z | er entydigt bestemt af formlen .

Definition . Størrelsen af ​​vinklen mellem den positive retning af den reelle akse og vektoren der repræsenterer et komplekst tal kaldes argumentet for dette komplekse tal og betegnesEN rg z ellerφ .

Kompleks talargumentz = 0 udefineret. Kompleks talargumentz≠ 0 er en størrelse med flere værdier og bestemmes op til termen2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , hvorarg z - argumentets hovedværdi, indesluttet i intervallet(-π; π] , det er-π < arg z ≤ π (nogle gange tages argumentets hovedværdi som en værdi, der hører til intervallet .

Denne formel forr =1 ofte omtalt som Moivre-formlen:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Eksempel 11. Beregn(1 + jeg ) 100 .

Lad os skrive et komplekst tal1 + jeg i trigonometrisk form.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1 + i) 100 = [ (cos + jeg synder )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + i synd 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Udtræk kvadratroden af ​​et komplekst tal.

Når man udtrækker kvadratroden af ​​et komplekst tal-en + bi vi har to sager:

hvisb > om , derefter ;

KOMPLEKSE NUMMER XI

§ 256. Trigonometrisk form af komplekse tal

Lad det komplekse tal a + bi matcher vektor OA> med koordinater ( a, b ) (se fig. 332).

Vi betegner længden af ​​denne vektor med r , og den vinkel den danner med aksen x , et kors φ ... Per definition af sinus og cosinus:

-en / r = cos φ , b / r = synd φ .

Så -en = r cos φ , b = r synd φ ... Men i dette tilfælde, det komplekse tal a + bi kan skrives som:

a + bi = r cos φ + ir synd φ = r (cos φ + jeg synd φ ).

Som du ved, er kvadratet af længden af ​​enhver vektor lig med summen af ​​kvadraterne af dens koordinater. Så r 2 = -en 2 + b 2, hvorfra r = √a 2 + b 2

Så, ethvert komplekst tal a + bi kan repræsenteres som :

a + bi = r (cos φ + jeg synd φ ), (1)

hvor r = √a 2 + b 2, og vinklen φ bestemmes ud fra betingelsen:

Denne form for notation for komplekse tal kaldes trigonometrisk.

Nummer r i formel (1) kaldes modul og vinklen φ - argument, komplekst tal a + bi .

Hvis det komplekse tal a + bi er ikke lig med nul, så er dens modul positivt; hvis a + bi = 0, så a = b = 0 og derefter r = 0.

Modulet for ethvert komplekst tal er entydigt bestemt.

Hvis det komplekse tal a + bi er ikke lig med nul, så bestemmes dens argument af formlerne (2) utvetydigt nøjagtig til et vinkelmultipel på 2 π ... Hvis a + bi = 0, så a = b = 0. I dette tilfælde r = 0. Ud fra formel (1) er det let at forstå det som et argument φ i dette tilfælde kan du vælge enhver vinkel: trods alt for enhver φ

0 (cos φ + jeg synd φ ) = 0.

Derfor er nul-argumentet udefineret.

Kompleks talmodul r undertiden betegner | z | og arg-argumentet z ... Lad os se på nogle eksempler på, hvordan komplekse tal kan repræsenteres i trigonometrisk form.

Eksempel. en. 1 + jeg .

Find modulet r og argumentet φ dette nummer.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Derfor synd φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, hvorfra φ = π / 4 + 2nπ .

På denne måde

1 + jeg = √ 2 ,

hvor P - ethvert heltal. Normalt, fra et uendeligt sæt værdier af argumentet for et komplekst tal, vælges en, der ligger mellem 0 og 2 π ... I dette tilfælde er denne værdi π / 4 . Så

1 + jeg = √ 2 (cos π / 4 + jeg synd π / 4)

Eksempel 2. Skriv et komplekst tal på trigonometrisk form √ 3 - jeg ... Vi har:

r = √ 3 + 1 = 2, cos φ = √ 3/2, synd φ = - 1 / 2

Derfor op til et vinkelmultipel på 2 π , φ = 11 / 6 π ; derfor,

√ 3 - jeg = 2 (cos 11/6 π + jeg synd 11/6 π ).

Eksempel 3 Skriv et komplekst tal på trigonometrisk form jeg.

Kompleks tal jeg matcher vektor OA> slutter ved punkt A på aksen på med ordinat 1 (fig. 333). Længden af ​​en sådan vektor er 1, og den vinkel den laver med abscissen er π / 2. Så

jeg = cos π / 2 + jeg synd π / 2 .

Eksempel 4. Skriv det komplekse tal 3 på trigonometrisk form.

Det komplekse tal 3 svarer til vektoren OA > x abscisse 3 (fig. 334).

Længden af ​​en sådan vektor er 3, og vinklen den laver med abscissen er 0. Derfor

3 = 3 (cos 0 + jeg synd 0),

Eksempel 5. Skriv det komplekse tal -5 ned på trigonometrisk form.

Det komplekse tal -5 svarer til vektoren OA> slutter ved et aksepunkt x med en abscisse -5 (fig. 335). Længden af ​​en sådan vektor er 5, og vinklen den danner med abscissen er π ... Så

5 = 5 (cos π + jeg synd π ).

Øvelser

2047. Skriv disse komplekse tal i trigonometrisk form, og definer deres moduler og argumenter:

1) 2 + 2√3 jeg , 4) 12jeg - 5; 7).3jeg ;

2) √3 + jeg ; 5) 25; 8) -2jeg ;

3) 6 - 6jeg ; 6) - 4; 9) 3jeg - 4.

2048. Angiv på planet det sæt af punkter, der repræsenterer komplekse tal, moduli r og argumenter φ, som opfylder betingelserne:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kan modulet af et komplekst tal være tal på samme tid? r og - r ?

2050. Kan argumentet for et komplekst tal være vinkler på samme tid? φ og - φ ?

For at repræsentere disse komplekse tal i trigonometrisk form, definere deres moduler og argumenter:

2051 *. 1 + cos α + jeg synd α ... 2054 *. 2 (koster 20 ° - jeg synd 20°).

2052 *. synd φ + jeg cos φ ... 2055 *. 3 (- koster 15 ° - jeg synd 15°).

2.3. Trigonometrisk form af komplekse tal

Lad vektoren være specificeret på den komplekse plan med et tal.

Lad os med φ betegne vinklen mellem den positive halvakse Ox og vektoren (vinklen φ betragtes som positiv, hvis den tælles mod uret, og negativ ellers).

Vi angiver længden af ​​vektoren med r. Derefter . Vi betegner også

Skrive et komplekst tal, der ikke er nul, z i formen

kaldes den trigonometriske form af det komplekse tal z. Tallet r kaldes modulet for det komplekse tal z, og tallet φ kaldes argumentet for dette komplekse tal og betegnes med Arg z.

Trigonometrisk notation af et komplekst tal - (Eulers formel) - eksponentiel notation af et komplekst tal:

Det komplekse tal z har uendeligt mange argumenter: hvis φ0 er et hvilket som helst argument for tallet z, så kan alle de andre findes ved formlen

For et komplekst tal er argumentet og den trigonometriske form ikke defineret.

Således er argumentet for et komplekst tal, der ikke er nul, enhver løsning til ligningssystemet:

(3)

Værdien φ af argumentet for et komplekst tal z, der opfylder ulighederne, kaldes principal og betegnes med arg z.

Arg z og arg z er relateret til

, (4)

Formel (5) er en konsekvens af system (3), derfor opfylder alle argumenter for det komplekse tal lighed (5), men ikke alle løsninger φ af ligning (5) er argumenter for tallet z.

Hovedværdien af ​​argumentet for et komplekst tal, der ikke er nul, kan findes ved formlerne:

Formlerne for multiplikation og division af komplekse tal i trigonometrisk form er som følger:

. (7)

Når man hæver et komplekst tal til en naturlig potens, bruges Moivre-formlen:

Når man udtrækker en rod fra et komplekst tal, bruges formlen:

, (9)

hvor k = 0, 1, 2, ..., n-1.

Opgave 54. Beregn hvor.

Lad os repræsentere løsningen af ​​dette udtryk i den eksponentielle notation af et komplekst tal:.

Hvis så.

Derefter , ... Derfor altså og , hvor .

Svar: , kl.

Opgave 55. Skriv komplekse tal ned på trigonometrisk form:

a) ; b); v); G); e); e) ; g).

Da den trigonometriske form af et komplekst tal er, så er:

a) I et komplekst tal:.

,

Så

b) , hvor ,

G) , hvor ,

e) .

g) , a , derefter .

Så

Svar: ; 4; ; ; ; ; .

Opgave 56. Find den trigonometriske form af et komplekst tal

.

lad, .

Derefter , , .

Siden og ,, derefter, og

Derfor derfor

Svar: , hvor .

Opgave 57. Udfør de angivne handlinger ved at bruge den trigonometriske form af et komplekst tal:.

Lad os repræsentere tal og i trigonometrisk form.

1), hvor derefter

Find værdien af ​​hovedargumentet:

Erstat værdierne og ind i udtrykket får vi

2) hvor så

Derefter

3) Find kvotienten

Indstilling k = 0, 1, 2, får vi tre forskellige værdier af den ønskede rod:

Hvis så

hvis så

hvis så .

Svar: :

:

: .

Opgave 58. Lad,,, være forskellige komplekse tal og ... Bevis det

et nummer er et reelt positivt tal;

b) ligestillingen finder sted:

a) Vi repræsenterer disse komplekse tal i trigonometrisk form:

Fordi .

Lad os lade som om. Derefter

.

Det sidste udtryk er et positivt tal, da sinustegnene er tal fra intervallet.

siden nummeret ægte og positiv. Faktisk, hvis a og b er komplekse tal og er reelle og større end nul, så.

I øvrigt,

derfor er den påkrævede lighed bevist.

Opgave 59. Skriv tallet ned på algebraisk form .

Lad os repræsentere et tal i trigonometrisk form og derefter finde dets algebraiske form. Vi har ... Til vi får systemet:

Dette indebærer lighed: .

Anvendelse af Moivre-formlen:,

vi får

Fandt den trigonometriske form af det givne tal.

Vi skriver nu dette tal i algebraisk form:

.

Svar: .

Opgave 60. Find summen,,

Overvej mængden

Ved at anvende Moivre-formlen finder vi

Denne sum er summen af ​​n led af en geometrisk progression med nævneren og det første medlem .

Ved at anvende formlen for summen af ​​vilkårene for en sådan progression, har vi

At adskille den imaginære del i det sidste udtryk, finder vi

Ved at adskille den reelle del får vi også følgende formel:,,.

Opgave 61. Find beløbet:

en) ; b).

Ifølge Newtons formel for at hæve til en magt, har vi

Ved hjælp af Moivre-formlen finder vi:

Ved at sidestille de reelle og imaginære dele af de opnåede udtryk for, har vi:

og .

Disse formler kan skrives i en kompakt form som følger:

,

, hvor er heltalsdelen af ​​tallet a.

Opgave 62. Find alle for hvem.

For så vidt og derefter anvende formlen

, For at udvinde rødderne, får vi ,

Derfor, , ,

, .

Punkterne, der svarer til tallene, er placeret i hjørnerne af et kvadrat indskrevet i en cirkel med radius 2 centreret i punktet (0; 0) (fig. 30).

Svar: , ,

, .

Opgave 63. Løs ligningen , .

Efter betingelse ; derfor har denne ligning ikke en rod, og derfor svarer den til en ligning.

For at tallet z skal være roden af ​​denne ligning, skal tallet være den n'te rod af tallet 1.

Derfor konkluderer vi, at den oprindelige ligning har rødder bestemt ud fra lighederne

,

På denne måde

,

dvs. ,

Svar: .

Opgave 64. Løs ligningen i mængden af ​​komplekse tal.

Da tallet ikke er en rod af denne ligning, så svarer denne ligning til ligningen

Altså ligningen.

Alle rødder til denne ligning er opnået fra formlen (se opgave 62):

; ; ; ; .

Opgave 65. Tegn på det komplekse plan det sæt af punkter, der opfylder ulighederne: ... (2. metode til at løse opgave 45)

Lade .

Komplekse tal med samme modul svarer til punkter i planet, der ligger på en cirkel centreret ved origo, derfor er uligheden opfylde alle punkter i en åben ring afgrænset af cirkler med et fælles centrum ved origo og radier og (fig. 31). Lad et punkt af det komplekse plan svare til tallet w0. Nummer , har et modul, der er en gang mindre end modulet w0, og et argument, der er større end argumentet w0. Geometrisk kan punktet svarende til w1 opnås ved hjælp af en homoteti med et centrum ved origo og en koefficient, samt rotation om origo med en vinkel mod uret. Som et resultat af at anvende disse to transformationer til ringens punkter (fig. 31), forvandles sidstnævnte til en ring afgrænset af cirkler med samme centrum og radier 1 og 2 (fig. 32).

Transformation implementeret ved hjælp af parallel translation til en vektor. Ved at flytte ringen centreret i et punkt til den angivne vektor, opnår vi en ring af samme størrelse centreret i et punkt (fig. 22).

Den foreslåede metode, der bruger ideen om geometriske transformationer af flyet, er sandsynligvis mindre praktisk i beskrivelsen, men meget elegant og effektiv.

Opgave 66. Find evt .

Lad, så og. Den oprindelige lighed tager formen ... Fra betingelsen om lighed af to komplekse tal får vi,, hvorfra,. På denne måde.

Lad os skrive tallet z i trigonometrisk form:

, hvor , . Ifølge Moivre-formlen finder vi.

Svar: - 64.

Opgave 67. For et komplekst tal, find alle komplekse tal sådan, at, og .

Lad os repræsentere tallet i trigonometrisk form:

... Derfor,. For det tal, vi får, kan være lig med begge.

I det første tilfælde , i den anden

.

Svar: , .

Opgave 68. Find summen af ​​tal sådan, at. Indtast et af disse tal.

Bemærk, at man allerede ud fra selve problemformuleringen kan forstå, at summen af ​​ligningens rødder kan findes uden at beregne selve rødderne. Faktisk summen af ​​ligningens rødder er koefficienten ved taget med det modsatte fortegn (generaliseret Vietas sætning), dvs.

Studerende, skoledokumentation, drager konklusioner om graden af ​​assimilering af dette koncept. Opsummer studiet af funktionerne i matematisk tænkning og processen med at danne begrebet et komplekst tal. Beskrivelse af metoder. Diagnostisk: Fase I. Samtalen blev ført med en matematiklærer, der underviser i algebra og geometri i 10. klasse. Samtalen fandt sted efter nogen tid fra begyndelsen ...

Resonans "(!)), Som også omfatter en vurdering af egen adfærd. 4. Kritisk vurdering af ens forståelse af situationen (tvivl). 5. Endelig brugen af ​​den juridiske psykologis anbefalinger (under hensyntagen til de psykologiske aspekter). af professionelle handlinger udført af en advokat - professionelt psykologisk beredskab). Lad os nu overveje den psykologiske analyse af juridiske fakta. ...

Matematik af trigonometrisk substitution og test af effektiviteten af ​​de udviklede undervisningsmetoder. Arbejdstrin: 1. Udvikling af et valgfrit kursus om emnet: "Brugen af ​​trigonometrisk substitution til løsning af algebraiske problemer" med elever i klasser med dybdegående matematikstudier. 2. Gennemførelse af det udviklede tilvalgskursus. 3. Udførelse af en diagnostisk kontrol ...

Kognitive opgaver er udelukkende beregnet til at supplere de eksisterende læremidler og bør være i en passende kombination med alle traditionelle midler og elementer i uddannelsesprocessen. Forskellen mellem pædagogiske problemer i at undervise humaniora fra eksakte, fra matematiske problemer er kun i, at der ikke er formler, stive algoritmer osv. i historiske problemer, hvilket komplicerer deres løsning. ...